A2_Conjuntos

7/26/2019 A2_Conjuntos

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Apunte de Algebra (Version preliminar)[No publicar]

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1. Conjuntos

1.1. Introduccion

La teora de conjuntos gira en torno a la funcion proposicional xA. Los valores quehacen verdadera la funcion proposicional x

A son aquellos elementos que forman el

conjunto A.La funcion proposicional xA se lee x pertenece a A. Su negacion, que se denotapor x /A se lee x no pertenece a A.

Observacion: George Can(1845-1918) fue, practicamequien formulo la teora de c

juntos a finales del siglo XIXprincipio del XX.

Nota: Recordemos que un numprimo es aquel numero natural es divisible solo por1 y s mism

Ejemplos:

Si queremos que el conjuntoAsea el de los numeros primos menores que 10 entoncestendramos que definirlo formalmente as:

(x)[(xA)(x= 2 x= 3 x= 5 x= 7)].

Los conjuntos finitos son faciles de definir. De hecho, acabamos de mostrar c omo se

define el conjunto que se denota por extension porA ={2, 3, 5, 7}.En matematica se construyen nuevos conjuntos a partir de conjuntos ya conocidos.Supongamos que ya conocemos el conjunto A. Podemos definir, B ={x A : p(x)}.Lo que en el fondo estamos definiendo es la funcion proposicional xB, luego

(x)(xB)(xA p(x)).

Observacion: En este curso:

Los conjuntos se denotacon letras mayuscuA , B , C , D , . . .

Los elementos se denota

con letras minuscua , b , c , d , . . .

Ejemplos:

Algunos conjuntos se utilizan con frecuencia en matematica, y es conveniente adop-tar una notacion estandar para ellos.

Los reales: .

Los enteros: :

Los racionales: =

x :x = p

q, conp , q , q= 0

.

Los irracionales: c ={x :x / }.Los naturales: ={1, 2, 3, . . .}.

As,

x quiere decir quex es un numero real.(x ) (x > 0) quiere decir que x es un numero racional positivo.

Observacion: Note que {3} =porque{3}es un conjunto y3eselemento (numero).

Ejemplo:

Si A ={x : 3x= 9}y b = 3, entonces es b = A?Respuesta:No, porque A ={3} =b = 3.

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Definicion 1.1. Definiremos el conjunto vaco, el cual denotamos, del siguientemodo:

={x :x=x}

Nota: Notamos que no tiene mentos. Es decir,(x)(x /).Asumiremos la existencia de un conjunto universoUen el que viven todos los elementos

con los que se va a trabajar. Es decir,Ues tal que la proposicion x U es siempreverdadera.

Definicion 1.2. Se dice que el conjunto A esta bien definido si, dado x U.La pregunta: xA x /A?puede responderse siempre.

Observacion: Tambien en el cde que los supuestos objetos pe

necientes al conjunto no estuviebien definidos, el conjunto tamco lo estara. Como es el casoPertenecias Mineras, Derecde Aguas, etc.

Ejemplo:

Algunos conjuntosmal definidospodran ser:

El conjunto de los jugadores de la seleccion (No esta bien definido porquepodra tratarse de cualquier seleccion).

El conjunto de todas las hidroelectricas de un pas (No esta bien definidoporque podra tratarse de las hidroelectricas de cualquier pas).

Un conjunto puede definirse de dos formas:

Porextension, vale decir mostrando los elementos del conjunto. Por ejemplo:

A= ={1, 2, 3, . . .}

Por comprension, esto es, dando una propiedad (o funcion proposicional) quecaracterice a los elementos del conjunto. Por ejemplo:

=

x :x = p

q, conp , q , q= 0

Definicion 1.3. SeanA yB conjuntos. Definimos la inclusion() y la igualdad(=) entre conjuntos, respectivamente, como sigue:

AB(x U)(xA =xB)A= B(x U)(xAxB)

Ejemplos:

1. Si definimos,

A={4, 5, 6}, B={4, 5}, C={4}.

Podemos decir que BA y CA, ya que todo elemento que pertenece aBtambien pertenece a A, lo mismo ocurre con los elementos que pertenecen aC.

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2. Los conjuntos A ={1, 2, 3, a} y B ={a, 1, 2, 3} son iguales. Note que noimporta el orden en que aparezcan los elementos de los conjuntos.

3. Los conjuntos A ={4, 5, 6} y B ={4, 5, 5, 6, 4, 6} son iguales. Note que noimporta si se repiten elementos en el conjuntos.

Observacion: Ya que no importa si se repiten o no los elementos en el conjunto,en general, supondremos que todos los elementos pueden distinguirse entre s, y que

ademas ningun elemento aparece mas de una vez.

1.2. Propiedades y Operatoria con Conjuntos

Propiedad 1. SeanA,B, Cconjuntos arbitrarios. Se tiene:

1. A= BAB BA2. A= A

3. A= BB = A

4. (A= B B= C) =A = C5. AA6. (AB BA) =A = B7. (AB BC) =AC8. A

Definicion 1.4. Dado un conjuntoA, se define el conjunto de las partes deA, yse denotaP(A), como el conjunto de todos los subconjuntos deA, esto es:

P(A) :={X: XA}.

Notar que:

i) los elementos deP(A)son conjuntos.ii)P(A)= ya que , A P(A).

iii) Si A tienen elementos, entoncesP(A)tiene2n elementos.

Ejemplo:

SeaA ={x,y,z}. Determinemos su conjunto potencia, es decir,P(A).El conjunto A, tiene3elementos, es decir, n= 3, luego el conjunto potencia tiene23 = 8 elementos, mas precisamente:

P(A) ={, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {x, z}, {x,y,z}}

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Definicion 1.5. La union deA conB que se denota A B, es el conjunto quereune a los elementos que estan enA con los elementos que estan en B. Formal-mente:

(x U)[(xA B)(xA xB)].

Observacion: Los diagrama Venn fueron introducido porfilosofo y matematico Jhon V(1834-1923) el ano 1881. Cumpel rol de ayudarnos a desarrouna intuicion frente al conceptoconjunto y a las relaciones entrestos. Sin embargo no podemos uslos para demostrar propiedadespara sacar conclusiones gener(que se apliquen a todo conjunt

La representacion de la union en una diagrama de Venn-Euler se puede apreciar en lasiguiente figura:

A B

A B

Figura 1: Diagrama de Venn para A B

Un diagrama de Venn, como el presentado anteriormente, es una ilustracion que mues-tra la relacion matematica o logica entre conjuntos.

A B

C

Figura 2: Diagrama de Venn para tres conjuntos.

Ejemplo:

Si A ={1, 2}, B ={1, 3}, C={0}, entonces:A B={1, 2, 3}.A C={0, 1, 2}.B C={1, 3, 0}.

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Definicion 1.6. La interseccion deA conB, que se denotaA B, es el cojuntoformado por los elementos que estan enA como enB . Formalmente:

(x U)[(xA B)(xA xB)]

La representacion de la interseccion en una diagrama de Venn-Euler sera:

A B

A B

Ejemplo:

Si A ={0, 1}, B ={1, 3}, C={0, 1, 3}, entoncesA B={1}.A C={0, 1}.B C={1, 3}.

Propiedad 2. SeanA, B , C, conjuntos, se tiene:

1. SiAB, entoncesA B= B yA B = A.2. Conmutatividades

a) A B= B A.b) A B= B A.

3. Asociatividades

a) A (B C) = (A B) Cb) A (B C) = (A B) C

4. Distributividades

a) A (B C) = (A B) (A C)b) A (B C) = (A B) (A C)

5. a) A

B

A

A

B

b) A BBA B

Recordemos que hemos asumido la existencia de un universoU.

Propiedad 3. SeanA, B conjuntos y seaU el conjunto universo.

1. A A= A2. A A= A3. A = A

4. A = 5. A U=U6. A U=A

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Observacion: El conjunto universo es un conjunto de referencia, es decir habra vecesque tomaremosU= , u otrasU= , etc.

Ejemplo:

Sean los conjunto A ={1, 2, 3, 4, 5},B ={2, 4, 5},C={4, 5, 6, 7, 8, 9}y el conjuntouniversoU={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Notamos que:

A (B C) ={2, 4, 5}.A (B C) ={1, 2, 3, 4, 5}= A

Definicion 1.7. Supongamos que tenemos un conjunto de referenciaU. Definimosel complemento de un conjuntoA, que notaremosAc, como aquel formado por todoslos elementos que no estan enA. Formalmente,

(x U)(xAc x U x /A)

Es decir, (x)(xAc x /A).

Ejemplo:

SiU= , entonces si consideramosA ={x :x es par}, obviamente Ac ={x :x es impar}

Ejemplo:

SiU={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}y A ={0, 2, 3, 4, 5, 8}, entonces

Ac ={1, 6, 7, 9}.

Definicion 1.8. Definimos la diferencia entreA yB, que denotamos A B (otambienA \ B), como el conjunto formado por los elementos que estan enA y queno estan enB. Formalmente,

A B= A Bc.

La representacion en un diagrama de Venn sera:

A B

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Propiedad 4. SeanA yB conjuntos

1. Leyes de De Morgan

a) (A B)c =Ac Bc.b) (A B)c =Ac Bc.

2. (AB)(Bc Ac).3. (Ac)c =A.

4. A Ac =U.5. A Ac =.Ejemplo:

SiU={x : 1x10} yA={x U : 1x2}B={1, 10}

entonces

Ac

={x U : 2< x10}Bc ={x U : 1< x < 10}.

Definicion 1.9. Un elemento x se dice que pertenece a la diferencia simetricaentreA yB, que se denotaAB, si y solamente six esta enA, pero no enB, obien enB , pero no enA. Formalmente

AB= (A B) (B A).

La representacion grafica a traves de un diagrama de Venn sera:

A B

AB

Propiedad 5. SeanA,B, C conjuntos

1. AB= (A B) (A B).2. AB= BA.

3. (AB)C=A(BC).

4. AA= .

5. A= A.

6. (A (BC)) = (A B)(A C).

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1.3. Pares Ordenados y Producto Cartesiano

Notemos que los conjuntos{a, b} y{b, a} son iguales. Queremos introducir un objetoque distinga el orden de los elementos.La solucion es la siguiente:

Definicion 1.10. Basta con definir los pares ordenados as:(a, b) ={{a}, {a, b}}.

La propiedad fundamental de los pares ordenados es la siguiente:

Propiedad 6. Para todo a, b, x, y se tiene

(a, b) = (x, y)a = x b= y

Ejemplo:

De acuerdo con la definicion de par ordenado, se tiene:

(1, 2)= (2, 1){(1, 2), (1, 3)} ={(2, 1), (1, 3)}{(4, 2), (2, 5)} ={(2, 5), (4, 2)}

Observacion: Notar que en geral A B =B A.

Definicion 1.11. SeanA, B conjuntos. Se define el producto cartesiano deA conB, que se denotaA B, del siguiente modo:

(x, y)[(x, y)A BxA xB]

Ejemplo:

Dados los conjuntos A ={a,b,c}y B ={1, 2}, tenemos que:

A B ={(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}B A={(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}

Observacion: Notar que A B=B A.

Propiedad 7. SeanA, A, B , B, C , D conjuntos.

1. A A B B =A B A B2. (A B) (C D) = (A C) (B D)

Dados n conjuntos no vacos A1, A2, . . . , An, se define el Producto Cartesiano entreellos, el cual se denota por A1A2 An, como el conjunto de todas las n-uplasordenadas(a1, a2, . . . , an)tales que aiAi para cadai {1, . . . , n}, es decir,

A1 A2 An={(a1, a2, . . . , an) : aiAi, i {1, . . . , n}}

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Ejemplo:

={(x1, x2, x3) : x1 x2 x3 }

es el producto cartesiano entreA1, A2 yA3, con Ai = , y se denota por 3.

Ejemplo:

Si consideramos los conjuntos A ={0, 1, 2}, B ={3, 5}, C={0}, entoncesA B={(0, 0), (0, 5), (1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5)}A C={(0, 0), (1, 0), (2, 0)}B C={(3, 0), (5, 0)}B A={(3, 0), (3, 1), (3, 2), (5, 0), (5, 1), (5, 2)}C A={(0, 0), (0, 1), (0, 2)}C B={(0, 3), (0, 5)}

Definicion 1.12. SeanA1, A2, . . . , An subconjuntos de un conjunto B. Diremosque{A1, A2, . . . , An} es una particion deB si estos conjuntos son no vacos, dis-

juntos dos a dos y su union es el conjuntoB, es decir si:

Ai= para cadai {1, . . . , n}.Ai Aj = para cada i=j.n

i=1

Ai = B.

Ejemplo:

Los conjuntos A1 ={2, 4, }, A2 ={6, 8} y A3 ={10, 11} forman una particion delconjunto

B ={2, 4, 6, 8, 10, 11},

ya que:

B= A1 A2 A3.

Ai Aj =, para todo i, j = 1, 2, 3e i=j .

Definicion 1.13. El numero de elementos de un conjunto finito A se llama cardina-lidad deA y se denota por|A| o porCard(A) o por(A).

Ejemplo:

Por ejemplo, si A ={a,b,c,d,e,f}, entonces|A|= 6.

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Ejemplo:

En particular, siCard(A) = n, entoncesCard(P(A)) = 2n.

Propiedad 8. 1. SiA yB son conjuntos disjuntos, entonces

|A B|=|A| + |B|.

2. SiA yB son conjuntos arbitrarios, entonces

|A B|=|A| + |B| |A B|.

3. SiA, B yCson conjuntos arbitrarios, entonces

|A B C|=|A| + |B| + |C| |A B| |A C| |B C| + |A B C|

Ejemplo:

Un estudiante es fanatico de la musica de Radiohead y Codlplay. En su coleccionde 22 discos compactos, tiene los siguientes:

5 en los cuales cantan ambos, Radiohead y Coldplay.

8 en los que canta Radiohead.

7 en los que canta Coldplay.

12 en los que no canta ninguno de ellos.

Se pregunta:

1. En cuantos de sus discos compactos solo canta Radiohead?

2. En cuantos de sus discos compactos solo canta Coldplay?

3. En cuantos canta al menos uno de estos grupos?Solucion: sean los conjuntos:

R= discos compactos, de la estudiante, en que canta Radiohead

C= discos compactos, de la estudiante, en que canta Coldplay

Se tiene:

|R C|= 5

|R|= 8

|C|= 7|Rc Cc|= 12

Luego, las respuesta a las preguntas seran:

1.|R C|=|R| |R C|= 32.|C R|=|C| |R C|= 23.|R C|=|R| + |C| |R C|= 10

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1.4. Ejercicios

1. Considere el conjuntoA ={1, {1}, {2}}, determine si es Verdadero o Falso las siguientes expresiones

a) {1} A

b) 1A

c) {1} A

d) {1, 2} A

e) Af) {1, 2} A

2. Dados los siguientes conjuntos, indique cuales son iguales.

A1 ={2, 3}A2 ={2, 4}A3 ={3, 2}A4 ={4, 2}A5 ={4, 2, 4}

A6 ={2, 3, 2}A7 ={n :n2 6n+ 8 = 0}A8 ={n :n2 5n+ 6 = 0}A9 ={n : 1< n


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8 Considere U = y los conjuntos: A = [0, 5[, B ={x : x yx 2} y C =] , 1[. Defina losconjuntos.

a) Ac B

b) (Ac B) C

c) (A B)c

d) (A C)ce) Ac Ccf) C B

Ademas, verifique las Leyes de De Morgan y que C Bc =C B.

9 Considere

U={x :x20}

A={x U : 6< x < 16}

B={4, 5, 6, 10, 12, 14}C={n : 2n+ 1 U}

a) Construya un diagrama de Venn con los conjuntos dados.

b) Encuentre por extension:

1) A B2) A C

3) B A4) A (B C)c.

10 ConsidereA y B dos conjuntos cualquiera, complete la siguiente tabla:

Si AB Si A B = Si A = (A B)c =

A B =B A =

11 Durante una sesion de la camara de diputados se voto una importante ley que propuso el gobierno. Los

resultados fueron: Total de votos 21, 13 Votos a favor y 8 Votos en contra Entre los diputados que votaronhaba 10 de oposicion y 11 de Gobierno. Sabiendo que exactamente 2 de estos ultimos votaron en contra dela ley, determine cuantos diputados de oposicion apoyaron la ley del ejecutivo. Explique su razonamiento.

12 Una agencia de turismo realiza una encuesta a 5000 personas para ver las preferencias en materia de viajea Madrid, Roma y Pars. 2400 personas prefieren viajar por lo menos a Madrid, 3000 personas por losmenos a Pars, 2100 por lo menos a Roma, 1000 a Pars y Roma, 800 Madrid y Roma, 1500 a Pars yMadrid, y 500 desean realizar los tres viajes. Entonces.

a) Cuantas personas no desean realizar ningun viaje?

b) Cuantas personas no desean ir a Roma?

c) Cuantas personas desean realizar dos via jes que no implique ir a Pars?

13 De un grupo de 100 personas se desea saber cuales de los siguientes deportes prefiere, f utbol, tenis obasquetball. Se sabe que 60 prefieren futbol, 35 prefieren tenis y solo 15 prefieren basquetball, ademas hay5 persona que prefieren los tres deportes, entonces.

a) Cuantas personas prefieren futbol y tenis?

b) Cuantas personas prefieren solo tenis?

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