a Financier A Interes Compuesto

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Módulo 1

MATEMÁTICAFINANCIERA

¨Módulo. MATEMÁTICA FINANCIERAEdicion No. 2

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2 MATEMÁTICA FINANCIERA

IntroducciónObjetivoGeneralEspecificoAuto evaluaciónConceptos Generales Definiciones GenéricasInterés simples Interés compuestoLínea de tiempoAmortizaciones1. Problemas de Interés Simple

Problemas Resueltos 2. Problemas de Descuento 3. Transformación de Tasas 4. Problemas de Interés Compuesto 5. Problemas de Anualidades Vencidas 6. Problemas de Anualidades Anticipadas 7. Problemas de Anualidades Diferidas 8. Problemas de Rentas Perpetuas 9. Problemas de Amortización 10. Problemas de Fondo de Amortización 11. Bibliografía

CONTENIDO

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MATEMÁTICA FINANCIERA

Introducción

La matemática financiera es un conjunto de herramientas propias de finanzas, necesarias en la operación y en las decisiones de los negocios, y en particular en la actividad que a diario enfrentan los ejecutivos y empresarios.

En consecuencia, deben ser estudiados por quienes tienen a su cargo la elabo-ración, evaluación y dirección de planes financieros, así como de aquellos que por profesión se enfrenta constantemente, a aconsejar a clientes o a tomar decisiones sobre el dinero, si desean acertar en su gestión .

El éxito de este curso radica en obtener claridad sobre los conceptos básicos, poder representar gráficamente el problema o la situación planteada adaptar las cifras conocidas a una formula básica y sencilla, y proceder a resolver los interrogantes con el uso de cualquier tipo de calculadora o computador.

Después de ese instrumental o matemático, debe analizarse y evaluarse el resultado o respuesta obtenida, antes de tomar la decisión definitiva.

Recuerde: la matemática financiera es un medio, el fin es tomar decisiones en forma oportuna y confiable.


OBJETIVOS:

GENERAL: Desarrollar habilidad para reconocer los parámetros y principios fundamentales en que se basan la matemática financiera, en especial el valor del dinero en el tiempo, y ser capaz de resolver las situaciones de tipo financiero con las herramientas brindadas.

ESPECIFICOS:- Interpretar el significado del valor del dinero en el tiempo, y el principio de equivalencia.

- Manejar el concepto de interés y rentabilidad y poder determinar los parámetros involucrados y su aplicación a operaciones bancarias corrientes en pesos.

- Calcular las transformaciones y equivalencias de las tasas de interes nominales y efectivas.

- Calcular rentabilidades para los diferentes activos financieros del mercado colombiano.

- Desarrollar la habilidad en el manejo de calculadoras financieras o cualquier otro tipo de calculadora, que el asistente tenga de uso diario.

AUTOEVALUACIÓN INICIAL:1. Un pagare cuyo valor para dentro de 2 años es de $700.000.00, se compra hoy por

$402.000.00. Si el comprador tiene una tasa del 37% anual efectiva para sus inver-siones, cuánto ganará o perderá el comprador dentro de 2 años al hacer esta inversión? Graficar.

2. Cuantos años se requiere para que:

- Una inversión de $120.000.00 se convierta en $186.000 con una tasa de interés del DTF?

- Una inversión de $100.000.00, Se convierta en $234.000.00 con una tasa de corrección Monetaria e interes del 3% nominal anual M.V.?

3. Hace un año la acción del Banco de inversión se cotizaba en bolsa $23.60. hoy en día se cotiza a $ 32.14, durante ese año se ha pagado un dividendo de $ 0.25 mensual por acción. Cuál es la R.E.A?

4. Qué es mejor: invertir una suma de dinero en una compañía que propone duplicar el dinero al cabo de 15 meses? o invertida en una cuenta de ahorros que paga el 4.73% mensual?

Si usted esta en capacidad de resolver acertadamente todos estos ejerci-cios, (en un tiempo inicial de unos 10 minutos ) no necesita participar en este curso ni estudiar esta cartilla . FELICITACIONES!

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CONCEPTOS GENERALES

DEFINICIONES GENERICASAntes de entrar a efectuar cálculos y realizar operaciones, o pretender aplicar fórmulas se debe tener muy en claro, el significado de algunos conceptos básicos, que se utilizan en la solución de todos los problemas de matemáticas financieras.

De ahí la necesidad de entender bien sus principios y fundamentos, puesto que su aplicación deficiente nos conducirá a errores que en muchas ocaciones, afectarán negativamente la imagen que el cliente tiene sobre su negocio o la entidad para la que ud. trabaja.

El concepto fundamental de las Matemáticas Financieras, es el valor del dinero en el tiempo El dinero tiene un valor dependiendo de la fecha en que se considera. Así, la preocupación básica es relacionar en todo momento las magnitudes o cantidades, con la fecha.

Por ello, debemos fijarnos como norma , que en toda información financiera debe indi-carse o identificarse con facilidad , si es un ingreso o egreso, además de su cantidad y la fecha en que ocurre el ingreso o egreso, en otras palabras siempre debemos indicar el cuánto y el cuando.

Podemos conconcluir entonces que como el dinero tiene un valor diferente según el tiempo en que se realiza su desembolso, nunca podemos sumar o restar pagos de diferentes fechas.

INTERESES: Es el precio que se paga por el uso del dinero, un periodo dado, Puede definirse también como la unidad o ganancia que genera un capital o como la rentabilidad de una inversión.

Sigla: I

Hay quien considera que siempre hay dos caras de un préstamo o inversión: la de quien coloca el dinero y recibe a cambio el interes, y la de quien lo toma, que paga el interés o sea su costo . Para este ultimo su sigla será “C”

TASA DE INTERESEs la relación resultante entre el valor recibido, la cantidad prestada y generalmente se usa en relación como una base de 100, por lo que se manifiesta como “por cien-to” o “porcentaje”

Sigla: ¡% ó ¡p

El subíndice “p” se refiere al período en consideración, que bien podría ser “m” para mensual, “s”para semestral ,etc.. Se lee entonces como la tasa de interés periodístico.


VALOR PRESENTE Es la cantidad inicial de dinero que se entrega o que se toma en préstamo. Es el capital.

Sigla: VP

VALOR FUTUROEs el valor resultante en el tiempo de juntar el capital inicial y los rendimientos generados

Sigla: VF

TIEMPO PERIODO Intervalo de tiempo durante el cual se gana el interés o en el cual tiene lugar la operación financiera

Sigla: N

REPRESENTACIÓN GRAFICA:Todos los problemas de matemáticas financiera, es posible graficarlos. La representación gráfica de la información, es la que se denomina líneas de tiempo, y como en ellas lo que se registra es el momento y cantidad en que el efectivo ingresa o sale, y podemos hablar entonces del diagrama o grafica del FLUJO DE CAJA.

Vale entonces resaltar que como las matemáticas financieras se basan en el manejo de efectivo, no de la causación contable, el resultado, análisis y la cantidad de la decisiones tomadas, serán tan buenos como buena sea la información básica considerada .

En una recta horizontal se presenta las fracciones de tiempo, los ingresos con una flecha hacia arriba y los egresos con una flecha hacia abajo.

EJEMPLO:Compramos un taxi usado por $ 5.7millones, al mes gastamos $ 250.000 en repara-ciones el vehículo lo tenemos en servicio durante un año, pagando por combustible $ 60.000 mensuales y recibiendo del servicio $ 280.000 mensuales.Al fin lo vendemos en $ 6.000.000.Interes del 32%.Identificar: ip , VP, VF ,N Ingresos y egresos gratificar flujo de caja

SOLUCION:Primero: Identificación de variables: VP =$57.00.000 N = un año =12 meses ip =2% mensual Egresos: $ 5.7 MM periodo 0 $250.000 periodo 1 $60.000 periodos 1 al 12

Ingresos: $280.000 periodos 1-12 $6.0MM Periodo 12

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Segundo: Solución gráfica 6.000

280Ingresos

ip =2% MV60

5.700

Egresos

0

Antes de dar unos conceptos vamos a nalizar la conversación que sostiene Diego y Richard veamos :

Richard : Diego necesito que me hagas el favor y me preste $ 1.000000.

Diego: Richard yo los tengo disponible pero los voy a invertir en un banco que me ofrece un interes del 30% anual

Richard: por que no me los prestas y yo te pago lo mismo que te ofrece el banco

Diego : observa lo siguiente: por cada $100 que yo invierta, el banco a la vuelta de un año me entrega $130. estos $ 130 son los 100 iniciales mas $30 por concepto de intereses. Si tu estas dispuesto te presto el dinero.

De acuerdo con la situación anterior nos damos cuenta que Diego que es el prestamista (aquel que ofrece sus fondos al sacrificarlos prestando su dinero) obviamente recibe una compensación al cobrar un interés.

Richard que es el prestario (es el que demanda los fondos ) está dispuesto a pagar un precio por el préstamo o sea $30 de interés por cada 100 que le presta Diego. En otras palabras esta pagando un 30 por ciento en el año (30% anual).

Con base en esto podemos decir que:


El interés es el precio por el cuál se presta el dinero. Inicialmente hablamos de $ 1.000.000 pero hacer el análisis con $100 es equivalente. En este caso $30 es el interes que se va a ganar Diego en 1 año.

Si denotamos a I = interés, entonces I = $30

Los $100 son el valor que se van a invertir y lo vamos a llamar valor presente deno-tado por P. O sea que P = $100.

A l cabo de un año Diego recibe $ 130 que son sus $100 más el interes ($30). A este valor final (acumulado) lo vamos a llamar valor futuro y lo denotamos por 1 entonces:

F =100x 30 = F = $ 103

En términos generales: F = P + I

De tal forma que I = F - P

Como Richard pagó $30 en un año por $100 prestados quiere decir esto que Diego le cobró una tasa de interés del 30% anual.

¿Como se pudo obtener esta tasa de interés?

R/ Si i = tasa de interés Entonces: i = 30 30% 100

Términos generales: i =

Ahora, el tiempo por el cual se hizo el préstamo fue de un año .

INTERÉS SIMPLESupongamos que se tienen $ 100 para invertir a una tasa del 3% mensual.

Si este 3% mensual es simple esto indicará que cada mes se obtendría un interés De $3. De tal forma que el interés se obtendría con base en capital inicial

¿Cómo se obtuvieron los $3?

R/ los $3 se obtuvieron multiplicando el capital por la tasa de interés que es del 3% o sea : $3 = $100*(3/100).

¿Cuánto se tendría acumulado por concepto de interés en un año?

R/ Como cada mes se ganan $3 de interés, entonces se debe multiplicar este valor por los 12 meses del año.

p I

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Si llamamos I = interés, entonces:

I = $3 x12 1= $36 o de otra forma:

Tasa de interés

I = 100 x 3 x 12 Número de periodos 100

En términos generales si:

P = inversión inicial i = tasa de interés; n = Número de periodos

Entonces: I = P. i. n

Ahora , si queremos calcular el valor futuro, o sea el valor presente, más el interes entonces en el ejercicio nos quedaría así

F =100 + 36 F = 136 ó F = 100 + ( ) F = $136

Y en términos generales:

F = P + P.i.n F = P (1+ in) Esta expresión sirve para hallar el valor futuro de una inversión a interés simple

De aquí podemos despejar p y nos daría

P = F

1 + in

Debemos tener en cuenta lo siguiente:

Para utilizar las expresiones anteriores es importante que tanto la tasa de interés (i) y el número de periodos (n) sean constantes. O sea si (i) es mensual entonces (n) debe estar dado en meses. Además si el valor de i esta dado en porcentaje lo debemos dividir entre 100 (si i = 3% -3/100 = 0.03).

Retomemos el ejercicio inicial:Si usted tiene $100 y los invierte a una tasa del 3% mensual simple, ¿Cuánto tendrá acumu-lado en el 1 año?

R/ Si utilizamos la expresión: F = P (1+in)

P = 100 i = 3% i = 0.03 n = 12 meses, entonces:

F = 100 (1+ 0.03*12) F = 100 (1.36) F = $136

3 12


Como obtuvimos una utilidad de $ 36 en un año habiendo invertido $100 entonces podemos concluir que se obtuvo una rentabilidad del 36% anual.De tal forma que hablar del 3% mensual simple es equivalente al 36% anual simple.

Esta equivalencia se da ¡SI EL INTERÉS ES SIMPLE!

36% anual simple 3% mensual simple

O sea que cuando tratamos interés simple se puede dividir la tasa de interés por un factor (o número) para reducirlo. Por ejemplo:

a). Si tenemos 40% anual simple y dividimos entre 4 lo convertimos en 10% trimestral simple.

40% anual simple 10% trimestral simple

EJERCICIOS RESUELTOS1. Si usted tiene $ 2.000.000 y lo invierte al 38.4% anual simple. ¿Cuánto se obtendrá por

interés al cabo de un año y medio?

R/ P = 2.000.000: I = 38.4% anual I = 38.4/12 = 3.2% mensual

n = 1.5 años n = 18 meses, entonces:

Si I = P.i.n = I = 2.000.000 (0.032) (18) I = 1.152.000

I = UP x ip x N

Hemos determinado la tasa de interés mensual y el valor de n lo convertimos en meses.Podríamos haber dejado la tasa de interés anual y el valor de n en años, así:

I = P.i.n I = 2.000.000 (0.384) (1.5) I = $1.152.000

2. En el ejercicio anterior ¿Cuánto se tendrá acumulado en año y medio?

R/ Sabemos que F = P + 1 F = 2.000.000 + 1.152.000

F = $3.152.000 Valor acumulado

Otra forma:

F = P (1 + in) F = 2.000.000 (1 + 0.384 x 1.5) F = $3.152.000

3. Cuál debe ser el capital que colocado al 12% semestral simple durante 3 años pro-duce un interés de $2.160.000?

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R/ Aquí I = 2.1600.000 n = 3 años; i = 12% semestral: P =? n = 6 semestres

Como I = P.i.n 2.160.000 = P (0.12) (0.6) P = $ 3.000.000 I = vp x ip x N

I= P / [0.12 * 0.6] = I = VP I * n4. Cuánto se debe depositar hoy a una tasa del 4.8% bimestral simple para poder reti-

rar en 2 años la suma de $5.000000.

R/ p = ? I = 4.8% bimestral n = 2 años n = 12 bimestres F = $ 5.000.000

Si F = p (1 + in) 5.000.000 = p / (1 +0.048 x 12) p = 1.576

P = $3.172.589

5. ¿Que tiempo se requiere para que $1.500.000 invertidos al 3% mensual simple se convierta en $2.193.000?

R/ n = ? p = 1.500.000; F = 2.193.000 i = 3.3% mensual Si F = p (1+ in ) 2.193.000 = 1.500.000 ( 1+0.033n )

2.193000 = 1+0.033n 1+0.033n = 1.462 - 1 0.033n = 0.462

1.500000

n = n = 14 meses

6. ¿Que tiempo se requiere para que un capital se duplique, si este se invierte al 27.5% anual simple?

R/ n = ? p = ? i = 27.5% anual F = 2p

Si F = 2p = ( 1+in) 2p = p (1+ 0.275n) = 1 + 0.275 n 2 = 1+ 0.275n 1 = 0.275n n = n = n = 64 años

la respuesta anterior esta dada en años y la podemos convertir en años, meses y días, así: 3.64 años 3 años + 0.64 años

¿0.64 años equivalen a cuantos meses?R/ Para hacer esto debemos tener en cuenta lo siguiente : si una cantidad inicial se multiplica por 1 esta no se altera puesto que el ultimo número 1 es el módulo del producto.

5.000.000

P =F

(1+i.n)

0.4620.033

10.2753

2P

P

n = 3.636 años


Ejemplo:

Si tenemos a a* 1 = aAhora si tenemos 0.64 años, podríamos multiplicar por 1 así:

0.64 x = 7.68 meses 1años

O sea que 0.64 años 7.68 meses, entonces:

7.68 meses 7 meses + 0.68 meses

Ahora para pasar 0.68 meses a días hacemos lo siguiente :

30 días0.68 meses x = 20.4 días = 20 días en conclusión 1mes

3.64 años 3 año . 7 meses y 20 días

7. ¿Que tasa de interés trimestral simple me incrementa una inversión en un 43.2% al cabo de año y medio?

R/ Como nos piden la tasa de interés trimestral entonces reemplazamos el valor de n al cabo de año y medio?

43.2P =? F = p + p F = p +

4.32 x p F =1.432P

100

i =? n = 1.5 años n = 6 trimestres

Si F = p (1 + in) 1.432p = p (1 +6i) 1.432 P 1.432 - 1 = 6i i = i = 0.072 * 100 i = 7.2 %

i = 7.2 % trimestral simple

INTERÉS COMPUESTO

Cuando tratamos interés simple dijimos que el interés que se ganaba en cada periodo, se obtenía de la inversión inicial, situación que ocurre en el interés compuesto.¿Qué significa eso?

12 meses

P= 1 + 6 i

0.4326

100

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3 100

Ejemplo:Si usted tiene $ 100 y los inviertes al 3% mensual es equivalente al 3% mensual compuesto (en lo sucesivo hablar del 3% mensual es equivalente al 3% mensual compuesto). Dentro de un mes usted tiene $ 3 por concepto de interés, de tal forma que el valor acumulado es $ 103.

Cuando se va a calcular el interés para el segundo mes se hace con base en lo que se tenga acumulado en al primer mes (o sea $ 103)Esto indica que se ganarán un poco más de $3. ¿cuánto?

R/ Veamos:¿cuál es el 3% de $103?

R/ (103) = $ 3.09

O sea que para el segundo mes se tiene 103 +3.09 = $106.09Cuando se vaya a liquidar u obtener el interés para el tercer mes lo debemos hacer con base en lo que se tenga acumulado en el segundo mes (o sea $ 106.09) y así sucesivamente.Osea que en otras palabras la diferencia que existe entre interés simples y compuesto es que cuando se hace una inversión a interés compuesto los intereses ganan interés debido a que en cada periodo estos se agregan al capital y con base en el valor acumulado se calcula los intereses del próximo periodo.Cuando el interés se agrega al capital se dice que el interés se capitaliza. O también que los interés se reinviertan.En conclusión un interés compuesto se reconoce interés sobre los interéses ganados por la inversión inicial y esto no ocurre con interes simple.

FORMULA DEL INTERÉS COMPUESTO Antes de conocer la formula para interés compuesto es conveniente saber con que notación vamos a trabajar; puesto que es la que llevaremos de aquí en adelante.

NOTACIÓN:

P :Inversión inicial (Valor actual ó presente ) I : Tasa de interes porperiodoN :Número de periodo F :Saldo ó monto compuesto (valor futuro ), valor presente más interes compuesto.

Ejemplo : Supongamos que una persona hace una inversión inicial de p =$ 500.000 a una tasa de interés del 3% mensual. Cuando tendrá dentro de 6 meses ?Como no tenemos una formula para hallar el valor futuro(o sea los $500.000más los interes) a los 6 meses; hagamos el análisis mes a mes.


Hoy = 500.000

1mes 500.000 +500.000 (3/100) = 515.000

2mes 515.000 +515.000 (3/100) = 530450

3 mes 530.450+530.450 (3/100) = 546.363,5

4mes 546.363,5 + 546.363,5 (3/100) = 562.754,40

5 mes 562.754,40+562.754,40(3/100) = 579.637,04

6 mes 579.637,04 +579.637,04 (3/100) = 597.026,15

Haciendo este seguimiento nos damos cuenta que si se invierte $500.000 (hoy) a una tasa de interés compuesto del 3% mensual, dentro de 6 meses se tendrá $597.026,15¿Qué hubiéramos hecho si nos piden este valor pero dentro de tres años (36 meses)?

Tendríamos que elaborar una tabla para 36 meses, y esto resultara muy largo. Preguntémonos entonces. ¿Habrá alguna expresión que me permitía conocer el valor futuro dado un valor presente un número de periodos y una tasa de interés por periodo?

Supongamos que una persona hace una inversión inicial p a una tasa de interes por periodo i. Cuanto tendrá dentro de n periodos ?

Para el caso anterior (el de los $50.000 ) la tasa de interes era mensual, y es por eso que el análisis lo hicimos mes a mes . Para este caso como la tasa de interés es por periodo, hacemos el análisis cada periodo:

Hoy: p1- periodo p +pi = p(1+i)2- periodo p(1+i)+p(1 +i)i = p(1 +i)(1 +i) = p(1+i)23-periodo p(1 +i)2 p(1 +i)2i = p(1 +i)2(1+i) = p (1 +i)34- periodo p(1+i)3 +p(1+i)3 i = p(1+i)3(1+i) = p(1+i)45- periodo p(1+I)4 +P(14+I)4 i = p(1+i)4 (1+i) = p (1+i)5

n periodos p (1+i) n-1+ p (1+i)n-1i = p(1+i)n-1 (1+i) = p(1+i)n

Haciendo este seguimiento nos damos cuenta que el valor futuro(F) viene dado por la siguiente expresión :

F = p (1+i)n De acuerdo con esto podemos dar la siguiente definición:

DEFINICION : Si se invierte una cantidad inicial (p) a una tasa de interés por periodo (i ) entonces : el valor futuro ( f) dentro de ( n) periodos vendrá dado por la siguiente expresión:

F = p (1+ i)n formula de interes compuesto

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De la expresión anterior es importante tener en cuenta lo siguiente :

El valor de n y de í debe ser consistente , en el sentido de que cuando la tasa de intereses bimestral el número de periodos debe estar dado en meses, si la tasa de intereses bimestral el número de periodos debe estar dado en bimestre , etc.

NOTA: El valor de í se debe reemplazar en la formula en tanto por uno ; o sea que si tengo por ejemplo 5% =í debo dividir 5 entre 100 y reemplazaríamos 0.05 i.

Ejemplo:Se tiene una inversión inicial de $500.000 y se quiere hallar el valor futuro para el tiempo y tasa de interés dados a continuación:

a) Dentro de 6 meses: 3% mensualb) Dentro de un año y medio: 5% bimestralc) Dentro de 1 año: 8% trimestrald) Dentro de tres meses: 0.07562% diario e) Dentro de 3 años: 34% anual.

SOLUCIÓN:Para resolver nuestro ejercicio utilizamos la siguiente expresión F = P (1 + i) n

Donde el valor de p para cada caso es de $ 500.000. Lo que se debe tener en cuenta es que el valor de n debe ser consistente con el valor de í.

Caso: A

P = 500.000. í = 3% mensual n = 6 meses

F =500.000 (1+ 0.03) 6 F = 500.000 (1.194052) El ejercicio propone 6 meses F = $ 597.026,14

Caso: B

P = 500.000. í = 5% bimestral n = 1.5 años n = 9 bimestre

F = 500.000 . (1+0.05)9 F = 500.000 (1.05)9

F = 500.000 (1.551328 ) F = $ 775.664

Caso: C

P = 500.000. í = 8% trimestral n = 1 año n = 4 semestres

F = 500.000 (1+ 0.08)4 F = $ 680.244

Caso: D 0.07562P = 50.000. í = 0.07562% diario í = = 0.0007562 100


n = 3 meses n = 90 días

F = 500.000 (1+0.0007562)90

= 500.000 (1.0007562) 90 F = 500.000 (1.0703999)

F= $ 535.200

Caso :EP = 500.000 í = 34% anual n = 3 años n = 3

F= 500.000 (1 + 0.34)3

F= 1´203.052

LINEA DE TIEMPOLa línea de tiempo es una herramienta que vamos a utilizar en los problemas de tipo financiero. Esta consta de una línea horizontal donde se va a respetar el dinero a través del tiempo . Se constituye dividiendo en intervalos de tiempo que van asociados a la tasa de interés.

En esta línea se va a mostrar los ingresos y los egresos mediante vectores (flechas )Que van a ir en sentido contrario, por ejemplo: los ingresos podrán ir representándolos mediante flechas: hacia arriba y los egresos mediante flechas hacia abajo o viceversa.Por ejemplo podríamos dibujar una línea de tiempo para el caso A del ejemplo anterior: 500000

0 1 2 3 4 5 6 (meses)

í = 3% mensual 597026

Nota: En la línea de tiempo debemos escribir entre corchetes ó paréntesis el tipo de periodo al cual estamos haciendo referencias y en la parte de abajo irá la tasa de interés asociada a estos periodos.

Ya que conocemos la formula de interes compuesto f = (1+ í )n , Podemos hacer los siguientes comentarios:

1) Es una igualdad donde intervienen 4 variables 2) Para determinar una de las variables de la ecuación se necesita conocer las tres (3) variables restantes .3) Si queremos despejar el valor de n y para tal efecto reemplazamos un valor de í correspondiente a una tasa de interés bimestral, entonces al valor de n que despejemos serian bimestres y viceversa.

Hagamos entonces 4 ejercicios donde se piden cada una de las variables y Medan como infor-mación las tres (3) resultados.

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1er. Caso : ( hallar f dado p, í, n )

El señor Roberto Hoyos tiene disponibles $ 800.000 para invertir ¿Cuánto tadra dentro de un año y medio si la inversión la hace al 7.5 % trimestral ?

Información Suministrada

F = 800.000 (1+0.075) 6 F = $ 1.234.641

Dibujar la línea de tiempo 2do. Caso: ( hallar p dado f, í, n )

¿Cuánto debo invertir hoy al 1.95% mensual para poder retirar en 10 meses la suma de$ 2.500.000? Información Suministrada

F = P / ( 1+ Í ) 2.500.000 = p / (1+0.0195)10

2.500.000.P = p = $ 2.060.951 ( 1.0195 )10

Di bujar la línea de tiempo

3er. Caso : (hallar n dado p, f, í )

¿ Durante cuanto tiempo debo invertir $ 1.200.000 al 0.076674% diario para obtener $1.315.604 ?

InformaciónSuministrada

F = p ( 1+ í )n 1.315.604 = 1.200.000 ( 1+ 0.00076674)n

1.315.604 = ( 1.00076674)n à ( 1.00076674)n = 1.0963371.200.000

P = 800.000

Í = 7.5% Trimestral F = ? n = 1.5 años = 6 trimestre

F = 2.500.000 í = 1.95% mensual í = = 0.0195

1.95 n = 10 meses

100

p = ?

p = 1.200.000

í = 0.076674% diario í = = 0.0007664 100F = 1.315.604

n = ?

0.076674


Log. (1.00076674)n = Log . 1.096337

n log. 1.00076674 = Log 1.096337

log 1.096337n = n = 120 días log 1.00076674

Dibujar la línea de tiempo

Para desplazar el valor de “n” en términos generales lo podemos hacer de la siguiente manera:

Dado F= p (1+ í )N à (1+ í )N = ( Aplicando Logaritmos )

Log . (1+ í) n = Log. ( F/ p)

n Log. (1+ í ) = Log. ( F/ P) n =

Si hubiéramos aplicado esta formula para ejercicio anterior lo haríamos así:

Log (1.315604/1.200000) Log1.096337 n = n = n = 120 días Log (1+0.00076674) Log1.00076674 n = 4 meses 4to.Caso : (hallar í dado P,F y n)

¿ A qué de interés bimestral debo invertir $ 1.500.000 para obtener al cabo de año y medio la suma de $2.123908? InformaciónSuministrada

F =P ( 14+ í )n 2.123.908 = 1.500.000 (1 + í )9

2.123.908 1.500.000

( 1+ í ) = ( 1.415.939)1/9 í = 1.0394-1 í = 0.0394 í = 0.039*100 í = 3,94% bimestral

Dibujar la línea de tiempoPara desplazar el valor de “ í” en términos generales lo podremos hacer de la siguiente manera : Dado F = P ( 1+ í )n = ( 1+ Í )n = ( 1+ Í )1/n

Log(F/ P)

Log (1+ í )

F F

P

P = 1.500.000

F = 2.123.908

í = ? ( bimestre

n = 1 1/ 2 años n = 9 bimestres

FP

= ( 1+ í) 9 ( 1+ í )9 = 1.415.939

P

19

Í = ( )1 / N 1 Si queremos el valor de í expresado en porcentaje la formula quedaria así :

í = [( )1/n-1] *100

Nota :En la fórmula anterior se debe hacer aclaración en el sentido de que si se requiere una tasa de interés bimestral el valor de n se debe reemplazar como un número que corresponde a bimestres

Aplicar la formula para el ejercicio anterior .

AMORTIZACIONES Generalmente cuando se habla de amortización este termino lo utilizamos cuando se esta pagando una deuda. Analicemos la siguiente situación :

Usted va hacer un préstamo por $1.000000 para pagarlo con 4 cotas mensuales. La financiera la cobra una tasa del 3% mensual: ¿ Cual es el valor de las cuotas si usted comienza apagar dentro de un mes ?

R/ Aquí tenemos p = 1.000000 n = 4 ÍM = 3% A = ?

1 2 3 4 ( meses)

0 F.F = 0 1-(1 +0.03) 4 1.000000 = A 0.03 A = $ 269027

El valor de cada cuota es de $269027. Regularmente lo que uno hace es multiplicar el valor de la cuota por 4 y esto nos daría:

269027* 4= $ 1.076108 Este valor que se paga (contablemente ) distribuido en los 4 meses.

¿Cuánto se paga por concepto de interes ?

R/ Interés = 1.076.108 – 1.000.000 = $ 76.108, esto indica que durante los 4 meses en total se pagarón por concepto de interés la suma de $ 76.108.

F p

1.000000

A

F p


Debemos tener en cuenta que cuando se paga una cuota de la deuda, una parte de ella (la cuota) va cubrir el interés que cobra la financiera y el resto va a amortizar el capital.

Cuando una persona hace un préstamo es muy normal que la financiera le entrega una tabla de amortización. Este es un documento que sirve para darse cuenta del comportamiento de la deuda, en el sentido de que allí se va a explicar por ejemplo de cada cuota que repague cuánto corresponde a interés y cuando irá a amortizar el capital.

Esta tabla también servirá para darnos cuenta de cuanto tendríamos que pagar a la financiera en el caso en que quisiéramos saldar la deuda en cualquier ínstante.

¿ De que consta la tabla ?

R/ La tabla consta de 5 columnas que van hacer las siguientes :

Columna 1: Muestra los periodos o el tiempo en que se va apagar la deuda .Columna 2: Muestra lo que debe realmente en cada periodo, a esto lo vamos a llamar saldo de la deuda .Columna 3: Muestra la distribución de los interéses que se pagan durante todo el tiempo.Columna 5: Muestra lo que se abona a capital en cada periodo. Aquí se va a mostrar la tabla de amortización y posteriormente se explicara como se obtuvo cada valor.

Nota : Se construirá la tabla para el presupuesto de $ 1.000.000 que se paga con 4 cuotas mensu-ales de $ 269.027 e interés del 3 % mensual.

¿ Como se construyó la tabla anterior ?

R/ Observaciones que en la columna (2 ) a usted le han entregado $ 1.000000 o sea que es lo que se debe en este momento.¿Como se obtiene este valor?

R/1.000000*0.03 = $ 30000O esa que en el primer mes usted debe por concepto de interés $ 30000 ( columnas (3) con periodo 1).

(1) (2) (3) (4) (5)

n Saldo Interés Cuota Abono a capital

0 1.000.000 0 0 0

1 760.973 30.000 269.027 239.027

2 514.775,19 228.229.19 269.027 246.197.81

3 261.191,45 15.443.26 269.027 253.583.74

4 0.19 7.835.74 269.027 261.191.26

76.108 1.076.108 1.000.000

21

21financiera

Como usted le entrega a la financiera en ese mes ( periodo 1) $ 269027 entonces ellos a ese valor le quitan el interés ( $ 30000 ) y el resto ($ 239027) se lo descuenta (amortizan) al capital ( que es de este caso es 1.000000) de tal forma que es ese instante usted debe la diferencia entre 1.000000 y el ahorro a capital que es $ 239027 que es:

Para el secundo mes usted debe menos interés puesto que se determina con base en lo que debe en el primer mes que es $ 760973, o sea que el interés es ;760973*0.03 = $ 22829.19 y a las otra s columnas se calculan de forma idéntica, de tal forma que el proceso es repetitivo.En resumen para calcular :

Columna 3 ( Saldo periodo anterior + Tasa de interés )

Columna 4 Cuota a pagar a la financiera

Columna 5 (4) – (3)

Columna 2 Valor de la columna (2) (anterior ) Valor de la columna (5) actual

Observamos que al sumar todos los valores de la columna (3) nos daría en total de los intere-ses que son $ 76108. Al sumar todos los valores de la columna (5) nos daría el valor exacto del préstamo que es $ 1.000000. Al sumar de todos los valores de la columna (4) nos daría el valor del préstamo más los intereses (o sea $ 1.76108) se tal forma que siempre en una tabla de amortización se debe cumplir que:

Suma de valores de = Suma de valores de + Suma de valores deLa columna (4) la columnas (3) la columna (5)

Resolver ahora algunos ejercicios para construir la tabla y usted amigo lector la completa.

AMORTIZACIÓN CON CUOTA UNIFORME

Préstamo = $ 4.000000No. De cuotas mensuales = 8Tasa de interés = 36% nominal mes vencido íacm = 36% im = 3% Valor de las cuotas A = ?

1 2 3 4 5 6 7 8 (meses)

AF.F = 0

4.000.000 = A [ ] 1-(1+0.03)-R

0.03 A = $569825

4.000.000

0

A = P [ ]i (1 + i) n(1 + i)n



0 4.000.000 0 0 0

1 3.550175 120000 569825 449825

2 3.086855 106505.25 569825 463319.75

$558605 $3.999995

AMORTIZACIÓN CON CUOTA UNIFORME Y CUOTA (S) EXTRA (S)

Préstamo = $ 4.000000No. De cuotas mensuales = 8Cuota extra = $1.000000 (en el mes No. 3)Tasa de interés = 3% mensual

4.000.000

0

1 2 3 4 5 6 7 8 (meses)

1.000.000

F.F =

4.000000 = 1.000000 (1.03)-3 +A [1 - (1.03)- 8

0.03 A = $ 439458


0 4.000.000 0 0 0 1 3.680542 120000 439458 319458 2 439458 3 439458 4 1. 439458 5 439458 6 439458 7 439458

8 439458

23

AMORTIZACIÓN CON PERIODO DE GRACIA

F. F = 310.000000 ( 1 .03) 3 = A 1 – ( 1.03) -8 à A = $ 1.556659 0 . 0 3 O 10.000000 0 0 01 10.300000 300000 0 – 3000002 10.609000 309000 0 – 3090003 10.927270 318270 0 – 3182704 9.698429 327818 1.556659 1.22884151.5566596 1.5566597 1.55665981.5566599 1.55665910 1.55665911 1.556659

F.F = 310.000000 (1. 03) 3 = (1.03)3 – 1 + A 1 – (1+ 0.03) -8 0.0 3 0.03A = $ 1.424565

0 10.000000 0 0 01 10.000000 300000 300000 02 10.000000 300000 300000 03 10.000000 300000 300000 04 8.875436 1.424564 1.1245645 1.4245646 1.4245647 1.4245648 1.4245649 1.424564101.42456411 1.424564

Préstamo = $ 10.000000No. De cuotas mensuales = 8, se pegan a partir del mes No. 4Tasa de interes = 3% mensual


PROBLEMAS RESUELTOS DEMATEMÁTICAS FINANCIERA

1. Problemas de Interés Simple

Formulas de Interés Simple

I = C * t * i

VF =C (1 + i * t)

C =VF (1 + i * t)-1

VF = C + I

I = interés; VF = valor futuro; C = Capital; i = tasa.

Calcular el interés simple comercial de:

a. $2.500 durante 8 meses al 8%.

C = $2.500 t = 8 meses i= 0,08

I = 2.500 * 8 * 0.08 =$133,33 Respu-esta 12

b. $60.000 durante 63 días al 9%.

I =$60.000 t =63 días i =0,09

I =60.000 * 63 * 0.09=$ 945 Respu-esta 360

c. $12.000 durante 3 meses al 8½ %.

C =12.000 t =3 meses i =0,085

I =12.000 * 3 * 0.085= $ 255 Respu-esta 12

d. $15.000 al 10% en el tiempo transcur-rido entre el 4 de abril y el 18 de sep-tiembre. Del mismo año.

C =$15.000 i =0,10 t =167 días

I =15.000 * 0.10 * 167=$ 695,83 Respuesta

360

Calcular el interés simple comercial de:

a. $5.000 durante 3 años 2 meses 20 días al 0,75% mensual.

C = 5.000 i = 0,0075 t =116 meses

3

3años *12 meses =36 meses + 2 me-ses = 38 meses + (20dias * 1 mes)= 116 meses

1 año 30 días

I =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450 Re-spuesta

Nota: Fíjese que en este ejercicio la tasa esta expresa de en meses por lo que debe transformarse el tiempo también a meses

b. $8.000 durante 7 meses 15 días al 1,5% mensual.

C = $8000 t =7,5 i = 0,015

7 meses + 15 días * 1 mes =7,5 meses

30 días

I = 8.000 * 7.5 * 0,015=$900. Respuesta

2. Un señor pago $2.500,20 por un pagaré de $2.400, firmado el 10 de abril de 1996 a un con 41/2 %de interés. ¿En qué fecha lo pagó?

VF = 2.500,20

C =2.400

i = 0.045

t =?

VF = C (1 + i * t)

2.500,20 = 2400 (1 + 0,045 * t)

0,04175=0,045 t

25

t = 0,9277 años Respuesta 10 de marzo de 1997

* Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15 de julio con vencimiento a 150 días. El 200de octubre del mismo maño lo ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista?

VF =120.000(1 + 0,08 * 150) =124.000

360

124.000(1 + 0,1 * 53)-1= 122.000,93

Respuesta 360

* Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagará tiene como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda al plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del vencimiento?

VF = 14.000(1 + 0,08 * 3) = 14.280 Valor de vencimiento

12

VF = 14.280(1+0,1 * 70) =14.557,67 respuesta

VF =VP (1+ i * t)

20.000=19.559,90 (1 + i * 90)

360

i =0, 09 9% Respuesta

- valor de mora.

360

* Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $ 20.000 con vencimiento para el 13 de agosto y recibe & 19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o matemático se le descontó el pagaré?

* Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y $16.000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un año, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagarás al 8% de rendimiento (tómese como fecha focal dentro de un año).


Vf1=20.000(1+0,08 * 9)= 21.200

12

Vf2=16.000(1+0,08 * 4)= 16.426,67

12

Deuda = 21.200 + 16.426,67

Deuda = 37.626,67

Pagos

P1 = x (1+0,08 * 6) =1,04 x

12

P2 = x

Pagos =P1 +P2

Pagos =2,04 x

Deuda = Pagos

37.626,67=2,04 x

Valor de los pagarés 18.444,45 cada uno /Respuesta

Nota: En este problema como en todos los similares debe llevarse los valores de las deu-das a la fecha focal, en este caso 12 meses, para poder efectuar operaciones sobre estos valores.

2. Problemas de Descuento

Formulas para Descuento Real

D = VP * t * d

VN= VP + D

VN = VP (1 + d* t)

VP = VN (1 + d * t)-1

Las formulas son iguales a las de interés simple he aquí sus equivalencias.

i = d tanto por ciento/tasa de descuento

I = D descuento

VF =VN valor nominal

C =VP valor presente

Formulas de Descuento Comercial

D = VP * t * d

VN= VP + D

VN = VP (1 + d* t)

VP = VN (1 - d * t)

Determinar el valor líquido de los pagarés, descontados en un banco a las tasas y fe-chas indicadas a continuación:

a. $20.000 descontados al 10%, 45 días de su vencimiento.

20.000(1- 0.1 * 45)= 19.750 Respuesta

360

b. $18.000 descontados al 9%, 2 meses antes de su vencimiento.

18.000(1-0.09 * 2)=17.730 Respuesta

12

c. $14.000 descontados al 8% el 15 de junio, si su fecha de vencimiento es para el 18 de septiembre del mismo año.

14.000(1-0.08 * 95)=13.704,44 Respuesta

360

d. $10.000 descontados al 10% el 20 de noviembre, si su fecha de vencimiento es para el 14 de febrero del año siguiente.

10.000(1-0.1 * 86)=9.761,11 Respuesta

360

27

2.2. Alguien vende una propiedad por la que recibe los siguientes valores el 9 de julio de cierto año:

a. $20.00 de contado

b. Un pagaré por $20.000, con vencimiento el 9 de octubre del mismo año.

c. Un pagaré por $30.000, con vencimiento el 9 de diciembre del mismo año.

Si la tasa de descuento bancario en la lo-calidad es del 9%, calcular el valor real de la venta.

a. 20.000 contado

b. 20.000(1-0.09 * 92)=19.540

360

a. 30.000(1-0.09 * 153)=28.852,5

360 Total =20.000 + 19.540 + 28.852,5 = $68.392,50 Respuesta

Un pagaré de $10.000 se descuen-tan al 10% y se reciben del banco $9.789. Calcular la fecha de ven-cimiento del pagaré.

10.000=9.789 (1+0.1 * t)

t = 0,21 años

0,21 años * 12 meses = 2,52 meses Respuesta

1 añoEl Banco Ganadero descuenta un pagaré por $80.000 al 10%, 90 días antes de su vencimiento, 5 días después lo redescuenta en otro banco a la tasa del 9%. Calcular la utilidad del Banco Ganadero.80.000(1-0.1 * 90)=78.000

360

80.000(1-0.09 * 75)= 78.500

360

Utilidad 78.500-78.000= 500 Respuesta

¿Qué tasa de descuento real se aplico a un documento con valor nominal de 700 dólares, si se descontó a 60 días antes de su vencimiento y se recibieron 666,67 dólares netos?

700=666,67(1 + i 60)

360

i = 0.30 30% Respuesta

¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cual se recibieron 146,52 dólares, si se descontó comercialmente a un tipo de 49%, 85 días antes de su vencimiento?

146,52 = VF (1 - 0,49 * 85)

360

VF = 165,68 Respuesta.

3. Transformación de Tasas

Método de igualación

Del 18% efectivo trimestral en-cuentre la tasa nominal trimestral capitalizable mensualmente

(1+ 0,18)4/12 = (1 + ntnm)12/12

3


T. nominal trimestral capitalizable mensual-mente = 0, 17 17,01% R.

Del 24% nominal anual capitalizable anual-mente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.

(1+ 0,24)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2

Tasa nominal trimestral capitalizable semes-tralmente =5,6 % Respuesta.

Del 12% nominal anual capitalizable trimestral-mente, encuentre la tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente.

(1+ 0,12)4/4 = (1 + nsct)4/4

4 2

Tasa nominal semestral capitalizable trimes-tralmente =0,06 6% R.

Del 22% efectivo semestral, encuentre la tasa efectiva bimensual.

(1+ 0,22)2/6 = (1 + e b)6/6

Tasa efectiva bimensual = 0,06852 6,85% Respuesta.

Del 30% nominal bimensual capitalizable semestralmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable anualmente.

(1+ 0,30 * 3)2 = (1 + ntca)

3

Tasa nominal trimestral capitalizable anual-mente = 0,6525 è 65,25% R.Del 52% nominal anual capitalizable anual-mente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.

(1+ 0,52)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2

Tasa nominal capitalizable semestralmente = 0,1164 è 11,54% Resp.

4. Problemas de Interés CompuestoFormulas de Interés Compuesto:M = C (1 + i)n

C = M (1 + i)-n

M = monto o también llamado VF; C = capi-tal; i = tasa; n =tiempo

Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capital-ización trimestral, para dispones de 20.000 al cabo de 10 años.

i = 0,15 efectiva trimestral

n = 10 años

M = 20.000

C =?

C = 20.000 (1+ 0.15)-10(4)

4

C =4.586,75 Respuesta

¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2.000 que paga el 3% anual, para que se convierta en %7.500?

n =?

C = 2.000

i = 0,03

M =7.500

7.500 = 2.000 (1 +0,03)n

ln 15/4 = n ln 1,03

n = 44,71 años

44,71 años * 12 meses = 536,52 meses Respuesta.

1 año

Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años:

a. al 5% efectivo anual

M = 100 (1 + 0,05)10 = 162,89 Respuesta

b. al 5% capitalizable mensualmente

M = 100 (1 + 0,05)10(12) =164,20 Respuesta

29

12

c. al 5% capitalizable trimestralmente

M = 100 (1 + 0,05)10(4) =164,36 Respuesta

4a. al 5% capitalizable semestralmenteM = 100 (1 + 0,05)10(2) =164,86 Respuesta

2* Hallar el valor futuro de $20.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente durante 10 años 4 meses.VF = 20.000(1 + 0,08) 10 (4/12) = 44.300,52 Respuesta* ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable trimestral-mente?(1+ 0,08)4/2 = (1 + n.c.s)2/2

4 2

i =0,0808 8,08% RespuestaHallar la tasa nominal convertible semestral-mente, a la cual $10.000 se convierten en $12.500, en 5 años.12.500 = 10.000 (1 +i )10

2

i =0,0451 4,51% Respuesta

¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se con-viertan en $10.000?

10.000=6.000 (1+ 0,08)n

n = 13,024 /2

n = 6,512 años Respuesta* ¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente?M =2C = 1

2=1(1+ i) 10

i = 7,17% sociedad maderera

———————

M = 1(1+0,06)

4

M =1,8140 no duplico

Respuesta es más conveniente la sociedad maderera

* Una inversionista ofreció comprar un pagará de $120.000 sin interés que vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual; calcular el precio ofrecido.

C = 120.000(1 + 0,08)-3

C = 95.259,87 Respuesta

* Hallar el VF a interés compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa del 5% de interés. Com-parar el resultado con el monto compuesto al 5%, convertible mensualmente.

VF = 20.000(1 + 0,05) 10 = 32.577,89 Respu-esta

VF = 20.000(1 + 0,05) 120 = 32.940,19 con-vertible mensualmente Resp.

12

5. Problemas de Anualidades Vencidas

Formulas de Anualidades Vencidas

F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor futuro

i

P = A [¨ 1 – (1+ i )-n ]=Valor presente

i

F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo

* Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordina-rias.

(a) $2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente.


F = 2.000[¨ (1 + 0, 04)17 -1] =47.395,07 valor futuro

0,04

P = 2.000[¨ 1 – (1+ 0, 04)-17 ]=24.331,34 valor presente

0,04

(b) $4.000 anuales durante 6 años al 7,3%, capitalizable anualmente.

F = 4.000[¨ (1 + 0, 073)6 -1] =28.830,35 valor futuro

0,073

P = 4.000[¨ 1 – (1+ 0, 073)-6 ]=18.890,85

valor presente

0,073

(c) $200 mensuales durante 3 años 4 me-ses, al 8% con capitalización mensual.

F = 200[¨ (1 + 0, 0067)40 -1] =9.133,50 valor futuro

0,0067

P = 200[¨ 1 – (1+ 0, 0067)-40 ]=7.001,81 valor presente

0,0067

* Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $2.500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con capitalización mensual.

i =0,09/12=0,0075

P = 1.000[¨ 1 – (1+ 0, 0075)-30 ]=26.775,08

0,0075

2.500(1+0,0075)-31=1.983,09

26.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17 Respuesta.

* ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.500, si se carga el 12% con capitalización mensual?

31

i =0,12/12=0,01

P = 1.600[¨ 1 – (1+ 0, 01)-30 ]=41.292,33

0,01

2.500(1+0,01)-31=1.836,44

41.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78 Respuesta

* Una mina en explotación tiene una produc-ción anual de $8’000.000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8%.

P = 8.000.000[¨ 1 – (1+ 0, 08)-10 ]=53.680.651,19 respuesta.

0,08

* En el ejercicio 5.4. Se estima que al agot-arse la mina habrá activos recuperables por el valor de $1’500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas representan el 25% de la producción.

1.500.000(1 + 0,08)-10 = 694.790, 23

53.680.651,19 * 0,25 =13.420.162,8

694.790,23 + 13420.162,80 = 14.114.953,03 Respuesta

* En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1.500 en una cuenta que abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus consignaciones a $3.000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los

F = 1.500 [¨ (1 + 0, 08)11 -1] =24.968,23

0,08

24.968,23(1 + 0,08)7 =42.791,16

F = 3.000[¨ (1 + 0, 08)7 -1] =26.768,41

0,08

1.500(1 + 0,08)18= 5994,02

42.791,16 + 26.768,41 + 5994,02 = 75.553,60 Respuesta

* Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de in-terés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años.

0,06 /12 =0,005 tasa mensual

F = 100[¨ (1 + 0, 005)240 -1] =46.204,09 Re-spuesta.

0,005

6. Problemas de Anualidades Anticipa-das

Formulas de Anualidades Anticipadas

F = A [¨ (1 + i )n + 1 -1 - 1] =Valor futuro

i

P = A [¨1 + 1 – (1+ i )-n + 1]=Valor presente

i


* Calcular el valor de Contado de una propie-dad vendida a 15 años de plazo, con pagos de $3.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12% convertible mensualmente.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ańosA=8.000.000

1.500.000


P =500 [¨1 + 1 – (1+ 0,0075 )-179]= 49.666,42 Respuesta.

0,0075

¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona el 6% para proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de $2.000.000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salva-mento se estima en el 10% del costo?

2’000.000 * 0.10= 200.000

2’000.000 - 200.000 = 1’800.000

1´800.000 = A [¨ (1 + 0,06 )6 -1 - 1]

0,06

A = 301.239,17 Respuesta.

* Sustituir una serie de pagos de $8.000 al final de cada año, por el equivalente en pagos mensuales anticipados, con un interés del 9% convertible mensualmente.

8.000 = A [¨ (1 + 0,0075 )13 -1 - 1]

0,0075

A = 634,85 Respuesta.* Un empleado consigna $300 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que paga el 8%, convertible mensualmente. ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar $30.000?0,08 = 0,0067

12

30.000 = 300 [¨ (1 + 0,08 )n + 1 -1 - 1]

0,08

n = 76,479 meses

P = 3.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,01 )-180 + 1]= 252.464,64

0,01

* Una persona recibe tres ofertas parea la compra de su propiedad: (a) $400.000 de contado; (b) $190.000 de contado y $50.000 semestrales, durante 2 ½ años (c) $20.000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $250.000, al finalizar el cuarto año. ¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual?

Oferta b

P = 50.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,04 )-4]= 231.494,76 + 190.000 = 421.494,76

0,04

Oferta c

P =20.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,02 )-11]= 215.736,96

0,02

25.000(1 +0,08)-4 = 183.757,46

215.736,96 + 183.757,46 = 399.494,42

Respuesta = Oferta b es la más conveni-ente.

* ¿Cuál es el valor presente de una renta de $500 depositada a principio de cada mes, du-rante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9%, convertible mensualmente?

33

7. Problemas de Anualidades DiferidasFormulas para anualidades diferidasSon las mismas que las anualidades venci-das y anticipadas salvo que estas tienen un periodo de gracia.* Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de ac-ceso demoraran 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $2.400.000. suponiendo que la tasa comercial es del 8% y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación, hállese el valor fu-turo de la renta que espera obtenerse.

VF = 2.400.000 [(1 + 0,08)15 - 1]

0,08

VF = 6.516.503,43 Respuesta

* En el problema anterior, hállese el valor de utilidad que espera obtener, en el momento de la adquisición de los yacimientos.

VP = 2.400.000 [1 - (1 + 0,08)-15 ]

0,08

VP = 20.542.748,85

20.542.748,85 (1 + 0,08)-6 = 12.945.416 Re-spuesta.

* Una compañía frutera sembró cítricos que empezaran a producir dentro de 5 años. La producción anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años. Hallar con la tasas del 6% el valor presente de la producción.

VP = 400.000 [1 - (1 + 0,06)-20 ]

0,06

VP = 4587968,487 (1 + 0,06)-5 = 3428396,90

* Alguien deposita $100.000 en un banco, con la intención de que dentro de 10 años se

pague, a él o a sus herederos, una renta de $2.500, a principio de cada mes. ¿Durante cuántos años se pagará esta renta, si el banco abona el 6% convertible mensualmente?

VF = 100.000 (1 + 0,005)120 = 181.939,67

181939,67 = 2.500 [ 1 + 1- (1 + 0,005)-n +1 ]

0,005

n = 90,13

Respuesta = 7 años 7meses

* Una deuda contraída al 8% nominal, debe cancelarse con 8 cuotas semestrales de $20.000 c/u, con la primera obligación por pagar dentro de 2 años. Sustituirla por una obligación equivalente pagadera con 24 cuotas trimestrales, pagándose la primera de inmediato.

20.000 [1 + 1 - (1 + 0,04)-7 ] (1+0,04)-4 = 119.707,7136

0,04

119.707,71 = A [1 + 1 - (1 + 0,02)-23]

0,02

A = 6.204,97 Respuesta anualidades trimes-trales


8. Problemas de Rentas Perpetuas

Formulas de Rentas Perpetuas

P = A

i

P = A + A

i

CC= Co + Com

i

P = perpetuidad; A = anualidad; Co = costo inicial; CC = costo capitalizado;

i = interés

* Hallar el valor actual de una perpetuidad de $5.000, cuyo primer pago se hará dentro de 6 meses, con tasa nominal del 12% convertible mensualmente

P =5.000=500.000

0,01

M = 500.000 (1 + 0,01)-5 = 475.732,84 Re-spuesta.* Hallar el valor actual de una renta de $156.000 por año vencido, suponiendo un interés de:a. 6% efectivo

156.000 = 2’561.576,35 Respuesta

0,06

b. 6% convertible semestralmente

156.000 = A [(1 + 0,03)2 - 1]

0,03

A = 76.847,29

P =76.847,29=2’561.576,35 Respuesta

0,03

c. 6% convertible mensualmente.

156.000 = A [(1 + 0,005)12 - 1]

0,005

A = 12.646,36

P =12.646,36=2’529.272,61 Respuesta

0,005

* Los exalumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para su mantenimiento futuro. Si el costo inicial de $200.000 y el mantenimiento se estima en $35.000 anuales, hallar el valor de la donación, si la tasa efectiva es del 7%.

P = 200.000 + 35.000 = 700.000 Respuesta

0,07

* Para mantener en buen estado las carreteras vecinales, la junta vecinal decide establecer un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras, que se estiman en $300.000 cada 5 años. Hallar el valor del fondo, con la tasa efectiva del 6%.

300.000 = A [(1 + 0,06)5 - 1]

0,06

A = 53.218,92

P = 53.218,92 = 886.982 Respuesta

0,06

* Calcular el costo capitalizado de un equipo industrial que cuesta $800.000 y tiene una vida útil de 12 años, al final de los cuales debe remplazarse, con el mismo costo. Calcular con la tasa del 6%.

35

800.000 = A [(1 + 0,06)12 - 1]

0,06

A = 47.421,62

CC = 800.000 + 47421,62

0,06

CC = 1’590.360,39 Respuesta.

* En el problema anterior, calcular el costo capitalizado, suponiendo un valor de salva-mento igual al 15% del costo original.

800.000 * 0.15 =120.000

680.000 = A [(1 + 0,06)12 - 1]

0,06

A = 40.308,38

CC = 800.000 + 40.308,37

0,06

CC = 1’471.806,33 Respuesta

* Una industria recibe dos ofertas de cierto tipo de máquina, ambas de igual rendimiento. La primer oferta es por $380.000 y las maquinas tiene una vida útil de 7 años; la segunda oferta es de $510.000 por maquinas que tienen una vida útil de 10 años. Si el precio del dinero es el 6% efectivo, ¿qué oferta es más con-veniente?

Primera oferta

380.000 = A [(1 + 0,06)7 - 1]

0,06

A = 45.271,30

CC = 380.000 + 45.271,30

0,06


Segunda Oferta

510.000 = A [(1 + 0,06)10 - 1]

0,06

A = 38692,66

CC = 510.000 + 38.692,66

0,06


Respuesta = El CC de la primera oferta en menor en 20.355,86

9. Problemas de Amortización

Formulas para anualidades diferidas


i

P = A [¨ 1 – (1+ i )-n ] =Valor presente

i


Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas.

1. Una deuda de $20.000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos. Hallar


el valor de estos, a la tasa efectiva del 8%, y elaborar el cuadro de amortización para los dos primeros meses.

(1+0,08)1/12 = (1+ e.m)12/12

i = 6,43 *10-3

20.000= A [ 1 - (1 + 0,0064)-12 ]

0,0064

A = 1.737,19 Respuesta

* Una deuda de $100.000 debe cancelarse con pagos trimestrales vencidos en 18 cuotas, con interés del 12% capitalizable semestral-mente. Hallar el saldo insoluto, al efectuar el noveno pago.

(1+0,12)2/4 = (1 +et)4/4

100.000 = A [ 1 - (1 + 0,029)-18 ]

0,029

A = 7.244,03 Anualidad

Para encontrar el valor del noveno pago

F = 7.244,03 [ (1 + 0,029)-9 - 1 ]

0,029

F = 73.462,00

M = 100.000 (1 + 0,029)9 = 129.979,95

73.462,00 + 129.979,95 = 56.517,95 Respu-esta Saldo insoluto al noveno pago.

* Una propiedad se vende en $300.000, paga-deros así; $100.000 al contado y el saldo en 8 cuotas iguales semestrales con interés del 10% convertible semestralmente. Hallar los derechos del vendedor y del comprador, al efectuarse el quinto pago

300.000 – 100.000 = 200.000

200.000 = A [ 1 - (1 + 0,05)-8 ]

0,05

A = 30.944,36

F = 30.944,36 [ (1 + 0,05)-5 - 1 ]

0,05

F = 170.987,13

37

M = 200.000 (1 + 0,05)5 = 255.256,31

Derecho del Vendedor 255.256,31 -170.987,13 = 84.269,17

D. comprador + 84.269,17 = 300.000

D comprador = 215.730.83

* ¿Con cuantos pagos semestrales iguales y vencidos de $9.500 se pagaría la adquisición de un terreno que cuesta $29.540 si se carga una tasa anual de 34% convertible mensual-mente?

Conversión de la tasa

(1 +0,34)6 = (1 +i.s.)

12

Interés semestral = 0,1825

29.540 = 9.500 [ 1 - (1 + 0,1825)-n ]

0,1825

ln 0,4325 = - n ln(1,1825)

-0,838 = -n (0,1676)

n = 5 pagos semestrales Respuesta

* Determine el número de pagos necesa-rios para amortizar totalmente la compra a crédito de un automóvil que cuesta $48.000 y se vende con un enganche de 45% y el resto a pagar en mensualidades vencidas de $1.254,75 con interés al 39% convertible mensualmente.

Enganche 21.600

Quedan 26.400

i = 0,39

12

i = 0,0325

26.400 = 1254,75 [ 1 - (1 + 0,0325)-n ]

0,0325

n = 36 mensualidades Respuesta

* Una aspiradora se vende en $499 al contado o mediante 4 pagos mensuales anticipados de $135 ¿Cuál es la tasa efectiva mensual que se paga al adquirir ese aparato a crédito?

499 = 135 [1 + 1 – (1 + i)-3]

i

2,69 = 1 – (1 + i)-3

i

Interpolación

0,06 – 0,05 = 0,06 – i

2,6730 – 2,7232 2,6730 – 2,69

0,00017 = 0.06 – i

0,0502

i = 0,05661

i = 5,66 % Respuesta


10. Problemas de Fondo de Amortización

Formulas para anualidades diferidas


P = A [¨ 1 – (1+ i )-n] =Valor presente

i


Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas.

1. Se establece un fondo de $5.000 semestrales que abona el 6% capitalizable semestral-mente. Hallar el valor acumulado en 5 años y elaborar el cuadro del fondo.

0,06 = 0,03

2

F = 5.000 [¨ (1 + 0,03 )10 -1] =57.319,39

0,03

* Un artesano necesita remplazar cada 5 años todas sus herramientas, cuyo valor es de $10.000. ¿Qué deposito mensual debe hacer en una cuenta de ahorros que abona el 8%, capitalizable trimestralmente?

(1 + 0,08)4/12= (1 + e.m)12/12

4

Tasa efectiva mensual = 6,622 * 10-3

10.000 = A [(1 + 6,622 * 10-3)2 - 1]

6,622 * 10-3

A = 136,28 Respuesta

* Para cancelar una deuda de $80.000 a 5 años plazos, se establecen reservas anuales en un fondo que abona el 6%; transcurridos dos años eleva sus intereses al 7%. Hallar las reservas anuales y hacer el cuadro de fondo

39

80.000 = A [(1 + 0,06)5 - 1]

0,06

A = 14.191,71 Primeros dos años

F = 14.191,71 [¨ (1 + 0,06)2 -1] = 29.234,92

0,06

M = 29234,92 (1+ 0,07)3 = 35.814,04

44.185,95 = A [(1 + 0,07)3 - 1]

0,07

A = 13.744,11 Los 3 últimos años

* Un municipio emite obligaciones a 10 años de plazo por $2.000.000 que devengan el 8% de interés. ¿Qué depósitos anuales debe hacer en un fondo que abona el 6% y que egreso anual tendrá el municipio hasta el pago de la deuda?2.000.000 * 0,08 = 160.000

2.000.000 = A [¨ (1 + 0,06)10 -1]

0,06

A = 151.735,92 depósitos anuales

151.735,92 + 160.000 = 311735,92 Respu-esta total egreso anual

Hallar la reserva anual en un fondo que paga el 7% de interés, para cancelar en 25 años una deuda de $100.000.

100.000 = A [¨ (1 + 0,07)25 -1]

0,07

A = 1.518,05 depósitos anuales* Se deben pagar $29.000 dentro de 12 me-ses por una deuda con anterioridad. Si para pagarla se decide constituir un fondo mediante depósitos bimestrales vencidos ¿cuál sería el importante de los mismos si se colocan en un instrumento de inversión que rinde el 26% convertible mensualmente?

(1 + 0,26)12/6 = (1 + i. bimestral)6/6

12

i = 0,04380

29.000 = A [¨ (1 + 0,04380)6 -1]

0,04380

A = 4330,4922 Respuesta.

* Para pagar una deuda de $5.400 que vence dentro de 5 meses se va a construir un fondo mediante depósitos mensuales anticipados. Si los depósitos se colocan en un fondo de inversiones que rinde el 32% anual convert-ible mensualmente, hallar su importe.


i = 0,32

12

i = 0,0266

5.400= A [¨ (1 + 0,0266)6 -1 - 1]

0,0266


* Haga una tabla que muestre la forma en que amortizaría una deuda de $15.000 contratada hoy y que debe pagarse en 3 meses con interés al 12% trimestral capitalizable men-

sualmente si se decide constituir un fondo mediante depósitos quincenales vencidos en una cuenta de inversiones que rinde el 2,7% mensual efectivo.

(1 + 0,027)12/24 = (1 +e. q.)24/24

Efectiva quincenal = 0,0134

16.872,96 = A [¨ (1 + 0,0134)6 -1]

0,0134


* ¿Cuál debe ser el importe de cada uno de 8 depósitos mensuales anticipados que se colo-can en un fondo de inversión que rinde el 28,4% convertible mensualmente con el objeto de amortizar una deuda de $8.888,89 que vence exactamente dentro de 8 meses?

8.888,89 =A [¨ (1 + 0,02375)9 -1 - 1]

0,02375

A = 998,29 Respuesta

11. Bibliografía• Alfredo Díaz Mata – Víctor Manuel Aguilera G. Matemáticas Financiera. Segunda

Edición. Editorial Mc. Graw Hill. Ejercicios Propuestos. 1.998 • Lincoyan Protus G. Matemáticas Financiera. Cuarta Edición. Editorial Mc Graw

Hill. Cuarta Edición. Ejercicios Propuestos. 1.997

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