A áli i d SiAnálisis de Sistemas LinealesLineales

Álgebra de bloques

Teorema 1: Bloques en cascadaTeorema 1: Bloques en cascada

Las funciones de transferencia contenidas en bloques que se encuentran en cascada se multiplican para reducirse a un solo bloque

Z = P2Y Y = P1XZ P2Y, Y P1X

Z = P2(P1X) = (P1P2)X

X Y Z X ZX Y Z X ZP1.P2P1 P2

Teorema 2: Bloques en paraleloTeorema 2: Bloques en paralelo

Y = P1X ± P2X = (P1 ± P2)X

YP1

X + YX

±X Y

P1±P2P2

±

P1±P2

Teorema 3: Eliminación de bloque en la trayectoria directa

Y = P1X ± P2X

P Y = (P1/P2)P2X ± P2XY

P1 +X

P1/P2P±

YP1/P2 +P2

X ±P22

Teorema 4: RealimentaciónTeorema 4: Realimentación

Y = P1W; W = X ± P2Y Y = P (X ± P Y)Y = P1(X ± P2Y)

YP

W

X Y1PX

P1+

211 PP

P±

P2 Note la inversión del

signosigno

Teorema 5: Redistribución de puntos de suma (asociación)

Z = W ± ( Y ± X)Z = (W ± X) ± Y

±

WW

( )X ± Z++ X Z+

+±

±YW ±Y

Z = (W ± Y) ± XY ± Z++

X

Y Z++

±X ±

Teorema 6: Desplazamiento de un bloque hacia delante de un punto de suma

Z = PX ± Y

ZX +Z = P(X ± Y/P) =

PX ± Y

ZX +P

PX ± Y± Y ZX +

P±

YY1/P

Teorema 7: Desplazamiento de un punto de suma hacia delante de un bloque

Z = P(X ± Y)

Z+XZ = PX ± PY = P(X ± Y)

Z+

±

XP

YYZ+X

P±

Y

P

PY

Teorema 8: Desplazamiento de un bloque hacia delante de un punto de toma

Y = PX

YXY = PX

YXP

YP

X

YY

P

PY

P

Teorema 9: Desplazamiento de un punto de toma hacia delante de un bloque

YXP

YXP

X

X

PX

1/P

Ejemplo 1: Ecuaciones del motor de CD controlado por campo

Ecuaciones temporales Ecuaciones transformadas

)()(][ sUsIRLs 0 ediLiR )()(][ sUsIRLs eeee 0 ee

eee udt

LiR

)()(][ sMsBJs M BMdJ Mdt M

)()( 3 sIKsM eM eM iKM 3

Ejemplo 1: Diagrama de bloques del motor de CD controlado por campo

MI )(3K

MM

ee RLs 1 eI)(sUe

BJs 1 )(s

Ks 1)( 3

e

eeeL

RsJBsJLsU )(

Ejemplo 2: Ecuaciones del motor de CD controlado por armadura

Ecuaciones temporales Ecuaciones transformadas

0 adiLiR )()()(][ sUsUsIRLs 0 aia

aaa uudt

LiR )()()(][ sUsUsIRLs iaaaa

1Kui)()( 1 sKsUi

aM iKM 2 )()( 2 sIKsM aM

BM

dtdJ M )()(][ sMsBJs Mdt

Ejemplo 2: Diagrama de bloques del motor de CD controlado por armadura

1 )(s1 aI)(sUa +2K

MM

BJs aa RLs )(sUi

-2K

K1K

21

2

)()(

KKRsLBsJK

sUs

21)( KKRsLBsJsU aaa

Ejercicio 1: Encuentre G (s)Ejercicio 1: Encuentre GF(s)

E G ( ) d l f l i fl i d (t) lEncuentre GF(s) de tal forma que la influencia de v(t) se cancele a la salida del sistema.

vv

11s

GF(s)GF(s)GF(s) vv

xx++ ++ ++ ++uu yy

31s--

++

1s

21s3s-- 2s

)3()(

ssGF 1)(

ssGF

Ejercicio 2: Encuentre Y(s)/U(s) usando simplificación de bloques

++

--

++ yy+

-

+ y3

1s

-- ++

++uu yy

- +

+u y

1

+++ 21s

)4)(2()5.2(2

)()(

ss

ssUsY

Regla de Masón: DefinicionesRegla de Masón: DefinicionesT R id di d lí l id d Trayecto: Recorrido directo entre dos líneas en el sentido de las flechas, pasando solo una vez por cada bloque o línea.

Lazo: Trayecto que se cierra sobre si mismo, partiendo de una y q , plínea y regresando a la misma línea.

Lazo adjunto: son aquellos lazos que comparten algún tramo del diagramadel diagrama.

Lazo NO adjunto: Aquellos lazos que no poseen ninguna línea en común; esto es no se tocan.

Ganancia del trayecto: Producto de las transmitancias de los bloques de un trayecto, tomando en cuenta los signos de los sumadoressumadores.

Ganancia de lazo: Producto de las transmitancias de los bloques de un lazo, tomando en cuenta los signos de los

dsumadores.

Regla de Masón: EcuacionesRegla de Masón: EcuacionesL l d M ó i l i i G La regla de Masón permite encontrar la transmitancia G entre cualquier par de variables (líneas) de un sistema.

n1

Donde:

i

iiTG1

1

Ti = Ganancia del i-ésimo trayecto de los n posibles entre las dos líneas.

∆ = Determinante del diagrama = ∆ Determinante del diagrama 1 – (suma de todas las ganancias de lazo distintos posibles) +

(suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos no adjuntos) (suma de loscombinaciones posibles de dos lazos no adjuntos) – (suma de los productos de todas las ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos no adjuntos) + ...- =

∆ = Cofactor de T ∆i = Cofactor de Ti

Regla de Masón: DeterminanteRegla de Masón: Determinante

...1,,,

fed

fedccb

ba

a LLLLLL

Donde: = Suma de todas las ganancias de lazos distintos posibles. aL

= Suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos no adjuntos

a

a

cbLLcombinaciones posibles de dos lazos no adjuntos.

= Suma de los productos de todas las ganancias de

cb,

fd LLLtodas las combinaciones posibles de tres lazos no adjuntos.

ffed

ed LLL,,

Regla de Masón: CofactoresRegla de Masón: Cofactores∆ C f d T ∆i = Cofactor de Ti

Es el determinante del resto del diagrama que queda cuando seEs el determinante del resto del diagrama que queda cuando se suprime el trayecto que produce Ti.

∆i podrá obtenerse de ∆, eliminando aquellos términos o productos que contengan algún lazo adjunto al trayecto Ti.

Cuando el trayecto toca a todos los lazos del diagrama, o cuando este no contiene ningún lazo, ∆i es igual a la unidad.

Regla de Masón: EjemploRegla de Masón: Ejemplo

++ ++++ G1G1 G3G3X(s)X(s) Y(s)Y(s)

GG

++++

____

GG

3

G4G4__G2G2

H1H1

H2H2

Regla de Masón: TrayectoriasRegla de Masón: Trayectorias

++ ++++ G1G1 G3G3X(s)X(s) Y(s)Y(s)T1

GG

++++

____

GG

3T3

T2

G4G4__G2G2

H1H1

H2H2

Regla de Masón: LazosRegla de Masón: Lazos

++ ++++ G1G1 G3G3X(s)X(s) Y(s)Y(s)LL11

GG

++++

____

GG

3LL22

G4G4__G2G2 LL33

H1H1

LL44

H2H2

Regla de Masón: TrayectoriasRegla de Masón: Trayectorias

Tenemos tres trayectorias directas: T1, T2 y T3

311 GGT

322 GGT

423 GGT

Suprimiendo las trayectorias directas 1 y 2 quedan sus cofactores

423 GGT

quedan sus cofactores141421 1)(1 HGHG

Al suprimir la trayectoria T3, no queda ningunlazo por lo que:

1 13

Regla de Mason: LazosRegla de Mason: Lazos

Existen 4 lazos: L1, L2, L3 y L4 que son:2311 HGGL 2322 HGGL 2322

2423 HGGL 144 HGL

Las combinaciones de lazos no adjuntos son: L1L4 y L2L4:

2143141 HHGGGLL 2143242 HHGGGLL

El determinante queda como: 424143211 LLLLLLLL 42414321

Regla de Mason: ResultadoRegla de Mason: Resultado

La función de transferencia será entonces:

332211

1)(

LLLLLLLLTTTsG

424143211 LLLLLLLL

11 GGHGGGHGGG 214322143114242232231

4314321431

111)(

HHGGGHHGGGHGHGGHGGHGGGGHGGGHGGGsG

Ejercicio 3: Encuentre Y(s)/U(s) usando Mason

--- 1

++ ++UU YY+ +U Y

21

1

sG

-- ++- +1

G+++ 32

s

G

2)3()5.2(2

)()()(

ss

sUsYsG

Ejercicio 4: Encuentre Y(s)/R(s)Ejercicio 4: Encuentre Y(s)/R(s)

Y( )Y( )Y( )Y( ) A) K = 4 R(s) Y(s))3(

1s-

+R(s) Y(s))3(

1s-

+R(s) Y(s))3(

1s-

+R(s) Y(s))3(

1s-

+

)2( sK

)2( sK

)2( sK

)2( sK

)2( s )2( s )2( s )2( s

B)

ReferenciasReferencias

R d í Á il J ú E I t d ió l Rodríguez Ávila, Jesús E.. „Introducción a la Ingeniería del Control Automático“, McGraw Hill 1998 MéxicoMcGraw-Hill, 1998, México.

K B j i C Si t d C t l Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, MéxicoMéxico.

O t K t hik I i í d C t l Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª Ed MadridEd., Madrid.