ANGULOS PROPIEDADES

Cramed Cramed Cramed

Problemas De Reforzamiento Sobre ÁngulosNIVEL I

PROBLEMA 1 Si, S es el suplemento y C es el complemento, calcular:

SC50 º−SS139 ºCCC 89 º

A) 0,5 B) 1 C)1,5 D) 2 E) 3

Resolución:

SC50 º−SS139 ºCCC 89 º =

180 º−(90º−50 º )−13990 º−89º

=1 Rpta. B

PROBLEMA 2

En un ángulo AOC se traza su bisectriz OB tal que m AOB=x+40º y

m BOC=2x+10º. Calcular m AOC

A) 150º B) 100º C) 120º D) 130º E) 140º

Resolución:

Luego:

m AOC = 3x+50º = 3 . 30º+50º

m OAC = 140 Rpta. E

PROBLEMA 3 En la figura calcular x

A) 124º B) 132º C) 136º D) 126º E) 120º

2 x+10 º=x+40 ºx=30 º

C B

2 x+10 º

x+40 º AO

8φ

φ x


Resolución:

5φ=90 º⇒φ=18 ºPero:

3φ+x=180º⇒3 .18 º+ x=180 ºx=126 º Rpta. D

PROBLEMA 4 EN los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, se cumple que m

AOC + m BOD=140º, además m AOD=114º. Encontrar m BOC.A) 24º B) 26º C) 30º D) 32º E) 42ºResolución:

PROBLEMA 5

En los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, se cumple que m COD = 3 . m AOC, además mbod-3, m AOB = 60º . Calcular la medida del ángulo BOCA) 14º B) 18º C) 15º D) 24º E) 42º

Resolución:

m AOC + m BOD = 140º

+ x + x + = 140º

+ x + x + = 140º

+ x + + x = 140º

140º + x = 140º

X = 20º Rpta. B

m BOD – 3 mAOB=60º

x+3-3(-x)=60º

x+3-3+3x=60º

X = 15º Rpta. C

x

5φ3φ

3φ

BA

C

114 ºxφ

O Dβ

CBA

φ

x

3φO

D


PROBLEMA 6 Calcular “x”

A) 130º B) 150º C) 145º D) 120º E) 135º

Resolución:

PROBLEMA 7 En los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD se cumple que m

AOB= mBOD y mAOC - m COD = 54º. Encontrar m BOC.

A) 28º B) 30º C) 24º D) 27º E) 32º

Resolución:

PROBLEMA 8 Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC en los cuales se traza OF

bisectriz del ángulo BOC tal que m AOC + m AOB = 140º, además m AOB- mBOF=20º. Calcular m AOCA) 85º B) 95º C) 75º D) 70º E) 80º

2α + = 180º

+ 2 = 90º

2 α + 2 + 2 = 270º

α + + = 135

X = 135º Rpta. E

m AOC - m COD = 54º

2x+ - = 54º

= 27 Rpta. D

8φxnn

xφa

θa

θ

x

O D

C

BA

φ

x−φ


Resolución:

De 1 y 2:

= 45º; α = 25º

Luego

m AOC = + 2α

m AOC = 45 +2 . 25º

m AOC = 95 Rpta. B

PROBLEMA 9 Los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD forman un ángulo que mide

126º. Hallar la medida del ángulo BOC.

A) 72º B) 62º C) 52º D) 50º E) 70º

Resolución:

PROBLEMA 10 Calcular “x”, si el complemento de más el suplemento de es igual a

70º

A) 140º B) 150º C) 160º D) 120º E) 130º

m AOC + m AOB = 140º

+ 2α+=140º

+α=70º…… (1)

m AOB . m BOF = 20º

-α=20º………(2)

120º = α++x…….(1)

180º=α++120º

54º=α+

En (1)

120º = 54º + x

x=72º Rpta. A

O C

BA

φF

αα

B C

1260Mββ

xα Nα

DOA

φθ

x


Resolución:

PROBLEMA 11 Calcular “x”, si L // L1 y + x = 80º

A) 10º B) 15º C) 20 D) 25º E) 30ºResolución:

PROBLEMA 12 Encontrar “x”, si L // L1

90º -+180º-=70º

+=200º…….(1)

x++=360º….(2)

Reemplazando (1) en (2)

X+200º=360º

x=160º Rpta. C

5x + = 180º

4x+x+=180º

4x+80º=180º

x=25º Rpta. D

x

φθ

φ L

4 x

L1x

5 x

L1

φL

xφ

4 x L

60 º

30 º

x

20 º L1


A) 10º B) 12º C) 14º D) 20º E) 18º

Resolución:

PROBLEMA 13 Calcular “x”, si L // L1

A) 144º B) 145º C) 135º D) 140º E) 150º

Resolución:

PROBLEMA 14 Encontrar “x”, si ==70º y L // L1

A) 45º B) 60º C) 70º D) 50º E) 80º

Resolución:

20º+x+30º+60º+4x=180º

5x=70º

x=14º Rpta. C

5α + 5 = 180º

α + = 36º

+ x = 180º 36º + x = 180º

x=144º Rpta. A

70º = +2…….(1)180º-2+β=+180º=2+β--β…..(2)Sumando (1) y (2)250º=3(+)+70º180º=3(x)x=60º Rpta. B

4 x

20 º

30 º

60 º

L1

L4 x

x

L1

Lβ4 α x

α4 β

L1

Lβ4 α

α4 β

φx

Lβ

α

x

70 º

L1

θθ

α

L1

L

70 º

x

β

φφ


PROBLEMA 15 Calcula “x”, si L // L1

A) 80º B) 74º C) 70º D) 82º E) 64º

Resolución:

NIVEL II

PROBLEMA 1 EN los ángulos consecutivos AOB y BOC se trazan OM bisectriz del

ángulo AOB y ON bisectriz del ángulo AOC. Hallar la medida del ángulo MON, si m = 90º

A) 30º B) 60º C) 15º D) 45º E) 37º

100º=2 =50º2 + 5β=180º250º+5β=180º β=16ºLuegox=+2βx=50º+2.16ºx=82º Rpta. D

2 βL

3 β

x

100 º φφ L1

φ

2 β

x

L1

L

φ

3 β

100 º


Resolución:

PROBLEMA 2 En los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOE, se cumple que

m AOC + m BOD + m COE = 130º, m BOD=

67 , m AOE, encontrar m AOE

A) 65º B) 50º C) 80º D) 60º E) 70º

Resolución:

PROBLEMA 3 La suma de las medidas de los ángulos es igual a 80º, el complemento

del primer ángulo es el doble del segundo. Halla la diferencia de las medidas de dichos

ángulos.

A) 30º B) 35º C) 45º D) 60º E) 90º

Resolución:

+ = 80º……..(1)

x=+β..(1)mBOC = 90º2+2β=90º+β=45En (1)x=45º Rpta. D

mAOC+ mBOD+ mCOE=130º+++++=130ºmAOC+ mBOD=130º

x+

67 , x=130º

x=70º Rpta. E

A B

O

α

C

M

N

CBA

O

Dx

γβα

δ

E


90º-=2……….(2)

De (1) y (2)

=70º ; =10º

-=60º Rpta. D

PROBLEMA 4 Tres rectas se cortan en un solo punto, encontrar la suma de la medida

de tres ángulos consecutivos que se forman.

A) 90º B) 135º C) 140º D) 160º E) 180º

Resolución:

PROBLEMA 5 Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD siendo m

OAD=150º y la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD es

110º. Hallar m BOC

A) 65º B) 70º C) 80º D) 85º E) 90º

Resolución:

++=180º Rpta. E

110º++=150º+=40º++x=110º40º+x=110X=70 Rpta. B

γαβ

B

CM

DO

A


PROBLEMA 6 Por un punto de una recta a un mismo lado, se trazan cuatro rayos

formándose cinco ángulos consecutivos que se encuentran e progresión aritmética. Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices del menor y del mayor de los cinco ángulos.A) 135º B) 144º C) 145º D) 130º E) 150º

Resolución:

-2r+-r+++r++2r=180º

=36º

α2−r+α−r+α+α+r+ α

2+r=x

4=x 4 . 36º =x

x=144º Rpta. B

PROBLEMA 7 En la figura se cumple que el suplemento del complemento de es

igual al complemento del suplemento de . Calcular .

A) 220º B) 200º C) 240º D) 190º E) 230º

Resolución:180º-(90º-)=90-(180º-)90º+=-90º180º=-360º=-+180º=190º Rpta. D

180 ºN110 º

xαα

x

φ

a2−r

a2−r

α−r α+rn2+r

α−2 rα

α+2 r

φ

1600 α

α

φ

1600


PROBLEMA 8 En el complemento de un ángulo que mide , más el suplemento del

doble de , es igual a

32 del complemento de un ángulo que mide , de modo que, - = 24º.

Hallar el complemento de .A) 65º B) 66º C) 64º D) 124º E) 60º

Resolución:

(90º-)+(180º-2)=

32 (90º-)

90º=2-

24º=- =66º

Luego

90º - 66º = 24 Rpta. B

PROBLEMA 9 En los ángulos adyacentes suplementarios AOB y BOC se cumple que

m AOB - m BOC = 30º, se trazan OM y ON bisectrices de dichos ángulos, luego se traza

OF bisectriz del ángulo MON. Calcular la medida del ángulo FOB

A) 7º 3’ B) 7º C) 8º D) 16º E) 15º

Resolución:

mAOB- mBOC=30º

2+4x-2=30º

X=7º 30’ Rpta. A

BFM

xα+x N

αα

α+2x

O CA


PROBLEMA 10 El complemento del suplemento de la medida de un ángulo, más el

suplemento del complemento del ángulo, es igual al suplemento del doble de la medida del

ángulo. Hallar la medida del ángulo.

A) 45º B) 15º C) 30º D) 60º E) 90º

Resolución:

90º-(180º-)+180º-(90º-)=180º-2

90º-180º++180º-90º+=180º-2

=45 Rpta. A

PROBLEMA 11 Calcular “x”, si m AOC = 144º y m BOD=120º

A) 84º B) 104º C) 96º D) 86º E) 80º

Resolución:

PROBLEMA 12 Encontrar “x”, si L // L1 y L2 // L3

A) 37º B) 27º C) 54º D) 45º E) 60º

x+84º=180º

x=96º Rpta. C

x CB

DOA

x CB

DOA

84 º36 º

4 β L

L1

4 αα

x L2

βL3


Resolución:


A) 250º B) 210º C) 220º D) 230º E) 240º

Resolución:

PROBLEMA 14 Calcular “x”, si L // L1 y +=100º

A) 80º B) 100º C) 120º D) 130º E) 135º

Resolución:

x=+…..(1)4=90º =22º 30’En (1)x=+220 30’=x-22º 30’….(2)Perox+4=180º…..(3)Reemplazando (2) en (3)x+4(x-22º 30’)=180ºx=54 Rpta. C

360º-x=70º+50º

x=240 Rpta. E

L3

L2

4 αα

L1

L4 β

x

β

L

x

L1

290 º

310 º

70 º

310 º

290 º

L1

L

x360 º

50 º

α L

x

L1β



A) 100º B) 105º C) 110º D) 120º E) 130º

Resolución:

Como L // L1 :

30º+40º=5+2

= 10º

+30º+40º=2p+5

180º-2+30º+40=2p+5 . 10º

+p=100º

X=100º Rpta. A

NIVEL PREUNIVERSITARIO

+x=180º….(1)

2=+=100º

=50º

En (1): 50º+x=180º

X=130º Rpta. DL1

L

xα

φφβ

L1

Lφ

2θ

40 ºx

30 º50 º4 α

φ

φ+30º

pp

φ

30 º50 º

40 º4 α

φ

L1

L2θ

x


PROBLEMA 1 Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC de modo que m

AOB+ mAOC=110º, se traza la bisectriz OF del ángulo BOC. Hallar m AOF.A) 35º B) 45º C) 50º D) 60º E) 55ºResolución:

PROBLEMA 2 Se tienen cuatro ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOA, cuyas

medidas son proporcionales a 2; 3; 5 y o. Determinar la medida del ángulo formado por las bisectrices del menor y del mayor de los cuatro ángulos.A) 90º B) 80º C) 50º D) 100º E) 180ºResolución:

PROBLEMA 3 El complemento del suplemento de la diferencia entre el suplemento y

el complemento de la medida de un ángulo es igual a 13 000 veces el complemento del triple

de la medida de dicho ángulo. Hallar la medida del ángulo.

A) 30º B) 35º C) 45º D) 60º E) 90º

Resolución:

90 '−{180 º− [ (180 º−α )−(90 º−α ) ] }=13000 (90 º−3α )

90 '−{180 º−[180 º−α−90 º+α ]}=13000 (90 º−3α )

90 '−{180 º−90 º }=13000 (90º−3α )

90 '−90=13000 (90 º−3α )

0=13000 (90 º−3α )

mAOB+ mAOC=110º

x-+x+=110º

x=55º Rpta. E

m∠ AOB2

=m∠BOC3

=m∠COD5

=m∠DOA8

=α

mAOB=2, mBOC=3, mCOD=5,mDOA=8x=+4x=5….(1)Pero:18=360º =20ºReemplazando en (1)X=5.20ºx=100º Rpta. D

O C

F

φ

BA

x

φ

M BA

Cx

4 α 3αα α

5α4 αN

O

D


0=90 º−3α

α=30 º Rpta. A

PROBLEMA 4 Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOOE, se traza

OM bisectriz del ángulo AOB, además OD es la bisectriz del ángulo BOE. Hallar la medida del

ángulo BOD, si m MOD=90 y además m MOE=160º.

A) 75º B) 80º C) 70º D) 60º E) 65º

Resolución:

PROBLEMA 5 Los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD son proporcionales a 4,

5,6, se trazan OM bisectriz del ángulo AOB y ON bisectriz del ángulo COD. Calcular m

MON si m AOD=150º

A) 130º B) 120º C) 110º D) 90º E) 100º

Resolución:

+x=90º…….(1)

+x+x=160º……(2)

De (1) y (2)

90º+x=160º

x=70º Rpta. C

mAOB=4; mBOC=5;vCOD=6

mAOD=150º 15 = 150º

=10º

Pero:

X=10=10 . 10º

x=100º Rpta. E

BMA

C

φ φ180 º

x

xO D

E

B

NO

C

MA

x

2φ2φ5α

3α3α


PROBLEMA 6 En los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD se cumple que AOB=

COD, además mAOC+2 . mCOD+ mBOD=150º. Hallar mAOD

A) 60º B) 65º C) 70º D) 75º E) 90º

Resolución:

PROBLEMA 7 Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOE, EOF, si

mAOC+ mBOD+ mCOE+ mDOF=130º, además mBOE=

58 m AOF.

Encontrar m AOF.

A) 70º B) 80º C) 60º D) 100º E) 120º

Resolución:

mAOC+ m BOD +

mCOE + m DOF=130º

++++++++130º

mAOF+ mBOE=130º

mAOF+

58 . mAOF=130º

mAOF=80º Rpta. B

x=2+…(1)

mAOC+ 2 . mCOD=150º

++2++=150º

2(2+)=150º…….(2)


2x=150º

x=75º Rpta. D

D

x

B

DO

C

A

φθ

φ

CB

β

γ

φα

φ

A

φ

D

δ


PROBLEMA 8 En los ángulos consecutivos AOb, BOC, COD se cumple que m AOB

. m COD = mAOD . m BOC, mAOB=30º y m AOD=120º. Calcular mAOC

A) 50º B) 45º C) 36º D) 48º E) 30º

Resolución:

PROBLEMA 9 En los ángulos adyacentes suplementarios AOB y BOC se traza sus

bisectrices OM y ON, luego se trazan OP bisectriz del ángulo AON y OQ bisectriz del ángulo

MOC. Calcular mPOQ

A) 30º B) 45º C) 60º D) 50º E) 35º

Resolución:

mAOB. mCOD =

mAOD . mBOD

30º(120º-x)=120º(x-30º)

120º-x=4x-120º

240º=5x

x=48º Rpta. D

+=90º……..(1)

x=θ2+45 º−[α2 +45 º−α ]

x=α+θ2. .. .. . .. .(2)


x=90 º2

X=45º Rpta. B

F

B

O

C

A

120 ºx

30 º

D

O CA

B FPM

x Q

N

θ2+45 º

α2+45 º

θθ

αα


PROBLEMA 10 En los ángulos AOB y BOC se trazan sus bisectrices OM y ON, la

medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AON y MOC es 35º, además

mAOB=64º. Hallar mBOC

A) 70º B) 84º C) 86º D) 72º E) 76º

Resolución:

PROBLEMA 11 Calcular

x+ yz , si L // L1

A) 4 B) 5 C) 2 D) 1 E) 3

Resolución:

mAOB=64º 2=64º = 32º

5º=+θ+ α2−(α+ θ

2−α)

35 º=θ2+ α2

θ=2(35 º−32 º2 )⇒θ=38 º

mBOC=28 = 76º Rpta. E

x=3+3

y=2+2

z=+

x+ yz

=3α+3φ+2α+2φα+φ

x+ yz

=5 Rpta. B

MP

φ

A

36 ºαβ

αα

Qθ

φ

B

N

C

zyx

L1

L

yx

L1

L

z



A) 30º B) 40º C) 20º D) 50º E) 60º

Resolución:


A) 5º B) 15º C) 10º D) 20º E) 18º

Resolución:

=+10º=x+

x=10º Rpta. C

22º+x+72º=56º+88º

X=50º Rpta. D

22 º

56 ºL

x272 º

L1108 º

56 º

L1

L

x

22 º

88 º72 º

10 º

β

φ

L1

L

x

β 10 º

φx

x10 º

ββφ

L1

L

x



A) 16º B) 32º C) 18º D) 24º E) 12º

Resolución:

=x+=2+32º-

x=32º Rpta. B

L

L1

x 32−β

φ

φββ

32−β

φ

ββφ

L1

Lx

ANGULOS PROPIEDADES

Documents

Transcript of ANGULOS PROPIEDADES