Acerca de Un Problema Elemental Equivalente a La...

MATEMÁTICAS

TRABAJO DE GRADO

Acerca de Un Problema Elemental Equivalente aLa Hipótesis de Riemann

Cristhyan Leonardo Naranjo Puertas

DirectorCarlos Orlando Ochoa Castillo

22 de agosto de 2017

Para mi madre, esta es una muestra de tu esfuerzoy para mi hijo, espero que disfrutes mucho al leerlo

1

AGRADECIMIENTOS

Agradezco a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas y mis profesores, quienes me brindaronlos medios para formarme como Matemático, en especial al profesor Carlos Ochoa quien me acompañócon paciencia, conocimiento y trabajo en la realización de este documento. A mis compañeros con quienestrabajé en conjunto, compartí agradables momentos y aprendí cosas que trascienden los conocimientosmatemáticos. A mi familia quienes de una u otra forma me ayudaron durante este tiempo y donde todosme han servido como ejemplo de lo que debe ser una persona íntegra.Pero por sobre todos los anteriores mi más grande y profundo agradecimiento es para mi madre, GloriaStella Naranjo quien me ha apoyado de manera excepcional más allá de toda obligación durante todo estetiempo, si logré llegar al punto donde estoy ahora es gracias a todo el trabajo y el amor que ella invirtióen mí, y que sin su ayuda hubiera sido imposible volverme un profesional. Por lo que considero que estedocumento y en si toda mi carrera fue un trabajo en equipo entre ambos, y comparto éste y todos los logrosque obtenga en el futuro con ella.Me queda faltando palabras para expresar que, si bien estoy orgulloso de volverme un hombre de ciencia,me enorgullece más la familia donde crecí.Por último pero no menos importante, a mi hijo Nicolas David Naranjo, quien llegó a mi vida para tornarseen la razón que justifica y motiva todos mis esfuerzos.

2

ÍNDICE

1. Motivación 5

2. Preliminares 7

3. Georg Friedrich Bernhard Riemann 13

4. Orígenes y utilidad de la Función ζ 16

5. Extensión analítica de la función ζ 20

6. Relación entre la función ζ de Riemann y los números primos 26

6.1. La función ξ(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.2. La hipótesis de Riemann y el error en el teorema de los números primos . . . . . . 28

7. Análisis del problema E 39

7.1. Función suma de divisores δ(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.2. Números colosalmente abundantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.3. Demostración del teorema (10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8. Perspectivas 53

8.1. Problemas abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9. Anexo 56

Bibliografía 94

4

1. MOTIVACIÓN

La teoría de números es la rama de las matemáticas nacida formalmente en la Grecia antigua,dedicada en principio al estudio de los números en si. La propiedad que ha llamado la atenciónde los matemáticos desde entonces es la que poseen ciertos enteros positivos, tales que solo sondivisibles por la unidad y por si mismos, y con los cuales es posible particionar los Naturales endos conjuntos, los que cumplen esta propiedad llamados números primos, y los demás, que sedenominan números compuestos los cuales se expresan de manera única como el producto depotencias de números primos.De forma artesanal, se empezaron a hacer listas de números primos, las que dieron pie a lapregunta natural de, ¿el conjunto de los números primos es finito?. Hubo que esperar hasta elaño 300 a.C. cuando aparece una demostración en los elementos de Euclides 1 quien mostró laexistencia de infinidad de estos números. La siguiente cuestión a estudiar fue ¿cuántos núme-ros primos hay menores que cierto número natural? Usando la famosa criba de Eratóstenes 2 lacual está basada en el hecho que todo número compuesto n tiene un factor primo menor o igualque b

√nc 3, con ciertas limitaciones prácticas se pudo responder a esta pregunta; el siguiente

problema fue como saber si cierto n ∈N es un número primo o compuesto, desde este punto seempieza a ver todas las dificultades que conlleva trabajar con estos objetos, si bien se puede usarel hecho anterior para este fin, llega a ser poco práctico para números grandes. Un problema queaún sigue sin respuesta es ¿Existe una fórmula explícita para la generación de la sucesión de losnúmeros primos?, la importancia de este problema radica en que a partir del teorema fundamen-tal de la aritmética 4, los números primos se pueden ver como los bloques fundamentales con losque se construyen los números Naturales. El mayor avance en este problema lo obtuvo Riemanncuando logró relacionar la distribución de los números primos con los ceros no triviales de lafunción zeta, los cuales conjeturó que todos estos ceros se encuentran en la línea 1/2, esta supo-sición lleva sin ser resuelta hasta el día de hoy, pero se han logrado varios avances refinando laconjetura y formulando problemas equivalentes para tratar de encontrar caminos alternos quelogren resolver la conjetura. En este texto se hace un pequeño recorrido por las ideas que utilizóRiemann para formular su conjetura y se expone el problema que desarrolló Jeffrey C. Lagariasel cual es equivalente a la hipótesis de Riemann y esta formulado usando funciones aritméticaselementales

1 [5] pag.226, [12] pag.1042 [12] pag.243 [12] pag.1054 [2] pag.17

5

Figura 1.1: Caricatura que ilustra la dificultad de trabajar en matemática y en particular con losnúmeros primos.

5.

5Imagen tomada del blog de Alberto Montt http://www.dosisdiarias.com/2010/04/2010-04-29.html

6

2. PRELIMINARES

Definición 1. [Función contador de números primos] π(x) representa el número de primos queno exceden a x, por ejemplo π(1) = 0, π(2) = 1, π(20) = 8. Si pn es el n-ésimo número primo,entonces π(pn) = n (ver [9] pag.7 y [12] pag.110).

Definición 2. [Integral logarítmica] Se define

li(x) =∫ x

0

dtln(t)

,

como 1/ln(x) tiene una singularidad en x = 1, se define la integral logarítmica desplazada oEuleriana como

Li(x) = li(x)− li(2)

=∫ x

2

dtln(t)

(ver [9] pag.13, [2] pag.102).

Definición 3. [Función Gamma] Es la extensión de la función factorial n! sobre (−1, ∞) dadapor

z! = Γ(z) =∫ ∞

0e−ttz−1dt

(ver [2] pag. 250).

Definición 4. [Función Π] A partir de la función gamma, Gauss define la notación alternativa

Π(z) = Γ(z + 1) = zΓ(z) =∫ ∞

0e−ttzdt

(Ver [4] pag.8).

Definición 5. [Función Aritmética] Es cualquier función de valor real o complejo definida sobreel conjunto de los números naturales(ver [2] pag.24).

Definición 6. [Parte fraccionaria] Todo número real x puede escribirse de la forma n + r donden es la parte entera de x, esto es, n = [x] y r es un número menor que 1, que se denomina la partefraccionaria de x y se nota {x}. Por tanto,

{x} = x− bxc

(ver [13] pag.540).

7

Definición 7. [Número armónico] Es la suma de los recíprocos de los primeros n números na-turales

Hn =n

∑k=1

1k

,

este numero se puede calcular a partir de

Hn =∫ 1

0

1− xn

1− xdx

(ver [13] pag.534).

Definición 8. [Constante de Euler] Es la constante con valor γ = 0, 577215664 . . . , se puedeobtener a partir de

1−∫ ∞

1

{t}t2 dt,

o también de ∫ ∞

1

(1bxc −

1x

),

a la fecha no se conoce si este número es racional o irracional (ver [13] pag.540).

Definición 9. [θ de Chebyshev] Es la función aritmética definida para x > 0 como

θ(x) = ∑p≤x

log p,

donde p recorre los primos menores que x, por ejemplo para x = 10

θ(10) = log(2) + log(3) + log(5) + log(7)

= log(210)

= 5,34711

(ver [2] pag.75, [9] pag.451).

Definición 10. [Función de Mangold] Notada por Λ(n), se define para todo entero n ≥ 1

Λ(n) = log(p) si (n = pm)

Λ(n) = 0 si (n 6= pm)

para algún p primo y algún m ≥ 1. Algunos valores de Λ(n) son

n : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Λ(n) : 0 log(2) log(3) log(2) log(5) 0 log(7) log(2) log(3) 0

8

(ver [2] pag.32, [9] pag.331).

Definición 11. [ψ de Chebyshev] ψ(x) es una función escalonada que empieza en 0 y tiene saltosde (pn)(1/n) = log(p) en cada potencia de primos pn ≤ x, en otras palabras

ψ(x) = ∑pn≤x

log(p),

Por ejemplo, para x = 10

ψ(10) = 3 log(2) + 2 log(3) + log(5) + log(7)

= log(2520)

= 7,83201

esta función se puede expresar usando la función de Mangold como

ψ(x) = ∑n≤x

Λ(n)

(ver [9] pag.451, [2] pag. 75).

Definición 12. [Aproximación asintótica] Sea n una variable entera y x una variable continua, siφ es una función positiva de n o x, y f cualquier otra función de n o x, entonces cuando se tomael límite al infinito.

f ∼ φ significa que f /φ→ 1

(ver [9] pag.8).

Definición 13. [Notación O grande de Landau] Si g(x) > 0 para todo x ≥ a con a fijo, se escribe

f (x) = O(g(x))

6 para expresar que el cociente f (x)/g(x) está acotado para x ≥ a; esto es, existe una constanteM > 0 tal que

| f (x)| ≤ Mg(x)

para todo x ≥ a.Una ecuación de la forma f (x) = h(x) + O(g(x)), significa que f (x)− h(x) = O(g(x))(ver [2] pag.53).

Definición 14. [Función número de divisores] Sea n ∈ N, d(n) es el número de divisores de nincluyendo al 1 y n. Por ejemplo, d(7) = 2 y d(14) = 4 (ver [9] pag.310).

6y se lee f (x) es O grande de g(x)

9

Definición 15. [Función suma de potencias de divisores] Sea n ∈N

δk(n) = ∑d|n

dk

donde d|n significa que d divide a n. Se tiene a partir de la definición que δ0(n) = d(n)(ver [9] pag.310).

Definición 16. [Números altamente compuestos]Son los enteros positivos n tales que

d(n) > d(k)

para 1 ≤ k ≤ n− 1 (ver [13] pag.536).

Definición 17. [Números altamente compuestos superiores]Son los enteros positivos n, para los cuales existe un exponente positivo ε tal que

d(n)nε≥ d(k)

kε

para todo k > 1 (ver [13] pag.536).

Definición 18. [Prueba M de Weierstrass] Si la serie con términos

f1(x) + f2(x) + · · ·+ fn(x) + · · ·

tiene una serie con términos positivos

a1 + a2 + · · ·+ an + · · ·

tal que | fn(x) ≤ Man| para alguna constante M y un n suficientemente grande, entonces si laserie {an} converge implica que la serie { fn(x)} converge uniformemente (ver [1] pag.37).

Definición 19. [Función conteo de primos de Riemann]

Representada por Π0(x) o por J(x), esta dada por

∑pn<x

1n

Asi esta función toma saltos de 1n para las potencias de primos pn (ver [4] pag.22).

Tomando el valor intermedio entre los dos lados de un par de discontinuidades seguidas, selogra conseguir información más detallada ya que se puede definir por medio de la inversa dela transformade de Mellin, por lo que es común representarla como

J(x) =12

(∑

pn<x

1n+ ∑

pn≤x

1n

)

10

10 20 30 40 50

5

10

15

Figura 2.1: Comparación entre la función J(x) superior, y la función Π(x) inferior.

Definición 20. [Orden promedio] Se dice que una función aritmética f (n) tiene un orden pro-medio de g(n) siempre que

f (1) + f (2) + · · ·+ f (n) ∼ g(1) + g(2) + · · ·+ g(n)

cuando n→ ∞, y g(n) es una función suave de n

Teorema 1. [Serie de Euler] La serie de los recíprocos de los números primos diverge.

La demostración puede consultarse en [9] pagina 20 o en [2] pagina 18.

Teorema 2. [Fórmula de sumación de Euler] Si f tiene derivada continua f ′ en el intervalo [y, x], en-tonces

∑y<n≤x

f (n) =∫ x

yf (t)dt +

∫ x

y(t− [t]) f ′(t)dt + f (x)([x]− x)− f (y)([y]− y).

La demostración puede consultarse en [2] página 54.

Teorema 3. [De los números primos] El número de primos que no exceden a x es asintótico a xln(x) , es

decirlımx→∞

π(x)x/ ln(x)

= 1,

que es equivalente aπ(x) ∼ x

ln(x)(ver [9] pag.10).

11

500 1000 1500 2000 2500 3000

100

200

300

400

Figura 2.2: Comparación entre las funciones Li(x) de color verde, π(x) de color azul y xln(x) de

color anaranjado

12

3. GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN

Figura 3.1: Riemann en sus años de estudiante

Fue7 el segundo hijo de seis que tuvieron el pastor luterano Friedrich Bernhard Riemann y Char-lotte Ebell, nació el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz Alemania, su educación fue guiadapor su padre hasta que tuvo 10 años, luego asistió a la educación formal donde su desempeñono fue excepcional aunque desde entonces mostró gran interés por las matemáticas, tanto asíque el director del Johanneum Gimnasio donde estudiaba en Lüneburg, le permitió el acceso delos libros de matemáticas de su biblioteca personal, Riemann fue capaz de leerse la Teoría deNúmeros de Legendre de 900 páginas en seis días.En 1846 ingresó a la universidad de Göttingen a estudiar teología animado por su padre, sinembargo asistió a algunas clases de matemáticas que lo animaron a pedirle a su padre la posibi-lidad de cambiar de carrera, ya enfocado totalmente en las matemáticas recibió clases de Moritz,Stern y Gauss.Riemann se trasladó a Berlín en 1847 donde recibió cátedra por parte de Steiner, Jacobi, Dirichlety Eisenstein; Aquí adoptó el estilo de Dirichlet quien le daba más valor al razonamiento intuiti-vo que rigor necesario para hacer la teoría a prueba de cualquier duda, esto se ve en sus trabajosque carecen de cálculos largos. En 1849 regresó a Göttingen para trabajar en su doctorado bajola supervicion de Gauss, durante ese tiempo Riemann fue asistente de Weber quien ocupabauna cátedra de física, gracias a esto Riemann obtuvo una sólida formación en física teórica y entopología.

7imagen tomada de http://www.knowthescientist.com/biography/bernhard-riemann.php

13

Riemann en su tesis estudió la teoría de la variable compleja, en particular lo que actualmen-te se conocen como superficies de Riemann donde plasmó métodos topólogicos en la teoría defunciones complejas, así este nuevo enfoque para estudiar las propiedades geométricas de lasfunciones analíticas sorprendió por su originalidad, tanto así que el 16 de diciembre de 1851Gauss escribió en el informe de la revisión de la tesis lo siguiente.

... Una originalidad gloriosamente fértil.

Con base en esto, Gauss recomendó que Riemann fuera nombrado para un puesto en Göttingen,Riemann paso 30 meses preparando un trabajo y asi poder ser habilitado para ocupar una plazaen la universidad. En este trabajo estudió la representación de funciones por series trigonométri-cas, aquí aparece lo que ahora llamamos la condición de integridad de Riemann. En la segundaparte de su tesis estudió el problema que describió de esta manera:

«Mientras que los libros anteriores han demostrado que si una función posee tal otal propiedad, entonces puede ser representada por una serie de Fourier, nos plan-teamos la pregunta inversa; si una función puede ser representada por una serietrigonométrica, ¿ qué se puede decir sobre su comportamiento?»

Para completar el trabajo para ser habilitado, Riemann tenía que dar una conferencia. Para estopreparó tres conferencias, dos sobre electricidad y una sobre geometría. Gauss en la obligaciónde elegir solo una, eligió la de geometría que se tituló

Über die Hypothesen Welche der Geometrie zu Grunde liegen

Publicado el 10 de junio de 1854. La conferencia estaba dividida en dos partes, en la primerase plantea el problema de como definir un espacio n-dimensional, donde presentó lo que cono-cemos hoy en día como Espacio de Riemann. En la segunda parte, Riemann se preguntó cuáles la dimensión del espacio real y cuál es la geometría que lo describe, de entre la audiencia elúnico que pudo apreciar la profundidad de ésta fue Gauss, para él, la conferencia superó todassus expectativas sorprendiéndolo enormemente, no fue sino hasta sesenta años después que lateoría de la relatividad la justificó, ya que Einstein encontró en las ideas de Riemann el marconecesario para adaptar sus ideas físicas. En 1857 fue nombrado profesor y en 1859 luego de lamuerte de Dirichlet se le nombró en la cátedra de matemática en Göttingen el 30 de julio, y díasmás tarde apoyado por Kummer, Borchardt y Weierstrass fue nombrado miembro de la Acade-mia de Ciencias de Berlín.Como miembro de la academia tuvo que informar sobre sus investigaciones recientes, Riemann

14

envió un informe sobre el número de primos menores que una determinada magnitud, una de sus másgrandes obras que iba a cambiar la dirección de la investigación matemática, en ella examinó lafunción Zeta ζ(s) = ∑( 1

ns ) = ∏(1− p−s)−1 , Riemann la estudia de manera diferente a comoEuler la había considerado, mirando la función zeta como una función compleja en lugar de unareal, de este estudio nace la hoy conocida como Hipótesis de Riemann, uno de los problemasabiertos más famosos de la matemática, donde propuso que todos los ceros no triviales de lafunción ζ tiene parte real 1/2.En junio de 1862 se casó con Elise Koch, tuvieron una hija y ese mismo año contrajo un fuerteresfriado que se convirtió en tuberculosis, para luchar en contra de esta enfermedad viajó a cli-mas mas cálidos en Italia. El invierno de 1862 a 1863 estuvo en Sicilia y luego viajó a través deItalia para pasar tiempo con Betti y otros matemáticos italianos que había conocido en 1858 enGöttingen, ciudad a la que regresó en junio de 1863. De nuevo su salud se deterioró y tuvo queregresar Italia, el 16 de junio de 1866. Dedekind escribió

Su fuerza se redujo rápidamente, él mismo sentía que su fin estaba cerca. Pero aunasí, el día antes de su muerte, descansando debajo de una higuera, con su alma llenade alegría ante el glorioso paisaje, trabajó en su obra final, que por desgracia, dejósin terminar.

Riemann muere en Verbania Italia el 20 de julio de 1866 dejando uno de los legados mas impor-tantes para la Matemática 8.

8http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Riemann.html

15

4. ORÍGENES Y UTILIDAD DE LA FUNCIÓN ζ

Figura 4.1: Retrato de Leonhard Euler

Hasta 9 el siglo XVII I ningún matemático había logrado encontrar algún patrón que obede-cieran los números primos, estos aparecen en la sucesión de los números naturales de maneraaparentemente aleatoria, la única regla que parece obedecer es que entre más grande sea el nú-mero natural, la probabilidad de que sea primo disminuye.

Fue hasta 1737 cuando el gran matemático Leonhard Euler encontró la siguiente ecuación querelaciona los números naturales con los números primos

∞

∑n=1

1ns = ∏

p

(1− 1

ps

)−1

, (4.1)

para todo real s > 1 y p primo. si bien como se mostró esta función esta definida para s > 1,Euler la propuso para s ≥ 1, hay que ser consientes que en esa época no se contaba siquieracon el concepto de limite. La siguiente demostración realizada por él en 1774, da una idea de lamanera en la que Euler pudo obtener esta identidad partiendo de la serie de los recíprocos delos naturales

x = 1 +12+

13+

14+

15+

16+ · · · , (4.2)

se multiplica por 12 a ambos lados

12

x =12+

14+

16+

18+

110

+112· · · , (4.3)

9Imagen tomada de http://www.knowthescientist.com/biography/leonhard-euler.php

16

al restar (4.3) de (4.2) se obtiene

12

x = 1 +13+

15+

17+

19+

111

+ · · · , (4.4)

al lado derecho de la igualdad no existen denominadores pares, ahora se divide por tres a amboslados para eliminar los denominadores que son divisibles por 3

12· 1

3x =

13+

19+

115

+1

21+

127

+ · · · (4.5)

al restarle (4.5) a (4.4) se eliminan todos los denominadores múltiplos de 3(12− 1

2· 1

3

)x = 1 +

13+

15+

17+

19+ · · · −

(13+

19+

115

+121

+127

+ · · ·)

(12· 2

3

)x = 1 +

15+

17+

111

+113

+ · · · (4.6)

El proceso que se realiza es similar al de la criba de Eratóstenes, eliminando en cada paso un de-nominador primo junto con todos sus múltiplos. En el siguiente paso, dividimos por 5 a amboslados

12· 1

3· 1

5x =

15+

125

+1

35+ · · · (4.7)

al realizar la restar (4.7) de (4.6), se obtiene

12· 2

3· 4

5x = 1 +

17· 1

11· 1

13+ · · ·

al continuar del mismo modo con todos los números primos, estos se irán eliminando junto consus múltiplos resultando

1 · 2 · 4 · 6 · 10 · 12 · 16 · 18 · 22 · · ·2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · · · x = 1,

que es igual a

x =2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · · ·

1 · 2 · 4 · 6 · 10 · 12 · 16 · 18 · 22 · · ·llegando al resultado deseado para s = 1. Pero es claro que como la serie armónica es divergente,este desarrollo carece de suficiente rigor. Pero si repetimos de manera exacta la demostracióntomando a x = ∑∞

n=11ns para s ≥ 2, llegamos a una demostración totalmente correcta 10. La serie

de (4.1) tal como la estudió Euler, es decir con la hipótesis de que s > 1, se conoce como funciónZeta de Euler y se nota

ζ(s) =∞

∑n=1

1ns .

10una demostración moderna puede consultarse en [14] pag. 441

17

Fue a partir de esta serie que Riemann en 1859 se basó para publicar su versión extendida deesta función a todo el plano complejo salvo cuando s = 1, en el siguiente capítulo se habla decomo Riemann lo trató.11

Una interesante aplicación de la función zeta es la siguiente. A partir de la serie de Grandi, dadapor

∞

∑n=0

(−1)n,

la cual bajo criterios de sumabilidad como el de Cesáro 12 converge a −1/2 y es de utilidad encampos como la teoría de cuerdas,13 también se puede llegar a calcular14 el valor de la serie delos números naturales

∞

∑n=1

n = −12

.

Como se vio, la función zeta de Euler está definida para s > 1, pero al tratar de evaluarla ens = 0, se obtiene

∞

∑n=1

1 = 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·

este valor se puede calcular usando la función zeta de Riemann vista como ecuación funcional15

ζ(s) = 2sπs−1 sinπs2

Γ(1− s)ζ(1− s), (4.8)

usando el hecho de que esta función tiene un polo simple en s = 1, lo que implica que suresiduo está dado por lıms→1(s − 1)ζ(s) = 1, y al usar la ecuación funcional para la funcióngamma sΓ(s) = Γ(s + 1) 16, multiplicamos la función Zeta por (1− s) y luego tomando el límitecuando s→ 1, se obtiene

(1− s)Γ(s) = 2sπs−1 sin(πs

2

)[(1− s)Γ(1− s)]ζ(1− s),

del lado derecho se obtienelıms→1

(1− s)Γ(s) = −1

11 [16] pag.912 [8] pag.2 y [21]pag.313 [17] pag.2214 [7]15 [1]pag.21716 [2]pag.250 y [1]pag.199

18

y del izquierdolıms→1

Γ(2− s)2sπs−1ζ(1− s) = 1 · 2ζ(0),

así juntando ambas partes se tiene17

ζ(0) = −12

.

18

Figura 4.2: Manuscrito de Riemann donde se ve el producto de Euler para la función ζ(z)

17Como otra aplicación se puede ver que ζ(2) soluciona el problema de Basilea18Imagen tomada de http://www.claymath.org/library/historical/riemann/images/1.jpg

19

5. EXTENSIÓN ANALÍTICA DE LA FUNCIÓN ζ

Para continuar con la caracterización de la función ζ se tiene el siguiente teorema 19

Teorema 4. Sea z ∈ C. Para Re(z) > 1 la serie∞

∑n=1

1nz

converge absolutamente, y lo hace uniformemente para Re(z) ≥ 1 + δ, para δ > 0 fijo.

Demostración. Se sabe que |ex+iy| = ex y que ab = eb log(a) para a, b ∈ C, 20 luego∣∣∣∣ 1nz

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1nx+iy

∣∣∣∣= |e−(x+iy) log(n)|= |e−x log(n)−iy log(n)|= |e−x log n|

=1

nx ,

así∞

∑n=1

∣∣∣∣ 1nz

∣∣∣∣ = ∞

∑n=1

1nx

como x > 1, la serie de la izquierda resulta ser una serie-p21, por lo tanto ∑∞n=1

1nz converge

absolutamente. Ahora , sea δ > 0 y 1 + x ≤ δ, luego n1+x ≤ nδ lo que implica∣∣ 1

nz

∣∣ ≤ 1n1+δ , de

donde

∞

∑n=1

∣∣∣∣ 1nz

∣∣∣∣ ≤ ∞

∑n=1

1n1+δ

usando el criterio de M de Weierstras, se tiene que la serie ∑∞n=1

1nz converge uniformemente

para Re(z) ≥ 1 + δ y para todo z ∈ C.

Por el momento se tiene a la función ζ definida solo para Re(z) > 1, para continuar Riemannhizo el cambio de variable de x a nx al evaluar Π(z− 1) obteniendo 22∫ ∞

0e−nxxz−1dx =

Π(z− 1)nz

19 [15], pag.720 [1] pag .43,4621 [22] pag.716, [20] pag.6622 [23]pag.9, [4] pag.9

20

luego de esto se centro en la integral, a la cual al hacer el cambio de variable t = nx que implicadx = dt

n , se tiene

∫ ∞

0e−nxxz−1dx =

∫ ∞

0e−ttz−1n1−zn−1dt (5.1)

= n−zΓ(z),

ahora teniendo en cuenta que para series geométricas

∞

∑n=1

r−n =∞

∑n=1

(1r

)(1r

)n−1

=1

r− 1

tomando la serie sobre n a ambos lados de (5.1) y ya que ∑∞n=1 e−xn converge uniformemente, se

puede intercambiar la serie con la integral sin problemas, teniendo

∫ ∞

0xz−1

∞

∑n=1

e−nxdx =∞

∑n=1

n−zΓ(z)

resolviendo las series

∫ ∞

0

xz−1

ex − 1dx = ζ(z)Γ(z)

este resultado es válido siempre que Re(z) > 1, luego se mantiene en las mismas condiciones.Riemann viendo esto consideró la siguiente expresión∫ ∞

0

(−x)z−1

ex − 1dx

para lo cual eligió un camino de integración como en la imagen siguiente evitando sus polos(esta ecuación tiene un único polo en el origen cuando z es un entero no positivo), para eso lagráfica debe venir desde +∞ , rodear el origen de coordenadas y luego ir a +∞.

21

Figura 5.1: Trayectoria sobre la cual se evalúa la integral

Sobre esta trayectoria se puede ver que∫γε

(−x)z−1

ex − 1dx = lım

ε→0

(∫γε

(−x)z−1

ex − 1dx)

, (5.2)

el valor de esta integral no depende del 0 < ε < 1 que se elija, ya que por el teorema de Cauchyla integral valdrá cero siempre que no contenga ningún polo, luego siendo estrictos para poderaplicar el teorema de Cauchy se debe asegurar que la función tienda rápidamente a cero, paraesto por ejemplo es suficiente con que <(z) < 1, luego lo anterior implica que la integral seraindependiente del camino γε siempre que este no encierre a ningún múltiplo de 2πi, asi quedajustificada la igualdad (5.2)

Ahora, como es sabido por la definición de logaritmo complejo, este está definido en el planosalvo los puntos z ∈ C tales que Re(z) ≤ 0, también tenemos por definición que si x, z ∈ C,

22

xz = ez ln(x), aplicado a lo anterior tenemos

(−x)z−1 = e(z−1) ln(−x)

donde cambiar z por −z, el conjunto de puntos singulares es ahora z ∈ C tales que Re(z) ≥ 0,que son precisamente los puntos que evitamos con la trayectoria γε que se eligió en la figura,asi se ha definido el argumento para el logaritmo complejo log(z) = log |z| + i · Arg(z) comolımε→0− Arg(z) = −π , lımε→0+ Arg(z) = +π. Ahora, para evaluar la integral se calcula sobrelas siguientes tres trayectorias

Figura 5.2: Tres trayectorias sobre las cuales se evalúa la integral por separado

Trayectoria T2

Se tiene que x = O(ex − 1) y como Re(z) ≤ |z| por definición tenemos que

|x| ≤ M(ex − 1)

|x| ≤ M|(ex − 1)|1

|(ex − 1)| ≤M|x|

|x|z−1

|(ex − 1)| ≤ M|x|z−2

23

a partir de esto tenemos que

|x|z−1

|ex − 1| = O(|x|Re(z)−2) = O(εRe(z)−2)

ahora se puede estimar la integral al multiplicar por la longitud , así∣∣∣∣∫γε

|x|z−1

|ex − 1|

∣∣∣∣ = ∫γε

|x|z−1

|ex − 1| = O(εRe(z)−2 · ε)

al ser ε se tomo arbitrario, al hacerlo tender a 0 vemos que la integral también converge a estevalor23.

Trayectoria T1

A partir de la definición de potencias complejas con base compleja tenemos

xz−1 = e(z−1) ln(x)

= e(z−1) ln(x)+i Arg(x)

= xs · ei z Arg(x) · x−1 · e−i Arg(x)

= xs−1 · ez i Arg(x) · e−i Arg(x)

asi, se tiene que al hacer que ε→ 0+

∫ 2ε

∞

xz−1 · ez i Arg(x) · e−i Arg(x)

ex − 1dx → −

∫ ∞

0

xz−1

ex − 1· e−izπ · eiπdx

obteniendo

eizπ∫ ∞

0

xz−1

ex − 1dx.

Trayectoria T3

De manera análoga al caso anterior tenemos que cuando ε→ 0−

∫ 2ε

∞

xz−1 · ez i Arg(x) · e−i Arg(x)

ex − 1dx → −

∫ ∞

0

xz−1

ex − 1· eizπ · e−iπdx

de donde se obtiene

−eizπ∫ ∞

0

xz−1

ex − 1dx.

23Una demostracion diferente puede ser consultada en [4] pag.10

24

Luego de haber calculado la contribución de cada una de las integrales sobre las tres trayectoriasy recordando que sin(z) = 1

2π (eiz − e−iz), se obtiene

∫γε

(−x)z−1

ex − 1dx = lım

ε→0

(∫γε

e(z−1) ln(x)e(z−1) i Arg(x)

ex − 1dx

)

= e−izπ∫ ∞

0

xz−1

ex − 1dx− eizπ

∫ ∞

0

xz−1

ex − 1dx

= −2i sin(zπ)∫ ∞

0

xz−1

ex − 1= −Γ(z)ζ(z)2i sin(zπ) (5.3)

que24 es equivalente a ∫γε

(−x)z

ex − 1dxx

= Π(z− 1)ζ(z)2i sin(zπ)

por ultimo a partir de la fórmula de reflexión de Euler 25

Γ(z)Γ(1− z) =π

sin(πz)

se obtiene la siguiente formula para Π(z)

πzΠ(z)Π(−z)

= sin(πz)

así, al multiplicar a ambos lados de (5) por Π(−z)z/2πi se llega a

Π(−z)z2πi

∫γε

(−x)z

ex − 1dxx

= Π(z− 1)ζ(z)2iπ

Π(z)Π(−z)Π(−z)z

2πi

= ζ(z)

esta integral esta definida para todo z complejo distinto de 1, puesto que esta integral convergeya que la exponencial crece mas rápido que la potencia. Además, usando el teorema de Morerase puede demostrar que salvo los ceros de la función Gamma, la función que define la integrales analítica ya que la convergencia es uniforme en dominios compactos.

24La ecuación (5.3) es la versión que aparece en el trabajo original de Riemann25 [2] pag.250

25

6. RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN ζ DE RIEMANN Y LOS NÚMEROS

PRIMOS

6.1. LA FUNCIÓN ξ(z)

Otra fórmula para la forma simétrica de la función zeta diferente a (4.8) la descubrió Riemann26 cuando hizo un cambio de variable x = n2πx en la función 27 Π, para Π( z

2 − 1) y luego demanipulaciones28 llegó a

Π( z

2− 1)

π−z/2ζ(z) =∫ ∞

1ψ(x)[xz/2 + x(1−z)/2]

dxx− 1

z(z− 1),(6.1)

en donde se ve claramente que tiene polos en z = 1 y en z = 0, Riemann al ver esto multiplicóel lado izquierdo por z(z−1)

2 , y como

Π( z

2− 1)(z− 1)

z2= Π

( z2

)(z− 1),

pudo así definirξ(z) = Π

( z2

)(z− 1)π−z/2ζ(z)

donde ξ(z) resulta ser una función que tiene los mismos ceros que la función zeta y ademases entera , esto es analítica para todos los valores de z, ademas se puede ver que la ecuaciónfuncional de la función zeta es equivalente a

ξ(z) = ξ(1− z), (6.2)

luego de esto Riemann aseguró (cosa que fue probada formalmente mucho después con dificul-tad 29) que la función ξ(z) puede ser expresada como una productoria de la siguiente forma

ξ(z) = ξ(0)Πρ

(1− z

ρ

),

donde ρ se mueve sobre todas las raíces de la ecuación ξ(ρ) = 0. El paso siguiente de Riemannpara probar la convergencia de la anterior productoria fue estudiar la distribución de las raícesρ de la ecuación ξ(ρ) = 0, para esto él notó que

ζ(z) = Πp(1− p−z)−1 con <(z) > 1 (6.3)

26 [4] pag 1627ver la definición 428 [4] pag 1529 [4] pag 18

26

no tiene ceros en el medio plano <(z) > 1, esto ya que una productoria puede ser cero solosi alguno de sus términos es cero, ahora como ξ(z) = Π

( z2

)(z − 1)π−z/2ζ(z) y los factores

diferentes a ζ(z) tienen solo un cero simple en z = 1, vio que ninguna de las raíces podían estaren el medio plano <(z) > 1, ahora por (6.2) se ve que 1− ρ es una raíz si y solo si ρ lo es, setiene que ninguna raíz se encuentra en el medio plano <(z < 0), de donde se llega a la famosaconclusión de que todas las raíces ρ de ξ(z) = 0 están ubicadas en la franja30 0 ≤ <(ρ) ≤ 1.Riemann no se quedó hay, de una manera sutil afirmó lo que en palabras modernas, diría que elerror relativo en la aproximación al número de ceros de ξ( 1

2 + it) para 0 ≤ t ≤ T se aproximaa cero cuando T → ∞, después de esto Riemann dijo que muy probablemente todos las raíces(por ende los ceros de ζ(z)) se encontraban en <(z) = 1

2 , pero que él no había sido capaz deencontrar una demostración rigurosa de este hecho, en la actualidad a esta afirmación es lo queconocemos como La hipótesis de Riemann la cual hasta el día de hoy no tiene respuesta y que ensus días Riemann no le puso mucha atención ya que esta no influía en la prueba de la fórmulapara el número de primos menores que una cantidad dada, que era su principal objetivo.

Figura 6.1: Gráfica de la función zeta

30En 1896 Hadamard y de la Vallée-Poussin mostraron que las raíces deben estar en el interior de la banda 0 <

<(ρ) < 1

27

6.2. LA HIPÓTESIS DE RIEMANN Y EL ERROR EN EL TEOREMA DE LOS NÚMEROS

PRIMOS

Como se ha visto, el estudio de la conexión que existe entre la Función zeta y los números primosfue el principal objetivo de Riemann; para esto él estudio la función contadora de númerosprimos Π(x), ya que se tiene que para el n − simo numero primo pn, Π(pn) = n, luego si selogra una formula explicita para Π(x), su inverso produciría la sucesión de los números primos.Riemann partió de la observación que realizó Gauss, el cual empíricamente notó que π(x) estábien aproximado por la integral logarítmica

Li(x) =∫ x

2

dtlog(t),

(6.4)

para ver esto, primero se observa que al usar la regla de L´Hôpital se tiene que

lımx→∞

∫ x2 dt/ log2(t)− 2/ log(2)

x/ log2(x)= lım

x→∞

1/ log2(x)1/ log2(x)− 2/ log3(x)

= lımx→∞

11− 2/ log(x)

= 1,

esto es, ∫ x

2

dtlog2(t)

= O

(x

log2(x)

), (6.5)

ahora, al integrar a (6.4) por partes con u = 1log t y dv = dt se tiene,

Li(x) =x

log(x)+∫ x

2

dtlog2(t)

− 2log(2)

, (6.6)

al unir (6.5) junto con (6.6) se consigue 31

Li(x) =x

log(x)+ O

(x

(log(x))2

), (6.7)

donde se encuentra el término x/ log(x) del teorema de los números primos. Ahora, para todox ≥ 2, la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que para todo ε > 0 existe unaconstante positiva Cε tal que

|π(x)− Li(x)| ≤ Cεx1/2+ε (6.8)

para todo x ≥ 2. Para poder demostrarlo, son necesarios los siguientes hechos.

31 [2] pag.102, ejercicio 19

28

Teorema 5. [Identidad de Abel]Para cualquier función aritmética a(n) sea

A(x) = ∑n≤x

a(n),

donde A(x) = 0 si x < 1. Si f tiene derivada continua sobre el intervalo [y, x], donde 0 < y < x.Entonces, 32

∑y<n≤x

a(n) f (n) = A(x) f (x)− A(y) f (y)−∫ x

yA(t) f ′(t)dt (6.9)

Demostración. Como A(x) es una función por pasos con saltos en cada entero n, la suma (6.9)puede ser expresada como la integral de Riemann-Stieltjes

∑y<n≤x

a(n) f (n) =∫ x

yf (t)dA(t)

integrando por partes tenemos

∑y<n≤x

a(n) f (n) = f (x)A(x)− f (y)A(y)−∫ x

yA(t)d f (t)

= f (x)A(x)− f (y)A(y)−∫ x

yA(t) f ′(t)dt.

Teorema 6. Para x ≥ 2 se tiene 33

θ(x) = π(x) log x−∫ x

2

π(t)t

dt (6.10)

π(x) =θ(x)

log(x)+∫ x

2

θ(t)t(log(t))2 dt (6.11)

Demostración. Sea a(n) la función característica para primos, esto es

a(n) =

1 si n es primo

0 en otros casos

se tiene queπ(x) = ∑

p≤x1 = ∑

1<n≤xa(n)

32 [2] pag.7733 [2] pag. 78

29

yθ(x) = ∑

p≤xlog p = ∑

1<n≤xa(n) log n

Tomando f (x) = log x y usando la identidad de Abel con y = 1

θ(x) = ∑1<n≤x

a(n) log n

= π(x) log(x)− π(1) log(1)−∫ x

1

π(t)t

dt

con lo que se prueba (6.10) ya que π(t) = 0 para t < 2. Ahora, sea b(n) = a(n) log(x), luego

π(x) = ∑3/2<n≤x

b(n)1

log(n)y θ(x) = ∑

n≤xb(n)

Tomando f (x) = 1/ log(x) y aplicando la identidad de Abel con y = 3/2 se tiene

π(x) =θ(x)

log(x)− θ(3/2)

log(3/2)+∫ x

3/2

θ(t)t(log t)2 dt,

lo que prueba (6.11) ya que θ(t) = 0 si t < 2.

Para ver el teorema que relaciona la hipótesis de Riemann y el teorema de los números primos,se necesitaran las siguientes equivalencias 34

Teorema 7. Las siguientes Relaciones son lógicamente equivalentes:

lımx→∞

π(x) log(x)x

= 1 (6.12)

lımx→∞

θ(x)x

= 1 (6.13)

lımx→∞

ψ(x)x

= 1 (6.14)

Demostración. A partir de (6.10) y (6.11) obtenemos al dividir por x

θ(x)x

=π(x) log(x)

x−∫ x

2

π(t)t

dt

yπ(x) log(x)

x=

θ(x)x− log(x)

x

∫ x

2

θ(x)t log(t)2 dt

34 [2] pag. 79

30

Ahora, para ver que (6.12) implica (6.13) basta con probar que

lımx→∞

1x

∫ x

2

π(t)t

dt = 0

pero (6.12), que es el teorema de los números primos implica para t ≥ 2

π(t)t

= O(

1log(t)

)de donde

1x

∫ x

2

π(t)t

dt = O(

1x

∫ x

2

dtlog(t)

)por otro lado, se tiene que

∫ x

2

dtlog(t)

=∫ √x

2

dtlog(t)

+∫ x

√x

dtlog(t)

≤√

xlog(2)

+x−

√(x)

log(√

x)

luego como

lımx→∞

1x

( √x

log(2)+

x−√(x)

log(√

x)

)= 0

se tiene que1x

∫ x

2

dtlog(t)

→ 0 cuando x → ∞

mostrando que (6.12) implica a (6.13). Para la implicación inversa solo se necesita mostrar que(6.13) implica

lımx→∞

log(x)x

∫ x

2

θ(t)t(log(t))2 dt = 0

pero (6.13) implica que θ(t) = O(t), asi

log(x)x

∫ x

2

θ(t)t(log(t))2 = O

(log(x)

x

∫ x

2

dt(log(t))2

)ahora ∫ x

2

dt(log(t))2 =

∫ √x

2

dt(log(t))2 +

∫ 2

√x

dt(log(t))2

≤√(x)

(log(2))2 +x−

√(x)

(log(√(x)))2

31

por lo tanto, se obtiene quelog(x)

x

∫ x

2

dt(log(t))2 → 0

cuando x → ∞, con esto se logra probar que (6.13) implica (6.12).Para ver la equivalencia entre (6.13) y (6.14) vemos primero que si p2 ≤ x entonces p ≤ x1/2 yde esta misma forma se tiene que p ≤ x1/n para potencias n-ésimas de p primo, con base en estotenemos

ψ(x) = ∑p≤x

log p + ∑p2≤x

log p + ∑p3≤x

log p + ∑p4≤x

log p + · · ·

= ∑p≤x

log p + ∑p≤x1/2

log p + ∑p≤x1/3

log p + ∑p≤x1/4

log p + · · ·

= θ(x) + θ(x1/2) + θ(x1/3) + θ(x1/4) + · · · (6.15)

= ∑m≤log2 x

θ(x1/m) (6.16)

relacionando las funciones θ y ψ. Se ve que cada término de la serie (6.15) es mayor que elsiguiente, y que todos los términos θ(x1/n) donde x1/n < 2 sea cero, luego

x1/n < 21n

log(x) < log(2)

log(x)log(2)

< n

Así hay a lo mas log(x)/ log(2) términos distintos de cero. Por otro lado, a partir de (6.16) setiene que

ψ(x)− θ(x) = ∑2≤m≤log2 x

θ(x1/m)

y de la definición de θ(x),θ(x) ≤ ∑

p≤xlog x ≤ x log x

así,

0 ≤ ψ(x)− θ(x) ≤ ∑2≤m≤log2x

x1/m log(x1/m) ≤ (log2 x)√

x log√

x

=log xlog 2

·√

x2

log(x)

=

√x(log x)2

2 log(2)

32

al dividir todo por x se obtiene

ψ(x)x− θ(x)

x=

log2(x)√x log(2)

y como

lımx→∞

log2 x(x1/2) log 2

= 0

al final se tiene queψ(x)

x∼ θ(x)

x

Teorema 8. La35 densidad vertical de las raíces ρ de ξ(ρ) = 0 es menor que 2 log(t) con t grande. Esdecir existe un H tal que para t ≥ H el número de raíces ρ con parte imaginaria situada en la franjat ≤ =(ρ) ≤ t + 1 es menor que 2 log(t).

Teniendo en cuenta lo anterior, se tiene el siguiente teorema

Teorema 9. La hipótesis de Riemann es equivalente a declarar que para todo ε > 0 el error relativo enel teorema de los números primos π(x) ∼ Li(x) es menor que x−(1/2)+ε para todo x suficientementegrande 36.(Si esto es cierto, entonces el error relativo en el teorema de los números primos es de hecho menor que Cveces x1/2(log(x))2, con C constante).

Demostración. El primer paso de la demostración es delimitar a la función ψ(x), Von Mangoldt´sen su demostración37 de que ψ(x) ∼ x obtiene la siguiente fórmula para la integral de ψ(x)cuando x > 1 ∫ x

0ψ(t)dt =

x2

2−∑

ρ

xρ+1

ρ(ρ + 1)+ ∑

n

x−2n+1

2n(2n− 1)− ζ ′(0)

ζ(0)x +

ζ ′(−1)ζ(−1)

,

a partir de esto se ve que

35 [4]. pag 5636 [4] pag 9037 [4]. pag 74

33

ψ(x) ≤∫ x+1

xψ(t)dt =

∫ x+1

0ψ(t)dt−

∫ x

0ψ(t)dt

=

∣∣∣∣∣ (x + 1)2

2− x2

2+ ∑

ρ

(x + 1)ρ+1 − xρ+1

ρ(ρ + 1)+ una cota

∣∣∣∣∣≤ x + ∑

ρ

∣∣∣∣ (x + 1)ρ+1 − xρ+1

ρ(ρ + 1)

∣∣∣∣+ constante

Ahora asumiendo la hipótesis de Riemann, los términos correspondientes a las raíces ρ = 12 + iα

para las cuales |α| ≤ x puede ser aproximado por∣∣∣∣ (x + 1)ρ+1 − xρ+1

ρ(ρ + 1)

∣∣∣∣ = 1|ρ|

∣∣∣∣∫ x+1

xtρdt

∣∣∣∣≤ |x + 1|1/2

|ρ|

≤ (2x)1/2

|α|

y para las raíces tales que |α| > x se pueden aproximar con∣∣∣∣ (x + 1)ρ+1 − xρ+1

ρ(ρ + 1)

∣∣∣∣ ≤ 2|x + 1|<ρ+1

|ρ(ρ + 1)|

≤ 2(2x)3/2

α2 ,

continuando, al tomar H como en el teorema (9), la cantidad de raíces ρ = 12 + iα en el intervalo

t ≤ α ≤ t + 1 para t ≥ H es menor que 2 log(t), tomando x > H según estos intervalos se tiene

ψ(x) ≤ x + x1/2 ∑|α|<H

√2|α| + 2x1/2 ∑

H<α<x

√2

α+ 2x3/2 ∑

x<α

25/2

α2

≤ x + const x1/2 + const x1/2∫ x

H

log(t)t

dt + const x3/2∫ ∞

x

log(t)t2 dt

≤ x + const x1/2 + const x1/2 (log(t))2

2

∣∣∣∣xH+ const x3/2

{− log(t)

t

∣∣∣∣∞x+∫ ∞

x

dtt2

}≤ x + const x1/2 + const x1/2(log(x))2 + const x3/2

{log(x)

x+

1x

}≤ x + const x1/2(log(x))2.

34

de igual manera al calcular la acotación inferior, para

ψ(x) ≥∫ x

x−1ψ(t)dt =

∣∣∣∣∣ x2

2− (x− 1)2

2+ ∑

p

xρ+1 − (x− 1)ρ+1

ρ(ρ + 1)+ una cota

∣∣∣∣∣se obtiene que

ψ(x) ≥ x− ∑|α|<H

x1/2

|α| − 2 ∑H<α<x

x1/2

α− 2 ∑

x>α

2x3/2

α2

≥ x− const x1/2 − const x1/2∫ x

H

log(t)t

dt− const x3/2∫ ∞

x

log(t)t2 dt

≥ x− const x1/2(log(x))2

Así se consigue ver que el error relativo en ψ(x) ∼ x es menor que C veces (log(x))2x−1/2 conC constante. Ahora como

ψ(x)− θ(x1/2)log(x)log(2)

≤ θ(x) ≤ ψ(x)

y ya que θ(x1/2) log(x) ∼ x1/2 log(x) es mucho más pequeño que x1/2(log(x))2, se tiene que lomismo ocurre para θ(x) ∼ x. Por otro lado para cualquier constante c > 1 y usando integraciónpor partes se tiene

Li(x) =∫ x

c

dtlog(t)

=t

log(t)

∣∣∣∣xc+∫ x

c

tt(log(t))2 dt

=x

log(x)− c

log(c)+∫ x

c

tt(log(t))2 dt

38 con esto se ve que

π(x)− Li(x) =θ(x)

log(x)+∫ x

c

θ(t)t(log(t))2 dt−

(x

log(x)− c

log(c)+∫ x

c

tt(log(t))2 dt

)=

θ(x)− xlog(x)

+∫ x

c

θ(t)− tt(log t)2 dt + const

Luego si |θ(t)− t| < Kt1/2(log t)2 para t ≥ c, entonces x > c implica

38note que usando la integral de Riemann-Stieltjes tenemos π(x)− Li(x) =∫ x

cd[θ(t)−t]

log(t) + const

35

|π(x)− Li(x)| =∣∣∣∣ θ(x)− x

log(x)+∫ x

c

θ(t)− tt(log t)2 dt + const

∣∣∣∣≤∣∣∣∣ θ(x)− x

log(x)

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫ x

c

θ(t)− tt(log t)2 dt

∣∣∣∣+ |const|

≤ kx1/2(log(x))2

log(x)+∫ x

c

kt1/2(log(t))2

t(log(t))2 dt + const

≤ kx

log(x)(log(x))2

x1/2 + kx1/2 + const

lo que prueba, ya que Li(x) ∼ (x/ log(x)) cuando x → ∞

lımx→∞

Li(x)x

log(x)= lım

x→∞

1x

log(x)−1(log(x))2

= lımx→∞

log(x)log(x)− 1

= 1,

que el error relativo en π(x) − Li(x) en algún momento es menor que una constante veces(log(x))2x−1/2.

Ahora queda por mostrar que si el error relativo en π(x) ∼ Li(x) es menor que x−(1/2)+ε, en-tonces la hipótesis de Riemann debe ser cierta. Asuma por lo tanto que para todo ε > 0 el errorrelativo en π(x) ∼ Li(x) es eventualmente menor que x−(1/2)+ε. como Li(x) ∼ (x/ log(x)), im-plica que el error absoluto es eventualmente menor que x(1/2)+ε, para x ≥ c , entonces como39

θ(x)− x = π(x)log(x)−∫ x

c

π(t)t

dt− x + const

= π(x)log(x)−∫ x

c

π(t)t

dt− log(x)Li(x) + log(x)Li(x)− x + const

= π(x)log(x)−∫ x

c

π(t)t

dt− log(x)Li(x) +∫ x

c

Li(t)t

+ const

= (log(x))[π(x)− Li(x)]−∫ x

c

π(t)− Li(t)t

dt + const

por lo que asumió como hipótesis al inicio se tiene

39Note que usando la integral de Riemann-Stieltjes tenemos que θ(x)− x =∫ x

c log(t)d[π(t)− Li(t)] + const

36

|θ(x)− x| ≤ log(x)x(1/2)+ε +∫ x

ct−(1/2)+εdt + const

= log(x)x(1/2)+ε +2x(1/2)+ε

1 + 2ε+ const

≤ x1/2+2ε (6.17)

Para todo x suficientemente grande.

Ahora el tercer punto del teorema (7) implica que

lımx→∞

θ(x)x

= 1,

en síntesis,

θ(x) ≤ ψ(x) ≤ θ(x) +log(x)log(2)

θ(x1/2) ∼ θ(x) + const x1/2 log(x)

a partir de (6.17) se tiene directamente que |ψ(x)− x| ≤ x(1/2)+2ε para todo x lo suficientementegrande. Antes de continuar se ve que al tomar el Logaritmo a ambos lados de la ecuación (4.1) yusando la serie de taylor para el logaritmo natural log(x− 1) = −x + 1

2 x2− 13 x3− · · · se obtiene

log (ζ(Z)) = log

(∏

p

11− p−z

)

= ∑p

log(

11− p−z

)

Al derivar respecto a z queda

ζ ′(z)ζ(z)

= −∑p

p−z

1− p−z log(p),

se puede ver a p−z

1−p−z como la serie ∑n=11

pnz y por definición de Λ(n) se tiene

− ζ ′(z)ζ(z)

= ∑p

log(p)pz +

log(p)(p2)z +

log(p)(p3)z + · · ·

=∞

∑n=1

Λ(n)nz .

37

Ahora al aplicar el teorema (5) de la identidad de Abel sobre (1, ∞) con a(n) = Λ(n) y f (x) =x−z se obtiene

− ζ ′(z)ζ(z)

= −∫ ∞

1−zt−z−1 ∑

t≤xΛ(t)dt

= z∫ ∞

1ψ(t)t−z−1dt. (6.18)

Por otro lado, se tiene que

− 1(1− z)

=∫ ∞

1x−zdx = −1 + z

∫ ∞

1x−z−1xdx (6.19)

las cuales se tienen para Re > z− 1, al restar (6.19) de (6.18)

− ζ ′(z)ζ(z)

+1

1− z= z

∫ ∞

1x−z−1ψ(x)dx + 1− z

∫ ∞

1x−z−1 xdx

Ahora, al lado izquierdo se realiza la suma mientras al derecho al tener los mismos límites seunen las integrales

−1(z− 1)ζ(z)

[(z− 1)ζ ′(z) + ζ(z)] = 1 + z∫ ∞

1x−z−1ψ(x)− x−z−1xdx

y a partir de esto, se obtiene

− ddz

log[(z− 1)ζ(z)] = 1 + z∫ ∞

1x−z−1(ψ(x)− x)dx

para Re(z) > 1, si |φ(x)− x| < x(1/2)+2ε para todo x suficientemente grande, luego la integralde la derecha converge sobre todo el medio plano <(z) > 1

2 + 2ε. Por continuación analítica ellado derecho debe ser igual al lado izquierdo sobre todo el medio plano <(z) > 1

2 + 2ε, lo quemuestra que ningún cero de ζ(z) esta ese medio plano. Así concluimos que si el error relativoen π(x) ∼ Li(x) es menor que x−(1/2)+ε para todo ε > 0, implica que la hipótesis de Riemanndebe ser cierta.

38

7. ANÁLISIS DEL PROBLEMA E

La experiencia a mostrado que no es muy fructífero tratar de abordar directamente la hipótesisde Riemann estudiándola directamente, el método que mejores resultados a mostrado es par-tiendo de algún problema que implique o este implicado por la hipótesis, como por ejemplo elerror relativo entre la función contadora de números primos y la función Li (6.8), el siguien-te problema fue propuesto por lagarias basado en la estrecha relación de δ(x) y los númerosprimos.

Problema 1. [E]

Sea Hn = ∑nj=1 1/j . Muestre que, para cada n ≥ 1

δ(n) ≤ Hn + exp(Hn) log(Hn), (7.1)

el objetivo principal del documento de Lagarias 40 es poder demostrar el siguiente teorema

Teorema 10. El problema E es equivalente a la hipótesis de Riemann.

El problema E es derivado a partir de los siguientes teoremas dados por Guy Robin

Teorema 11. La hipótesis de Riemann es equivalente a que para todo n ≥ 5041 41

δ(n) < eγn log log n.

Teorema 12. Si la hipótesis de Riemann es falsa, entonces existen constantes 0 > β < 1/2 y C > 0 talesque para infinitos n se tiene

δ(n) ≥ eγn log(log(n)) +Cn log(log(n))

(log(n))β

Lagarias en su artículo logra una relación equivalente a las de Robin sin depender de constantesindefinidas como la γ de Euler, para esto se basó en los números colosalmente abundantes y enlas siguientes observaciones sobre la función δ(n) y los números colosalmente abundantes.

40 [13]41 [19] pag.188

39

7.1. FUNCIÓN SUMA DE DIVISORES δ(n)

Tanto d(x) como δ(x) son funciones altamente influenciables por la presencia de los númerosprimos, para la primera es claro que toma el valor de 2 cada ves que aparece un numero primo,luego estas son funciones que indican la posición de los números primos y de hay su importan-cia, la función δ(x) tiene la ventaja adicional de que es mas regular que la función d(x) y poreso se realiza el siguiente estudio. Si b ∈ Z es un divisor de n entero con descomposición enpotencias de primos pα1

1 pα22 · · · p

αkk , entonces b = pβ1

1 pβ22 · · · p

βkk con 0 ≤ βi ≤ αi e i = 0, 1, · · · , k,

luego es posible ver a la función suma de divisores como

δ(n) =α1

∑β1=0

α2

∑β2=0· · ·

αk

∑βk=0

pβ11 pβ2

2 · · · pβkk

=β

∏i=1

(1 + pi + p2i + · · ·+ pαk

i )

esto se puede reescribir usando la notación pα|n, la cual significa que el producto esta tomadosobre todas las potencias pk de primos que dividen a n tales que pk+1no lo divide.

= n ∏pα|n

(1 +

1p+ · · ·+ 1

pα

)

El siguiente resultado muestra que el orden promedio de δ(n) esta sobre el orden de Cn, con Cconstante.

Teorema 13. (Bachmann) La función suma de divisores δ(n) satisface

1n

n

∑j=1

δ(j) =π2

12n + O(log(n))

cuando n→ ∞.

Demostración. Es necesario presentar algunas observaciones previas42

1. Aplicando la fórmula de sumacion de Euler a f (t) = tα se tiene

∑n≤x

nα =∫ x

1tαdt + α

∫ x

1tα−1(t− [t])dt + 1− (x− [x])xα

=xα+1

α + 1− 1

α + 1+ O

(α∫ x

1tα−1dt

)+ O(xα)

=xα+1

α + 1+ O(xα).

42 [2] pag. 55

40

2. Ahora al aplicar la fórmula de sumacion de Euler a f (t) = 1/t se obtiene

∑n≤x

1n=∫ x

1

dtt−∫ x

1

t− [t]t2 dt + 1− x− [x]

x

= log x−∫ x

1

t− [t]t2 dt + 1 + O

(1x

)= log x + 1−

∫ ∞

1

t− [t]t2 dt +

∫ ∞

x

t− [t]t2 dt + O

(1x

).

La integral impropia∫ ∞

1 (t− [t])t−2dt existe ya que es dominada por∫ ∞

1 t−2dt luego

0 ≤∫ ∞

x

t− [t]t2 dt ≤

∫ ∞

x

1t2 dt =

1x

,

de lo anterior se sigue

∑n≤x

1n= log x + 1−

∫ ∞

1

t− [t]t2 + O

(1x

),

si se hace c = 1−∫ ∞

1t−[t]

t2 dt obtenemos

∑n≤x

1n= log x + c + O

(1x

),

en consecuencia,

lımx→∞

(∑n≤x

1n− log x

)= 1−

∫ ∞

1

t− [t]t2 dt,

por tanto c = γ la constante de Euler, quedando por tanto la ecuación anterior como

∑n≤x

1n= log x + γ + O

(1x

),

3. De nuevo aplicando la sumacion de Euler a f (x) = x−α, con α > 0 y α 6= 1, se tiene

∑n≤x

1nα

=∫ x

1

dttα− α

∫ x

1

t− [t]tα+1 dt + 1− x− [x]

xα

=x1−α

1− α− 1

1− α+ 1− α

∫ ∞

1

t− [t]tα+1 dt + O(x−α),

se puede escribir lo anterior como

∑n≤x

1nα

=x1−α

1− α+ C(α) + O(x−α) (7.2)

41

dondeC(α) = 1− 1

1− α− α

∫ ∞

1

t− [t]tα+1 dt

Si α > 1, el lado izquierdo de(7.2) se aproxima a ζ(α) cuando x → ∞, y x1−α como x−α seaproximan a 0, luego para α > 1 se tiene que C(α) = ζ(α), por otro lado si 0 < α < 1 , apartir de (7.2) se ve que

lımx→∞

(∑n≤x

1nα− x1−α

1− α

)= C(α).

Así, en ambos casos C(α) es igual a ζ(α), por tanto

∑n≤x

1nα

=x1−α

1− α+ ζ(α) + O(x−α).

Teniendo en cuenta lo anterior y ademas que d|n implica n = qd para algún q ∈ N se obtieneque 43

∑n≤x

δ(n) = ∑n≤x

∑q|n

q = ∑q,d

qd≤x

q = ∑d≤x

∑q≤x/d

q.

Así, de la observación (1) y tomando n = x/d se obtiene

∑n≤x

δ(n) = ∑d≤x

{12

( xd

)2+ O

( xd

)}

=x2

2 ∑d≤x

1d2 + O

(x ∑

d≤x

1d

)

=x2

2

{−1

x+ ζ(2) + O

(1x2

)}+ O(x log x)

=12

ζ(2)x2 + O(x log x).

al dividir a ambos lados por 1n queda el teorema demostrado. Este resultado dice que como

ζ(2) = π2

6 , el orden promedio de δ(n) esta dado por g(n) = π2n6 , el tamaño máximo44 de δ(n)

puede ser un tanto mayor que n.

43 [2]. pag 6044 [9] pag 350

42

Teorema 14. (Gronwall)El tamaño asintótico máximo de δ(n) satisface

lımn→∞

supδ(n)

n log log n= eγ

Este resultado puede ser deducido de el teorema de Mertens45 que afirma

∏p≤x

(1− 1

p

)∼ eγ

log x

Una versión más refinada de la cota superior asintótica afirma que para todo46 n ≥ 3

δ(n) < eγn log log n + 0,6482n

log log n.

7.2. NÚMEROS COLOSALMENTE ABUNDANTES

Se puede definir de forma similar a como se definen los números altamente compuestos y losnúmeros altamente compuestos superiores nuevos números usando en este caso la función sumade divisores. Los números superabundantes son los enteros positivos n tales que

δ(n)n

>δ(k)

k

para 1 ≤ k ≤ n− 1, y Los números colosalmente abundantes son aquellos números n para los cualesexiste un exponente positivo ε tal que

δ(n)n1+ε

≥ δ(k)k1+ε

para todo k > 1, luego n alcanza el máximo valor de δ(k)/k1+ε sobre todo k. Los númeroscolosalmente abundantes son un subconjunto infinito de los números superabundantes47.

45 [9] pag.46646A partir de este teorema Ramanujan demostró que para un n suficiente mente grande se tiene que δ(n) <

eγn log(log(n)), a partir de este teorema Robin formulo (11)47Foto tomada de http://www.cienporciencurioso.com/wp-content/uploads/2017/05/Srinivasa-Ramanujan-

690x460.png

43

La siguiente tabla muestra los números colosalmente abundantes hasta el orden de 1018 :

n Factorizacion de n δ(n)/n2 2 1,5006 2 · 3 2,000

12 22 · 3 2,33360 22 · 3 · 5 2,800

120 23 · 3 · 5 3,000360 23 · 32 · 5 3,250

2520 23 · 32 · 5 · 7 3,7145040 24 · 32 · 5 · 7 3,838

55440 24 · 32 · 5 · 7 · 11 4,187720720 24 · 32 · 5 · 7 · 11 · 13 4,509

1441440 25 · 32 · 5 · 7 · 11 · 13 4,5814324320 25 · 33 · 5 · 7 · 11 · 13 4,699

21621600 25 · 33 · 52 · 7 · 11 · 13 4,855367567200 25 · 33 · 52 · 7 · 11 · 13 · 17 5,141

6983776800 25 · 33 · 52 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 5,412160626866400 25 · 33 · 52 · 7 · · · 23 5,647321253732800 26 · 33 · 52 · 7 · · · 23 5,692

9316358251200 26 · 33 · 52 · 7 · · · 29 5,888288807105787200 26 · 33 · 52 · 7 · · · 31 6,078

2021649740510400 26 · 33 · 52 · 72 · 11 · · · 31 6,1876064949221531200 26 · 34 · 52 · 72 · 11 · · · 31 6,238

224403121196654400 26 · 34 · 52 · 72 · 11 · · · 37 6,407

se verá ahora la relación entre la hipótesis de Riemann con el comportamiento de los valores ex-tremos de δ(n)/n. Los números colosalmente abundantes son los productos de pequeños primoselevados a potencias que son una función suavemente decreciente de su tamaño, así fluctuacio-nes en la distribución de los números primos se van a ver reflejados como fluctuaciones en la tasade crecimiento de δ(n)/n tomado sobre el conjunto de los números colosalmente abundantes.Guy Robin demostró que de ser falsa la Hipótesis de Riemann, entonces debe existir un numerocolosalmente abundante que sea contraejemplo48para la desigualdad δ(n) < eγ log(log(n)) paran ≥ 5041.

48En palabras mas claras, esto dice que en la figura de la sección (7.3) si alguno de los picos de la función δ(x)sobrepasa a eγ log(log(n), este pico debe corresponder a un número colosalmente abundante, esta es la base que usoRobin para formular (12)

44

Figura 7.1: Srinivasa Ramanujan, quien estudió los números colosalmente abundantes en la sec-ción 59 de sus famosos cuadernos perdidos

Como se vio, la hipótesis de Riemann es equivalente a afirmar que para cada ε > 0

|π(x)− Li(x)| < x1/2+ε

se tiene para x suficientemente grande. De aquí se deduce que si la hipótesis de Riemann esfalsa, entonces debe existir una constante específica positiva δ tal que

π(x) > Li(x) + x1/2+δ

Es cierto para un conjunto infinito de valores de x, cuando x tiende a infinito. Lo anterior diceque si se elige un x tal que ocurra un exceso de primos sobre Li(x), al tomar un producto depotencias de primos adecuado sobre esa cota, se tendría la esperanza de construir un númeron para el que δ(n) exceda eγn log n log n por una pequeña cantidad. Si la hipótesis de Riemannse mantiene, existe una pequeña cota superior por exceso del número de primos sobre Li(x),de aquí podemos deducir una cota superior ligeramente mejor para δ(n), los teoremas de Ro-bin ((11) y (12)) dan una versión cuantitativa de esta afirmación. Hay que notar que la hipótesisde Riemann no influencia el término principal en el desarrollo asintótico extremo de δ(n)/n,solo afecta el tamaño de los términos de menor orden en la asintoticidad. Se puede probar sincondiciones que si la inecuación (7.1) se tiene para casi todos los enteros aun si la hipótesis deRiemann es falsa, el conjunto de excepciones sera muy esparcido, además si existe cualquiercontraejemplo, el valor de n sera muy grande.Los siguientes lemas serán básicos para la demostración del teorema (10).

45

Lema 1. Para n ≥ 3exp(Hn) log(Hn) ≥ eγn log log n (7.3)

Demostración. Para empezar nótese que

∑1≤r≤n

∫ n

r

1t2 dt =

∫ n

1

1t2 dt +

∫ n

2

1t2 dt + · · ·+

∫ n

n−1

1t2 dt

=∫ 2

1

1t2 dt +

∫ n

2

1t2 dt +

∫ n

2

1t2 dt + · · ·+

∫ n

n−1

1t2 dt

=∫ 2

1

1t2 dt + 2

∫ n

2

1t2 dt +

∫ n

3

1t2 dt + · · ·+

∫ n

n−1

1t2 dt

=∫ 2

1

1t2 dt + 2

∫ 3

2

1t2 dt + 2

∫ n

3

1t2 dt + · · ·+

∫ n

n−1

1t2 dt

...

=∫ 2

1

1t2 dt + 2

∫ 3

2

1t2 dt + 3

∫ 4

3

1t2 dt + · · ·+ (n− 1)

∫ n

n−1

1t2 dt

=∫ 2

1

1t2 dt +

∫ 3

2

2t2 dt +

∫ 4

3

3t2 dt + · · ·+

∫ n

n−1

n− 1t2 dt

=∫ 2

1

1t2

(∑

1≤r≤t1

)dt +

∫ 3

1

1t2

(∑

1≤r≤t1

)dt +

∫ 4

3

1t2

(∑

1≤r≤t1

)dt + · · ·+

∫ n

n−1

1t2

(∑

1≤r≤t1

)dt

=∫ n

1

1t2

(∑

1≤r≤t1

)dt

A partir de esto se tiene la siguiente relación

∫ n

1

btct2 dt =

∫ n

1

1t2

(∑

1≤r≤t1

)dt

= ∑1≤r≤n

∫ n

r

1t2

=n

∑r=1

(1r− 1

n

)= Hn − 1.

Así se puede expresar el n-ésimo número armónico como

46

Hn = 1 +∫ n

1

t− {t}t2 dt

= log n + 1−∫ n

1

{t}t2 dt (7.4)

= log n + 1−∫ ∞

1

{t}t2 dt +

∫ ∞

n

{t}t2 dt

Obteniendo que

Hn = log n + γ +∫ ∞

n

{t}t2 dt (7.5)

con esta expresión, haciendo que n→ ∞ se tiene

γ = lımn→∞

(Hn − log n),

la cual es la definición usual de la constante γ. Ahora a partir de (7.5)

Hn > log n + γ

que al aplicarle la exponencial produce

exp(Hn) ≥ eγn. (7.6)

Por último Hn ≥ log(n), luego log(Hn) ≥ log(log(n)) > 0 para n ≥ 3 que junto con (7.6) llevaal resultado (7.3).

-4 -2 2 4 6 8 10

-20

-10

10

20

30

Figura 7.2: Gráfica de la ecuación (7.3)

47

Lema 2. Para n ≥ 3 se tiene que

Hn + exp(Hn) log(Hn) ≤ en log(log(n)) +4n

log(n)

Demostración. Al ser una Hn una función escalonada, se tiene que

Hn =n

∑k=1

1k=∫ n+1

1

1btc ,

ahora, para n ≥ 1 se define Rn como

Rn = Hn − log(n + 1) =∫ n+1

1

(1btc −

1t

)Esta última expresión revela lo siguiente

1. Rn es no negativo, ya que

btc ≤ t1t≤ 1btc

0 ≤ 1btc −

1t

≤∫ n+1

1

(1btc −

1t

)≤ Rn.

2. Es monotonamente creciente porque

Rn =∫ n+1

1

(1btc −

1t

)≤∫ n+1

1

(1btc −

1t

)+∫ n+2

n+1

(1btc −

1t

)≤∫ n+2

1

(1btc −

1t

)≤ Rn+1.

Por otro lado como lımn→∞(Hn − log(n + 1)) = γ, se tiene que

Hn − log(n + 1) ≤ γ

48

De aquí

Hn ≤ γ + log(n + 1)

exp(Hn) ≤ eγ(n + 1) (7.7)

a partir de la fórmula (7.4) se tiene que Hn ≤ log(n + 1) , así para para n ≥ 3

log(Hn) ≤ log(log(n) + 1) = log(

log(n)(

1 +1

log(n)

))= log (log(n)) + log

(1

log(n)

)≤ log (log(n)) +

1log(n)

(7.8)

Al multiplicar (7.7) y (7.8), obtenemos para n ≥ 3

exp(Hn) log(Hn) ≤ eγ(n + 1)(

log (log(n)) +1

log(n)

)≤ eγn log(log(n)) +

eγnlog(n)

+ eγ

(log(log(n)) +

1log(n)

)(7.9)

ahora, para todo n ≥ 3 se tiene que

log(n) < n

log(log(n)) < log(n),

y como la Exponencial crece mas rápido que cualquier polinomio, al hacer el cambio de variablex = log(n) en la desigualdad x3 + x < ex se obtiene

x +1x<

ex

x2

log(n) +1

log(n)<

n2 log(n)

log(log(x)) +1

log(n)<

n2 log(n)

(7.10)

Al utilizar (7.10) en (7.9) tenemos

49

exp(Hn) log(Hn) ≤ eγn log(log(n)) +eγn

log(n)+

eγn2 log(n)

≤ eγn log(log(n)) +3eγn

2 log(n).

Ahora la ecuación (7.4) produce para n ≥ 3

Hn ≤ log(n) + 1 ≤ nlog(n)

.

Por último, al sumar esta desigualdad a la anterior y teniendo en cuenta que 4 > 1 + 3eγ

2 ≈ 3,67,produce para todo n ≥ 3

Hn + exp(Hn) log(Hn) ≤ eγ log(log(n)) +3eγn

2 log(n)+

nlog(n)

≤ eγ log(log(n)) +4n

log(n).

49

Figura 7.3: Manuscrito de Ramanujan perteneciente a uno de los cuadernos perdidos dondehabla de los números altamente compuestos

49Imagen tomada de http://www.math.tifr.res.in/ publ/nsrBook3.pdf

50

7.3. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA (10)

Ya se cuenta con los conocimientos suficientes para poder demostrar el teorema central del textode Lagarias

Demostración. Supóngase que la hipótesis de Riemann es cierta, por el teorema (11) y el lema (1),para n ≥ 5041 se tiene

∑d|n

d ≤ eγn log(log(n))

≤ exp(Hn) log(Hn)

< Hn + exp(Hn) log(Hn)

Para 1 ≤ n ≤ 5040 el teorema se puede verificar directamente 50, además el único caso dondeocurre la igualdad es para n = 1.

Ahora, supóngase que el problema se tiene para todo n, se razonará por contradicción al suponerque la hipótesis de Riemann es falsa, luego el teorema (12) aplica, pero es claro que sin importarcomo se tomen a la C y a la β de las hipótesis de este teorema, existirá un un entero m tal quepara todo n > m se tiene

4nlog(n)

<Cn log(log(n))

logβ(n),

pero esto genera un absurdo ya que con el lema 2 se tendría que

δ(n) ≤ Hn + exp(Hn) log(Hn)

≤ eγn log(log(n)) +4n

log(n)

< eγn log(log(n)) +Cn log(log(n))

logβ(n)

≤ δ(n)

por tanto la hipótesis de Riemann necesariamente debe ser cierta.

50ver Anexo

51

200 400 600 800 1000

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Figura 7.4: Comparación entre las funciones Hn + exp(Hn) log(Hn) de color verde, σ(n) de colorazul y n de color anaranjado

52

8. PERSPECTIVAS

8.1. PROBLEMAS ABIERTOS

A la fecha existen varias conjeturas estrechamente ligadas a la carencia de una ecuación que dela sucesión de los números primos, por tanto, si se llegara a demostrar la hipótesis de Riemannse puede resolver las siguientes preguntas:Problemas de Landau

La conjetura de Goldbach:Fue propuesta por Christian Goldbach en una carta dirigida a Euler, fechada el 7 de Juniode 1742, y la enunció originalmente como

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como la suma de 2 númerosprimos 51

Es 52 decir afirma que para todo entero par mayor que dos tiene una partición compuestapor números primos, en la misma carta también propuso lo que hoy se conoce como laconjetura débil de Golbach:

Todo número impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres númerosprimos.

Demostrada por Harald Helfgott en 2015 53

La conjetura de los números primos gemelos:

Formulada en 1849 por Alphonse de Polignac afirma que

Existe un número infinito de primos p tales que p + 2 también es primo.

(3,5) (5,7) (11,13) (17,19) (29,31) (41,43)(59,61) (71,73) (101,103) (107,109) (137,139 (149,151)

(179,181) (191,193) (197,199) (227,229) (239,241) (269,271)(281,283) (311,313) (347,349) (419,421) (431,433) (461,463)(521,523) (569,571) (599,601) (617,619) (641,649) (659,661)(809,811) (821,823) (827,829) (857,859) (881,883)

Tabla 1: Primos gemelos menores que 100051imagen tomada de https : //commons.wikimedia.org/wiki/File : LetterGoldbach− Euler.jpg52Imagen tomada de https : //commons.wikimedia.org/wiki/File : LetterGoldbach− Euler.jpg53 [10]

53

Figura 8.1: Carta original escrita por Goldbach y dirigida a Euler

La conjetura de Legendre:enunciada por Adrien-Marie Legendre 54 afirma que

Siempre existe un número primo entre n2y (n + 1)2,

en 1965 Chen Jing Run55 demostró que siempre existe un número entre n2 y (n + 1)2 quesea primo o semiprimo (producto de dos primos).

Existen infinitos números primos p tales que (p− 1) es un cuadrado perfecto:Dicho de otra forma, hay infinitos números primos de la forma n2 + 1, los primeros térmi-

54 [12] pag.12555 [11]

54

nos de esta sucesión 56 cuyos primeros términos son

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101 . . .

existe un teorema de Friedlander–Iwaniec 57 que afirma que existen muchos primos de laforma a2 + b2 58, pero este teorema no es resultado de la conjetura.

Otras conjeturas son

La conjetura de Brocard: 59

Existen por lo menos cuatro primos entre el cuadrado de dos primos imparesconsecutivos, por ejemplo, hay 5 primos entre 32 y 52.

La conjetura de Cramer:Afirma que60

lımn→∞

suppn+1 − pn

(log pn)2 = 1

donde pn denota el n-ésimo número primo. Esta conjetura esta fundamentada en un mo-delo probabilístico el cual presupone que la posibilidad de que un número sea primo es

1log x .

La conjetura de Hardy-Littlewood 61

De manera análoga al teorema de los números primos (3), la conjetura habla sobre la dis-tribución de los primos gemelos. Sea π2(x) el número de primos p menores que x tales quep + 2 también es primo. Se define la constante de los números primos C2 como el siguienteproducto de Euler

C2 = ∏p≥3

p(p− 2)(p− 1)2 ≈ 0, 660161181584 . . .

La conjetura afirma que

π2(x) ∼ 2C2

∫ x

2

dt(lnt)2

56Esta sucesión esta indexada como A002496 en La Enciclopedia On-Line de las Secuencias de Números Enteros(OEIS)

57 [6]58sucesión A028916 de la OEIS59 [12] pag.12560 [3]61 [18] pag.262

55

9. ANEXO

A. Cálculo de los valores para δ(n) y f (n) = Hn + exp(Hn) log(Hn) con 1 ≤ n ≤ 5040

n δ(n) f (n) n δ(n) f (n) n δ(n) f (n) n δ(n) f (n)1 1 1 31 32 82.1877 61 62 174.125 91 112 270.4032 3 3.31717 32 63 85.1475 62 96 177.277 92 168 273.6653 4 5.62453 33 48 88.1165 63 104 180.435 93 128 276.9294 7 7.97798 34 54 91.0945 64 127 183.596 94 144 280.1975 6 10.3823 35 48 94.0811 65 84 186.762 95 120 283.4676 12 12.8342 36 91 97.0761 66 144 189.932 96 252 286.747 8 15.3293 37 38 100.079 67 68 193.107 97 98 290.0168 15 17.8633 38 60 103.09 68 126 196.285 98 171 293.2949 13 20.4326 39 56 106.109 69 96 199.468 99 156 296.57610 18 23.0339 40 90 109.135 70 144 202.655 100 217 299.8611 12 25.6644 41 42 112.169 71 72 205.845 101 102 303.14612 28 28.3218 42 96 115.209 72 195 209.04 102 216 306.43613 14 31.0041 43 44 118.257 73 74 212.238 103 104 309.72814 24 33.7094 44 84 121.311 74 114 215.44 104 210 313.02215 24 36.4362 45 78 124.372 75 124 218.646 105 192 316.31916 31 39.1831 46 72 127.439 76 140 221.856 106 162 319.61917 18 41.9489 47 48 130.512 77 96 225.069 107 108 322.92118 39 44.7324 48 124 133.592 78 168 228.285 108 280 326.22519 20 47.5327 49 57 136.677 79 80 231.505 109 110 329.53220 42 50.3489 50 93 139.769 80 186 234.729 110 216 332.84121 32 53.1802 51 72 142.866 81 121 237.956 111 152 336.15322 36 56.0258 52 98 145.968 82 126 241.186 112 248 339.46723 24 58.8851 53 54 149.076 83 84 244.42 113 114 342.78424 60 61.7575 54 120 152.19 84 224 247.657 114 240 346.10325 31 64.6424 55 72 155.308 85 108 250.897 115 144 349.42426 42 67.5393 56 120 158.432 86 132 254.14 116 210 352.74727 40 70.4477 57 80 161.561 87 120 257.387 117 182 356.07328 56 73.3671 58 90 164.695 88 180 260.636 118 180 359.429 30 76.2972 59 60 167.833 89 90 263.889 119 144 362.7330 72 79.2375 60 168 170.977 90 234 267.145 120 360 366.063

56

n δ(n) f (n) n δ(n) f (n) n δ(n) f (n) n δ(n) f (n)121 133 369.397 155 192 483.934 189 320 600.378 223 224 718.344122 186 372.734 156 392 487.334 190 360 603.827 224 504 721.834123 168 376.072 157 158 490.736 191 192 607.278 225 403 725.325124 224 379.413 158 240 494.139 192 508 610.73 226 342 728.817125 156 382.756 159 216 497.543 193 194 614.183 227 228 732.31126 312 386.101 160 378 500.95 194 294 617.637 228 560 735.804127 128 389.448 161 192 504.358 195 336 621.093 229 230 739.299128 255 392.797 162 363 507.767 196 399 624.55 230 432 742.795129 176 396.148 163 164 511.178 197 198 628.008 231 384 746.293130 252 399.501 164 294 514.591 198 468 631.468 232 450 749.791131 132 402.856 165 288 518.005 199 200 634.929 233 234 753.29132 336 406.213 166 252 521.42 200 465 638.391 234 546 756.791133 160 409.572 167 168 524.837 201 272 641.854 235 288 760.292134 204 412.933 168 480 528.256 202 306 645.319 236 420 763.795135 240 416.296 169 183 531.676 203 240 648.784 237 320 767.298136 270 419.661 170 324 535.098 204 504 652.251 238 432 770.803137 138 423.028 171 260 538.521 205 252 655.719 239 240 774.308138 288 426.396 172 308 541.945 206 312 659.189 240 744 777.815139 140 429.767 173 174 545.371 207 312 662.659 241 242 781.322140 336 433.139 174 360 548.799 208 434 666.131 242 399 784.831141 192 436.513 175 360 548.799 209 240 669.604 243 364 788.34142 216 439.889 176 372 555.658 210 576 673.078 244 434 791.851143 168 443.267 177 240 559.09 211 212 676.553 245 342 795.362144 403 446.646 178 270 562.523 212 378 680.029 246 504 798.875145 180 450.027 179 180 565.957 213 288 683.507 247 280 802.388146 222 453.41 180 546 569.393 214 324 686.986 248 480 805.903147 228 456.795 181 182 572.83 215 264 690.465 249 336 809.418148 266 460.181 182 336 576.269 216 600 693.946 250 468 812.934149 150 463.57 183 248 579.709 217 256 697.428 251 252 816.452150 372 466.96 184 360 583.151 218 330 700.912 252 728 819.97151 152 470.351 185 228 586.593 219 296 704.396 253 288 823.489152 300 473.744 186 384 590.037 220 504 707.881 254 384 827.009153 234 477.1392 187 216 593.483 221 252 711.368 255 432 830.53154 288 480.536 188 336 596.929 222 456 714.855 256 511 834.052

57


58


59

n δ(n) f (n) n δ(n) f (n) n δ(n) f (n) n δ(n) f (n)529 553 1821.45 563 564 1947.11 597 800 2073.21 631 632 2199.74530 972 1825.14 564 1344 1950.81 598 1008 2076.93 632 1200 2203.47531 780 1828.83 565 684 1954.51 599 600 2080.65 633 848 2207.2532 1120 1832.52 566 852 1958.22 600 1860 2084.36 634 954 2210.93533 588 1836.21 567 968 1961.92 601 602 2088.08 635 768 2214.65534 1080 1839.9 568 1080 1965.62 602 1056 2091.8 636 1512 2218.38535 648 1843.59 569 570 1969.33 603 884 2095.51 637 798 2222.11536 1020 1847.28 570 1440 1973.03 604 1064 2099.23 638 1080 2225.84537 720 1850.97 571 572 1976.74 605 798 2102.95 639 936 2229.57538 810 1854.67 572 1176 1980.45 606 1224 2106.67 640 1530 2233.3539 684 1858.36 573 768 1984.15 607 608 2110.39 641 642 2237.03540 1680 1862.05 574 1008 1987.86 608 1260 2114.11 642 1296 2240.761541 542 1865.75 575 744 1991.57 609 960 2117.82 643 644 2244.5542 816 1869.44 576 1651 1995.27 610 1116 2121.54 644 1344 2248.23543 728 1873.13 577 578 1998.98 611 672 2125.26 645 1056 2251.96544 1134 1876.83 578 921 2002.69 612 1638 2128.99 646 1080 2255.69545 660 1880.52 579 776 2006.4 613 614 2132.71 647 648 2259.42546 1344 1884.22 580 1260 2010.11 614 924 2136.43 648 1815 2263.16547 548 1887.92 581 672 2013.82 615 1008 2140.15 649 720 2266.89548 966 1891.61 582 1176 2017.53 616 1440 2143.87 650 1302 2270.62549 806 1895.31 583 648 2021.24 617 618 2147.59 651 1024 2274.36550 1116 1899.01 584 1110 2024.95 618 1248 2151.32 652 1148 2278.09551 600 1902.7 585 1092 2028.66 619 620 2155.04 653 654 2281.83552 1440 1906.4 586 882 2032.37 620 1344 2158.76 654 1320 2285.56553 640 1910.1 587 588 2036.08 621 960 2162.49 655 792 2289.3554 834 1913.8 588 1596 2039.79 622 936 2166.21 656 1302 2293.03555 912 1917.5 589 640 2043.5 623 720 2169.93 657 962 2296.77556 980 1921.2 590 1080 2047.22 624 1736 2173.66 658 1152 2300.5557 558 1924.9 591 792 2050.93 625 781 2177.38 659 660 2304.24558 1248 1928.6 592 1178 2054.64 626 942 2181.11 660 2016 2307.98559 616 1932.3 593 594 2058.36 627 960 2184.84 661 662 2311.71560 1488 1936. 594 1440 2062.07 628 1106 2188.56 662 996 2315.45561 864 1939.7 595 864 2065.78 629 684 2192.29 663 1008 2319.19562 846 1943.4 596 1050 2069.55 630 1872 2196.02 664 1260 2322.93

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n δ(n) f (n) n δ(n) f (n) n δ(n) f (n) n δ(n) f (n)3793 3794 14716.5 3827 3960 14855.3 3861 6720 14994.0 3895 5040 15132.93794 6528 14720.6 3828 10080 14859.3 3862 5796 14998.1 3896 7320 15136.93795 6912 14724.7 3829 4384 14863.4 3863 3864 15002.2 3897 5642 15141.03796 7252 14728.8 3830 6912 14867.5 3864 11520 15006.3 3898 5850 15145.13797 3798 14732.8 3831 5112 14871.6 3865 4644 15010.4 3899 4464 15149.23798 8268 14736.9 3832 7200 14875.7 3866 5802 15014.4 3900 12152 15153.33799 3960 14741.0 3833 3834 14879.7 3867 5160 15018.5 3901 4032 15157.43800 9300 14745.1 3834 8640 14883.8 3868 6776 15022.6 3902 5856 15161.53801 5824 14749.2 3835 5040 14887.9 3869 3996 15026.7 3903 5208 15165.53802 5706 14753.2 3836 7728 14892.0 3870 10296 15030.8 3904 7874 15169.63803 3804 14757.3 3837 5120 14896.1 3871 4560 15034.9 3905 5184 15173.73804 8904 14761.4 3838 6120 14900.1 3872 8379 15038.9 3906 9984 15177.83805 4572 14765.5 3839 4200 14904.2 3873 5168 15043.0 3907 3908 15181.93806 6264 14769.6 3840 12264 14908.3 3874 6300 15047.1 3908 6846 15186.03807 5808 14773.6 3841 4032 14912.4 3875 4992 15051.2 3909 5216 15190.03808 9072 14777.7 3842 6156 14916.5 3876 10080 15055.3 3910 7776 15194.13809 4116 14781.8 3843 6448 14920.6 3877 3878 15059.4 3911 3912 15198.23810 9216 14785.9 3844 6951 14924.6 3878 6672 15063.4 3912 9840 15202.33811 3952 14790. 3845 4620 14928.7 3879 5616 15067.5 3913 4928 15206.43812 6678 14794. 3846 7704 14932.8 3880 8820 15071.6 3914 6240 15210.53813 5376 14798.1 3847 3848 14936.9 3881 3882 15075.7 3915 7200 15214.63814 5724 14802.2 3848 7980 14941.0 3882 7776 15079.8 3916 7560 15218.63815 5280 14806.3 3849 5136 14945.0 3883 4248 15083.9 3917 3918 15222.73816 10530 14810.4 3850 8928 14949.1 3884 6804 15087.9 3918 7848 15226.83817 4176 14814.4 3851 3852 14953.2 3885 7296 15092.0 3919 3920 15230.93818 6048 14818.5 3852 9828 14957.3 3886 6120 15096.1 3920 10602 15235.03819 5440 14822.6 3853 3854 14961.4 3887 4392 15100.2 3921 5232 15239.13820 8064 14826.7 3854 6048 14965.5 3888 11284 15104.3 3922 6156 15243.13821 3822 14830.8 3855 6192 14969.5 3889 3890 15108.4 3923 3924 15247.23822 9576 14834.8 3856 7502 14973.6 3890 7020 15112.4 3924 10010 15251.33823 3824 14838.9 3857 4800 14977.7 3891 5192 15116.5 3925 4898 15255.43824 7440 14843.0 3858 7728 14981.8 3892 7840 15120.6 3926 6384 15259.53825 7254 14847.1 3859 4104 14985.9 3893 4140 15124.7 3927 6912 15263.63826 5742 14851.2 3860 8148 14989.9 3894 8640 15128.8 3928 7380 15267.7

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n δ(n) f (n) n δ(n) f (n) n δ(n) f (n) n δ(n) f (n)4745 6216 18619.7 4779 7260 18759.7 4813 4814 18899.8 4847 5016 19040.04746 10944 18623.8 4780 10080 18763.9 4814 7560 18904.0 4848 12648 19044.14747 4896 18627.9 4781 5472 18768.0 4815 8424 18908.1 4849 5236 19048.24748 8316 18632.0 4782 9576 18772.1 4816 10912 18912.2 4850 9114. 19052.44749 6336 18636.1 4783 4784 18776.2 4817 4818 18916.3 4851 8892 19056.54750 9360 18640.3 4784 10416 18780.3 4818 10656 18920.4 4852 8498 19060.64751 4752 18644.4 4785 8640 18784.5 4819 4960 18924.6 4853 5088 19064.74752 14880 18648.5 4786 7182 18788.6 4820 10164 18928.7 4854 9720 19068.84753 5586 18652.6 4787 4788 18792.7 4821 6432 18932.8 4855 5832 19073.04754 7134 18656.7 4788 14560 18796.8 4822 7236 18936.9 4856 9120 19077.14755 7632 18660.9 4789 4790 18800.9 4823 6048 18941.1 4857 6480 19081.24756 8820 18665.0 4790 8640 18805.1 4824 13260 18945.2 4858 8352 19085.34757 4896 18669.1 4791 6392 18809.2 4825 6014 18949.3 4859 5016 19089.54758 10416 18673.2 4792 9000 18813.3 4826 7680 18953.4 4860 15288 19093.64759 4760 18677.3 4793 4794 18817.4 4827 6440 18957.5 4861 4862 19097.74760 12960 18681.5 4794 10368 18821.5 4828 9072 18961.7 4862 9072 19101.84761 7189 18685.6 4795 6624 18825.7 4829 5280 18965.8 4863 6488 19106.04762 7146 18689.7 4796 9240 18829.8 4830 13824 18969.9 4864 10220 19110.14763 5208 18693.8 4797 7644 18833.9 4831 4832 18974.0 4865 6720 19114.24764 11144 18697.9 4798 7200 18838.0 4832 9576 18978.2 4866 9744 19118.34765 5724 18702.1 4799 4800 18842.1 4833 7200 18982.3 4867 5056 19122.44766 7152 18706.2 4800 15748 18846.3 4834 7254 18986.4 4868 8526 19126.64767 7296 18710.3 4801 4802 18850.4 4835 5808 18990.5 4869 7046 19130.74768 9450 18714.4 4802 8403 18854.5 4836 12544 18994.6 4870 8784 19134.84769 5040 18718.5 4803 6408 18858.6 4837 5536 18998.8 4871 4872 19138.94770 12636 18722.7 4804 8414 18862.7 4838 7560 19002.9 4872 14400 19143.14771 5152 18726.8 4805 5958 18866.9 4839 6456 19007.0 4873 5328 19147.24772 8358 18730.9 4806 10800 18871.0 4840 11970 19011.1 4874 7314 19151.34773 6688 18735.0 4807 5760 18875.1 4841 4992 19015.3 4875 8736 19155.44774 9216 18739.1 4808 9030 18879.2 4842 10530 19019.4 4876 9072 19159.64775 5952 18743.3 4809 7360 18883.4 4843 5040 19023.5 4877 4878 19163.74776 12000 18747.4 4810 9576 18887.5 4844 9744 19027.6 4878 10608 19167.84777 5076 18751.5 4811 5112 18891.6 4845 8640 19031.7 4879 6048 19171.94778 7170 18755.6 4812 11256 18895.7 4846 7272 19035.9 4880 11532 19176.1

91

n δ(n) f (n) n δ(n) f (n) n δ(n) f (n) n δ(n) f (n)4881 6512 19180.2 4915 5904 19320.4 4949 5814 19460.7 4983 7296 19601.04882 7326 19184.3 4916 8610 19324.5 4950 14508 19464.8 4984 10800 19605.14883 5160 19188.4 4917 7200 19328.7 4951 4952 19468.9 4985 5988 19609.34884 12768 19192.5 4918 7380 19332.8 4952 9300 19473.1 4986 10842 19613.44885 5868 19196.7 4919 4920 19336.9 4953 7168 19477.2 4987 4988 19617.54886 8400 19200.8 4920 15120 19341.0 4954 7434 19481.3 4988 9240 19621.64887 7280 19204.9 4921 6080 19345.2 4955 5952 19485.4 4989 6656 19625.84888 10080 19209.0 4922 7776 19349.3 4956 13440 19489.6 4990 9000 19629.94889 4890 19213.2 4923 7124 19353.4 4957 4958 19493.7 4991 6144 19634.04890 11808 19217.3 4924 8624 19357.5 4958 7752 19497.8 4992 14280 19638.14891 5032 19221.4 4925 6138 19361.7 4959 7800 19501.9 4993 4994 19642.34892 8568 19225.5 4926 9864 19365.8 4960 12096 19506.1 4994 8208 19646.44893 7488 19229.7 4927 5320 19369.9 4961 5586 19510.2 4995 9120 19650.54894 7344 19233.8 4928 12192 19374.0 4962 9936 19514.3 4996 8750 19654.74895 6480 19237.9 4929 6912 19378.2 4963 5680 19518.5 4997 5280 19658.84896 14742 19242. 4930 9720 19382.3 4964 9324 19522.6 4998 12312 19662.94897 5040 19246.2 4931 4932 19386.4 4965 7968 19526.7 4999 5000 19667.04898 7680 19250.3 4932 12558 19390.5 4966 8064 19530.8 5000 11715 19671.24899 6912 19254.4 4933 4934 19394.7 4967 4968 19535.0 5001 6672 19675.34900 12369 19258.5 4934 7404 19398.8 4968 14400 19539.1 5002 7812 19679.44901 5490 19262.7 4935 9216 19402.9 4969 4970 19543.2 5003 5004 19683.64902 10560 19266.8 4936 9270 19407.0 4970 10368 19547.3 5004 12740 19687.74903 4904 19270.9 4937 4938 19411.2 4971 6632 19551.5 5005 8064 19691.84904 9210 19275.0 4938 9888 19415.3 4972 9576 19555.6 5006 7512 19695.94905 8580 19279.2 4939 5400 19419.4 4973 4974 19559.7 5007 6680 19700.14906 8064 19283.3 4940 11760 19423.5 4974 9960 19563.9 5008 9734 19704.24907 5616 19287.4 4941 7502 19427.7 4975 6200 19568.0 5009 5010 19708.34908 11480 19291.5 4942 8496 19431.8 4976 9672 19572.1 5010 12096 19712.54909 4910 19295.7 4943 4944 19435.9 4977 8320 19576.2 5011 5012 19716.64910 8856 19299.8 4944 12896 19440.1 4978 7920 19580.4 5012 10080 19720.74911 6552 19303.9 4945 6336 19444.2 4979 5376 19584.5 5013 7254 19724.84912 9548 19308.0 4946 7422 19448.3 4980 14112 19588.6 5014 7920 19729.04913 5220 19312.2 4947 7056 19452.4 4981 5292 19592.7 5015 6480 19733.14914 13440 19316.3 4948 8666 19456.6 4982 7776 19596.9 5016 14400 19737.2

92

n δ(n) f (n)5017 5220 19741.45018 8148 19745.55019 7680 19749.65020 10584 19753.75021 5022 19757.95022 11616 19762.05023 5024 19766.15024 9954 19770.35025 8432 19774.45026 8640 19778.55027 5496 19782.65028 11760 19786.85029 5184 19790.95030 9072 19795.05031 8008 19799.25032 10260 19803.35033 5760 19807.45034 10080 19811.55035 6480 19815.75036 8820 19819.85037 7104 19823.95038 8280 19828.15039 5040 19832.25040 19344 19836.3

A pesar de ser una tabla extensa es agradable tener algo finito cuando se trabaja con problemasde este tipo.No es de extrañar que la tabla termine en el número 5040, el cual además de ser altamentecompuesto superior, es un número que ha tenido relevancia histórica. Platón lo considerabacomo la cantidad ideal de habitantes que deberían vivir en una ciudad, ya que salvo el numero11, el 5040 puede ser dividido por todos los números de 1 hasta 12, permitiendo una particiónhomogénea de la ciudad. 62

62Puede consultarse en las leyes de Platón, libro v

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REFERENCIAS

[1] AHLFORS, L. Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One CanIntroduction to the Theory of Analy. McGraw Hill Book Co, Nueva York, 1979.

[2] APOSTOL, T. M. Introduction to Analytic Number Theory. Springer, Pasadena California,1998.

[3] CRAMÉR, H. On the order of magnitude of the difference between consecutive prime num-bers. Acta Arithmetica 2, 1 (1936), 23–46.

[4] EDWARDS, H. M. Riemann’s Zeta Function. Dover Publications Inc., New York, 2003.

[5] EUCLIDES. Libros V-IX. Editorial Gredos, Madrid España, 1994.

[6] FRIEDLANDER, J., AND IWANIEC, H. Using a parity-sensitive sieve to count prime valuesof a polynomial. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America,New Jersey 94 (Feb. 1997), 1054–1058.

[7] HARAN, B. Astounding: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12,https://www.youtube.com/watch?v=w-i6xtvzxww&t=51s, 2014.

[8] HARDY, G. H. Divergent Series. Oxford University Press, Oxford Reino Unido, 1949.

[9] HARDY, G. H., AND WRIGHT, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. OxfordUniversity Press, Oxford Reino Unido, 2008.

[10] HELFGOTT, H. A. The ternary goldbach conjecture is true, paris france, 2014.

[11] JING RUN, C. On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and theproduct of at most two primes. The Goldbach Conjecture 4 (2002), 275.

[12] KOSHY, T. Elementary Number Theory with Applications. Academic Press, San Diego Califor-nia, 2007.

[13] LAGARIAS, J. C. An elementary problem equivalent to the riemann hypothesis. The Ame-rican Mathematical Monthly (Texas, 2002).

[14] LANG, S. Complex Analysis. Springer, New York, 2010.

[15] LEON, C. A. M. Una demostración del teorema del número primo. Trabajo de Grado, 2015.Universidad Distrital Francisco Jose de CAldas.

[16] MUNOZ, J. M. S. Riemann y los números primos. Pensamiento Matemático, 1 (10 2011), 1–33.

94

[17] POLCHINSKI, J. String Theory. Cambridge University Press, Cambridge Reino Unido, 1998.

[18] RIBENBOIM, P. The New Book of Prime Number Records. Springer, New York, 1996.

[19] ROBIN, G. Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothese de riemann.J. Math. pures appl 63, 1 (1984), 984.

[20] RUDIN, W. Principles of Mathematical Analysis (International Series in Pure and Applied Mathe-matics) (International Series in Pure & Applied Mathematics). McGraw-Hill Education, NuevaYork, 1976.

[21] SILVERMAN, L. L. On the definition of the sum of a divergent series, vol. 1. University ofMissouri, 1913.

[22] STEWART, J. Multivariable Calculus. Brooks Cole, Boston Massachusetts, 1999.

[23] VELASCO, P. P. P. La hipótesis de Riemann. DEA, Departamento de Matemáticas de la UAM(2003).

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