abelianas

Universidad Autonoma de MadridFacultad de Ciencias

Departamento de Matematicas

Variedades Abelianas

y el numero de puntos

racionales

Trabajo de preinvestigacion

para optar al Diploma de Estudios Avanzados

por

Angelica Benito Sualdea

Dirigido por

Adolfo Quiros Gracian

Madrid, Septiembre de 2006

Indice general

Introduccion 1

1. Introduccion a las Variedades Abelianas 51.1. Variedades Abelianas como generalizacion de curvas elpticas 81.2. Variedades Abelianas y Curvas Elpticas . . . . . . . . . . . . 9

2. Teora basica de variedades abelianas 112.1. Definiciones. Propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Aplicaciones racionales entre V. abelianas . . . . . . . . . . . 15

2.2.1. Aplicaciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2. Aplicaciones racionales en Variedades Abelianas . . . 162.2.3. Variedades Abelianas salvo equivalencia birracional . . 18

2.3. El Teorema del Cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4. Las variedades abelianas son proyectivas . . . . . . . . . . . . 212.5. Isogenias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Definicion de la Variedad Jacobiana 273.1. Algunos resultados de Teora de Categoras . . . . . . . . . . 273.2. Definicion de Variedad Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3. Construccion de la Variedad Jacobiana . . . . . . . . . . . . . 30

4. Definicion de Abel y Jacobi 35

5. Variedades de Albanese 395.1. Propiedad Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6. Alturas 456.1. La formula del producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2. Alturas en Pn(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.3. Propiedades de la altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.4. Teoremas de Northcott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.5. Altura asociada a un morfismo : X Pn . . . . . . . . . 566.6. El grupo de Picard, Pic(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

i

6.7. Alturas y haces de lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.8. Algunos resultados de la altura . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.9. Divisores algebraicamente equivalentes a cero . . . . . . . . . 63

7. Alturas Normalizadas 677.1. Normalizacion de Neron-Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.2. Variedades Abelianas y Alturas . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.2.1. Funciones de grado 2 entre grupos abelianos . . . . 707.3. Cuadricidad de hc en variedades abelianas . . . . . . . . . . . 757.4. Dualidad y divisores de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.4.1. Relacion entre formas lineales y cuadraticas . . . . . . 797.5. Aplicaciones a propiedades de las alturas . . . . . . . . . . . . 80

7.5.1. Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.5.2. Positividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.5.3. No degeneracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.6. Estructura de A(K): un resultado preliminar. . . . . . . . . . 82

8. El Teorema de Mordell-Weil 858.1. El Teorema de finitud de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . 858.2. El teorema de Chevalley-Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.3. El Teorema de Mordell-Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.4. El lema clasico del descenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.5. Numero de puntos de altura acotada . . . . . . . . . . . . . . 89

9. La conjetura de Mordell 919.1. Teorema de Chabauty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.2. El teorema de Manin-Demjanenko . . . . . . . . . . . . . . . 939.3. Cuarticas de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.4. La cuartica x4 + y4 = cz4 en Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . 100A. Apendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Introduccion

La teora de las ecuaciones diofanticas es una de las mas antiguas ra-mas de las matematicas. Hacia el ano 250 el matematico griego Diofantoencontro una de las primeras relaciones entre el algebra y la geometra: lospuntos racionales de x2 + y2 = 1 pueden parametrizarse dibujando una rec-ta de pendiente racional variable a traves de la circunferencia definida porx2 + y2 = 1 y que pase por (1, 0).

Por este y otros resultados se considera a Diofanto padre de lo que hoyconocemos como Algebra. Tanta fue la relacion entre Diofanto y el algebraque en su tumba se puede leer el siguiente epitafio:

Caminante! Aqu yacen los restos de Diofanto. Los numeros puedenmostrar, oh maravilla! La duracion de su vida, cuya sexta parte cons-tituyo la hermosa infancia. Haba transcurrido ademas una duodeci-ma parte de su vida cuando se cubrio de vello su barba. A partirde ah la septima parte de existencia transcurrio en un matrimonioesteril. Paso ademas, un quinquenio y entonces le hizo dichoso el naci-miento de su primogenito. Este entrego su cuerpo y su hermosa exis-tencia a la tierra, habiendo vivido la mitad de lo que su padre llego avivir. Por su parte Diofanto descendio a la sepultura con profundapena habiendo sobrevivido cuatro anos a su hijo. Dime, caminante,cuantos anos vivio Diofanto hasta que le llego la muerte.

1

2Este problema clasico tiene un nuevo momento cumbre 17 siglos despues.En pleno siglo XX, la comunidad matematica alcanza uno de sus mayoresexitos al poder hacer frente al estudio cualitativo de puntos racionales yenteros en curvas (variedades de dimension 1). Esta revolucion se debe engran medida a los teoremas de Mordell, Weil, Siegel o Faltings entre otros.

Durante los 17 siglos comprendidos entre Diofanto y Faltings se ha con-seguido una clasificacion del numero de puntos racionales en funcion delgenero. Para curvas de genero 0 se demuestra que o bien el conjunto depuntos racionales es vaco, o bien es infinito (por una demostracion analogaa la dada por Diofanto en el caso del crculo).

El caso de las curvas de genero 1 es mas complicado, ya que se puede darcualquiera de las tres posibilidades; puede no existir ningun punto racional,pueden ser infinitos o pueden ser una cantidad finita de ellos (de hecho lasposibilidades para esta cantidad es reducida, pudiendo ser 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10, 12 o 16). Este hecho hace muy importante el estudio de las curvaselpticas (curvas de genero 1 con un punto racional).

Para curvas de genero > 1 el Teorema de Faltings (anteriormente conoci-do como Conjetura de Mordell) prueba que el conjunto de puntos racionaleses finito.

Un resultado previo a esta demostracion de Faltings fue dado por Manin-Demjanenko en los anos 60; este teorema nos servira en nuestra memoriapara demostrar la existencia de un numero finito de puntos racionales en lafamila de curvas dada por x4 + y4 = cz4, siendo de gran importancia el usode sus variedades jacobianas.

Esta misma ecuacion sera analizada en el caso p-adico dando las condi-ciones necesarias y suficientes para que x4 + y4 = cz4 tenga soluciones enQp para todo p.

La importancia de estos dos resultados reside en que en el primero delos casos tenemos un resultado global. En el segundo el comportamiento eslocal. Como consecuencia la existencia de puntos racionales en Q implica laexistencia de puntos p-adicos para todo p. Pero, podemos encontrar curvasen las que existan puntos p-adicos para todo p y darse la no existencia depuntos racionales (sin embargo es una condicion necesaria).

Encontrar puntos racionales es muy difcil en general. Es muy costosohacerlo en casos que no sean triviales. Encontrar puntos p-adicos es masfacil y su utilidad es precisamente como condicion necesaria para que existanpuntos racionales. En los casos en los que se demuestra que no hay puntosp-adicos para algun p es imposible que la curva tenga algun punto racional.

Sin embargo, tenemos el caso de la curva 3x3 + 4y3 + 5z3 = 0 que tienesoluciones no nulas en R y en Qp para todo p, pero no tiene solucion racional.

Durante todo el trabajo desarrollamos las herramientas necesarias paraestudiar los teoremas que demuestran estos resultados. Nuestro principalobjetivo es poder abordar la demostracion del Teorema de Mordell-Weilycomprender en detalle la Conjetura de Mordell (Teorema de Faltings).

3En el Captulo 1 de la memoria introducimos la definicion de variedadabeliana como generalizacion de la definicion de curva elptica. Ya en elCaptulo 2 damos a una definicion mas formal de variedad abeliana y enun-ciamos sus principales propiedades, que seran necesarias a lo largo del restode captulos.

Los Captulos 3 y 4 son de especial importancia ya que en ellos se defineel concepto de variedad jacobiana, una herramienta muy util a la hora decalcular isogenias entre variedades abelianas. De especial importancia es elhecho de que la variedad jacobiana de una curva elptica es ella misma.

Para poder demostrar algunos teoremas posteriores es necesario manejarla nocion de variedad de Albanese. En el Captulo 5 la definimos a grandesrasgos, enunciando alguna de sus principales propiedades.

Los Captulos 6 y 7 se adentran en todos los conceptos necesarios parapoder manejar con soltura la nocion de altura en la demostracion del Teo-rema de Mordell-Weil. En estos dos captulos se muestra una gran cantidadde resultados muy utiles en dicha demostracion.

En el Captulo 8 enunciamos y demostramos, por fin, el Teorema deMordell-Weil, as como otros resultados importanes, tales como el Teoremade Chevalley-Weil o el Teorema de Finitud de Hermite.

Finalizamos la memoria, Captulo 9, enunciando la Conjetura de Mordelly dando una demostracion del Teorema de Manin-Demjanenko, que nosservira para poder demostrar la finitud de puntos racionales y el estudio delos puntos p-adicos de la curva x4 + y4 = cz4.

Captulo 1

Introduccion a lasVariedades Abelianas

La mejor forma de entender las variedades abelianas es verlas como unanalogo a las curvas elpticas, pero con mayor dimension. A modo introduc-torio veamos las varias (y equivalentes) definiciones de una curva elptica:

Definicion 1.1.

(1) Una curva elptica es una curva proyectiva dada por una ecuacion dela forma:

y2z = x3 + axz2 + bz3 tal que 4 = 4a3 + 27b2 6= 0 (1.1.1)

con la caracterstica del cuerpo distinta de 2 y 3

(2) Una curva elptica es una curva proyectiva no singular de genero 1junto con un punto distinguido (un punto k-racional 0 E(k))

(3) Una curva elptica es una curva proyectiva no singular junto con ungrupo de estructura definido por aplicaciones regulares.

(4) (En el caso en que k = C). Una curva elptica es una variedad complejade la forma C/ donde es un retculo de C.

Veamos, de una forma esquematica, que estas definiciones son equiva-lentes:

Demostracion.

(1)(2) La condicion 4 6= 0 implica que la curva es no singular. Veamoslo,consideramos la ecuacion (1.1.1), derivandola en cada variable obte-nemos:

5

6 CAPITULO 1. INTRODUCCION A LAS VARIEDADES ABELIANAS

0 = 3x2 + az2 (1.1.2)2yz = 0 (1.1.3)y2 = 2axz + 3bz2 (1.1.4)

De (1.1.3) obtenemos que y = 0 o z = 0. Tomando z = 0 en (1.1.2)llegamos a que 3x2 = 0 y por lo tanto x = 0. Obtenemos as en (1.1.4)que y2 = 0, con lo que llegamos a contradiccion, ya que estamos enuna curva proyectiva.

Ahora bien, si y = 0, tenemos que (1.1.4) se reescribe como:

2axz+3bz2 = 0 z(2ax+3bz) = 0 z = 0 o 2ax+3bz = 0

Si tuvieramos z = 0, llegaramos de nuevo a una contradiccion con elhecho de que la curva sea proyectiva. Nos quedan entonces las siguien-tes ecuaciones: {

2ax+ 3bz = 03x2 + az2 = 0

Supongamos que b 6= 0, ya que en otro caso volveramos a llegar a unacontradiccion, entonces:

z =2ax3b

3x2 + a(2ax

3b

)2= 0 27b2x2 + 4a3x2 = 0

x2 (27b2 + 4a3) = 0 x = 0 o 27b2 + 4a3 = 0En el primero de los casos volvemos a llegar a contradiccion con elhecho de que la curva sea proyectiva. Si suponemos que 4 6= 0 tendre-mos que en ninguno de los casos se cumple el sistema de ecuacionescompuesto por (1.1.1), (1.1.2), (1.1.3) y (1.1.4). Por lo tanto, la curvaes singular no singular en todo punto.

Tomamos como punto k-racional el punto (0, 1, 0).

(2)(1) Sea el punto k-racional de la curva E de genero 1. Por el teoremade Riemann-Roch:

dimL(D) = deg(D) + 1 g = deg(D)

dondeL(D) = {f k(E)| (f) +D 0}

Se tiene entonces

7L(0) L() L(2) L(3) L(4)dim 1 = 1 2 3 4

{1} {1} {1, x} {1, x, y} {1, x, y, x2}

L(5) L(6)5 6

{1, x, x2, y, xy} {1, x, y, x2, x3, y, xy, y2}

Siendo x3 e y2 linealmente independientes, por lo que el conjunto es li-nealmente dependiente. Los coeficientes que nos daran la combinacionlineal de ellos son en ambos casos distintos de cero, tenemos as unaecuacion de la forma:

y2 + a1xy + a3y = a0x3 + a2x2 + a4x+ a6 con a0 6= 0

Pudiendose llegar a una ecuacion del tipo:

y2 = x3 + ax+ b con 4 6= 0

(1),(2)(3) Sea Div0(E) el grupo de divisores de grado 0 de E, sea Pic0(E) sucociente con el grupo de divisores principales. As Pic0(E) es el grupode clases de divisores de grado 0 en E. El teorema de Riemman-Rochmuestra que la aplicacion:

E(k) Pic0(E)P 7 [P ] []

es una biyeccion, a partir de la cual, E(k) adquiere una estructurade grupo canonica. Esta estructura coincide con la definida por lascuerdas y tangentes y por lo tanto, definida por los polinomios, esdecir, por funciones regulares.

(3)(2) Caso k = C. La formula de la traza de Lefschetz para una varie-dad diferenciable orientada compacta X y una aplicacion continua : X X con solo una cantidad finita de puntos fijos, cada uno demultiplicidad 1, nos dice:

#{puntos fijos} = Tr(|H0(X,Z)) Tr(|H1(X,Z)) +

Si X tiene estructura de grupo, entonces para un punto distinto decero, a X, la traslacion ta : x 7 x + a no tiene puntos fijos. Portanto:

Tr(ta)def=

(1)iTr(ta|H i(X,Q))

8 CAPITULO 1. INTRODUCCION A LAS VARIEDADES ABELIANAS

La aplicacion definida por la traza es continua, y entonces se llega aque Tr(ta) = 0 para todo a (incluido a = 0). Como t0 es la aplicacionidentidad

0 = Tr(id) =

(1)i dimH i(X,Q) = (X)

Por otro lado, para una curva no singular completa de genero g, tene-mos la formula

(X) = 2 2gas120 = 2 2g y entonces g = 1.Para el caso general, tenemos que V es una variedad algebraica con ungrupo de estructura, entonces el haz de diferenciales es libre. Para unacurva, esto significa que el divisor canonico k tiene grado 0 (deg k = 0).Por otro lado deg k = 2g 2 y entonces g = 1.

(4)(2) La funcion de Weierstrass y su derivada definen una inmersion:

C/ P 2z 7 ((z), (z), 1)

cuya imagen es una curva proyectiva de genero 1, que de hecho tieneecuacion de la forma (1.1.1), ya que la funcion de Weierstrass cumple:

(z)2 = 4(z)3 g2(z) g3entonces denotando por (x, y, z) = ((z), (z), 1), llegamos a la ecua-cion y2 = 4x3 g2x g3

(2)(4) Se sigue de topologa.

1.1. Variedades Abelianas como generalizacion decurvas elpticas

La definicion (1) no podemos generalizarla, no hay una descripcion sen-cilla de la ecuacion que defina una variedad abeliana de dimension g > 1.

Observacion 1.2.El caso g = 2 es una excepcion a esta afirmacion. Cada variedad abeliana

de dimension 2 es una variedad Jacobiana (ver Captulo 3) de una curva degenero 2 y cada curva de genero 2 tiene una ecuacion de la forma:

y2z4 = f0x6 + f1x5z + + f6z6

1.2. VARIEDADES ABELIANAS Y CURVAS ELIPTICAS 9

La definicion (2) no se sabe como generalizar. Las superficies abelianasson las unicas superficies minimales con los numeros de Betti 1, 4, 6, 4, 1 yclase canonica linealmente equivalente a 0. En general una variedad abelianade dimension g tiene numeros de Betti:

1,(

2g1

), . . . ,

(2gr

), . . . , 1

La generalizacion de (3) se puede realizar definiendo una variedad abe-liana como una variedad proyectiva conexa no-singular con un grupo deestructura definido por aplicaciones regulares.

Para hacer una generalizacion de (4) hay que hacerlo con mucha masprecaucion:

Si A es una variedad abeliana sobre C, entonces

A(C) = Cg/

para algun retculo en C (el isomorfismo es simultaneamente de variedadesdiferenciables complejas y de grupos)

Sin embargo, cuando g > 1, no para todos los retculos se sigue queCg/ de lugar a una variedad abeliana.

De hecho, en general, el grado de transcendencia sobre C del cuerpo defunciones meromorfas Cg/ es menor que g, por lo que la igualdad se tienesi y solo si Cg/ es una variedad algebraica (y por lo tanto abeliana).

Existe un criterio en que dice cuando Cg/ es abeliano (ver [ML1]).

1.2. Variedades Abelianas y Curvas Elpticas

Si E es una curva elptica sobre un cuerpo k algebraicamente cerrado,entonces existe un isomorfismo canonico:

E(k) Pic0(E)P 7 [P ] [0]

Esta afirmacion tiene dos generalizaciones:

(A) Sea C una curva, Q C(k) un punto, entonces existe una variedadabeliana J , denominada Variedad Jacobiana de C (ver Captulo 3),canonicamente asociada a C, y una aplicacion regular : C J talque (Q) = 0 y

Div0(C) J(k)niPi 7

ni(Pi)

induce un isomorfismo Pic0(C) J(k). Teniendose as como conse-cuencia que la dimension de J es el genero de C.

10CAPITULO 1. INTRODUCCION A LAS VARIEDADES ABELIANAS

(B) Sea A una variedad abeliana. Entonces existe una variedad abelianadual, A, tal que:

Pic0(A) = A(k)

Pic0(A) = A(k)

En el caso de una curva elptica E = E. En general tendremos que A yA son isogenos pero no iguales (a menudo ni siquiera seran isomorfos).

Captulo 2

Teora basica de variedadesabelianas

2.1. Definiciones. Propiedades basicas

Una variedad grupo sobre k es una variedad V junto con las aplicacionesregulares:

m : V k V V y inv : V Vy un elemento e V (k) tal que la estructura en V (kal) definida por m e inves un grupo con elemento identidad e.

Esta cuadrupla (V,m, inv, e) es un grupo en la categora de variedadessobre k. Lo que significa que las aplicaciones

G(id,e) Gk G m G y G (e,id) Gk G m G

son la aplicacion identidad (lo que nos quiere decir es que e es el elementoidentidad).

Las aplicaciones:

G4 GkG idinv GkG m G y G 4 GkG invid GkG m G

son iguales a la composicion:

G Specm k e Ges decir, inv es la aplicacion que manda elementos a su inversa.

La asociatividad se ve, al tener que el siguiente diagrama conmuta:

Gk Gk G 1m //

m1

Gk Gm

Gk G m // G

11

12 CAPITULO 2. TEORIA BASICA DE VARIEDADES ABELIANAS

Se sigue que para cada k-algebra R, V (R) adquiere una estructura degrupo y esta estructura de grupo depende funtorialmente de R.

Sea V una variedad grupo sobre k. Sea a un punto de V con coordenadasen k, definimos la traslacion a la derecha por a, ta : V V , como lacomposicion:

V V V m Vx 7 (x, a) 7 xa

As, en puntos, ta es x 7 xa, un isomorfismo que tiene por inversatinv(a)V V .As una variedad grupo es automaticamente no singular, yaque cualquier variedad grupo contiene una subvariedad abierta U 6= , nosingular, los trasladados de U recubren V .

Por definicion, solo una componente irreducible de una variedad puedepasar por un punto no singular de la variedad, as un esquema grupo conexoes irreducible.

Una variedad grupo conexa es geometricamente conexa, es decir, se man-tiene conexa cuando extendemos escalares a su clausura algebraica. Paraverlo, tenemos que mostrar que k es algebraicamente cerrado en k(V ).

Sea U en un entorno afn de e, y sea A = (U,OV ). Entonces A es unak-algebra con cuerpo de fracciones k(V ), y e es un homomorfismo A k.

Si k no fuera algebraicamente cerrado en k(V ), entonces existira un cuer-po k ) k contenido en A. Pero para este cuerpo no habra homomorfismok k y por lo tanto no habra A k.Definicion 2.1.

Una variedad grupo completa es lo que llamamos variedad abeliana. Ve-remos que son proyectivas y conmutativas. Podemos, as, escribirlo con no-tacion conmutativa, y as denotamos

ta : V Vx 7 x+ a

y e lo denotamos por 0.

2.1.1. Rigidez

La escasez de aplicaciones entre variedades proyectivas tiene consecuen-cias que van a ser muy interesantes para nosotros.

Teorema 2.2 (Teorema de Rigidez).Consideramos una aplicacion regular : V W U , suponemos que

V es completa y V W es geometricamente irreducible. Si existen puntosu0 U(k), v0 V (k) y w0 W (k) tales que:

(V {w0}) = {u0} = ({v0} W )entonces (V W ) = {u0}

2.1. DEFINICIONES. PROPIEDADES BASICAS 13

Es decir, si los dos ejes coordenados colapsan en un unico punto, en-tonces esto fuerza a que el espacio total colapse en ese mismo punto.

Demostracion.Como las hipotesis no varan tras extender escalares, podemos suponer

que k es un cuerpo algebraicamente cerrado.Observamos que V es conexo, ya que de otra manera V k W no sera

conexo y mucho menos irreducible.Necesitamos los siguientes hechos:

(i) Si V es completo, entonces la aplicacion proyeccion q : V kW Wes cerrada (es la definicion dada en [HR])

(ii) Si V es completo y conexo y : V U es una aplicacion regular deV en una variedad afn U , entonces:

(V ) = {punto}

Sea U0 un entorno abierto de u0 . Por (i), definimos

Z = q(1(U \ U0))

que es cerrado en W , ya que U \ U0 es cerrado.Por definicion, el conjunto Z esta formado por la segunda componente

de puntos de V W que no se aplica en U0. As un punto w W no esta enZ si y solo si (V {w}) U0. En particular, w0 no pertenece a Z y por lotanto se tiene que W \ Z 6= .

Como V {w}(= V ) es completo y U0 es afn, tenemos que (V {w})es un punto siempre que w W \ Z, de hecho

(V {w}) = (v0, w) = {u0}

As es constante en el conjunto V (W \Z) de V W . Tenemos queeste conjunto V (W \ Z) 6= y que es abierto en V W (ya que lo eraW \Z en W ). Al ser V W irreducible, se tiene que V (W \Z) es densoen V W .

Como U es separado, debe coincidir entonces con la aplicacion cons-tante en todo V W .

Corolario 2.3.Cada aplicacion regular : A B de variedades abelianas es la com-

posicion de un homomorfismo con una traslacion.


Demostracion.La aplicacion racional mandara el punto k-racional 0 de A a un punto

k-racional b de B. Componiendo con la traslacion tb, podemos asumirque (0) = 0.

Consideramos la aplicacion : AA B, definida como:

(a, a) = (a+ a) (a) (a)

Tenemos que es la diferencia de dos aplicaciones regulares:

AA m A

yy

B B m B

que es una aplicacion regular.Como (A 0) = 0 = (0 A), por el Teorema (2.2), tenemos que

= 0, con lo que concluimos que es un homomorfismo.

Observacion 2.4.El corolario muestra que la estructura de grupo en una variedad abeliana

esta unicamente determinada por la eleccion de un elemento cero (comoocurra en el caso de las curvas elpticas).

Corolario 2.5.La ley de grupo de una variedad abeliana es conmutativa, es decir, la

variedad abeliana realmente es abeliana.

Demostracion.Los grupos conmutativos se distinguen de los no conmutativos por el

hecho de que la aplicacion que manda un elemento a su inverso es un homo-morfismo. Como la aplicacion

A Aa 7 a

manda el elemento 0 a s mismo, tenemos por el Corolario (2.3) que estaaplicacion es un homomorfismo (ya que la traslacion que obtenemos es lat0 = id)

Corolario 2.6.Sean V y W variedades completas sobre k con puntos k-racionales v0 y

w0 respectivamente y sea A una variedad abeliana. Entonces un morfismo

2.2. APLICACIONES RACIONALES ENTRE V. ABELIANAS 15

h : V W A tal que h(v0, w0) = 0 se puede escribir de forma unicacomo

h = f p+ g qdonde f : V A y g : W A son morfismos tales que f(v0) = 0,g(w0) = 0 y p y q son las respectivas proyecciones.

Demostracion.Sea f = h|V{w0}, g = h|{v0}W , identificamos, mediante las proyeccio-

nes, V {w0} con V y {v0} W con W , es decir,

f(v) = h(v, w0) y g(w) = h(v0, w)

por lo tanto def= h (f p+ g q) es la aplicacion:

: V W A(v, w) 7 h(v, w) h(v, w0) h(v0, w)

As (V {w0}) = 0 = ({v0} W ), y por el teorema (2.2) tenemosque = 0, obteniendose h = f p+ g q

2.2. Aplicaciones racionales entre VariedadesAbelianas

A lo largo de toda la seccion trabajaremos con variedades irreducibles.

2.2.1. Aplicaciones Racionales

Empezaremos discutiendo la teora general de aplicaciones racionales.Sean V y W dos variedades sobre k, consideramos el par (U,U ) donde Ues un abierto denso en V y U : U W es una aplicacion regular. Dospares de este tipo, (U,U ) y (U , U ) se dice que son equivalentes si U yU coinciden en U U . La clase de equivalencia de estos pares se denominaaplicacion racional y se denota por

: V W

Una aplicacion racional se dice que esta definida en un punto v V siv U para algun U de un par (U,U ) .

El subconjunto U1 de V donde esta definido es abierto y existe unaaplicacion regular 1 : U1 W tal que (U1, U1) . Observamos que

U1 =

(U,U )U


Ejemplo 2.7.Sea C la cuspide definida por la ecuacion y2 = x3. Existe una aplicacion

regularA1 Ct 7 (t2, t3)

que define un isomorfismo A1 \{0} C \{0}. La inversa de este morfismorepresenta una aplicacion racional.

C A1

que no se extiende a una aplicacion regular ya que la aplicacion en el cuerpode funciones no manda el anillo local en 0 A1 en el anillo local en 0 C.En general, podemos afirmar que una aplicacion regular solo puede mandarun punto singular en otra singularidad peor.

Teorema 2.8.Una aplicacion racional : V W de una variedad normal en una

variedad completa se define en un abierto U de V tal que su complementarioV \ U tiene codimension 2.Demostracion.

Un esbozo de la demostracion de este Teorema se puede encontrar en[ML1].

2.2.2. Aplicaciones racionales en Variedades Abelianas

Teorema 2.9.Una aplicacion racional : V A de una variedad no singular en

una variedad abeliana esta definida en todo V ( : V A).Demostracion.

La demostracion sera inmediata a partir del Teorema 2.8 y del siguienteLema.

Lema 2.10.Sea : V G una aplicacion racional de una variedad no singular

en una variedad grupo. Entonces o esta definida en todo V o los puntosdonde no esta definida forman un cerrado de codimension 1 en V .

Demostracion.La demostracion de este lema se puede encontrar de forma completa en

[ML1], veamos aqu un esbozo de la demostracion.Definimos una aplicacion racional como

: V V G(x, y) 7 (x)(y)1


Mas precisamente, si (U,U ) representa a entonces es la aplicacionracional representada por

U U UU GG idinv GG m G

Se puede ver que esta definida en x si y solo si esta definida en(x, x). Por otro lado la aplicacion racional define una aplicacion

: OG,e k(V V )

si la aplicacion racional esta definida en (x, x), entonces mandara esteelemento en e. Tenemos que la aplicacion racional esta definida en (x, x)si y solo si Im (OG,e) OVV,(x,x)

Ahora tenemos que V V es no singular y por teora de divisores llegamosa que

OVV,(x,x) = {f k(V V )| (f) no contiene a (x, x)} {0}

Supongamos que la aplicacion no esta definida en (x, x), entoncespara algun f Im () tenemos que (x, x) (f). Por lo tanto, noesta definida en los puntos

(y, y) 4 (f)Este es un subconjunto de codimension 1 en 4 y cuando lo identificamos

con un subconjunto de V , obtenemos un subconjunto de V de codimension1 que pasa por x, punto en el cual no esta definida.

Teorema 2.11. Sea : V W A una aplicacion de un producto devariedades no singulares en una variedad abeliana. Supongamos que V Wes geometricamente irreducible. En este caso, si tenemos que

(V {w0}) = {a0} = ({v0} W )

para algun a0 A(k), v0 V (k), w0 W (k), se tiene entonces que

(V W ) = {a0}

Si V (oW ) es completo, es un caso especial del Teorema de Rigidez. Parademostrar el caso general necesitaremos dos lemas, cuyas demostraciones sepueden encontrar en [ML1].

Lema 2.12.

(a) Cada curva no singular V puede interpretarse como un abierto de unacurva completa no singular C.


(b) Sea C una curva, existe una curva no singular C y una aplicacionregular C C que es un isomorfismo sobre el conjunto de puntosno singulares de C.

Lema 2.13.Sean V una variedad irreducible sobre un cuerpo algebraicamente cerrado

y P un punto no singular de V . Entonces la union de las curvas irreduciblesque pasan por P y no son singulares en P es densa en V .

Demostracion. (del Teorema 2.11)Podemos asumir k = k. Supongamos que V tiene dimension 1. Entonces,

por el Lema 2.12, tenemos que existe una inmersion de V en una curvano singular C, por el Teorema 2.9 podemos extender a una aplicacion : C W A y ahora aplicar el Teorema de Rigidez, obteniendo as que es constante y por lo tanto tambien lo es.

Veamos el caso general. Sea C una curva irreducible en V que pasapor v0 y que no es singular en este punto. Sea C C la normalizacionde C. Por composicion, define un homomorfismo C W A, porel mismo argumento que en el caso particular anterior, tenemos que estehomomorfismo es constante. Por lo tanto, (C W ) = {a0} y el Lema 2.13completa la prueba.

Corolario 2.14.Cada aplicacion racional G A entre una variedad grupo y una

variedad abeliana es la composicion de un homomorfismo h : G A conuna traslacion.

Demostracion.El Teorema 2.9 muestra que es regular, el resto de la demostracion es

analoga a la del Corolario 2.3.

2.2.3. Variedades Abelianas salvo equivalencia birracional

Una aplicacion racional : V W es dominante si Im (U ) es densoen W para un representante (y por lo tanto todos) (U,U ) de . Tenemosentonces que define un homomorfismo

k(W ) k(V )f 7 f

Cada homomorfismo proviene de una unica aplicacion racional dominante.Diremos que una aplicacion racional es birracional si su correspon-

diente homomorfismo k(W ) k(V ) es un isomorfismo. Equivalentemente,si hay una aplicacion racional : W V tal que y son laidentidad en sus dominios de definicion.


Dos variedades V y W son birracionalmente equivalentes si existe unaaplicacion birracional V W , o lo que es equivalente, si k(V ) = k(W ).

En general dos variedades pueden ser birracionalmente equivalentes sinser isomorfas. De hecho, cada variedad de dimension > 1 puede ser birracio-nalmente equivalente a varias variedades no isomorfas.

Sin embargo, el Teorema 2.8 muestra que dos curvas completas no sin-gulares que son birracionalmente equivalentes son entonces isomorfas. Lomismo sucede con las variedades abelianas.

Teorema 2.15.Si dos variedades abelianas son birracionalmente equivalentes, entonces

son isomorfas como variedades abelianas.

Demostracion. Sean A y B dos variedades abelianas. Por el Teorema 2.9,una aplicacion racional : A B se extiende a una aplicacion regularA B.

Si es una aplicacion racional, su inversa tambien se extiende a unaaplicacion regular y las composiciones y son la identidad en abier-tos densos. Por lo tanto, existe un isomorfismo : A B de variedadesalgebraicas.

Si componemos este morfismo con una traslacion tenemos que 0 7 0 ypor el Corolario 2.3 se preserva la estructura de grupo.

A continuacion vamos a enunciar una serie de resultados sobre aplica-ciones racionales entre variedades abelianas.

Proposicion 2.16.

Cada aplicacion racional A1 A, donde A es una variedad abe-liana, es constante.

Cada aplicacion racional : V A de una variedad unirracional(ver 2.17) en una variedad abeliana es constante.

Definicion 2.17.Una variedad V sobre un cuerpo algebraicamente cerrado se dice que

es unirracional si existe una aplicacion racional dominante An Vcon n = dimV o equivalentemente, si existe una inmersion de k(V ) enk(x1, . . . , xn).

Una variedad V sobre un cuerpo k arbitrario se dice que es unirracionalsi Vkalg es unirracional.


2.3. El Teorema del Cubo

Antes de enunciar el Teorema del Cubo, podemos enunciar este teoremade una forma menos matematica, el Teorema viene a decir que un haz inver-tible en el producto de tres variedades completas es trivial si lo es cuandonos restringimos a cada una de las tres caras coordenadas.

Teorema 2.18 (Teorema del Cubo).Sean U, V,W tres variedades completas geometricamente irreducibles so-

bre k y sean u0 U(k), v0 V (k) y w0 W (k) puntos base. Un hazinvertible L en U V W es trivial si sus restricciones a

U V {w0}, U {v0} W, {u0} V W

son triviales.

Demostracion.Una prueba de este teorema se puede encontrar en [MU] o en [ML1]

A continuacion pasamos a enunciar una serie de resultados obtenidos apartir de este Teorema.

Corolario 2.19.Sea A una variedad abeliana y sea pi : A A A A la proyeccion

en el i-esimo factor, definimos pij = pi+ pj y p123 = p1+ p2+ p3. Entoncespara cualquier haz invertible L en A, el haz en A

p123L+ p12L1 + p13L1 + p23L1 + p1L+ p2L+ p3L

es trivial.

Corolario 2.20.Sean f, g, h aplicaciones regulares de una variedad V en una variedad

abeliana A. Para cualquier haz invertible L en A tenemos que

(f + g+h)L (f + g)L1 (f +h)L1 (g+h)L1 fL gLhL

es trivial

Corolario 2.21.Para un haz invertible L en una variedad abeliana A se tiene

nAL = Ln2+n

2 (1)ALn2n

2

Teorema 2.22 (Teorema del Cuadrado).Para cualquier haz invertible L en A y puntos a, b A(k) tenemos que

ta+bL L = taL tbL

2.4. LAS VARIEDADES ABELIANAS SON PROYECTIVAS 21

2.4. Las variedades abelianas son proyectivas

Definimos una variedad abeliana como una variedad grupo completa,en esta seccion probaremos que ademas esta variedad grupo completa esproyectiva. Podramos haber evitado este problema definiendo una variedadabeliana como una variedad grupo completa y proyectiva, pero historica-mente estaramos incurriendo en un error, ya que hasta 1953 no se llego aprobar que las variedades abelianas son proyectivas.

En esta seccion veremos la prueba dada por Weil en 1958. Por simplici-dad, consideraremos el caso k = k.

Sea V una variedad completa no singular sobre k. Una clase de equiva-lencia lineal no vaca de divisores efectivos (de la forma

niYi con ni 0)

en V se denomina sistema lineal completo.As, si d es un sistema lineal completo y D0 d, entonces d consiste en

todos los divisores efectivos de la forma

D0 + (f) con f k(V )

es decird = {D0 + (f)| f L(D0)}

donde por definicion

L(D0) = {f k(V )|(f) D0} {0}Por otro lado, podemos asociar a un sistema lineal completo en V una

aplicacion racional V Pn y podemos encontrar condiciones en elsistema lineal suficientes para estar seguros de que la aplicacion identifica Vcon una subvariedad cerrada de Pn.

Sea D0 un divisor en d y sea f0, . . . , fn una base de L(D0). Existe unaaplicacion racional

V PnP 7 (f0(P ), . . . , fn(P ))

Esta aplicacion esta definida en los puntos P tales que fi no tiene polos enP , para i = 0, . . . , n, y al menos uno de los fi no es cero en P , es decir, enun abierto de V .

Al cambiar la base unicamente cambiamos la aplicacion por una trans-formacion lineal proyectiva. Si reemplazamos D0 por un divisor linealmenteequivalente D = D0+(f), entonces f0f , . . . ,

fnf es una base de L(D) y define

la misma aplicacion racional que D0.As, salvo transformaciones proyectivas lineales, la aplicacion racional

depende solo del sistema lineal d.Supongamos que existe un divisor efectivo E tal que D E para todo

D d. Tal divisor se denomina divisor fijo de d y se tiene qued E := {D E|D d}


es tambien completo. VeamosloSupongamos que D0 d, entonces d consiste en los divisores de la forma

D0+(f) con f L(D0), por lo tanto dE consiste en todos los divisores dela forma D0E+(f) con f L(D0E) = L(D0). De hecho, dE define lamisma aplicacion en el espacio proyectivo que d. Por lo tanto, supondremosque d no tiene divisores fijos.

Un punto P V se dice que es un punto base de d si P Sop (D) paratodo D d. Cada punto de un divisor fijo es un punto base, pero cuandono hay divisores fijos puede haber puntos base.

Proposicion 2.23.La aplicacion racional : V Pn definida por d esta definida en P

si y solo si P no es un punto base de d.

Demostracion.Supongamos que P no es un punto base de d y sea D un elemento de d

tal que P 6 Sop (D0). Sea f0, . . . , fn una base de L(D0). Como d no tienedivisores fijos, tenemos que( fi

f0

)= Di D0 para algun Di 0

Como P 6 Sop (D0), entonces ningun fif0 puede tener un polo en P . Porlo tanto la aplicacion

P 7(f1f0(P ), . . . ,

fnf0(P ))

esta bien definida en P .

Supongamos que d no tiene puntos base y sea : V Pn sucorrespondiente aplicacion racional. Si es un isomorfismo en una variedadcerrada de Pn, entonces

d = {1(H)|H es un hiperplano de Pn}

(con la reserva de que no siempre 1 es un divisor).

Definiciones 2.24.

(a) Un sistema lineal d se dice que separa puntos si para cada par depuntos P,Q V existe un divisor D d tal que P D y Q 6 D.

(b) Decimos que un sistema lineal separa direcciones tangentes si paracada P V y para cada tangente no nula t de V en P , existe undivisor D d tal que P D y t 6 TgtP (D)

2.4. LAS VARIEDADES ABELIANAS SON PROYECTIVAS 23

Con estas definiciones se tiene el siguiente resultado, que se puede en-contrar en [HR].

Proposicion 2.25.Supongamos que d no tiene puntos base. La aplicacion : V Pn defi-

nida por d es una inmersion cerrada si y solo si d separa puntos y direccionestangentes.

Con lo ya desarrollado y los resultados enunciados previamente estamosen condiciones de poder demostrar el Teorema central de esta seccion.

Teorema 2.26.Toda variedad abeliana A es proyectiva.

Demostracion.El primer paso consiste en demostrar que existe un conjunto finito de

divisores primos Zi tales queZi separa 0 del resto de puntos de V y

separa las direcciones tangentes en 0, es decir, queremos

(1)Zi = {0} (0 es el elemento neutro de A).

(2)Tgt0(Zi) = {0} (aqu 0 es el elemento 0 de Tgt0(A))

Para probar esto, veamos que dos puntos 0 y P de A estan contenidosen una subvariedad abierta afn de A.

Sea U un entorno abierto afn de 0 y sea U + P su trasladado a P .Elegimos un punto u U (U + P ). Entonces

u (U + P ) = 0 U + P uu U = u+ p U + P = P U + P u

Por lo tanto, sea U := U + P u un entorno abierto afn de 0 y P .Podemos identificar tambien U con un subconjunto cerrado de An paraalgun n.

Existe un hiperplano H en An que pasa por 0 pero no lo hace por P ,tomamos Z1 como la clausura de H U en A. Si existe un punto P enZ1, distinto de 0, elegimos Z2 que pase por 0 pero no por P . Continuandocon este proceso, y como A tiene la condicion de la cadena descendente paracerrados, este proceso finalizara en un conjunto finito de Zis. Entoncestendremos que Zi = {0}.

Ahora elegimos un entorno abierto afn U de P y sea t Tgt0(P ).Supongamos que t Tgt0(Zi) para todo i. Tenemos la inmersion U An,elegimos un hiperplano H que pase a traves de 0 y tal que t 6 H, agregamosla clausura de H A en A al conjunto {Zi}. Por el mismo argumento de lacadena descendente, obtenemos la condicion (2).

Sea D el divisorZi donde {Zi}1im satisface las condiciones (1) y

(2). Tenemos que 3D define una inmersion de A en Pn, para algun n. Para


cualquier familia de puntos {a1, . . . , am; b1, . . . , bm} de A, el teorema delcuadrado muestra que

i

(Zi,ai + Zi,bi + Zi,aibi) 3D

Sean a y b puntos distintos de A. Por (1), para algun i tenemos que Zino contiene a b a. Elegimos a1 = a, as Z1,a1 pasa por a1 pero no por b.

Los conjuntos{b1|Z1,b1 pasa por b}{b1|Z1,a1b1 pasa por b}

son cerrados propios de A. Por lo tanto, es posible elegir un elemento b1que no pertenezca a ninguno de los dos. De la misma forma vamos eligiendoai, bi con i 2 de tal forma que ninguno de los Zi,ai , Zi,bi , Zi,aibi pasepor b.

Entonces a esta en el soporte dei

(Zi,ai + Zi,bi + Zi,aibi)

pero b no lo esta. Esto demuestra que el sistema lineal definido por 3D separapuntos. La prueba para separar tangentes es analoga.

Obtenemos as A Pn para algun n.

2.5. Isogenias

Sea : A B un homomorfismo de variedades abelianas. La fibrasobre 0 B se denomina nucleo de y se denota por ker(). Es unasubvariedad cerrada de A y por lo tanto es completa. Como hereda unaestructura de grupo de A es una variedad grupo cuya componente conexaes una variedad abeliana (puede ser un unico punto).

Un homomorfismo : A B de variedades abelianas es una isogeniasi es un homomorfismo sobreyectivo y su nucleo es finito, es decir, el nucleotiene dimension 0.

Proposicion 2.27.Para un homomorfismo : A B de variedades abelianas, las si-

guientes condiciones son equivalentes:

(1) es una isogenia.

(2) dimA = dimB y es sobreyectivo.

(3) dimA = dimB y ker() es finito.

(4) es finito, plano y sobreyectivo.

2.5. ISOGENIAS 25

Demostracion.Como A es completa tenemos que (A) es una subvariedad cerrada de

B. Para cualquier punto b (A) tenemos que tb define un isomorfismo

1k(b) 1(b)

As, salvo extension de escalares, todas las fibras de la aplicacion sobrepuntos de (A) son isomorfas. En particular, tienen la misma dimension.

Para b (A) se tiene que

dim1(b) dimA dim(A)

y la igualdad se consigue en un conjunto abierto. Por una observacion ante-rior, se llega a que para b (A)

dim1(b) = dimA dim(A)

Y de esta igualdad deducimos inmediatamente la equivalencia de (1), (2) y(3).

Es obvio que (4) implica (1), por lo tanto nos falta por probar que (1)implica (4). Supongamos (1) como cierto. El argumento anterior muestraque cada fibra tiene dimension cero, por lo tanto la aplicacion es quasi-finita. Usamos el resultado: Si es propio y separado, entonces espropio. Lo aplicamos a la sucesion de aplicaciones

A B pt

para deducir que es propio.Por otro resultado, tenemos que si es propio y quasi-finito entonces es

finito. Por lo tanto, OA es un OB-modulo coherente y esto muestra quees localmente libre.

Todos los resultados usados en esta ultima demostracion aparecen en[HR].

Por ultimo, diremos que el grado de una isogenia : A B es sugrado como aplicacion regular, es decir, el grado de la extension de cuerpos[k(A) : k(B)]

Captulo 3

Definicion de la VariedadJacobiana

Dada una curva proyectiva no singular C definida sobre k, queremosdefinir una variedad abeliana J , denominada Variedad Jacobiana de C, talque

J(k) = Pic0(C)

Desafortunadamente esto no es siempre posible.Segun la definicion que habramos dado, se tendra que cumplir que:

J(ksep) = Pic0(Cksep)

Y por lo tanto:

J(ksep) = J(k) = Pic0(Cksep) con = Gal(ksep/k)

Pero no siempre vamos a tener que:

Pic0(Cksep) = Pic0(C)

Veremos que s se cumple cuando C(k) 6= .Antes de dar la definicion formal de la variedad Jacobiana, veamos unos

resultados necesarios de teora de categoras:

3.1. Algunos resultados de Teora de Categoras

Sea C una categora. A partir de un objeto X de C, podemos definir unfuntor contravariante:

hX : C SetsT 7 Hom(T,X)

27

28 CAPITULO 3. DEFINICION DE LA VARIEDAD JACOBIANA

De hecho, a partir de este funtor, podemos definir otro funtor:

C Fun(C,Sets)X 7 hX

Lema 3.1 (Lema de Yoneda).El funtor definido previamente como X 7 hX es completamente fiel,

es decir,Hom(X,Y ) = Hom(hX , hY )

Demostracion.Sean a, b Ob(C). Tenemos definida la aplicacion:

Hom(a, b) Hom(ha, hb) 7 h

Para demostrar el lema, basta con encontrar una inversa a esta aplica-cion.

Sea : ha hb un homomorfismos de funtores, definimos entonces:

(a) : ha(a) hb(a)

Observamos que ha(a) = Hom(a, a), hb(a) = Hom(a, b) y que la aplica-cion (a) esta definida gracias al homomorfismo : a b

Como ida Hom(a, a), podemos ver la imagen de este homomorfismopor medio de la aplicacion anterior. Definimos entonces:

() = (ida) (un morfismo a b)

Veamos que 7 h y 7 () son inversas la una de la otra:

(h)def= h(ida)

def= ida =

h()()def= () def= (ida) = ()

As tenemos que X es conocido (salvo isomorfismo) una vez que conoce-mos el funtor que define y cada morfismo de funtores hX hY provienede un unico morfismo X Y .

Definicion 3.2.Dado un funtor F : C Sets diremos que es un funtor representable

si es isomorfo a un funtor F : C Hom(, X) para algun objeto X de C.En este caso, diremos que X representa a F .

3.2. DEFINICION DE VARIEDAD JACOBIANA 29

3.2. Definicion de Variedad Jacobiana

Sean C y T dos variedades sobre k. Supongamos que T es no singular,definimos entonces:

P 0C = Pic0(C T )/qPic0(T )

(familia de haces invertibles de grado 0 en C parametrizadas por T , modulofamilias triviales)

Observacion 3.3.En un ejemplo sencillo tendramos familias de funciones parametrizadas

por T , identificaramos dos de ellas si sus divisores se diferenciaran en unnumero finito de casos.

Por ejemplo, las familias de funciones f1 =x

x t y f2 =x

x t t at b

en P1 A1 estaran en la misma clase de equivalencia, ya que solo tienendivisores distintos si t = a o si t = b

P 0C es un funtor contravariante de la categora de variedades sobre k enla categora de grupos abelianos.

Teorema 3.4.Supongamos que C(k) 6= , entonces el funtor P 0C esta representado por

una variedad abeliana J

Demostracion.La demostracion se vera mas adelante

Por (3.1) sabemos que J esta unicamente determinada. A esta varie-dad abeliana la denominaremos Variedad Jacobiana de C y se denotara porJac(C) o simplemente J .

Definicion 3.5.Llamamos variedad punteada sobre k a un par (T, t), donde T es una

variedad sobre k y t T (k) es un punto distinguido.Siempre que estemos trabajando con una variedad abeliana, podremos

interpretarla como una variedad punteada tomando como punto distinguidoel punto 0.

Definicion 3.6.Una correspondecia divisoria entre (S, s) y (T, t) es un haz invertible L

en S T cuyas restricciones a {s} T y S {t} son triviales.Proposicion 3.7.

Sea P C(k) y sea J = Jac(C). Existe una correspondencia divisoriaM en C J que es universal en el siguiente sentido:


Para cualquier correspondencia divisoria L en C T (donde T es unavariedad punteada) tal que Lt es de grado 0 para todo t, existe una aplicacionregular:

: T Jtal que el punto distinguido de T se aplica en 0 y (1 )M LObservacion 3.8.

(a) La variedad Jacobiana esta definida incluso cuando C(k) = , sinembargo no representa al funtor P , ya que de hecho este funtor nosera representable.

(b) La variedad Jacobiana conmuta con la extension de escalares, es decir,

Jac(Ck) = (Jac(C))k cuando k k

(c) SeaM el haz de (3.7), sea x recorriendo los elementos de J(k), entoncestenemos queMx recorre el conjunto de los representantes de las clasesde isomorfismos de haces invertibles de grado 0 en C

(d) Fijado un punto P0 C. Existe una aplicacion regular:

P0 : C JP 7 [P P0]

(e) La dimension de J es el genero de C. Si C tiene genero 0, entoncesJac(C) = 0 (es obvio ya que Pic0(C) = 0, incluso cuando nos vamos ala clausura algebraica). Si la curva C tiene genero 1, entonces tenemosque Jac(C) = C (siempre que C tenga un punto racional, es decir,siempre que C sea una curva elptica, de otra forma difieren, ya queJac(C) siempre tiene un punto). Resumiendo: En curvas elpticas laJacobiana siempre coincide con la curva.

3.3. Construccion de la Variedad Jacobiana

Fijamos C una curva proyectiva no singular sobre k. Para facilitar laexposicion, supongamos que k = k, es decir, k es algebraicamente cerrado.Queremos construir una variedad J(k) que sea el grupo de divisores de grado0 en C.

Como primer paso, construiremos una variedad cuyos puntos sean losdivisores efectivos de grado r (con r > 0).

Sea Cr = C r. . . C. Podemos considerar un punto de Cr como unar-upla ordenada de puntos en C. Considerando as Cr, tenemos que Sr, el

3.3. CONSTRUCCION DE LA VARIEDAD JACOBIANA 31

grupo simetrico de r elementos, actua sobre Cr permutando el orden de losfactores.

Definamos ahora la variedad cociente:

C(r)def= Cr/Sr

pudiendo considerar sus puntos como r-uplas no ordenadas de puntos en C.Pero, una r-upla de puntos no ordenados es justamente un divisor efectivode grado r,

Pi. As:

C(r) = {divisores efectivos de grado r en C}Denotaremos por pi a la aplicacion cociente:

pi : Cr C(r)(P1, . . . , Pr) 7

Pi

Lema 3.9.La variedad C(r) es no singular.

Demostracion.En general cuando un grupo finito actua libremente sobre una variedad

no singular, el cociente resultante es no singular. En nuestro caso, existenpuntos en Cr cuyo subgrupo estabilizador es no trivial.

Recordemos que si G es un grupo que actua sobre X, entonces el sub-grupo estabilizador de x X se define por medio de

Gx = {g G tales que g x = x}Se observa facilmente que los puntos donde el estabilizador es no trivial

son de la forma (P1, . . . , Pr) donde dos (o mas) de los Pis coinciden. Tenemosque ver que estos puntos no dan singularidades en la variedad cociente.

El peor de los casos se da cuando tomamos el punto (P, . . . , P ), si deno-tamos por Q = pi (P, . . . , P ), entonces:

OQ = k[[1 . . . , r]]donde 1, . . . , r son las funciones elementales simetricas en los Xi (teniendopor tanto un anillo regular). Veamoslo:

El completado OP del anillo local en P es OP = k[[X]], por lo tanto:

O(P,...,P ) = k[[X]] . . . k[[X]] = k[[X1, . . . , Xr]]Haciendo actuar el grupo simetrico y sabiendo que cualquier polinomio

simetrico puede expresarse como un polinomio en las funciones elementales1 . . . , r, obtenemos:

k[[X1, . . . , Xr]]Sr = k[[1, . . . , r]]


Y entonces OQ = k[[1, . . . , r]], siendo un anillo regular y por lo tantono singular.

Sea Picr(C) el conjunto de clases de divisores de grado r en C. Para unpunto fijado P0 en C, tenemos que la siguiente aplicacion es una biyeccion:

Pic0(C) Picr(C)[D] 7 [D + rP0]

Es facil ver que la inversa se define por medio de:

Pic0(C) Picr(C)[D rP0] [ [D]

Esta afirmacion continua siendo cierta cuando consideramos Pic0(C) yPicr(C) como funtores de variedades sobre k y es suficiente con encontraruna variedad que represente a Picr(C) para tener definida la Jacobiana taly como queramos (va este isomorfismo)

Para un divisor de grado r, el teorema de Riemann-Roch nos dice que:

l(D) = r + 1 g + l(K D) siendo K el divisor canonico (3.9.1)

Como deg(K) = 2g 2, tenemos que cuando deg(D) > 2g 2 entoncesdeg(K D) < 0 y por lo tanto l(K D) = 0

Con este ultimo resultado y por (3.9.1), llegamos a que l(D) = r+1 g.Si tenemos que g = 0, entonces l(D) = r + 1 > 0.

Por otro lado, si g 1 y como r = deg(D) > 2g 2, entonces sustitu-yendo tenemos que:

l(D) = r + 1 g > 2g 2 + 1 g = g 1 0

Y por tanto, si deg(D) > 2g 2 entonces l(D) > 0.En particular, cada clase de divisores de grado r contiene un divisor

efectivo. Entonces, la aplicacion:

: {divisores efectivos de grado r} Picr(C)D 7 [D]

es sobreyectiva cuando r > 2g 2.Podemos considerar esta aplicacion como un morfismo de funtores:

: C(r) Picr(C)

Supongamos que podemos encontrar una seccion s de , es decir, unhomomorfismo de funtores:

s : Picr(C) C(r) tal que s = id

3.3. CONSTRUCCION DE LA VARIEDAD JACOBIANA 33

Entonces s es un homomorfismo de funtores C(r) C(r), y por(3.1) una aplicacion regular.

Podemos formar el producto fibrado:

C(r)

(1,s)

J oo

C(r) C(r) C(r)

4oo

Entonces:

J (k) = {(a, b) C(r) C(r)| a = b, b = s (a)} b 7(b) Picr(C)

es un isomorfismo.Construiremos as la variedad Jacobiana, de hecho, J sera una subva-

riedad cerrada de C(r)

Desafortunadamente, no es posible encontrar siempre tal seccion. El Teo-rema de Riemann-Roch nos dice que, para r > 2g2, cada clase de divisoresde grado r esta representada por una familia de dimension rg de divisoresefectivos, y no hay forma funtorial de elegir un representante adecuado.

Sin embargo, esto se puede hacer localmente, y por tanto, construir J

como union de variedades, cada una de las cuales es una subvariedad cerradade una subvariedad abierta de C(r).

Captulo 4

La definicion de la Jacobianade Abel y Jacobi

Vamos a intentar definir la Jacobiana para un caso mas sencillo y menosgeneral, para ello trabajaremos sobre superficies de Riemann compactas.Empecemos introduciendo un poco de notacion y recordando algun concep-to:

Sea f(X,Y ) R[X,Y ]. Podemos considerar que la ecuacion f(X,Y ) = 0define Y (implcitamente) como una funcion multievaluada de X. Denomi-naremos por integral abeliana a una integral de la forma

g(Y )dX con g(Y ) una funcion racional

Un ejemplo sencillo se tiene cuando f(X,Y ) = Y 2X3aXb, entoncesla integral

dX

Y=

dX

(X3 + aX + b)1/2

es una integral abeliana.La dificultad con estas integrales es que, a menos que la curva dada

por f(X,Y ) = 0 tenga genero 0, no podra ser evaluada en terminos de lasfunciones elementales. Hoy en da, mejor que utilizar integrales de funcio-nes multievaluadas, preferimos pensar en diferenciales en una superficie deRiemann, por ejemplo, una superficie de Riemann compacta (es decir, unacurva sobre C), definida por f(X,Y ) = 0

Sea C una superficie de Riemann compacta. Se tiene que C esta cubiertapor entornos coordenados (U , z) donde U puede identificarse con abiertos deC y z es la variable compleja.

Si (U1, z1) es un segundo entorno coordenado, entonces:

z = u(z1)z1 = v(z)

35

36 CAPITULO 4. DEFINICION DE ABEL Y JACOBI

donde u, v son funciones holomorfas en U U1.Para dar una forma diferencial w en C, tenemos que dar una expresion

de la forma f(z)dz en cada (U , z) de tal manera que:

f(u(z1)) u(z1)dz1 = f1(z1)dz1 en U U1Diremos que una forma diferencial es holomorfa si cada funcion f(z) es

holomorfa en su correspondiente abierto.Sea w una forma diferencial en C como la anteriormente definida, sea

un camino en U U1; entonces:f(z)dz =

f1(z1)dz1

con lo que tiene sentido integrar w a lo largo de cualquier camino de C.

Teorema 4.1.El conjunto de diferenciales holomorfas en C forman un espacio vectorial

de dimension g, donde g es el genero de la curva C (g = gen(C))

Denotaremos por

(C,1) = {formas diferenciales holomorfas en C }

Si w1, . . . , wg forman una base del espacio vectorial, entonces cada dife-rencial holomorfa es una combinacion lineal de los wi:

w =gi=1

aiwi

y por tanto w =

gi=1

ai

wi

Basta, entonces, con entender el conjunto finito de integrales:{w1, . . . ,

wg

}Por topologa sabemos que si el genero de C es g, entonces C es un toro

con g agujeros y, por lo tanto, H1(C,Z) tiene una base canonica 1, . . . , 2gDenominaremos vectores periodo a los vectores de la forma:

pij =

jw1...

jwg

Cg con j = 1, . . . , 2g

37

Teorema 4.2.Los 2g vectores periodo son linealmente independientes sobre R.

Por lo tanto, pi1, . . . , pi2g genera un retculo en Cg dado por

=

2gj=1

mjpij | mj Z =

2gj=1

Zpij

Entonces, C/ es un toro complejo de dimension g, de hecho se puedever que es una variedad abeliana (tiene una forma de Riemann). A este torole denotaremos por J(C) y le sera la Variedad Jacobiana.

En muchos casos nos resultara mas sencillo trabajar con la variedadJacobiana que con la propia curva C. Veamos un caso concreto.

Sea K(C) el grupo multiplicativo de los elementos distintos de cero enK(C), consideramos el siguiente problema: dado un divisor D Div(C),existe f K(C) tal que (f) = D?

Como, deg(f) = 0, tenemos que una condicion necesaria para que elproblema tenga solucion es que D Div0(C).

El teorema de Abel dara una solucion completa a este problema.Fijado un punto, P0 en C, si elegimos P un segundo punto y es un

camino entre P0 y P , entonces podemos definir la siguiente aplicacion lineal:

(C,1) Cw 7 w

Observamos que si se reemplaza por otro camino entre P0 y P ,entonces y se diferenciaran en un lazo.

Si el lazo es contractible, tendremos que w =

w. De otra forma,

las dos integrales se diferenciaran en una suma de periodos.

Teorema 4.3 (Formula de inversion de Jacobi).Sea l una aplicacion lineal l : (C,1) C, entonces existen puntos

P1, . . . , Pg C y caminos i de P en Pi tales que:

l(w) =

i

w para cada w (C,1)

Teorema 4.4 (Teorema de Abel).Sean P1, . . . , Pr y Q1, . . . , Qr puntos en C. Entonces existe una funcion

meromorfa f en C con polos en Pi y ceros en Qi si y solo si para todocamino i de P en Pi y para todo camino i de P en Qi, existe un elemento H1(C,Z) tal que

i

w

iw =

w para cada w (C,1)

38 CAPITULO 4. DEFINICION DE ABEL Y JACOBI

Podemos encontrar una demostracion de los Teoremas 4.3 y 4.4 en [GR].Sea ahora H1(C,Z), entonces w 7

w es una funcion lineal en el

espacio vectorial (C,1), es decir, es un elemento de (C,1).As tenemos una aplicacion:

H1(C,Z) (C,1) 7

y (4.2) implica que es inyectiva.Definimos como

J = (C,1)/H1(C,Z)

La eleccion de una base para (C,1) identifica J con Cg/Zpij , el

toro complejo.

Teorema 4.5.El producto interseccion:

H1(C,Z)H1(C,Z) Zes una forma de Riemann en J . Por lo tanto, J es una variedad abeliana.

Fijado un punto P en C, no tiene mucho sentido escribir QP w, ya que

depende de la eleccion del camino entre P y Q. Pero, teniendo en cuentaque dos elecciones diferentes nos dan un lazo, tenemos que w 7 QP westara bien definido como elemento de (C,1)/H1(C,Z).

As tenemos una aplicacion canonica de la forma

P : C Jque tiene la propiedad que manda P a 0.

Si consideramos ahora la aplicacion

Div0(C) JniPi 7

(w 7ni PiP w)

La formula de inversion de Jacobi (teorema 4.3) muestra que esta apli-cacion es sobre, ya que todo elemento del dual se puede escribir como com-binacion de elementos de la forma w 7 w.

El teorema de Abel nos dice que el nucleo de esta aplicacion es el grupode los divisores principales, los divisores que son de la forma (f) para algunf K(C). Este hecho se observa facilmente del teorema, por la forma quetienen estos divisores principales.

Por lo tanto Abel y Jacobi muestran que la aplicacion anterior define unisomorfismo:

Pic0(C) = Div0(C)/Princ(C) = J

Captulo 5

Variedades de Albanese

5.1. Propiedad Universal

En el caso en que trabajemos sobre los complejos, podemos decir queuna variedad abeliana sobre C es una variedad algebraica proyectiva que esun toro complejo de la forma Cn/L, donde L es un retculo de rango 2n;esta variedad adquiere una estructura de grupo.

En la categora algebraica una variedad abeliana sobre un cuerpo k esuna variedad grupo proyectiva, es decir, una variedad tal que la aplicacionmultiplicacion A A A y la aplicacion inversa A A son morfismosalgebraicos. Recordemos algunos resultados

Resultados 5.1.

(1) A es lisa y el grupo es necesariamente abeliano.

(2) Cualquier aplicacion entre variedades abelianas que enva el elemento0 en el elemento 0 es necesariamente un homomorfismo de grupos.

Lema 5.2.Las m-formas en el toro complejo Cn/L, cuando Cn tiene coordenadas

x1, . . . , xn, son de la forma:i1

40 CAPITULO 5. VARIEDADES DE ALBANESE

dondefi1...im es una funcion holomorfa.Estas funciones holomorfas son periodicas y por el principio del maximo

deben ser constantes.

El hecho analogo es verdad para variedades abelianas:

Lema 5.3.Si p A, las m-formas estan canonicamente identificadas con m T p .

Teorema 5.4.Para cualquier variedad proyectiva lisa X sobre un cuerpo k, existe una

variedad abeliana Alb(X), junto con un morfismo X : X Alb(X) conla siguiente propiedad universal:

Para cualquier variedad abeliana T y cualquier morfismo f : X T ,existe un unico morfismo (salvo traslacion) f : Alb(X) T tal que secumple que f = f , es decir, el siguiente diagrama es conmutativo y f esunica.

Xf //

X

T

Alb(X)f

::ttttttttttttt

Observacion 5.5.Alb(X) esta unvocamente determinado salvo isomorfismo gracias a esta

propiedad universal.

Otra forma de ver el significado de esta variedad albanese se obtieneanalizando un caso mas sencillo, el de los grupos.

Dado un conjunto S, podemos considerar el grupo generado por S, elllamado grupo libre FS , junto con una aplicacion S : S FS . Este gruposatisface la siguiente propiedad universal:

Si G es un grupo y f : S G una aplicacion de conjuntos, entonces fse factoriza de forma unica a traves de S :

Sf //

S

G

FS

g

::ttttttttttttt

donde g es un homomorfismo de grupos.Se puede comprobar facilmente que si S s FS existe, entonces es unica

salvo isomorfismo (de nuevo a partir de esta propiedad universal). La partemas laboriosa sera la de la demostracion de existencia.

5.1. PROPIEDAD UNIVERSAL 41

Similarmente, podemos hacer un razonamiento analogo para variedadesabelianas.

Consideramos una variedad proyectiva lisa S, entonces existe una varie-dad abeliana generada por S, llamada variedad de Albanese, Alb(S), juntocon una aplicacion de variedades S : S Alb(S). Esta variedad abelianasatisface una propiedad universal:

Si A es una variedad abeliana y f : S A una aplicacion de variedades,entonces f se factoriza de forma unica (salvo traslaciones) a traves de S :

Sf //

S

A

Alb(S)

g

::ttttttttttttt

donde g es un morfismo de variedades abelianas y es unico.Si tal aplicacion S S Alb(S) existe, entonces es unica salvo isomorfis-

mo. Faltara por probar la existencia.

Teorema 5.6.Siguiendo la notacion del Teorema 5.4 tenemos que induce un isomor-

fismo: : H0(A,1A) H0(X,1X)

Pasamos a enumerar una serie de consecuencias inmediatas de este Teo-rema (que no vamos a demostrar).

Consecuencias 5.7.

dimAlb(X) = dimh1(X,1X)En particular, si X es una superficie entonces dimAlb(X) = q. Por lotanto, como corolario, si tenemos que q = 0 cada morfismo de X enun toro complejo es trivial, es decir, cada aplicacion se reduce a unpunto.

La variedad de Albanese es de naturaleza funtorial.Si f : X Y es un morfismo de variedades proyectivas lisas, exis-te un unico morfismo F : Alb(X) Alb(Y ) tal que el siguientediagrama conmuta:

Xf //

S

Y

Y

Alb(X) ! F // Alb(Y )


Mas aun, la variedad abeliana Alb(X) esta generada por (X), esdecir, no existe ninguna subvariedad abeliana de Alb(X) que contengaa (X). En particular, (X) no se reduce a un punto si Alb(X) no esun punto.

Si f es sobreyectiva tambien lo es el morfismo F : Alb(X) Alb(Y ).Si A es la imagen de Alb(X) en Alb(Y ), entonces tenemos las inclusio-nes Y (Y ) A Alb(Y ). Como se tiene que Y (Y ) genera Alb(Y )llegamos a que A = Alb(Y ).

Supongamos que se factoriza como muestra el siguiente diagramaconmutativo

SS //

f

Alb(S)

T

::ttttttttttttt

con f sobreyectiva. Entonces el morfismo inducido

j : Alb(T ) Alb(S)es un isomorfismo.

Para verlo consideramos

Xf //

S

Y

Y

$$JJJ

JJJJ

JJJJ

J

Alb(X) F // Alb(Y )j // Alb(S)

La composicion de los morfismos de la ultima fila es la identidad porla propiedad universal. Por lo tanto, F es sobreyectiva.

Si C es una curva proyectiva lisa, entonces tenemos un candidato parala variedad albanese dado por C Pic0(C) (recordamos que Pic0(C)es una variedad abeliana isomorfa a Jac(C)).

Elegimos P0 C y consideramosC Pic0(C)P 7 [P P0]

Si g(C) > 0, entonces esta aplicacion es una aplicacion inyectiva deconjuntos. Veamoslo:

Supongamos que [P P0] = [QP0], entonces por las propiedades dePic0(C)y la definicion de clase se tiene que [P ] = [Q]. Lo que implicaque tenemos una aplicacion de grado 1 en P1, es decir, C = P1, lo quelleva a contradiccion, ya que g(P1) = 0.

5.1. PROPIEDAD UNIVERSAL 43

Resultados 5.8.

* Jac(C) tiene dimension g(C).

* Si g(c) > 0, entonces C Jac(C) es una inmersion cerrada.* La jacobiana satisface la propiedad universal, por lo tanto

Alb(C) = Jac(C).

Captulo 6

Alturas

6.1. La formula del producto

Sea K un cuerpo y MK una familia de valores absolutos x 7 |x|v(donde |x|v es un numero real mayor o igual que 0) que satisface las tressiguientes propiedades:

1. Todo v MK , excepto un numero finito de ellos, son ultrametricos,es decir

|x|v = cv(x)donde v es una valoracion real en K (una valoracion discreta en lapractica) y c > 1.

Los otros, finitos en numero, son valores absolutos arquimedianos in-ducidos por inmersiones K C.

2. Para todo x K, se tiene que |x|v = 1 excepto para un numerofinito de vs. Suponemos que tenemos una familia v > 0 de numerosy definimos

xv = |x|vv3. Para todo x K, tenemos la formula del producto

vMKxv = 1

Diremos entonces que K esta equipado con una formula producto.

Ejemplo 6.1.

(a) Consideramos K = Q y MQ = P {} donde P es el conjunto de losnumeros primos. Tomamos v = 1 para todo v MQ. Para x Q,tenemos que

x = pP

pvp(x)

45

46 CAPITULO 6. ALTURAS

y definimos

x = |x| =pP

pvp(x) (el valor absoluto de x)

yxp = |x|p = pvp(x) para p P

(b) Sea V una k-variedad proyectiva normal, K su cuerpo de funciones,MV el conjunto de divisores irreducibles W de V (es decir, subvarie-dades irreducibles de codimension 1).

Como V es normal, para todo divisor irreducible W MV el anillolocal de W es un anillo de valoracion discreta. Consideramos ahorala aplicacion vW : K Z, donde vW (f) es el orden de f en W ydefinimos

|f |W = cvW (f) (f K)Como cada f K tiene solo una cantidad finita de polos y ceros,tenemos vW (f) = 0 excepto para una cantidad finita de divisores irre-ducibles W MVSea C una curva en V que no pasa por las singularidades de V (co-mo V es normal, sus singularidades tienen, al menos, codimension 2,pudiendose construir as tal curva) Sea C.W la multiplicidad de la in-terseccion de C y W . Este numero se define primero cuando W nocontiene a C y se ve que depende unicamente de la clase de W , pu-diendo as definir C.W cuando W C.Asumimos que C.W > 0 para todo divisor irreducible W MV , escri-bimos as W = C.W

Como para f K (f) es linealmente equivalente a 0, tenemos queC.(f) = 0 (Si C no es un polo de f , entonces C.(f) es el grado deldivisor en C, dado por la restriccion de f a C, es decir, el numero deceros menos el numero de polos)

Como (f) =W

vW (f)W , obtenemos:

W

W vW (f) = 0 f K

(c) Extensiones finitas de cuerpos:

Sea K un cuerpo con una formula producto, sea L una extension finitade K de grado [L : K] = d. Cada v MK se puede extender a unnumero finito de valores absolutos w de L; llamemosML al conjunto deestas extensiones. Usando ML podemos definir una formula productopara L:

6.1. LA FORMULA DEL PRODUCTO 47

Sea Kv el completado de K por v. Entonces Lv = L K Kv es unalgebra semilocal de grado d sobre Kv. Por lo tanto, es un productode algebras locales:

Lv =w|v

Lw

donde el cuerpo residual Lw de Lw es el completado de L en w. Escri-bimos:

dw = [Lw : Kv] y dw = [Lw : Kv]

Para x L:xw = NLw|Kv(x)

edwdw

1d

v

donde N denota a la norma N(x) =

Galois

(x)

Observamos que en el caso separable simplemente se tiene:

xw = NLw|Kv(x)1dv

Para todo x L, tenemos:w|vxw = NL|k(x)

1d (6.1.1)

Si x k, tenemos entonces que NL|k(x) = |x|dv, y por lo tanto se tienela expresion

w|vxw = xv (6.1.2)

La formula 6.1.1 implica quewML

xw = 1

y por lo tanto tenemos una formula producto para L.

Veamos (6.1.1):

Denotemos por xw la imagen de x L en Lw. Tomando normas deLk kv en kv, tenemos que

NL|k(x) =w|v

NeLw|kv(xw)


Sea xw la imagen de xw por la proyeccion Lw Lw. Tenemos unaserie de Jordan-Holder de Lw (considerada como modulo sobre s mis-ma) de longitud edwdw , con modulos factores isomorfos a Lw. Deducimosque

NeLw|kv(xw) = (NLw|kv(xw)) edwdwObteniendose as (6.1.1).

(d) Cuerpo de numeros.

Sea k un cuerpo de numeros de grado d sobre Q. Sea v una plaza de k.Hemos definido antes el valor absoluto normalizado xv. Otra formade definirlo es:

Para x k, la homotecia y xy transforma la medida aditiva deHaar en un multiplo de ella y el multiplo |x|v,Haar esta relacionadocon xv por medio de

xv = |x|1dv,Haar

Si v esta asociada a la inmersion real k R, entonces:

xv = |x| 1d

Si v esta asociada a la inmersion compleja k C, entonces:

xv = |x| 2d

Por lo tanto, tenemos que

x1 + + xNv

sup

1iNxiv si v es ultrametrico

Nv sup1iN

xiv si v es arquimediano

6.2. Alturas en Pn(k)

Sea k un cuerpo con una formula producto. Por ejemplo (6.1 c), cadasubcuerpo L de la clausura algebraica k de k, de tipo finito, tiene una formulaproducto.

Sea x Pn(k), x = (x0, , xn) con xi k no todos 0. Definimos:

H(x0, . . . , xn) =vMk

sup1in

xiv

6.2. ALTURAS EN PN (K) 49

Casi todos los terminos del producto son iguales a 1. Mas aun,

H(x0, . . . , xn) =(

v

v)H(x0, . . . , xn)

= H(x0, . . . , xn) para todo k

donde se tiene la segunda igualdad gracias a la formula producto. Esto defineH en Pn(k).

Finalmente, se tiene que

H(x) 1 para todo x Pn(k)

ya que si, por ejemplo, tenemos que x0 6= 0, entonces

H(x0, . . . , xn) v

x0v = 1

Definimos ahora la altura logartmica

h(x) = logH(x)

deduciendose que h(x) 0Si L es una extension finita de k y x Pn(L), definimos

HL(x) =

wMLsupixiw

entoncesHL(x) = Hk(x) para x Pn(k)

De hecho, para cada v Mk sea iv tal que:

xivv xjv para todo j

se tiene que

xivw xjw para todo j y para todo w|v

y por tanto w|v

supjxjw =

w|vxivw = xivv

Definimos as una altura H : Pn(k) R con valores mayores o igualesque 1, y una altura logartmica h : Pn(k) R+ con valores mayores oiguales que 0.


Ejemplo 6.2.

(a) k = QPara x Pn(Q), escribimos x = (x0, . . . , xn) donde los xi Z tienenmaximo comun denominador 1. Para todo primo p, tenemos vp(xi) 0y para algun i tenemos vp(xi) = 0. As

nfivp(xi) = 0 y sup

ixip = 1

Por lo tanto, H(x) =

pM=Psup xip = sup

i|xi|

(b) Cuerpos de numeros:

Para un cuerpo de numeros, tenemos una formula analoga. Sea K uncuerpo de numeros, OK el anillo de enteros de K y MK, el conjun-to de plazas arquimedianas de MK . A x = (x0, . . . , xn) Pn(K) leasociamos el ideal

a = xoOk + + xnOKtenemos:

H(x) =1

N(a)1d

vMK,

supixiv

(c) Sea K = k(V ) el cuerpo de funciones de una k-variedad proyectivanormal V . Un elemento x = (x0, . . . , xn) Pn(K) se puede considerarcomo una aplicacion racional de V en Pn

x : V Pn

el conjunto 4 de puntos donde V donde x no esta definida tiene codi-mension mayor o igual que 2.

Sea H un hiperplano de Pn, que no contenga a la imagen de x, seax(H) la imagen inversa de H. x(H) es un divisor en V \ 4, por lotanto su clausura de Zariski es un divisor.

Sea C la curva elegida para definir la formula producto en k. Se tienela siguiente formula:

h(x) = C x(H)Basta con probar esta formula para el caso particular en que xi 6= 0para todo i. Denotamos por Hi los hiperplanos coordenados en Pn,definimos ahora Di = x(Hi) y Di Dj =

(xixj

).

Para W un divisor irreducible en V , denotamos por vW (Di) el coefi-ciente de W en Di. Tenemos as

vW (Di) vW (Dj) = vW (xi) vW (xj)

6.3. PROPIEDADES DE LA ALTURA 51

Tomando j = 0 e nfimos en i:

nfivW (Di) vW (D0) = nf

ivW (xi) vW (x0) (6.2.1)

Como Di 0, tenemos que vW (Di) 0 y como, por otro lado, los Hino tienen puntos comunes, entonces nfi vW (Di) = 0. Aplicando esteresultado y multiplicando (6.2.1) por (W.C) llegamos a

(W.C)vW (D0) = vW (D0) = (W.C) nfivW (xi) (W.C)vW (x0)

(6.2.2)

Por otro lado vW (D0) es el coeficiente que multiplica aW en el divisorD0, es decir,

D0 =W

W.vW (D0)

y entonces,C.D0 =

W

(C.W )vW (D0) (6.2.3)

Se tiene tambien W

(W.C)vW (x0) = C.(x0) = 0 (6.2.4)

As, tomando en (6.2.2) sumatorios en W y aplicando (6.2.3) y (6.2.4)llegamos a una expresion

C.D0 =W

(W.C) nfivW (xi) = h(x)

que prueba la formula.

6.3. Propiedades de la altura

Propiedades 6.3.

(1) Si x e y tienen coordenadas xi e yj respectivamente, consideramos xyque tendra por coordenadas xiyj , entonces por definicion

H(x y) = H(x) H(y)

(2) Para cada x = (x0, . . . , xn) y m 1, consideramos x(m) el punto cuyascoordenadas proyectivas son todos los monomios de grado m en los xiy xm = (xm0 , . . . , x

mn ). Entonces:

H(x(m)) = H(xm) = H(x)m


(3) Formula del cambio de coordenadas

Sean 0, . . . , r polinomios homogeneos de grado m en x0, . . . , xn concoeficientes en K. Si x = (x0, . . . , xn) Pn(K) y los i(x) no sontodos cero, definimos

(x) = (0(x), . . . , r(x)) Pr(K)

EntoncesH((x)) NH(c)H(x)m

definiendo c y N de la siguiente forma:

Cada i es una combinacion lineal de monomios en x0, . . . , xn de gradom; c es la sucesion de coeficientes de todos los i considerado como unpunto en el espacio proyectivo. Por ejemplo, si tenemos m = 3, n = 2y 1 = x30, 1 = 2x0x1, entonces c = (1, 0, 0, 0, 2, 0). N es el maximonumero de monomios que aparecen en los i. Finalmente,

N =

vMNv

Observamos que siK es un cuerpo de numeros con la formula productousual, entonces tenemos que N = N .Corolario 6.4.

Fijado , tenemos

H((x)) = O(H(x)m) para x Pn(K)

En particular, si PGLn+1(K) es un automorfismo de Pn, entoncestenemos que

h((x)) = h(x) +O(1)

Es decir, la diferencia h((x))h(x) es una funcion acotada en Pn(K).Si omitimos las funciones acotadas, la altura logartmica es indepen-diente de la eleccion de coordenadas en Pn.

(4) Sea F (x0, . . . , xn) un polinomio homogeneo de grado m tal que el coe-ficiente de xmn no es cero, es decir, se tiene que F (0, . . . , 0, 1) 6= 0. Parax = (x0, . . . , xn), consideramos ahora x = (x0, . . . , xn1), tenemos conestas condiciones la siguiente proposicion:

Proposicion 6.5.

Existe una constante C, que depende unicamente de F , tal que si elpunto x Pn(K) satisface F (x) = 0, entonces

h(x) C h(x) h(x)

6.3. PROPIEDADES DE LA ALTURA 53

Observamos que al ser F (x) = 0, tenemos que x 6= (0, . . . , 0, 1) y porlo tanto, x define un punto de Pn1(K).

Demostracion.

Sea x el punto cuyas coordenadas son todos los monomios de gradom en x0, . . . , xn con la excepcion de xmn . Como F (x) = 0, x

mn es una

combinacion lineal de los otros monomios, as la aplicacion x 7 x(m)es lineal y

h(x) h(x) (6.5.1)

El punto x(m1) x tiene por coordenadas los monomios de grado men x0, . . . , xn conteniendo al menos una variable diferente de xn. Salvorepeticiones en las coordenadas, este es el punto x. Por lo tanto

h(x) = h(x(m1)) + h(x) (6.5.2)

Por otro lado, como h(x(m)) = mh(x), tenemos que

h(x(m1)) = (m 1)h(x) (6.5.3)

Llegamos as combinando (6.5.1), (6.5.2) y (6.5.3) llegamos a

h(x(m))O(1) h(x)h(x) = h(x(m1)) + h(x)

}= mh(x)O(1) (m1)h(x)+h(x)

Por tantoh(x) h(x)O(1)

Interpretacion GeometricaLa aplicacion x 7 x define un morfismo de Pn {e} en Pn1, siendo

e = (0, . . . , 0, 1), esta es la proyeccion central desde el punto e.Mas generalmente, si es una subvariedad lineal de Pn de dimension ,

tenemos una proyeccion

pi : Pn \ Pn1

Proposicion 6.6.Si X Pn es una variedad proyectiva cerrada disjunta con , X = ,

entoncesh(pi(x)) = h(x) +O(1) para todo x X(K)

donde O(1) depende unicamente de X.


Demostracion.Argumentemos por induccion sobre . El caso = 1 es la Proposicion

6.5.Basta, por tanto, probar que si X es una subvariedad proyectiva cerrada

de Pn tal que X = , entonces la imagen de X es cerrada en Pn1.Esto se deduce del hecho de que una variedad proyectiva es completa, porlo tanto, su imagen por un morfismo es cerrada. Podemos verlo con masdetalle.

Consideremos una proyeccion cuyo centro es un punto ( = 0). SeanF, F las ecuaciones que definen X, cumpliendose que F (0, . . . , 0, 1) 6= 0.

Deseamos encontrar ecuaciones G(x0, . . . , xn1) = 0 de la proyeccion,es decir, eliminar xn de las ecuaciones F. Escribimos

F (x) = xmn + a1(x0, . . . , xn1)xm1n + . . .

para factorizarlo finalmente como

F (x) =mi=1

(xn i(x0, . . . , xn1))

Introducimos indeterminadas tmi=1

tF(x0, . . . , xn1, i) =a

taGa(x0, . . . , xn1)

Tenemos que los Ga nos dan las ecuaciones de la proyeccion.

Proposicion 6.7.Sean 0, . . . , r polinomios homogeneos de grado m que no son todos

simultaneamente 0 en K. Entonces

h((x)) = mh(x) +O(1) para x Pn(K)Demostracion.

Sea i : Pn PM definida por i(x) = x(m), donde M + 1 es el numerode monomios de grado m.

Existe una proyeccion lineal, definida fuera de la subvariedad cerrada desus centros 4, pi : PM \ 4 Pr tal que pi i =

Pni //

PM \ 4

pi

zztttttttttttt

Pr

Entonces i(Pn) 4 = . As en i(Pn) tenemosh(pi(y)) = h(y) +O(1)

Y como, y = i(x) = x(m) tenemos el resultado buscado.

6.4. TEOREMAS DE NORTHCOTT 55

6.4. Teoremas de Northcott

Teorema 6.8.Sean n, d,X enteros 1. Existe una cantidad finita de puntos de Pn(Q)

de altura X y de grado d.

Para x = (x0, . . . , xn) Pn(Q), el grado de x es el grado del cuerpogenerado por los xixj con i, j = 0, . . . , n y xj 6= 0.

Corolario 6.9 (Teorema de Northcott).Si K es una extension finita de Q, entonces solo existe una cantidad

finita de puntos de Pn(K) de altura X.

Demostracion.Empecemos considerando el caso d = 1. Los puntos de Pn(Q) de altura

acotada son una cantidad finita. Si expresamos el punto x Pn(Q) comox = (x0, . . . , xn), teniendo que xj Z y mcd(x0 . . . , xn) = 1, entoncesH(x) = sup |xi| y por lo tanto la finitud se deduce inmediatamente, ya quesolo existe una cantidad finita de enteros menores o iguales que X.

El siguiente paso a tomar es reducir el caso d 1 al caso d = 1.Sea (x0 . . . , xn) Pn(K), con [K : Q] = d y xi K. Sean : K Q,

( = 1, . . . , d) las inmersiones de K en Q y x = (x) = (x0 , . . . , xn).As tenemos,

x = (x1, . . . , xd) Pn Pn

El grupo simetrico actua en Pn Pn, consideremos ahora

n,d = Pn Pn/Sd

y sea pi : Pn Pn n,d el homomorfismo natural. La imagen dex = (x1, . . . , xd) mediante pi es invariante bajo conjugacion, por tanto

pi(x) n,d(Q)

Existe un inmersion natural : n,d Pn, consideramos los polinomioshomogeneos en x0 , . . . , x

n para cada actuando por el grupo simetrico y

tomando polinomios invariantes. Entonces

H((pi(x))) C

H(x)d CH(x)D para algunos d, C,D

Usando el caso d = 1 tenemos que los (pi(x)) son una cantidad finita.Cada fibra tiene como maximo d! elementos (el cardinal del conjunto depermutaciones), y por lo tanto, obtenemos la finitud de los x.


Teorema 6.10 (Forma cuantitativa del Teorema de Northcott).Sea NX el numero de puntos x Pn(K) tales que H(x) X. Entonces,

NX =h

K(n)cnX

nd +{O(X logX) si d = 1, n = 2O(Xnd1 en otro caso

donde

cn =(2r1(2pi)r24 )nRwnr

y siendo r1 el numero de plazas reales, r2 el numero de plazas complejas yr = r1+ r2 1 el rango del grupo de unidades, d = [K : Q], w el numero deraces de la unidad en K, R el regulador, 4 el valor absoluto del discrimi-nante y h el numero de clase.

Podemos encontrar una demostracion de este Teorema en [SCH].

Observacion 6.11.El termino del error no es el mejor que se puede alcanzar para los valores

(n, d) 6= (2, 1).

Resultados analogos en cuerpos de funcionesSea C una curva proyectiva absolutamente irreducible sobre Fq con gene-

ro g, sea K su cuerpo de funciones. Si x = (x0, . . . , xn1) Pn1(K), tene-mos

h(x) = gr(xH)

donde xH es la imagen inversa por x : C Pn1 de un hiperplano H dePn1 no contenido en la imagen de C. Se puede probar

Teorema 6.12.El numero de x Pn 1(K) con h(x) = d es

Aqn(d+1g)

(q 1)K(n) +O(qn(d+1g)1)

donde A es el numero de puntos Fq racionales en la jacobiana de C.

6.5. Altura asociada a un morfismo : X P nSea K un cuerpo con una formula producto. K la clausura algebraica de

K y X una variedad algebraica sobre K. Sea : X Pn un morfismo.Para x X(K) definimos

H(x) = H((x))h(x) = logH(x) = h((x))

6.5. ALTURA ASOCIADA A UN MORFISMO : X PN 57

Teorema 6.13.Sea : X Pn un isomorfismo de X en una subvariedad de Pn

localmente cerrada. Sea : X Pn un morfismo cualquiera. Existennumeros reales c1 > 0 y c2 tales que

h c1h + c2 en X(K)En otras palabras, h O(1 + h).Demostracion.

Podemos ver X como una inmersion en Pn, mediante , con coordenadasx0, . . . , xn.

(a) Caso especial

Existen polinomios homogeneos 0, . . . , m del mismo grado, no todoscero en X tales que

= (0(x), . . . , n(x))

Sea d el grado comun de los i. Entonces

H((x)) CH(x)d

(b) Caso general

Cubrimos X por una cantidad finita de subvariedades Xi tales que lospares (Xi, |Xi) son de la forma dada por (a):Por la quasicompacidad de las variedades algebraicas es suficiente conhacerlo localmente. Sea x X, escribimos

(x) = (0, . . . , m)

Alguna de las coordenadas es distinta de 0, supongamos, por ejemplo,que 0 = 1. Entonces en un entorno de x, tenemos

= (1, f1, . . . , fm)

con fi perteneciente al anillo local de x, es decir, fi es de la forma

fi =i0

donde son homogeneas del mismo grado y 0(x) 6= 0. Podemosas expresar, en un entorno de x, como

= (0, . . . , m)

De (a) deducimos el resultado planteado.


Observacion 6.14.Si ademas es una inmersion, se cumple

c3h + c4 h c1h + c2para algunas constantes ci, por lo tanto h y h tienen el mismo tamano.

6.6. El grupo de Picard, Pic(X)

Sea X una variedad sobre un cuerpo K. Definimos Pic(X) como el grupode los haces de lnea, es decir, haces localmente libres de OX -modulos derango 1, es decir, haces invertibles en X. La multiplicacion de este grupoviene definida por el producto tensorial. Tenemos que Pic(X) = H1(X,OX)(ver [HR]).

Sea f : X Y un morfismo y c un haz de lnea en Y , entonces fc, quees un haz de lnea en X, denota la imagen inversa de c por f . As tenemosdefinido un homomorfismo

f? : Pic(Y ) Pic(X)

Supongamos que X es una variedad normal. Un divisor de Weil en X esuna combinacion lineal con coeficientes enteros de subvariedades irreduciblesde codimension 1

D =W

nW .W

El soporte de D es SopD =

nW 6=0W .

Si f es una funcion racional en X su divisor es el divisor de ceros menosel divisor de polos:

(f) = (f)0 (f) =W

vW (f).W

Definimos el grupo de clases de divisores, Cl(X), como el cociente delgrupo de divisores por el subgrupo de divisores de funciones. Diremos queun divisor D es linealmente equivalente a 0, D 0, si es el divisor de unafuncion racional, es decir, si D esta en la clase de 0.

Un haz de lnea en X tiene secciones racionales, si s es una seccion deeste tipo podemos definir su divisor como

(s) = (s)0 (s)y la clase de su divisor es independiente de la clase elegida.

6.7. ALTURAS Y HACES DE LINEA 59

Para una variedad normal tenemos la aplicacion inyectiva

Pic(X) Cl(X)

En el caso no singular, se tiene que esta aplicacion es un isomorfismo

Pic(X) = Cl(X)

En Pn tenemos un haz de lnea natural, el trivial, denotemoslo por c1,este haz de lnea se corresponde con la clase de un hiperplano. Para unmorfismo : X Pn, la imagen inversa c1 = c define un elemento dePic(X), si H es un hiperplano que no contiene a (X), siendo X irreducibley liso, entonces c es la clase de H (de hecho, dos hiperplanos cualesquieradan la misma clase). Por lo tanto tenemos una aplicacion

7 cSi para algun x existe una seccion global del haz de lnea E en X que

no se anule en x, entonces se dice que E esta generado por sus seccionesglobales.

Sean X una variedad proyectiva y E un haz de lnea en X. Entonces(X,E) tiene dimension finita. Mas aun, si E esta generada por sus seccionesglobales, entonces podemos obtener un morfismo de X en Pn:

Sea s0, . . . , sn una base de (X,E). El morfismo : X Pn, donde(x) = (s0(x), . . . , sn(x)) esta bien definido y ademas se tiene que c = E.

Supongamos que X es una variedad proyectiva no singular. Una con-dicion necesaria y suficiente para que c Pic(X) este generado por sussecciones globales es que si el divisor D tiene clase c, entonces el sistemalineal completo |D| no tiene puntos base, es decir, para todo x X existeD D con D 0 y tal que x / Sop(D).

Un elemento c Pic(X) que no esta generado por sus secciones globaleses muy amplio si su correspondiente morfismo : X Pn es una inmer-sion. Diremos que c es amplio si existe un entero m > 0 tal que mc es muyamplio, en este caso mc es muy amplio para todos los m suficientementegrandes.

6.7. Alturas y haces de lnea

Sean K un cuerpo con una formula producto, V una variedad algebraicaproyectiva y Pic(V ) el grupo de clase de haces de lnea de V . Sea H elcociente del espacio vectorial de funciones con valores reales en V (K) por elespacio de funciones acotadas en V (K).

H={funciones con valores reales en V (K)}/{funciones acotadas en V (K)}


Teorema 6.15.Existe una unica aplicacion

Pic(V ) Hc 7 hc

tal que

(1) hc+c = hc + hc +O(1) para todo c, c Pic(V ).(2) Si c se corresponde con un morfismo : V Pn, entonces

hc = h +O(1)

Demostracion.Empecemos demostrando la unicidad. Para ello es suficiente con probar

el siguiente resultado.

Cada c Pic(V ) es de la forma c c donde , son inmersiones.Sean 1 : V Pn una inmersion y c1 = 1c1. Tenemos:

(a) Si m es suficientemente grande, entonces c = c + mc1 esta genera-do por sus secciones globales. Este es un resultado general en hacestwistedpor O(1).

(b) Como c esta generado por sus secciones globales, entonces se corres-ponde con un morfismo V

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