Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo

7/24/2019 Propiedades de Los Lados y Angulos en Un Triangulo

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PROPIEDADES DE LOS LADOS Y ANGULOS EN UN TRIANGULO

1Un ladode un tringuloes menor que la suma de los otros

dosy mayorque su diferencia .

a < b + c

a > b c

2La sumade los ngulos interiores de un tringulo es igual a180.

A + B + C 180!

" El valor de un ngulo e#terior de un tringulo es igual a la

sumade los dos interiores no adyacentes .

$ = A + B

$ = 180! % C

&En un tr inguloa mayor lado se opone mayor ngulo .

' S i un tr ingulo t iene dos lados iguales ,sus ngulos o(uestos tambin son iguales .


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TALLER SOBRE TRIANGULOS Y CONGRUENCIA

EJERCICIOS PROPUESTOSOBRE TRINGULOS

1. Resuelva justificando todos los

pasos:

1. Si b =20 cm.; c =10 cm.; d = ?

2. ?;70 == Si

3. Si f =13cm.; d =20 cm. a = ?

4. ?40 == ACBSi

5. Si d =2c; b = ?

6. ?2 == Si

7. ?.;402 === dcmfSi

2. ncuent!a la medida del te!ce! "n#ulo inte!io! de un t!i"n#ulo$ si la medida de

los ot!os dos son:a% &'( ) 4'( b% 22( ) 135( c% a( ) 2a(

3. *ete!mina el valo! de + si los "n#ulos inte!io!es de un t!i"n#ulo son +$ 2+ ) 3+.

4. n un t!i"n#ulo is,sceles$ el "n#ulo e+te!io! del v-!tice mide '0. /u"nto

miden los "n#ulos inte!io!es de la base?

5. l "n#ulo de un t!i"n#ulo cualuie!a mide 52; si el "n#ulo est!es veces ma)o! ue el "n#ulo . /u"nto mide el "n#ulo ?

6. n un t!i"n#ulo !ect"n#ulo los "n#ulos a#udos est"n en la !a,n de 5:4./u"nto miden estos "n#ulos?

7. n un t!i"n#ulo is,sceles$ un "n#ulo basal tiene 1$5 m"s ue el "n#ulo delv-!tice. alcula los "n#ulos inte!io!es del t!i"n#ulo.

8. 6os "n#ulos inte!io!es de un t!i"n#ulo est"n en la !a,n 3:4:5. /u"nto midenestos "n#ulos?


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9. n un t!i"n#ulo cualuie!a$ el "n#ulo tiene 15 m"s ue el "n#ulo ) -ste 12 m"s ue el "n#ulo . *ete!mina el valo! de los "n#ulose+te!io!es de este t!i"n#ulo.

10.n un t!i"n#ulo is,sceles$ la suma de uno de los "n#ulos e+te!io!es de la basecon el "n#ulo e+te!io! del v-!tice es 2437. alcula la medida del "n#ulo inte!io!del v-!tice.

11.n un t!i"n#ulo un "n#ulo mide 4' ) el se#undo tiene 1' m"s ue el te!ce!o.alcula la medida de los "n#ulos inte!io!es del t!i"n#ulo.

12.l "n#ulo de un t!i"n#ulo cualuie!a mide 5&. Si los "n#ulos ) est"n en la !a,n 3:2$ /cu"l es el valo! del "n#ulo ?

13.n un t!i"n#ulo !ect"n#ulo$ uno de los "n#ulos a#udos tiene 20 m"s ue elot!o. /u"nto miden los "n#ulos a#udos?

14.n un t!i"n#ulo cualuie!a$ un "n#ulo inte!io! tiene 20 m"s ue ot!o$ pe!o 35menos ue el te!ce!o. /u"nto miden los "n#ulos inte!io!es de este t!i"n#ulo?

15.n un t!i"n#ulo cualuie!a los "n#ulos e+te!io!es est"n en !a,n de 2:3:4./u"nto miden los "n#ulos inte!io!es de este t!i"n#ulo?

16.n un t!i"n#ulo uno de los "n#ulos es el 508 de uno de los ot!os dos ) el 33193 8 del te!ce!o. *ete!mina la medida del "n#ulo meno! de este t!i"n#ulo.

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CONGRUENCIA DE TRINGULOS

EJEMPLO 1Si BD AC $ 1=2; demost!emos ue *

*

De!"#$%&'()* *=*=0 definici,n depe!pendicula!idad%.

BD = BD lado com


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De!"#$%&'()* *==0 definici,n de %; AB = AB lado com


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S!+,&'()* 1804030 =++ I Suma de "n#ulos inte!io!es en un t!i"n#ulo%

es el ot!o "n#ulo

1104030180 ==

251815

)(VIIII

1811015

)(VIIIV

1101540

)(VI

253018

)(

1102540

)(

LLL

LAL

ALAIII

LALVII

ALAIIII

IVVIIVII

VIIIII

6e) t!ansitiva%

Si VII


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3030

1515

2525

110110

==

==

==

==

B

b

c

A

Si VIIII

18011030 =++

Suma de "n#ulos

inte!io!es en un

t!i"n#ulo%40=

3030

110110

==

==

B

A VIIVI 66%

VII IIIIII 6e) t!ansitiva%

EJEMPLO 5

-'(#e"'"* NRPRPQQM ===Te"'"* MNP es is,sceles

S!+,&'()* PRPQ = >ip,tesis%

1 is,sceles

32 =

32 = Suplementos de

"n#ulos i#uales%

RNMQ = >ip,tesis%; 32 66% NM = lementos

co!!espondientes en t!i"n#ulos con#!uentes e.c. s . .s %%; MNP

is,sceles.

EJEMPLO 6-'(#e"'"* ACAB = ; A es t!isecadoTe"'"* AEAD =


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S!+,&'()* 21 = po! t!isecaci,n%

ACAB = >ip,tesis%

3 s,sceles

21 =

21 = suplementos de "n#ulos

i#uales%.

21 6%

AEAD = lementosco!!espondientes en t!i"n#ulos con#!uentes%.

EJEMPLO 7

*e acue!do con la fi#u!a$

donde AE ) CD son altu!as delt!i"n#ulo BAC $ ) CEAD = .*emost!emos ue CFAF =

S!+,&'()*

9021 == *efinici,n de altu!a%.

ECAD = dado%

21 = opuestos po! v-!tice%

21 6%

CFAF = lementos

co!!espondientes en t!i"n#ulos con#!uentes

EJEMPLO 8n la fi#u!a BCAC= )

ECDC= . *emost!emos ue

DBAE =

S!+,&'()* ECDC = dado%

CC = "n#ulo com


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EJEMPLO 9

n la fi#u!a$ BCAC =

)CEDCDE = . *emost!emos

ue DBAE =

S!+,&'()* 21 = dado% 1 is,sceles

CEDC = CC = "n#ulo com


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EJEMPLO 10

-'(#e"'":AEbiseca a BD ; BDDE ; BDAB Te"'"* AE =

S!+,&'()*9021 == definici,n de pe!pendicula!idad%

BCDC = AE biseca a BD %

21

= opuestos po! el v-!tice%

21 6%

EA = lementos co!!espondientes en

t!i"n#ulos con#!uentes%.

EJEMPLO 11

-'(#e"'"*PQ bisect!i; MNPQ

Te"'"* NM =

S!+,&'()*21

= PQ bisect!i%

21 = pe!pendicula!idad%PQPQ = lado com


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EJEMPLO 12

-'(#e"'"* 1 = 2; CE biseca BF

Te"'"* =

S!+,&'()*21 = >ip,tesis%

21 = suplementos de

"n#ulos i#uales%

21 = opuestos po! el v-!tice%

DFBD = CE biseca a BF %

21 6%

EC = lementos co!!espondientes

en t!i"n#ulos con#!uentes%.

/E+ "%'! )! %% %$% %&,,+%$&,%)#! " e)#$e% % +!" e"

T%)#! %" !"ee %$% ".C,%)#! " !)e" !$e&e) % +!" e"

T%)#! %" &!)"',e %$% "/.

Te!$'% P$!+e%" Re",e+#!" "!$e T$'%),+!"@ublicado el26/12/2009po! p!ofbaptista
https://profbaptista.wordpress.com/2009/12/26/teoria-y-problemas-resueltos-sobre-triangulos/https://profbaptista.wordpress.com/2009/12/26/teoria-y-problemas-resueltos-sobre-triangulos/https://profbaptista.wordpress.com/2009/12/26/teoria-y-problemas-resueltos-sobre-triangulos/https://profbaptista.wordpress.com/author/profbaptista/https://profbaptista.wordpress.com/2009/12/26/teoria-y-problemas-resueltos-sobre-triangulos/https://profbaptista.wordpress.com/2009/12/26/teoria-y-problemas-resueltos-sobre-triangulos/https://profbaptista.wordpress.com/author/profbaptista/


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1. De un tringulo sabemos que: a = 6 m, B = 45 y C = 105. Calcula los

restantes elementos.

esoluci!n "e un triangulo conocien"o "os la"os y el angulo

com#ren"i"o


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$. De un tringulo sabemos que: a = 10 m, b = % m y C = &0. Calcula los

restantes elementos.

esol'er un tringulo conocien"o "os la"os y un ngulo o#uesto

sen B ( 1. )o *ay soluci!n

sen B = 1 +ringulo rectngulo

sen B 1. -na o "os soluciones

&. u#ongamos que tenemos a, b y / al a#licar el teorema "e los senos

#ue"e suce"er:


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1. sen B > 1. No hay solucin.

esol'er un tringulo conocien"o los tres la"os

5. esuel'e el tringulo "e "atos: a = 15 m, b = $$ m y c = 1% m.

Clculo "e la altura "e un #unto "e #ie inaccesible

6. e i2a en el #lano *ori3ontal "os #untos / y C, y se mi"e la "istancia

que los se#ara: b= 500 m.

e mi"en con el teo"olito los ngulos / y C. /= %$ 1 y C= 60 &$.

+ambi7n se mi"e el ngulo 8/B = 6$ 5


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Clculo "e la "istancia entre "os #untos, uno "e los cuales es

inaccesible

%. Se fija en el plano horizontal dos puntos A y C, y se mide la distancia que los

separa !" #$$ m.Se miden con el teodolito los %n&ulos A y C. A" '1( #)* y C" +( +-*.


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Clculo "e la "istancia entre "os #untos inaccesibles

. e i2a en el #lano *ori3ontal "os #untos C y D, y se mi"e la "istanciaque los se#ara: b= 450 m.

e mi"en con el teo"olito los ngulos C y D. C= 6 11 y D= 0 40.

+ambi7n se mi"en los ngulos BCD = &$ &6 y /DC = 4& 5$.

9. +riangulos ectangulos


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-n tringulo rectngulotiene un ngulo recto y "os agu"os.

ipotenusa

a *i#otenusaes el la"o o#uestoal ngulo recto, y es lado mayor del

tri%n&ulo

Catetos

os catetosson los la"os o#uestosa los ngulos agu"os, y son los lados

menoresdel tri%n&ulo.

/rea de un tri%n&ulo rect%n&ulo

;l rea "e un tringulo rectnguloes i&ual al #ro"ucto "e los catetos

#arti"o #or $.


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0eoremas

el cateto;n to"o tringulo rectngulo un cateto esmedia proporcional entre la

*i#otenusa y su #royecci!n sobre ella.

e la altura;n un tringulo rectngulo, la altura relati'a a la *i#otenusa es me"ia

#ro#orcional entre los $ segmentos que "i'i"en a 7sta.

e 2it%&oras


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;n un tringulo rectngulo, el cua"ra"o "e la *i#otenusa es igual a la

suma "e los cua"ra"os "e los catetos.

De#en"ien"o "e los elementos que cono3camos, nos encontramos con

cuatro ti#os "e resoluci!n "e tringulos rectngulos:

1. Se conocen la hipotenusa y un cateto

#. Se conocen los dos catetos


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-.Se conocen la hipotenusa y un %n&ulo a&udo

. Se conocen un cateto y un %n&ulo a&udo


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3jercicios

De un tringulo rectngulo /BC, se conocen a = 415 m y b = $0 m.

esol'er el tringulo.

sen B = $0 0.%&1 = &06. &1 m

De un tringulo rectngulo /BC, se conocen b = && m y c = $1 m.

esol'er el tringulo.

tg B = &&


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De un tringulo rectngulo /BC, se conocen b = 5.$ m y B = &%.

esol'er el tringulo

C = 90 &% = 5&

a = b 1.&$%0 = 6. 9 m

?roblemas #ro#uestos "e +riangulos rectangulos:

1. ;n un +ringulo ectngulo un cateto mi"e 1$ cm y el ngulo agu"o

o#uesto a "ic*o cateto mi"e &0o. @Cual es la longitu" "e su 8i#otenusaA

e"on"ea tu res#uesta a un "ecimal.

/ 1$ cm

B 6 cm

C 10.4 cm

D )o esta la res#uesta

$. a base "e un tringulo is!sceles mi"e 0 cm y los la"os iguales 100

cm. Calcula la me"i"a "e sus ngulos iguales. e"on"ea a un "ecimal tu

res#uesta.

/ 5&.1o

B $&.6o

C 66.4o

D &6.9o

&. i sabemos que en un tringulo rectngulo sus catetos mi"en 15 cm y1$ cm. 8allar la me"i"a "e los ngulos agu"os. e"on"ea a un "ecimal

tu res#uesta.

/ 5oy &$o

B 5&.1oy &6.9o

C 51.&oy &.%o



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4. Calcular el la"o "e un #entgono regular inscrito en una

circunerencia "e ra"io cm. e"on"ea a un "ecimal tu res#uesta.

/ 1$.9 cm

B 4.% cm

C cmD 9.4 cm

5. Calcula la altura "e una torre, si situn"onos a 5 m "e su #ie 'emos la

#arte ms alta ba2o un ngulo "e %5. e"on"ea a un "ecimal tu

res#uesta.

/ 1.% m

B 1.& m

C 5.$ m

D 19.& m

6. /n"r7s mi"e 1%5 cm y su sombra 105 cm. @u7 ngulo orman en ese

instante los rayos "e sol con la *ori3ontalA e"on"ea a un "ecimal tu

res#uesta.

/ &1o

B 59o

C 5&.1o

D &6.9o

%. Calcula la altura "e una casa si sabemos que en el momento que el sol

se encuentra a una altura "e 55 con res#ecto a la #arte su#erior "e lacasa este #royecta una sombra "e m. e"on"ea a un "ecimal tu

res#uesta.

/ 11.4 m

B 5.6 m

C 6.1 m

D .% m

. -n #oste "e 6 m "e altura es alcan3a"o #or un rayo #arti7n"olo a una

altura *E "el suelo. a #arte su#erior se "es#loma que"an"o uni"a a la

#arte inerior orman"o un ngulo "e 60 con ella @Cunto mi"e la

#arte rota ms larga "el #osteA e"on"ea a un "ecimal tu res#uesta.

/ 6 m

B $ m

C 4 m

D &.$ m


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9. ;l 'iento tro3a un rbol, la #unta se a#oya en el suelo, en un #unto

situa"o a 10 m "el #ie, orman"o un ngulo "e &0 con el #lano

*ori3ontal. @Cul era la altura "el rbolA. e"on"ea a un "ecimal tu

res#uesta.

/ 1%.& mB 5.% m

C $5. m

D 14.$ m

10. Des"e una altura "e $500 m un #iloto obser'a la lu3 "e un

aero#uerto ba2o un ngulo "e "e#resi!n "e 40. Determina la "istancia

*ori3ontal entre el a'i!n y el aero#uerto. e"on"ea a un "ecimal tu

res#uesta.

/ $09%.% m

B $9%9.4 m

C &9.& m

D &$6&.5 m

11. Calcula el rea "e un tringulo equiltero cuyos la"os mi"en 1$ cm.

e"on"ea a un "ecimal tu res#uesta.

/ 6$.4 cm$

B 144 cm$

C %$ cm$

D 1$4. cm$

1$. Calcula el rea "el octgono regular "e cm "e la"o. e"on"ea a un

"ecimal tu res#uesta.

/ &09 cm$

B $56 cm $

C 51$ cm $

D 106 cm $

1&. e sabe que un aro tiene una altura sobre el ni'el "el mar "e 145 m.

Des"e un barco en el mar se 'e el aro ba2o un ngulo "e 15. @/ qu7

"istancia se encuentra el barco "e la costaA e"on"ea a un "ecimal tu

res#uesta.

/ 541.1 m

B &.9 m

C 560.$ m

D 150.1 m


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14. Dos amigos 'an a subir una montaFa "e la que "esconocen la altura.

/ la sali"a "el #ueblo *an me"i"o el ngulo "e ele'aci!n y obtu'ieron

que era "e &0. 8an a'an3a"o &00 m *acia la montaFa y *an 'uelto a

me"ir y a*ora es "e 45. Calcula la altura "e la montaFa. e"on"ea a

un "ecimal tu res#uesta./ 450.5 m

B 409. m

C &9.5 m


Cla4e de 5espuesta

1.B#.C-.C . +.A '.B 6.A).C7.A1$.B 11.A #.A

1-.A 1.B

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