UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA VIDA

INGENIERIA EN BIOTECNOLOGIA

APLICACION DE ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN ENBIOTECNOLOGIA

MATERIA: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO)

AUTOR:

Cristian Benalcazar

NRC:1116

TEMA:

ABSORCION DE DROGAS EN ORGANOS O CELULAS

OBJETIVO

Proponer una ecuacion que exprese la concentracion del medicamento en un determinado organodespues de cierto intervalo de la aplicacion.

INTRODUCCION

La aplicacion de Ecuaciones Diferenciales son importantes en diferentes campos en los que se estudien,ası como el analisis matematico empleado en biologıa en estos casos lo mejor es considerar un organis-mo (tal como un humano, animal o planta) como una coleccion de componentes individuales llamadoscompartimentos. Un compartimento puede ser un organo (tal como el estomago, el pancreas o hıgado)o un grupo de celulas que actuan como una unidad. Un problema importante consiste en determinarla absorcion de quımicos, tales como drogas, por celulas u organos. Esto tiene aplicacion practicaen el campo de la medicina, puesto que puede suceder que ciertas drogas fatales puedan acumularseen un organo o en un grupo de celulas llevando a su destruccion. El tipo de problema mas simpletrata solamente con un compartimiento. Sin embargo, puede ser importante para ciertos propositostratar con sistemas que involucran dos o mas compartimientos los cuales interactuan entre sı. Como sepodrıa esperar, la dificultad del analisis matematico tiende a crecer con el numero de compartimientos.

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EJERCICIO

Un lıquido transporta una droga dentro de un organo de 500cm3 de volumen a una tasa de en-trada de 10 y sale a la misma tasa. La concentracion de la droga en el lıquido es de 0,08 asumiendoque inicialmente la droga no esta presente en el organo, encuentre la concentracion de la droga en elorgano despues de 30seg.

DESARROLLO

Deduccion de la Ecuacion Diferencial Ordinaria

•Se asumen los siguientes datos:

Un lıquido transporta una droga dentro de un organo de volumen V cm3 a una tasa de a cm3

seg y

sale a una tasa de b cm3

seg . La concentracion de la droga en el lıquido que entre es c gcm3 . La situacion

esta descrita esquematicamente por la figura la cual muestra un comportamiento simple de volumenV junto con la entrada y salida.

Si x representa la concentracion de la droga en el organo (esto es el numero de gramos de drogapor cm3), la cantidad de droga en cualquier tiempo esta dada por:

(V cm3

)∗(x

g

cm3

)= xV g (1)

El numero de gramos por segundo gseg que entra en el organo en el tiempo esta dado por:

(acm3

seg

)∗(c

g

cm3

)= ac

g

seg(2)

El numero de gramos por segundo gseg que salen del organismo viene dada por:(

bcm3

seg

)∗(x

g

cm3

)= bx

g

seg(3)

Ahora la tasa de cambio de la cantidad de droga en el organo es igual a la tasa a la cual entra la drogaen el organo menos la tasa a la cual la droga sale. Asi de (1), (2), (3) obtenemos (4).

d

dt(xV ) = ac− bx (4)

Si asumimos que las concentraciones de la droga en t = 0 es x0 entonces x = x0 en t =0.

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Si asumimos que a, b, c y V son constantes, los cual no se requiere ya que son constantes de acuerdoa la formulacion en la parteA) podemos reescribir la ecuacion 4 ası:

V

(dx

dt

)= ac− bx (5)

Resolviendo 5 por separacion de variables usando la condicion inicial.

V(dxdt

)= ac− bx

V dx = (ac− bx) dt

V dx(ac−bx) = dt∫ x

x0

(dx

ac−bx

)= 1

V

∫ 10 dt

−1b (ln (ac− bx) − ln (ac− bx0)) = 1

V ∗ (t− 0)

ln(

ac−bxac−bx0

)= − b

V ∗ t

ac−bxac−bx0

= e−bV∗t

ac− bx = e−bV∗t ∗ (ac− bx0)

−bx = e−bV∗t ∗ (ac− bx0) − ac

bx = ac− e−bV∗t ∗ (ac− bx0)

x =ac

b+ e−

bV∗t ∗

(X0 −

ac

b

)(6)

Donde 6 es la solucion de la ecuacion diferencial.Existen dos casos de interes:

•Primer caso: a = b, es decir, la tasa de entrada de la droga al organo es igual a la que sale. Con estola solucion se convierte en:

x = c− e−bV∗t ∗ (x0 − c)

•Segundo caso: a = b y x0 = 0. En este caso la tasa de entrada de la droga al organo es igual ala que sale y la concentracion inicial de droga en el organismo es 0 entonces tenemos que:

x = c− c ∗ e−bV∗t

SOLUCION DEL EJERCICIO

DATOS:

X0 = 0Tasa de entrada = Tasa de salida = 10 cm3

seg

C = 0,08 gcm3

T1 = 30seg

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Dado que la concentracion inicial en el organo x0 = 0 y las tasas de entrada y salida del lıquidoen el organo son iguales se emplea la ecuacion del segundo caso:

x = c− c ∗ e−bV∗t

x = 0,08 gcm3 - 0,08 g

cm3 * e−30seg∗10 cm3

seg

500cm3

x = 0,0360 gcm3

Se puede presentar el caso en que conozcamos un rango de concentracion en el cual es efectivo unmedicamento en un organo dado, pero sin llegar a ser letal para el organo ni el resto del organismo, alorgano se le aplican una serie de dosis que mantendran a concentracion del medicamento dentro delrango previamente mencionado. Entonces debido a que el organismo por accion natural expulsara elmedicamento a un ritmo constante, la concentracion bajara y puede llegar hasta a salir del rango deefectividad. Allı es donde utilizamos la ecuacion para calcular los intervalos de tiempo para los cualesse debe suministrar el medicamento para mantener la concentracion de la droga en el organo sin llegara ser letal.

CONCLUSIONES

•Este tipo de calculos que se pueden aplicar al tratamiento medico pudiendo mejorar el accion anteintoxicaciones por medicamentos y ademas de drogas que son los casos mas comunes.

•Las ecuaciones diferenciales nos permiten modelar la mayorıa de los fenomenos que se pueden produ-cir en la naturaleza y gracias a ello podemos comprender su aplicacion dentro de campos profesionalesdonde nos facilitan los calculos de los fenomenos.

BIBLIOGRAFIA

•http : //udomatematica.files.wordpress.com/2010/02/absorcion−de−drogas−en−el−organismo.pdf

•http : //www.uv.mx/rm/numanteriores/revmedicavol6num2/articulos/ecuaciones.htm

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