CAPITULO XI •

TENSORES RELATIVOS

A- JACOBIANO DE UNA TRANSFORMACION

Se presenta en la física una serie de cantidades cuya ley de transforma­c ión al cambiar de sistema coordenado es muy semejante a la ley de trans­fO!lnación de las componentes tensoriales; la única diferencia radica en que aparece el jacobiano de la transformación \.d1 L·.1 elevado a una poten-

aXJ .

cia entera W ; estas cantidades se llaman tensores relativos; por ejemplo: si A~ es una cantidad tal que al pasar del sistema j r: al sistema x c.: sus componentes se transforman según la ley;

A',., -=- \_()'j~'.\uJ d2~ d),K A'< A~ rm dy"J ap ox...... K. decimos entonces que 1<.

es un tensor relativo mixto de orden dos y peso W .

Antes de estudiar más en detalle los tensores relativos repasemos algu­nas ideas fundamentales sobre el jacobiano.

Supongamos un conjunto de cuatro variables ( U, v J x)) ) relacionadas a través de dos ecuaciones:

11-1) F ( lÁ.¡ v) ;L ¡ lj') ::: o

b (u..¡ v):;(..) ')) =:. O

. Nos interesa encontrar la condición que se debe cumplir para que poda-mos expresar dos de las variables ( .AL¡ 11 por ejemplo) en función de las otras dos ( X, 'j ); es decir: qué necesitamos para garantizar que pode­mos encontrar las ecuacione s A.,...{..:: f 1.'X., 'J } ¡ V:: ~ r... )(..) lj ) ?

Supongamos que existe un conjunto de valores ( .Mo, Vo J X-D) 'fo ) que satisfacen las ecuaciones ll-l r por lo tanto:

Ao '" j CX-fJ) ':f.)

Vo:: d- CXo ¡ j" )

Si jCx, 'J) y ~(XI j) las supone mo s aptas para s e r expand idas en serie de Tay lar en el entorno d e ( XO¡ jo) tendre mos :

100 •

+ ........ "' ......... ..

-+-- ... .. • . ... - .. .. .. .. .... . ..

Esto corresponde al desarrollo en serie de Taylor de funciones de varias variables (ver por ej. Ivan S. Sokilnikoff, Advance Calculus, Cap. XII funciones implícitas).

Para poder garantizar este desarrollo se necesita la exis tencia de las de-rivadas e t-), J (~~1 ,(~{> t, (~~t1)0, <)'/>1 J

•••• - '" ••• ) (:;). J ~ ;)0 I ~a2!2) o ) (~~.; t l ~ffL JOJ . .. .. . . ; ..... .. , .. ..

Veamos ahora qué se necesita para que existan estas derivadas. Dife­renciand.o 11-1) con respecto a x obtenernos ( y ,x: son variables in­dependientes) :

+ d f élV _ O - '1'- ___

-av a-x..

y por la regla de Cramer se obtiene:

aF dr -();(. iYV

dtL 04. C>6_ - ::';:[ av -- - - ~...,~-~...!:.--

ClX )

aF -;;)t-(.

d(" -a u...

dF -dI-{.

a61 al-\.

;:)F aX. ~~ . ax

-qT:. •

av c;>6t -av'

101

Si el denominador J:=. d¡: "OF • - -dc..t.. .aV

::/-0 para <.:u c:>, Vo ... :to /Jo)

dG. ~Go . .

,dllL d V

entonces se puede calcular (0 ..(,{..) Jó I- ) a:Z o -ra~ o y

Análogamente de calcular

, diferenciando 11-1 con respecto a y resulta que se pue-

(du..) _ (dJ..) (av \ _ (di') dijo - d':1 o y l.:a:5) o - \d j o

siempre

que Y * o ; ahora, el cálculo de las derivadas de mayor orden que a­parecen en las ecuaciones 11-2 se hace a partir de las 1 as. derivadas; por ej emp1o:

J \ df (jF I aF dF aF Glr di" aF ~ - - .=-- - • - - - av éJu. av ;;;u. <JV a x.. dÁ é)'I/

.d f- .Ó - ---2lG d4 dX 'db a..k ij dGt g ¿-t. a.:x

\ a~ - - - ~J -;)()... CJV \ 2;::L ;3V a.:x.. av a u.. ClV ---

similarmente, obtenemos : • J vemos nueva-

mente que el requisito para que existan estas derivadas es que, ::r"* o ; si esto se cumple en ( -u", VD, ")CA) :1" ) entonces se pueden calcular:

y

Obviamente para que también existan las 3as, 4as .... derivadas S9 debe cumplir I:¡::. 'O en (..ÁÁ.- o , V",) Zt:;JJ 'jo ).

102

Una vez calculadas estas derivadas las llevamos a 11-2 y con esto co­nocemos las funcione s u = t ( X ~ 'j) y v= ~ l."]¿) :i ) expandidas en serie de Taylor.

Este problema nos permite resolver el siguiente: si )(. ~ 4 ( u, 1/) Y y= ~ ( .-U, v) qué condición se debe cumplir para que podamos expresar u, v en función de ~ ~ ':Lesto es: qué se debe cumplir para encontrar u = f ("X, Ij) y V = ~ ex , 'j)? tenemos:

11-3) f:.(u.,V,'X.JJ )=- c}Cu.,V)-x:::.o

¿; (u/v, ~,)J=- J (u J v)-l-=-o

Para que en F y G se puedan despejar cesita tener 7*0; ahora:

M- V - J -

hemos vis to que se ne-

aF -

- ;;IA... )

y resulta:

d~ . '

T::.

""- ~ J

dV

; la derivada parcial de una función con respecto a una de las variables se obtiene manteniendo constantes todas las variables menos aquella con respecto a la cual vamos a de­rivar, por lo tanto de 11-3:

d 6, -=-_. - a .8. d Á,.Áo J

Por medio de un procedimiento completamente similar al desarrollado pa­ra el caso anterior ( dos variables en función de otras dos) podemos obte­ner la condición necesaria para que si: j";:. ,)t'( X',x l )" _.' ,. X""") entonces; 21.':;. 2"( 1', '11." ........ j ..... ) I i=l,2 ... n

Esta condición es la misma obtenida para el caso de 4 variables es de-cir T=I O siendo .

•

¡

•

103

•

~ d'1' ~ 'jI ;;)" 'j I • • . ~ .. .. . • • • • •

;:,) X I .aX1. d:ll' óX""

~ d '11- ,;) ~l. d'J t

• • • • • • . .. .. ~ .. . .. .. , a x"'" d .)l' aXl ;a Xl

, •

• • • • • • •

J:=. , • • •

• • • • • • • • • • • •

~ .?J':J .... ~ • • • • • • • • ó'j .....

óX' -a.xl. a Xl ax""

El jacobiano]"" también se puede simbolizar como

Como conclusión podemos afirmar que si un conjunto de variables 'j L •

está en función de las variable s .x"" entonces podemos garantizar que las X~' se pueden expresar en función de las J t' siempre que el deter­minanteI::. I ~ ~ ;.} -:j:o( i I j= 1, 2 ~ .. n), en toda la región para la cual se

definen las funciones '-lL: __ ut'( -..JI ... , J J ........ - -- :::L I . •

Podemos ahora preguntarnos por la relación que existe entre el jacobiano ,

(cuando queremos expresar 11' en función de las J' L' )

• y el jacobiano (cuando queremos expresar 1 t.. en fun-

ción de las:tJ ) .

Supongamos un conjunto de n funciones E,.) E,~ .... E,,,,, de las n varia-. .

bIes J', JL. . . . . . J "" y supongamos que las ;:r c.. son a su vez funcio-nes de las variables x', Xl, - __ . x""; se puede uemostrar entonces la siguiente igualdad de matrice s:

l04

dE, ;> El .,) E. ~' d'j I - - -- ...... _. d 'j' ;> j 1. C):J'"" • . •

"Ox· o .x 'L

af .... a él. dEl: ;:)':S~ - ' , , , .. . . . dj~ ;;J 'j • ~ 'p. ;)) ... , , •

ll-4: é) .x' a..x"l. • • •

• , • , • • ,

• • • •

, d'j .... ci;!'" dE,." ~ l3h'! dE", . • • • . • . • • • <:).x • a ){."I. ,:)j' C3j'Z. ~j""

\'I! } (:r. )

.. . .. ... .. .. .. ?>i:. -:d.x.. ...

- • - • • •

• • , • •

· dE.,.,., ~ ~~ . . . - . • a:x . d .:t."'-

(J 1 t )

esta ecuación es columnalde ( II )

cierta ya que el produc to de la fila 1 de

-

~' + a X,'

es:

8~!... ~j2; él'j'!. 9x'

-

+ '. '" ..... + ~E., -::J'jrr, ;;) '1'''' d .l:. •

--

• • • a'j :

2lx ....

.;) 'jl , • • -a~ ..... • •

• • • •

ti':f"" • • •

ax. ......

( I) por la

que e s el término (l,l) en la matriz e III) Y en general el producto de la fila i de ( I) por la columna j de ( Ir) es -

2) el' • <:) '11.

~:LL. a-xJ

+- ' . . , , . .

es el término (i, j ) en la matriz ( III ) .

.

. ' + a 'j .... _ .

En el caso de que tef'gamos los dos tipos de ecuacione s :

-a :xJ que

:¡t'= Ji' (-;:¿ " X' I -- - x'" ')0.'.= I.~ "17'1) Y su transformación inver-) J

sa: -X i '..:- ~c" ('j', j2, ___ . J~ ') J podemos encontrar la re -

105

lación entre funciones

sus jacobianos si consideramos a las X( -= g,' {'J" . . ;.,,) como las E L' de la ecuación 11-4 y por lo tanto:

• 1

d.:t ' d)' I a '1' , dX' •• • • <::l.)t' d 'jI , • • • • • • • •

~ J' 8 ':P' CJ'1-" aXl oX· ~::t-¡ I 0-41- ,a..'l:';-. . - , . • ~x~ d ')1.. -<3 'i 1: .. d'f2 1 sJ">1 • • • •

d 'j' é) j'L éJX' ax. ... aY... .... I • • • • •

, • • • • •

• • • dX ..... é)~: a x'" ,

• , • • • • • é>'jl d 'jt a.::s"" ~'f~ ~'j'" , <31'" . • • ,

, ox' o ::(.1. a.-:t....,

dX I dX I s;Jx~ \ o o o • • • • • , • . -

at,1 c3X1. a.:r"">1 a;r1. O I o , · • • o

"9:(l. 9x~ . . , , ' • ax' é7X].. 0-1:."'" - O I :::I - o • · - , o

, • , •

• ;)2-: a:t.:~ a x. "'" ,

\ , , • •

OA o o o , , • • a;x' 2).x7..

resulta pues que la matriz del jacobiano es la inversa de la

matriz del jacobiano y por lo tanto como el determinante de

un producto es el producto de los determinantes obtenemos :

11-5) _d_X_~~" 01 J~ ) -1 es decir el producto de d 'j J d X (' - J

los jacobianos de las

transformaciones inversas es igual a 1 •

B- DIFERENCIALES DE AREA Y VOLUMEN EN COORDENADAS CURVILINEAS.

En un plano sobre el cual tomamos el sistema cartesiano ( :x) 'f ) va­mos a tomar unas coordenadas curvilíneas ( .-U., v') de modo que:

11-6) X=-cP,lU,V) J -=- c1-z. ( u.. V )

106

Si el jacobiano J - \ ~ (x, 'j) \ es distinto de cero en todos los - d(U.V)

·de una región dada del espacio entonces podemos obtener:

u. =- J. C~. 'j )

V: h. Cx,'j)

puntos

Las ecuaciones [,( = cte, V = cte representan ¡famIlias de curvas y

cada curva de la familia obtenida para un valor distinto de la constante, , por ej emplo si . .L-'l..::.-Q-. y V:::.., o sea coordenada s polare s en el plano ( XI J ) entonces --u...:: cte, V=: cte nos representan respectivamente un haz de radios con centro en el origen de coordenadas y ' un conjunto de circunferencias concéntricas de radio 'í =ete cada una.

Sa remos que simplemente el área de

el diferencial de área expre sado en función de d..:t.. y ~ es -: el A = d...x d d ; nos proponemos encontrar dA (o sea

P, p, 7y.. '?3 en el dibujo) en términos de dl4.., Jv.

x.

El punto p/ tiene líneas ( ..A-<. IV) es

coordenadas carte síanas (:(,::f 1) Y coordenadas curvi­decir r según 11-6:

X 1-- tf¡ (U, v) ) 'f,:: cj 7. (U, \.1 )

•

107

Las coordenadas de '?z. son ( ::C"l,)l. ) Y (A.-(., V+dV) debido a que el punto P<. está sobre la curva u=. ete, por lo tanto:

x~ :: c),- (U,II +dll)

J,-:: qz (u, V+dv)

El Punto P3 e s tá sobre la curva V = cte por lo tanto sus coordenadas son:

X'3= 4>, [u+du... v)

J 3 = c;L- (..u -+ d.lÁ.., V )

y las coordenadas de P¡¡. son:

-:::L 'f:::. r:p / (u. -+ el I,Á. • v + cl. v )

':f ~:: t}J"t. ( U. + d lA I v +d v )

Podemos expandir 11 ¡ ':5 -:1.. J X 3 J :J 3 en serie de Taylor en el en-torno de Ji " ':5 1 (o sea de --u.. V ) despreciando los diferenciales de orden mayor que el priímero , por lo tanto:

...J. ,J,) + ~4'1_ d V x-z.::. Cf,(u,v+dv) ~ y, lU.JV av

)1.::: cPl ( U. V-I-cl v) = el, (u/v) + ~ d V élV

~3.::: q J (u -+.J u.. v) =- ~ / (u IV') + <:)(j 1. el 4...

J3:: 4Z.(.A.J.-1-dtA..,V)= p<- (u,V) + ~~~ du. .;)u

El área de 7 1 P2. 'Pt.;. P3 es aproximadamente igual al área del parale­logramo 'PI -PI. P3 ; la aproximac ión se convierte en igualdad si tomamos el área cada vez mas y mas pequeña de modo que los segmentos curvili­neos PI PI) P, P3, P3 -p~ J Y "Pz. 7'}L se conviertan en segmentos de línea recta; ahora: el área A del paralelogramo "Pi ? ... P3 es igua 1 al módulo del producto v;;torial J>/~ >t P,?} pero:

'P I P2 )<¡ 7, 1>3 ::. [~l.-x,) 7 + (j"L-:Ü7]x[ft>-X,)L+('k1,)T] ...... L --

:r

11 -7 + A=-- ':h \

•

108

• ,

Colocamos el doble signo ± para tomar aquel que nos haga positiva el é.rea según el signo del determinante.

Resulta entonces que el área ( dA) es:

J. eP, <P~ I x. 1

dA _4- J'L- I + ~ + 09. J .. 41.T aq ... ,j-.¡ \ ::tlo --- - - I .1'1 ;;)'1

:t. ,:! '13 \ ~l + -a&'.dU ~<+9lh dÚo I éJ<.<.. ;)t..L

1) c/;z. I 2>Q, d" ~dv' --t OQI. dO¡ 2)q?,.. d y' - O 1-- Jv' ay -d-l .¡)V - - =/

atP¡ clt..L .aq":du. O '?Q I .,)1.(. d clz... el t.t 8L<.

dL<. ;;)IA.. é)Lt

dA=+ d <PI d ~l. • -

~v' av du...civ -at};1 d ello - pero este determinante es c;>u.. .)L-l

el jacobíano de las ecuacione s de transformación 11-6 por lo tanto

11-8) ' dA'"- ±.J dt-t.dv == Irl du..dll

En forma semejante podemos resolver el problema de encontrar el diferen­cial de volumen referido a las coordenadas curvilíneas: ..A..-<- J v.> uJ

En este caso tenemos 11-9) X == cP, (lÁ, vJ u)) )

.J ::: cpz. (u. I V, w) -i: = cp, L U , ¡} J uJ) , I

Se puede ex pre sar en función de x'J ~ I i si el

jaco;)iano de 11-9 no se anula en l a región considerada Y en este ca­

so obtenemos:

•

109

.AÁ- ::. J, (x, '),2: ) J V::: 1'1. (~, 'j, ~ ) w - f;, (::t,~,~). -

•

l'

, • I

,-......¡. ..... ' /'-----/ 1'.)

I I

/ ,

'1, (U,¡/JW)

Y'+.!v " 176 •

~.

(Ah f, ::. ,'CJ,. V~ b (.:r,1.i) = (:T.t..

Si colocamos ~ = cte obtenemos una superficie ( ya que x, y, z queda­rían ligadas pudiéndose expresar una de las variables en función de las otras dos) y similarmente V =cte, W =cte. representan superficies; para diferentes valores de las constantes obtenemos tres familias de su-

• per:ficies las cuales nos ,"cuadriculan" completamente el espacio. Las coordenadas cartesianas de PI son ( xl. y;t~) y sus coordenadas curvilí­neas son ( ..-U-, v, u.J );las coordenadas de ?"?. son: ( x'Z., J~J ~l. )

Ó (....u. + du, v, UJ ), las de 'P3 son ( X3, J".},~) ) o' (...u., V+dv, 0 ) ylasde 'PI¡. son: ( xv-, J<;,?:¡<) ó(..u.,v,w+"<:tt.U);

el volumen del sólido :1',;b 7"PJl- .:PE -:P" :E:¡. :E e es aproximadamente igual al volumen del paralepípedo que ;¡asa por esos mismos puntos; esta aproxi­mación se convierte en igualdad si tornamos el elemento de volumen lo sufi­cientemente pequeño de modo que los segmentos curvilíneos se conviertan en segmentos de recta; pero el volumen del paralepípedo es igual al produc-to mixto:

Ahora:

v ::: t -

(X1..- Y I) ( +--. ( X3 -XI) i. + ( .tv.-~. ) T +

Xt -x, X3 -:i.¡

;i. t¡ - :XI

(1 ... -1.)T + (:z.l.-~\)lZ eh-JI.') T + ('b-'i,) -¡( l J' If- )') T + ( 7:. '+- 7: ,) '?

i! z.- =t:¡ ~3-~J

~ '1- -=t ¡

t-I

Pero : x,:::. eP, (lA., V, tAl»)

:('L = q, -r aq, " d Vl é)Lt. I

110

J, =- 4'L ( u.. 11 , LV) ,

:¿1.:c13+ -aq,.3,dc..L C>"L

;{. '3 = Q. + ac:j,. dV' ) I •

:h= <?&.+ d~"" dt..t, d~

tj ~::: cf'l. -+ ~ fl. d 11 I ::c. '3::' ~3 + arp3 d v

-"'>

av .x ~ = ~ I -t a ~I • el "" , '1 o.; :.

dIAl

a~, J~ ~~2- ~ 8\0(. 091-1.

¿JI dV a ~2. - dv o ev' ;;;11

dv:: ! e>d>J ti kJ él ~'Z. duJ -.;,:,¡,(} aw

CJ r} I :a ~'Z. -+ dUo du... - -

~cJl o~ . ay av

::JtPI arh •

avJ d W

C)V

q~ ~ é)CP1..duJ J

f:)uJ

, df?J.. dUo .dU

,;;) r}:3 d '{ •

El'"

:J 13 ciMJ ;)W

'2r ~3 " -. oLA..

C7(h :

-o€JV

?J.l é)w

• eJ.v = tI \ cUt. dv dMJ 11-10

c- TENSORES REIATIVOS

,

a" ~p.: cP3~~c}3dLu

• é)1() ,

';,

Existen cantidades cuya ley de transformación incluye el jacobiano del cambio de coordenadas elevado a una potencia entera. Un ejemplo es el determinante del tensor métrico g .. j' ; hemos visto que g"J" es un tensor doblemente covariante,por lo tanto al pasar de las coordenadas 'j t' a las .:t lO se transforma en ~II\~ según la ley.

11-11)

Esta ecuación se puede considerar como una igualdad de matrices si hace­mos variar i, j}c 1 en su rango; para realizar esto debemos colocar 11-n) matricialmente así:

o

11-12)

111

-

Si en la matriz el índice 1. corresponde a filas .y j a columnas en-

tonces en la matriz el índice i corre sponde a columna s ( la colum-

na i) Y en I el índice j corre sponde a fila s (la fila j); por lo tanto I ,

oJ' '"l [ -ox.' J es la transpuesta de r ~~~] ; en la ecuación 11-12 se efec-

túa el producto de [ ~ ~~~ 1 por la matriz producto [~,'.,j J . [ •

Por ejemplo en el espacio de 3 dimensiones 11-12 queda así:

I I

I

JI3 () dl1- oj' <>j: a'j3 áll ~ .. ~I'!- di) ;} JI a 'S ~ d ~' -a~' • ~Xl aL' -

I I j c3:t I d.l 1 d.x J

d~1 aU. ~~ - ~ll ~jl- 0:1 3

~\ ~21 ~l.3 ':1'- d:J 'Z. ,;)~~ - - • -ax'" é) Xl. .;>.x. '- • • I I -I d.x...\ () x'- ~.x.")

~31 ~~ ~33 ;)j? aj' ~)~ {J31 ~31. ~hJ - . dj~ ~ o- :j"?> ax3 0.1) ';.x:) • aX.' ¡;'Xl 0;:(3

•

112

1

Cada término la columna ~

d IC.t de (1) se obtiene de V por ejemplo:

multiplicando la fila k de II por

~2' dj' . 4- ~j? d'1~

G).::t.1. c9xJ ~31 ..... é)'j~ n"l. dn.

ax."L 8.x>

I

Y como dl'J = :!Jt' coincide este valor de d 23 mo el término (2 I 3) se la matriz [:1 K.E J .

con j 23 obtenido co-

Sabemos que el determinante de un producto de matrice s cuadradas es igual al producto de los determinantes de las matrices ¡ si aplicamos es ta regla dos veces sobre el producto matricial representado en 11-12 resulta:

Hemos dicho anteriormente que y [ son matrices

transpuestas, pero el determinante de una matriz es igual al determinan­te de su tranpuesta por lo tanto:

y resulta:

11-13:

I 1:> •

•

113

Concluirnos entonces que el determinante del tensor métrico ~~ (escri-to corno matriz) se transforma como un escalar pero multiplicado por el cua­drado del jacobiano de la transformación de coordenadas; decimos enton­ces que 3- (el determinante del tensor ;¡ I~_( ) es un escalar relativo de peso 2; de 11-13 obtenernos: \lW -:=.. ""J" J-t :11-13a) es decir la raíz cuadrada del determinante de <J 'jO es un escalar relativo de peso 1; ir.t:ooucimos el (érmino relativo para diferenciar estos escalares de los escalares absolutos; por ejemplo la temperatura en un punto de un cuerpo

• • se transforma al pasar del sistema coordenado;¡ 1. al sistema :x t según la ecuación: <f (:t") -=. § ( '1 '") es decir es un escalar absoluto ( o escalar relativo de peso cero! ).

Otro ejemplo de escalar relativo lo constituye la distribución de la den­sidad en un cuerpo; sea un cuerpo de masa M y densidad física ( masa/ volumen) f variable de punto a punto en general; si referirnos el cuerpo a las coordenadas cartesianas (llamémoslas j L' ), la masa del cuerpo se calcula a sí:

11-14)

Si referirnos el cuerpo al sistema curvilíneo X 1. el diferencial de vo­se transforma según 11-10) en el 11' =

siendo I rIel jacobiano de la trans-lumen J v d:{' cd '1"1.. d::r"}

\:r l. d:t.'. Ax. ... clX 3

formación o sea el determinante lo tanto:

con:

la densidad física

es un escalar absoluto o sea f{'f'j"t.'j J).= f (-x' ~1.X3) por lo tan-

to:

11-15)

Si en 11-15 considerarnos el producto d.::x.'. el. x'l... d. y'3 corno un supuesto diferencial de volumen,entonces r(~'xZX3) 1.T J ~s una distribución de densidad ( no la densidad física la cual es escalar abso­luta) y desde este punto de vis ta podernos decir que la dis tribución de den­sidad es un escalar relativo de peso - 1 ya que de 11,14 y 11-15:

, ~

114

,

Para generalizar podemos considerar ahora cantidades cuya transforma­ci':n (la de sus componentes) al pasar de un sistema coordenado a otro e~ similar a la de los tensores solo que introducen el jacobiano J" eleva­do a una potencia entera w ; estas cantidades las llamaremos tenso­res relativos (por oposición a los tensores absolutos) o también densi­dades tensoriales (por analogía al escalar relativo distribución de den­sidad) .

Por ej emplo, JI.: a '";L"o

si un conjunto de cantidades según la ley:

o

JIC. A ¡ se transforma al pasar de

decimos que las

son las componentes de un tensor relativo mixto (covariante de orden 1 y contravariante de orden 2) de peso W o

Es muy importante resaltar que toda la teoría desarrollada en 10.3 capítu­los anteriores no se aplica a los tensores relativos ya que en esos capí­tulos supusimos que la ley de transformación de las componentes ten­soriales no involucra al jacobiano; por lo tanto el tensor relativo no es un tensor en el sentido que le hemos dado a este término hasta el momen­to; solo cuando el peso ( uJ) es cero coincide el tensor relativo con el tensor absoluto y por lo tanto podemos con siderar los tensor ordinario.s ( d absoluto.scomo casos particulares de los tensores relativos).

D- ALGEBRA DE LOS TENSORES RELATIVOS

a) Suma y Resta: La suma de dos tensores relativos de igual número de índices covariantes y contravariantes y de igual, peso W es otro

tensor relativo de peso vJ o

o o

Por ejemplo, dados A~ /( J

8;~ entonces: l

I d x'4 A~'K A lv_ :r"' 3 x""'" O}'j~ P - p - - -d'ji 0':1" e; x. 1>

I (} \(" .

:r w óx«¡ _ oX" ;;) 'j lO _ :i3 ~ ~ J3'f -- - . l d 'j.í C>'jl< e>X P -~

11S

. A

JI(

1 .¡.

•

B~" I

tensor relativo de peso

b) Producto exterior: el producto exterior de dos tensores relativos de pesos W, y W-z.. es otro tensor relativo de peso Wl + W"l. ;por

• JI. '"""" ejemplo, dados A~) B 1 entonces:

~/

Á 'l'" _ I "". a..x ~ d 2L '1" d 'j~' A t f d'ji ~~; a;-..

13~ = J~1. ax~ ~lp.. B;' é) :1'''''' ~ x. >

A Jl" 1'< 1;;> 'W\ .. 1 • -LJ R tensor relativo de peso tU. -t \..I.It Y orden

covariante y contravariante igual a la suma de los respectivos órdenes de i!( """ A ¡' y B!(

c) Contracción: si se iguala un índice covariante con un índice contra­variante de un tensor relativo de peso LV y orden covariante..s y contravariante y- obtendremos otro tensor relativo de peso LJ y órdenes covariante y contravariante (..$- J ) Y ( y- - 1) respectiva-mente; por ejemplo, dado A l~' tal que "

A' tl ~ - w .. a::1 ~ ~ ~ J~ i1 x p. A (~ 'YYI ,., J ~ ::t 'Y'I'\ a .::C'" ¿;¡:) '" J

si igualamos tendremos:

i Y k Y sumamos sobre este índice mudo , 1 ob--

t

A':M =. :r \Al ~j l: d ':1J~

~x""'" ox"" pero :

I \'

Af'Mrn = y ¡>

~ 'W\ ::. I para m = i

sor relativo ) por lo tanto

de peso uJ , orden covariante 2 -1 = 1

(

A ,-j' es un ten-y orden contrava-

116

riante 1-1= O es decir es un vector covariante Aj'.

d) Producto interior: si efectuamos el producto exterior de dos tenso­res relativos de pesos uJ I Y (lj 1. Y de órdenes covariante y con­travariante Y, J~ ¡ Y Yl, S 1. Y luego igualamos un índice cova­riante de este tensor producto con uno de sus índices contravarian­tes obtenemos un tensor relativo de peso wl -lo W-z. y órdenes cova­riante y ca travariante ( y, .... 'Í'1. -1 ) Y (5, +.h - I ) respectiva­mente; esto se deduce directamente de los dos puntos anteriores.

e) Obtención de un tensor absoluto ( uJ:: o ) a partir de un tensor relativo. Dado un tensor relativo de peso uJ, si multiplicamos ca­da componente de este tensor por cualquier escalar relativo de peso 1 elevado a la (- w ) potencia obtendremos un tensor absoluto; demostremos esta importante propiedad.

Sea B un escalar relativo de peso 1 , esto quiere decir que si en las • • I

c~ordenadas JL el escalar vale B, en las :XL v':lle .13 de modo que 13:: -:r B ; elevando a la W potencia re sulta: 11-16) : :By) =- -:r\AJ 13 w ; ahora supongamos que tenemos un tensor relativo A ~f

de peso uJ , esto quiere decir que sus componentes se transforman .-

aSl: ;J 'j t'

-

Multiplicando ambos lados de es ta ecuación por ,J3~....v y pasando :::rw a la izquierda del signo igual obtenemos:

B~L.fJ I

K a-w t a.:x t ~ '1 L' •

Ay~ - C> :JJ A .. - . - --w .;> ~ )( ax"" a.x j I.j J

J3-w I

Pero de 11-16: :B LV por lo tanto: • ~ --.::yi.U

( 8-w A~j ) ayt: , • (B-WAl~') - a 'j t ;;; 'jJ

- - , •

a '1" ax"" a.:t J

-uJ A K esta ecuación nos dice que -J3 tJ" es un tensor absoluto ya que no aparece en su ley de transformación (o mejor aparece

.::r a la potencia cero).

Como ya conocemos (ver ecuación 11-13 a) un tensor relativo de pe-

f)

117

so 1 podernos utilizar V1- para obtener tensores absolutos a partir de los tensores relativos; por ejemplo si A:)· es un tensor relativo de peso vJ entonces el conjunto de cantidades (Vfi. )-W Al} o sea <r"i'i. A~<' es un tensor absoluto 13; .. Propiedad fundamental de los tensores relativos: análogamente a lo visto en el capítulo VII sobre tensores absolutos podernos afirmar aquí que si un tensor relativo se anula para un sistema coordenado

~ e se anulará también para cualquier otro sistema o .:z L: que se pueda relacionar con el 'j lo: por medio de ecuaciones del tipo 3-1; corno consecuencia de lo anterior se puede decir que si dos tensores relativos de igual peso y número de índices covariantes y contrava-

• riantes son igu~les en un sistema 'j L. serán también igu~les par~ to-do sistema .x'; por ejemplo si en jL se cumple que A LJ -=- ELjo

~ '1< 't(

entonces en XL se cumple A t'.{ -:.. Bc') esto es cierto ya que A~o-13IJ se anula en J /.: y por lo tanto' también se anula en :Xl.. •