Acercamiento al concepto de completez de los números reales.

Acercamiento al concepto de completez de los números reales.

Ingeniero Diego Aguilón Valenciano

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería y Administración

Palmira, Colombia

2013

Acercamiento al concepto de completez de los números reales.

Ingeniero Diego Aguilón Valenciano

Tesis de grado para optar al título de:

Magister en la Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Director:

Ingeniero Mecánico Raúl Díaz Pacheco M. Sc.

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería y Administración

Palmira, Colombia

2013

VI Acercamiento al concepto de completez de los números reales

(Dedicatoria o lema)

“La didáctica moderna no concibe ya la clase

como una sala de conferencias sino como un taller

de trabajo: ya la palabra maestro se va pareciendo

cada vez más a la de maestro de taller y cada vez

menos a la de conferenciante”.

Adam Puig.

Agradecimientos

A mi esposa Elizabeth y a mi hija Isabella por su apoyo y comprensión, porque a pesar

del tiempo que les robé, siempre estuvieron allí.

A Raúl Díaz Pacheco, mi director de proyecto, quien con sus valiosos aportes, me orientó

para mejorarlo y enriquecerlo.

A mis hermanos, Omar, Ligia y Stella, quienes siempre me estimularon y colaboraron en

la construcción de los objetos físicos del proyecto.

A mi compañero del área de matemáticas Alejandro Asprilla, por sus valiosas

sugerencias con los aplicativos del proyecto.

Glosario

AXIOMA: Proposición que se considera evidente y por lo tanto se acepta sin necesidad

de demostración, y sirve de punto de partida para demostrar otras fórmulas. En los números reales algunos de los axiomas son las propiedades asociativa, conmutativa, distributiva, etc.

COMPLETEZ: La propiedad de Completez de los números reales (R) expresa que este conjunto numérico rellena por completo la recta numérica, que no deja vacíos en ella, es decir, que a cada punto de la recta le corresponde un número real. En términos de lenguaje matemático se dice que: Si A y B son subconjuntos no vacíos de R, es decir son dos intervalos de R, entonces se tiene que para dos números c y d, tales que c ≤ d para todo c ε A, y para todo d ε B, existe al menos un número real α tal que: c ≤ α ≤ d.

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales, que los definen claramente, porque obedecen a ciertas propiedades tales como: estar dotado de operadores, admitir relación de orden, admitir relación de equivalencia, ser representables mediante diagramas (Hasse, Euler y Venn) y se construyen desde una estructura más simple hasta una más compleja (naturales, enteros, reales y complejos)

CONSTRUCTIVISMO: Es una teoría del aprendizaje que destaca la importancia de la acción, es decir, del proceder activo en el proceso de aprendizaje y para que se produzca éste, el conocimiento debe ser construido o reconstruido por el propio sujeto que aprende a través de la acción

GEOGEBRA: software empleado para la enseñanza del Algebra y la Geometría, en donde, de una manera dinámica se pueden modificar figuras y expresiones algebraicas.

GEOMETRÍA DINÁMICA: son una serie de programas informáticos que permiten a los usuarios, después de haber hecho una construcción, mover ciertos elementos arrastrándolos libremente y observar cómo otros elementos responden dinámicamente al alterar las condiciones bajo las cuales se construyeron inicialmente. Por otra parte es indudable que el alumno desde niño presta especial atención a los motivos dinámicos, lo cual es lógico teniendo en cuenta que la experiencia sensomotora se vincula al dibujo y al movimiento. Se trata pues de aprovechar este atractivo que nos ofrecen las nuevas tecnologías para ensenar un sinfín de contenidos geométricos. NÚMEROS REALES (R): Es un conjunto denso de números ordenados, que no deja

espacios entre ellos, y que se pueden representar en la recta numérica. Los números reales contienen tanto a los números naturales como a los enteros y son la suma de los números racionales e irracionales, siendo los racionales todos aquellos números que se pueden expresar bajo la forma a/b, con b diferente a cero, cuya escritura decimal es un número decimal finito o periódico, mientras que la escritura decimal de los irracionales es infinita no periódica, los cuales no se pueden expresar de la forma a/b.

X Acercamiento al concepto de completez de los números reales

OBJETOS DE APRENDIZAJE: el Ministerio de Educación Nacional, con el apoyo de expertos de varias Instituciones de Educación Superior ha acordado la siguiente definición, dentro de la cual se enmarcan las iniciativas del Ministerio en el tema: es un conjunto de recursos digitales, autocontenible y reutilizable, con un propósito educativo y constituido por al menos tres componentes internos: Contenidos, actividades de aprendizaje y elementos de contextualización. El objeto de aprendizaje debe tener una estructura de información externa (metadatos) que facilite su almacenamiento, identificación y recuperación.

PENSAMIENTOS MATEMÁTICOS: en los Lineamientos Curriculares propuestos por el Ministerio de Educación Nacional, se concreta de manera específica que toda actividad matemática en el aula debe estar relacionada con los cinco pensamientos matemáticos para que los alumnos sean verdaderamente competentes. Estos pensamientos son: el numérico, que plantea que estas actividades deben estar centradas en la comprensión del uso y de los significados de los números y de la numeración. El métrico, que se refiere a la comprensión general que tiene una persona sobre las magnitudes y las cantidades, su medición y el uso flexible de los sistemas métricos o de medidas en diferentes situaciones. El espacial, entendido como el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o representaciones materiales. El aleatorio que ayuda a tomar decisiones en situaciones de incertidumbre, de azar, de riesgo o de ambigüedad, por falta de información confiable, en las que no es posible predecir con seguridad lo que va a pasar. El variacional, que como su nombre lo indica tiene que ver con el

reconocimiento, la percepción, la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos.

SECUENCIA DIDÁCTICA: es la estructuración sistemática del trabajo en el aula de una serie ordenada de actividades relacionadas entre sí, para enseñar un conjunto determinado de contenidos.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: es un proceso mental que supone la conclusión de un proceso más amplio que tiene como pasos previos la identificación del problema y su modelado y es considerada en la actualidad la parte más esencial de la educación matemática. Mediante la resolución de problemas los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de las Matemáticas en el mundo que los rodea.

Resumen y Abstract XI

Resumen

Este proyecto de aula, nace de una inquietud, respecto al vacío de conocimiento que tienen los estudiantes en general de los números reales y de todas las posibilidades matemáticas que ellos generan en la resolución de problemas, y se enmarca dentro de un objetivo fundamental como es el de acercar a los estudiantes de grado octavo de básica secundaria al concepto de completez de los números reales, presentando una metodología basada en objetos de aprendizaje en donde se incluye una sala de juegos y aplicativos en GeoGebra como alternativas didácticas y pedagógicas para la comprensión de los números reales, buscando con ello que no solo los estudiantes se apropien de un concepto en particular, sino que también los docentes miren desde una perspectiva diferente su quehacer en el aula desarrollando allí el triángulo de la enseñanza: docentes – saberes – estudiantes, y entonces construir conocimiento a partir de nuevas estrategias. El resultado de las actividades propuestas generó además de una mejor comprensión del tema de estudio, una mejor actitud por parte de los estudiantes porque lo encontraron novedoso, atractivo e interesante. Palabras clave: Completez, Números reales, Conjuntos numéricos, Objetos de Aprendizaje, Resolución de Problemas, GeoGebra.

Abstract

This class Project is born about a worry, by an empty of knowledge that the Students have with the relation to real Numbers and all math possibilities they give with the resolution of the problems, and the main objective is framed to near to the Students to the eighth grade with the concept of completez of the real Numbers presenting a methodology based in learning objects where there is a games room and aplicatives in GeoGebra like didactics and pedagogies alternatives to the comprehension of the real Numbers, looking with this the Students do their the concept and also the teachers look since a different perspective their labor in the class developing here the triangle of the teaching: teachers- knowledge- Students, and so make a knowledge since new strategies. The result of the propose activities produce a Better comprehension of the study topic, a better actitude of the students because they found it newness, attractive and interesting.

Keywords: Completez, Real Numbers, Numeral sets, Learning objects, Resolution of

problems, GeoGebra.

Contenido XII

Contenido

Pág.

Resumen ..............................................................................................................................XI

Lista de figuras ................................................................................................................ XIV

Lista de tablas .................................................................................................................. XVI

Introducción ......................................................................................................................... 1

1. Sobre el problema de estudio ..................................................................................... 4 1.1 Formulación del problema……………………………………………………………. .. 4 1.2 Justificación del proyecto…………………………………………………………….. 11 1.3 Objetivos……………………………………………………………………………….. 13

1.3.1 Objetivo general ........................................................................................... 13 1.3.2 Objetivos específicos ................................................................................... 13

2. Marco referencial ........................................................................................................ 15 2.1 Marco conceptual .............................................................................................. 15

2.1.1 Conjuntos numéricos ................................................................................... 15 2.1.2 Números reales ............................................................................................ 22 2.1.3 Objetos de aprendizaje ................................................................................ 27 2.1.4 GeoGebra y ambientes de geometría dinámica ......................................... 29

2.2 Marco teórico ..................................................................................................... 34 2.2.1 Didáctica de las matemáticas ...................................................................... 34 2.2.2 Actitud de cambio......................................................................................... 37 2.2.3 Las matemáticas y la resolución de problemas .......................................... 38 2.2.4 El diseño industrial ....................................................................................... 39

3. Diseño metodológico ................................................................................................. 41

3.1 Diseño de los objetos de aprendizaje y de las actividades de aula ................. 41 3.1.1 Diseño de los objetos físicos y virtuales ...................................................... 41 3.1.2 Intervenciones de aula ................................................................................. 42

3.2 Aplicación y validación ...................................................................................... 43 3.2.1 Protocolo de comprobación ......................................................................... 44 3.2.2 Resultados de la validación ......................................................................... 52

4. Análisis de resultados ............................................................................................... 55

4.1 Inicio de la actividad y sala de juegos .............................................................. 56 4.2 Primer nivel ....................................................................................................... 58

4.2.1 Objetivos ...................................................................................................... 58 4.2.2 Conocimientos previos ................................................................................. 58

Contenido XIII

4.2.3 Pensamientos incluidos ............................................................................... 58 4.2.4 Primera fase ................................................................................................. 58 4.2.5 Fase dos ....................................................................................................... 60

4.3 Sala de juegos nivel dos ................................................................................... 62 4.3.1 Objetivos ...................................................................................................... 64 4.3.2 Conocimientos previos ................................................................................. 64 4.3.3 Pensamientos incluidos ............................................................................... 64 4.3.4 Análisis de resultados .................................................................................. 64

4.4 Sala de juegos nivel tres ................................................................................... 65 4.4.1 Objetivos ...................................................................................................... 65 4.4.2 Conocimientos previos ................................................................................. 65 4.4.3 Pensamientos incluidos ............................................................................... 66

4.5 Nivel cuatro ....................................................................................................... 68 4.5.1 Objetivos ...................................................................................................... 68 4.5.2 Conocimientos previos ................................................................................ 68 4.5.3 Pensamientos incluidos .............................................................................. 68

4.6 Secuencia didáctica virtual con GeoGebra ...................................................... 70 4.6.1 Primer aplicativo ........................................................................................... 72 4.6.2 Segundo aplicativo ...................................................................................... 76 4.6.3 Tercer aplicativo .......................................................................................... 80

4.7 La recta numérica.............................................................................................. 84 4.7.1 Objetivos ...................................................................................................... 84 4.7.2 Conocimientos previos ................................................................................. 82 4.7.3 Pensamientos incluidos ............................................................................... 84 4.7.4 Secuencia zoom-numérica .......................................................................... 85 4.7.5 Análisis de resultados de la recta numérica ................................................ 85

4.8 Comparativos antes y después de ejecutar el proyecto ................................... 85

5. Conclusiones y recomendaciones ........................................................................... 91

A. Anexo: Respuestas cálculo indicador propuesto .................................................. 95

B. Anexo: Respuestas nivel 1, fase 1 ........................................................................... 96

C. Anexo: Respuestas nivel 1, fase 2 ........................................................................... 97

D. Anexo: Respuestas nivel 2 ........................................................................................ 98

E. Anexo: Respuestas nivel 3 ........................................................................................ 99

F. Anexo: Respuestas nivel 4 ...................................................................................... 100

G. Anexo: Respuestas primer aplicativo en GeoGebra ........................................... 101

H. Anexo: Respuestas segundo aplicativo en GeoGebra ........................................ 102

I. Anexo: Respuestas tercer aplicativoGebra .......................................................... 103

Bibliografía ...................................................................................................................... 105

XIV Acercamiento al concepto de completez de los números reales

Lista de figuras

Pág. Figura 1: Cuestionario diagnóstico. ............................................................................ 6

Figura 2: Descriptivas de las notas de segundo periodo. ........................................ 9

Figura 3: Diagrama de hojas y tallos notas segundo periodo. .................................. 9

Figura 4: Diagramas de cajas y alambres notas segundo periodo. .......................... 9

Figura 5: Sistema de numeración egipcio. ............................................................... 16

Figura 6: Tablilla babilónica. ..................................................................................... 16

Figura 7: Tablilla babilónica. ..................................................................................... 16

Figura 8: Números babilónicos. ................................................................................ 17

Figura 9: Números babilónicos de diez en diez. ...................................................... 17

Figura 10: Teorema de Pitágoras. .............................................................................. 18

Figura 11: La cuadratura del círculo. ......................................................................... 19

Figura 12: La duplicación del cubo............................................................................. 20

Figura 13: Los conjuntos numéricos. ......................................................................... 22

Figura 14: El ábaco abierto y los bloques ensamblables. ......................................... 27

Figura 15: Ventana de comandos de GeoGebra. ...................................................... 31

Figura 16: Barra de herramientas. ............................................................................. 32

Figura 17: Línea de comandos. .................................................................................. 32

Figura 18: Botón de entrada. ...................................................................................... 32

Figura 19: Botón “desplazar”. ..................................................................................... 33

Figura 20: Juegos matemáticos referentes. ............................................................... 42

Figura 21: Diseños iniciales sala de juegos. .............................................................. 42

Figura 22: Fotos I.E. Gabriel García Márquez. .......................................................... 44

Figura 23: Nivel de entendimiento y satisfacción de la prueba. ................................ 49

Figura 24: Observaciones y conclusiones de los estudiantes. .................................. 50

Figura 25: Observaciones y conclusiones de los realizadores de la prueba. ........... 51

Figura 26: Objetos físicos del proyecto ...................................................................... 53

Figura 27: Las fracciones. .......................................................................................... 58

Figura 28: Respuestas instructivode trabajo 1 Nivel 1 Fase 1. ................................. 59

Figura 29: Comparativo niveles de conocimiento de los números racionales. ......... 60

Figura 30: Instructivo dos. .......................................................................................... 61

Figura 31: La ruleta mayor. ........................................................................................ 62

Figura 32: Instructivo de trabajo tres. ......................................................................... 63

Figura 33: Tarjeta de respuestas y explicaciones nivel dos ...................................... 63

Contenido XV

Figura 34: Concéntrese Real. .................................................................................... 66

Figura 35: Instructivo de trabajo cuatro. ..................................................................... 66

Figura 36: Nuevo Concéntrese Real. ......................................................................... 67

Figura 37: Crucigrama matemático. ........................................................................... 68

Figura 38: Instructivo crucigrama matemático. .......................................................... 69

Figura 39: Formato registro de aplicativos en GeoGebra. ........................................ 71

Figura 40: Sala de sistemas I.E. Gabriel García Márquez. ....................................... 72

Figura 41: Primer aplicativo en GeoGebra................................................................. 73

Figura 42: Hoja de respuestas primer aplicativo en GeoGebra. ............................... 74

Figura 43: Segundo aplicativo en Geogebra. ............................................................ 77

Figura 44: Hoja de respuestas segundo aplicativo en GeoGebra. ............................ 78

Figura 45: Tercer aplicativo en GeoGebra. ................................................................ 81

Figura 46: Respuestas tercer aplicativo en GeoGebra.............................................. 82

Figura 47: La Zoom Recta Numérica. ........................................................................ 84

Figura 48: Aciertos pregunta 1 prueba diagnóstica inicial. ........................................ 86



Figura 51: Comparativo respuestas acertadas antes y después del proyecto. ........ 88

Contenido XVI

Lista de tablas

Pág. Tabla 1: Registero de notas segundo periodo grado octavo. ...................................... 8

Tabla 2: Estado del arte en Colombia aplicada a los reales. ..................................... 40

Tabla 3: Lugar y fechas de las pruebas. .................................................................... 44

Tabla 4: Condiciones y recursos de las pruebas. ...................................................... 46

Tabla 5: Cuestionario para calcular el indicador de la prueba. .................................. 48

Tabla 6: Desarrollo de la secuencia didáctica. ........................................................... 52

Tabla 7: Respuestas cuestionario base de cálculo del indicador de la prueba. ........ 57

Tabla 8: Resultados reconocimiento características de los números racionales . .... 59

Tabla 9: Consolidados respuestas fase dos. ............................................................. 62

Tabla 10: Resultados nivel dos. .................................................................................... 64

Tabla 11: Resultados nivel tres. ................................................................................... 67

Tabla 12: Aciertos crucigrama matemático. ................................................................. 69

Tabla 13: Valoración de los resultados primer aplicativo. ............................................ 75

Tabla 14: Propuestas actividades matemáticas primer aplicativo. .............................. 76

Tabla 15: Valoración resultados segundo aplicativo. ................................................... 79

Tabla 16: Propuestas actividades matemáticas segundo aplicativo. .......................... 80

Tabla 17: Valoración resultados tercer aplicativo......................................................... 83

Tabla 18: Propuestas actividades tercer aplicativo. ..................................................... 83

Tabla 19: Comparativo antes y después de aplicar el proyecto. ................................. 88

Tabla 20: Resumen secuencia didáctica. ..................................................................... 89

Introducción

Llegar a ser matemáticamente competente, está vinculado al desarrollo de la comprensión del contenido matemático, porque cuando se comprenden las nociones y procedimientos matemáticos, se pueden utilizar de manera flexible, adaptándolas a nuevas situaciones, lo que permite establecer relaciones entre ellos para utilizarlos en el estudio de un nuevo contenido matemático. Así aprender está vinculado a saber cuál es el significado y cómo funcionan los procedimientos, cómo se relacionan unos con otros, porqué funcionan de la manera como lo hacen. Y si se tiene en cuenta que la educación se convierte en un medio básico para el progreso de nuestros estudiantes, se crea entonces la necesidad de darle significado a nuestra labor como docentes reflexionando sobre nuestras actividades en el aula, reconociendo si éstas realmente están siendo orientadas para que los estudiantes lo descubran y lo apropien.

Es en esta dirección que debe apuntar el educar, para generar un nuevo humanismo, entendido como todo esfuerzo de los educadores, que en su rol protagónico deben realizar, mostrando un camino en donde autónomamente, los estudiantes no sólo alcancen un desarrollo cognitivo sino también un desarrollo como personas de bien, mediante actividades críticas y aplicativas, que potencialicen la construcción del conocimiento.

Esto necesita el trabajo en dos frentes: primero el conocimiento de las características individuales de los estudiantes como son, su mismo desarrollo cognitivo, intereses, conocimientos previos, y segundo el análisis, evaluación y aplicación de diferentes estrategias que les permita un mejoramiento integral, en el cumplimiento de nuestra misión como docentes, es decir, todo un trabajo desde la didáctica de las matemáticas, que como ciencia estudia las actividades que tienen por objeto la enseñanza , en lo que ellas tienen de específico de la matemática, sobre todo los fenómenos que genera la comunicación del saber, incluyendo la producción o el mejoramiento de los instrumentos de enseñanza.

Particularmente este proyecto permitió que los estudiantes realizaran una actividad matemática a través de una sala de juegos, que incluye la recta numérica, pero no desde la práctica como se está abordando en el aula, con una regla, que por más grande que sea, difícilmente se puede observar que para cada número existe un punto en ella, sino con una recta construida como un zoom, que si lo permite, junto a algunos aplicativos utilizando el programa Geogebra, que los llevó a imaginar o intuir una propiedad que no cumplen los números racionales, construyendo la noción de número irracional y así completar el conjunto de los números reales, reconociendo la propiedad de completez, que garantiza el continuo numérico, como también de alguna manera conocer y diferenciar los naturales, los cardinales y los enteros como conjuntos numéricos que hacen parte de los reales.

2 Introducción

Los estudiantes que se afectaron en esta re-significación, fueron de grado octavo de básica secundaria, de la Institución Educativa Gabriel García Márquez de la ciudad de Santiago de Cali, institución de carácter público, partiendo de sus conocimientos previos en el manejo de la división y multiplicación con números fraccionarios, además de la radicación, como operaciones necesarias para lograr el objetivo principal, que es el reconocimiento de la completez de los números reales y la diferenciación entre un número racional y uno irracional, conceptos que los estudiantes no manejan adecuadamente pues en sus respuestas se percibe que para ellos no es claro el continuo numérico y el número irracional lo ven como una aproximación al número racional. Bajo esta percepción de los números reales por parte de los estudiantes, nacen o se plantean las siguientes cuestiones: ¿estamos los docentes modelando situaciones de aula que realmente logran mostrar de una mejor manera el conocimiento objeto de enseñanza? o ¿será que existe una forma diferente de ayudar a construir conocimiento a nuestros estudiantes?

Es por eso, que dando respuesta a estas inquietudes, se planteó el proyecto, con un enfoque ‹‹socio-constructivista››, para que sea el estudiante, con la orientación del docente, quien tome conciencia y actúe, desde su propia experiencia, sobre situaciones matemáticas, para construir conocimiento, objeto del proceso enseñanza-aprendizaje. Aquí es donde el Diseño Industrial, se utiliza para crear objetos, que acompañen el proceso de enseñanza, direccionados a dar soluciones a las situaciones que se presentan a diario en el aula de clase, permitiendo presentarle a los estudiantes, con estos, el conocimiento de algún tema o concepto necesario para desarrollar las competencias planteadas en los lineamientos y estándares curriculares o que son de su interés.

Estas nuevas herramientas, como es el caso de la sala de juegos propuestas para dar solución a los problemas conceptuales de los números reales, permitieron experimentar una nueva relación entre los docentes y los estudiantes, saliéndose de los métodos tradicionales, única forma como los docentes de la institución presentan el conocimiento, tablero y fotocopias de ejercicios de algún libro, sin querer demeritarlos, sino por el contrario potencializarlos y complementarlos. El proyecto, entonces, utiliza los Objetos de Aprendizaje, como entidad digital y no digital, para fortalecerlo, porque todo objeto requiere imaginación, destreza y habilidad manual de las personas, lo que permite darle un uso adecuado de acuerdo a unos objetivos de aprendizaje, en donde los usuarios pueden interactuar con estos objetos, mejorando su atención y motivación, dado que se enfrentan con algo que pueden tocar y obtener información inmediata respecto a color, forma, textura, diseño, además de cumplir un propósito educativo en donde aparecen contenidos, actividades de aprendizaje, incluida la evaluación y elementos de contextualización, por lo que los Objetos de Aprendizaje son una herramienta poderosa que, utilizada adecuadamente, genera ambientes en el aula más favorables, permitiendo una buena comprensión de los contenidos, con lo que los estudiantes alcanzarán las competencias necesarias para desenvolverse en su cotidianidad educativa y social.

También es importante resaltar el impacto que tuvo la Maestría en el proyecto, no sólo desde el diseño de los objetos físicos, inmersos en el proyecto, sino también desde las reflexiones que se hicieron a lo largo de ella en cada una de las áreas vistas, gracias al trabajo de sensibilización realizada por los maestros que las orientaban, direccionadas para que se implementaran estrategias didácticas diferentes, buscando obtener

Introducción 3

resultados diferentes en el aula, pero resultados enfocados en mejoras sustantivas tanto en lo académico como en el ser, pues los estudiantes con los que re-significamos la propuesta hacen parte de una sociedad que requiere mejores individuos con la decisión de formarse integralmente.

Es de resaltar, que en la consulta de referencia bibliográfica para construir el marco conceptual de este trabajo, tanto en el teórico como en el estado del arte, en los principales repositorios del área, las aplicaciones que se encontraron, no estaban orientadas a la construcción analítica del conocimiento conceptual de los números reales por parte de los estudiantes, sino que lo abordaban desde el mismo concepto, construido algebraicamente, o a dar algunas aplicaciones de tipo práctico, es decir este proyecto es un inicio, es una propuesta, que plantea una nueva forma de mostrar la base conceptual de un tema en particular que sea objeto de estudio y que además establezca un nuevo tipo de relación y de motivación entre docentes y estudiantes. Por lo tanto el proyecto busca analizar el impacto y aceptación, en la escuela básica secundaria, de una nueva estrategia, apoyada en el diseño de objetos físicos, por parte de los actores del proceso enseñanza-aprendizaje, como son docentes, directivos docentes, alumnos y padres de familia y/o acudientes, además de generar trabajo colaborativo, toma de decisiones y liderazgo, condiciones necesarias para una formación integral de los niños y jóvenes, que les permita construir un futuro mejor, porque están preparados para satisfacer las necesidades que la sociedad y el mundo laboral les demandan. En consecuencia, el reto que representa este trabajo, como un inicio, que debe ser mejorado o tal vez cambiado, es intentar evolucionar, desarrollando e implementando nuevas estrategias, y así , crear un ambiente diferente en las actividades de aula, en la espera de obtener una mayor comprensión de las matemáticas y porqué no, adaptarla en otras áreas del conocimiento, ya que la mayoría de los objetos físicos diseñados en el proyecto tienen esa característica tan importante, de no ser exclusivos de las matemáticas, en la cual se trabajó con mucho interés.

1. Sobre el problema de estudio

En este capítulo se detallan los problemas que tienen los estudiantes en su contexto,

tanto el inmediato o de aula, como el escolar y el extraescolar, los cuales inciden en su

desempeño académico. También se muestran las razones que justifican el proyecto y los

objetivos que se tienen que cumplir.

1.1 Formulación del problema

Los estudiantes con los que se realizó este proyecto, son de octavo grado de la básica secundaria o media académica, de la Institución Educativa Gabriel García Márquez, del sector público en la ciudad de Cali, en donde se imparte una formación de tipo académico, con más de 4500 alumnos de estrato 1, que conviven la mayoría de las veces con uno solo de sus padres, quienes a su vez, escasamente han terminado la básica primaria, o en su defecto con los abuelos, los cuales en su mayoría no saben ni leer ni escribir, conformando por eso núcleos familiares donde la formación escolar no es el ejemplo a seguir. Además, se agrega que estas familias provienen de zonas de conflicto, con el carácter de desplazados, por lo que cambian continuamente de domicilio cortando todo proceso académico que lleven hasta el momento los niños y niñas matriculados en la Institución, a lo que se suma la ubicación del colegio en una zona de alto riesgo, por la existencia de pandillas en el sector, aumentando la deserción estudiantil y generando unas expectativas de vida de los educandos muy bajas, debido a que algunos de ellos están amenazados de muerte por estas pandillas.

Las situaciones de aula en nuestro quehacer como docentes muestran cómo los estudiantes de la institución no reconocen, ni la completez de los números reales, ni la diferencia entre número racional y número irracional, y en general de los conjuntos numéricos, tal como lo muestran las respuestas al cuestionario diagnóstico de la figura 1 (páginas 6 y 7), aplicada a estudiantes de noveno, décimo y once de la IE Gabriel García Márquez, en donde se hace evidente un gran vacío conceptual respecto al número, porque aunque el estudiante pueda dar la respuesta correcta, producto de resolver el algoritmo correspondiente, no sabe qué tan grande es ese número, dejando de manifiesto la necesidad de desarrollar otras actividades de aula que permitan al estudiante apropiarse de este tema, precisamente para llenar ese vacío.

Los resultados son alarmantes, donde casi el 100% de los estudiantes de noveno y décimo no reconocieron las características de ningún conjunto numérico, y solo el 32%, en grado once, los reconoció. Alguien puede argumentar que la falta de este conocimiento no es tan relevante, pero las respuestas a la segunda pregunta sí son dramáticas, porque prácticamente todos no reconocieron cuando un número decimal es mayor a otro, es un campanazo de alerta, porque ya desde séptimo grado los estudiantes deben tener apropiadas las características de los distintos conjuntos numéricos y

6 Acercamiento al concepto de completez de los números reales

diferenciar cuándo un número es más grande que otro; son saberes previos, de matemáticas, que el estudiante necesita para cursar octavo grado.

Es más, este antecedente hará que se originen dificultades cuando los estudiantes empiecen a trabajar el concepto de continuidad de una función, porque el paso por el tema de los números reales se ha venido haciendo sin profundizar lo suficiente, tal vez, por falta de un apoyo en algún tipo de herramienta virtual o de una presentación menos tradicional y más creativa, como es el caso de los objetos físicos, que permita reconocer a los números reales, como una respuesta a preguntas que quedan sin resolver en el aula de clase; produciendo que se desconozca toda su riqueza conceptual, tal como lo expresan los profesores de matemáticas de grado once y que continúan a nivel universitario, porque los resultados de los primeros parciales son bastante bajos.

Figura 1. Cuestionario diagnóstico.

Fuente: tomado de los resultados de la actividad el 19-4-2012

Sobre el problema de estudio 7

Figura 1 continuación cuestionario diagnóstico

Fuente: tomado de los resultados de la actividad del 19-4-2012

Estos resultados, cuestionan la forma en que estamos desarrollando, en la institución en la que se implementó el proyecto, nuestras actividades de aula, en donde se viene trabajando con el método tradicional, sin querer quitarle toda la validez que él representa, sino por la forma como se emplea, en donde el profesor es un simple transmisor de conocimientos, sin utilizar ninguna otra herramienta de apoyo diferente al tablero, con guías de trabajo que simplemente son una fotocopia de un listado de ejercicios propuestos en el texto guía utilizado por el docente. Esta reflexión, conduce necesariamente a repensar este método, para mejorarlo, desde la forma como se aplica hasta la necesidad de incorporarle nuevos elementos, obligando a presentar una propuesta didáctica, más enriquecida, como la que se propone en este proyecto, para aproximar a los estudiantes al conjunto numérico de los reales y el concepto de “Completez” de los mismos, que no es más que saber que éstos, no dejan espacio, rellenan por completo la recta numérica, es el continuo numérico, con el objetivo de alcanzar mejores resultados en comparación a los se dan actualmente en la institución.


La falta del conocimiento de la riqueza conceptual de los números reales hace que los estudiantes no puedan resolver problemas en donde los números involucrados sean números decimales, porque para ellos, esos números, prácticamente no existen, no los entienden, generando por lo tanto dificultades para el aprendizaje en general de las matemáticas, ejemplo de ello son las notas de segundo periodo (Tabla 1), que evalúan los números reales, donde el 44%, que corresponde a diecisiete alumnos de treinta y ocho, lo perdieron. Realizar sumas, restas y multiplicaciones es un problema, dividir los asusta, los confunde, porque para ellos el único conjunto numérico es el de los naturales, y en la vida real la mayoría de las situaciones de medir, da como resultado no precisamente un número natural sino un número real. Es necesario aclarar que la forma como se abordó el tema de los reales para esta evaluación fue la tradicional.

Tabla 1 Registro de notas segundo periodo Grado octavo.

Fuente: Área Matemáticas de la I.E. Gabriel García Márquez (2012)


Las figuras 2, 3 y 4 representan el análisis estadístico de las notas de los estudiantes de octavo utilizando el programa SPSS.

Figura 2 Descriptivas de las Notas de segundo período

Descriptives

DESCRIPTIVES VARIABLES= NOTAS REALES 8vo/STATISTICS=MEAN STDDEV MIN MAX KURTOSIS SKEWNESS

Descriptive Statistics

N Minimum Máximum Mean Std. Deviation Skewness Kurtosis

Statistic Statistic Statistic Statistic Statistic Statistic Std. Error Statistic Std. Error

Notas reales 8vo 37 2.00 4.10 2.9919 .58613 .228 .388 -1.220 .759

Valid N (listwise) 37

Fuente propia, elaborada con el software SPSS versión 20

Figura 3 Diagrama de Tallos y hojas Notas 2 P NOTAS REALES tem-and-Leaf Plot

Frequency Stem & Leaf

8 2. 02234444

11 2. 55556677889

8 3. 00123444

9 3. 556778899

1 4. 1

Stem width: 1, 00

Each leaf: 1 case(s)


Figura 4 Diagrama de cajas y alambres Notas 2P



De las figuras anteriores se puede observar que el promedio de notas llega a tres, con una desviación estándar de 0.6, es decir aproximadamente el 65% de las notas de los estudiantes osciló entre 2.4 y 3.6, cifras de desempeño muy bajas. El diagrama de tallos y hojas, muestra que la mayor concentración de datos (11) se encuentra entre 2.5 y 2.9, y el de cajas y alambres, presenta al 50% de las notas menos dispersas entre tres y dos que entre tres y cuatro con uno, debido a las mayores concentraciones de notas para los rangos por debajo de tres.

Otro antecedente que agrava el problema, es cuando los docentes en su afán de facilitar los cálculos no trabajan sino con números naturales o algunas veces números enteros, por ejemplo, cuando se trabaja con polinomios los números reales desaparecen. Hasta la misma situación histórica no favorece en nada el empleo de los números reales, porque el dinero que manejamos en la actualidad se compone de números naturales, no como anteriormente, en donde existían los centavos, que precisamente construían cantidades que representaban números reales.

Siempre el argumento de los profesores de la institución, referente al bajo nivel académico, recae sobre la falta de interés de los estudiantes por aprender, sin mirar que otras causas inciden en ello. Una de esas posibles causas es cuando los estudiantes no han apropiado un concepto, en este caso el de los números reales, haciendo que sientan dudas y temor a la hora de enfrentar problemas en donde los números involucrados sean los reales, entonces, no es mala actitud, no es indisciplina, no es el rendimiento académico, es el no entender qué son los números reales, ocasionado por una deficiente presentación, que sumado a la forma como se emplea el método tradicional en el aula, produce estos efectos en los estudiantes, generando situaciones donde al final el más perjudicado es el mismo estudiante, porque obtuvo una nota muy baja o generó situaciones que afectaron la disciplina en el aula.

Esta percepción, respecto a las concepciones de número real de los estudiantes, conduce a las siguientes cuestiones: ¿estamos los docentes modelando situaciones de aula que realmente logren transmitir de una mejor manera el conocimiento objeto de enseñanza? o ¿será que existe una forma diferente de ayudar a construir conocimiento a nuestros alumnos?, es decir, desde la perspectiva de la didáctica de las matemáticas, ¿estamos respondiendo al cómo se enseña, cómo se aprende, o realmente estamos planificando implementando, ejecutando y evaluando experiencias educativas en el aula de clase sustentadas en las teorías contemporáneas del aprendizaje?.

Estas preguntas, a su vez, llevan de forma natural a plantear el problema:

Descubrimiento, uso y aplicación en el aula de clase de situaciones matemáticas que creen las condiciones de posibilidad para que los estudiantes de grado octavo comprendan la necesidad de apropiar el axioma que garantiza la existencia del conjunto de números irracionales; y para que comprendan el concepto de número real como la unión de los racionales y los irracionales.


1.2 Justificación del proyecto

La importancia de este proyecto radica en que parte de los referentes propuestos por el Ministerio de Educación Nacional (MEN), cuyo objetivo es el de orientar al sistema educativo hacia una educación de calidad, lo que implica que toda actividad académica debe estar diseñada para cumplir con los Lineamientos Curriculares y Estándares Básicos de Competencias. Entonces, desde lo planteado por el MEN: “los estándares básicos de competencias se constituyen en una guía para: [...] la producción de textos escolares, materiales y demás apoyos educativos[...]1”, es que se diseñó cada una de las actividades de las que se compone la propuesta, teniendo el cuidado de mantener siempre la coherencia horizontal, sin dejar por fuera ninguno de los pensamientos matemáticos, es decir bajo una construcción articulada como lo expresa el mismo MEN cuando dice: “ los cinco tipos de pensamiento tienen elementos conceptuales comunes que permiten el diseño de situaciones de aprendizaje que los integren2”.

Entonces, siendo éste un proyecto actualizado en cuanto a las orientaciones y directrices establecidas por el MEN, enfocadas en lograr que los estudiantes desarrollen las competencias matemáticas necesarias que les permita poder relacionar y organizar los conocimientos matemáticos construidos en la aplicación del mismo, en función de un desempeño eficaz y con sentido; para facilitarles el resolver situaciones o problemas, donde los números reales son su respuesta, se constituye por lo tanto en una propuesta que puede ser aplicada por los docentes para aproximar a sus estudiantes a este conjunto numérico y su concepto de completez, mejorando con esto su comprensión de las matemáticas, porque reconocen toda la riqueza conceptual que encierra el conjunto de los números reales y con ello facilitarles el aprendizaje de las matemáticas en general, porque es en este conjunto de números donde se encuentran las respuestas a cualquier situación de medir, contar y ordenar, la esencia de las matemáticas, tal como lo expresa Recalde: “la constitución objetiva del conjunto de los números reales sintetiza el desarrollo histórico de las actividades de medir, contar y ordenar”3, para hacerlos matemáticamente competentes.

De allí la importancia de este proyecto, que no es más que minimizar los efectos que produce el haber trabajado los números reales tal cual se ha venido trabajado en el aula y llenar ese vacío conceptual para construir pensamiento matemático en el contexto escolar, lo que redundará en beneficio de los estudiantes porque ampliará sus posibilidades ante nuevas perspectivas de aplicación en diversas disciplinas del conocimiento.

Los estudiantes podrán entonces llegar a los siguientes grados escolares preparados para conceptualizar, el límite, la continuidad, la derivada como tasa de cambio y la integral definida como límite de una suma; llegarán al corazón de las matemáticas.

Por lo tanto, el proyecto que se mantiene alineado a las propuestas del MEN, quien expresa claramente la finalidad del proceso educativo como: “el desarrollo de un

1 MEN, Colombia. Estándares Básicos de Competencias en Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y

Ciudadanas. Bogotá: Imprenta Nacional de Colombia. 2006, primera edición. p. 11. 2 Ibíd., p.69.

3 RECALDE, Luis Cornelio y ARBELÁEZ, Gabriela Inés. Los Números Reales como objeto

matemático. Cali: Universidad del Valle. 2011, primera edición. p. 39.


conjunto de competencias cuya complejidad y especialización crecen en la medida en que se alcanzan mayores niveles de educación. [ ]….competencias, que a través de los estándares son evaluadas para conocer los niveles que de ellas han alcanzado los y las estudiantes en el transcurrir de su vida escolar”4, satisface las necesidades básicas que todo educando requiere para desempeñarse efectivamente dentro y fuera de la escuela, es decir, haciéndolo competente, entendiendo las competencias “como ese conjunto de habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socio afectivas y psicomotoras apropiadamente relacionadas entre sí para facilitar el desempeño flexible, eficaz y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores”5. Aquí es importante aclarar que un estándar no es un objetivo, una meta o un propósito. Una vez definido o fijado un estándar, proponerse alcanzarlo o superarlo si se convierte en un objetivo, una meta o un propósito, pero el estándar en sí mismo no lo es. Un estándar tampoco es un logro. Una vez fijado un estándar haberlo alcanzado o superado si es un logro.

Los intereses personales se funden en este proyecto con la relevancia social que tiene, primero porque el sólo hecho de presentar actividades de la forma tradicional, siguiendo lo que dicen los textos, alejadas de los estándares básicos de competencias, no permiten que los estudiantes alcancen las competencias necesarias para llegar a un nivel de calidad a su paso por el sistema educativo porque no han alcanzado de manera comprensiva los conocimientos y peor aún no podrán desempeñarse con ellos en el mundo de la vida real.

Y segundo, porque una buena conceptualización de los números reales, hace que la toma de decisiones en situaciones de interpretación de la posición del número real, como respuesta a un problema, sea más asertiva. Y en tercer lugar poder cumplir con la labor social que todo maestro realiza, en la búsqueda permanente de mostrarle a los estudiantes de una manera sencilla pero amena, sin aburrirlos, conocimientos pertinentes, porque reconocen en ellos la posibilidad de poder aplicarlos en situaciones concretas y en cualquier contexto.

El mismo proyecto dio la posibilidad de poder integrarlo con otras áreas del conocimiento como el diseño industrial y el arte, las cuales son necesarias a la hora de presentar un tipo de proyectos como éste a la comunidad educativa en general, especialmente a los docentes ya que de ellos depende en una buena medida, los alcances a los que cualquier actividad pedagógica pretende llegar. Es un llamado de atención, las herramientas están allí, es viable, sólo basta un cambio de actitud, mirar más allá de nuestra propia competencia como docentes de matemáticas, pues es necesario que integremos nuevas competencias a nuestro quehacer, para realizar actividades didácticas que logren una mayor aprehensión de los conocimientos.

Entonces, se podrá dormir con absoluta tranquilidad, porque se sabe que existe un número que representa cualquier situación de medida en la vida real, tales como longitudes, superficies, volúmenes, pesos, capacidades, velocidades, etc., porque saber con precisión cuál es el valor de referencia a tener en cuenta para muchas situaciones tales como: la profundidad hasta la que puede sumergirse una persona en el agua sin


Ciudadanas. Bogotá: Imprenta Nacional de Colombia. 2006, primera edición. p. 12. 5 Ibíd. p. 49


que su cuerpo sufra una consecuencia perjudicial para ella, el ángulo con el que debe entrar una nave espacial a nuestra atmósfera para que no se incinere, saber que si recibo un dinero producto de una multiplicación de un número por otro con varias cifras decimales, diferentes a cero, será mayor el dinero que se reciba entre más cifras decimales tenga precisamente este número (ocurre cuando por abreviar, se recortan las cifras decimales), saber cuál es la dosis permitida de un medicamento para que el paciente no sufra efectos secundarios nocivos, que especificaciones debe tener un puente para que no se caiga y produzca accidentes fatales o con que precisión debe operar un médico para no dañar el ojo de una persona a la que le está corrigiendo un problema visual, de verdad es un descanso.

Situaciones estas que le dan sentido a las matemáticas, porque incorpora nuevas finalidades sociales a los propósitos de la formación matemática, incluso los valores democráticos, a la hora de tomar decisiones que requieran justificaciones razonables de orden numérico, por lo que se garantiza entonces, la contribución de la matemática a los fines de la educación.

1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivo general

Desarrollar una propuesta didáctica que permita la construcción analítica de los números

reales, en estudiantes de grado octavo de la Institución Educativa Gabriel García

Márquez del Municipio de Cali.

1.3.2 Objetivos específicos

Analizar, diseñar e implementar una secuencia didáctica a través de una sala de juegos para acercar a los estudiantes a la diferenciación de conjuntos numéricos y en particular, el de los números reales.

Utilizar la resolución de problemas, en donde los estudiantes se apropien de la

importancia que tiene el conjunto numérico de los números reales, los que dan la respuesta a todas aquellas situaciones de contar, medir y ordenar.

Analizar, diseñar e implementar, una secuencia didáctica a través de una

herramienta informática como Geogebra, que permita el acercamiento al concepto de completez.

2. Marco referencial

Para la construcción de este proyecto resultó importantísimo darle una mirada tanto a los referentes conceptuales como a los teóricos para darle validez, partiendo de la observación de la situación actual de los estudiantes de grado octavo de básica secundaria de la I.E. Gabriel García Márquez de Cali y de los antecedentes teóricos e históricos referentes a los números reales y a la didáctica de las matemáticas, necesaria para su comprensión

2.1 Marco Conceptual

El cual permitió definir el problema desde la ideología, necesidad, experiencia y conceptos obtenidos a partir de la observación sistemática de los fenómenos estudiados, para sustentar empíricamente el problema.

2.1.1 Conjuntos numéricos.

Son conjuntos de números, y en su forma más genérica se refiere a los grandes conjuntos de números como son los naturales, enteros, fraccionarios, racionales, irracionales, reales, imaginarios y complejos, que guardan una serie de propiedades estructurales, por ejemplo, en el conjunto de los números naturales, se cumplen la suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo, propiedades que le dan validez a este conjunto numérico

Para llegar a ellos se debe hacer algo de historia, pues las matemáticas como lo expresa Ian Stewart (2012), se lograron gracias al esfuerzo de muchas personas de diferentes culturas y a pesar de que en la actualidad el concepto de número nos es familiar, éste fue elaborado muy lentamente a través de los tiempos, ya que la matemática surge desde la aparición del hombre como sujeto pensante, es decir, desde la evolución de su esquema mental, e inicialmente se practicaba por los hombres primitivos dada su necesidad de alimentación, recolección o caza, sea para contabilizar o hacer diferencias en la repartición, haciendo que la matemática entrara a jugar un papel importante en su vida cotidiana.

El Antiguo Egipto es la mayor civilización tecnológica de la antigüedad, el triunfo de la eficiencia y la inteligencia. Tenían unos conocimientos matemáticos considerablemente avanzados. Sin llegar a la madurez que más adelante tendrían los griegos, los egipcios supieron solucionar los problemas que se les planteaban: tras la inundación anual del Nilo, los linderos desaparecían y tenían que volverlos a marcar, las construcciones (pirámides, templos,...), el comercio, los repartos, etc.

Sus cálculos no eran abstractos, buscaban lo más práctico aunque no tuvieran la resolución y la reflexión teórica que después alcanzarían los griegos. Pero, sin embargo, fueron precursores. Los más importantes matemáticos griegos viajaron por Egipto y


Babilonia aprendiendo de estos pueblos. Conocieron los números naturales y los racionales positivos de numerador 1, su aproximación al valor de π =3'16 fue la más acertada en la antigüedad. Resolvían ecuaciones de segundo grado y raíces cuadradas para aplicarlas a los problemas de áreas.

El sistema de numeración egipcio, era un sistema decimal (de base 10) por yuxtaposición, sus números se escribían de la siguiente manera (figura 5):

Figura 5. Sistema de numeración Egipcio

Fuentehttp://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/egipto/egipt.htm.Recuperado10-3-2013

En el siglo XXII a. de C los babilonios tuvieron que desarrollar un sistema de numeración útil para poder realizar importantes negocios de mercado, de pesas y de medidas, como también el calendario, e incluso el círculo dividido en 3600, sistema en base a 60 a diferencia del actual en base 10. Por ejemplo en pesas partían del grano (aproximadamente 45 miligramos) y de allí al siclo6 que poseía 180 granos (aproximadamente 8 gramos), para llegar al talento (aproximadamente 30 kilogramos).

Toda esta información se tiene gracias a que se encontraron miles de tablillas (figuras 6 y 7), en donde particularmente se encontró que ellas eran herramientas educativas en las escuelas babilónicas, tales como tablas de multiplicar, tablas de inversos, cuadrados, cubos, ternas pitagóricas, geometría, etc.

Figura 6 Tablilla babilónica Figura 7 Tablilla babilónica

Fuente http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/html/babiegipto.html. Recuperado 10-3-2013

Su sistema numérico tiene sólo dos elementos básicos, el primero de los cuales resulta claro al examinar los primeros nueve números (Figura 8, página siguiente):

6 SICLO, unidad de medida utilizada para pesar artículos por los babilonios, especialmente los

vegetales de consumo

http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/egipto/egipt.htm

http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/html/babiegipto.html

Marco referencial 17

Figura 8 Números babilónicos.

Fuente http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/lectures/contandoenbabilonia.htm

Recuperado 10-3-2013

Evidentemente, estos nueve números están todos construidos a partir de un elemento sencillo, una marca fácilmente cincelada con el giro de un punzón en la arcilla fresca, y el número de veces que se repite este elemento es el número representado.

Los números 10, 20, 30, 40, 50 se representan por los símbolos (figura 9):

Figura 9 Números babilónicos de 10 en 10

Fuente http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/lectures/contandoenbabilonia

htm Recuperado 10-3-2013

Es claro que nuevamente tenemos una repetición simple de un elemento básico, el cual representaremos convenientemente por <, y de nuevo es una marca nada difícil de hacer en la arcilla fresca. De este modo, cualquier número entre 1 y 59 se representa por medio de un símbolo del segundo diagrama seguido, por lo general, de otro del primer diagrama, así que 32 se escribiría aproximadamente <<<11.

Cuando llegan al 60, los babilonios empiezan de nuevo en forma similar a como nosotros empezamos de nuevo a partir del 10. Así, 82 se escribe 1<<11, donde el primer 1 representa 60. Así que el sistema babilónico está basado en el número 60 de la misma forma en que el nuestro está basado en el 10. El nuestro se llama sistema “decimal” el de ellos, sistema “sexagesimal”.

Los chinos también desarrollaron las matemáticas de una manera independiente, por sus particularidades geográficas entre otras cosas. Eran muy diferentes a las matemáticas griegas, no tenían desarrollo axiomático, el concepto de prueba era radicalmente diferente, aunque no por esto se debe menoscabar su importancia, más bien, tenemos que maravillarnos por su acercamiento a éstas y por los resultados a los que condujo. De hecho, gran parte de las matemáticas chinas proceden de la necesidad de calcular el calendario y predecir las posiciones de los cuerpos celestes.

La matemática china era, al igual que su lengua, extremadamente concisa. Estaba basada en problemas; motivada por problemas en el calendario, en los negocios, en la medida de las tierras, en la arquitectura, en los archivos gubernamentales y en los impuestos. Alrededor del siglo IV a.C. se empleaban los ábacos para calcular, lo que significa que se usaba un sistema numérico decimal. Merece la pena destacar que los ábacos son únicamente chinos y no parecen haber sido utilizados por ninguna otra civilización.

Nuestro conocimiento de las matemáticas chinas antes del año 100 a.C. es muy limitado a pesar del descubrimiento en 1984 del Suanshu (Un libro de aritmética), un texto fechado en los alrededores del año 180 a.C. Está escrito en tiras de bambú y se encontró

http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/lectures/contandoenbabilonia.htm

http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/lectures/contandoenbabilonia


cerca de Jiangling, en la provincia de Hubei. Los siguientes libros en importancia de los que tenemos conocimiento son el trabajo de dieciséis capítulos Suanshu (Recetas de conteo) escrito por Du Zhong y el texto de veintiséis capítulos Xu Shang Suanshu (Recetas de conteo de Xu Shang) escrito por Xu Shang. Ninguno de ellos ha sobrevivido y poco sabemos de su contenido. El texto más antiguo que se conserva en su totalidad es el Zhoubi suanjing (Manual de relojes de Sol de Zhou) compilado entre los años 100

a.C. y 100 d.C. Es un texto de astronomía que muestra cómo medir las posiciones de los cuerpos celestes utilizando relojes de Sol llamados también gnomones, pero contiene importantes secciones de matemáticas. Proporciona una clara información sobre la naturaleza de las matemáticas chinas en este período. Los chinos también conocían las fracciones, y sabían reducir a común denominador, llamaban “hijo” al numerador y madre al denominador. Es inevitable referirse a Grecia, a la matemática griega, cuando se pretende mirar la historia de las Matemáticas. Los aportes de los numerosos e importantes matemáticos y filósofos griegos como Tales, Pitágoras (siglo V a. de C.), Euclides, Arquímedes, y un largo etcétera fue trascendental en el desarrollo de esta rama del saber.

En realidad podemos afirmar que en esta época, las Matemáticas alcanzan ya su madurez como ciencia, cosa que con otras ciencias ocurriría cientos de años más tarde. En la época helenística, las Matemáticas ya adquieren un cuerpo y una reflexión teórica muy importantes, tienen una estructura que permanecerá a lo largo de la historia: los descubrimientos de los griegos, aún se siguen estudiando en la actualidad. Pese a que las Matemáticas ya eran avanzadas en tiempos anteriores (babilonios o egipcios), para los egipcios, esta ciencia era meramente práctica: medir, construir, contar. Los griegos, sin embargo, se preocupan por reflexionar sobre la naturaleza de los números, sobre la naturaleza de los "objetos" matemáticos (geometría), convirtiendo las matemáticas en una ciencia racional y estructurada, con propiedades que se demuestran.

La Escuela Jónica fundada por TALES DE MILETO (en torno al 600 a.C.), fue la primera en comenzar el estudio científico de la Geometría. Se le atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento lógico.

Más tarde fue la Escuela Pitagórica fundada por Pitágoras (en torno al 550 a.C.). Se le atribuyen numerosos descubrimientos matemáticos, entre otros, la demostración del conocido Teorema de Pitágoras: "en un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. (Figura 10)

Figura 10 El teorema de Pitágoras

Fuente propia

c

a

b con c2=a2+b2


La escuela pitagórica descubrió que sólo con los números naturales y las fracciones no pueden realizarse todas las medidas posibles. Existían pares de segmentos, como la diagonal y el lado de un cuadrado, cuyo cociente de longitudes no es una fracción.

Hacia el año 500, en la India se plasmaron los orígenes de nuestro sistema de numeración, aceptaron las soluciones negativas de las ecuaciones, al tiempo que admitían como números las raíces de otros números que no podían ser expresados mediante números racionales. Durante el siglo XVI, se popularizó el uso de la barra horizontal para separar los términos de una fracción, se solucionaban algunos problemas y surgían otros, como por ejemplo, resolviendo ecuaciones de segundo grado y otras de grado mayor, empezaron a encontrarse expresiones como la raíz cuadrada de números negativos, que no se sabían interpretar, por lo que surge la necesidad de un nuevo tipo de número, los complejos. Después, se puede citar la Primera Escuela de Alejandría, cuyo principal representante fue EUCLIDES (300 a.C.), uno de los personajes que más han influido en la historia de las matemáticas. Su obra más importante es el tratado, LOS ELEMENTOS, cuyo contenido y estructura se ha estudiado en las escuelas y universidades hasta hace muy poco, siendo trascendental en el desarrollo de la geometría. El método euclidiano maneja una teoría general fundada sobre axiomas (propiedades que se admiten como ciertas sin necesidad de demostración por ser evidentes). Euclides llamó a sus axiomas postulados.

Para finalizar este breve recorrido se debe mencionar a Arquímedes (285 a.C.), el mayor

matemático de la antigüedad. Se le atribuye: el cálculo de π por aproximaciones

sucesivas, la determinación de los volúmenes del cilindro y de la esfera, la cuadratura del segmento de la parábola, el empleo de los momentos estáticos y de los centros de gravedad, etc., hallazgos que abrieron el camino a la mecánica y al cálculo integral.

Tres problemas clásicos de la matemática griega son: La cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. Problemas que debían resolverse utilizando sólo regla sin marcas y compás, instrumentos que al parecer utiliza Euclides en su obra. Son problemas sin solución exacta usando regla y compás, como se probó mucho después, resueltos por otros métodos. A continuación se ilustran dos de ellos.

El primero es LA CUADRATURA DEL CÍRCULO que consiste en construir un cuadrado de área igual a un círculo dado. Si se tiene un círculo de radio conocido R, su área es la que aparece en la figura πR2 y hay que buscar un cuadrado que tenga el área igual (como en la figura.11). Como se ha dicho este problema no tiene solución con regla y compás, tal como lo demostró Lindenman (1852-1939), matemático alemán.

Figura 11. La cuadratura del círculo

Fuente: http:/www.um.es/docencia/pherrero/ mathis/grecia/grec.htm Recuperado 10-3-2013


La segunda es LA DUPLICACIÓN DEL CUBO que consiste en construir el lado de un cubo cuyo volumen sea el doble del volumen del cubo inicial. Para eso habría que construir un segmento de longitud igual a la raíz cúbica de 2. Y esto es imposible utilizando solamente regla y compás. (Figura 12)

Figura 12 La duplicación del cubo

Fuente http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/grecia/grec. 10-3-2013

Los árabes introdujeron y mejoraron los símbolos del sistema numérico hindú y la notación posicional. También usaron los irracionales de la misma forma que lo hicieron los hindúes. Esto debe enfatizarse: Omar Khayyam (1048 - 1122) y Nasir-Eddin (1201 - 1274) afirmaron con toda claridad que las razones de magnitudes, conmensurables o inconmensurables, podían ser llamadas números. Resulta interesante, sin embargo, que aunque ellos conocían el uso de los números negativos y sus reglas de operación, introducidas por los hindúes, aun así los rechazaron. Con esto ya tenemos un primer retrato de la cultura islámica. Abu Jafar Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (825), escribió sobre aritmética, álgebra, astronomía y geografía. Algunos de estos escritos los hizo sobre una estampilla.

Escribió en el 830 el libro: Hisab Al-jabr w'al-muqabala, que se traduce como Cálculo por restauración y reducción. También: Algorithmi de numero indorum (Cálculo con números indios).

Al traducirse al latín en el siglo XII, el primer libro quedó con el título de Ludus algebrae et almucgrabalaeque. Y aquí se redujo a álgebra. Este libro integra las tradiciones babilónicas, griegas e indias.

Los trabajos algebraicos de al-Khwarizmi se basaron en los resultados de Brahmagupta pero reflejan, también, influencias babilonias y griegas directamente (por ejemplo, de Diofanto).

El segundo libro, Aritmética, sirvió para introducir a los europeos en el sistema numérico posicional de la India. Incluye un tratamiento sistemático de las operaciones de la aritmética. Fue el primer libro traducido del árabe, y hay un detalle interesante: popularizó la palabra "algoritmo'', que proviene del apellido del autor, para referirse a procedimientos sistemáticos de cálculo. Y se quedó para la historia. Se afirma que los números indios llegaron a Bagdad en el 773 por medio de una misión diplomática hindú.

El documento más antiguo en Europa con la numeración india se llama Codex Vigilanus y entró por España en el año 976. De hecho, está hoy en un museo de Madrid.

Los países europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los

http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/grecia/grec


árabes, junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante la edad media. Los matemáticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron principalmente en fuentes árabes para sus estudios.

Aunque el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios matemáticos sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático de trascendencia en Occidente. Era una fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Este hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta búsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos sobre la teoría de grupos a finales del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste Galois a principios del XIX.

También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos y algebraicos. El matemático francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.

En 1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W. Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. A principios del siglo XIX, Carl Friedrich Gauss dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Bernhard Riemann.

Como se ve, el trabajo ha sido lento pero bien elaborado lo que ha permitido presentar los conjuntos numéricos, tal cual se conocen en la actualidad y que en síntesis son:

Los números naturales son los números que se utilizan para contar, estos son: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8….}. Los puntos suspensivos indican que los números continúan de esa forma, sin terminar nunca.

Si se suman dos números naturales se obtiene otro número natural, por ejemplo: 8 + 5 = 13. Pero si se resta 5 – 5, se necesita otro número que represente el resultado. Ese número es cero. Entonces se tiene otro conjunto numérico que en adición a incluir los números naturales incluye el cero. Este conjunto es el conjunto de los números cardinales {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…}.


En el diario vivir se escuchan expresiones como: “10 grados bajo cero”, 647 en débito”, “8 pies bajo el nivel del mar”. Estas tres expresiones se refieren a números menores que cero. Con estas situaciones surgen los enteros negativos. Los enteros negativos, el cero y los números naturales (también conocidos por enteros positivos) forman el conjunto de

los números enteros, estos son {…,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4,…}.

Si se suma, resta y multiplica enteros siempre el resultado será otro número entero. Pero si se divide dos enteros no siempre dará otro entero. Por ejemplo, 16 ÷ 2 = 8 pero en 3 ÷ 4 el resultado no es un entero. Existen muchas divisiones donde el resultado no es un entero. Esta situación nos lleva a otro conjunto numérico conocido por los números racionales. Los números racionales son todos aquellos números que se pueden escribir de la forma a/b, donde b es diferente de cero. Los números naturales, los cardinales y los enteros son números racionales. Otros ejemplos de números racionales son:

Existe otro conjunto de números que son los números irracionales, estos son números que no son racionales, esto es, que no se pueden expresar de la forma a/b, donde b es diferente de cero. Ejemplos: √2 = 1.414213562… es un número irracional y π = 3.14157…

Luego el conjunto de números que consiste de todos los números racionales y todos los números irracionales se conoce como el conjunto de los números reales.

La figura 13 ilustra los diferentes conjuntos numéricos desde los naturales hasta los reales.

Figura 13 Los conjuntos Numéricos

Fuente propia

2.1.2 Números reales

Partiendo de la necesidad de presentar a la comunidad estudiantil un proyecto pedagógico que le permita reconocer dentro de los sistemas numéricos la importancia de

NÚMEROS REALES (R)

NÚMEROS IRRACIONALES (I)

√2; ;;π

NÚMEROS RACIONALES (Q)

-1; -2/3; 2; 8/3; ……

NÚMEROS ENTEROS (Z)

…. -2; -1; 0; 1; 2; ….

NÚMEROS CARDINALES (C)

0; 1; 2; 3; 4; …….

NÚMEROS NATURALES (N)

1; 2; 3; 4; 5; ……

π; e; √2; ……


la construcción analítica de los números reales, a continuación se presenta un análisis histórico- epistemológico del conjunto de los números reales y su noción de completez, tratando de ligar problemas y preguntas de determinados periodos históricos con el estado de conocimiento y las herramientas disponibles en esos momentos, con las diferentes conceptualizaciones producidas en cada época.

Bergé y Sessa (2003) realizan un trabajo muy serio, del cual se han tomado algunos apuntes, sobre la Didáctica de las Matemáticas, donde señalan cómo varios autores destacan la relevancia del análisis epistemológico para el análisis didáctico, sus potencialidades y sus alcances (Artigue, Douady, Moreno y Gómez, 1995 ), como también analizado la relación entre epistemología, matemática y educación (Sierpinska y Lerman, 1996 ), o estudiado ciertos aportes específicos del conocimiento de la historia a la práctica docente (Bkouche, 1997 ) y alertado acerca de la utilización ingenua de la historia de la matemática en la enseñanza (Radford, 1997).

Por ejemplo, quienes enseñan un primer curso de Cálculo seguramente observan, a la hora de enseñar el Teorema de Bolzano, reacciones de perplejidad de los alumnos: “¿Para qué hace falta hacer un teorema para demostrar algo que es evidente?”. Al tratamiento y a la comprensión de este teorema subyacen, entre otros elementos, las nociones de función continua, de recta geométrica y su continuidad, de conjunto de los números reales y su completez y de la correspondencia entre puntos y números. Sin embargo, generalmente esas nociones no se ponen en juego y el teorema pierde su riqueza debido al hecho que es visualizado geométricamente y la continuidad de la recta es, para los alumnos a esa altura, un hecho natural, ya dado, que se presenta como evidente.

Desde la más temprana escolaridad, la recta ha sido el soporte natural para representar los números. Cuando se representan los distintos conjuntos (N, Z, Q) se la dibuja “llena”, con un trazo continuo. Pensando en una intervención didáctica que contribuya a la conceptualización de la noción de completez, un elemento que parece relevante, es la necesidad de problematizar desde la enseñanza, la evidencia gráfica de la continuidad de la recta, que acompañó las producciones matemáticas hasta la segunda mitad del siglo XIX. Se parte de Euclides, que en El Libro I de los Elementos contiene 47 proposiciones referidas a la geometría plana y en donde se hace mención a lo continuo: “prolongar continuamente una recta finita en línea recta”.

Para Maurice Caveing (1984) la ausencia en los Elementos de una explicitación de la continuidad de la recta no debería interpretarse como que el continuo era para los griegos un dato de base, una abstracción de lo empírico simplemente. Él ha buscado hacer caer esa hipótesis mediante un ensayo que muestra la complejidad que se abre en el tratamiento del continuo tanto en los Elementos de Euclides como en la Física de Aristóteles.

Estas teorías permitieron a los matemáticos hacer progresos importantes en geometría y otorgó fundamentos lógicos para el tratamiento de razones entre magnitudes inconmensurables aunque no se utilizasen números para la expresión de esas razones (algunos autores eligen por ello el término de inexpresables para estas razones).


El hecho de no poder expresar numéricamente las razones entre magnitudes inconmensurables significó para la matemática griega una cierta tensión entre el desarrollo de la aritmética y el desarrollo de la geometría. La utilización de los números entraba en el ámbito de la aritmética y allí se trataba siempre de fenómenos discretos, mientras que la geometría se ocupaba de magnitudes continuas. Como se ha visto, la teoría de las proporciones del libro V establecía un complejo nexo entre ambas entidades.

La geometría se constituyó así en el dominio natural de validación del trabajo con magnitudes continuas. De hecho ésta siguió siendo la situación hasta los siglos XVII y XVIII y recién en el siglo XIX comenzó a dudarse de la rigurosidad de los argumentos basados en consideraciones geométricas.

Los árabes con Al-Khowârizmî, alrededor del año 825 de nuestra era, en su libro Al-jabr w´al muqâbala (fuente de la palabra álgebra) se ocupó de la resolución de ecuaciones cuadráticas, en donde necesariamente debe aparecer el continuo numérico para precisamente dar respuesta a estas ecuaciones.

El desarrollo del álgebra en Europa, durante el siglo XVI y parte del siglo XVII siguió apoyándose en los significados geométricos, continuando la tradición de los árabes. Por ejemplo, François Viète (1540-1603) daba sentido a una ecuación como x3 + 3ax = b diciendo que x3 es de especie voluminosa, y por lo tanto 3a debía ser plana y b un sólido.

En el libro de Zariski (1935) se muestra cómo Girolamo Cardano (1501-1576) hace uso implícitamente de la idea de completitud para examinar las raíces positivas de una ecuación cúbica que con nuestra notación se escribe x3 +q = px2 (p>0, q>0).

¿Qué conjunto numérico está usando acá Cardano? ¿Qué propiedades de ese conjunto permiten fundamentar la existencia de una raíz? Lo que vemos es un uso implícito de lo que hoy se conoce como el teorema de Bolzano, que se apoya aparentemente en una intuición de completez del dominio numérico.

Entonces, la aceptación de los números irracionales como números, es una instancia necesaria para poder considerar la completez como un problema a tratar.

Al-Khowârizmî utilizó magnitudes irracionales, a las que ha llamado gidr asamm (raíz muda o ciega). En los comienzos del siglo X nacía una nueva concepción de número. Una señal de esto es el empleo de la misma palabra (adad) para todos los números (al-adad al muntiqa para los racionales y al-adad al-summa para los irracionales). Progresivamente los números irracionales se fueron tornando completamente un objeto del álgebra y de la aritmética (cf. Dahan-Dalmedico et al p.101)

En el año 1077 Omar Al-Khayyâm retomó la teoría de proporciones expuesta por Euclides en el libro V. preguntándose por la naturaleza de las razones y su relación con los números: sin resolver definitivamente la cuestión, consideró que cualquier razón, constituida o no por segmentos conmensurables, debía poder expresarse como un número.

Mientras tanto en Europa hallamos posiciones encontradas sobre la naturaleza de los números irracionales. Así Michael Stifel (1486-1567) en su obra Arithmetica Integra dice: “[...] por consiguiente, de la misma forma que un número infinito no es un número, un número irracional no es un número verdadero, sino que yace oculto en una nube de infinitud" (Citado por Kline, 1994, p.337)


Por otro lado Stevin, como lo señala Waldegg (1996) intentó que se reconociera a los números irracionales como verdaderos números, y se manifestó en contra de la utilización de los términos “irracional” e “inexpresable”.

Las razones entre magnitudes en juego en estos tratamientos tempranos del cálculo, no siempre son expresables por cocientes de números enteros. La precisión en la definición de la noción de límite de estos cocientes queda así sujeta a la clarificación del concepto de número real.

Durante la primera mitad del siglo XIX, en plena tarea de definir con precisión nociones como la de variable, función, infinitésimo, función continua y otras, muchas de las propiedades que caracterizan al conjunto de los números reales eran atribuidas naturalmente al dominio numérico en uso y consideradas explícitamente en el trabajo, sin una discusión sobre su validez.

Bolzano, en 1817, formuló que una sucesión es convergente a un límite si y solamente si posee la anterior propiedad. Era “razonable” trabajar en un sistema numérico en el cual toda sucesión fundamental tuviera límite, pero la existencia del límite no se desprendía de ninguna de las propiedades conocidas de los números. Por esta razón Bolzano no pudo demostrar la suficiencia de la condición enunciada, aunque aparentemente lo intentó. Como sabemos la suficiencia sólo puede demostrarse basándose en la completitud del sistema real, propiedad que no había sido formalmente incorporada hasta ese momento.

El período que se ha analizado- comienzos del siglo XIX- corresponde a un momento de reorganización de los saberes. Se podrían señalar como aspectos de esa reorganización, el deseo de fundamentar la disciplina, el intento de no apoyar en la geometría la validación de resultados aritméticos y algebraicos, y la confección de un texto del saber pensado para la enseñanza (como fue el caso de Cauchy con su Cours d’Analyse).

En la segunda mitad del siglo XIX, varios matemáticos se ocuparon de la construcción de lo que hoy llamamos conjunto de los números reales. Richard Dedekind (1831-1916), Georg Cantor (1845-1918), Karl Weierstrass (1815-1897), Charles Méray (1835-1911), Heinrich Heine (1821-1881) y también Bolzano, como se mencionó anteriormente, deteniéndose especialmente en dos de estos autores, Dedekind y Cantor. Las construcciones de los otros autores no difieren esencialmente de la de Cantor.

El paso fundamental que dieron estos matemáticos consistió en reconocer que, hasta ese momento, se utilizaban ciertas propiedades que se atribuían al sistema de los números reales y que no podían ser justificadas desde una argumentación apoyada solamente en la aritmética. Se propusieron entonces avanzar formalmente para construir un sistema numérico a partir de Q (dominio numérico que era considerado aritméticamente bien fundamentado) en el que esas propiedades pudieran ser demostradas. Cada uno en su propio proyecto de construcción del conjunto de los números reales, necesitó además explicitar en qué consistía la continuidad de la recta.

En el prefacio de su artículo La continuidad y los números irracionales (1872), Dedekind describe cómo se planteó a sí mismo la necesidad de contar con una fundamentación aritmética ya que al dictar conferencias sobre cálculo diferencial se veía obligado a acudir a evidencias geométricas:


Al llegar al concepto de aproximación de una magnitud variable a un valor límite fijo, y sobre todo al demostrar que «toda magnitud que crece continuamente, pero no más allá de todo límite, debe necesariamente aproximarse a un valor límite», tuve que recurrir a evidencias geométricas.

Dedekind se propuso construir un sistema numérico que incluyera a los racionales, para lo cual definió las cortaduras racionales y las añadió a Q, extendiendo las operaciones aritméticas y la relación de orden. Al ver los rasgos esenciales de esta construcción, encontramos que por un lado define una cortadura racional como cualquier descomposición del sistema de números racionales en dos clases A1 y A2 con infinitos elementos cada una, de tal manera que todo número de la clase A1 es menor o igual que todo número de la segunda clase A2.

Por otro lado, asigna un punto de la recta a cada número racional, a condición de haber establecido en la recta un origen y un segmento unidad.

La no completez de Q la expresa ahora diciendo: “hay en la recta una infinidad de puntos que no corresponden a ningún número racional [...] hay longitudes que son inconmensurables con una unidad de longitud dada, por ejemplo, la diagonal del cuadrado cuyo lado es la unidad [...] la recta es infinitamente más rica en puntos que el dominio R de los racionales en números [...] para ver en forma aritmética todos los fenómenos de la recta, vemos que resultan insuficientes los números racionales y que, por esto, será indispensable mejorar el instrumento R por medio de la creación de números nuevos tales que el campo de los números adquiridos alcance la misma completitud, o bien, como preferimos expresarlo, la misma continuidad que la línea recta.” (Dedekind, op. cit., 8,9).

Con esta finalidad, para toda cortadura que no está generada por un número racional crea un nuevo número- necesariamente no racional- que queda determinado por la cortadura. Añade estos nuevos números al conjunto de números racionales definiendo un orden y las operaciones para esta extensión. De esta forma a cada cortadura racional corresponde un número racional o irracional determinado.

Muy resumidamente se podría decir que Dedekind ha construido un sistema R ordenado y denso, que contiene a los racionales y de manera tal que toda cortadura racional esté generada por uno y solo un elemento de ese sistema. Más aún, cualquier cortadura de elementos de R está generada por uno y solo un elemento de ese conjunto.

Cantor realizó su construcción del sistema de los números reales entre 1871 y 1883. El primer trabajo en el que abordó el tema, en 1871, es un artículo que trata sobre la unicidad de los coeficientes del desarrollo en series trigonométricas. De la introducción de ese artículo extraemos la siguiente cita: “Pero para este objetivo estoy obligado a comenzar por ciertas explicaciones o tal vez ciertas simples indicaciones destinadas a iluminar las distintas maneras en las que pueden comportarse las magnitudes numéricas en número finito o infinito, para eso voy a dar ciertas definiciones a fin de hacer lo más corta posible la exposición del teorema en cuestión, cuya demostración se encuentra en Cantor (1871).

El proyecto de Cantor era construir un sistema numérico que incluyera a los racionales y en el que se verificase la propiedad de que toda sucesión fundamental de elementos del nuevo sistema numérico, tuviera como límite a un elemento de ese sistema Básicamente Cantor “agregó” a los racionales un número por cada sucesión fundamental (salvo


equivalencias) y extendió a este nuevo sistema numérico las cuatro operaciones aritméticas y la relación de orden conocida para los racionales.

Algunos años después, en 1899, se publicó el libro Fundamentos de Geometría de David Hilbert (1862-1943). Hilbert introdujo los elementos geométricos mediante cinco grupos de axiomas: los de incidencia, los de orden, los de congruencia, el de paralelas, y los axiomas de continuidad. Los axiomas de continuidad para la recta que él presenta son dos: el axioma de Arquímedes para segmentos y el axioma de completez de la recta, que simplemente dice que no es posible agregar puntos a la recta de modo que se preserven las relaciones y los axiomas anteriores.

En general, el estudio del trabajo de Euclides en los Elementos, estuvo centrado en analizar ciertas construcciones en las cuales se hacía un uso implícito de la continuidad. Dedekind y Cantor tuvieron la necesidad de incorporar como axioma esta propiedad de la recta en la segunda mitad del siglo XIX. En Fundamentos de Geometría, Hilbert asume la tarea de establecer un conjunto completo de axiomas para la presentación de la geometría. Apoyándose en los axiomas de continuidad para la recta que propone, Hilbert justifica la existencia de los puntos considerados en las construcciones efectuadas por Euclides.

Hasta aquí se presenta la re-construcción del proceso histórico de construcción de la noción de conjunto de números reales. En esta reconstrucción -subjetiva y necesariamente provisoria- se ha intercalado la explicitación de ciertas reflexiones, que aportan en el sentido de los usos didácticos que se mencionan en la introducción.

2.1.3 Objetos de aprendizaje.

En la actualidad se pueden encontrar muchos recursos para la educación, pero no todos suelen constituirse en Objetos de Aprendizaje (OA), es necesario que ellos sean diseñados con el propósito de generar una experiencia de aprendizaje significativo y una verdadera apropiación del conocimiento. Ejemplo de esto, es el trabajo realizado por Virginia Cifuentes (2012) en su proyecto: “Mejoramiento de la calidad de la educación de Cundinamarca-Materiales educativos para el área de matemáticas”, auspiciado por la Secretaría de Educación de Cundinamarca, que sirven para analizar y aplicar las operaciones que se cumplen para los conjuntos numéricos (N, Z, Q), reconocer sus propiedades y representar números en la recta (figura 14).

Figura 14. El ábaco abierto y los bloques ensamblables

Fuente:http://www.cundinamarca.gov.co/Cundinamarca/Archivos/fileo_ otrsseccio■■■nes/fileo_otrssecciones2766497.pdf Recuperado 15-10-2012

Para lograr esto el docente deberá contar con la tecnología adecuada y adquirir las capacidades para desarrollar contenidos pedagógicos, así como diseñar estrategias didácticas e interactivas que aprovechen al máximo las tecnologías usadas en la


construcción de los OA, requiriéndose entonces analizar, construir, experimentar y sistematizar la producción y la estandarización de los OA.

Algunas características y ventajas de la aplicación de los estándares según Fernández, Moreno, Sierra y Martínez (2011) son:

■ Accesibilidad: que el usuario tenga facilidad para acceder a su contenido.

■ Reusabilidad: que el contenido pueda reutilizarse de manera rápida y sencilla.

■ Interoperabilidad: se pueden intercambiar y mezclar contenidos en distintos sistemas.

■ Gestionabilidad: que el sistema pueda obtener y trazar la información adecuada para el usuario y el contenido.

■ Durabilidad: que los consumidores no queden atrapados en una tecnología propiedad

de una determinada empresa.

■ Escalabilidad: que las tecnologías puedan configurarse para aumentar la funcionalidad.

El diseño de material didáctico, y juegos en general, debe cumplir algunas funciones en el proceso enseñanza-aprendizaje, porque a través de ellos, gracias a su carácter de manipulativos, logran mejorar algunos aspectos sicomotores del individuo como también aspectos del pensamiento y en este caso en particular del pensamiento matemático.

Esto permite desarrollar en los niños y niñas su capacidad intelectual, siendo las funciones:

■ Innovadora, porque permiten cambiar y mejorar las rutinas con las que se ha venido trabajando en el aula, enriqueciendo las actividades allí desarrolladas.

■ Motivadora, porque presenta estrategias de captación del interés y la atención de los

estudiantes, con su uso adecuado.

■ Estructuradora de la realidad, porque con un buen diseño se puede presentar a los estudiantes la realidad en contexto a sus necesidades.

■ Configuradora y mediadora de las relaciones entre los alumnos y los materiales,

porque estos determinan el tipo de actividad mental y los procesos de aprendizaje que los alumnos desarrollan.

■ Controladora de los contenidos a enseñar, teniendo en cuenta que las actividades son más abiertas, flexibles y dinámicas posibilitando un aprendizaje de lo más relevante y que éste no sea efímero porque realmente ha sido aprehendido por los estudiantes.

■ Solicitadora, porque los materiales actúan como guía metodológica.

■ Formativa, porque el material incide en el proceso aprendizaje del alumno, no solo por su uso sino por su propia configuración.

Todos los elementos descritos anteriormente determinan el diseño de los OA, que deben seguir un esquema de “reflexión-producción-reflexión”, puesta al servicio de la mejora


permanente y tal como lo establece Parcerisa (1996), tener una serie de criterios fundamentales para la elaboración de los materiales:

■ Coherencia con el proyecto curricular: porque es esencial que los materiales elaborados estén en sintonía con las orientaciones sobre el qué, cómo y cuándo enseñar y evaluar, entendidas dentro de una flexibilidad y apertura que inspiren no solo el proyecto curricular sino también los materiales que se elaboren o se adapten a la Institución Educativa.

■ Diversidad de materiales: en sintonía con las demandas del proceso enseñanza-aprendizaje contextualizado con el entorno y adaptado a las necesidades diversas de los estudiantes, como son sus ritmos de aprendizaje, sus intereses y motivaciones.

■ Adecuación al contexto: que tengan la posibilidad de adaptarse genuinamente al entorno escolar sin mostrar “un mundo ideal” que no existe.

■ Coherencia con las intenciones educativas y con las bases sicopedagógicas: ya que las decisiones de cómo enseñar deben justificarse en función de las finalidades de la Institución Educativa y de los objetivos concretos del aprendizaje.

■ Rigor científico: evitando errores conceptuales y ofreciendo la información más fiable, verídica y exacta posible dentro del desarrollo de las ciencias, con un lenguaje siempre adaptado al grado de maduración de los estudiantes.

■ Visión global de los materiales: éstos deben encuadrarse dentro del resto de los recursos curriculares que horizontalmente (durante este grado) y verticalmente (durante el ciclo y la etapa) se empleen.

■ Reflexión sobre los valores: en donde todos los materiales elaborados acompañen el

poderoso “currículo oculto”, como por ejemplo materiales que no tengan un marcado sesgo de género.

■ Aspectos formales: los materiales deben ser muy elaborados, no sólo con el uso del color, sino también con modelos de fuerte impacto visual, contextualizados para que sean atractivos y se pueda competir con las empresas editoriales.

■ Evaluación del material: en donde los materiales elaborados por los docentes tengan la posibilidad de adecuarlos y readaptarlos en función de las necesidades de la institución y sus estudiantes, con pautas y criterios valorativos que recojan información fiable sobre la potencialidad didáctica del material en general y su adecuación a los contextos específicos en particular.

2.1.4 GeoGebra y Ambientes de Geometría Dinámica

GeoGebra es un software matemático interactivo libre para la educación en colegios y universidades. Su creador Markus Hohenwarter, comenzó el proyecto en el año 2001 en la Universidad de Salzburgo y lo continúa en la Universidad de Atlantic, Florida. Geogebra está escrito en Java y por tanto está disponible en múltiples plataformas


Este programa representa una tecnología informática que puede tener gran impacto en los procesos de mediación en la educación matemática a nivel secundario, pues ofrece la posibilidad de trabajar la geometría y el álgebra simultáneamente de formas dinámicas, atractivas e integradas.

El GeoGebra es un software libre, galardonado en el 2002 con el European Academic Software Award (Suiza, 2002), con el International Free Software Award, category Education (Francia, 2005) y con el Distinguished Development Award otorgado por la Association for Educational Communications and Technology de Orlando (USA, 2008), entre otros reconocimientos.

Este recurso, al igual que el Derive y el Geometer Sketchpad, es un software matemático en los que funciona una colección de objetos básicos, un conjunto de acciones elementales referidas a estos objetos, y un lenguaje de programación de alto nivel con una semántica y una sintaxis particulares, que, complementado con una interfaz accesible, permite obtener resultados predecibles al relacionar estos objetos y operar sus acciones.

En este sentido, representa una gama de posibilidades, que ofrece gran autonomía y capacidad de manipulación a sus usuarios; un entorno dinámico e interactivo con prestaciones que:

■ Requieren la realización de acciones informáticas relativamente complejas (diseño,

programación, ejecución)

■ Devuelven resultados matemáticos (como gráficas, construcciones, transformaciones,

cálculos), y para-matemáticos (como simulaciones, modelos, clasificaciones, ordenamientos, iteraciones).

■ Facilitan el desarrollo de acciones matemáticas (como resolución de problemas,

demostraciones, conjeturas, aplicación, verificación), y metamatemáticas (como análisis, deducción, inducción, reflexión, enseñanza, aprendizaje, valoración, experimentación).

Es básicamente un procesador geométrico y un procesador algebraico, es decir, un compendio de matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra y cálculo, por lo que puede ser usado también en física, proyecciones comerciales, estimaciones de decisión estratégica y otras disciplinas.

Su categoría más cercana es software de geometría dinámica.

Con Geogebra pueden realizarse construcciones a partir de puntos, rectas, semirrectas, segmentos, vectores, cónicas, etc., mediante el empleo directo de herramientas operadas con el ratón o la anotación de comandos en la Barra de Entrada, con el teclado o seleccionándolos del listado disponible -. Todo lo trazado es modificable en forma dinámica: es decir que si algún objeto B depende de otro A, al modificar A, B pasa a ajustarse y actualizarse para mantener las relaciones correspondientes con A.


GeoGebra permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de todo tipo, así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc.

En la figura 15, página siguiente, se muestra la ventana de trabajo de GeoGebra con todas sus características principales tales como:

■ Menús desplegables.

■ Barra de herramientas. Que permite crear objetos geométricos de manera cómoda.

■ Ventana algebraica. Es un listado con la expresión algebraica de todos los objetos

geométricos que se han definido. Los objetos dependientes son aquellos que se han construido apoyándose en otros ya existentes.

■ Ventana gráfica. Es la zona estrella de GeoGebra donde se pueden ver y manipular los gráficos creados.

■ Línea de comandos: Permite crear objetos geométricos mediante su expresión

algebraica y requiere conocer los comandos adecuados.

Para crear objetos geométricos con Geogebra se debe introducir la información requerida utilizando la barra de herramientas y la línea de comandos. Hay que tener en cuenta que GeoGebra automáticamente por defecto rotula y pone nombre a toda figura geométrica que sea creada. Se puede modificar al gusto del usuario, pero en aquellos casos en que por omisión no se rotule el nombre, lo hará alfabéticamente utilizando mayúsculas para puntos y minúsculas para curvas.

Esta ventana de comandos se ve en la pantalla tal como lo muestra la figura 15 en la página siguiente.

Figura 15, Ventana de comandos de GeoGebra

Fuente: www.geogebra.org Recuperado 22-3-2013

http://www.geogebra.org/


La barra de herramientas, se compone de una serie de iconos muy descriptivos de la función que realizan, tal como lo muestra la figura 16. Pinchando en el pequeño triangulito que tiene en su esquina inferior derecha, se obtiene un menú desplegable con diferentes posibilidades. Cuando se selecciona una de ellas, a la derecha de los iconos, un breve texto explica de manera precisa cómo usar la herramienta seleccionada.

Figura 16 Barra de herramientas

Fuente: www.geogebra.org Recuperado 22-3-2013

La línea de comandos (figura 17) se utiliza cuando se quiera introducir cualquier acción

hecha a través de la barra de herramientas. Sin embargo eso requiere conocer el correspondiente comando. Esto es más incómodo, aunque de mayor versatilidad. En el ejemplo que aparece en la figura se utilizó el comando Curva, que sirve para dibujar una gráfica a partir de una de sus ecuaciones paramétricas.

Figura 17 Línea de Comandos

Fuente: www.gegebra.org Recuperado 22-3-2013

El editor de textos completa automáticamente el nombre del comando que se va introduciendo. Esto está detallado en la ayuda a la que se accede pulsando la interrogación de la esquina inferior izquierda y a la derecha de la línea hay un menú desplegable con la lista de comandos.

Si se pulsa en el botón "Entrada" se puede seleccionar un objeto del área gráfica, para Introducirlo como parámetro en la expresión que se quiera construir, como por ejemplo, colocar un punto, que sin duda es la acción más repetida a la hora de hacer una determinada construcción. Para hacerlo mediante la barra de herramientas se debe utilizar el botón que está en segunda posición (figura 18).

Figura No. 18. Botón “Entrada”


Luego, basta mover el puntero a la posición deseada y pinchar, pero conviene tener en cuenta que si se coloca un punto sobre una determinada recta o curva, GeoGebra sólo dejará desplazarlo sobre esta recta o curva.

Por ejemplo, si se coloca un punto sobre la intersección de los ejes coordenados GeoGebra considerará que siempre debe pertenecer al mismo tiempo a ambas rectas y


http://www.gegebra.org/



por tanto será un punto fijo. Esto puede evitarse introduciendo sus coordenadas a través de la línea de comandos. Basta poner por ejemplo: A= (0,0) para que inmediatamente situe como objeto libre el punto A en las coordenadas (0,0).

Para manipular los objetos geométricos, se debe pulsar con el botón derecho sobre cualquier objeto, tanto en la ventana gráfica como en la algebraica, saldrá un menú desplegable que permite modificar sus características, de acuerdo a la necesidad, y los más usados son:

■ Expone objeto – Para cuando se decide ocultar o mostrar el objeto. Es muy común que al final se oculten determinados objetos que sólo han sido usados de manera auxiliar para alguna construcción geométrica.

■ Expone rótulo – Este comando se utiliza si se quiere o no que en la ventana gráfica salga el nombre del objeto.

■ Activa trazo – Cuando en una presentación se desea o no que el objeto deje "rastro" al desplazarlo. Por defecto está desactivado, pero puede ser útil por ejemplo, para estudiar lugares geométricos.

■ Borra - Obviamente para eliminar. Es interesante tener en cuenta que cuando se borra un objeto también se eliminan todos sus dependientes.

■ Propiedades - Aparece un menú más extenso que permite controlar en detalle

absolutamente todos los aspectos del objeto que hemos elegido. Por ejemplo podemos convertirlo en objeto fijo si no queremos que pueda moverse; también se puede modificar el color, el grosor del trazo, el estilo, la expresión algebraica, etcétera... Cuando el botón de la barra de herramientas desplazar, figura 19, está activado, se pueden mover los objetos (que no hayan sido fijados o no estén unívocamente determinados por construcción) manteniendo pulsado sobre ellos el botón izquierdo del ratón. Es una característica muy potente de GeoGebra, porque todos los objetos dependientes se modificarán respecto al que se ha movido, respetando las reglas de construcción.

Figura 19. Botón “Desplazar”


Se pueden guardar los trabajos en archivos ggb, seleccionando la opción Grabar (Ctrl + S) en la sección Archivo de los menús desplegables. Este formato puede ser leído por GeoGebra y también presentado directamente en el foro.

En la opción Archivo - Exporta, se puede grabar el gráfico en otros formatos: de imagen, copia al portapapeles, o incluso como HTML para incluirlo, con todas sus opciones interactivas en nuestra propia página web.



En la sección Visualiza de los menús desplegables, si se escoge la opción Protocolo de la Construcción, se pueden reproducir y estudiar los distintos pasos que se han seguido para hacer una determinada construcción. Esto es una gran herramienta para aprender de lo que han hecho los demás.

2.2 Marco teórico

Para definir el problema y validar el proyecto, es necesario apoyarse en elementos teóricos, que expliquen o ayuden a comprobar los fenómenos que se están produciendo. A continuación se muestran las teorías en las que se fundamentó este proyecto.

2.2.1 Didáctica de las matemáticas

El proyecto se presenta como una propuesta didáctica, porque desde allí se ha diseñado una secuencia metodológica, apoyada en objetos de aprendizaje, con la que los estudiantes se aproximen al concepto de completez de los números reales. Por eso es necesario recurrir a algunos referentes de la didáctica, teniendo en cuenta que no se quiere presentar a la didáctica como eje central del proyecto, pero sí como una de las partes que influyen en el desconocimiento conceptual de las matemáticas en general, debido a la forma mecanicista como los docentes desarrollan sus actividades en el aula. Entonces, para darle un soporte teórico a este trabajo, se deben validar todos los actores que intervienen en el proceso de enseñanza aprendizaje, así como lo expresan los lineamientos de Freudenthal7 (1991), en donde la organización de éstos es relevante para la didáctica en las matemáticas, pues los didactas son organizadores, desarrolladores de educación, autores de libros de texto, profesores de toda clase, e incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupal. En esta línea conviene destacar que la didáctica de las matemáticas se ha consolidado en las últimas tres décadas como una disciplina científica. Para Brousseau (1986), la didáctica de las matemáticas:

Es la ciencia de las condiciones específicas de la difusión de los conocimientos matemáticos necesarios para las labores de los hombres (sentido amplio). Se ocupa (sentido estricto) de las condiciones en que una institución llamada «enseñante» intenta (designada si es preciso por otra institución) modificar los conocimientos de otra llamada «enseñada» mientras que esta última no está en condiciones de hacerlo autónomamente y no experimenta necesariamente la necesidad. Un proyecto didáctico es un proyecto social para hacer apropiar por un sujeto o por una institución un conocimiento constituido o en curso de constitución8.

7 FREUDENTHAL, Hans. Revisiting Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer Academic

Publishers, 1991. p. 45 8 BROUSSEAU, G. Teoría de Situaciones. Burdeos: Universidad de Burdeos, 1986. p.1.


Es en este marco que se presenta esta propuesta como una primera aproximación para hacer frente a la problemática de enseñar los números reales, (la cual se pondrá a prueba y analizará) para mejorarla y nutrirla con otros aportes, o rechazarla por producir más malestares del que trata de solucionar, pero eso sí, permite que el estudiante construya conocimiento matemático a través de la acción, porque él mismo lanzará conjeturas, hipótesis, planteará soluciones y encontrará un nuevo significado a su quehacer en el aula y fuera de ella porque apropió un conocimiento.

Esta alineación surge o se plantea cuando se hace la siguiente pregunta ¿cómo llegan los estudiantes a un primer curso de matemáticas enfrentándose al concepto de número real, sabiendo de antemano la existencia de algunos números irracionales y en especial de su construcción a través del concepto de completez y más si se le presenta como un axioma? ¿Cuál será el alcance de esta presentación?

La siguiente cita de Brousseau (1988), parece responder en parte a esta pregunta:

La presentación axiomática es una presentación clásica de la matemática. Además de las virtudes científicas que se le conocen, parece maravillosamente adaptada para la enseñanza. Permite a cada instante definir los objetos que se estudian con la ayuda de nociones introducidas precedentemente, y así organizar la adquisición de nuevos conocimientos con la ayuda de adquisiciones anteriores.

[...]Esta presentación enmascara el “verdadero” funcionamiento de la ciencia, imposible de comunicar y de describir fielmente desde el exterior, para poner en su lugar una génesis ficticia. Para hacer más fácil su enseñanza, aísla ciertas nociones y propiedades del tejido de actividades en el cual tuvieron su origen, su sentido, su motivación y su empleo9.

Luego Brousseau (1988), no comparte este tipo de presentación y le opone otra, en la que el estudiante realiza una actividad semejante a la que realiza el matemático cuando produce conocimiento y el profesor re-contextualiza, re-personaliza y re-temporaliza el saber matemático para que sea parte del medio en el que los estudiantes realizan su

actividad matemática. Por eso, la propuesta didáctica de este proyecto se focaliza en la

acción del estudiante sobre un medio didáctico para que confronte sus conocimientos, no

importa como los construyó, con las resistencias a causa de las demandas de cierto

conocimiento necesario para satisfacer el objetivo de la acción que le oponen las

situaciones. Las retroalimentaciones del medio del cual hace parte la situación matemática en cuestión, el profesor y los pares. En este caso se trata de que los alumnos logren re-significar el concepto de completez que hasta el momento manejaban, o construirlo si no estaba presente en su sistema cognitivo.

Un concepto que en el proyecto sirvió como una unidad de análisis, es el de esquema

piagetiano. Según Delgado (2009), esta noción es un constructo para referirse a una unidad compleja y dinámica de procesamiento de los estímulos y que se constituye en el

9 BROUSSEAU, G. Fundamentos y Métodos de la Didáctica de la Matemática. Burdeos:

Universidad de Burdeos, 1988. p. 2-3.


marco de referencia que organiza la acción del sujeto, ya sea esta acción material o intelectual, y es la fuente de todo conocimiento:

Ciertamente, conocer es actuar y las acciones son las manifestaciones del funcionamiento de estructuras internas que Piaget denomina esquemas. El esquema es un subsistema del sistema cognitivo total indisociable de la clase de situaciones [O] que son su fuente de

activación. En la definición clásica piagetiana “el esquema caracteriza lo que es repetible y generalizable de la acción”; es forma porque responde no sólo a una situación particular sino a una clase de situaciones y en ese sentido es independiente de los contenidos particulares de cada situación, aunque éstos sean necesarios para su funcionamiento y organización10.

Esto lleva a que el interés del proyecto esté centrado en la comprensión, comprensión entendida como una «toma de conciencia» de los dos polos de la acción: los centrales

del objeto u objeto de aprendizaje y los medios internos del sujeto, sus saberes previos. El paso de la acción a la conceptualización y a la reflexión creativa se logra gracias a la toma de conciencia en el sentido definido por Jean Piaget (La Price de Conscience, 1974) y que Delgado (2009), ve como:

[...] un proceso constructivo en el que el paso de lo inconsciente a lo consciente exige continuas construcciones, que consisten en rehacer acciones u operaciones de las que se quiere tomar conciencia y esto a todos los niveles: la toma de conciencia del acto transforma a éste en imagen; la toma de conciencia de la imagen transforma a ésta en palabra; la del movimiento transforma a éste en un signo; la toma de conciencia del esquema de acción transforma a éste en un concepto. Todas ellas, son procesos de reconstrucción que comparten el hecho de construir en el plano de la representación conceptual aquello que ya existe en el plano de la acción, es decir, el paso de una asimilación práctica (saber hacer) a una asimilación conceptual (predicaciones, conceptualizaciones, inferencias y juicios)11.

En otras palabras, la toma de conciencia consistiría en un trabajo que el estudiante realiza en este proyecto, reconstruyendo las acciones, reflexionando sobre ellas y sus resultados y comunicando estas reflexiones usando diferentes lenguajes para expresar el significado de la acción. Esto lo inducirá a generar sus propias conclusiones en esos momentos de validación a los que se le enfrenta, ya sea porque se adaptó a esa propuesta o porque la cuestionó, como se sabe que lo hará, cuando tenga que hacer operaciones que le den como resultado un número irracional.

En síntesis, se trata de que el estudiante construya conocimiento por acción, ensayo y error, elaborando conjeturas que después tratará de validar, dando validez a la

10 DELGADO. César. Bases epistemológicas y didácticas para la enseñanza de conceptos

matemáticos. Bogotá: Universidad de la Salle, 2009. p.25-26.

11 DELGADO. César. Bases epistemológicas y didácticas para la enseñanza de conceptos

matemáticos. Bogotá: Universidad de la Salle, 2009. p.25.


propuesta que plantea Sierpinska12 (1995), en donde se hace necesario que los docentes sólo sean facilitadores de esa comprensión de las matemáticas.

2.2.2 Actitud de cambio

Se plantea una pregunta, que genera una reflexión frente a la necesidad de cambio, por el nivel de aprehensión de los estudiantes, en la estrategia aplicada en el proceso de enseñanza-aprendizaje, ¿Cómo deberían enseñarse las matemáticas?: esto se puede responder partiendo de lo expresado por Merchán (2009): “teniendo entonces la enseñanza de la matemáticas como objetivo central el desarrollar las habilidades y destrezas en el individuo que le permitan resolver problemas que se le presentan en el vivir y convivir en sociedad”13, es decir, contextualizando cada problema planteado para su solución, teniendo en cuenta que abarque todos los pensamientos matemáticos (numérico, métrico, espacial, aleatorio y variacional). Es por eso necesario, primero un cambio de actitud por parte de los actores involucrados en las actividades de enseñanza-aprendizaje, y en particular, de los docentes encargados de proponer e iniciar estas actividades en el aula, que los lleve a presentar de una manera diferente los saberes que pretende mostrar y que son sujeto de enseñanza, y segundo se debe conocer lo que ocurre en el aula, en donde el contenido de la enseñanza que realmente se imparte en ella y adquieren los alumnos, es un producto significativamente distante y distinto del que se pronuncia en las instancias exteriores, donde el contenido del discurso y la praxis enseñanza-aprendizaje, a pesar de las opiniones del profesorado, es un discurso que está bien encaminado, percepción compartida por Merchán (2009), cuando dice: “la persistencia y universalidad de determinadas rutinas pedagógicas revelan igualmente que, salvo situaciones y coyunturas excepcionales, las actividades que realizan alumnos y profesores no responden exactamente a lo que sobre ello se dictamina en el campo de la legislación oficial o de los discursos pedagógicos”14. El conocer lo que ocurre en la práctica, facilita la posibilidad de un cambio, cambio necesario, muchas veces el docente se encuentra enseñando tal cual le enseñaron “porque el cambio es la excepción, mientras que la continuidad es la norma”15, , no permitiendo con ello que se pueden planear nuevas estrategias para una intervención en el aula, pues este conocimiento de la práctica es la base para construir una teoría que permita relacionar en el aula la interacción entre sus actores básicos y lo que de allí se desprenda en términos de aprendizaje.

12 SIERPINSKA, Anna. La Comprensión en Matemáticas. Quebec: Editorial Módulo. 1995. p. 24-

13 MERCHÁN IGLESIAS, Francisco Javier. La cuestión del cambio de la práctica de la enseñanza

y la necesidad de una teoría de la acción en el aula. En: Revista Iberoamericana de Educación (Sevilla, España), marzo 2009, p. 2. 14

Ibíd. p. 3. 15

RÍOS GARCÍA, Yaneth. Una Ingeniería Didáctica Aplicada sobre fracciones. En: Red de Revistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal (Maracaibo, Venezuela). 2007. p.135.


2.2.3 Las matemáticas y la resolución de problemas

La problemática se ha generado también debido a que los textos guía presentan problemas descontextualizados, que no tienen nada que ver con la realidad del estudiante y algunas veces contienen errores en la definición de algunos de los conceptos matemáticos objetos de estudio, generando con ello obstáculos epistemológicos, que son transmitidos a los estudiantes, porque los docentes se ciñen al texto, sin contextualizar los problemas como también sin profundizar en la información que allí se da, como por ejemplo, el número decimal no se asocia al número fraccionario, porque éste se asocia es al algoritmo de la división y se pierde entonces la construcción formal del número racional. Se presentan entonces “saltos informacionales, en el sentido que no se expresan relaciones o conexiones entre las fracciones y los números racionales”16.

La actividad en el aula debe partir de la resolución de problemas tal como históricamente lo demuestra el caso de las fracciones, que se dieron en Egipto para resolver problemas de repartición de tierras y no las fracciones como un número, por lo que al aproximarnos al conocimiento del concepto de completez de los números reales, podemos reconocer que en ese conjunto numérico se encuentra la solución a los diferentes problemas que se pueden plantear en el aula de clase, con lo que nos introducimos al corazón de las matemáticas, no nacidas para representar números, sino para resolver problemas de la humanidad. En la vida cotidiana y en situaciones de índole laboral, se encuentran muchas aplicaciones donde es necesaria la utilización de los números reales para dar una solución efectiva al problema que allí se necesita resolver, como es el caso de estudio que presenta Elguero (2009), en su tesis de maestría, basada en la aplicación de los números reales, a través del oficio de la moldería para ropa, en donde describe : “ la matemática que involucra la confección de un molde, para luego estudiar cómo ella se construye en el escenario laboral de las modistas, donde se mira el tipo de cuestiones matemáticas que plantea su trazado y con qué contenidos matemáticos se abordan. Se focaliza esencialmente la atención en los significados en torno a los racionales que se movilizan para dar respuesta a tales cuestiones”17, acercando la realidad escolar a la realidad cotidiana y laboral.

En el aula podemos representar los números racionales, asociados a los fraccionarios, mediante una serie de actividades en donde el estudiante se aproxime y asocie el concepto de completez como lo plantean Ríos18 (2007) ó Gairín y Muñoz19 (2007), como

16 RÍOS GARCÍA, Yaneth. Una Ingeniería Didáctica Aplicada sobre fracciones. En: Red de

Revistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal (Maracaibo, Venezuela). 2007. p.142. 17

ELGUERO, Cecilia. Construcción social de ideas en torno al número racional en un escenario sociocultural de trabajo. Tesis de Maestría en Ciencias en Matemática Educativa. Méjico: Instituto Politécnico Nacional, 2009. 144 p. 18

RÍOS GARCÍA, Yaneth. Una Ingeniería Didáctica Aplicada sobre fracciones. En: Red de Revistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal (Maracaibo, Venezuela). 2007. p.130-131.


una relación parte todo, como una razón, como una partición o como una división indicada, como una comparación de medidas, como la representación de un número

decimal o como una representación de porcentajes.

2.2.4 El diseño Industrial

Cuando hablamos de objetos de aprendizaje, necesariamente debemos recurrir al Diseño Industrial como un referente teórico-práctico para presentar a la comunidad educativa un producto, que implica un esfuerzo mental en cuanto a su forma y aplicación, e impacte en el usuario por su estética, facilidad de interacción-comunicación y facilite el proceso de aprendizaje. El gran aporte del Diseño Industrial en la educación, parte del cambio de actitud, producido ante la innovación en la forma de presentar un conocimiento, podríamos decir que se produce un cambio social, debido a los resultados positivos que se pueden dar, si manejamos adecuadamente el uso de objetos producto de la interacción del Diseño Industrial y la secuencia didáctica utilizada para su aplicación en el aula de clase. Siendo el diseño un proceso sistemático a manera científica y no intuitiva, que concierne a todas los vinculados en ambientes humanos, como es el caso de la escuela, permite adoptar posiciones más proactivas respecto al conocimiento de nuestra sociedad, necesitada de seres integrales, con los cuales los docentes tenemos un compromiso y hacer de nuestra aula un lugar dinámico, saliéndonos de los métodos tradicionales, donde las ayudas didácticas no tienen cabida. Estos elementos permiten destacar la importancia que tiene el diseño industrial en el proceso educativo, en donde los juegos manipulativos y de coordinación como los presenta Bautista Vallejo (2005), cuando expresa que: “los juegos no sólo mejoran la coordinación motriz y el dominio de los cinco sentidos, sino que también mejoran el desarrollo de aspectos del pensamiento y la capacidad intelectual de los niños y niñas, es decir, ponen la inteligencia al servicio de la conducta lúdica”20. Es entonces necesario, a partir del diseño industrial empezar a pensar en el tipo de juegos u objetos que se deben elaborar o construir, para satisfacer una necesidad, que en el caso particular interesó, la educativa, faciliten el proceso. Dentro del contexto en que los educandos de la institución realizan sus actividades durante los descansos, como ya se había anotado, los juegos de mesa ocupan gran parte de ese tiempo, por lo tanto para mejorar la comprensión del tema de los números reales y como lo dice García Blanco (1998): “todo objeto físico ofrece grandes ventajas para el desarrollo cognitivo de las personas, pero en particular es más fácil alcanzarlo con aquellos objetos que

19 GAIRIN SALLAN, José María y MUÑOZ ESCOLANO, José María. El Número Racional Positivo

en la Práctica Educativa: Estudio de una Propuesta Editorial. IX Simposio SEIEM Córdoba. 2005. p. 2-3. 20

BAUTISTA VALLEJO, José Manuel. Criterios didácticos en el diseño de materiales y juegos en educación infantil y primaria. Universidad de Huelva. 2005. p. 1.


tenemos más próximos”21, los objetos de aprendizaje se tienen que diseñar partiendo de ese contexto. A continuación en la tabla aparecen algunos de los trabajos que en Colombia se han desarrollado para aplicar en números reales y fraccionarios utilizando el diseño industrial y las tics. Tabla 2 Estado del arte en Colombia aplicado en los reales, utilizando objetos físicos y virtuales

AUTOR TEMA OBJETIVOS

Arévalo Jaimes Stella (2013)

Las tics en las fracciones y los

números racionales.

Desarrollo de competencias básicas en el estudio de las fracciones y de los números racionales.

Arias Guido Fernando (2013)

Números reales. Diseño de una web quest para iniciar el estudio de los reales.

Cifuentes Virginia (2012)

Mejoramiento de la calidad de la educación de Cundinamarca. Materiales educativos para el área de matemáticas.

Analizar y aplicar las operaciones que se cumplen para los conjuntos numéricos (N, Z, Q), reconocer sus propiedades.

Jurado Cristina (2011)

El dueño de casa. -Potenciación y radicación con números fraccionarios. - Ubicación de pares fraccionarios positivos en el Plano Cartesiano. - Razones y proporciones.

Rivadeneira Nancy (2010) Parto y reparto. Las fracciones. Desarrollar mediante varios juegos

la didáctica de las fracciones.

Zapata Zapata Donna (1996)

Una experiencia con números fraccionarios

Elementos conceptuales de diseño de modelos didácticos, para trabajar la noción de número fraccionario

Fuente Colombia Aprende.

21 GARCÍA BLANCO, Ángela. Aprender con los objetos. Madrid. Ministerio de Educación y

Cultura.1998. p. 11.

3. Diseño metodológico

El desarrollo de este proyecto se realizó en tres etapas a saber: primera, diseño de los objetos de aprendizaje y de las actividades de aula necesarias para su uso, segunda, validación de los mismos y tercera, aplicación de la secuencia didáctica con el respectivo análisis de los resultados.

3.1 Diseño de los objetos de aprendizaje y de las actividades de aula.

Teniendo en cuenta que cada objeto diseñado se pensó desde la perspectiva de presentar a la comunidad educativa, una manera diferente de abordar el tema de los números reales y el concepto de completez, se debió asociar inmediatamente para cada diseño la forma en que se iba a trabajar en clase, es decir, cómo iban a ser las intervenciones de aula.

En este punto cabe mencionar el trabajo conjunto que los estudiantes de Diseño Industrial, Andrés Benavidez y Jennifer Cifuentes, realizaron con el autor del proyecto para pensar y construir cada uno de los objetos físicos utilizados en el proyecto.

3.1.1 Diseño de los objetos físicos y virtuales

En esta etapa se manejaron dos criterios, el primero resultó de la observación de las actividades que los estudiantes de la institución realizaban en su tiempo libre, que resultó estar dedicado, con un gran interés por un número alto de estudiantes, a los juegos de mesa, tales como las cartas, el bingo y el dominó, y en segundo lugar que al diseñar estos objetos físicos mantuvieran la coherencia horizontal de los pensamientos matemáticos propuestos por el MEN, para que los estudiantes con los cuales se aplicó el proyecto lleguen a ser matemáticamente competentes.

Para los objetos físicos se tuvo en cuenta los siguientes referentes en juegos matemáticos: El juego de las fracciones equivalentes, El juego con fracciones-racionales, El mercado matemático de Mendel y El Bingo Matemático, para adaptarlos al tema de los números reales. (Figura 20, página siguiente).

Con esta información, sumada a las observaciones de las actividades realizadas por los estudiantes durante los descansos, se construyeron los primeros objetos físicos, que se muestran en la figura 21 de la página 42.

Los objetos virtuales se diseñaron a partir del teorema de Pitágoras y el cálculo de las raíces cuadradas de un número cualquiera, implementando aplicativos basados en GeoGebra, siendo una creación personal del autor del proyecto.


Figura 20 Juegos matemáticos referentes

Fuentes: http://www.gobiernode canarias.org/educación/rtee/dimat.htm, www.educaplus.org/play-89-Fracciones, http://clic.xtec.cat/db/act es.jsp?id=2960, http://clic.xtec.cat/db/act_es.jsp?id=2058 Recuperado 23-3-2012

Figura 21 Diseños iniciales de la sala de juegos

Fuente: fotos tomadas por el autor 22-2-2012 de los diseños originales de Diego Aguilón, Andrés Benavidez y Jennifer Cifuentes

3.1.2 Intervenciones de aula.

Con estos objetos físicos y virtuales se planificaron tres intervenciones de aula, con duración de dos horas cada una, siendo necesario utilizar las dos jornadas para poder trabajar con todos los estudiantes, debido a que en el momento de la aplicación sólo se contaba con una única serie de juegos y entonces no todos podrían interactuar con ellos al tiempo. El trabajo se hizo con ocho grupos, conformado cada uno por cinco estudiantes.

Aquí los docentes solo intervendrán para resolver alguna duda respecto a la mecánica del juego, es decir, únicamente habrá interacción cuando los estudiantes manifiesten la necesidad de ella, pero que no sea para resolver ninguna de las actividades sino para aclarar dudas y manifestar más interrogantes que los pongan a prueba con el fin de lograr el objetivo trazado que no es más que el reconocer los números reales como un

http://www.gobiernode/

http://www.educaplus.org/play-89-Fracciones

http://www.educaplus.org/play-89-Fracciones

http://clic.xtec.cat/db/act

http://clic.xtec.cat/db/act_es.jsp?id=2058

Diseño metodológico 43

conjunto completo resultado de sumar los números racionales con los números irracionales.

■ Primera intervención de aula. Sala de juegos multinivel

Para avanzar, los estudiantes en esta etapa tuvieron que ir superando cada uno de los cuatro niveles propuestos hasta completarlos todos, de acuerdo al instructivo diseñado para su ejecución. En el nivel uno, trabajaron en dos fases con un objeto llamado las fracciones, el nivel dos utiliza la ruleta mayor, el nivel tres emplea el Concéntrese real, para finalizar con el nivel cuatro llenando el crucigrama matemático. Estos objetos físicos se muestran en la figura 26, en la página 53.

■ Segunda intervención de aula. Aplicativos en GeoGebra

Se diseñaron tres aplicativos, enfocados en el manejo de los números irracionales, buscando generar espacios donde se estimule el desarrollo de su pensamiento, para así completar los números reales. El primer aplicativo utilizó el teorema de Pitágoras, para el cálculo de raíces cuadradas, el segundo sirvió para encontrar el número Pi como la relación entre la longitud y el diámetro de un círculo y el tercero también permitió calcular raíces cuadradas pero utilizando el cruce de círculo con el plano cartesiano.

■Tercera intervención de aula. La recta numérica

Con esta intervención los estudiantes realizaron una práctica con la recta numérica diseñada como un zoom, (ver figura 47, página 84), en donde ellos pudieron encontrar y posicionar diferentes números con varias cifras decimales, completando así el proceso para determinar que los números reales llenan por completo la recta numérica.

Al finalizar cada actividad se socializarán los resultados obtenidos por cada grupo con discusiones y aportes de cada uno de ellos y así hacer valedera esta propuesta <socio constructivista>.

Como se puede ver ésta es una investigación o trabajo que se ubica en el tiempo, ya que incluye una investigación de hechos pasados (Histórica), donde se representa una búsqueda crítica de la verdad sustentada en acontecimientos pasados respecto a los números reales, de hechos presentes (Descriptiva), trabajando realidades de hecho a través de problemas y preguntas propuestas hacia los estudiantes con quienes se realizará la investigación, y de cosas que pueden pasar (Experimental), resultado de esos problemas propuestos, con el fin de alcanzar los objetivos trazados en el proyecto.

Es en este marco que se presenta esta propuesta como una primera aproximación para hacer frente a la problemática de enseñar los números reales, (la cual se pondrá a prueba y analizará) para mejorarla y nutrirla con otros aportes, o rechazarla por producir más malestares del que trata de solucionar, pero eso sí, intenta que el individuo, en este caso el estudiante, construya conocimiento matemático a través de la acción, porque él mismo lanzará conjeturas, hipótesis, planteará soluciones y encontrará un nuevo significado a su quehacer en el aula y fuera de ella porque apropió un conocimiento.

3.2. Aplicación y validación

Después de haber trabajado en el diseño preliminar de los objetos físicos se hace necesario su validación, con el objeto de observar las fortalezas y debilidades que


presentan a la hora de la interacción de los estudiantes con ellos, recordando que siempre se debe pensar en el usuario, objeto de esta re-significación, para rediseñarlos, cambiarlos o dejarlos tal como están, lo cual requiere de un protocolo a seguir durante las pruebas, teniendo en cuenta que la aplicación para la sala de juegos y la recta numérica, se hará en un lugar diferente al de la aplicación de la herramienta virtual.

3.2.1 Protocolo de comprobación

En la interacción docente-estudiante, siempre ha existido el interés por mejorar las condiciones para que los estudiantes se acerquen a una mayor comprensión de los conceptos objeto de estudio, por lo que a través de los años, los maestros han presentado varias propuestas o estrategias, que buscan cerrar esa brecha entre lo enseñado y lo aprendido.

Es entonces, que se presenta como una alternativa de solución el uso de objetos físicos, que saquen de la rutina a los estudiantes, primero, para motivarlos y segundo, para articular una actividad didáctica, que los ayude a la comprensión de un tema de estudio.

Como todo diseño, se requieren validaciones para mejorar cada propuesta, de acuerdo a las necesidades del usuario y así presentar un resultado, el objeto físico, como un recurso que verdaderamente sea efectivo a la hora de comprometerlo en una actividad de aula, en una actividad de aprendizaje, las cuales se realizaron en los lugares y fechas que muestra la tabla 3 y la figura 22.

Tabla 3 Lugar y fecha de las pruebas

PRUEBA FECHA HORA LUGAR

SALA DE JUEGOS

Abril 26 y 27/2012

Abril 26 y 27/2012

Agosto 28 y 29/2012

Agosto 28 y 29/2012

Abril 23 y 24/2013

Abril 23 y 24/2013

11:00 A.M. y 12:15 P.M.

3:45 P.M. y 5:30 P.M.

10:00 A.M. y 11:30 A.M. 3:45 P.M. y 5:30 P.M.

11:00 A.M. y 12:15 P.M. 3:45 P.M. y 5:30 P.M.

BIBLIOTECA

SEDE CENTRAL

RECTA NUMÉRICA

Agosto 30 y 31/2012

Agosto 30 y 31/2012

Abril 25 y 26/2013

Abril 25 y 26/2013

10:00 A.M y 11:30 A.M.

1:30 P.M. y 3:15 P.M.

10:00 A.M. y 11:30 A.M.

3:45 P.M. y 5:30 P.M.

BIBLIOTECA

SEDE CENTRAL

HERRAMIENTA

VIRTUAL

Septiembre 4/2012

Septiembre 4/2012

Abril 4/2013

Abril 4/2013

10:00 A.M. y 11:30 A.M.

3:45 P.M. y 5:30 P.M.

11:00 A.M. y 12:15 P.M.

1:30 P.M. y 3:15 P.M.

SALA DE

SISTEMAS SEDE CENTRAL

Fuente propia

Figura 22 Fotos I.E. Gabriel García Márquez

Fuente: fotos tomadas por Jennifer Cifuentes el 26-4-2012


Es importante resaltar que las pruebas no se realizaron hasta que los estudiantes leyeran en su totalidad el siguiente protocolo de comprobación y cumplieran con los requisitos implícitos en él.

■ Nombre de la prueba de validación

Prueba de actividad y secuencia uso de objetos didácticos para el aprendizaje del concepto de los números reales para estudiantes de grado octavo de básica secundaria.

■ Realizadores de la prueba

La actividad didáctica la desarrollaron Diego Aguilón, ponente del proyecto y, Andrés Benavides y Jennifer Cifuentes, estudiantes de Diseño Industrial de la Universidad Nacional de Colombia, sede Palmira.

■ Descripción de la prueba

Se realizará la prueba haciendo una serie de actividades didácticas, con sus respectivas instrucciones y unos fines específicos para lograr identificar si los estudiantes alcanzan o no la competencia matemática mediante el desarrollo de sus diferentes pensamientos (numérico, métrico, espacial, variacional y aleatorio), tal como lo propone el MEN en los Estándares y Lineamientos Curriculares establecidos por ellos a partir del 2006, una vez alcanzado el entendimiento del contenido temático propuesto.

La prueba tiene cuatro etapas o niveles, los cuales deben ser terminados, uno por uno, para poder pasar al siguiente.

De acuerdo a los resultados mostrados por los estudiantes y con la información obtenida se verificará si la hipótesis planteada es cierta o no para hacer los respectivos ajustes y/o realizar cambios, de ser necesario.

■ Objetivo general de la prueba

Conseguir que los estudiantes logren un mayor entendimiento de los temas y contenidos de los números reales por medio de una actividad didáctica, propuesta a través del diseño e implementación de un objeto físico.

■ Objetivos específicos

Analizar, diseñar e implementar una sala de juegos que permitan un acercamiento inicial con números fraccionarios, al concepto de completez de los números reales.

Formular, a través de la sala de juegos, una serie de situaciones problema, que lleve a los estudiantes a empezar la construcción analítica de los números reales.

■ Actividades propuestas para el cumplimiento de los objetivos

Realizar una secuencia de uso.

Entregar la secuencia a cada grupo de 5 estudiantes con las preguntas de la actividad.

Desarrollar la prueba paso a paso con los grupos.


Identificar si los estudiantes están desarrollando la prueba de manera adecuada, de acuerdo a los siguientes criterios y cuyos resultados están en la tabla 6 de la página 50:

Reconocer el funcionamiento del objeto físico. Responder las guías propuestas

■Terminar la actividad.

■Tomar los datos y registro de la actividad.

■Hacer las conclusiones posteriores a la prueba.

■Hacer la validación con los datos generados por el desarrollo de la prueba.

■Retroalimentar el proyecto, proponiendo modificaciones y/o cambios, tanto al objeto físico, como a la secuencia didáctica.

■ Hipótesis

Con el desarrollo de la actividad y por medio de los objetos didácticos el estudiante comprenderá progresivamente los conceptos de números reales, aumentando el nivel de conocimiento, lo que le permitirá en el mismo número de preguntas un mayor acierto de respuestas. El estudiante identifica que con la actividad didáctica propuesta, hay una mayor comprensión de los temas, que con la clase convencional.

■ Condiciones y recursos de las pruebas

Tabla 4 Condiciones y recursos de las pruebas

LUGAR ILUMINACIÓN TEMPERATURA

RECURSOS DE LA PRUEBA

HUMANOS FÍSICOS

Biblioteca

Sala de

sistemas

Diurna, natural

12 Lámparas

fluorescentes

Entre 30 y 340C

Entre 20 y 240C

Cuenta con aire

acondicionado.

1 persona que hace todas las anotaciones. 1 persona que maneja la cámara 5 estudiantes de grado 8

0 realizan la

prueba. 7 personas en total

Equipo: cámara Fotográfica (incluye temporizador). Herramientas: objetos didácticos y secuencia de uso. Instrumentos: Cronómetro de la cámara, bolígrafo y fichas de registro. Insumos: hojas de

preguntas y respuestas.

Fuente propia


■ Secuencia de la prueba

Las pruebas obedecen a la siguiente secuencia, teniendo en cuenta que se deben cumplir en su totalidad cada uno de los niveles propuestos.

1. Ubicar los elementos por cada mesa y grupo. 2. Ubicar elementos de registro. 3. Cada grupo de la prueba debe tomar la ubicación establecida. 4. Entregarle a cada grupo la hoja de preguntas y respuestas. 5. Leer el protocolo. 6. Empezar la prueba en paralelo con el registro de video. 7. Cada 10 minutos hacer un chequeo de cómo va el desarrollo de la prueba. 8. Finalizar la prueba. 9. Detener el registro. 10. Recoger las hojas de preguntas y respuestas. 11. Recoger los elementos de la prueba. 12. Hacer pregunta a los estudiantes de cómo se sintieron en la prueba. 13. Tomar anotaciones de sus opiniones. 14. Analizar los datos. 15. Sacar Observaciones y conclusiones. 16. Dejar el espacio limpio.

■ Indicadores de la prueba

Toda prueba debe ser evaluada y medida para diagnosticar de una manera más asertiva si la misma necesita rediseñarse, ya sea porque los objetos físicos lo requieren, para facilitar el entendimiento y manejo por parte de los estudiantes o porque no alcanzan los objetivos propuestos. El indicador de las pruebas será la relación entre la Cantidad de preguntas/cantidad de respuestas acertadas, expresado en porcentaje (%), datos que se pueden ver en la tabla 5 (página 48), con un indicador del 67% de respuestas positivas Para realizar el cálculo se tuvo en cuenta que las respuestas chuleadas (√) son las correctas y las que tienen un círculo son las equivocadas. Con los datos de la figura 23, página 49, se midió el grado de satisfacción de la actividad y entendimiento de las características de los números reales.

En la figura 24, página 50, están anotadas las observaciones y conclusiones de los estudiantes para cada una de las actividades propuestas y en la figura 25, página 51, las conclusiones de los realizadores de las pruebas.

La retroalimentación del proyecto sale necesariamente de la información suministrada de estas dos últimas figuras, realizando una buena lectura de ellas, para proponer y realizar cambios o mejoras, tanto a las actividades didácticas, como a los objetos físicos. Inclusive, se puede mirar la posibilidad de poder aplicar esta metodología a otros temas de la matemática, e involucrar diferentes áreas del conocimiento, transversalizando, para construir un conocimiento más holístico, buscando que los estudiantes sean más competentes.


Tabla 5 Cuestionario para calcular el indicador de las pruebas.



Figura 23 Nivel de entendimiento y satisfacción de la prueba



Figura 24. Observaciones y conclusiones de los estudiantes



Figura 25 Observaciones y conclusiones de los realizadores de las pruebas



3.2.2 Resultados de la validación

La Tabla 6 muestra el desarrollo de la secuencia didáctica en sus tres etapas, donde se identifica que los estudiantes ejecutaron la prueba de manera adecuada, porque comprendieron el funcionamiento de los objetos físicos y aplicativos, terminando las actividades propuestas para cada uno de ellos, criterios de necesario cumplimiento para avalar esta afirmación. La única actividad que no se pudo completar, fue la correspondiente al nivel 3, juego El Concéntrese Real, indicando por lo tanto, que en general el proceso se pudo cumplir en su totalidad, con una interacción entre los objetos de aprendizaje y los usuarios muy dinámica, además de cumplir con el objeto de enseñanza, que se analizará más adelante en el capítulo Análisis de Resultados.

Tabla 6 Desarrollo de la secuencia didáctica

ACTIVIDADES DE AULA

NIVELES GRUPO No. G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8

Sala de juegos

Nivel 1

Reconoce el objeto y su funcionamiento

SI SI SI SI SI SI SI SI

Completó la actividad


Nivel 2





Nivel 3




NO NO NO NO NO NO NO NO

Nivel 4





Aplicativos en GeoGebra

Aplicativo 1




SI SI NO SI SI SI SI NO

Aplicativo 2





Aplicativo 3





Recta numérica

Nivel único





Fuente propia

Con la información obtenida de la validación de los objetos físicos, se pudo concluir que El Concéntrese Real y La Ruleta Mayor deben ser modificados. Estas modificaciones deben buscar: primero, disminuir el tiempo de duración de la prueba para lograr que los estudiantes puedan terminarla en el tiempo establecido, y segundo, permitir que los


objetos sean utilizados en cualquier otra área del conocimiento, que era una de las fortalezas que se buscaba alcanzar con su diseño. Por ejemplo, en La Ruleta Mayor al no ser utilizada todas las caras del cubo de preguntas, requería que los estudiantes repitieran continuamente el ejercicio, para encontrar interrogantes diferentes, por lo que se propuso como mejora del objeto, utilizar las cuatro caras, para ubicar las preguntas, ganando con ello tiempo, porque ya no sería necesario estar repitiendo la interacción con el objeto para buscar una nueva pregunta. En el Concéntrese Real, cambiar las fichas circulares que contienen los números a los cuales se les debe encontrar sus equivalentes por piezas que contengan el espacio suficiente para guardar allí una fichas intercambiables, que garanticen actualizar los aplicativos o poder usarlos en otras áreas del conocimiento.

Las respuestas mostradas en la figura 23, página 49, indican que el nivel de satisfacción y de comprensión del tema objeto de estudio, donde el 100% de los estudiantes respondió que hubo una mayor comprensión, puede calificarse de óptimo, dando a entender que la propuesta didáctica utilizando objetos físicos para la enseñanza de los números reales, a diferencia de la propuesta del método tradicional, generaba unos espacios más dinámicos, con una mejor interacción entre el tema y los objetos de aprendizaje, logrando una mayor aprehensión y construcción del conocimiento esperados.

El análisis de los resultados, las observaciones de estudiantes y profesores, terminó con nuevos objetos físicos y rediseño de otros (figura26), junto a la secuencia didáctica para su uso.

Figura 26 Objetos Físicos del proyecto

Fuente: fotos tomadas por el autor el 20-10-2012 de los diseños originales

de Diego Aguilón, Andrés Benavidez y Jennifer Cifuentes.

4. Análisis de resultados

En este capítulo se muestran los resultados de los actividades realizadas, junto a su interpretación y análisis, recordando que cada actividad se realizó en grupos de cinco estudiantes, con el objeto de facilitar las comunidades de aprendizaje en un ambiente colaborativo.

Es importante recalcar que el proyecto tuvo un carácter exploratorio, porque fue un proceso de búsqueda y generación de conocimientos a través del desarrollo de una serie de actividades intelectuales caracterizadas por su creatividad e innovación de ideas, como también ubicado en el tiempo, descriptivo y experimental, tal como se había expresado anteriormente en el diseño metodológico.

La secuencia didáctica se dividió en tres etapas, de acuerdo a los objetivos específicos planteados, con lo que los estudiantes llenaron el vacío respecto al conocimiento de los números reales y el concepto de completez.

El diseño de estas tres etapas cumple con los lineamientos establecidos por el MEN, buscando el desarrollo de las competencias matemáticas, una vez alcanzados los estándares básicos correspondientes al grado octavo de básica secundaria. Recordando que el Ministerio plantea que es a partir de los estándares que se diseña “el currículo, el plan de estudios, los proyectos escolares”22, por lo que todas y cada una de las actividades propuestas en la secuencia didáctica del proyecto, deben cumplir con los siguientes estándares básicos de competencias, sin presentarlos por separado:

“-Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.

-Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales.

-Identifico y utilizo la radicación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas.

-Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre objetos bidimensionales y figuras tridimensionales.

-Reconozco y contrasto propiedades y relaciones utilizadas en demostraciones de teoremas básicos (como el de Pitágoras).


Ciudadanas. Bogotá: Imprenta Nacional de Colombia. 2006, primera edición. p. 11.


-Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y otras disciplinas.

-Justifico la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas ciencias.

-Reconozco cómo diferentes maneras de presentación de información pueden originar diferentes interpretaciones.

-Comparo resultados de experimentos aleatorios.

-Modelo situaciones de variación.

-Uso procesos inductivos y lenguaje matemático para formular y poner a prueba conjeturas”23

Alcanzar estos estándares es hacia donde se dirige la ejecución del proyecto, unidos al saber qué, el saber qué hacer y el saber cómo, cuándo y por qué hacerlo, es decir, el estudiante alcanzará competencias ligadas tanto al hacer como al comprender.

La primera etapa, en la sala de juegos, es un acercamiento a los números racionales, la segunda a los números irracionales y la tercera, es su representación en la recta numérica, sin dejar ningún vacío, completando el conjunto de los números reales.

La ejecución de la primera etapa, realizada en la Sala de Juegos, multinivel, los estudiantes iniciaban en el nivel 1, y solo podían avanzar al siguiente, hasta no haberlo completado, igual ocurría para acceder a los otros niveles, siguiendo la secuencia que se detalla a continuación.

4.1 Inicio de la actividad y Sala De Juegos

A los estudiantes se les entregó un cuestionario, cuyas respuestas, que no necesitaron el uso de la calculadora, aparecen en la Tabla 7, página 57 (recordamos que son ocho grupos de a cinco estudiantes), para empezar a valorar con qué conceptos previos, necesarios para desarrollar la actividad, respecto al conocimiento básico de los conjuntos numéricos en cuanto a su definición y composición, lo mismo que al valor posicional de los números decimales, llega el estudiante. Se esperaba que los conocimientos adquiridos durante su proceso educativo en los años anteriores, les permitiese resolver el aplicativo propuesto con un grado de aciertos significativos, respecto a estos dos criterios en particular, indicando con ello el grado de aprehensión que poseían de los mismos.

Es importante destacar que a los estudiantes se les informa que sus respuestas no serán calificadas, porque hacen parte del diagnóstico necesario para ir midiendo los alcances del objeto físico, como objeto de aprendizaje.

Las respuestas que el grupo No 2 le dio al cuestionario propuesto, reflejan un alto grado de desconocimiento de los conjuntos numéricos, incluido el de los reales, donde solo


Ciudadanas. Bogotá: Imprenta Nacional de Colombia. 2006, primera edición. p. 86-87.

Análisis de resultados 57

catorce de cuarenta respuestas fueron acertadas, que representan el 35% del total posible (el anexo A contiene todas las respuestas). Para medir el aporte de las actividades de aprendizaje, se ejecutó el mismo cuestionario, cuarenta días después de haber realizado toda la prueba, con el objeto de medir la aprehensión de los conocimientos construidos y adquiridos gracias al proyecto. El comparativo se puede ver en la tabla 19, página 88.

Al terminar de contestar el cuestionario, se inician las actividades en la Sala de Juegos, con cuatro niveles, diseñados para alcanzar el primer objetivo de este proyecto de aula.

Tabla 7 Respuestas al cuestionario base para calcular el indicador propuesto.

Fuente: tomado de los resultados de la actividad el 26 y 27-4-2012


4.2 Primer nivel El nivel consta de dos fases complementarias, en donde se utilizará el mismo objeto físico (figura 27, las fracciones), pero con una guía diferente en cada una de ellas. El objeto contiene diferentes barras, que representan desde la unidad (una sola barra), un medio (dos barras que al unirlas son iguales a la unidad), un cuarto (cuatro barras que al sumarlas representan la unidad) y así hasta llegar a un décimo.

4.2.1 Objetivos

1. Que los estudiantes empiecen a reconocer los números racionales como una expresión de la forma a/b, el significado de la cantidad expresada en el número racional a medida que el denominador (b) cambia y la suma entre ellos.

2. Reconocer problemas de comunicación entre el objeto físico y el usuario, que permitan el mejoramiento del diseño y por ende la comunicación entre las partes involucradas.

4.2.2 Conocimientos previos

Debe conocer el significado de número fraccionario y el manejo de la división como operación necesaria para la identificación del valor numérico resultado de esa división.

4.2.3 Pensamientos incluidos

En esta actividad se trabajaron los pensamientos numérico, métrico, espacial, variacional y aleatorio.

4.2.4 Primera fase

A los estudiantes se les entregó el objeto físico Las Fracciones (figura 27) y el instructivo 1(figura 28, página siguiente), donde se les solicitó responder de acuerdo a las instrucciones allí planteadas.

Figura 27. Las Fracciones

Fuente: foto tomada por el autor el 20-10-2012 de la actividad

con el diseño original de Diego Aguilón y Jennifer Cifuentes

Todos los resultados de la actividad se muestran en el anexo B, donde nuevamente se ve claramente el vacío de conocimiento respecto a los números racionales, aquí ni siquiera su representación geométrica pudo ser observada y analizada. También se pudo detectar grandes vacíos en materia de lenguaje, por las dificultades que presentaron los estudiantes a la hora de producir texto argumentativo y descriptivo.


Figura 28. Respuestas al Instructivo 1, nivel 1 fase1


Para facilitar el análisis de estos resultados, se presentan en la tabla 8 y se comparan en la figura 29, página siguiente.

Tabla 8. Resultados del reconocimiento de las características de los números racionales

GRUPO 1 2 3 4 5 6 7 8

NIVEL DE

RECONOCIMIENTO

B B M A M B B B

Fuente propia


Siendo el nivel B (BAJO) cuando los estudiantes no reconocieron ninguna característica, el nivel M (MEDIO) cuando reconocieron una o dos características y nivel A (ALTO) cuando reconocieron más de dos características de los números racionales que tenía el objeto físico, los fraccionarios.

Figura 29. Comparativo niveles de conocimiento de las características de los números racionales

Fuente propia

Esta actividad que en realidad fue diagnóstica, mostró el bajo nivel de recordación que tienen los estudiantes del contenido matemático de los números fraccionarios como una relación parte todo, pues el 62% no reconoció ni siquiera que la expresión ½ era un número fraccionario y mucho menos que si se juntaban algunas de ellas podían conformar otra más grande. También mostró un nivel muy bajo en el proceso matemático de la comunicación que junto a los procesos de formular y resolver problemas, modelar procesos, razonar y formular y ejercitar procedimientos algorítmicos, componen la actividad matemática. Aquí es importante recordar lo que Duval (2004) argumenta y que el MEN recoge como válido en sus Estándares Básicos de Competencias: “las distintas formas de expresar y comunicar las preguntas, problemas, conjeturas y resultados matemáticos no son algo extrínseco y adicionado a una actividad matemática puramente mental, sino que la configuran intrínseca y radicalmente, de tal manera que las formas de expresión y comunicación es constitutiva de la comprensión de las matemáticas”24.

4.2.5 Fase 2

Los estudiantes continúan con el mismo objeto físico, pero con el instructivo 2, como el que se muestra en la figura 30, página 61, respondida por alguno de los grupos, para que confronten los saberes previos expresados en la fase 1, con nuevos conocimientos que los lleve a sacar conclusiones y generar nuevos conocimientos, actividad que a diferencia de las clases tradicionales, permite que el estudiante sea el actor principal en el proceso de aprendizaje, porque es él quien construye el conocimiento.

Después de realizar la prueba, cuyos resultados están en el anexo C y que se consolidan en la tabla 9, página 62, permite concluir que los estudiantes alcanzaron el primer objetivo trazado para este nivel, pues lograron reconocer, primero, el significado del tamaño de la figura que representaba un número racional de la forma a/b, segundo, lo que iba sucediendo cuando cambiaba el denominador, tercero que los números se

24 DUVAL, R. Semiosis y Pensamiento Humano. Registros Semióticos y Aprendizajes

Intelectuales. Peter Lang-Universidad del Valle. Cali p.234

62%

25%

13%

NIVEL BAJO

NIVEL MEDIO

NIVEL ALTO


podían expresar de diferentes formas, por reducción o por amplificación, es decir se apropiaron de un nuevo concepto en el manejo de números racionales, y cuarto resolver situaciones aditivas como las planteadas en las preguntas 1., 2., y 3. de la guía. Todo esto gracias a la interacción con el objeto físico, sacándolos del ejemplo tradicional de la torta, que los ha llevado a pensar, por ejemplo, que ¼ es eso, un pedazo de torta.

Figura 30 Instructivo 2.



Tabla 9 Consolidado Respuestas Fase 2

GRUPOS (G) G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8

Número Preguntas/Número respuestas

5/5 5/5 5/5 5/5 5/5 5/5 5/5 5/5

% Respuestas respondidas 100 100 100 100 100 100 100 100

% Respuestas correctas 60 80 80 60 80 80 80 80

Respuestas incorrectas 4 y 5 5 5 4 y5 5 5 5 5 Fuente propia

El consolidado (Tabla 9), demuestra la existencia de un nuevo vacío por parte de los

estudiantes, respecto al pensamiento aleatorio, pues ninguno de los grupos respondió

acertadamente a la pregunta número cinco, indicando que se debe repensar el manejo

que estamos dando los docentes en el aula de clase cuando abordamos estos temas,

que por la premura del tiempo , siempre se dejan para el último período, si es que se

llegan a tocar, demostrando con esto que las matemáticas no se deben fraccionar, sino

trabajarlas con coherencia horizontal, tal como lo plantea el MEN en sus lineamientos

curriculares, en los que tanto se ha hecho énfasis.

En esta segunda fase se pudo evidenciar que los estudiantes empezaron a reconocer los números racionales, a través de la representación geométrica de los números fraccionarios, situación no alcanzada en la fase 1, debido a la pobreza conceptual demostrada, por el bajo nivel de apropiación que tenían de las características de estos números, es decir, lograron superarse y empezar a construir nuevos conocimientos.

Al medir la comunicación que tuvo el objeto físico respecto a la segunda guía de trabajo, fue muy positiva, porque los estudiantes lograron manipular con facilidad el objeto y ningún grupo preguntó sobre su manejo además de que lograron responder todos los interrogantes, es decir, mostró una gran coherencia con las intenciones educativas planteadas. También se descubrió una nueva potencialidad que el objeto poseía, porque todas las regletas manejaban como numerador solo el número uno, y al tener las regletas una sección cuadrada, se podrían entonces utilizar otros numeradores diferentes a uno, dándole más riqueza al objeto, ayudando con ello al mejoramiento de la propuesta..

4.3 Sala de Juegos. Nivel 2

Una vez superado completamente el nivel 1 los estudiantes entrarán a trabajar con el objeto físico La Ruleta Mayor (figura 31), y el instructivo de trabajo 3, relacionado en la figura 32 en la página siguiente.

Figura 31 La Ruleta Mayor

Fuente: Foto tomada por el autor el 20-2-2012 del diseño original de Diego Aguilón y Andrés Benavidez


La actividad consiste en colocar a girar la ruleta hasta que se detenga, para mirar qué cubo está frente a la señal, pues en éste encontrarán cuatro preguntas, una en cada cara, respecto a cuál número es mayor, respuesta que anotarán sobre la misma guía. Los cubos tienen unos bolsillos que contienen unas tarjetas (figura 33) con las respuestas y su explicación.

Figura 32 Instructivo de trabajo 3

Fuente: tomado de los resultados de la actividad el 23 y 24--2013

Figura 33 Tarjeta de respuestas y explicaciones nivel 2

Fuente: Diseños de Diego Aguilón y Andrés Benavidez


4.3.1 Objetivos

- Diferenciar cuando un número racional, expresado de la forma a/b, es mayor a otro porque entiende el valor de la magnitud que cada uno representa.

- Reconocer problemas de comunicación entre el objeto físico y el usuario, que permitan el mejoramiento del diseño y por ende la comunicación entre las partes involucradas.


Interpretación de las fracciones en situaciones de medición, relación parte todo, cociente y razones y proporciones, como también su equivalencia en números decimales, gracias al manejo de la división y la simplificación como operaciones necesarias para su identificación. Conocimientos obtenidos antes de iniciar la actividad didáctica más los adquiridos en el nivel anterior.

4.3.3 Pensamientos incluidos

En esta actividad se alcanzaron a trabajar los pensamientos numérico, métrico, espacial, variacional y aleatorio.

4.3.4. Análisis de resultados

Los resultados de esta actividad, se pueden ver en el anexo D, cabe recordar que cada anexo consta de ocho páginas, una para cada grupo, resumidos en la tabla 10, muestran que hay una mayor comprensión del valor de la magnitud de un número racional cuando el estudiante comparó dos números racionales y pudo determinar cuál de ellos era mayor.

Este nivel básicamente era la evaluación de cómo los estudiantes reconocían las diferencias en magnitud entre diferentes números racionales, porque entendían que este número tenía una equivalencia como número decimal y representaba un punto de la recta numérica, acercándose por ende al concepto de completez, en otras palabras, cuál fue el conocimiento construido por ellos a través del desarrollo del nivel 1 de la secuencia didáctica. La actividad se repitió dos veces (los ocho grupos), debido a que el tiempo empleado por los estudiantes fue más corto del que se tenía presupuestado, y los resultados consolidados los muestra la tabla 10.

Tabla 10 Resultados Nivel 2 PREGUNTA 1 2 3 4 5 6 7 8

ACIERTOS 8 7 7 7 7 4 8 8

% ACIERTOS 100 88 88 88 88 50 100 100

Fuente propia

Al observar detalladamente los resultados se tiene que el grado de acierto estuvo entre el 88% y el 100%, excepto para la pregunta 6 que sólo llegó al 50%, indicador que demuestra cómo los conocimientos adquiridos desde el nivel 1, habían sido asimilados, porque fueron capaces de resolver problemas usando relaciones entre los números reales y su expresión decimal, cumpliendo el objetivo trazado, al identificar y diferenciar el valor de la magnitud de una expresión a/b (número racional), sin importar qué signo numérico tuviera a ó b.


No obstante este hecho, se pudo identificar otro vacío. Como la pregunta para todos los casos, era identificar, dados dos números racionales, cuál era el mayor, se encontró que en la respuesta 6., en donde los dos números eran iguales, como por ejemplo: 2/4 y 6/12 ó 6/9 y 12/18, el nivel de aciertos solo alcanzó el 50%, debido a que algunos de los grupos no sabía simplificar para reducir las expresiones planteadas, sumado al hecho de que ellos esperaban la existencia de un número mayor, entre la pareja de datos a comparar, haciendo que sus respuestas no resultaron de un análisis matemático riguroso, sino de una discusión donde se argumentó y discutió, pero se decidió más al azar, que a cualquier otra cosa. Esto se logró identificar, porque continuamente los estudiantes solicitaron la intervención del docente cuando el par de números eran iguales, y como la propuesta no era la de resolverle el problema, sino generarle nuevas inquietudes que los llevara a replantear el análisis necesario para encontrar una respuesta acertada, como efectivamente ocurrió, pero al no tener apropiado el manejo de la simplificación, a pesar de la discusión y aportes que dentro del grupo se dieron, finalmente la respuesta no obedeció a ningún desarrollo matemático, se dejó a la suerte.

La actividad entonces lleva a una reflexión, que genera una nueva pregunta, ¿cómo resolver este vacío?, Es una invitación a trabajar en el desarrollo de una propuesta de aula en donde se apropien los conceptos básicos de la simplificación y amplificación de un número expresado en la forma a/b.

En el desarrollo de la actividad se logró establecer una comunicación excelente entre el usuario y el objeto físico, La Ruleta Mayor, gracias a su diseño, que facilitó la comprensión de los conceptos para alcanzar el objetivo propuesto y las posibilidades de ser usado en otras áreas del conocimiento, porque al ser las preguntas y respuestas removibles, facilitan colocar sobre el objeto cualquier tipo de actividad a desarrollar.

4.4 Sala de juegos Nivel 3

Los estudiantes recibirán un juego de concéntrese por tripletas, de números equivalentes, representado en la figura 34, página 66, donde cada número de la tripleta es el equivalente de los otros dos, porque están expresados matemáticamente de una forma diferente, ya sea como un número entero, un número racional, la parte de un todo, varios elementos al mismo tiempo o como una expresión porcentual. Para realizar la actividad los estudiantes trabajaron con el instructivo 4, presentado en la figura 35, página 66.

4.4.1 Objetivos.

- Identificar el significado de la magnitud expresada con un número racional en sus diferentes expresiones o equivalencias.



Debe conocer el significado de número racional, el manejo de la división como operación necesaria para la identificación del valor numérico resultado de esa división y su representación porcentual.


Este nivel necesita de los estudiantes una gran concentración y retención de la información para la ubicación de cada tripleta y una muy buena ubicación espacial para agilizar la actividad.

4.4.3 Pensamientos incluidos En esta actividad se alcanzaron a trabajar los pensamientos numérico, métrico, espacial, variacional y aleatorio.

Figura 34 Concéntrese Real

Fuente: foto tomada por el autor el 20-10-2012 del diseño original de Diego Aguilón y Jennifer Cifuentes

Figura 35 Instructivo 4

INSTITUCIÓN GABRIEL GARCÍA MÁRQUEZ Sala de juegos para el manejo del concepto de completez de los números reales

Área de Matemáticas. Grado 80

Guía 4

Nivel 3

Generalidades: Recuerde que los números racionales, expresado de la forma a/b, nos pueden representar

varias cosas, como por ejemplo:

5/8 representa que he tomado cinco partes de un pastel o de un terreno que hemos dividido en ocho partes

iguales, también puede ser la medida de una cuerda de 0.625 centímetros de largo, o el 62.5% de las

ganancias de un negocio.

1/2 es equivalente a 0.50, 50% o media manzana.

10/5 es equivalente a 2.00, 200% o tomarse dos vasos de agua.

A continuación usted encontrará un juego de concéntrese en donde usted debe encontrar por tripletas las

equivalencias de los siguientes números:

4/9

2/3

3/2

3/8

4/9

1/4

1/5

24/8

2/7

Fuente propia


Los resultados (anexo E), que se resumen en la tabla 11, mostraron que los estudiantes tienen dificultades para reconocer números equivalentes, como también problemas de concentración y ubicación espacial.

El objetivo principal de este nivel estaba direccionado para que los estudiantes reconocieran que no siempre un número racional representaba una relación parte todo. La actividad con El Concéntrese Real, consistía en encontrar nueve tripletas

equivalentes, cifra que no fue alcanzada por ninguno de los grupos, en el tiempo estipulado, solo uno de ellos identificó seis tripletas, (ver tabla 11). Este resultado se dio porque ellos inicialmente no utilizaron ninguna estrategia para el juego, solo se valieron de la ubicación espacial, con base en la memoria, la cual demostró ser muy poco efectiva a la hora de recordar qué número había en alguna de las posiciones escogidas por ellos, además se presentaron dificultades para relacionar las diferentes expresiones equivalentes cuando al encontrar un número racional, lo tienen que convertir a entero o decimal, usando la división.

Tabla 11. Resultados Nivel 3

Grupo No: 1 2 3 4 5 6 7 8

Tripletas encontradas 6 5 5 5 4 5 4 4

% Tripletas encontradas 66 55 55 55 44 55 44 44

Fuente propia

A pesar de todas estas dificultades, los resultados fueron positivos, ya que los estudiantes reconocieron que un número puede indicar diferentes cosas, dependiendo del contexto y el problema que se esté presentando, logrando que revalúen la creencia de que un número expresado de la forma a/b, hace solo referencia a la relación parte todo, no se queda únicamente en repartir un pedazo de una torta o un pedazo de una manzana, clase tradicional, sino que sabe que ese número también puede representar el largo de la cancha de fútbol de la institución, el porcentaje de utilidad que le queda a la señora de las fotocopias o la velocidad de un cohete espacial respecto a la velocidad del bus escolar que lo lleva a su institución.

La gran cantidad de tripletas a identificar, hizo que el tamaño de las fichas con los valores

equivalentes, fueran muy pequeñas, lo que impedía una buena visualización de los

mismos, dificultando su memorización y ubicación espacial, requiriendo un cambio para

contrarrestar estas dificultades y facilitar que la actividad se efectúe en el tiempo

estipulado. El nuevo diseño (figura 36), tiene además la fortaleza de poder ser utilizado

en otras áreas del conocimiento, porque las preguntas se pueden cambiar, según se

necesite.

Figura 36 Nuevo Concéntrese Real

Fuente: foto tomada por el autor el 5-5-2013

del diseño original de Diego Aguilón


4.5 Nivel 4

Los estudiantes recibieron el objeto físico El Crucigrama Matemático (figura 37), con su instructivo (figura 38, página 69), en la que se incluye una serie de preguntas, enfocadas a evaluar y corroborar algunos conceptos sobre los números reales y en general, de los conjuntos numéricos, como también resolución de problemas. Para responder el crucigrama se les entregó un juego de letras para formar las palabras correspondientes a cada una de las respuestas. No existe numeración que indique su posición en el crucigrama, ésta dependerá del número de letras de cada respuesta y de las letras comunes, cuando dos palabras se crucen. No debe sobrar ninguna letra.

4.5.1 Objetivos

1. Evaluar todos los conocimientos adquiridos en los niveles anteriores.

2. Ejercitar la resolución de problemas.

3. Reconocer problemas de comunicación entre el objeto físico y el usuario, que permitan el mejoramiento del diseño y por ende la comunicación entre las partes involucradas.


Conocer el significado de las características básicas de los conjuntos numéricos, diferenciarlos, manejo de operaciones básicas en contextos aditivos, multiplicativos y de radicación.

4.5.3 Pensamientos incluidos En esta actividad se alcanzaron a trabajar los pensamientos numérico, métrico, espacial, variacional y aleatorio.

Figura 37 Crucigrama Matemático

Fuente: fotos tomadas por el autor el 10-10-2012 de la actividad con el diseño original de Diego Aguilón y Jennifer Cifuentes.

El anexo F contiene todo el resultado del Crucigrama Matemático, el cual muestra un alto nivel de aciertos ( resumidos en la tabla 12, página 69), siendo un indicador de que las actividades didácticas desarrolladas han alcanzado sus objetivos, porque con este nivel se sintetizan todos los conocimientos adquiridos, en cada uno de los niveles, respecto a las características y diferenciación de los conjuntos numéricos y la resolución de problemas.


Figura 38 Instructivo Crucigrama Matemático

INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL GARCÍA MÁRQUEZ

Sala de juegos para el manejo del concepto de completez de los números reales

Área de Matemáticas Grado 80

CRUCIGRAMA MATEMÁTICO NIVEL 4

Descripción: A continuación recibirán una serie de letras que sirven para resolver el siguiente

crucigrama, respondiendo estas preguntas, primero sobre esta guía y luego ubicando las letras que forman cada palabra en los espacios correspondientes del objeto físico:

1. El equipo de fútbol de su clase acaba de hacer 23 goles en total en el torneo interclases de la institución. Si esa cantidad de goles las han hecho únicamente cuatro jugadores y se sabe que uno hizo 6 goles, otro hizo 9 goles, otro hizo 7 goles, cuántos goles hizo el cuarto jugador? __________

2. Cuándo se quiere saber cuánto dinero en total tienen tres hermanos, lo que se debe hacer es __________ el dinero que tiene cada uno de los hermanos.

3. Esta serie de números: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, se pueden clasificar como números ________________

4. Cuando usted divide un número al que vamos a llamar A, que es el doble de otro número llamado B, el resultado es _______

5. Se dice que 2/5 por ser un número de la forma a/b es un número ________________

6. Cuando usted suma dos veces la raíz cuadrada de dos el resultado es un número _________________

7. Cuando se unen todos los números racionales con todos los irracionales se conforma el conjunto de los números __________________

8. Un amigo hizo la siguiente operación para saber cuántos años tiene su primo: primero le sumó a su edad, que es de 47 años, la edad de su hermano que tiene 39 años, a este resultado le restó el doble de los años que tiene su esposa, que tiene 42 años, para finalmente a este nuevo resultado sumarle el número que se colocó como respuesta en la primer pregunta de este crucigrama. La respuesta final es ____________


Tabla 12 Aciertos por grupo y por pregunta crucigrama matemático

GRUPO No. 1 2 3 4 5 6 7 8 No DE

ACIERTOS %

ACIERTOS

PREGUNTA 1. √ √ √ √ √ √ √ √ 8 100

PREGUNTA 2. √ √ √ √ √ √ √ √ 8 100

PREGUNTA 3. √ X √ √ √ √ √ X 6 75

PREGUNTA 4. √ √ X √ X √ √ X 5 62

PREGUNTA 5. √ √ X √ √ √ √ X 6 75

PREGUNTA 6. √ X X X X √ X X 2 25

PREGUNTA 7. √ √ √ √ √ X X √ 6 75

PREGUNTA 8. √ √ X √ X X √ √ 5 62

Fuente propia


La pregunta 6, de respuesta: irracionales, que tuvo el nivel más bajo de aciertos (25%), refleja la necesidad de realizar actividades que fortalezcan el conocimiento y manejo de los números irracionales. De allí la importancia de los aplicativos en Geogebra, diseñados con el fin de trabajar este conjunto de números, que se proponen realizar en la siguiente actividad didáctica.

Las preguntas 4 y 8, en donde se trabaja la resolución de problemas, con el 62% de aciertos, son un indicador del poco trabajo que se ha venido haciendo en la resolución de problemas, en el aula, pues a pesar de no tener un alto grado de dificultad la resolución de los problemas planteados en el crucigrama, a los estudiantes se les dificulta reconocer el tipo de operación necesaria cuando enfrenta un problema, porque el método tradicional, empleado en la institución siempre ha hecho énfasis en aprender a manejar el algoritmo de la multiplicación o la división, pero poco ha enfrentado a los estudiantes a verdaderas situaciones multiplicativas.

La pregunta 5 con el 75% de aciertos, indica el nivel de apropiación de los números racionales y el manejo de sus equivalentes, obtenido gracias a las actividades anteriores.

El 75% de aciertos que tuvieron las pregunta 3 y 7, muestra el conocimiento de las características de los conjuntos numéricos y sus diferencias, denotando la efectividad de la secuencia didáctica propuesta para acercarnos al conjunto de los números reales.

El nivel de aciertos de las dos primeras preguntas (100%), conduce a pensar que existe un buen manejo cuando se enfrentas problemas aditivos.

Realizar esta actividad, como una evaluación de los conocimientos adquiridos durante las intervenciones de aula, con los resultados obtenidos, generan un grado de confianza en la secuencia, cumple con los objetivos de aprendizaje trazados y posibilita generar nuevas actividades con el uso de esta herramienta u objeto físico.

Entre el objeto físico y el usuario se logró establecer una buena comunicación, por la facilidad de su manejo y la actitud que mostraron los estudiantes cuando interactuaban con ella, porque los motivaba el hecho de que el crucigrama no tenía ninguna numeración establecida para posicionar las respuestas en el tablero.

También el diseño permite ser usado en otras áreas del conocimiento, simplemente cambiar las preguntas, llenar algunos espacios y liberar otros, existen muchas combinaciones posibles, para formular preguntas, completar textos, armar figuras, etc.

4.6 Secuencia didáctica virtual con GeoGebra

Para cumplir con el tercer objetivo de este proyecto de aula se diseñaron tres aplicativos en donde los estudiantes se aproximaron a los números irracionales, para así completar los números reales, y empezaron a recocer en un contexto real su aplicación Para una mayor facilidad en el manejo de cada aplicativo se procedió a diseñar el formato mostrado en la figura 39, página 71, llamado Registro Aplicativos Diseñados en Geogebra 4.2. El formato contiene el espacio para registrar datos generales, como nombre, fecha e imagen, objetivos, conocimientos previos, pensamientos matemáticos incluidos, contexto y lista o secuencia de actividades que facilitarán la apropiación de un conocimiento específico, según se detalla en cada uno de los aplicativos.


El proceso de implementación requirió una fase inicial de explicación del funcionamiento del programa, debido a dos situaciones específicas; primero el total desconocimiento del programa y segunda al hecho de que los estudiantes nunca habían realizado actividades con programas diferentes al Excel.

Esto requirió de un minucioso y detallado diseño de los aplicativos en Geogebra, tal como lo propone Hohenwarter25, para una fácil interpretación y uso. Afortunadamente Geogebra maneja un lenguaje muy sencillo, ajustado al utilizado en matemáticas, permitiendo continuar con la metodología propuesta de la sola intervención del profesor, exclusivamente para el manejo del programa y la generación de más inquietudes.

Figura 39. Formato Registro Aplicativos en GeoGebra

REGISTRO APLICATIVO DISEÑADO EN GEOGEBRA 4.2

Nombre del aplicativo

Fecha creación _________ __________ ___________ DÍA MES AÑO

Objetivo del Aplicativo:

Conceptos previos:

Pensamientos incluidos:

Contexto:

Imagen aplicativo

Actividades del Aplicativo

Fuente: Elaboración propia

Todos los aplicativos se realizaron en la sala de sistemas de la sede central de la Institución Gabriel García Márquez, figura 40, página siguiente.

25 Hohenwarter, Markus y Hohenwarter Judith. Documentos de ayuda Geogebra, Manual oficial de

la versión 4.2 Disponible en www.geogebra.org. 24 de marzo de 2012.



Figura 40 Sala de sistemas I.E. Gabriel García Márquez

Fuente: Foto tomada por el autor el 15-3-2012

4.6.1 Primer aplicativo

El aplicativo, cuyo objetivo es lograr que los estudiantes descubran los números irracionales, obtenidos a través de una serie de operaciones que incluían la adición multiplicación y radicación, como respuesta a una situación problema, consistió en empezar a realizar una serie de actividades, establecidas en los numerales del 1 al 10, de acuerdo a la siguiente secuencia:

-1. Mover el deslizador P construir un segmento cualquiera DA.

-2. Indica que se debe mover el deslizador Q para construir el segmento AB.

-3. Mover el deslizador identificado con la letra T para construir el segmento DB y contestar una pregunta respecto a la figura construida

-4. Se debe activar la casilla “medir longitudes”, luego dando clic sobre cada uno de los tres segmentos (DA, AB y DB) para que aparezca el valor equivalente a su longitud en centímetros.

-5. Se le pide que con ayuda de la calculadora calcule el valor de la hipotenusa del triángulo construido, siguiendo los pasos allí indicados, pero sin hacer referencia de que el segmento que acaba de calcular se llama hipotenusa y luego compararlo con el resultado del segmento DB, encontrando en el paso anterior.

-6. Indica mover los deslizadores P y Q para cambiar las medidas de los segmentos DA y AB y empezar a observar los cambios en las medidas de cada uno de ellos, e inclusive continuar comparando el resultado de la calculadora contra la medida que da el aplicativo, que siempre deben ser iguales.

-7, Se le hace referencia al teorema de Pitágoras.

-8 y 9, plantean a los estudiantes la resolución de un problema en donde debe aplicar sus conocimientos previos y los adquiridos durante la ejecución del aplicativo.

-10, busca encontrar las conclusiones del aplicativo, en donde quedan expresadas sus motivaciones, cómo se habían sentido con su ejecución, y si veían otras posibilidades de aplicación utilizando GeoGebra, que les ayudara a mejorar la comprensión de algún tema de su interés.


El aplicativo (figura 41), tiene adjunta una hoja de respuestas (figura.42, página 74), para responder a las actividades que se deben desarrollar para alcanzar el objetivo propuesto, los resultados están en el anexo G.

Figura 41 Primer Aplicativo en GeoGebra


Nombre del aplicativo 1

Raíces cuadradas

Fecha creación

8 7 2012 DÍA MES AÑO

Objetivo del Aplicativo: Descubrir en los números irracionales una respuesta a una situación determinada mediante el desarrollo del Teorema de Pitágoras.

Conceptos previos: Conceptos básicos para operar en situaciones aditivas, multiplicativas y de radicación. Conceptos básicos de Geometría, segmentos y figuras planas.

Pensamientos incluidos: Pensamientos numérico, métrico, espacial y variacional.

Contexto: Problemas donde el estudiante encuentra en un número real aplicaciones que encuentra en su

cotidianidad.

Imagen aplicativo

Actividades del Aplicativo

1. Mueve el deslizador P (de color rojo), para construir el segmento DA 2. Mueve el deslizador Q (de color verde) para construir el segmento AB 3. Mueve el deslizador T (de color negro) para construir el segmento DB. Qué figura resultó?

4. Activa el ícono dando clic en su extremo inferior derecho, luego en el submenú da clic en el

ícono para luego dar clic sobre el segmento DA, luego sobre el AB y luego sobre el DB. Qué aparece?

5. Usando calculadora, primero eleva al cuadrado cada una de las dos distancias menores que aparecen en la gráfica (segmentos DA y AB), luego suma esos dos resultados y a ese valor sácale la raíz cuadrada y compara este resultado con lo que marca la distancia del segmento DB (el más largo). Cómo son los dos valores?

6. Qué pasa si cambio la longitud de los segmentos DA y DB? 7. Sabías que acabas de modelar el famoso Teorema de Pitágoras? 8. Cuánto vale la longitud del lado más largo de un triángulo cuyos dos lados menores son 4,6 y 2,5

centímetros respectivamente? Qué pasa con esa medida si invierto los dos valores anteriores? 9. Su director de grupo le pide que le calcule cuantas tejas debe poner linealmente en el muro que lo

lleva del primer piso a su salón, sabiendo que la longitud de la base del muro es de 2.25 metros y la altura es de 2.86 metros y que la longitud de la teja es 0.36 metros. Porqué utilizó los conocimientos aquí aprendidos? Son necesarios para calcular la respuesta?

10. Cómo le pareció la actividad y qué otras actividades les gustaría realizar utilizando GeoGebra?

Fuente propia


Figura 42 Hoja de respuestas primer aplicativo en GeoGebra



El trabajo realizado con GeoGebra para la ejecución de este aplicativo resultó muy motivante para los estudiantes, porque era la primera vez que se enfrentaban a manejar un programa diferente a Excel, situación que se dejó ver cuando se hizo la charla introductoria de lo que es Geogebra y cuáles son los alcances que se pueden obtener de su aplicación. En cuantos a los resultados del primer aplicativo, contenidos en el anexo I, muestran cómo todos los grupos lograron cumplir el primer objetivo que era de familiarizarse con el programa y luego obtener las respuestas a las actividades planteadas (ver tabla 13), donde se muestra que seis de los ocho grupos (el 75%) alcanzaron un 100% de cumplimiento y solo dos grupos alcanzaron el 80%.

Tabla 13 Valoración de los resultados primer aplicativo GRUPO 1 2 3 4 5 6 7 8

ACTIVIDADES DESARROLLADAS

10 10 8 10 10 10 10 8

NÚMERO DE ACTIVIDAD NO DESARROLLADA

8 y 9

8 y 9

% CUMPLIMIENTO 100 100 80 100 100 100 100 80

Fuente propia

La tabla 13 también muestra a dos grupos sin completar las actividades 8 y 9, que trataban de la resolución de problemas. El argumento expuesto por ellos, la no comprensión del texto, situación que se presenta a diario en clase de matemáticas, generando percepciones equivocadas, respecto al conocimiento que tiene el estudiante, por parte del docente, el cual debe saber diferenciar cuando el estudiante domina un tema y cuando no entiende el enunciado que se le plantea. De aquí la importancia de un manejo adecuado del lenguaje por parte de los docentes y de la comprensión lectora por parte de los estudiantes.

El porcentaje de cumplimiento de las actividades este aplicativo muestra el gran potencial que ofrece Geogebra, porque permitió en tiempo real que los estudiantes realizaran muchas veces la misma actividad, asegurando el grado de comprensión del tema de los segmentos, el triángulo rectángulo y su construcción (actividades 1,2 y 3). Lo mismo ocurre en la cuarta actividad cuando los estudiantes encuentran las longitudes de los segmentos al activar los íconos correspondientes y luego en la quinta actividad cuando se calcula el valor de la hipotenusa del triángulo usando calculadora y comparándola con el resultado generado por el aplicativo. En la sexta actividad, nuevamente en tiempo real, pudieron cambiar tantas veces quisieron la longitud de los dos catetos y siempre el resultado del aplicativo, correspondía al valor obtenido por la calculadora.

La secuencia de actividades seguida por los estudiantes, les permitió descubrir que existe una relación entre los segmentos del triángulo rectángulo, que siempre se cumple, pero sin saber que esa relación se llama el teorema de Pitágoras, como lo expresaron todos los grupos sin excepción, cumpliendo así el objetivo de aprendizaje formulado y aproximándolos a los números irracionales, para completar el conjunto numérico de los reales con lo que se llena la recta numérica, dándole sentido al concepto de completez.

Pero lo más relevante del desarrollo de la actividad, independiente de los resultados obtenidos por ellos, fue el alto grado de satisfacción que se reflejó cuando el 100% de los grupos contestó la actividad 10, en la cual ellos propusieron que se desarrollaran algunas otras actividades matemáticas como se muestra en la tabla 14, página siguiente.


Tabla 14 Propuestas de actividades matemáticas de los ocho grupos del primer aplicativo.

ACTIVIDAD PROPUESTA

Construir figuras geométricas

Desarrollar actividades

matemáticas Diseñar edificios Construir un

dominó de sumas

NÚMERO DE GRUPOS QUE

LA PROPONEN 4 2 1 1

Fuente propia

Aquí el grado de aceptación de los estudiantes, no se mide tanto por lo pertinente de la propuesta (“diseñar edificios”) o porque no proponían algo en concreto (“desarrollar actividades matemáticas”) sino por el solo de hecho de que hicieran propuestas, a pesar de las dificultades que los educandos poseen cuando deben realizar alguna producción textual, porque veían la potencialidad de la herramienta y encontraban otra forma de resolver problemas.

4.6.2 Segundo Aplicativo

En este aplicativo el estudiante encontrará, mediante el uso de situaciones de la división la relación que hay entre el valor de la longitud de un círculo y su diámetro calculando así el valor del número Pi (π) y reconocer algunas situaciones donde es necesario el uso de ese valor numérico.

Los estudiantes deben trabajar en el aplicativo desarrollando siete actividades de la siguiente manera:

-1. Mover el deslizador P para construir un círculo de cualquier tamaño y anotar la medida del diámetro.

-2. Mover el deslizador Q para girar el círculo y generar su desarrollo y medir la longitud del perímetro del círculo.

-3. Usando la calculadora, deben calcular la relación entre la longitud y el diámetro del círculo.

-4. Regresar al punto de partida los deslizadores para dibujar otros círculos y calcular la relación entre la longitud y el diámetro y comparar entre sí los resultados. La respuesta es que siempre da el mismo resultado, no importa el tamaño del círculo. Además deben reconocer, cuando observan los números correspondientes a las cifras decimales, que no obedecen a ninguna secuencia, es un número irracional, el número Pi (π).

-5. Plantea a los estudiantes la resolución de un problema en donde debe aplicar sus conocimientos previos y los adquiridos durante la ejecución del aplicativo.

-6 y 7. Buscan encontrar las conclusiones del aplicativo, conocer cómo se sintieron los estudiantes con su ejecución, qué otras posibilidades de aplicación, utilizando GeoGebra, se podrían implementar, para mejorar la comprensión de algún tema de su interés.

El aplicativo se muestra en la figura 43, página 77 tiene adjunta una hoja en donde se consignarán las respuestas de las actividades que deben desarrollar los estudiantes, para conseguir los objetivos de aprendizaje propuestos (figura 44, página 78),


encontrando el valor de Pi, reconociéndolo como un número irracional, porque las cifras decimales que lo conforman no obedecen a ninguna secuencia, no son periódicas. El anexo H contiene todos los resultados generados por el aplicativo.

Figura 43 Segundo Aplicativo en GeoGebra


Nombre del aplicativo 2

Cálculo del número Pi(π)

Fecha creación 14 7 2012 DÍA MES AÑO

Objetivo del Aplicativo: Relacionar la longitud de un círculo con su diámetro para encontrar el

número irracional Pi (π).

Conceptos previos: Conceptos básicos para operar en situaciones multiplicativas y de división, y conceptos básicos de geometría, el círculo y sus dimensiones.

Pensamientos incluidos: Pensamientos numérico, métrico, espacial, aleatorio y variacional.

Contexto: Problemas donde el estudiante encuentra en un número irracional, la solución a una situación de su cotidianidad.

Imagen aplicativo

Actividades del Aplicativo 1. Mueve el deslizador P (de color rojo), para construir un círculo de cualquier diámetro 2. Mueve el deslizador Q (de color verde) para rotar el círculo y conocer la longitud de su

perímetro 3. Usando la calculadora establece el valor que hay entre la relación de la longitud del

círculo y su diámetro, es decir divide la longitud entre el diámetro. 4. Regresando los deslizadores a cero, realiza la actividad con diferentes diámetros y

compara los resultados de dividir la longitud entre el diámetro. El resultado siempre es el mismo? Si miras sus cifras decimales, qué particularidad tienen? Sabes cómo se llama ese número? Es el famoso número Pi (π).

5. Si para pintar el círculo central de la cancha de fútbol de la institución se necesitan 2/8 de galón de pintura por cada 25 centímetros, sabiendo que el diámetro de ese círculo es de 1.70 metros, cuántos octavos se necesitarán?, Cuántos galones son?

6. Qué opinas de la actividad matemática? 7. Qué otra actividad matemática te gustaría hacer?

Fuente propia


Figura 44 Hoja de respuestas. Segundo Aplicativo



La actitud de los estudiantes en este segundo aplicativo continuó siendo muy positiva, tal como lo expresaron en la actividad 6, porque además de realizar una actividad por fuera del aula de clase utilizando un medio virtual, encontraron una situación diferente donde GeoGebra posibilita de una manera sencilla la resolución de diferentes problemas con el uso de los números irracionales, en este caso el número Pi (π).

Los resultados del segundo aplicativo, contenidos en el anexo H, relacionan cómo el 100% de los grupos logró cumplir con el desarrollo de todas las actividades propuestas, tal como se ve en la tabla 15.

Tabla 15 Valoración de los resultados segundo aplicativo

GRUPO 1 2 3 4 5 6 7 8


7 7 7 7 7 7 7 7

NÚMERO DE ACTIVIDADES NO DESARROLLADA

0 0 0 0 0 0 0 0

% CUMPLIMIENTO 100 100 100 100 100 100 100 100

RESPUESTAS CORRECTAS 7 7 6 7 7 6 7 6

% ACIERTOS 100 100 85 100 100 85 100 85

ACTIVIDAD INCORRECTA 5 5 5

Fuente propia

El hecho de que todos los grupos (100%) realizaran todas las actividades propuestas, con un 62% de aciertos, indica lo dinámico y apropiado que resultan los aplicativos en GeoGebra. La actividad número cinco, en la cual se tenía que resolver una situación problema, fue la única que no obtuvo el ciento por ciento de aciertos, al no lograr establecer el número de galones necesarios para pintar el círculo, mostrando que uno de los pensamientos, el métrico, involucrado en el problema, no pudo ser desarrollado al no relacionar la cantidad obtenida como respuesta respecto a la unidad de medida en la cual se puede expresar esta respuesta. Se debe realizar un taller de conversiones, para mejorar el pensamiento métrico, necesario para potenciar esta competencia.

Las actividades 1, 2, 3 y 4 vuelven a manifestar la fortaleza por la simplicidad del uso de Geogebra, simplicidad que se da gracias al diseño del aplicativo y a lo amigable del software GeoGebra, donde en tiempo real los estudiantes repitieron estas actividades, asegurando la comprensión del cálculo del número irracional Pi (π), porque sin importar el tamaño del círculo, que se lograba cada vez que se movía el deslizador P, el resultado obtenido de la relación entre el perímetro del círculo y su diámetro, mediante el uso de la calculadora, siempre era el mismo.

La actividad 7, de este segundo aplicativo, mostró una mayor pertinencia respecto a las propuestas referentes a las actividades matemáticas que a los estudiantes les interesa se desarrollen con Geogebra, según se ve en la tabla 16, página siguiente, además del hecho de que los estudiantes siempre respondieron, dándole al lenguaje la posibilidad de darle vida a la ciencia y la tecnología.


Tabla 16 Propuestas de actividades matemáticas de los ocho grupos del segundo aplicativo.

ACTIVIDAD PROPUESTA

Construir figuras geométricas

Calcular medidas de figuras

geométricas

Construir figuras que representen

una ecuación

Resolver problemas de

triángulos


LA PROPONEN 2 3 1 2

Fuente propia

Las propuestas dejaron de manifiesto que los estudiantes relacionaban algunas de las actividades que ellos habían realizado en cursos anteriores y en el actual, octavo grado de básica secundaria y articulaban la herramienta virtual con el uso práctico de ella, orientadas todas a la Geometría.

En general, la actividad de aprendizaje, desarrollada con este aplicativo, alcanzó el objetivo trazado, por el reconocimiento del número Pi como un número irracional, producto de la relación de dos características del círculo, con aplicaciones contextualizadas a su entorno escolar, favorecido por los conceptos aprendidos con la realización de las actividades propuestas desde la sala de juegos hasta la presente.

Nuevamente se encontró que la mayor dificultad para los estudiantes es la resolución de problemas.

4.6.3 Tercer Aplicativo

En este aplicativo, cuyo objetivo principal es el de encontrar el valor de la raíz cuadrada de cualquier número, utilizando un método diferente al teorema de Pitágoras, simplemente con la construcción de un círculo y el punto de corte con el eje vertical del plano cartesiano, para reforzar el acercamiento a los números irracionales, siguiendo la siguiente secuencia:

-1. Los estudiantes deben mover el deslizador P para construir un círculo cualquiera.

-2. Activar el ícono de medir longitudes, hacer clic sobre los puntos D y A, para encontrar la medida de la distancia que hay entre ellos. Repetir la secuencia con los puntos D y F.

-3. Utilizando la calculadora, calcular la raíz cuadrada de la distancia entre D y A para compararla con el resultado mostrado en el aplicativo entre los puntos D y F, cuyo resultado debe ser el mismo.

-4. Repetir desde el paso 1, corroborar sus resultados y obtener un nuevo conocimiento.

-5 Requiere que los estudiantes calculen con el aplicativo algunas raíces cuadradas sin utilizar calculadora.

-6 y 7. Recoger las conclusiones de la actividad.

El aplicativo se muestra en la figura 45, página 81, que tiene adjunta una hoja de respuestas, figura 46, página 82, de las actividades que desarrollaron los estudiantes y cuyos resultados están en el anexo I.


Figura 45 Tercer Aplicativo en GeoGebra


Nombre del aplicativo 3 Raíces cuadradas

Fecha creación 18 6 2012 DÍA MES AÑO

Objetivo del Aplicativo: Descubrir en los números reales una respuesta a una situación determinada.

Conceptos previos: Conceptos básicos para operar en situaciones de radicación.

Pensamientos incluidos: Pensamientos numérico, métrico, espacial, aleatorio y variacional.

Contexto: Situaciones en donde el estudiante reconozca en su entorno la necesidad de usar raíces cuadradas para solucionar un problema

Imagen aplicativo

Actividades del Aplicativo 1. Mueve el deslizador P (de color rojo), para cambiar el tamaño del círculo

2. Activa el ícono , dando clic en su esquina inferior derecha, luego en el submenú dar

clic en el ícono para luego dar clic sobre los puntos D y A. Qué aparece?

Nuevamente dar clic sobre los puntos D y F. Qué aparece?

3. Usando la calculadora realiza la raíz cuadrada de la longitud entre D y A y compara ese

resultado con lo que marcó la distancia entre D y F. Cómo son los dos valores?

4. Nuevamente mueve el deslizador P para dibujar otro círculo más pequeño y con los datos

mostrados realiza nuevamente el punto anterior 3.

5. Usando sólo el aplicativo, cuál es la raíz cuadrada de 3.7 y la de 11.2?

6. Qué opinas de la actividad matemática?

7. Qué otra actividad matemática te gustaría hacer?

Fuente propia


Figura 46 Respuesta tercer aplicativo


La Tabla 17, página 83, muestra cómo todos los grupos terminaron las siete actividades propuestas en el tercer aplicativo, con un nivel de aciertos del cien por ciento. Esto


demuestra el gran potencial que tiene GeoGebra como herramienta que facilita los procesos de aprendizaje, por la facilidad, que tiene en tiempo real, de hacer repeticiones y verificaciones de un modelo a estudiar, sirviendo de complemento a la clase tradicional, donde el estudiante intenta aprender el algoritmo de la radicación, y termina sin comprender de la existencia de un número irracional, necesario para darle solución a un problema.

Tabla 17 Valoración de los resultados tercer aplicativo GRUPO 1 2 3 4 5 6 7 8


7 7 7 7 7 7 7 7

NÚMERO DE ACTIVIDAD NO DESARROLLADA

0 0 0 0 0 0 0 0

% CUMPLIMIENTO 100 100 100 100 100 100 100 100

RESPUESTAS CORRECTAS 7 7 7 7 7 7 7 7

Fuente propia

Al realizar las actividades 1, 2 y 3, los estudiantes corroboraron, cómo el método gráfico utilizado con Geogebra coincidía perfectamente con el resultado obtenido por la calculadora, demostrando con ello que el aplicativo es una fuente confiable para el cálculo de cualquier raíz cuadrada, lo cual se valida cuando realizan la actividad 4, encontrando que no importa el tamaño que le demos al círculo, siempre se obtendrá el valor correcto de la raíz de ese número.

En la actividad 5, tranquilamente obtuvieron las raíces cuadradas de los números propuestos, con la absoluta seguridad que sus respuestas eran correctas, sin necesidad del uso de la calculadora.

Las respuestas a la actividad 6 continúan demostrando las bondades de ejercitar con objetos de aprendizaje en el proceso enseñanza-aprendizaje, para facilitar no solo el grado de motivación sino principalmente el grado de aprehensión de un tema específico, gracias a que con Geogebra se pudo mostrar geométricamente el cálculo de una raíz cuadrada.

La última actividad, la 7, genera nuevas propuestas, todas lógicas y alcanzables utilizando Geogebra, demostrando con ello que los estudiantes sí son capaces de proponer y de expresar mediante el uso del lenguaje, transmitiendo mensajes entre los interlocutores del proceso, como lo son maestros y estudiantes, actividades de aula. Estas propuestas se encuentran relacionadas en la tabla 18.

Tabla 18 Propuestas de actividades matemáticas de los ocho grupos del tercer aplicativo.

ACTIVIDAD PROPUESTA

Comparaciones gráficas de la

estatura de los estudiantes

Trabajos con el plano

cartesiano

Hacer rotaciones y traslaciones de figuras

geométricas

Realizar trabajos de

artística

Generar la recta

numérica

Diseñar robots


LA PROPONEN 1 2 2 1 1 1

Fuente propia

Estas propuestas, coherentes todas, reflejan el grado de aceptación de la herramienta y genera una reflexión que se debe dar al interior del Área de Matemáticas de la institución,


con el fin de reconocer la necesidad de utilizar otras estrategias en el proceso de la educación, el cual requiere una capacitación continua en el uso y aplicación de las Tics en el aula.

El objetivo esperado con el desarrollo de esta actividad, se cumple en toda su dimensión y reafirma el objeto de aprendizaje de los números irracionales como parte del conjunto numérico los Reales, el cual se inició, en la sala de juegos, con los objetos físicos, para reconocer los números racionales y entonces acercar a los estudiantes al concepto de completez.

4.7 La Recta Numérica

Con esta tercer actividad de aula, finaliza la secuencia didáctica, y con ella los estudiantes complementarán los conocimientos adquiridos respecto a la construcción analítica de los números reales y el concepto de completez, cuando ubican puntos sobre la recta numérica, correspondientes a un número cualquiera (racional o irracional). El diseño como un zoom, del objeto didáctico permitió, que geométricamente este objetivo se cumpliera con más detalle que cuando se emplea la recta numérica tradicional. En la figura 47, se ve la actividad con la Zoom Recta Numérica.

Figura 47 La Zoom Recta Numérica

Fuente: foto tomada el 12-4-2013 de la actividad con el diseño original de Diego Aguilón y Jennifer Cifuentes.

4.7.1 Objetivos

- Posicionar sobre la recta numérica una serie de números, para diferenciar cuál de ellos tiene una mayor o menor magnitud.

Ratificar los conocimientos adquiridos a través de la ejecución de cada una de las actividades de aprendizaje, reconociendo el conjunto de los números reales.


4.7.2 Conocimientos previos.

Manejo del sistema posicional con números decimales.

4.7.3 Pensamientos incluidos.

En esta actividad se alcanzaron a trabajar los pensamientos numérico, espacial y variacional.


4.7.4 Secuencia Zoom-Numérica

Los estudiantes tendrán que encontrar algunos números entre -10 y 10, hasta con tres cifras decimales, siguiendo la siguiente secuencia:

- Posicionar los números indicados sobre la recta numérica tradicional. (parte superior del objeto físico)

- Posicionar sobre la segunda recta (ampliada como si tuviese un zoom) la primera cifra decimal del número’

-Posicionar sobre la tercera recta ampliada, la segunda cifra decimal.

_Posicionar sobre cuarta recta ampliada la tercera cifra decimal

-Diferenciar cuál número es mayor o menor.-

4.7.5. Análisis de resultados de la Recta Numérica

El trabajo en esta actividad, gracias al diseño del objeto, permitió que fácilmente se alcanzaran los objetivos propuestos. Completando entonces con ello el reconocimiento de los números reales, como un conjunto numérico necesario para trabajar el principal objeto de las matemáticas: contar, medir y ordenar, sabedores de que este conjunto contiene todos los números que completan la recta numérica, sin dejar espacios en ella, la completez.

La única dificultad fue el manejo de las fichas que representaban las cifras decimales, lo que generó inmediatamente la propuesta de mejorar el diseño del objeto, utilizando ruedas giratorias para reemplazar las fichas, logrando con ello más fluidez en la actividad y una mayor gama de números a posicionar en la zoom-recta numérica. Lo sencillo del diseño, permite adicionar otras rectas ampliadas para trabajar con números que posean más cifras decimales, no solamente las tres cifras decimales que contenía el diseño del objeto físico. En este momento se está trabajando en la construcción de esta nueva propuesta, para ser presentado a la comunidad educativa, en un tiempo no muy lejano, se calcula tenerlo listo para agosto del 2013.

4.8 Comparativos antes y después de ejecutar el proyecto

Para realizar este análisis, se contó con dos herramientas, primero la encuesta diagnóstica inicial (figura 1, páginas 6 y 7), y segundo el cuestionario de la Tabla 5, página 48.

El primer comparativo se realizó teniendo en cuenta las respuestas, al cuestionario diagnóstico, de los estudiantes de grados noveno, décimo y once (cuatro estudiantes por grupo, seleccionados aleatoriamente) contra el mismo cuestionario, respondido cuarenta días después de aplicado el proyecto, con ocho estudiantes de grado octavo, (seleccionados también aleatoriamente), buscando con ello medir el nivel de comprensión y apropiación que alcanzaron estos últimos, gracias a la ejecución de la secuencia didáctica propuesta, para compararlos con los alcanzados por aquellos estudiantes que han trabajado estos temas con el método tradicional. . Los comparativos se ven en las figuras 48, 49 y 50, página 86, que muestran el número de aciertos por grupo, para cada una de las preguntas de la prueba diagnóstica inicial.


Figura 48 Aciertos pregunta 1. Prueba diagnóstica inicial

Fuente propia Figura 49 Aciertos pregunta 2. Prueba diagnóstica inicial

Fuente propia Figura 50. Aciertos pregunta 3. Prueba diagnóstica inicial

Fuente propia

En la figura 48, se observa que la mayoría de aciertos, para todos los grupos, está en el reconocimiento de los números naturales, pero notándose una diferencia sustantiva entre el resultado obtenido por los estudiantes de grado octavo sobre los otros grupos, dejando de manifiesto las bondades del proyecto. Un detalle importante es que lo que tiene que ver con las características de los números reales, conjunto de interés del proyecto, presentó la menor cantidad de aciertos y en especial las que corresponden a los números irracionales, en donde ninguno de los estudiantes inicialmente confrontados recordaba sus características.

También se observa que los estudiantes de grado octavo reconocieron en un ciento por ciento las características de los números naturales y de los reales, siendo esto muy positivo porque con estos números se cuenta, se ordena y se mide, la esencia de las matemáticas. Los números enteros y los números irracionales muestran el nivel más bajo de aciertos, el 75%, que sigue siendo un nivel alto comparado con el nivel más alto que

0 2 4 6 8

10

grado 9

grado 10

grado 11

grado 8

0

2

4

6

8

literal a. literal b. literal c. literal d. literal e.

grado 9

grado 10

grado 11

grado 8

0

2

4

6

8

DECIMALES

grado 9

grado 10

grado 11

grado 8


obtuvieron en los otros grados que fue del 25% para los enteros y del 0% para los irracionales.

La figura 49, página 86, confirma nuevamente los avances obtenidos luego de haber aplicado el proyecto con los alumnos de grado octavo. Aquí se observa cómo en la pregunta del literal a., todos los estudiantes reconocieron que el cero después del punto decimal hacía más pequeño el número y en el literal b. nuevamente todos los estudiantes reconocieron que al aumentar ceros a la derecha de un número decimal, el número no cambiaba, algo que no ocurrió con los estudiantes de los otros grupos pues más del 80% pensó que entre más cifras tuviera el número, éste era mayor.

En los literales c. y e., que presenta números racionales negativos, los estudiantes de grado octavo alcanzaron para la c. el 62% de aciertos y la e. el 50 % de aciertos, siendo éstos los resultados más bajos, lo que demuestra que el proyecto no logró la comprensión y aprehensión esperadas para el manejo de este tipo de números, es decir no alcanzó a llenar todos los vacíos que traían los estudiantes sobre la posición de los números negativos en la recta real, pero sin embargo, si los comparamos con los resultados de los otros grupos, 25% para el literal c. y 16% para el literal e., los adelantos son considerables. En el literal d. los resultados muestran que el 100% de los estudiantes acertó en la respuesta, que de no haber sido así hubiese representado un total desconocimiento de la magnitud de un número y definitivamente habría que replantear la enseñanza de las matemáticas.

Para finalizar el análisis de la primera herramienta, se observan los resultados mostrados en la figura 50, página 86, en la que se infiere que los estudiantes presentan mucha confusión a la hora de reconocer las características de los números decimales, el 16% fue el nivel más alto de aciertos entre los grupos noveno, décimo y once, cifra que deja de manifiesto otro de los grandes vacíos con los que nuestros estudiantes llegan a los grados superiores. La aplicación del proyecto con los estudiantes de grado octavo logró un nivel de aciertos del 75%, cifra relevante porque el manejo de los números decimales es un conocimiento previo necesario para que los estudiantes inicien sus trabajos con los números reales.

La segunda herramienta, trabajada con el cuestionario de la Tabla 5, página 48, expuesto en el protocolo del proyecto, se realizó en dos etapas. En la primera los estudiantes la respondían antes de iniciar las aplicaciones del proyecto, partían de sus conocimientos previos y en la segunda volvían a repetir el cuestionario pero cuarenta días después. Los resultados están en la tabla 19 y en la figura 51, página 88, que muestran el antes y el después, para comparar el estado de apropiación con que los estudiantes llegaban antes de iniciar el proyecto contra el estado de apropiación y recordación después de haberlo aplicado, esto es, medir la efectividad que tuvo el proyecto con este grupo de estudiantes de grado octavo de básica secundaria de la Institución Educativa Gabriel García Márquez de la ciudad de Cali.

La tabla contiene exactamente el número de respuestas correctas que cada conjunto numérico manejaba, teniendo en cuenta que varios de los números propuestos en el cuestionario, hacían parte de diferentes conjuntos numéricos, recordando que todos pertenecían a los números reales, resultado esperado, si de verdad los estudiantes habían apropiado las características y la completez de este número.


La última columna de la tabla presenta el porcentaje de aciertos, antes y después, datos que se analizan a continuación, y que demuestran lo serio de la propuesta, hacer un alto en el camino, para marchar con nuevas herramientas, en la búsqueda de mejores resultados, porque los niños y jóvenes con los que trabajamos, lo están necesitando, nadie va a la escuela para perder la oportunidad de aprender.

Tabla 19 Comparativo antes y después de aplicar el proyecto

CONJUNTO NUMÉRICO

TOTAL RESPUESTAS

POSIBLES

RESPUESTAS ACERTADAS

PORCENTAJE RESPUESTAS ACERTADAS

NATURALES (N)

ANTES 8 4 50%

DESPUÉS 8 8 100%

CARDINALES (C)

ANTES 16 2 12%

DESPUÉS 16 9 56%

ENTEROS (Z)

ANTES 24 5 8%

DESPUÉS 24 15 63%

RACIONALES (Q)

ANTES 56 7 12%

DESPUÉS 56 46 82%

IRRACIONALES (I)

ANTES 24 2 8%

DESPUÉS 24 18 75%

REALES (R)

ANTES 80 7 9%

DESPUÉS 80 67 84%

TOTALES

ANTES 208 27 13%

DESPUÉS 208 166 80%

Fuente propia

Figura 51 Comparativo respuestas acertadas antes y despues de aplicar el proyecto

Fuente propia

La información suministrada de la lectura de estos resultados, permite validar definitivamente la hipótesis planteada: La comprensión de los números reales y el acercamiento al concepto de completez, se potencializa mediante la implementación de secuencias didácticas basadas en el diseño de objetos de aprendizaje. Pero no solamente se mejoró el reconocimiento de los números reales, sino que también se llenaron vacíos respecto al reconocimiento de los conjuntos numéricos que hasta grado octavo está planteado en los Planes de área de la Institución, porque en todos los conjuntos numéricos el número de aciertos después de aplicar la prueba marcó una gran diferencia antes de aplicarla, como por ejemplo, con los números cardinales se pasó de un 12% a un 56%, incluso con los números naturales se pasó de un 50% a un 100%.

0

20

40

60

80

ANTES

DESPUÉS

TOTAL RESP POSIBLES


Con los números reales se pasó de un 9% a un 84%, siendo el ítem de los irracionales el que menos creció, pasando de un 8% a un 75% de aciertos.

En general toda la prueba, sin diferenciar ningún conjunto numérico, pasó de un 13% de aciertos, a un significativo 80%. Todos estos resultados, le dan al proyecto una gran significación, dentro del contexto escolar, porque presenta una propuesta novedosa que mejora el nivel de comprensión de los números reales, comparado a los resultados que arrastramos con el método tradicional, en donde nuestros estudiantes pasan de un grado a otro, sin el nivel de comprensión que los hace matemáticamente competentes, condición necesaria para mejorar la calidad de vida, siendo entonces la educación un camino para mostrar, que estimule en los estudiantes su interés por ella.

En la tabla 20 se presenta el resumen de la secuencia didáctica, que constituye el proyecto, donde los pensamientos matemáticos están representados por las siguientes letras: (N) numérico, (M) métrico, (E) espacial, (A) aleatorio y (V) variacional.

Tabla 20. Resumen secuencia didáctica

Sec.

Objetivo Pensamientos Impacto Fortaleza

Debilidad

Mejora

N M E A V Nivel 1

1. Reconocer los números racionales como una expresión de la forma a/b. 2. Reconocer problemas de comunicación entre el objeto físico y el usuario.

X X X X X

Confronta el Conductismo Desarrollo de los procesos

de razonamiento

y comunicació

n

Estimula el constructivismo

Trabaja solo con numerador

1

Utilizar otros numeradores

Nivel 2

1. Diferenciar cuando un número racional, expresado de la forma a/b, es mayor a otro. 2. Igual nivel 1

X X X X X

Desarrollo de los procesos

de modelación,

razonamiento y

comunicación

Diferentes representaciones de un número

racional Facilidad de

usar el objeto físico en otras

áreas del conocimiento

No propone problemas

contextualizados

Adicionar fichas que contengan problemas

contextualizados

Nivel 3

1. Identificar el significado de la magnitud expresada con un número racional en sus diferentes expresiones o equivalencias. 2. Igual Nivel 1

X X X X X


de modelación,

razonamiento y

comunicación

Reconocer las diferentes

equivalencias de un número

racional Facilidad de



No propone problemas

contextualizados

Adicionar fichas que contengan

problemas contextualizado

s

Nivel 4

1. Evaluar todos los conocimientos adquiridos en los niveles anteriores. 2. Ejercitar la resolución de problemas. 3. Igual nivel 1

X X X X X


de modelación,

razonamiento,

comunicación y

formulación de problemas

Evaluación de los

conocimientos adquiridos en el

proyecto. Facilidad de



La cantidad de preguntas para evaluar por el tamaño del

objeto

Reducir el tamaño de las

fichas y ampliar el tablero para adicionar más

preguntas


Tabla 20. Continuación

Sec. Objetivo Pensamientos Impacto Fortaleza

Debilidad Mejora

N M E A V

Aplicativo 1

Descubrir en

los números irracionales una respuesta a una situación determinada mediante el desarrollo del Teorema de Pitágoras.

X X X X X

El empleo de la sala de

sistemas para la

enseñanza de otras áreas del

conocimiento.

El uso de programas diferentes a

Excel

Facilidad de

operación y la

diversidad de

situaciones planteadas en tiempo

real.

Lo limitado de los

computadores con la

capacidad suficiente para

instalar GeoGebra

El desconocimient

o Del programa

por parte de los docentes

Presentar un proyecto

institucional. Que incluya mejoramiento en Equipos

y Capacitación

a los docentes.

Aplicativo 2

Relacionar la longitud de un círculo con su diámetro para encontrar el número irracional Pi (π).

X X X X X


sistemas para la


conocimiento.


Excel

Facilidad de

operación y la

diversidad de


real.

Lo limitado de los

computadores con la


instalar GeoGebra

El desconocimient

o Del programa




y Capacitación

a los docentes.

Aplicativo 3

Descubrir en

los números reales una respuesta a una situación determinada.

X X X X X


sistemas para la


conocimiento.


Excel

Facilidad de

operación y la

diversidad de


real.

Lo limitado de los

computadores con la


instalar GeoGebra

El desconocimient

o Del programa




y Capacitación

a los docentes.

Zoom

1. Posicionar sobre la recta numérica números, para diferenciar su magnitud. 2. Ratificar los conocimientos adquiridos en el proyecto. 3. Igual nivel 1.

X X X

Poder posicionar un número con varias

cifras decimales en la recta numérica

Facilidad de manejo

y la posibilidad de trabajar números con más

cifras decimales

No presentar situaciones en

donde se trabajaran los pensamientos

métrico y aleatorio.

Plantear problemas en donde

estos pensamiento

s estén presentes.

Fuente propia

5. Conclusiones y recomendaciones

El diseño de los cinco objetos físicos, los tres aplicativos en GeoGebra con sus secuencias didácticas, cumplieron con el objetivo general del proyecto, de acercar a los estudiantes de grado octavo de la I.E. Gabriel García Márquez de Cali, al conjunto numérico de los reales y su construcción analítica.

El desarrollo y los resultados obtenidos durante cada uno de los niveles de la sala de juegos, sirvió para cumplir con el primer objetivo específico del proyecto, ya que consiguió que los estudiantes lograran identificar claramente cada uno de los conjuntos numéricos, particularmente el de los números racionales, componentes de los Reales y empezar una primera aproximación del concepto de completez de este conjunto.

Los alcances logrados con esta experiencia, usando objetos físicos, no sólo por lo novedoso de la propuesta dentro de la institución, donde únicamente el método tradicional del tablero y las fotocopias han sido las herramientas utilizadas por los docentes para desarrollar el trabajo con los números reales en el aula y cuyos resultados no lograron generar aprendizajes significativos, sino también, porque precisamente con ésta sí se consiguió producirlos, permiten recomendar esta herramienta didáctica, como un apoyo, para fortalecer las propuestas de aula que se estén desarrollando en la institución, especialmente en aquellos temas donde el procedimiento habitualmente empleado por los catedráticos han dejado vacíos conceptuales y procedimentales.

El segundo objetivo específico se cumplió satisfactoriamente, porque en las actividades desarrolladas, los estudiantes se enfrentaron a situaciones problema, en donde los números reales daban la respuesta a situaciones de medir, contar y ordenar. Es importante resaltar que en la realización de esta actividad los estudiantes tuvieron dificultades, cuando estaban resolviendo un problema, presentado a través de un texto, porque no lo entendían, debido a la falta de claridad en el problema o su poca comprensión lectora.

Trabajar con una herramienta virtual para desarrollar actividades de aprendizaje, potencializa nuestro trabajo en el aula. Esto, claramente quedó demostrado, con los aplicativos en Geogebra, con los cuales se alcanzó el tercer objetivo específico, porque los estudiantes lograron reconocer a los números irracionales, los cuales completaban el conjunto de los reales, dentro de un contexto o situación problema, dejando de ser un número abstracto, para pasar a ser la respuesta de ese problema.

Un requerimiento importante, cuando se diseñan actividades virtuales, es el conocimiento de las necesidades e intereses de la población objeto de estudio, para crear ambientes amigables, como lo es GeoGebra, que faciliten la interacción entre docentes-saberes-estudiantes, y estos últimos construyan conocimiento, de allí que el uso de las Tics, tome entonces significado, por lo que es recomendable impulsar más actividades de aula,


utilizando GeoGebra o cualquier otro programa computarizado, para mejorar la comprensión de un tema específico, atendiendo las mismas propuestas planteadas en este proyecto, por los estudiantes.

Se recomienda actualizar la sala de sistemas, mejorando la capacidad de los ordenadores, instalando GeoGebra, por ser gratuito, capacitando en el uso de esta herramienta a todos los profesores del área de matemáticas de la institución.

El cuarto objetivo, utilizando la recta numérica, para construir una interpretación geométrica del concepto de completez, se alcanzó gracias al diseño del objeto físico, La Recta Numérica como un Zoom, que permitió encontrar la posición de cualquier número con varias cifras decimales en ella, dificultad con la que siempre nos encontramos, docentes y estudiantes, al utilizar la recta numérica tradicional, que por su tamaño, no deja visualizar la posición de un número con estas características.

Utilizar herramientas diferentes a las tradicionales, en el proceso de enseñanza-aprendizaje, logra una mejor relación del docente con los estudiantes. Ya el profesor deja de ser el transmisor de los conocimientos, pasa a ser un mediador, que facilita la comprensión, mediante la implementación de estrategias didácticas que la mejoren, con lo que la intencionalidad de aprendizaje, unida a la toma de consciencia de los estudiantes respecto a la necesidad de reconocer en este caso particular de los números reales, como un número que da solución a diferentes problemas, en diferentes contextos de la vida real.

Establecer procesos de comunicación permanente, como los que se consiguieron en la realización de este proyecto, donde la participación y aportes de los estudiantes, evidenciados en cada una de las actividades, diseñadas como objeto de estudio, facilitan el aprendizaje significativo.

Es necesario que los docentes de la institución, empiecen a repensar sus actividades de aula, si es que de verdad se quieren mejorar los resultados, nada positivos, hasta ahora obtenidos, mostrados a lo largo del proyecto, presentando de una forma diferente los saberes, que lleven a los estudiantes a alcanzar las competencias necesarias para desempeñarse según los requerimientos que la sociedad les demanda, tal como lo establecen los lineamientos y estándares básicos de competencias establecidos por el MEN.

Las cifras estadísticas, comparativas entre el antes y el después de aplicar el proyecto, permiten concluir que el proyecto desarrollado mejoró significativamente la comprensión de los números reales y su propiedad de completez, tal como lo indican los siguientes resultados:

- Cuando se compara en general los resultados de grado octavo con los de noveno, décimo y once, se encontró que entre este último grupo, los de once fueron los que alcanzaron los mejores resultados, y sólo alcanzaron un nivel de aciertos máximo de un 50%, mientras los de grado octavo, en los que se aplicó el proyecto, tuvieron un nivel de aciertos siempre por encima del 75%, incluso llegando con los números naturales y los reales al 100% de aciertos.

- Los resultados obtenidos antes y después de la aplicación del proyecto en el grado octavo son los siguientes:

Conclusiones 93

Se pasó de un 50 % a un 100% respecto a la identificación positiva de los números naturales.

Se pasó de un 12% a un 56% respecto a la identificación positiva de los números cardinales.

Se pasó de un 8% a un 63% respecto a la identificación positiva de los números enteros.

Se pasó de un 12% a un 82% respecto a la identificación positiva de los números racionales.

Se pasó de un 8% a un 75% respecto a la identificación positiva de los números irracionales.

Se pasó de un 9% a un 84% respecto a la positiva de los números reales.

Y en general se pasó de un 13% a un 80% de identificación positiva de los conjuntos numéricos.

Desde cualquier mirada los resultados son contundentes, lo que indica que el haber fortalecido el método tradicional con la ayuda de objetos físicos y virtuales produce efectos positivos en el proceso educativo.

También es importante resaltar que el trabajo permite realizar algunas recomendaciones de aplicación específica, tales como:

- El diseño de objetos de aprendizaje para la construcción de: ecuaciones lineales y análisis combinatorio, adaptando el ábaco.

- Regletas para multiplicar y dividir, facilitando la resolución de situaciones multiplicativas.

- Diseño de tangram para calcular áreas de figuras geométricas.

- Juegos como la pirinola para trabajar los números enteros.

- La comprensión lectora, necesaria para la interpretación y resolución de problemas, amerita ser analizada, especialmente haciendo énfasis en el tipo de problemas que tienen los estudiantes cuando se enfrentan a un texto, donde se les presenta un problema a resolver, es decir, los docentes deben ser muy cuidadosos cuando redactan una situación problema con la que esperan desarrollar competencias matemáticas en sus estudiantes.

- Aplicativos en Geogebra, para la construcción geométrica y algebraica de ecuaciones de primer y segundo grado.

- Aplicativos en GeoGebra, para la demostración geométrica de: Teorema de Pitágoras, el área del triángulo, el número aúreo (irracional), las funciones trigonométricas, productos notables.

- Aplicativos en GeoGebra para trabajos con el plano cartesiano y la traslación y rotación de figuras geométricas.


- Aplicativos en GeoGebra para operar con números fraccionarios, utilizando reducciones y amplificaciones.

- Reforzar el tema de los fraccionarios y sus equivalencias, con la presentación de problemas, que en diferentes contextos, tengan como respuesta el mismo número. Tales como: la fracción como parte de una unidad (continua y discreta), la fracción como cociente, la fracción como relación, la fracción como operador, la fracción en probabilidad, la fracción en los puntajes, la fracción como número racional, la fracción como punto de una recta orientada, la fracción como medida, la fracción como indicador de cantidad de elección, la fracción como porcentaje y la fracción en el lenguaje cotidiano.

- Adaptaciones a otras áreas del conocimiento, tales como el lenguaje en el tema de la comprensión lectora, donde con La Ruleta Mayor, El Concéntrese Real y el Crucigrama Matemático, se realicen actividades orientadas al reconocimiento de algunos textos que lleve a los estudiantes a identificar sus estructuras, lo mismo que, argumentar y proponer diferentes formas de terminar los mismos. Podría utilizarse fácilmente para realizar evaluaciones de Sociales, Filosofía, etc., asociados nuevamente a la comprensión lectora.

- Utilizar el Concéntrese real para ayudar a corregir la dislexia que presentan algunos estudiantes, y mejorar sus niveles de concentración, actividades que se pueden realizar desde cualquier área del conocimiento.

Finalmente, por los resultados obtenidos en cada una de las actividades desarrolladas, recomendamos que este proyecto sirva de base para nuevas investigaciones y continúe su proceso de construcción.

A. Anexo: Respuestas cálculo indicador propuesto


B. Anexo: Respuestas nivel 1 fase1

Anexos 97

C. Anexo: Respuestas nivel 1 fase 2


D. Anexo: Respuestas nivel 2

Anexos 99

E. Anexo: Respuestas nivel 3


F. Anexo: Respuestas nivel 4

Anexos 101

G. Anexo: Respuestas primer aplicativo GeoGebra


H. Anexo: Respuestas segundo aplicativo GeoGebra

Anexos 103

I. Anexo: Respuestas tercer aplicativo GeoGebra

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Acercamiento al concepto de completez de los números reales.

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