A saber de ALG
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Producto escalar Producto escalar real – definición. Considerar espacio vectorial ( V,R) . ⟨ x,y ⟩ : V×V→R Tal que: 1. ⟨ x,y ⟩ es bilineal. 2. ⟨ x,y ⟩ es simétrica, i.e. ⟨ x,y ⟩ =⟨ y,x ⟩ . 3. ⟨ x,y ⟩ es definida positiva, i.e. ⟨ x,x ⟩ ≥ 0 y ⟨ x,x ⟩ =0 ⟺x=0. Expresión matricial del producto escalar. ⟨ x,y ⟩ = ⟨ ∑ i=1 n x i e i , ∑ j=1 n y j e j ⟩ = ∑ i,j=1 n x i ⟨ e i ,e j ⟩ y j = ∑ i,j=1 n x i g ij y j =X t GY G= ( g ij ) = ( ⟨ e i ,e j ⟩ ) (Matriz de Gram) La matriz G verifica: 1. ⟨ e i ,e j ⟩ = ⟨ e j ,e i ⟩ ⟹ g ij =g ji , i.e. es simétrica. 2. ⟨ x,x ⟩ ≥ 0 ⟹ las submatrices angulares tienen determinante mayor que cero (criterio de Sylvester). Toda matriz que presente estas dos propiedades define un producto escalar. Sea P matriz de cambio de base entre B y B'. ⟨ x',y' ⟩ =X' t GY ' =( PX ) t GPY =X t P t GPY ⟹G ' =P t GP (Relación de congruencia) Norma – Definición y propiedades. ‖ x‖: V→R +¿¿ ‖ x‖: x⟶ √ ⟨ x,x ⟩ 1. Desigualdad de Cauchy-Schwartz. ‖ x +λy‖ 2 = ⟨ x +λy,x + λy ⟩ =λ 2 ‖ y‖ 2 +2 λ ⟨ x,y ⟩ +‖ x‖ 2 Δ≤ 0 ⟹ 4 λ 2 ⟨ x,y ⟩ 2 −4 λ 2 ‖ x ‖ 2 ‖y ‖ 2 ≤ 0 |⟨ x,y ⟩ | ≤‖ x‖‖ y‖
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Espacio euclideo.
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Producto escalar Producto escalar real definicin.Considerar espacio vectorial .
Tal que:1. es bilineal.2. es simtrica, i.e. .3. es definida positiva, i.e. y . Expresin matricial del producto escalar.
(Matriz de Gram)La matriz verifica:1. , i.e. es simtrica.2. las submatrices angulares tienen determinante mayor que cero (criterio de Sylvester).Toda matriz que presente estas dos propiedades define un producto escalar.Sea matriz de cambio de base entre y . (Relacin de congruencia) Norma Definicin y propiedades.
1. Desigualdad de Cauchy-Schwartz.
2. ngulo entre dos vectores.
3. Desigualdad triangular.
4. Mdulo de un vector por un escalar.
Isomorfismo
, i.e. es inyectiva. y es inyectiva es sobreyectiva. es independiente de bases.Sean y bases de y , respectivamente y la matriz del isomorfismo .
isomorfismo
