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Ingeniera Industrial

Circuitos elctricos

Antonio Pastor Gutirrez Jess Ortega Jimnez

Volumen II

unidaddidctica

Antonio Pastor GutirrezJess Ortega Jimnez

CIRCUITOS ELCTRICOSVolumen II

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIN A DISTANCIA

CIRCUITOS ELCTRICOS. Volumen IIQuedan rigurosamente prohibidas, sin laautorizacin escrita de los titulares delCopyright, bajo las sanciones establecidasen las leyes, la reproduccin total oparcial de esta obra por cualquier medioo procedimiento comprendidos la reprografay el tratamiento informtico, y la distribucinde ejemplares de ellas mediante alquilero prstamoS pblicos.

Universidad Nacional de Educacin a DistanciaMadrid, 20

WWWUNEDESPUBLICACIONES

Antonio Pastor Gutirrez y Jess Ortega Jimnez

ISBNELECTRNICO: 978-84-362-

%dicinDIGITAL: febrero de 20

NDICE

Presentacin ......................................................................................................................... 15

UNIDAD DIDCTICA 4

Captulo 15

RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDOORDEN O SUPERIOR

1. Introduccin

2. Escritura de la ecuacin diferencial ................................................................................ 21

3. Resolucin directa de la ecuacin diferencial ................................................................. 24

4. Circuitos de segundo orden ............................................................................................. 34

5. Circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos ................................. 476. Simulacin de las maniobras de cierre o apertura de un interruptor mediante fuentes .. 52

Problemas ............................................................................................................................ 65

Soluciones de los problemas ............................................................................................... 69

8 CIRCUITOS ELCTRICOS (II)

Captulo 16

ANLISIS DE CIRCUITOS MEDIANTE LA TRANSFORMADADE LAPLACE

1. Introduccin .................................................................................................................... 95

2. Definiciones y propiedades fundamentales de la transformada de Laplace ................... 95

2.1 Propiedades de la transformada de Laplace

2.1.1 Teorema del valor inicial ............................................................................. 992.1.2 Teorema del valor final .............................................................................. 1002.1.3 Teorema de la traslacin en el campo complejo ........................................ 1012.1.4 Teorema de la traslacin en el tiempo ....................................................... 1022.1.5 Teorema de la derivacin compleja ........................................................... 1032.1.6 Teorema de la integracin compleja 2.1.7 Teorema del cambio de escala ................................................................... 104

3. Anlisis de circuitos lineales mediante la transformada de Laplace

3.1 Escritura de las ecuaciones .................................................................................. 1073.2 Conversin del circuito al dominio de Laplace ................................................... 1143.3 Transformada inversa de Laplace. Descomposicin en fracciones simples ........ 119

3.3.1 Polos simples ............................................................................................. 1203.3.2 Polos mltiples ........................................................................................... 128

4. Circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos ............................... 1315. Maniobra de interruptores ............................................................................................. 135

Problemas .......................................................................................................................... 145

Soluciones de los problemas ............................................................................................. 149

Captulo 17

ANLISIS DE CIRCUITOS MEDIANTE VARIABLES DEESTADO

1. Introduccin .................................................................................................................. 167

2. Anlisis de circuitos propios por inspeccin ................................................................ 173

2.1 Circuitos RLC ...................................................................................................... 174

2.1.1 Formulacin por superposicin ................................................................. 177

NDICE 9

2.1.2 Mtodo del rbol propio ............................................................................ 178

2.2 Circuitos con acoplamientos magnticos 2.3 Circuitos con fuentes dependientes ...................................................................... 181

3. Anlisis de circuitos impropios por inspeccin ............................................................ 184

3.1 Circuitos impropios RLC ..................................................................................... 1853.2 Formulacin por superposicin ........................................................................... 1893.3 Ecuacin de estado en forma normal ................................................................... 191

4. Conceptos de estado y orden de complejidad ............................................................... 1995. Solucin de la ecuacin de estado ............................................................................... 201

Problemas .......................................................................................................................... 209


Captulo 18

CIRCUITOS LINEALES EN RGIMEN TRANSITORIO.MTODOS NUMRICOS

1. Introduccin

2. Mtodos numricos de integracin ............................................................................... 233

3. Anlisis de circuitos lineales en rgimen transitorio por mtodos numricos .............. 238

3.1 Equivalentes Thvenin y Norton de bobinas y condensadores ............................ 2513.2 Equivalentes Thvenin y Norton de bobinas acopladas ...................................... 2573.3 Circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos ...................... 264

4. Integracin numrica de las ecuaciones de estado de circuitos lineales ....................... 274

Problemas .......................................................................................................................... 279


UNIDAD DIDCTICA 5

Captulo 19

CUADRIPOLOS

1. Introduccin .................................................................................................................. 323

2. Parmetros de los cuadripolos ...................................................................................... 324


2.1. Impedancias a circuito abierto ............................................................................ 3242.2. Admitancias en cortocircuito .............................................................................. 3302.3. Parmetros hbridos ............................................................................................ 3352.4. Matriz de cadena y matriz de cadena inversa ..................................................... 3382.5. Relaciones entre parmetros ............................................................................... 341

3. Cuadripolo entre dipolos terminales ............................................................................. 344

4. Asociaciones de cuadripolos

4.1. Asociacin en cascada ........................................................................................ 3504.2. Asociacin serie .................................................................................................. 3534.3. Asociacin paralelo ............................................................................................. 3594.4. Asociacin serieparalelo ................................................................................... 3634.5. Asociacin paraleloserie ................................................................................... 3664.6. Aplicaciones ........................................................................................................ 369

Problemas .......................................................................................................................... 375


Captulo 20

CUADRIPOLOS ELEMENTALES

1. Cuadripolos recprocos ................................................................................................. 403

2. Cuadripolos simtricos .................................................................................................. 407

3. Dipolo en serie y dipolo en paralelo

3.1. Dipolo en serie .................................................................................................... 4083.2. Dipolo en paralelo ............................................................................................... 409

4. Cuadripolos en L (en * ) y en L (en * ) invertida 4.1. Cuadripolos en L y en * ..................................................................................... 4104.2. Cuadripolos en L invertida y en * invertida

5. Cuadripolos en 3 y en T ............................................................................................... 411

6. Cuadripolo en celosa .................................................................................................... 420

7. Cuadripolos en T puenteada y en doble T .................................................................... 425

8. Cuadripolo en escalera .................................................................................................. 427

9. Circuitos equivalentes de cuadripolos no recprocos .................................................... 437

10. Cuadripolos con fuentes independientes ..................................................................... 441

11. Teorema de Bartlett...................................................................................................... 447

Problemas .......................................................................................................................... 451

NDICE 11


Captulo 21

ANLISIS DE CIRCUITOS RESISTIVOS NO LINEALES

1. Introduccin .................................................................................................................. 477

2. Resistencias no lineales de dos terminales .................................................................... 478

3. Circuitos con una sola resistencia no lineal de dos terminales ..................................... 480

3.1 Solucin grfica ................................................................................................... 4813.2 Solucin numrica ............................................................................................... 4833.3 Anlisis mediante linealizacin por tramos de la caracterstica .......................... 496

4. Caso general de circuitos resistivos con resistencias no lineales de dos terminales

4.1 Solucin numrica

4.1.1 Mtodo de la tabla ........................................................................................ 499

4.1.2 Mtodo nodal modificado ............................................................................ 500

4.2 Anlisis mediante linealizacin por tramos de la caracterstica .......................... 504

5. Circuitos resistivos con resistencias no lineales multiterminales ................................. 508

5.1 Anlisis de circuitos con resistencias multiterminales ........................................ 5095.2 Circuitos con transistores bipolares ..................................................................... 5135.3 Circuitos con amplificadores operacionales ........................................................ 524

Problemas .......................................................................................................................... 535


Captulo 22

CIRCUITOS NO LINEALES CON BOBINAS YCONDENSADORES

1. Introduccin

2. Anlisis de circuitos no lineales con bobinas y condensadores lineales ....................... 571

3. Anlisis de circuitos con bobinas y condensadores no lineales .................................... 576

3.1. Definiciones ......................................................................................................... 576

3.2. Planteamiento de las ecuaciones

3.2.1. Condensadores no lineales .......................................................................... 578

3.2.2. Bobinas no lineales ..................................................................................... 586


3.3. Equivalentes de bobinas y condensadores no lineales ......................................... 594

4. Anlisis de pequea seal ............................................................................................. 600

4.1. Elementos de dos terminales ................................................................................ 602

4.2. Elementos de cuatro terminales ........................................................................... 608

Problemas .......................................................................................................................... 617


UNIDAD DIDCTICA 6

Captulo 23

RESONANCIA

1. Anlisis de circuitos en el dominio de la frecuencia

2. Funciones de red ........................................................................................................... 641

3. Conversin de circuitos equivalentes de bobinas y condensadores reales ................... 644

4. Resonancia en un circuito serie RLC ............................................................................ 649

5. Resonancia en un circuito paralelo RLC ........................................................................ 666

6. Circuito paralelo RLC (prctico) de dos ramas ............................................................. 667Problemas .......................................................................................................................... 675


Captulo 24

BOBINAS ACOPLADAS EN RGIMEN ESTACIONARIOSINUSOIDAL

1. Bobinas acopladas en rgimen estacionario sinusoidal ................................................ 697

2. Transformador ideal ...................................................................................................... 700

3. Transformador real con ncleo de aire ......................................................................... 707

4. Transformador real con ncleo de hierro ...................................................................... 716

Problemas .......................................................................................................................... 725


NDICE 13

Captulo 25

CIRCUITOS LINEALES CON ONDAS PERIDICAS NOSINUSOIDALES

1. Introduccin .................................................................................................................. 749

2. Series de Fourier. Armnicos ....................................................................................... 750

3. Valores y factores caractersticos .................................................................................. 758

4. Anlisis de circuitos lineales ......................................................................................... 767

5. Resonancia .................................................................................................................... 773

6. Potencias activa, reactiva y aparente. Factor de potencia ............................................. 778

7. Potencias reactiva y de distorsin ................................................................................. 786

8. Mejora del factor de potencia con elementos reactivos ................................................ 7979. Armnicos en sistemas trifsicos equilibrados ............................................................. 807

Problemas .......................................................................................................................... 823


Captulo 26

SENSIBILIDAD

1. Introduccin .................................................................................................................. 843

2. Clculo de sensibilidades de forma directa ................................................................... 843

3. Determinacin de sensibilidades en un circuito resistivo mediante la red adjunta ....... 8464. Sensibilidades en circuitos resistivos con fuentes dependientes ................................... 854

5. Sensibilidades respecto de las fuentes independientes ................................................. 859

6. Aplicacin de la red adjunta a la determinacin de los equivalentes Thvenin y Norton de un dipolo ...................................................................................................... 864

7. Clculo de sensibilidades mediante el vector adjunto .................................................. 8698. Sensibilidades en circuitos lineales en rgimen estacionario sinusoidal ...................... 874

Problemas .......................................................................................................................... 879


PRESENTACINLa actualizacin de los planes de estudios, que sitan a la asignatura de Electrotecnia

en los cursos segundo y tercero de la carrera de Ingeniero Industrial, ha hecho necesario laescritura de un texto para cubrir los programas de las asignaturas Electrotecnia I yElectrotecnia II, en sustitucin del utilizado en el plan de 1976.

Se presenta aqu el volumen II de este texto, Circuitos Elctricos, orientadoprincipalmente a la asignatura Electrotecnia II. Se supone, por tanto, que el lector conocela materia presentada en el volumen I. La asignatura Electrotecnia II aparece en los planesde estudios de algunas Universidades como una asignatura comn en tercer curso para lasespecialidades de Ingeniera Elctrica y de Ingeniera Electrnica y Automtica. Por ello,el contenido del libro se ha estructurado en tres Unidades Didcticas, de forma que las dosprimeras (Unidades 4 y 5, siguiendo la numeracin iniciada en el volumen I) se puedenconsiderar como fundamentales para la asignatura, mientras que la ltima (Unidad 6) dejaun cierto grado de libertad para adaptar el libro a la especialidad correspondiente. Porejemplo, para los alumnos de la especialidad de Ingeniera Elctrica se pueden seleccionarlos captulos 23, Resonancia, y 24, Bobinas acopladas en rgimen estacionario sinusoidal,y para los alumnos de la especialidad de Electrnica y Automtica, los captulos 25,Circuitos con ondas peridicas no sinusoidales, y 26, Sensibilidad. En todo caso, deberser el criterio del profesor el que seleccione la materia. Adems, es necesario incluir enElectrotecnia II, si no ha dado tiempo a verlo en Electrotecnia I, el mtodo de anlisisnodal modificado y completar el estudio de circuitos de primer orden en rgimentransitorio (ambos en el volumen I).

Por la materia tratada y por el tipo de alumnos a que va dirigido el libro, se presentanun gran nmero de problemas al final de cada captulo, totalmente resueltos. Se pretendecon ello que el alumno compruebe que ha comprendido la teora y adquiera la capacidadnecesaria para ponerla en prctica. Se ha buscado, en general, que los problemascorrespondan a casos prcticos que se presentan en Ingeniera Elctrica y en Electrnica.

A continuacin se indica, de forma resumida, la materia cubierta por cada captulo.


La Unidad Didctica 4 se dedica al estudio de los mtodos de anlisis de circuitos enrgimen transitorio. En el captulo 15 se desarrolla un mtodo basado en la escritura de lasecuaciones diferenciales del circuito y su posterior resolucin. Es una continuacin delmtodo seguido para los circuitos de primer orden en el captulo 14 del volumen I y,aunque no se lleva hasta sus ltimas consecuencias, puede decirse que es un esbozo delmtodo operacional para el estudio de los circuitos en el dominio del tiempo, iniciado porHeaviside y continuado posteriormente por Carson. Tal como se presenta, tiene aplicacin,sobre todo, para circuitos de segundo orden. El captulo 16 se dedica al mtodo basado enla transformada de Laplace, con el que se pueden analizar circuitos de cualquier ordenpasando del dominio del tiempo al de la variable compleja s. En el captulo 17 se estudia elmtodo de las variables de estado, que adems de ser una alternativa a los mtodosanteriores, abre nuevos horizontes para la aplicacin a los circuitos de conceptos de laTeora de Sistemas. Finaliza la Unidad Didctica 4 con el captulo 18 dedicado a losmtodos numricos de anlisis de circuitos lineales en rgimen transitorio. Las tcnicaspresentadas en l constituyen la base de programas de ordenador disponibles hoy da parael anlisis de circuitos electrnicos y de los sistemas de energa elctrica en rgimentransitorio. Con algunos problemas del final del captulo se hace ver la potencia de estosmtodos, con los que se pueden abordar circuitos de gran complejidad.

En la Unidad Didctica 5 se presenta la teora bsica de cuadripolos y las tcnicas deanlisis de circuitos con elementos no lineales. El captulo 19 contiene las distintas formasde caracterizar un cuadripolo y las asociaciones de cuadripolos, con algunas ideas prcticasimportantes para el estudio de cuadripolos que conectan dos dipolos, uno de ellosconsiderado como transmisor y el otro como receptor. El captulo 20 desarrolla an ms lateora de cuadripolos con las condiciones de reciprocidad y simetra. Se estudian asimismodiferentes formas de cuadripolos equivalentes de uno dado, que permiten simplificarconsiderablemente el estudio de una parte de un circuito por reduccin del resto a uno destos cuadripolos equivalentes. El captulo 21 desarrolla las tcnicas de anlisis decircuitos resistivos no lineales, basadas en mtodos grficos, en los equivalentes Newton oen las tcnicas de linealizacin por tramos. Se tratan tanto los elementos de dos terminales(diodos, resistencias variables con la tensin, etc.) como los de cuatro terminales(transistores, amplificadores operacionales, etc.). El captulo 22 se dedica al estudio decircuitos no lineales que contienen bobinas y/o condensadores. Se presentan mtodosnumricos que combinan las tcnicas ya expuestas en los captulos 18 y 21. Se finaliza conel anlisis de pequea seal de circuitos no lineales.

La Unidad Didctica 6 comprende: El captulo 23 con una introduccin al anlisis decircuitos en el dominio de la frecuencia y, sobre todo, a los circuitos en condiciones deresonancia por sus importantes repercusiones de tipo prctico. El captulo 24 que desarrollala teora de bobinas acopladas y del transformador ideal en rgimen estacionario sinusoidalpara llegar al circuito equivalente del transformador real. El captulo 25 se dedica alestudio de circuitos lineales en rgimen permanente con formas de onda no sinusoidales.Es un tema de gran actualidad en el que se amplan algunos de los conceptos estudiados enlos circuitos en rgimen estacionario sinusoidal. El captulo 26 trata el anlisis deSensibilidad, es decir la variacin producida en las respuestas de un circuito por lavariacin de los parmetros de los elementos constituyentes del mismo.

UNIDAD DIDCTICA 4

Captulo 15. Rgimen transitorio. Circuitos de segundo orden o superior

Captulo 16. Anlisis de circuitos mediante la transformada de Laplace

Captulo 17. Anlisis de circuitos mediante variables de estado

Captulo 18. Circuitos lineales en rgimen transitorio. Mtodos numricos

Captulo 15

RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDOORDEN O SUPERIOR

1. Introduccin

2. Escritura de la ecuacin diferencial

3. Resolucin directa de la ecuacin diferencial

4. Circuitos de segundo orden

5. Circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos

6. Simulacin de las maniobras de cierre o apertura de un interruptor mediante fuentes

Problemas

Soluciones de los problemas

1. INTRODUCCINEn este captulo se va a estudiar el mtodo de anlisis de circuitos en rgimen

transitorio, mediante la escritura y resolucin directa de la ecuacin diferencial de unadeterminada respuesta, aplicado, sobre todo, a los circuitos de segundo orden. En loscircuitos de orden superior este procedimiento tiene una dificultad importante a la hora dedeterminar las constantes de integracin a partir de las condiciones iniciales, por lo que nose suele emplear y se sustituye por otros ms cmodos, como el basado en la transformadade Laplace.

En general, se va a suponer que el transitorio se inicia en t = 0, y que la respuestabuscada se determina para t > 0, mediante la escritura de su ecuacin diferencial (vlidapara t > 0) y su posterior resolucin, con la aplicacin de condiciones de contornocorrespondientes a t = 0+. Esto significa que no aparecern en la solucin posibles impulsosdebidos a cambios bruscos en tensiones (cargas) de condensadores o en intensidades(enlaces de flujo) de bobinas, al pasar de t = 0- a t = 0+. Para obtener estos impulsos, serealizar un estudio particular de la transicin entre estos dos instantes, como se hizo conlos circuitos de primer orden al estudiar circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos decorte inductivos.

2. ESCRITURA DE LA ECUACIN DIFERENCIALPara obtener la ecuacin diferencial correspondiente a una determinada respuesta, de

un circuito dado, se trabaja en el dominio del tiempo con los elementos pasivoscaracterizados por sus impedancias o admitancias operacionales, sin tener en cuenta lasfuentes de tensin o de intensidad correspondientes a las condiciones iniciales de bobinas ycondensadores. Es decir, se considera el circuito a estado inicial cero al escribir la ecuacindiferencial de la variable en estudio. En un paso posterior, cuando se resuelve la ecuacindiferencial, se tienen en cuenta las condiciones iniciales para determinar las constantes deintegracin.


Si se aplica el mtodo de anlisis nodal modificado, se puede hacer que la respuestabuscada aparezca como una incgnita del sistema de ecuaciones que resulta. As, si es laintensidad de una rama del circuito, se pone esta rama en el grupo 2 y, si es la tensin entredos puntos del circuito se toma uno de ellos como nudo de referencia, con lo que la tensinbuscada es una de las tensiones de nudo. De esta forma, al despejar del sistema deecuaciones

[T ][x] = [w] [15.1]

la variable en estudio, xj, se obtiene una expresin del tipo

pjpj2j1

j

'''wwwx

''

''

''

21 [15.2]

donde ' es el determinante de la matriz de coeficientes, [T ] y ''jk es el adjunto delelemento situado en la fila k de la columna j de '. Tanto ' como los ''jk , en general, sonfunciones del operador D.

La expresin [15.2] se puede poner en la forma equivalente

'xj = ''j1w1 + ''j2w2 + ... + ''jpwp [15.3]

donde el signo algebraico de multiplicacin () tiene el significado de "aplicado sobre", yaque se trata de funciones del operador D que se aplican sobre determinadas funciones deltiempo.

Una ventaja de emplear el mtodo de anlisis nodal modificado, adems de sugeneralidad, es que se puede hacer que el operador D aparezca siempre como factor ynunca como divisor, si se toman las ramas del circuito que contienen bobinas como delgrupo 2. De esta forma, los determinantes de la ecuacin [15.3] son polinomios deloperador D, con lo que se tiene

P(D)xj = Pj1(D)w1 + Pj2(D)w2 + ... + Pjp(D)wp [15.4]

o bien, de forma abreviada,

P(D)xj = g(t) [15.5]

donde g(t) es una funcin conocida, ya que las funciones w1(t), w2(t), ... , wp(t), son, engeneral, sumas algebraicas de las excitaciones del circuito.

La ecuacin [15.5] es la ecuacin diferencial buscada. Como se ver ms adelante, encircuitos con fuentes de continua o con fuentes sinusoidales, no es necesario conocer lafuncin g(t) para determinar la respuesta xj(t), por lo que solo hay que obtener eldeterminante de la matriz de coeficientes, ', esto es, el polinomio P(D).

RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 23

El procedimiento descrito puede seguirse con cualquier otro mtodo de anlisis. Si, eneste caso, el operador D aparece como divisor en alguno de los trminos de losdeterminantes de la ecuacin [15.2], habr que realizar las operaciones algebraicas quesean necesarias para llegar finalmente a la forma indicada en la ecuacin [15.5]. Es muyimportante recordar, cuando se manejan expresiones con el operador D, que no hayconmutatividad entre este operador y las funciones temporales sobre las que se aplica. Entodo caso ser conveniente elegir un mtodo de anlisis en el que la respuesta buscadaaparezca como incgnita en el sistema de ecuaciones que se plantee.

Ejemplo 15.1

Obtener la ecuacin diferencial de la variable i(t) en el circuito de la figura 15.1.

Figura 15.1Puesto que

i = uB /1

se va a determinar la expresin de uB mediante el mtodo de anlisis por nudos.

La tensin del nudo A, uA, es conocida

uA = Us

por lo que basta escribir las ecuaciones de los nudos B y C:

Nudo B: 021

211

21

21

CBA

1DDuuu

Nudo C: 011211

CBA D

2DDuuu

De aqu se obtiene

i

L1 = 1 H

Us = 10 V

A B C

0

L2 = 2 H

R1 = 1 :

R2 = 2 :

C = 1 F


sCBDD

Uuu21

21

23

21

sCBD

D2D

Uuu111

21

y, en forma matricial,

s

s

C

B2

D

D

2D

2DD2

2

1-

2

1-

2D

D

U

U

u

u.

22

2131

[15.6]

Si se multiplican por 2D ambos miembros de la ecuacin [15.6] (se tratan lasecuaciones diferenciales como si fueran algebraicas), se obtiene

s

s

C

B22DD2D-

D-D

U

U

u

u.

231

y, de aqu, se despeja la tensin del nudo B

22s

2

2

2s

s

BD2)DDD)((

2)DD(

2DD2D-

D-D

2DD2

D-

23132

312 UUU

u

La ecuacin diferencial correspondiente a uB y, por tanto, a i, es

(6D3 + 4D2 + 7D + 2)i = (2D2 + 3D + 2)Us

Si se sustituye en el segundo miembro Us por la constante 10 se obtiene finalmente

(6D3 + 4D2 + 7D + 2)i = 20

que es la ecuacin diferencial buscada de la variable en estudio.

3. RESOLUCIN DIRECTA DE LA ECUACIN DIFERENCIALEn un circuito lineal e invariable con el tiempo, la ecuacin diferencial [15.5] es una

ecuacin diferencial lineal de coeficientes constantes. Por consiguiente, la respuestabuscada est formada por dos trminos

xj(t) = x'j(t) + x''j(t) [15.7]


donde x'j(t) es la solucin de la ecuacin diferencial homognea, y x''j(t) es una solucinparticular de la ecuacin diferencial completa.

La solucin de la ecuacin diferencial homognea es de la forma

x'j(t) = A1. tre 1 + A2. tre 2 + A3. tre 3 + ... [15.8]

donde r1, r2, r3, etc., son las races de la ecuacin caracterstica

P(r) = 0 [15.9]

que se han supuesto distintas y reciben el nombre de frecuencias naturales del circuito.P(r) es el polinomio P(D) de la ecuacin diferencial [15.5], en el que se ha sustituido eloperador D por r.

Es de destacar que, al ser ' el determinante de la matriz de coeficientes del sistema deecuaciones correspondiente al mtodo de anlisis seguido, el polinomio P(D) es el mismopara cualquier variable y, por tanto, en la mayor parte de los casos, todas las respuestas delcircuito tienen las mismas frecuencias naturales (excepto en algunos circuitos particulares,o que alguna de las constantes, Ak, se anule al imponer condiciones inicialesposteriormente).

La solucin particular de la ecuacin diferencial completa, x"j(t), que, en circuitosreales estables, es la respuesta de rgimen permanente, xjf(t), se obtiene siguiendo elprocedimiento ya estudiado en los circuitos de primer orden:

Si las fuentes son de continua, se sustituyen las bobinas por cortocircuitos y loscondensadores por circuitos abiertos, respectivamente, y se analiza el circuito resultante.

Si las fuentes son sinusoidales, se pasa el circuito al campo complejo, se determina elcomplejo correspondiente a la variable en estudio y se vuelve al dominio del tiempo.

Si las fuentes son de forma de onda diferente a las anteriores se aplica el mtodo decoeficientes indeterminados.

Es importante observar que, en este mtodo de resolucin de la ecuacin diferencial,cuando las fuentes son de continua o sinusoidales, no se utiliza el segundo miembro, yaque ste solo afecta a la solucin particular que, en estos casos, se obtiene de maneradirecta por anlisis de circuitos derivados del original.

Una vez hallada la respuesta de rgimen permanente, si se sustituyen los resultadosanteriores en la ecuacin [15.7], se tiene

xj(t) = xjf(t) + A1. tre 1 + A2. tre 2 + A3. tre 3 + ... [15.10]


Para finalizar, hay que determinar las constantes de integracin Ak a partir de lascondiciones iniciales del circuito. La informacin disponible de forma inmediata en t = 0+son las tensiones en los condensadores y las intensidades en las bobinas, ya que son lasmismas que en t = 0 (o se pueden determinar a partir de stas, como ya se ha visto en loscircuitos de primer orden, cuando hay lazos capacitivos o conjuntos de corte inductivos).

Figura 15.2

En general, para determinar las condiciones de contorno de la ecuacin diferencial, sepuede seguir el procedimiento que se indica a continuacin.

En primer lugar, se sustituyen las bobinas y condensadores por fuentes de intensidad yde tensin, respectivamente, como se indica en la figura 15.2.

A continuacin, cualquier variable del circuito resistivo resultante, por ejemplo, iR, sepuede obtener por superposicin mediante la expresin

iR(t) = k u1,R.us1 +... + k i1,R.is1 +... + k C1,R.uC1 +... + k L1,R.iL1 +... [15.11]

donde los coeficientes k son nmeros reales (no contienen el operador D), ya que en laparte del circuito que queda en el interior del rectngulo no hay bobinas ni condensadores.

Esta expresin permite determinar la variable iR en cualquier instante, supuesto que endicho instante se conocen iL1, iL2, ... y uC1, uC2,... Para t = 0+ las tensiones en loscondensadores y las intensidades en las bobinas, son conocidas, ya que son las mismas queen t = 0 (o se pueden determinar a partir de stas, como ya se ha visto, cuando hay lazoscapacitivos o conjuntos de corte inductivos). Por tanto, se puede escribir

iR(0+) = k u1,R.us1(0+) + ... + k i1,R.is1(0+) + ... + k C1,R.uC1(0+) +... + k L1,R.iL1(0+) +... [15.12]

donde el segundo miembro es conocido. Esto constituye la primera condicin de contornopara la ecuacin diferencial.

b)

us1

is1

C.P.Resistivo

iRR

uC1

iL1

a)

us1

is1C1

C.P.Resistivo

iRR

L1

uC1

iL1


Como segunda condicin de contorno se utiliza la derivada de la variable en estudio,particularizada para t = 0+. Para calcularla, basta derivar en la expresin [15.11], con lo quese obtiene

...t

i...

t

u

t

i

t

u

t

i LRL

CRCRiRu

R d

dk

d

dk...

d

dk...

d

dk

d

d,,

s11,

s11,

11

11 =

...L

)t(u...

C

)t(i

t

i

t

u LRL

CRCRiRu

1

11

1

11 ,,

s11,

s11, kk...

d

dk...

d

dk [15.13]

donde las derivadas de las excitaciones son conocidas en cualquier instante y los valoresiC1(t) y uL1(t) se obtienen con una expresin anloga a la [15.11], es decir, se determinanmediante el anlisis del circuito de la figura 15.2b

iC1(t) = k u1,C1.us1 +... + k i1,C1.is1 +... + k C1,C1.uC1 +... + k L1,C1.iL1 +... [15.14]

uL1(t) = k u1,L1.us1 +... + k i1,L1.is1 +... + k C1,L1.uC1 +... + k L1,L1.iL1 +... [15.15]

Si se sustituyen las ecuaciones [15.14] y [15.15] en [15.13] se tiene

)),...(),...(,...),(,...),(,...,d

d,...,

d

df(

d

ds1s1

s1s1 titutitut

i

t

u

t

iLC

R11 [15.16]

y para t = 0+

)),...(0),...(0,...),(0,...),(0,...,d

d,...,

d

df(

d

d1s1s1

0

s1

0

s1

0

LC

ttt

R iuiut

i

t

u

t

i1

[15.17]

donde el segundo miembro es conocido para t = 0+, lo que permite determinar la segundacondicin de contorno para la ecuacin diferencial.

Ejemplo 15.2

Figura 15.3

El circuito de la figura 15.3 se encuentra en rgimen permanente. En un instante dado,que se toma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S. Se pide:

C = 0,2 F

R1 = 1 :

R2 = 2 :

L = 3 H

is = 10sent A us = 20cost V

S

i


a) Hallar la ecuacin diferencial de la intensidad i(t) para t > 0.

b) Hallar i(0+) y (di/dt)~t = 0+

a) Para obtener la ecuacin diferencial de i(t) se emplean las impedanciasoperacionales de los elementos del circuito, como se muestra en la figura 15.4a. En lafigura 15.4b se ha sustituido la fuente real de intensidad por la fuente real de tensinequivalente y se ha utilizado la impedancia de la asociacin serie del condensador y de laresistencia R1.

Figura 15.4

Al aplicar el teorema de Millman al circuito de la figura 15.4b, se obtiene

10179515

31

21

20111

3201120

21

21

DD

D)(D

DD),(

DD),(

D),(

2ss

ss

AB

ui

/

u

/

/i

ui

y, de aqu, se deduce la ecuacin diferencial buscada

(9D2 + 17D + 10)i = 15Dis + (5 + D)us

donde, al sustituir las funciones temporales correspondientes a is y us, se obtienefinalmente

(9D2 + 17D + 10)i = 250cost 20sent

b) Para determinar las condiciones de contorno, se sustituye la bobina por una fuentede intensidad y el condensador por una fuente de tensin, con lo que se obtiene el circuitoresistivo de la figura 15.5a. En ste se deduce inmediatamente

12

1

2 iuiR

iRuii CL

CL

y, al despejar la intensidad i, resulta

ZR1 = 1 ZL = 3D

is usZC = 1/(0,2D) ZR2 = 2

a) b)

ZR1C = 1 + 1/(0,2D) ZL = 3D

is /(0,2D) usZR2 = 2

i

A

B


)( LC iui 31

[15.18]

y, para t = 0+,

)()()( 00310 LC iui [15.19]

Figura 15.5

Para obtener las condiciones iniciales en la bobina y en el condensador, se pasa elcircuito correspondiente a t < 0 (con el interruptor abierto), que se encuentra en rgimenestacionario sinusoidal, al campo complejo, como se indica en la figura 15.5b.

Los valores complejos de las fuentes, si se refieren a la funcin coseno, sonIs = j10 A y Us = 20 V. De forma inmediata se obtiene

UC = ZC Is = j5(j10) = 50 V

131320

1360

1340

3220

2

j

j

s

RLL ZZ

UI /56,31 A

y, por consiguiente, en el rgimen permanente previo al cierre del interruptor, se tiene

uC (t) = 50cost

),cos()(180

315613

1320 ttiL

y, de aqu, resulta

uC (0) = 50cos(0) = 50 V

A13

40),cos()( 180

3156013

13200Li

b)

Is ZC = j5 :

ZR1 = 1:

ZR2 = 2:

ZL = j3 :

UsUC

IL

a)

R1 = 1 :

is usR2 = 2 :uC

iL

uL

iC i


Es interesante observar que una funcin temporal g(t) = Gmcos(Zt + T ), que se haobtenido del complejo Gm/T = GmcosT + jGmsenT , tiene un valor en t = 0 que coincidecon la parte real de dicho complejo

g(0) = Gmcos(0 + T ) = GmcosT

De manera anloga, una funcin temporal g(t) = Gmsen(Zt + T ), que se ha obtenidodel complejo Gm /T = GmcosT + jGmsenT , tiene un valor en t = 0 que coincide con laparte imaginaria de dicho complejo

g(0) = Gmsen(0 + T ) = GmsenT

Puesto que uC (0+) = uC (0) e iL(0+) = iL(0), se tiene uC (0+) = 50 V, iL(0+) = 40/13 A y,al sustituir valores en la ecuacin [15.19], se obtiene la primera condicin de contorno

i(0+) = (50 + 40/13 )/3 = 15,641 A

Para obtener la segunda condicin de contorno se deriva la ecuacin [15.18] respectodel tiempo, con lo que se tiene

000 31

31

t

LC

t

LC

t L

u

C

i

t

i

t

u

t

i

d

d

d

d

d

d [15.20]

Los valores de iC (0+) y uL(0+) se obtienen del circuito de la figura 15.5a como

A,)(,

)( s 72181506415200

01

2

t

CC R

uiRii

uL(0+) = us(0+) R2 i(0+) = 20 2(15,64) = 51,28 V

y, al sustituir estos valores en la ecuacin [15.20], resulta

A/s,,

,

,

d

d 903632851

207218

31

0

tt

i

Para ecuaciones de orden superior al segundo, se imponen como condiciones decontorno derivadas sucesivas de iR para las cuales se obtienen expresiones similares a la[15.13]. Por ejemplo, para la derivada segunda, resulta de [15.16]

),...d

d,...,

d

d,...,

d

d,...,

d

d,...,

d

d,...,

d

d(f

d

d s1s1s12

s122

t

i

t

u

t

i

t

u

t

i

t

u

t

i LCR 11222 =


),...)(

,...,)(

,...,d

d,...,

d

d,...,

d

d,...,

d

d(f s1s1s1

2s1

2

1

1

1

122 L

tu

C

ti

t

i

t

u

t

i

t

u LC [15.21]

De nuevo, si se sustituyen las ecuaciones [15.14] y [15.15] en [15.21] resulta

)),...(,...,)(,...),(,...),(,...,d

d,...,

d

d,...,

d

d,...,

d

d(g

d

d11s1s1

s1s1s12

s122

titutitut

i

t

u

t

i

t

u

t

iLC

R222

[15.22]donde el segundo miembro es conocido para t = 0+.

Ejemplo 15.3

Resolver la ecuacin diferencial correspondiente a i(t)

(6D3 + 4D2 + 7D + 2)i = 20

obtenida en el ejemplo 15.1, con las condiciones iniciales siguientes: uC(0+) = 0 V,iL1(0+) = iL2(0+) = 0 A

En primer lugar se determinan las races de la ecuacin caracterstica

6r3 + 4r2 + 7r + 2 = 0

Son las siguientes:

r1 = 0,3157r2 = 0,1755 + j1,0125r3 = 0,1755 j1,0125

La solucin buscada, de acuerdo con la expresin [15.10], es de la forma

i(t) = if(t) + A1e0,3157t + e0,1755t [A2.cos(1,0125t) + A3.sen(1,0125t)] [15.23]

La respuesta de rgimen permanente, al tratarse de un circuito de continua, se obtienefcilmente despus de sustituir las bobinas por cortocircuitos y el condensador por uncircuito abierto en la figura 15.1. El resultado es

if(t) = 10 A

con lo que la ecuacin [15.23] queda

i(t) = 10 + A1e0,3157t + e0,1755t [A2.cos(1,0125t) + A3.sen(1,0125t)] [15.24]


Se puede obtener una expresin del tipo indicado en la ecuacin [15.11], a partir delcircuito de la figura 15.1, si se sustituyen en l las bobinas por fuentes de intensidad y elcondensador por una fuente de tensin, con lo que resulta el mostrado en la figura 15.6.

Figura 15.6

Si se aplica el mtodo de anlisis por lazos bsicos, elegido el rbol representado contrazo ms grueso, se tienen las ecuaciones siguientes:

Lazo a: 2ic +(2 + 1)ia = uC [15.25]

Lazo b: ib = iL1

Lazo c: ic = iL2

Como, adems, i = ia, se puede despejar i de la ecuacin [15.25], con lo que resulta

i(t) =32 )()( 2 titu LC [15.26]

La primera condicin de contorno es

i(0+) =32 )(0)(0 2

LC iu = 0 [15.27]

Para la segunda condicin de contorno se deriva respecto de t la expresin [15.26]

22

1312

312

31

2

)()()()(

d

d

d

d

d

d 222 tuti

L

tu

C

ti

t

i

t

u

t

i LCLCLC [15.28]

Adems, del circuito de la figura 15.6 se obtiene

iC = iL1 + iL2 i [15.29]

i

2:

uC1:us

A B C

0

iL1

iL2ia

ib

ic

iC

uL1

uL2


uL1 = us uC [15.30]

uL2 = us 1.i [15.31]

Si se sustituyen [15.29] y [15.31] en [15.28] dan como resultado

> @> @)()())()()((d

ds21 titutititit

iLL 3

1

Aqu, en este ejemplo, se puede sustituir i(t) en funcin uC e iL2, para llegar a unaexpresin del tipo dado por la ecuacin [15.16], o bien, se puede dejar sin sustituir:

> @)(2)()()(d

ds21 titutitit

iLL 3

1 [15.32]

Particularizando para t = 0+, se tiene la segunda condicin de contorno

> @3

10000031

0

)(2)()()(

d

ds21 iuiit

iLL

t

A/s [15.33]

Para la tercera condicin de contorno se deriva respecto de t la expresin [15.32]

d

d2

)()(

d

d2

d

d

d

d

d

d

d

d 21s212

t

i

L

tu

L

tu

t

i

t

u

t

i

t

i

t

i LLLL 031

31

212 [15.34]

y, si se sustituyen [15.30] y [15.31] en [15.34], se obtiene

d

d2

)()()(

d

d2

)()()()(

d

ds

ss

2

t

ititutu

t

ititututu

t

iCC 22

331

231

2

La tercera condicin de contorno resulta

925

2000

23

31

002

d

d2

)()()(

d

ds

2

tC

tt

iiuu

t

i A/s2 [15.35]

Para calcular las constantes de integracin se imponen las condiciones de contorno,dadas por las ecuaciones [15.27], [15.33] y [15.35], a la variable en estudio, definida por laecuacin [15.24], y a sus derivadas primera y segunda, particularizadas todas ellas parat = 0+.

Despus de operar, se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente


A1 + A2 = 10

0,3157A1 0,1755A2 + 1,0125A3 = 10/3

0,0997A1 0,9944A2 0,3554A3 = 25/9

cuya solucin es: A1 = 6,3282, A2 = 3,6718 y A3 = 0,6826.

Con estos resultados se obtiene, finalmente, la expresin buscada de i(t)

i(t) = 10 6,3282e0,3157t + e0,1755t [3,6718cos(1,0125t) + 0,6826sen(1,0125t)] A

que tiene la representacin grfica mostrada en la figura 15.7.

Figura 15.7

4. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN

Son circuitos de segundo orden aquellos cuyas variables estn caracterizadas porecuaciones diferenciales de segundo orden.

Un circuito que tiene dos elementos almacenadores de energa de distinto tipo (unabobina y un condensador) es, normalmente, un circuito de segundo orden. A veces haycircuitos con ms de dos elementos almacenadores de energa que son de segundo orden.Por ejemplo, cuando se pueden agrupar elementos del mismo tipo en uno equivalente.

En los circuitos de segundo orden la ecuacin caracterstica [15.9] es un polinomio desegundo grado, por lo que las races pueden ser

0 5 10 15 200

2

4

6

8

10

i(t)

t [s]


a) Reales y distintas: m y n.

La respuesta tiene la forma

xj(t) = xjf(t) + A1em.t + A2en.t [15.36]

y se dice que es sobreamortiguada.

b) Real doble: r.

En este caso la respuesta es del tipo

xj(t) = xjf(t) + (A + Bt) ert [15.37]

y recibe el nombre de crticamente amortiguada.

c) Complejas conjugadas: a r jb.

La respuesta es ahora del tipo

xj(t) = xjf(t) + eat (Acos(bt) + Bsen(bt)) [15.38]

Adems del trmino exponencial, la respuesta contiene oscilaciones de pulsacin b. Sedice que es una respuesta subamortiguada. Si el circuito no contiene resistencias, las racescomplejas carecen de parte real, por lo que la respuesta es una oscilacin de amplitudconstante y pulsacin b, superpuesta a la componente xjf(t). En este caso, la respuestaxjf(t) no llega a ser nunca la respuesta de rgimen permanente, ya que las oscilacionescorrespondientes a la solucin de la ecuacin homognea no se amortiguan.

Normalmente, los exponentes m, n, r y a son nmeros negativos, por lo que lostrminos exponenciales se hacen muy pequeos al cabo de un cierto tiempo, de forma quesolo queda con un valor significativo el trmino xjf(t), que es la respuesta de rgimenpermanente. Si alguno de los exponentes citados es positivo, la respuesta creceraindefinidamente, haciendo el circuito inestable.

A continuacin se van a estudiar tres ejemplos, correspondientes a los casoscrticamente amortiguado (ejemplo 15.4), subamortiguado (ejemplo 15.5) ysobreamortiguado (ejemplo 15.6), con el fin de mostrar el aspecto de las formas de ondaque resultan en cada uno de estos casos y, tambin, la manera de obtener las constantes deintegracin a partir de las condiciones iniciales.

Ejemplo 15.4

El circuito de la figura 15.8 lleva en la situacin indicada un tiempo suficientementegrande, de forma que se encuentra en rgimen permanente. En un instante dado, que se


tomar como origen de tiempos, se cierra el interruptor S. Determinar la intensidad i(t)para t > 0.

Figura 15.8

Antes de cerrar el interruptor no circula corriente por la bobina, luego iL(0) = 0.Adems, en el circuito que queda a la derecha del interruptor, que est en un rgimenpermanente de continua, el condensador se puede sustituir por un circuito abierto, por loque no circula corriente por la resistencia. La tensin en el condensador, es u(0) = 4 V.

Figura 15.9

Una vez cerrado el interruptor se tiene el circuito de la figura 15.9a, en el que loselementos pasivos se han caracterizado por sus impedancias operacionales. La tensin enla resistencia se puede determinar mediante el teorema de Millmann

1DD

D

D4D

D4D

1/D14D

1/D4D2

s22

s1s2

s1s2s1

A0

444

11111UUU

UUU

u

De aqu se puede obtener la ecuacin diferencial correspondiente a uA0, que coincidecon la de la intensidad i, ya que uA0 = 1i:

(4D2 + 4D + 1)i = Us1 + 4D2Us2

Us1 = 6 V R = 1 :

i

L = 4 H

Us2 = 4 V

uC

iL SC = 1 F

a)

S

Us1 = 6 V ZR = 1

i

ZL = 4D

Us2 = 4 V

ZC = 1/DA

0b)

Us1 R = 1 :

i

Us2

uCiL

u

iCAS

0


Para t > 0, las tensiones de las fuentes son constantes: Us1 = 6 V y Us2 = 4 V, por loque D2Us2 = 0 y el segundo miembro de la ecuacin diferencial se reduce al valorconstante 6. La ecuacin diferencial queda en la forma

(4D2 + 4D + 1)i = 6

La ecuacin caracterstica

4r2 + 4r + 1 = 0

tiene una raz real doble: r = 1/2, luego la solucin buscada se puede escribir como

i(t) = if(t) + (A + Bt).et/2 [15.39]

En primer lugar se va a determinar la respuesta de rgimen permanente, if(t). Altratarse de un circuito de corriente continua, en rgimen permanente la bobina se comportacomo un cortocircuito y el condensador como un circuito abierto. Por ello, la fuente de 4 Vqueda aislada del resto del circuito y la tensin de la fuente de 6 V queda aplicadadirectamente a la resistencia. Es decir, if(t) = 6 A.

A este mismo resultado se llega aplicando el mtodo de coeficientes indeterminados.Se supone una solucin de la forma if(t) = K. Se sustituye esta solucin en la ecuacindiferencial

(4D2 + 4D + 1)K = 6

con lo que resulta K = 6.

Con este resultado, la solucin dada por [15.39] se puede escribir como

i(t) = 6 + (A + Bt).et/2 [15.40]

Para determinar las condiciones de contorno, de acuerdo con el mtodo generalexpuesto, se sustituye la bobina por una fuente de intensidad y el condensador por unafuente de tensin, tal como se muestra en la figura 15.9b.

En este circuito, la tensin en la resistencia queda definida por las dos fuentes detensin que quedan a su derecha

u = uC + Us2

y, de aqu, resulta

R

tUtuti C

)()()( s2

[15.41]


RC

ti

t

u

RRt

U

t

u

t

i CCC

)(

d

dd

d

d

d

d

ds2

1 [15.42]

Se ha tenido en cuenta que, para t > 0, Us2 es constante y, por consiguiente, suderivada es nula.

La intensidad en el condensador se obtiene en el circuito de la figura 15.9b al aplicarla primera ley de Kirchhoff al nudo A:

iC (t) = i(t) iL(t)

y, si se sustituye este resultado en la ecuacin [15.42], se tiene

RC

titi

t

i L )()(

d

d [15.43]

Por ltimo se hace t = 0 en las ecuaciones [15.41] y [15.43], con lo que se determinanlas condiciones de contorno, con uC (0+) = uC (0) = 4 V, iL(0+) = iL(0) = 0 A,

01

44000

R

Uui C

)()()( s2

0000

RC

ii

t

i L

t

)()(

d

d

Al imponer estas condiciones de contorno a la solucin de la ecuacin diferencial,dada en [15.40], se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente:

i(0+) = 0 = 6 + A

2

A-BB.0)(A.

2

1-B.

d

d 0-0-

eet

i

t

00

Una vez resuelto se tiene: A = 6, B = 3, con lo que la solucin buscada es

i(t) = 6 (6 + 3t).et/2 A [15.44]

Este resultado se muestra grficamente en la figura 15.10.


Figura 15.10

Ejemplo 15.5

El circuito de la figura 15.11 se encuentra en rgimen permanente, con el condensadordescargado. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se cierra elinterruptor S.

Determinar u(t), para t ! 0:

Figura 15.11

Antes de cerrar el interruptor el circuito est en un rgimen permanente de alterna.Para calcular la corriente que circula por la bobina, se pasa el circuito al campo complejo,segn se muestra en la figura 15.12a. Mediante divisores de intensidad se tiene

A41

j4141

)j(

js

20025045501045

5

21

21

I

ZZZ

ZZI

LRR

RRL

de donde se deduce

iL(0) = 250/41 = 6,098 A

Adems, al estar el condensador descargado hasta t = 0, se tiene uC (0) = 0.

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

i(t)

t [s]

is = 10 cos 2t C = 0,5 F

u

R1 = 3 :

L = 2 H

iL

uC

S

R2 = 2 :


Con esto quedan determinadas las condiciones iniciales: iL(0+) = iL(0) = 6,098 A yuC (0+) = uC (0) = 0 V.

Figura 15.12

La ecuacin diferencial se obtiene a partir del circuito de la figura 15.12b, donde cadaelemento pasivo viene caracterizado por su impedancia operacional. Se tiene: u = ZR1i = 3i,y, mediante divisores de intensidad, se puede escribir directamente

ss

2/D2

22/DD

D

.ii

ZZ

ZZZZ

ZZu

CR

CRRL

LR

32

23

2

21

1 =

= ss

42D)2D)(2(3

2)D(2D

4/D2/D)2D)(2(3

2/D)D(2i

i

66

[15.45]

y de aqu resulta

(4D2 + 10D + 10) u = 6D(2D + 2)is = 480.cos2t + 240.sen2t

que es la ecuacin diferencial buscada.

La ecuacin caracterstica es

4r2 + 10r + 10 = 0

que tiene como races

r1 = 1,25 j0,968

r2 = 1,25 + j0,968

es decir, se trata de un circuito subamortiguado.

La solucin buscada es de la forma

a)

Is = 10/0 A ZL = j4 :

ILZC = j1 :

ZR1 = 3 :

ZR2 = 2 :

b)

is ZL = 2D

iLZC = 2/D

ZR1 = 3

ZR2 = 2

ui


u(t) = uf(t) + e1,25t [ Acos(0,968t) + Bsen(0,968t)] [15.46]

La respuesta de rgimen permanente, uf(t), se obtiene pasando al campo complejo elcircuito vlido para t > 0 (con el interruptor cerrado), como se muestra en la figura 15.13a.La tensin compleja U se obtiene mediante una expresin anloga a la [15.45],sustituyendo D por jZ e is por Is ,

U = s4)2j)(22j(3

2)(2jjI

ZZ

ZZ6

donde, a su vez, Z = 2 rad.s1 e Is = 10 + j0. Esto es

U = 1022

2264)2j)(22j(3

2)(2jj

= 25,7/133,26 V

y, por tanto

uf(t) = 25,7cos(2t 133,26S/180) V

La funcin u(t) se puede escribir como

u(t) = 25,7.cos(2t 133,26S/180) + e1,25t [ A.cos(0,968t) + B.sen(0,968t)] [15.47]

Figura 15.13

Para obtener las condiciones de contorno de la ecuacin diferencial, se sigue elprocedimiento general de sustituir la bobina por una fuente de intensidad, iL, y elcondensador por una fuente de tensin, uC, tal como se muestra en la figura 15.13b. Demanera inmediata se obtiene

u(t) = R1[iL(t) is(t)] [15.48]

que, para t = 0+, es

u(0+ ) = R1[iL(0+ ) is(0+ )] = 3.(6,098 10 ) = 11,706 V

a)

Is ZL = j4 :

ILZC = j1 :

ZR1 = 3 :

ZR2 = 2 :

U

b)

R2 = 2 :

u

R1 = 3 :

iLuC

uLiC

is


Si se derivan ambos miembros de la expresin [15.48] se obtiene

)sen(2)(

d

d

d

d.

d

d s tL

tuR

t

i

t

iR

t

u LL 21011 [15.49]

donde, uL se determina en el circuito de la figura 15.13b como

uL(t) = uC (t) u(t)

Si se sustituye este resultado en la ecuacin [15.49] y se particulariza para t = 0+ setiene

5591702

70611030200010

,),(

)(sen.)()(

d

d

L

uuR

t

u C

t

V/s

A continuacin, se imponen estas condiciones de contorno a la solucin dada en[15.47]

u(0+) = 11,706 V = 25,7cos( 133,26S/180) + e0[ Acos(0) + Bsen(0)] = = 17,615 + A

0,968B1,25A37,433s(0))0,968BcoAsen(0),(

Bsen(0))Acos(0)(.,)/,sen(2,,d

d

0

0

9680

25118026133725255917 00

e

ett

ut

t

de donde

A = 11,706 + 17,615 = 5,909

B = (17,559 37,433 + 1,25A)/0,968 = 12,901

con lo que se tiene finalmente

u(t) = 25,7cos(2t 133,26S/180) + e1,25t [ 5,909cos(0,968t) 12,901sen(0,968t)] V

En la figura 15.14 se representa grficamente la funcin u(t).


Figura 15.14

Ejemplo 15.6

El circuito de la figura 15.15 se encuentra en rgimen permanente. En un instantedado, que se toma como origen de tiempos, la fuente de tensin pasa, bruscamente, a unvalor de 0 V. Hallar las intensidades i1(t) e i2(t) para t > 0.

DATOS: L1 = 1 H, L2 = 4 H, M = 1,5 H.

Figura 15.15

Las ecuaciones circulares de las dos partes en que queda dividido el circuito son

Us R1i1 = L1Di1 MDi2

R2i2 = MDi1 + L2Di2

y, despus de sustituir valores, queda

Us 1i1 = 1Di1 1,5Di2 [15.50]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 930

20

10

0

10

20

30

u(t)

t [s]

1'

R2 = 2 :

i11 i2 2

2'

u2u1Us = 5 V

R1 = 1 :


2i2 = 1,5Di1 + 4Di2 [15.51]

En el rgimen permanente de continua, previo al cambio de valor de la fuente,Us = 5 V, i1 e i2 son constantes por lo que Di1 = Di2 = 0. Al sustituir este resultado en lasecuaciones [15.50] y [15.51] se tiene

i1(0) = 5 A

i2(0) = 0 A

Para t > 0, Us = 0 V, las ecuaciones [15.50] y [15.51] se convierten en las siguientes

i1 = 1.Di1 1,5Di2 [15.52]

2.i2 = 1,5Di1 + 4Di2 [15.53]

es decir,

(1 + D)i1 1,5Di2 = 0

1,5Di1 + (2 + 4D)i2 = 0

De aqu se pueden despejar las intensidades

267510

51211200

510

21

DD,D,)D)(D(

4D21,5D-

1,5D-D1

4D2

D,

)(22

ti

267510

5121120051

01

22

DD,D,)D)(D(

4D21,5D-

1,5D-D1

D,

D

)(22

ti

y, por tanto, las ecuaciones diferenciales correspondientes son

(1,75D2 + 6D + 2)i1 = 0

(1,75D2 + 6D + 2)i2 = 0

Al no haber fuentes independientes en el circuito, se obtienen ecuaciones diferencialeshomogneas, y, al tener todas las variables la misma ecuacin caracterstica, las ecuaciones


diferenciales tienen la misma forma. No obstante, las soluciones sern diferentes porquelas condiciones iniciales son distintas.

Las races de la ecuacin caracterstica

1,75r2 + 6r + 2 = 0

son las siguientes: r1 = 3,0544 y r2 = 0,3742

Son dos races reales y distintas. Se trata de un caso sobreamortiguado. En general,cuando un circuito de segundo orden tiene los dos elementos almacenadores de energadel mismo tipo (dos bobinas o dos condensadores), las respuestas son de tiposobreamortiguado.

La solucin buscada es de la forma

i1(t) = A1e3,0544t + B1e0,3742t

i2(t) = A2e3,0544t + B2e0,3742t

Como condiciones de contorno se tiene, para las intensidades, los valores siguientes:

i1(0+) = i1(0) = 5 A

i2(0+) = i2(0) = 0 A

Para calcular las derivadas de las variables en t = 0+, se hace uso de las ecuaciones[15.52] y [15.53], en las que se despejan dichas derivadas

75134

451511

4251

212

1

1,

)()(

,

,

,

Dtitii

i

i

751251

451511

2511

212

1

2,

)()(,

,

,

,D

titii

i

i

y para t = 0+

75120

7510304 21

01 ,,

)()(D

ii

it

= 11,429 A/s


75157

75102051 21

02 ,

,

,

)()(,D

ii

it

= 4,286 A/s

Al aplicar las condiciones de contorno a la expresin de i1 y su derivada,particularizadas para t = 0+, se tiene el sistema de ecuaciones siguiente:

A1 + B1 = 5

3,0544A1 0,3742B1 = 11,429

que tiene como soluciones: A1 = 3,566 , B1 = 1,434.

De forma anloga, para la intensidad i2 se tiene el sistema de ecuaciones

A2 + B2 = 0

3,0544A2 0,3742B2 = 4,286

que tiene como soluciones: A2 = 1,599, B2 = 1,599.

Figura 15.16

Por consiguiente, las respuestas buscadas son

i1(t) = 3,566.e3,0544t + 1,434.e0,3742t A

i2(t) = 1,599.e3,0544t 1,599.e0,3742t A

cuya representacin grfica se da en la figura 15.16.

0 5 10 15

1

0

1

2

3

4

5

6[A]

t [s]

i1

i2


5. CIRCUITOS CON LAZOS CAPACITIVOS Y/O CONJUNTOS DECORTE INDUCTIVOS

El tratamiento de los circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivosse realiza de acuerdo con el procedimiento establecido en el captulo 14 (volumen I) alestudiar los circuitos de primer orden.

A continuacin, se presenta, como ejemplo, un circuito de segundo orden con un lazocapacitivo, en el que se produce un cambio brusco de la tensin (carga) en loscondensadores que constituyen dicho lazo capacitivo y, por consiguiente, con la aparicinde un impulso de corriente en t = 0.

Ejemplo 15.7

El circuito de la figura 15.17 lleva en la posicin indicada un tiempo suficientementegrande para considerar que se encuentra en rgimen permanente. En un instante, que setoma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S.

Hallar la intensidad i(t) para t > 0, mediante la escritura directa de la ecuacindiferencial correspondiente y su posterior resolucin.

Figura 15.17

Antes de cerrar el interruptor, el circuito est dividido en dos subcircuitosindependientes entre s, que se encuentran en un rgimen permanente de continua. Porsimple inspeccin se deduce que uC1(0) = 6 V, uC2(0) = 4 V, iL(0) = 0 A.

Al cerrar el interruptor se forma un lazo capacitivo con los dos condensadores, comose muestra en la figura 15.18. Para t > 0, se cumple la condicin

uC1(t) = uC2(t)

y, en particular, para t = 0+

uC1(0+) = uC2(0+)

Sin embargo, las tensiones en los condensadores no son iguales para t = 0. Por tanto,en el intervalo (0, 0+) hay un cambio brusco de las tensiones uC1 y uC2, lo que lleva a una

R1 = 2 :

Us1 = 6 V

i L = 2 H

C1 = 1 F uC1 uC2

iL

Us2 = 4 V

S R2 = 1 :

C2 = 2 F


circulacin de corriente infinita a travs de los mismos. Si se escribe la primera ley deKirchhoff al recinto cerrado indicado con lnea de trazo discontinuo en la figura 15.18, seobtiene

i + iL = iC1 + iC2

Figura 15.18

En el intervalo (0, 0+) las intensidades iC1 e iC2 son infinitas, pero las restantesintensidades se mantienen en valores finitos. Por ejemplo, iL mantiene el valor nulo quetiene en t = 0 y la intensidad i viene dada por la expresin

1

11R

uUi C

s

donde Us1 = 6 V y uC1 pasa de 6 V en t = 0 al valor que corresponda en t = 0+, uC1(0+),pero se mantiene acotada, y lo mismo sucede con i.

De acuerdo con este razonamiento, al ser despreciables las corrientes i e iL frente a lasiC1 e iC2 en el intervalo (0, 0+), se tiene

iC1 + iC2 = 0

Esto equivale a la circulacin de una corriente infinita, iC, (un impulso de corriente)por todo el lazo capacitivo, en el intervalo (0, 0+), como se indica en la figura 15.18, deforma que se cumple

iC1 = iC2 = iC

Para calcular de forma sistemtica las tensiones en t = 0+, se plantean las ecuacionessiguientes:

0

0

0

01

0

01

101001 111

d)(1

16d)()(d)()()( WWWWWW CCCCCC iiC

uiC

uu

iC1 iC2

iC

R1 = 2 :

Us1 = 6 V

i L = 2 H

C1uC1 uC2

iL

Us2 = 4 V

R2 = 1 :

C2

uL


0

0

0

02

0

02

101002 222

d)(2

14d)()(d)()()( WWWWWW CCCCCC iiC

uiC

uu

uC1(0+) = uC2(0+)

donde

QiC

0

0d)( WW

es la carga transferida entre los condensadores del lazo capacitivo en el intervalo (0, 0+),por el impulso de corriente iC.

Resuelto este sistema de ecuaciones se tiene: uC1(0+) = uC2(0+) = 14/3 V = 4,67 V yQ = 4/3 C.

A partir de t = 0 se pueden sustituir los dos condensadores conectados en paralelo poruno equivalente, de capacidad: C ' = C1 + C2 = 3 F, como se muestra en la figura 15.19a,con la tensin inicial uC '(0+) = 4,67 V, recientemente calculada. Se trata, por tanto, de uncircuito de segundo orden.

Figura 15.19

Para obtener la ecuacin diferencial de la variable i(t) se puede analizar el circuito pormallas, y tener en cuenta, de acuerdo con la figura 15.19a, que i = ia. Las ecuaciones queresultan son las siguientes:

s2

s1

b

.

DD

D

DDU

U

i

i

3121

31

31

312

y, si se despeja la variable en estudio, se tiene

a)

Us1

2 :i 1 : 2 H

3 F

iL

iC '

Us2ia ib

b)

2 :

Us1

i 1 :

uC '

iL

uL

iC '

Us2


231

3121

312

31

3121

3121

31

31

312

3121

31

)D

()D

D)(D

(

D)

DD(

DD

D

DD

DD

D

s2s1s2

s1

UUU

U

i

> @3DDD)D)(D(

)D)D)((2

s2s1

8122

233421321 UU

donde, en el numerador, se ha tenido en cuenta que tanto Us1 como Us2 son constantes,para t > 0.

La ecuacin diferencial es, por tanto, para t > 0,

(12D2 + 8D + 3)i = 2

cuya ecuacin caracterstica

12r2 + 8r + 3 = 0

tiene como races: 65

31

jr .

La solucin buscada es, por consiguiente, de la forma

i(t) = if(t) + et/3(Acos t65

+ Bsen t65 ) [15.54]

La respuesta de rgimen permanente (de continua) se deduce fcilmente como

if(t) = 2/3 A.

Para determinar las condiciones de contorno de la ecuacin diferencial, se sustituye elcondensador equivalente por una fuente de tensin, uC ', y, la bobina, por una fuente deintensidad, iL, tal como se indica en la figura 15.19b. Si se aplica la segunda ley deKirchhoff a la malla de la izquierda, se tiene

Us1 = 2i(t) + uC '(t)

y, de aqu, se despeja la variable en estudio


1R

tuUti C

)()( 's1

[15.55]

Su derivada respecto del tiempo es

'

)(

d

d

d

d

d

d ''s1

C

ti

Rt

u

t

U

Rt

i CC 01111

[15.56]

Por otra parte, del circuito de la figura 15.19b se obtiene la intensidad en elcondensador

iC '(t) = iL(t) + i(t)

que, sustituida en la ecuacin [15.56], da como resultado

'

)()(

d

d

C

titi

Rt

i L

1

1 [15.57]

Al hacer t = 0+, y sustituir valores en las ecuaciones [15.55] y [15.57], se tiene

A,)()(

)( C's1 6667032

3146

2100

1

R

uUi [15.58]

1111091

3666700

21001

10,

,

'

)()(

d

d L

C

ii

Rt

i

t

A/s [15.59]

El paso siguiente es calcular las constantes A y B de la expresin [15.54], a partir delas condiciones de contorno dadas en [15.58] y [15.59]. Se obtiene

i(0+) = 2/3 = 2/3 + e0[Acos(0) + Bsen(0)] = 2/3 + A

111,0d

d

0

tt

i 1 = 1/3 e0[Acos(0) + Bsen(0)] + 65

e0[Asen(0) + Bcos(0)] =

= (1/3)A + 65 B

Si se resuelve este sistema de ecuaciones se obtiene: A = 0, B = 53

2 = 0,2981.

Con estos valores, la ecuacin [15.54] se convierte finalmente en


i(t) = 53

232 et/3sen t

65

A

En la figura 15.20 se muestra la grfica correspondiente a esta funcin i(t).

Figura 15.20

6. SIMULACIN DE LAS MANIOBRAS DE CIERRE O APERTURADE UN INTERRUPTOR MEDIANTE FUENTES

Por su aplicacin en el anlisis en rgimen transitorio de dos situaciones de granimportancia prctica, como la determinacin de la corriente de cortocircuito en un punto deuna red elctrica y de la tensin de restablecimiento entre los contactos de un interruptor,se va a presentar, a continuacin un procedimiento en el que se simulan las maniobras decierre o apertura de un interruptor, en un instante dado, mediante la conexin en el circuito,en ese instante, de fuentes de tensin o de intensidad, respectivamente.

En la figura 15.21a se muestra un circuito con un interruptor abierto, que se hadestacado como una rama externa. Se va a suponer conocido el comportamiento delcircuito en estas condiciones (con el interruptor abierto) y, por tanto, en este circuito, seconoce la tensin entre los contactos del interruptor, u0(t), as como las tensiones en loscondensadores, uC0(t), y las intensidades en las bobinas, iL0(t).

El interruptor se cierra en un instante t = 0, con lo que se tiene el circuito de la figura15.21b, para t > 0. La rama externa es, ahora, un cortocircuito, que se puede tratar comouna fuente ideal de tensin de valor cero y, por consiguiente, se puede sustituir por dosfuentes de tensin en serie, siempre que sean iguales y opuestas. Estas fuentes se aplicanen t = 0 y su valor puede ser cualquiera, pero se va a tomar igual a u0(t)U(t), como se

0 5 10 15 20 25 30

0,58

0,6

0,62

0,64

0,66

0,68

i(t)

t [s]


indica en la figura 15.21c. Con U(t) se representa el escaln unidad. Tambin se consideraque las excitaciones se aplican en t = 0, por lo que se aaden las fuentes de condicionesiniciales en bobinas y condensadores.

Figura 15.21

En el paso siguiente se aplica superposicin, tal como se indica en la figura 15.22.Cualquier respuesta viene dada por la suma de las respuestas correspondientes del circuitode la figura 15.22a y del circuito de la figura 15.22b.

Por ejemplo, la intensidad i que circula entre los contactos del interruptor, cuando estese cierra, viene dada por las componentes i' e i", tales que

a)

uC0(t)

us1

is1

iL0(t)

L

C

C.P.Resistivo

u0(t)S

b)

0 V

uC(t)

us1

is1

iL(t)

L

C

C.P.Resistivo

i

c)

0 V

uC0(0)U(t)

iL0(0)U(t)

uC(t)

us1U(t)

is1U(t)

iL(t)

L

C

C.P.Resistivo

u0U(t) u0U(t)

i


i = i ' + i" [15.60]

El primero de los circuitos (figura 15.22a) contiene todas las fuentes internas (tanto lasde excitacin como las de condiciones iniciales, correspondientes a t = 0) y la fuenteexterna de valor u0(t) y referencia coincidente con la tensin entre contactos del interruptorabierto. Esto corresponde a la situacin del circuito previa al cierre del interruptor, por loque la componente de las respuestas aportada por este circuito coincide con la obtenidacon el circuito de la figura 15.21a.

En el segundo circuito (figura 15.22b) solo acta la fuente de tensin externa restante.Es decir, la componente de las respuestas aportada por este segundo circuito, es larespuesta, a estado inicial cero, debida a la excitacin con una fuente de valor u0(t) yreferencia opuesta a la tensin entre contactos del interruptor abierto, aplicada en t = 0.

Si la variable en estudio es la intensidad que circula por el interruptor cuando se hancerrado los contactos, la primera componente es cero, ya que por la fuente de tensin u0 delcircuito de la figura 15.22a no circula corriente. Esta fuente se puede considerar queprocede de aplicar la regla de sustitucin al circuito abierto (contactos abiertos delinterruptor) de la figura 15.21a. Por tanto, para esta variable, i, basta estudiar el circuito dela figura 15.22b, ya que, por la ecuacin [15.60],

i = 0 + i" = i"

Este caso tiene inters prctico, si el cierre del interruptor est simulando la aparicinde un cortocircuito en un punto de una red elctrica. Entonces, la intensidad a travs delinterruptor es la intensidad de cortocircuito en el punto donde se ha producido ste.

Figura 15.22

b)

L

C

C.P.Resistivo

u0U(t)i"

a)

+uC0(t)uC0(0)U(t)

iL0(0)U(t)us1U(t)

is1U(t)

iL0(t)

L

C

C.P.Resistivo

u0U(t)i'


Ejemplo 15.8

Determinar la tensin u1 en el circuito de la figura 15.23 (ya analizado en el ejemplo15.5) a partir de t = 0, instante en el que se produce el cierre del interruptor S. El estudio seva a realizar simulando mediante fuentes el cierre del interruptor.

Figura 15.23

En la figura 15.23b, se muestra el circuito a partir del instante en el que se cierra elinterruptor, t = 0. Se supone que las fuentes de excitacin, is y u0, se aplican en t = 0 a uncircuito con unas condiciones iniciales definidas por las fuentes iL0(0) y uC0(0).

Figura 15.24

A continuacin, se aplica superposicin en la forma indicada por los circuitos de lasfiguras 15.24a y b. La tensin buscada viene dada por

u1 = u'1 + u"1

La primera componente, u'1, se obtiene del circuito de la figura 15.24a, que evolucionacomo lo hara el circuito original si no se hubiera cerrado el interruptor. Se tiene por tanto,un rgimen estacionario sinusoidal, que se estudia con el circuito de la figura 15.25a. De lse obtiene

a)

C = 0,5 F

u'1

R1 = 3 :

L = 2 HiL0(0)

uC0(0)

R2 = 2 :is

u0

b)

C = 0,5 F

u"1

R1 = 3 :

L = 2 H R2 = 2 :

u0

u1

C

R1

LiL0(0)

uC0(0)

R2is

u0

u0

b)a)

C = 0,5 F

u1

R1 = 3 :

L = 2 H

iL0

uC0

S

R2 = 2 :is = 10 cos 2t

u0


75698057

322

4545

0 ,j,j

jsIU 12,494/51,34 V

010 23

UU 18,741/51,34 V

y, de aqu, resulta

u0 = 12,494cos(2t + 51,34.S/180) V

u10 = u'1(t) = 18,741cos(2t + 51,34.S/180) V

El paso siguiente es hallar u''1(t). Para ello se analiza el circuito de la figura 15.25b,que es el circuito pasivo del circuito original, a estado inicial cero, al que se aade la fuentede tensin de valor u0, en el lugar donde estaba el interruptor (con la referencia opuesta a latensin u0 del circuito original).

Figura 15.25

La ecuacin diferencial correspondiente a u''1 se obtiene mediante el teorema deMillman y divisores de tensin

2D)(32D)D(

2D)(32D,

D

2D3

1D,

D,

D)("1 23

50233

2150

50233 00 uutu

5DD

D2

523 0u

[15.61]

La ecuacin diferencial es, por tanto,

(2D2 + 5D + 5)u''1(t) = 3Du0

y su ecuacin caracterstica tiene como races 1,25 r j0,968, por lo que la solucin es dela forma

j1 :

U10

3 :

j4 :IsU0

a)

2 :

b)

ZC = 1/(0,5D)

u''1

ZR1 = 3

ZL = 2Du0

ZR2 = 2

u''1

R1 = 3 :u0

uC

iL uL

c)

R2 = 2 :


u''1(t) = u''1f(t) + e1,25t [A.cos(0,968t) + B.sen(0,968t)] [15.62]

Para obtener la componente de rgimen permanente, u''1f(t), se puede hacer D = j2 enla ecuacin operacional del circuito (ecuacin [15.61] ). Esto es

U ''1 = j4,081907,5j10-3

6j

5(j2)5(j2)2

(j2)3 02

0

UU= 7,180/145,36 V

Por tanto,

u''1f(t) = 7,180.cos(2t 145,36S/180) V

u''1f(0+) = 5,907 V

y la expresin [15.62] adopta la forma

u''1(t) = 7,180.cos(2t 145,36S/180) + e1,25t [A.cos(0,968t) + B.sen(0,968t)] V [15.63]

Para determinar las condiciones de contorno, se sustituye la bobina por una fuente deintensidad iL y el condensador por una fuente de tensin uC, con lo que resulta el circuitode la figura 15.25c. En ste se tiene

u''1(t) = R1iL(t) [15.64]

L

tuR

t

iR

t

u LL )(

d

d

d

"d11

1 [15.65]

A su vez, la tensin en la bobina, uL, se obtiene sin ms que aplicar la segunda ley deKirchhoff

uL = uC u0 u''1

Si se sustituye este resultado en la ecuacin [15.65], se tiene

> @)(")()(d

"d10C tututuL

R

t

u 11 [15.66]

y si, a continuacin, se hace t = 0+ en las ecuaciones [15.64] y [15.66], y se tiene en cuentaque el circuito se encuentra a estado inicial cero: iL(0) = uC (0) = 0, resulta

u''1(0+) = R1iL(0+) = R1iL(0) = 0


> @ > @ 707,110805,702

3)0('')0()0(

d

"d10C

1

0

1

uuuL

R

t

u

t

V/s

Si se aplican estas condiciones de contorno a la solucin dada en [15.63] se tiene elsistema de ecuaciones siguiente

u''1(0+) = 0 = 5,907 + A

0,968B1,25A-/180),(sen,,d

"d 3614518072707110

1

tt

u

0,968B1,25A-24,081

cuya solucin es: A = 5,907, B = 12,898

La respuesta u''1(t) es, por tanto,

u''1(t) = 7,180.cos(2t 145,36S/180) + e1,25t [5,907.cos(0,968t) 12,898.sen(0,968t)] V

Por el principio de superposicin, la respuesta buscada, u1(t), es

u1(t) = u'1(t) + u''1(t) = = 18,741.cos(2t + 51,34.S/180) + 7,180.cos(2t 145,36S/180) + + e

1,25t [5,907.cos(0,968t) 12,898.sen(0,968t)] =

= 25,701.cos(2t 133,26S/180) + e1,25t[5,907.cos(0,968t) 12,898.sen(0,968t)] V

que coincide, salvo errores de redondeo, con el resultado del ejemplo 15.5.

De forma dual se estudia el transitorio debido a una maniobra de apertura de uninterruptor.

En la figura 15.26a se muestra un circuito con un interruptor cerrado, que se hadestacado como una rama externa. Se va a suponer conocido el comportamiento delcircuito en estas condiciones (con el interruptor cerrado) y, por tanto, en este circuito, seconoce la intensidad que circula por los contactos del interruptor, i0(t), as como lastensiones en los condensadores, uC0(t), y las intensidades en las bobinas, iL0(t).

El interruptor se abre en un instante t = 0, con lo que se tiene el circuito de la figura15.26b, para t > 0. La rama externa es, ahora, un circuito abierto, que se puede tratar comouna fuente ideal de intensidad de valor cero y, por consiguiente, se puede sustituir por dosfuentes de intensidad en paralelo, siempre que sean iguales y opuestas. Estas fuentes seaplican en t = 0 y su valor puede ser cualquiera, pero se va a tomar igual a i0(t)U(t) como


se indica en la figura 15.26c. Tambin se considera que las excitaciones se aplican en t = 0,por lo que se aaden las fuentes de condiciones iniciales en bobinas y condensadores.

Figura 15.26

En el paso siguiente se aplica superposicin, tal como se indica en la figura 15.27.Cualquier respuesta viene dada por la suma de los valores correspondientes del circuito dela figura 15.27a y del circuito de la figura 15.27b.

Por ejemplo, la tensin u que aparece entre los contactos del interruptor, cuando stese abre, viene dada por las componentes u' y u", tales que

a)

uC0(t)

us1

is1

iL0(t)

L

C

C.P.Resistivo

i0(t) S

b)

uC(t)

u

us1

is1

iL(t)

L

C

C.P.Resistivo

0 A

c)

0 A

uC0(0)U(t)

iL0(0)U(t)

uC(t)

us1U(t)

is1U(t)

iL(t)

L

C

C.P.Resistivo

i0U(t)

i0U(t)u


u = u' + u" [15.67]

El primero de los circuitos (figura 15.27a) contiene todas las fuentes internas (tanto lasde excitacin como las de condiciones iniciales, correspondientes a t = 0) y la fuenteexterna de valor i0(t) y referencia coincidente con la intensidad que circula entre loscontactos del interruptor cerrado. Esto corresponde a la situacin del circuito previa a laapertura del interruptor, por lo que la componente de las respuestas aportada por estecircuito coincide con la obtenida con el circuito de la figura 15.26a.

En el segundo circuito (figura 15.27b) solo acta la fuente de intensidad externarestante. Es decir, la componente de las respuestas aportada por este segundo circuito, es larespuesta a estado inicial cero, debida a la excitacin con una fuente de valor i0(t) yreferencia opuesta a la intensidad entre contactos del interruptor cerrado, aplicada en t = 0.

Si la variable en estudio es la tensin entre los contactos del interruptor cuando stosse han abierto, la primera componente es cero, ya que en la fuente de intensidad i0 delcircuito de la figura 15.27a la tensin es nula. Esta fuente se puede considerar que procedede aplicar la regla de sustitucin al cortocircuito (contactos cerrados del interruptor) de lafigura 15.26a

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