Aanalisis Elastoplastico de Vigas

http://www.eicunsa.tk/ Estudiantes de Ingeniería Civil - UNSA

1

Universidad Nacional San Agustín

Facultad de Ingeniería Civil

Curso: Resistencia de Materiales 2

Ensayo elasto–plástico de una viga de acero simplemente apoyada con carga

concentrada sobre su centro de luz

Realizado por:

Victor Revilla V., Giancarlo Riquelme A., Ebherlin Quispe A.

Profesor:

Ing. Fidel Copa Pineda

Arequipa 24 de marzo de 2008


2

RESUMEN.-

Básicamente este articulo esta referido al estudio del comportamiento inelástico de una

viga simplemente apoyada con una carga concentrada en su centro de luz, los resultados

de su análisis se obtienen al comparar el diagrama Momento-Curvatura experimental

con los resultados modelo teóricos.


3

AGRADECIMIENTOS.-

Ingeniero Fidel Copa Pineda por motivar a la realización de este ensayo, a todas las

personas que apoyaron y facilitaron los materiales necesarios.


4

TABLA DE CONTENIDO.-

-Resumen 02

-Agradecimiento 03

-Tabla de contenido 04

-Lista de figuras 05

-Lista de símbolos 06

-Cuerpo de texto

Introducción al análisis elasto-plástico de vigas 08

Modelo eslasto-plástico 08

Objeto de análisis 10

Datos y resultados 11

Curva carga – deflexión 11

Diagrama de esfuerzos 12

Diagrama momento – curvatura teórica 13

Diagrama momento – curvatura experimental 15

Diagramas en comparación 16

Diagrama de momento flector 17

Rotula plástica 17

Calculo de esfuerzos residuales 18

Diagrama de esfuerzos residuales 18

-Conclusiones 19

-Imágenes experimentales 21

-Referencias 23


5

LISTA DE FIGURAS.-

Fig.1: Curva de modelo eslasto-plástico ideal desarrollado para análisis simplificado de

elementos sometidos a deformaciones plásticas. Pág. 09

Fig. 2: Diagramas de variación de deformaciones unitarias y esfuerzos para cada

momento flector. Pág. 09

Fig. 3: Representación del modelo, viga simplemente apoyada en los extremos con

carga puntual en el centro de luz. Pág. 10

Fig. 4: Diagrama de cargas vs deformación experimental. Pag. 11

Fig. 5: Diagrama de esfuerzos en la sección transversal de la viga. Pag. 12

Fig. 6: Diagrama momento – curvatura del modelo teorico. Pag. 13

Fig. 7: Calculo de la curvatura ultima. Pág. 15

Fig. 8: Diagrama momento – curvatura experimental. Pág. 15

Fig. 9: Diagramas momento – curvatura teórico y experimental juntos para análisis

comparativo. Pág. 16

Fig. 10: Grafica del diagrama de momento flector para la viga de la Fig. nº 3.

Pág. 17

Fig. 11: Formación de rotula plástica para cargas criticas sobre la viga. Pág. 17

Fig. 12: Diagrama de esfuerzos residuales. Pág. 18

LISTA DE TABLAS.-

Tabla Nº1 : datos experimentales de carga y deflexiones para los diferentes valores de

carga concentrada. Pag. 11


6

LISTA DE SIMBOLOS.-

σ : Esfuerzos normales a la sección transversal

σf : Esfuerzo de fluencia

ε : Deformaciones unitarias

εf : Deformación unitaria bajo el punto de fluencia

εr : Deformación unitaria bajo el punto de rotura

y : Longitud de zona plástica

M: Momentos de flexión

Mp: Momento plastico

Mu: Momento ultimo

E: Modulo elástico del material

P: Carga concentrada

Pc: Carga concentrada critica

I: Momento de inercia de la sección transversal de la viga

ρ: Radio de curvatura

κ: Curvatura

L : Longitud de la viga


7

1. INTRODUCCION:

La razón principal por las que el análisis de algunas estructuras no concuerda con las

preestablecidas es por que estas no obedecen las leyes elásticas es decir que su

comportamiento se acerca más al del análisis no lineal, inelástico o también llamado

elasto-plástico.

Entonces con el objeto de conocer el verdadero factor de seguridad de la estructura es

que debe conocerse la carga límite o carga que producirá la rotura del elemento

estructural y esto solo se lograra llevando a la estructura a comportarse inelasticamente.

Sabemos que en una estructura elástica las deformaciones son pequeñas debido tal vez a

un exceso en su rigidez, sobre-dimencionamiento etc. El elemento no deja rastro de

deflexión después de quitar su carga actuante.

Algo opuesto ocurre si el elemento estructural se comporta inelasticamente debido a que

este se mantendrá deformado aun después de su descarga, también es debido a esto por

el cual las estructuras con estas características disipan en grandes cantidades la energía

sísmica reduciendo sus aceleraciones.

El análisis plástico implica modelar el comportamiento no lineal de las vigas, e

interpretarlos a través de los diagramas Momento – Curvatura; causa principal que se

explicara en este articulo.

2. MODELO ELASTOPLASTICO

Para este análisis primero se considera un material cuyo comportamiento elasto-plástico

Es ideal, es decir que el análisis arrastrara siempre cierto margen de error con el cual

también nos evitamos de complicar el análisis.


8

Figura Nº 1

Se puede ver que el comportamiento lineal del material esta definido por la línea con

pendiente que se inicia en el punto A, donde todos los esfuerzos contenidos obedecen

ala ley de Hooke, mientras que para el rango inelástico (línea horizontal), el esfuerzo

actuante es constante e igual al máximo esfuerzo en el cual la fibra mas alejada al eje

neutro de la sección sufre la primera deformación plástica.

Otra de las hipótesis que se sostiene es que la sección plana, permanece plana después

de la deformación.

A continuación a través de la figura 2 se explicara brevemente el comportamiento

interno de esfuerzos y deformaciones que se dan en la viga cuando esta sometida a

flexión.

Figura Nº 2


9

Arriba se muestra el comportamiento siempre lineal de las deformaciones que van

incrementando conforme el momento actuante es mayor. En el caso, para el momento

M3, las fibras alejadas sufren su primera deformación plástica y para M5 los

desplazamientos elásticos prácticamente han desaparecido.

Abajo se muestra la distribución de esfuerzos para cada estado de carga, de la misma

forma la estructura se plastifica por primera vez para M3 y alcanzara el colapso cerca a

M5. El peralte plástico se incrementa progresivamente y3, y4, y5…

Para f E

Para f f

3. OBJETO DE ANALISIS

El material que representa el objeto de análisis, se trata de una barra de acero estructural

A-36 de sección cuadrada de 15mm de lado simplemente apoyada en sus extremos, el

cual es sometido a una carga creciente concentrada en su centro de luz (ver figura Nº 3)

de manera paralela al aumento de cargas de fueron midiendo las deflexiones en el punto

de máxima deformación, a continuación se muestra el esquema que representa el objeto

de análisis.

Figura Nº 3

Se hace la aclaración de que en los extremos de la viga, los tramos sobrepasan los

puntos de apoyo ya que para deflectarse sin alterarlos necesita de mayor longitud.

L

P

A B


10

4. DATOS Y RESULTADOS

A continuación se muestra la tabla de datos medidos en el ensayo y seguidamente el

grafico que esta genera.

CARGA (kg) DEFLEXION (cm)

0 0

2.5 0

5 0.2

10 0.5

15 0.75

35 2.2

45 2.9

55 3.85

57.5 4.0

57.75 4.15

58 4.25

58.25 4.6

59.35 11.1

60.05 21

60.2 22.5

60.3 23.4

60.45 descontrolado

Tabla nº 1

Figura Nº 4

0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 250

16

32

48

64

80

Carga vs Deflexion

60.3

carga

4.6 23.4

deflexion


11

Se puede observar que por encima de los 40 kg de carga, la curva empieza a ser

inestable, entonces la carga máxima de comportamiento lineal.

Acero A-36 2

.2531cm

kgf y

kgPy .5.57 L

MP

y

y

4

4

y

y

PLM mkgM y .56.21

La curvatura correspondiente a este punto se calcula de la siguiente manera

IE

M y

y m

y

1251.0

El diagrama de esfuerzos que caracteriza a esta sección en particular es la siguiente

Figura nº 5

( ) E( ) E fyif

fy sign E( ) otherwise

50000000 0 500000000.004

0.002

0

0.002

0.004

Diagrama de Esfuerzos

0.003

0.003

( )


12

De todo esto y las ecuaciones establecidas obtenemos el diagrama momento curvatura

teórico de nuestro modelo el cual nos servirá para la comparación de nuestros resultados

ensayados.

2max

hu

Figura nº 6

De la grafica también se puede obtener el momento máximo momento lineal a partir del

cual se forzara al elemento a plastificarse:

mkgM y 56.21

0 0.26 0.52 0.78 1.04 1.30

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20

22.5

25

Diagrama Momento - Curvatura

M( )

umax

M m( )

m

m

( ) bumax

2

m2

d


13

Si se trataría de un análisis lineal de la estructura, no es necesario hacer cálculos

inherentes del elemento estructural debido a que sus métodos, derivados todos de la ley

de Hooke, no toman en cuenta las propiedades de los mismos.

Ahora que no podemos recurrir a estos métodos como el método del área de momentos,

integración sucesiva o superposición; es entonces cuando buscamos otras maneras de

analizar la estructura plásticamente, en este articulo, se pretendió desarrollar este

análisis a través del diagrama momento – curvatura, el cual muestra la cantidad de carga

que origina reacciones en los apoyos y posteriormente momentos máximos en el centro

de luz, necesaria para deformar una viga de sección típica.

Con ello también cabe recalcar que para deformar la misma curva en vigas distintas

cuya diferencia es solo su sección transversal, se necesitaran valores de momentos

diferentes.

Como parte de los resultados es importante mostrar la comparación entre las curvas

teóricas y experimentales para observar el grado de confiabilidad del estudio.

Como se indico, nuestro análisis se dedica al estudio de una viga de acero de sección

rectangular con las siguientes dimensiones:

cmb 5.1 Longitud de la base del elemento viga

cmh 5.1 Altura o peralte del elemento

Ahora solo nos quedaría encontrar el momento y la curvatura del punto crítico donde se

produce el colapso.

kgPu .3.60 L

MP u

u

4

4

uu

PLM mkgM u 6125.22

Ahora solo queda hacer el cálculo de la curvatura para el cual se uso el siguiente

procedimiento:

- teniendo en cuenta que en el punto critico, se forma una curvatura el cual corresponde

ala rotula plástica y obedece la siguiente relación:

1


14

- siendo el radio de curvatura, con ayuda de una imagen a escala y usando el

programa AutoCAD se pudo calcular dicho radio.

Figura nº 7

Como se muestra en la figura nº 7, m20.0

20.0

1

m

15

Por ultimo graficamos nuestra diagrama momento – curvatura experimental:


15

Figura nº 8

Apreciando el diagrama de nuestro ensayo, podemos ver como la curvatura de la viga

aumenta rápidamente cuando el momento actuante es casi el mismo; la curva superior

se torna casi horizontal por lo que podemos decir que existe un momento crítico que

será responsable de llevar al colapso a la viga.

A este momento normalmente se le llama momento ultimo, el mismo que causará una

curvatura ultima, a partir del cual conllevara a la formación de una rotula plástica y

posteriormente al colapso.

Ahora graficamos ambas curvas en un solo plano cartesiano para poder hacer el análisis

comparativo grafico:

0 1.1 2.2 3.3 4.4 5.50

3.5

7

10.5

14

17.5

21

24.5

28

31.5

35

Diagrama momento - curvatura experimental

22.613

Mt

0.327 5


16

Figura nº 9

Podemos ver que el grafico experimental se aproxima bien a la curva teórica por tanto

es muy posible que nuestros resultados no se alejen mucho de la realidad.

El diagrama de Momento flector correspondiente al rango elástico de nuestra viga es

útil para encontrar la carga crítica Pc por encima del cual el elemento empieza a

comportarse plásticamente a través de sus deformaciones.

Figura Nº 10

A continuación se muestra la rotula plástica que esta carga provoca sobre la viga.

0 1.1 2.2 3.3 4.4 5.50

3.5

7

10.5

14

17.5

21

24.5

28

31.5

35

Diagramas momento - curvatura (comparacion)

22.613

Mt

M( )

0.327 5

umax

6 4 2 0 2 4

3

2

1

1

2

Diagrama de momento flector

M x( )

x


17

Todos los elementos sobre forzados fallan de acuerdo a la formación de una rotula

plástica en algún lugar donde el momento es máximo.

Estas rotulas plásticas se han convertido realmente en un problema no solo para las

estructuras de acero sino que también en las juntas o uniones estructurales como por

ejemplo la unión columna - zapata, los cuales son afectados severamente cuando entre

ellos se forma la rotula plástica por efectos sísmicos o exceso de momentos flectores en

el punto.

El caso es que en esta viga la rotula plástica ya era perceptible desde los 4.5 cm de

deflexión sobre el punto de apoyo de la carga.

Figura nº 11

Calculo de esfuerzo residual:

Por último queda calcular los esfuerzos residuales internos de la viga, los cuales se

manifiestan al momento de la descarga, es decir cuando la carga P puntual deja de

actuar sobre la viga.

Cuando la descarga sucede, el elemento sufre un momento recuperador contrario al

principal deformante el cual producirá esfuerzos contrarios (figura 12-b) y la viga

regresa a un estado plástico ya deformado pero lo hace linealmente con una trayectoria

paralela a línea elástica, si esto sucede la distribución de estos esfuerzos tendrá que ser

lineal tal como se muestra en la figura 12-b.

Superponiendo ambos estados, tendremos el diagrama de esfuerzos residuales en la

sección transversal de la viga (fig 12-c), a continuación se muestran los cálculos

realizados:

P

A B

ROTULA

PLASTICA


18

Figura nº12

Sabemos que: 2

2531cm

kgy cmkgM u 3.2261

4422.0 cmI cmh 5.1

I

hM u

r2

422.0

)75.0()3.2261(r

24019

cm

kgr

De la figura 12-c, la altura en el cual los esfuerzos se hacen cero se calcula por relación

de triángulos:

y

2531

25.1

4019 cmy 47.0


19

4. CONCLUSIONES

La rotula plástica se empieza a apreciar experimentalmente cuando se le aplica una

carga de 59.35 kg provocando una deflexión de 11.1cm y un momento de 22.26

kg.m .

El colapso se produjo con una carga constante de 60.45kg con deflexiones

incontrolables mayores a 23.4cm (deflexión causada por una carga anterior de

60.3kg).

La curvatura máxima fue m

15

El esfuerzo residual máximo se da en el plano del eje neutro con una magnitud de

2531kg/cm2

y de 1488kg/cm2 en los extremos superior e inferior mas alejados al eje

neutro.

El porcentaje de error de la curva experimental respecto de la curva teórica es de

6.7%

Uno de los factores que influyen en el porcentaje de error de nuestro ensayo se debe

a la fricción entre apoyo y elemento estructural, entre otros.

El punto de fluencia se da a una carga de 57.75 kg con una deflexión de 4.15cm,para

cargas menores el elemento se comporta elásticamente y cargas superiores harán

que el elemento se comporte plásticamente .

La forma de darnos cuenta que un ensayo se aproxima a la realidad es comparándolo

con las graficas o curvas teóricas, demostradas en base a modelos matemáticos que

representan al fenómeno, en nuestro experimento, la curva pasa un poco sobre la

curva teórica debido a la fricción del elemento con los apoyos, si se hubiera usado

apoyos patín tal como se plantea en nuestro modelo matemático, hubiéramos

obtenido mayor precisión.

Para analizar una estructura inelasticamente debemos modelar el comportamiento de

la estructura teniendo en cuenta que no todos los métodos son aplicables a este tipo

de análisis ya que derivan de la ley de Hooke, ley para análisis lineal.


20

Las deformaciones por curvatura cambian drásticamente cuando actúa sobre el

elemento estructural cierto valor para el momento, conocido como momento último

y es generado por una carga crítica, en este caso puntual.

No debemos entender por análisis inelástico como un método que conllevara a la

rotura o falla del elemento sino mas bien es el análisis de las deformaciones

plásticas para una nueva aplicación del diseño no lineal elasto – plástico que de

seguro economizará los presupuestos de construcción dentro de los límites de

seguridad requeridos.


21

REFERENCIAS.-

1) R.C. Hibbeler, Mecánica de materiales, sexta edición, 2006, 896 pgs.

2) F.T. Hodgson, Construcciones de acero, 1913, 149 pgs.

3) Fedosiev, Resistencia de materiales, MIR – Moscú

4) S. Popov, Introducción a la mecánica de sólidos, Cáp. Análisis elasto plástico de

vigas.

5) R.C. Hibbeler, Structural analysis, thirt edition, 1994, 728 pgs.

6) J. Dario Aristizabal, Estabilidad clásica de vigas - columnas con conexiones

semirigidas sobre una fundación elástica, Colombia, 15 pgs.

7) Michael samofalov – Vaidotas, FEM Stability analysis of tapered Beam –

columns, journal of civil engineering and management, vol XV, pgs 211-216.

8) G. Salzgeber, Elasto-plastic stability of columns with an unsymmetrically

strengthened I – cross section, A-8010 graz, lessingstr. 25, 10 pgs.

9) J.T. Celigueta, Resumen de análisis estructural, Ed. Eunsa, 2003, 19 pgs.

10) Beer Jhonston, Mecanica de materiales, cuarta edicion OLC

Aanalisis Elastoplastico de Vigas

Documents

Transcript of Aanalisis Elastoplastico de Vigas