Tema2. Funciones Inversas Trigonométricas e Hiperbólica

Profa.Thania González 1


El término función inversa supone que la función

que se estudie sea uno a uno. En el caso de las

seis funciones trigonométricas que se ha

estudiado no cumplen con esta propiedad, debido

a que son periódicas y como se sabe el criterio de

la recta horizontal corta a las gráficas en infinitos

puntos.

Consideraciones previas

Función seno

Para la función f(x) = sen x

Dom f = [-/2, /2]Ran f = [-1,1]

Para determinar el dominio de la función de f, se le restringe en un dominio.

Criterio de larecta horizontal


Función seno inverso (sen-1)

Dom f -1 = [-1,1]Ran f -1 = [-/2, /2]


Función coseno

Para la función y = cos xDom f = [0, ]Ran f = [-1,1]


Criterio de larecta horizontal


Función coseno inverso (cos-1)

Para f(x) = cos x, para 0 ≤ x ≤

Tenemos f -1(x) = cos-1(x) = arccos x

Dom f -1 = [-1,1]Ran f -1 = [0,]


Función tangentePara la función y = tan x Dom f = (- /2, /2)

Ran f = (-,+)


Criterio de larecta horizontalCriterio de larecta horizontal


Función tangente inversa (tan-1)Para f(x) = tan x, para -/2 < x < /2.

Tenemos f -1(x) = tan-1(x) = arctan x

Dom f -1 = R

Ran f -1 = (-/2, /2)Profa.Thania González 8

Encuentre sin calculadora el valor exacto de:

2

1sen1) 1

3

3tan2) 1

2

1arcseny

definiciónPor

2

1ysen

En el intervalo elValor correcto de y es

2,

2

6

6

Ejemplos. Evaluación de las funciones Trigonométricas inversas


Composición de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas

Las ecuaciones siguientes son siempre verdaderas,si están definidas:

xx ))(sen(sen 1

xx ))(cos(cos 1

xx ))(tan(tan 1


Composición de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas

Las siguiente ecuaciones sólo son verdaderas para valores de xen el dominio restringido de sen, cos y tan:

xx ))(sen(sen 1

xx ))(cos(cos 1

xx ))(tan(tan 1


Ejemplos. Resolución de una ecuación

2

1)-arcsen(3x1)

2

1)-arcsen(3x sensen

2

13 senx

Despeje x:

32

1

sen

x

027.1x

xarcos2xarcsen2)

xarsensen cos2xarcsen

xx 12

xx 12

3

1x


2arcsenxy)1

22

2

x1

'x'y

4x1

x2'y

2u1

uyarcsenuy

x212 cosxy)2

x22

x22 arccos'x'arccosx'y

2u1

uyucosarcy

v'u'vu´yvuy

x2

2

x2

x2

2 arccosx21

'x'y

x2

2x

4

1

2 arccosx21

'x2x'y

x

x

xx

xxxy 2

2

42

11

2

212

arccos'

'

x2

2x

42x

2

2 arccosx2x2

x'y

'unu´yuy 1nn

x2

2x

42xarccosx2

2'y

x

2

2arccos

4x

1x2'y

x2

2arccosx2

4x

x2'y

x2

2

x1

arccosx24x

2'y

x2

2x

42x2

2 arccosx2x

2x'y

Profa.Thania González17


dxx

xsen

2

1

0

21

1

1)

2

21 2

1

0

xsen

2

1

1 x

dxdv

xsenv

2

1

2

1

0

2

1

2

1sensen

dx

x

xsen2

1

1

dvv

Cv

2

2

2

2

0

42

1

162

12

3080

32

12 ,

2u1

uyarcsenuy

162

4

2xx

dx) 2

23

xx

dx)

162xx

dx41

0,sec1

22

aC

a

uarc

aauu

du

Csecarc 4x

41

41

Csecarc 4x

161

2

212

212x2x

dx

41

412x2x

dx

412

41x2x

dx

47

41x2x

dx

472

21x

dx

0,arctan1

22

aCa

u

aua

du

C

x

27

21

1 arctan27

C

x

27

212

7

2 arctan

Carctan7

1x272

dxdu

xu

xu

21

2

212

22 au

du

27

472

a

a

dxdu

xu

xu

22

4

162

a

a

224

1

auu

du


21

dxx

xxx

1

3434

2

23

)

1

443

2x

dxdxxdx 4

4

4

33

43

1343

2

3

223

4x

2

x

xx

xxxxx

dxx

x

1

443

2

dxdu

xu

xu

22

1

12

a

a

22443

au

dudxxdx

Cuxx 12 tan442

3Cxxx 12 tan44

2

3

Profa.Thania González


dxx

x

9

725

2)

xdxdv

xv

2

92

dxx

dxx

x

9

7

9

2

22

9

72x

dx

v

dv

dxdu

xu

xu

22

3

92

a

a

22

7

au

du

v

dv

Ca

u

av 117 tanln

Cx

x

33

179

12 tanln

Cx

x

33

79

12 tanln

0,arctan1

22

aCa

u

aua

du


dxxx

x

8412

456

2

)

dxxdv

dxxdv

dxxdv

xxv

)(

)(

)(

64

2

642

128

81242

8124

54

2 xx

x

22

2

1

2

1

2

1

ua

dudvv

dxdu

xu

xu

2

3

2

32

2

2

1

4

12

a

a

8124

1154

2 xx

x

8124

164

2 xx

x

dxxx

dxxx

x

8124

1

8124

64

22

dxxxv

dv

8124

122

2

1

dx

xv

dv

2

2

1

2

3

4

14

1

2

1

Ca

usen

v 1

21 2

1

2

1 21

Cx

senxx

2

1

2

3

12

2

18124

Csenxxx

2

1

2

32

12

2

18124

Cxsenxx 32

2

18124

12

0,22

aCa

uarcsen

ua

du

Ca

usenv 1

2

1

1

2

2

121


81242 xx

)( 2342 xx

22

2

2

3

2

3)23(4 xx

4

92

4

934

2 xx

4

1

2

34

2

x

4

1

2

34

2

x

2

2

3

4

14 x


dxxx

x

343

17

2)

dxxdv

dxxdv

dxxdv

xxv

)(

)(

)(

23

2

232

46

3432

dxdu

xu

xu

3

2

3

22

2

3

5

9

52

a

a

Ca

u

av

11

9

1

6

1tanln

dxxx

x

343

1

3

3

2

dxxx

x

343

33

3

1

2

dxxx

x

343

1133

3

1

2

dxxx

x

343

123

3

1

2

dxxx

dxxx

x

343

1

3

1

343

23

3

122

3433

1

3

1

2

2

xx

dx

v

dv

9

5

3

23

3

1

2

1

3

12

x

du

v

dv

22

3

1

3

1

6

1

au

du

v

dv

Cx

xx

3

5

3

2

1

3

5

21

9

1343

6

1tanln

Cxxx

3

5

3

23

12

5

3

9

1343

6

1tanln

Cx

xx

5

23

53

1343

6

112 tanln

Cx

xx

5

23

15

5343

6

112 tanln

0,arctan1

22

aCa

u

aua

du


3432 xx

)( 133

42 xx

2

34

2

34

342

22)1(3 xx

9

41

9

43

3

42 xx

9

5

3

23

2

x

22

342

3

2

3

2)1(3 xx

2x5echcosy)1

'x5echcosx5echcos'y 2121

2

21

21

2x5echcosy 'unu´yuy 1nn

'x5echcosx5echcos'y 221

2

21

ucothuechcosuyuechcosy

22221

2

21 x5cothx5echcos'x5x5echcos'y

2221

2 x5cothx5echcosx5x5echcos'y

2121

2 x5cothx5echcosx5'y


xtanh

x)x(f)2

2

2

xtanh

xhsec'xxxtanh1)x('f

2v

'vuv'u´y

v

uy

uhuyuy 2sec´´tanh

2xtanh

'xtanhxxtanh'x)x('f

22

xtanh

xhsecxxtanh)x('f

221221

2

21 x5cothx5echcosx25x5echcos'y

221



dxxx 312cosh) xdxtanh)2

uducosh21

3xu 2

dxxcosh

senhx

xdx2du

xdxdu21

Cusenhduu cosh

Csenhu21

C3xsenh 2

21

xcoshu

senhxdxdu

u

du

Culn

Cxcoshln

usenhuyuy ´´cosh

xdxx 32cosh

duu2

1cosh


xdxxsenh 23

3 cosh)

xcoshu

senhxdxdu

Profa.Thania González

dxsenhxxsenh 22 cosh

xdxsenhx 22

1 coshcosh

dxxsenhxxsenhx 222 coshcoshcosh

dxxsenhxsenhx 24 coshcosh

dxxsenhxdxsenhx )(coshcosh 24

duuduu 24

Cuu 35

3

1

5

1

Cxx 35

3

1

5

1coshcosh

35

3xxsenh)x(g)1 21 xcossenh)x(f)2 1

1xcos

'xcos')x(f

2

v'u'vu´yvuy

3xsenh'x'3xsenhx)x('g 2121

3xsenh)1(x)x('g 21

12

32x

'32x

1

´'

2

1

u

uyusenhy

3xsenhx)x('g 21

192x64x

x2

3xsenh)x('g 21

102x64x

2x2

1

´'

2

1

u

uyusenhy

1xcos

senx')x(f

2


2x4

dx)1 36

22

xx

dx)

Csenh 2x1

Cx4xln 2

2

262

26

362 xx

dx

9936

2 xx

dx

93962 xx

dx

6962 xx

dx

62

3x

dx

Ccosh6

3x1

Cxx 6332

ln

C)auuln(

Ca

usenhdu

ua

1

22

1

22

C)auuln(

Ca

ucoshdu

au

1

22

1

22

C69x6x3xln 2

C3x6x3xln 2

dxdu

xu

xu

3

322

6a

6a2

22 au

dx

22 ua

du

dxdu

xu

xu

22

2

42

a

a


3

22 5x12x9

dx)3

3

22

99 5x12x9

dx

3

295

9x12

9

2x99

dx

3

295

3x42x3

dx

3

22

2342

234

95

3x42x

dx

3

1

3

22

322

32

95

3x42x

dx

3

1

3

294

94

95

3x42x

dx

3

1

3

294

95

94

3x42x

dx

3

1

3

22

32 1x

dx

3

1

3

22

21

342

21

34

95

3x42x

dx

3

1

C)auuln(

Ca

ucoshdu

au

1

22

1

22

3

2

32

1

1

xcosh

3

1

1

2cosh

1

3cosh

3

1 32

132

1

341

371 coshcosh

3

1

7954,04909,13

1

6955,03

1 2318,0

dxdu

xu

xu

32

2

322

1

12

a

a

22 au

du

3

295

3x42x9

dx

3

295

3x42x

dx

3

1


Tema2. Funciones Inversas Trigonométricas e Hiperbólica

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