A.5 Valores y Vectores Propios
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A.5 Valores y Vectores Propios Subsecciones ● A.5.1 Valores propios diferentes ● A.5.2 Valores propios repetidos ● A.5.3 Obtención de vectores propios generalizados A.5 Valores y Vectores Propios Definición A.30 Valor Propio y Vector Propio A.2 Sea una transformación lineal . Un escalar es un valor propio si existe un vector no nulo tal que . Cualquier vector no nulo que satizfaga (A.24) es un vector propio asociado con el valor propio . La definición E.30 implica que para un vector propio el efecto de aplicarle la transformación lineal que amplificarlo por el escalar . Esto implica que un vector y el vector transformado son colineales o paralelos y por lo tanto linealmente dependientes. La definición E.30 se refiere estrictamente a valores y vectores propios por derecha, para distinguirlos de los valores y vectores propios por izquierda, que deben satisfacer . En este texto sólo se consideran los primeros, y poir tanto se hace referencia a ellos simplemente como valores y vectores propios. Teorema A.15 es un valor propio de s y sólo si satisface la ecuación (A.25) donde es la matriz identidad de igual orden que Demostración A.15 Si es un valor propio de entonces existe un vector tal que file:///E|/Documentos del 98/Todo Matrices/A. Lineal/A_5 Valores y Vectores Propios.htm (1 de 25)17/01/2006 1:10:53
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A.5 Valores y Vectores Propios
Subsecciones
● A.5.1 Valores propios diferentes ● A.5.2 Valores propios repetidos ● A.5.3 Obtención de vectores propios generalizados
A.5 Valores y Vectores Propios
Definición A.30 Valor Propio y Vector PropioA.2
Sea una transformación lineal . Un escalar es un valor propio si existe un
vector no nulo tal que . Cualquier vector no nulo que satizfaga
(A.24)
es un vector propio asociado con el valor propio .
La definición E.30 implica que para un vector propio el efecto de aplicarle la transformación lineal
que amplificarlo por el escalar . Esto implica que un vector y el vector transformado son colineales o paralelos y por lo tanto linealmente dependientes.
La definición E.30 se refiere estrictamente a valores y vectores propios por derecha, para distinguirlos
de los valores y vectores propios por izquierda, que deben satisfacer . En este texto sólo se consideran los primeros, y poir tanto se hace referencia a ellos simplemente como valores y vectores propios.
Teorema A.15 es un valor propio de s y sólo si satisface la ecuación
(A.25)
donde es la matriz identidad de igual orden que
Demostración A.15 Si es un valor propio de entonces existe un vector tal que
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A.5 Valores y Vectores Propios
El término puede escribirse como para facilitar la factorización de
De acuerdo con el teorema E.13 esta ecuación tiene solución no trivial (existe un vector propio ) sí y sólo si
Como el determinante de una matriz no se afecta al multilpicar ésta por un escalar no nulo, podemos escribir
El teorema E.15 brinda una posibilidad para calcular los valores propios de : podemos construir el
polinomio característico y encontrar sus raices. Cada raiz de será un
valor propio de . Los vectores propios pueden obtenerse directamente de (E.24)
Debido a que los valores propios resultan ser las raices del polinomio característico, éstos pueden ser reales o complejos, diferentes o repetidos.
Definición A.31 Multiplicidad
La multiplicidad de un valor propio es el número de veces que éste se repite como raiz del
polinomio característico.
Ejemplo A.30 Obtener los valores y vectores propios de la matriz
Construimos la matriz y hallamos su determinante:
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A.5 Valores y Vectores Propios
Los valores propios de serán las raices de
Los vectores propios asociados a deben cumplir (E.24):
Se crea entonces un sistema de ecuaciones con infinitas soluciones:
Para obtener un vector propio asociado a podemos escoger arbitrariamente un valor para
o para . Por ejemplo, si escogemos obtenemos . En consecuencia, un vector
propio asociado a será
en general
Los vectores propios asociados a también deben cumplir (E.24):
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A.5 Valores y Vectores Propios
Se crea entonces un segundo sistema de ecuaciones con infinitas soluciones:
Para obtener un vector propio asociado a podemos escoger arbitrariamente un valor para
o para . Por ejemplo, si escogemos obtenemos . En consecuencia, un vector
propio asociado a será
en general
Ejemplo A.31 Obtener los valores y vectores propios de la matriz
Construimos la matriz y hallamos su determinante:
Los valores propios de serán las raices de
Al aplicar (E.24) para y se obtienen dos sistemas de ecuaciones con infinitas soluciones
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A.5 Valores y Vectores Propios
Seleccionando arbitrariamente y se obtiene
o en general
A.5.1 Valores propios diferentes
Teorema A.16 Sea una transformación lineal con valores propios no repetidos, y sea un
vector propio de asociado al valor propio . En esas condiciones es directamente
proporcional a cualquier columna no nula de adj
Demostración A.16 La demostración se basa en que para una matriz se tiene que
adj (A.26)
Al aplicar (E.26) a la matriz se tiene
adj
Como es un vector propio de asociado al valor propio , entonces o lo que es
igual
(A.27)
lo que implica que y por tanto
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adj (A.28)
Comparando (E.27) y (E.28) se concluye que es directamente proporcional a cualquier columna no
nula de adj
Ejemplo A.32 Para obtener los vectores propios del ejemplo E.30 construimos
adj adj adj
adj adj adj
Teorema A.17 Sean valores característicos diferentes de , y sea un vector
caracterísitico asociado a con . El conjunto es linealmente
independiente
Demostración A.17 Efectuamos la demostración por contradicción. Suponemos que los son
linealmente dependientes, y por lo tanto existen algunos de los cuales no son nulos, tales que
Suponemos que , (si es necesario reordenamos los vectores) y multiplicamos a cada lado de la
ecuación por
(A.29)
El producto se puede calcular como
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A.5 Valores y Vectores Propios
Y por lo tanto (E.29) se convierte en
Por hipótesis, todos los son diferentes, lo que significa que . Con esta contradicción se
concluye la demostración
Teorema A.18 Sea una transformación lineal ; sean los valores propios de
y un vector propio asociado a , con . Si todos los son diferentes,
entonces el conjunto es una base de
Demostración A.18 Según el teorema E.17 el conjunto es linealmente independiente. Como además
tiene elementos, según el teorema E.2 el conjunto es una base
Teorema A.19 Sea una transformación lineal ; sean los valores propios de
y un vector propio asociado a , con . Si todos los son diferentes,
entonces la transformación lineal se representa en la base por una matriz
diagonal en la que el elemento ésimo de la diagonal es
(A.30)
Demostración A.19 El teorema E.7 permite obtener la representación de en la nueva base. Si
denotamos esta representación por tendremos
con la Matriz modal que contiene los vectores propios
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http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/sistemas/algebra/node6.html#ecu:dem_evector_li
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Para demostrar el teorema construimos y demostramos , o lo que es
equivalente, :
Calculamos por separado y :
(A.31)
(A.32)
Como entonces las ecuaciones (E.31) y (E.32) se reducen a o lo que es
igual
Ejemplo A.33 La transformación lineal representada por la matriz
cuyos valores propios son (Ejemplo E.30) , con vectores propios :
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http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/sistemas/algebra/node6.html#ecu:dem_diag_dif_1
A.5 Valores y Vectores Propios
Tiene una representación en la base por la matriz diagonal
Ejemplo A.34 La transformación lineal representada por la matriz
cuyos valores propios son (Ejemplo E.31) con vectores propios :
Tiene una representación en la base por la matriz diagonal
A.5.2 Valores propios repetidos
La diagonalización planteada en el teorema E.19 no siempre es posible si existen valores propios repetidos. Esto se debe a que el teorema E.17 se refiere a valores propios distintos, y sin ese resultado
no puede asegurarse que el conjunto sea una base. Esto se traduce en que la
matriz modal puede ser singular, y por tanto (E.30) no puede usarse debido a que no existe.
Definición A.32 Degeneracidad
El número de vectores propios de una transformación lineal de orden linealmente
independientes asociados a un valor propio es la degeneracidad del valor propio , denotada por
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Teorema A.20 La degeneracidad de , un valor propio de una transformación lineal de orden
es igual a
(A.33)
Demostración A.20 Los vectores propios de asociados a deben cumplir
Según la definición E.29, el número de vectores propios linealmente independientes serán entonces la nulidad de la matriz que premultiplica al vector,
Podemos emplear (E.17) para escribir
Ejemplo A.35 Obtener los valores y vectores propios de la matriz y diagonalizarla
Construimos la matriz y hallamos su determinante:
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Los valores propios de serán las raices de
La degeneracidad de se obtiene con (E.33):
Lo anterior significa que aunque tiene multiplicidad , sólo es posible encontrar un vector linealmente independiente. Este se obtiene empleando (E.24), y resulta ser
en general
No es posible construir una base para el espacio de dimensión con un sólo vector, por lo tanto no es
posible diagonalizar
Ejemplo A.36 Obtener los valores y vectores propios de la matriz y diagonalizarla
Construimos :
Su polinomio característico resulta ser
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Las raices del polinomio son . Para determinar la degeneracidad de
calculamos
Lo anterior significa que existen dos vectores propios linealmente independientes asociados a
. Estos dos vectores junto con el vector propio asociado a pueden formar una
base y por tanto es posible diagonalizar . Para obtener los tres vectores propios empleamos (E.24):
Se originan los sistemas de ecuaciones
Que se convierten en
Podemos construir dos vectores linealmente independientes que satisfacen y un
tercero que satisface , por ejemplo
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En la base la transformación se representa por :
Definición A.33 Vectores Propios Generalizados
Sea una transformación lineal y sea un valor propio de . es un un vector
propio generalizado de grado de asociado a si y sólo sí
(A.34)
Nótese que para la ecuación (E.34) se reduce a con , que coincide
con la definición E.30 de vector propio
Definición A.34 Cadena de vectores propios generalizados
Sea una transformación lineal y sea un vector propio generalizado de orden
asocialdo a . Los vectores forman una cadena de vectores propios
generalizados de longitud si y sólo sí
(A.35)
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Teorema A.21 Sea el espacio nulo de . es un subespacio de .
Demostración A.21 Sea un vector en , por lo tanto ; al multiplicar a cada
lado por se tiene que y por lo tanto está en . Esto
demuestra que , y por lo tanto es un subespacio de .
Teorema A.22 Sea el espacio nulo de . Sea el ésimo vector de una cadena
como las definidas en (E.35). El vector está en pero no en
Demostración A.22 La demostración se obtiene calculando y y
utilizando (E.35) y (E.34):
Los teoremas E.21 y E.22 se visualizan en la figura E.11. Cada subespacio nulo está embebido
dentro del subespacio nulo , y el vector está justo en la diferencia entre y .
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Teorema A.23 Los vectores de una cadena de vectores propios generalizados como los de la definición E.34 son linealmente independientes
Demostración A.23 dado que cada vector pertenece a un subespacio diferente, según se muestra
en la figura E.11, estos vectores no pueden ser linealmente dependientes.
Ejemplo A.37 Sea la transformación
que tiene un valor propio repetido Para encontrar los espacios nulos y construimos
las matrices y :
El espacio nulo es el conjunto de los vectores tales que , mientras que el espacio
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nulo es el conjunto de los vectores tales que . Claramente se ve que
Es decir, el espacio nulo es la recta de pendiente , mientras que el espacio nulo corresponde
a , tal como se muestra en la figura E.12.
Un vector propio generalizado de orden debe estar en , pero no en , por ejemplo
Lo que origina una cadena de vectores generalizados
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A.5 Valores y Vectores Propios
Teorema A.24 Sea una transformación lineal con un único valor propio repetido,
. Sea un vector propio generalizado de orden asociado a . En
esas condiciones, se cumple que en donde es la matriz modal formada por los
vectores de la cadena de vectores propios generalizados creada por y es una matriz casi-
diagonal que tiene a en la diagonal, encima de la diagonal, y 0 en cualquier otro lugar. Es decir
(A.36)
Demostración A.24 Demostrar (E.36) equivale a demostrar , por lo tanto calculamos
por separado y y comparamos los resultados:
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De acuerdo con la definición E.34, el vector de la cadena se calcula como ,
por lo tanto
lo que significa que las columnas de son iguales a las de . Para demostrar
que la primera columna también es igual, empleamos el teorema E.22, según el cual , es
decir
y por lo tanto , lo que concluye la demostración.
Ejemplo A.38 Sea la transformación
que tiene un valor propio repetido y una cadena de vectores propios generalizados (ejemplo E.37):
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El resultado de calcular es
A.5.3 Obtención de vectores propios generalizados
El teorema E.24 supone que la matriz tiene un vector propio generalizado de orden
asociado al valor propio , a partir del cual se construye una única cadena de vectores. Esto no siempre sucede, por lo tanto, es necesario contar con un procedimiento para encontrar el conjunto de
vectores propios asociados a .
Según el teorema E.21, es un subespacio de , si denotamos por la dimensión de , lo
anterior significa que .
Este hecho permite construir el diagrama de Matthew (figura E.13) en el que se muestran las nulidades
mediante casillas de un arreglo ( será igual al número de casillas para en el
arreglo).
Debido a que es el espacio nulo de , es posible calcular empleando (E.17) y
de esa manera establecer la forma del diagrama de Matthew
Si definimos el diagrama de Matthew tendra la forma que se muestra en la figura
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A.5 Valores y Vectores Propios
E.14
Ejemplo A.39 Forma del arreglo
Cada casilla del diagrama de Matthew podria contener un vector de la base para un . Los vectores
que sirven de base para tambien pueden formar parte de la base de , ya que .
Debido al teorema E.22, un vector de una cadena de vectores puede formar parte de una base para
que no pueden formar parte de una base para . Esto permite diseñar una estrategia para
buscar las bases de los y asi llenar el diagrama de Matthew. Para ello empleamos las siguientes
convenciones .
1. Identificar el número de columnas del diagrama como
2. Identificar las columnas del diagrama como de izquierda a derecha
3. Identificar el tamaño de cada columna como
4. Identificar cada celda por los subindices , con e de
arriba a abajo
5. Identificar el vector de la celda por
Para llenar el diagrama de Matthew deben buscarse vectores propios generalizados
de orden respectivamente. Cada uno de estos vectores estará
ubicado en la primera celda de las columnas, es decir . Cada columna se completa con la
cadena de vectores propios generalizados creada por el primer elemento de la columna. La forma que adopta el diagrama de Matthew se muestra en la figura E.15
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A.5 Valores y Vectores Propios
Ejemplo A.40 Sea la matrizA.3
Para calcular los valores propios de hacemos
Es decir, tiene un valor propio de multiplicidad y un valor propio 0 de multiplicidad . Nos
proponemos encontrar el diagrama de Matthew de los vectores propios asociados a .
Para ello definimos y calculamos
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A.5 Valores y Vectores Propios
Dado que no es necesario continuar, pues lo que implica que , el máximo
valor posible para una matriz . Con la información anterior podemos calcular :
Con esta información podemos construir el diagrama de Matthew
De donde se deduce que , y .
El algoritmo para encontrar es el siguiente:
1. 2. una matriz vacía
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3. una matriz vacía
4. Encontrar , una base para
5. Construir
6. Emplear el algoritmo izquierda-a-derecha para extraer las columnas de linealmente
independientes y adicionárselas a . Por cada columna que se extraiga de se extrae la
columna correspondiente de y se adiciona a la matriz
7. Sea la siguiente columna con . Hacer y repetir desde 4 hasta terminar las
columnas
8. es la matriz que contiene a
Ejemplo A.41 Para obtener los vectores y del ejemplo E.40 identificamos , ,
, y empleamos el algoritmo siguiendo los siguientes pasos
1. Para se tiene que , por lo tanto buscamos una base para , es decir
buscamos los vectores tales que :
2. Construimos
3. Al aplicar el algoritmo izquierda-a-derecha sólo se extrae la primera columna de , por lo
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A.5 Valores y Vectores Propios
tanto las matrices y serán:
4. La siguiente columna de altura menor a es la columna , con , por lo tanto
buscamos una base para , es decir buscamos los vectores tales que :
5. Construimos
6. Al aplicar el algoritmo izquierda-a-derecha sólo se extraen la primera y la cuarta columnas de
, por lo tanto las matrices y serán:
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A.5 Valores y Vectores Propios
7. La matriz contiene los dos necesarios para construir el diagrama de matthew,
por lo tanto el conjunto completo de vectores propios generalizados de asociados a
son los que aparecn en el diagrama de Matthew:
Oscar Germán Duarte Velasco 2002-12-18
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