9. Reduccion de Angulos Al i Cuadrante
Click here to load reader
-
Upload
karina-pichardo -
Category
Documents
-
view
162 -
download
2
Transcript of 9. Reduccion de Angulos Al i Cuadrante
SEMANA
9CURSO: MATEMÁTICA IIUniversidad Nacional
“Daniel Alcides Carrión“CENTRO PRE-UNIVERSITARIO III
OXAPAMPA - 2011REDUCCION DE ANGULOS
Lic. Edilberto Atencio GrijalvaOOOXXXAAAPPPAAAMMMPPPAAA
Permaneceigual
Depende del cuadrante
cambia
Depende del cuadrante
Consiste en comparar el valor de lasrazones trigonométricas de un ángulo decualquier magnitud con respecto al valor dela razón trigonométrica de un ángulo delprimer cuadrante (agudo). Para poderentender mejor daremos las siguientesobservaciones :I. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS NEGATIVOS
COMPROBACION
1.
senrb
rb)(sen
2. cosra)cos(
3.
tgab)(tg
OBSERVACIONEl signo negativo de la Medida Angular es colocado
adelante de la R.T. salvo los R.T. coseno y secante en
las cuales el signo de la medida angular puede
obviarse.
Ejemplo:Calcular: E = tg(sen20°) + tg(sen340°)
Solución:
1. Primero reducimos:
sen340º = sen(360° - 20°) = -sen20°
2. Reemplazando:
E = tg(sen20°) + tg(-sen20°)
E = tg(sen20°) – tg(sen20°) E = 0
II. COFUNCIÓN Ó CO-RAZÓNSen Cos Tg Ctg Sec Csc
R.T.
º360º180 = R.T. ()
Ejemplo :
Tg 300° (300º IV)
Tg 300° = Tg (360° - 60°) = -Tg 60° = - 3
(en el IVC la Tg es -)
Tg 300° = - 3
R.T.
º270º90 = Co. R.T. ()
Ejemplo : Sen 120° (120° IIC)
Sen120º = Sen(90° + 30°) = +Cos 30° =23
(en el IIC el Sen es +)
Sen 120° =23
III.PARA ANGULOS MAYORES QUE 90°Para este caso la medida angular que es mayor a unavuelta () será dividida entre 360°; tomando el resto() de dicha operación como medida angularresultante; manteniéndose la R.T. original, esto es:
BASES TEORICAS
sen(-) = -sen
cos(-) = cos
tg(-) = -tg
cot(-) = -cot
sec(-) = sec
csc(-) = -csc
x
y
(-a; b)
180º -
a
br
IVC–
Cambia por su co - razón
α
SEMANA
9CURSO: MATEMÁTICA IIUniversidad Nacional
“Daniel Alcides Carrión“CENTRO PRE-UNIVERSITARIO III
OXAPAMPA - 2011REDUCCION DE ANGULOS
Lic. Edilberto Atencio GrijalvaOOOXXXAAAPPPAAAMMMPPPAAA
Permaneceigual
Depende del cuadrante
cambia
Depende del cuadrante
Consiste en comparar el valor de lasrazones trigonométricas de un ángulo decualquier magnitud con respecto al valor dela razón trigonométrica de un ángulo delprimer cuadrante (agudo). Para poderentender mejor daremos las siguientesobservaciones :I. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS NEGATIVOS
COMPROBACION
1.
senrb
rb)(sen
2. cosra)cos(
3.
tgab)(tg
OBSERVACIONEl signo negativo de la Medida Angular es colocado
adelante de la R.T. salvo los R.T. coseno y secante en
las cuales el signo de la medida angular puede
obviarse.
Ejemplo:Calcular: E = tg(sen20°) + tg(sen340°)
Solución:
1. Primero reducimos:
sen340º = sen(360° - 20°) = -sen20°
2. Reemplazando:
E = tg(sen20°) + tg(-sen20°)
E = tg(sen20°) – tg(sen20°) E = 0
II. COFUNCIÓN Ó CO-RAZÓNSen Cos Tg Ctg Sec Csc
R.T.
º360º180 = R.T. ()
Ejemplo :
Tg 300° (300º IV)
Tg 300° = Tg (360° - 60°) = -Tg 60° = - 3
(en el IVC la Tg es -)
Tg 300° = - 3
R.T.
º270º90 = Co. R.T. ()
Ejemplo : Sen 120° (120° IIC)
Sen120º = Sen(90° + 30°) = +Cos 30° =23
(en el IIC el Sen es +)
Sen 120° =23
III.PARA ANGULOS MAYORES QUE 90°Para este caso la medida angular que es mayor a unavuelta () será dividida entre 360°; tomando el resto() de dicha operación como medida angularresultante; manteniéndose la R.T. original, esto es:
BASES TEORICAS
sen(-) = -sen
cos(-) = cos
tg(-) = -tg
cot(-) = -cot
sec(-) = sec
csc(-) = -csc
x
y
(-a; b)
180º -
a
br
IVC–
Cambia por su co - razón
α
SEMANA
9CURSO: MATEMÁTICA IIUniversidad Nacional
“Daniel Alcides Carrión“CENTRO PRE-UNIVERSITARIO III
OXAPAMPA - 2011REDUCCION DE ANGULOS
Lic. Edilberto Atencio GrijalvaOOOXXXAAAPPPAAAMMMPPPAAA
Permaneceigual
Depende del cuadrante
cambia
Depende del cuadrante
Consiste en comparar el valor de lasrazones trigonométricas de un ángulo decualquier magnitud con respecto al valor dela razón trigonométrica de un ángulo delprimer cuadrante (agudo). Para poderentender mejor daremos las siguientesobservaciones :I. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS NEGATIVOS
COMPROBACION
1.
senrb
rb)(sen
2. cosra)cos(
3.
tgab)(tg
OBSERVACIONEl signo negativo de la Medida Angular es colocado
adelante de la R.T. salvo los R.T. coseno y secante en
las cuales el signo de la medida angular puede
obviarse.
Ejemplo:Calcular: E = tg(sen20°) + tg(sen340°)
Solución:
1. Primero reducimos:
sen340º = sen(360° - 20°) = -sen20°
2. Reemplazando:
E = tg(sen20°) + tg(-sen20°)
E = tg(sen20°) – tg(sen20°) E = 0
II. COFUNCIÓN Ó CO-RAZÓNSen Cos Tg Ctg Sec Csc
R.T.
º360º180 = R.T. ()
Ejemplo :
Tg 300° (300º IV)
Tg 300° = Tg (360° - 60°) = -Tg 60° = - 3
(en el IVC la Tg es -)
Tg 300° = - 3
R.T.
º270º90 = Co. R.T. ()
Ejemplo : Sen 120° (120° IIC)
Sen120º = Sen(90° + 30°) = +Cos 30° =23
(en el IIC el Sen es +)
Sen 120° =23
III.PARA ANGULOS MAYORES QUE 90°Para este caso la medida angular que es mayor a unavuelta () será dividida entre 360°; tomando el resto() de dicha operación como medida angularresultante; manteniéndose la R.T. original, esto es:
BASES TEORICAS
sen(-) = -sen
cos(-) = cos
tg(-) = -tg
cot(-) = -cot
sec(-) = sec
csc(-) = -csc
x
y
(-a; b)
180º -
a
br
IVC–
Cambia por su co - razón
α
SEMANA
9CURSO: MATEMÁTICA IIUniversidad Nacional
“Daniel Alcides Carrión“CENTRO PRE-UNIVERSITARIO III
OXAPAMPA - 2011REDUCCION DE ANGULOS
Lic. Edilberto Atencio GrijalvaOOOXXXAAAPPPAAAMMMPPPAAA
360° = 360° . n + R.T. = R.T. n
También podríamos decir que el número entero (n)de vueltas (360°) se elimina
Ejemplo 1: Reducir al I cuadrante1223°
1. Realizamos la operación mencionada.1223° 360° 1223° = 360° . 3 + 143°1080° 3
143°
2. tg1223° = tg143°
3. Observamos que 143° es menor a una vueltapero falta reducir al primer cuadrante.
4. Observamos que 143° es menor a una vueltapero falta reducir al primer cuadrante.
tg143º = tg(180° - 37°) = - tg37° = -43
43º1223tg
Ejemplo 2:Calcular: E = 8sen150° + sec240° + 3cot315°
Solución:Para este tipo de medidas se sugiere
relacionarlas exclusivamente con 180º ó 360º y luego
continuar con los pasos del ejemplo anterior.
E = 8sen(180°-30°) + sec(180°+60°) + 3cot(360° - 45°)
E = 8 [+sen30°] + [-sec60°] + 3[-cot45°]
E = 8 .21 - 2 - 3 . 1 = 4 - 2 - 3 E = -1
EJERCICIOS DE APLICACION
1. Calcular:E = csc750° + sec1380°
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Calcular:E = tg855° + csc1230°
a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -3
3. Reducir:E = tg(5 + x) + tg(8 + x)
a) 0 b) tgx c) cotx d) 2tgx e) 2cotx
4. Reducir:E = cos(17 + x) + cos(24 + x)
a) 0 b) 2senx c) 2cosx d) -2senx e) -2cosx
5. Reducir:
x
235senx
229senE
a) 0 b) 2senx c) 2cosx d) -2senx e) -2cosx6. Reducir:
x
271cotx
253cotE
a) 0 b) 2tgx c) 2cotx d) -2tgx e) -2cotx
7. Calcular:4
123cos
a) 1 b) -1 c)22 d)
22
e)23
8. Calcular:4
2003tg
a) 1 b) -1 c)22 d)
22
e)22
9. Si:2
13yx
Calcular:
ycscxsec
ycottgx
ycossenxE
a) 1 b) -1 c) 3 d) -3 e) 1/3
10. Si:2
23yx
Calcular: E = tg(senx + cosy)a) 0 b) 1 c) -1 d) tgx e) tgy
11. Reducir al segundo cuadrante “tg2235°”a) –tg135° b) –tg105° c) –tg100°d) –tg120° e) –tg143°
12. Reducir al tercer cuadrante: sen4360°a) –sen200° b) –sen210° c) –sen220°d) –sen230° e) –sen240°
IIC–
IVC–6IIIC
–6IIC
+6
SEMANA
9CURSO: MATEMÁTICA IIUniversidad Nacional
“Daniel Alcides Carrión“CENTRO PRE-UNIVERSITARIO III
OXAPAMPA - 2011REDUCCION DE ANGULOS
Lic. Edilberto Atencio GrijalvaOOOXXXAAAPPPAAAMMMPPPAAA
360° = 360° . n + R.T. = R.T. n
También podríamos decir que el número entero (n)de vueltas (360°) se elimina
Ejemplo 1: Reducir al I cuadrante1223°
1. Realizamos la operación mencionada.1223° 360° 1223° = 360° . 3 + 143°1080° 3
143°
2. tg1223° = tg143°
3. Observamos que 143° es menor a una vueltapero falta reducir al primer cuadrante.
4. Observamos que 143° es menor a una vueltapero falta reducir al primer cuadrante.
tg143º = tg(180° - 37°) = - tg37° = -43
43º1223tg
Ejemplo 2:Calcular: E = 8sen150° + sec240° + 3cot315°
Solución:Para este tipo de medidas se sugiere
relacionarlas exclusivamente con 180º ó 360º y luego
continuar con los pasos del ejemplo anterior.
E = 8sen(180°-30°) + sec(180°+60°) + 3cot(360° - 45°)
E = 8 [+sen30°] + [-sec60°] + 3[-cot45°]
E = 8 .21 - 2 - 3 . 1 = 4 - 2 - 3 E = -1
EJERCICIOS DE APLICACION
1. Calcular:E = csc750° + sec1380°
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Calcular:E = tg855° + csc1230°
a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -3
3. Reducir:E = tg(5 + x) + tg(8 + x)
a) 0 b) tgx c) cotx d) 2tgx e) 2cotx
4. Reducir:E = cos(17 + x) + cos(24 + x)
a) 0 b) 2senx c) 2cosx d) -2senx e) -2cosx
5. Reducir:
x
235senx
229senE
a) 0 b) 2senx c) 2cosx d) -2senx e) -2cosx6. Reducir:
x
271cotx
253cotE
a) 0 b) 2tgx c) 2cotx d) -2tgx e) -2cotx
7. Calcular:4
123cos
a) 1 b) -1 c)22 d)
22
e)23
8. Calcular:4
2003tg
a) 1 b) -1 c)22 d)
22
e)22
9. Si:2
13yx
Calcular:
ycscxsec
ycottgx
ycossenxE
a) 1 b) -1 c) 3 d) -3 e) 1/3
10. Si:2
23yx
Calcular: E = tg(senx + cosy)a) 0 b) 1 c) -1 d) tgx e) tgy
11. Reducir al segundo cuadrante “tg2235°”a) –tg135° b) –tg105° c) –tg100°d) –tg120° e) –tg143°
12. Reducir al tercer cuadrante: sen4360°a) –sen200° b) –sen210° c) –sen220°d) –sen230° e) –sen240°
IIC–
IVC–6IIIC
–6IIC
+6
SEMANA
9CURSO: MATEMÁTICA IIUniversidad Nacional
“Daniel Alcides Carrión“CENTRO PRE-UNIVERSITARIO III
OXAPAMPA - 2011REDUCCION DE ANGULOS
Lic. Edilberto Atencio GrijalvaOOOXXXAAAPPPAAAMMMPPPAAA
360° = 360° . n + R.T. = R.T. n
También podríamos decir que el número entero (n)de vueltas (360°) se elimina
Ejemplo 1: Reducir al I cuadrante1223°
1. Realizamos la operación mencionada.1223° 360° 1223° = 360° . 3 + 143°1080° 3
143°
2. tg1223° = tg143°
3. Observamos que 143° es menor a una vueltapero falta reducir al primer cuadrante.
4. Observamos que 143° es menor a una vueltapero falta reducir al primer cuadrante.
tg143º = tg(180° - 37°) = - tg37° = -43
43º1223tg
Ejemplo 2:Calcular: E = 8sen150° + sec240° + 3cot315°
Solución:Para este tipo de medidas se sugiere
relacionarlas exclusivamente con 180º ó 360º y luego
continuar con los pasos del ejemplo anterior.
E = 8sen(180°-30°) + sec(180°+60°) + 3cot(360° - 45°)
E = 8 [+sen30°] + [-sec60°] + 3[-cot45°]
E = 8 .21 - 2 - 3 . 1 = 4 - 2 - 3 E = -1
EJERCICIOS DE APLICACION
1. Calcular:E = csc750° + sec1380°
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Calcular:E = tg855° + csc1230°
a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -3
3. Reducir:E = tg(5 + x) + tg(8 + x)
a) 0 b) tgx c) cotx d) 2tgx e) 2cotx
4. Reducir:E = cos(17 + x) + cos(24 + x)
a) 0 b) 2senx c) 2cosx d) -2senx e) -2cosx
5. Reducir:
x
235senx
229senE
a) 0 b) 2senx c) 2cosx d) -2senx e) -2cosx6. Reducir:
x
271cotx
253cotE
a) 0 b) 2tgx c) 2cotx d) -2tgx e) -2cotx
7. Calcular:4
123cos
a) 1 b) -1 c)22 d)
22
e)23
8. Calcular:4
2003tg
a) 1 b) -1 c)22 d)
22
e)22
9. Si:2
13yx
Calcular:
ycscxsec
ycottgx
ycossenxE
a) 1 b) -1 c) 3 d) -3 e) 1/3
10. Si:2
23yx
Calcular: E = tg(senx + cosy)a) 0 b) 1 c) -1 d) tgx e) tgy
11. Reducir al segundo cuadrante “tg2235°”a) –tg135° b) –tg105° c) –tg100°d) –tg120° e) –tg143°
12. Reducir al tercer cuadrante: sen4360°a) –sen200° b) –sen210° c) –sen220°d) –sen230° e) –sen240°
IIC–
IVC–6IIIC
–6IIC
+6
SEMANA
9CURSO: MATEMÁTICA IIUniversidad Nacional
“Daniel Alcides Carrión“CENTRO PRE-UNIVERSITARIO III
OXAPAMPA - 2011REDUCCION DE ANGULOS
Lic. Edilberto Atencio GrijalvaOOOXXXAAAPPPAAAMMMPPPAAA
13. Calcular:
osmintér6
1n21n21n2 ...73cos
72cos
7cosM
Si: n Z+
a) 0 b) 1 c) -1 d)7
cos6 e)7
cos6
14. Calcular:
6
)1(2
)3n4(senE n
n Z
a)21 b)
23 c)
21
d)23
e)22
15. Calcular:
3
352
)1k2(tgE
a)33 b) 3 c)
33
d) 3 e)212
16. Calcular:º1920secº840tg3E
a) -1 b) -3 c) -5 d) 3 e) 5
17. Calcular:E = cos(53 + ) + cos(48 + )
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2cos e) -2cos
18. Reducir:
x
243tgx
237tgE
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2cotx e) -2cotx
19. Reducir:
x
2)1k4(senE
a) cosx b) –cosx c) senx d) –senx e) 1
20. Reducir:
x
2)3k12(cscE
a) secx b) cscx c) –secx d) –cscx e) 1
21. Calcular:
4321tg.
4543senE
a)22 b)
22
c) 1 d) -1 e)23
22. Si:2
59yx
Calcular: senx . secya) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
23. Si: 2x + 3y = 23Calcular: tg(x + y) cot(x + 2y)a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
24. Si: x + y = 2Calcular: E = tg(senx) + tg(seny)a) 0 b) 1 c) -1 d) tgx e) tgy
25. Si: x + y = Calcular: E = cot(tgx) + cot(tgy)a) 0 b) 1 c) -1 d) 2cotx e) 2coty
26. En un triángulo ABC calcular:
C3tg)B3A3(tg
)BA(sen)C3B2A2(senE
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
27. En un triángulo ABC calcular:
)CB(tg.tgB)CA(tg.)BA(tg.tgA
E
a) –tgA b) –tgB c) –tgC d) tgA e) tgB
28. Calcular:
87cos
85cos
83cos
8cosE 3333
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
29. Si:2
35y5x3
Calcular:
)y2x(tg.)y3x2(tg)y4x2sec()yx(sen
E
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
30. Calcular:
43cosE 2003
a) 1 b) -1 c)22 d)
22
e)23
SEMANA
9CURSO: MATEMÁTICA IIUniversidad Nacional
“Daniel Alcides Carrión“CENTRO PRE-UNIVERSITARIO III
OXAPAMPA - 2011REDUCCION DE ANGULOS
Lic. Edilberto Atencio GrijalvaOOOXXXAAAPPPAAAMMMPPPAAA
13. Calcular:
osmintér6
1n21n21n2 ...73cos
72cos
7cosM
Si: n Z+
a) 0 b) 1 c) -1 d)7
cos6 e)7
cos6
14. Calcular:
6
)1(2
)3n4(senE n
n Z
a)21 b)
23 c)
21
d)23
e)22
15. Calcular:
3
352
)1k2(tgE
a)33 b) 3 c)
33
d) 3 e)212
16. Calcular:º1920secº840tg3E
a) -1 b) -3 c) -5 d) 3 e) 5
17. Calcular:E = cos(53 + ) + cos(48 + )
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2cos e) -2cos
18. Reducir:
x
243tgx
237tgE
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2cotx e) -2cotx
19. Reducir:
x
2)1k4(senE
a) cosx b) –cosx c) senx d) –senx e) 1
20. Reducir:
x
2)3k12(cscE
a) secx b) cscx c) –secx d) –cscx e) 1
21. Calcular:
4321tg.
4543senE
a)22 b)
22
c) 1 d) -1 e)23
22. Si:2
59yx
Calcular: senx . secya) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
23. Si: 2x + 3y = 23Calcular: tg(x + y) cot(x + 2y)a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
24. Si: x + y = 2Calcular: E = tg(senx) + tg(seny)a) 0 b) 1 c) -1 d) tgx e) tgy
25. Si: x + y = Calcular: E = cot(tgx) + cot(tgy)a) 0 b) 1 c) -1 d) 2cotx e) 2coty
26. En un triángulo ABC calcular:
C3tg)B3A3(tg
)BA(sen)C3B2A2(senE
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
27. En un triángulo ABC calcular:
)CB(tg.tgB)CA(tg.)BA(tg.tgA
E
a) –tgA b) –tgB c) –tgC d) tgA e) tgB
28. Calcular:
87cos
85cos
83cos
8cosE 3333
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
29. Si:2
35y5x3
Calcular:
)y2x(tg.)y3x2(tg)y4x2sec()yx(sen
E
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
30. Calcular:
43cosE 2003
a) 1 b) -1 c)22 d)
22
e)23
SEMANA
9CURSO: MATEMÁTICA IIUniversidad Nacional
“Daniel Alcides Carrión“CENTRO PRE-UNIVERSITARIO III
OXAPAMPA - 2011REDUCCION DE ANGULOS
Lic. Edilberto Atencio GrijalvaOOOXXXAAAPPPAAAMMMPPPAAA
13. Calcular:
osmintér6
1n21n21n2 ...73cos
72cos
7cosM
Si: n Z+
a) 0 b) 1 c) -1 d)7
cos6 e)7
cos6
14. Calcular:
6
)1(2
)3n4(senE n
n Z
a)21 b)
23 c)
21
d)23
e)22
15. Calcular:
3
352
)1k2(tgE
a)33 b) 3 c)
33
d) 3 e)212
16. Calcular:º1920secº840tg3E
a) -1 b) -3 c) -5 d) 3 e) 5
17. Calcular:E = cos(53 + ) + cos(48 + )
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2cos e) -2cos
18. Reducir:
x
243tgx
237tgE
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2cotx e) -2cotx
19. Reducir:
x
2)1k4(senE
a) cosx b) –cosx c) senx d) –senx e) 1
20. Reducir:
x
2)3k12(cscE
a) secx b) cscx c) –secx d) –cscx e) 1
21. Calcular:
4321tg.
4543senE
a)22 b)
22
c) 1 d) -1 e)23
22. Si:2
59yx
Calcular: senx . secya) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
23. Si: 2x + 3y = 23Calcular: tg(x + y) cot(x + 2y)a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
24. Si: x + y = 2Calcular: E = tg(senx) + tg(seny)a) 0 b) 1 c) -1 d) tgx e) tgy
25. Si: x + y = Calcular: E = cot(tgx) + cot(tgy)a) 0 b) 1 c) -1 d) 2cotx e) 2coty
26. En un triángulo ABC calcular:
C3tg)B3A3(tg
)BA(sen)C3B2A2(senE
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
27. En un triángulo ABC calcular:
)CB(tg.tgB)CA(tg.)BA(tg.tgA
E
a) –tgA b) –tgB c) –tgC d) tgA e) tgB
28. Calcular:
87cos
85cos
83cos
8cosE 3333
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
29. Si:2
35y5x3
Calcular:
)y2x(tg.)y3x2(tg)y4x2sec()yx(sen
E
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
30. Calcular:
43cosE 2003
a) 1 b) -1 c)22 d)
22
e)23