Cálculo diferencial Unidad 1. Números reales y funciones

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Actividad 3. Funciones

Resuelve los siguientes ejercicios de funciones

1. Hallar el dominio de la función 2( ) 2 5 12f x x x .

Para encontrar el dominio de la función Df consideramos la ecuación dentro del

radical con

f(x) = √g(x) D f = {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑔(x)≥ 0

Entonces g(x) = 2x2 – 5x -12 ≥ 0 (2X + 3) (X-4) ≥ 0

SE DIVIDE EN 2 CASOS

Caso 1

2X + 3 ≤ 0 y x – 4 ≤ 0 2x ≤ -3 y x ≤ 4

El Conjunto solución del caso 1 es

CS1 = X ≤ −3

2∩X ≤ 4 = (−∞,

−3

2 ∩(-−∞,4 =( −∞,

−3

2

Caso 2

2X + 3 ≥ 0 y x – 4 ≥ 0 2X ≥ -3 y X ≥ 4

El conjunto solución del caso 2 es

CS2 = X ≥ −3

2∩X ≥ 4 =

−3

2, ∞) ∩ 4, ∞)

Entonces el dominio de la función es

D f = CS = CS1∪CS2=( −∞,−3

2 ∪ 4, ∞)

2. Dada la función 22 10

( )7 5

xf x

x

hallar todos los valores x tales que ( ) 0f x .

Sea 22 10

( )7 5

xf x

x

= 0 resolviendo la ecuación

22 10( )

7 5

xf x

x

Realizando producto cruzado entre las igualdadescorrespondientes queda

2X2- 10 = 0 2X2= 10 2X2= 10X2 = 5 X= ±√5

2 2 Entonces los valores son

X1= √5X2= √−5

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3. Hallar el dominio de la función 215 1

( )9

4

6

xf x

x x

.

Equivalentemente f(x) = 𝑋+4

6𝑥2 − 19𝑋+15

El denominador 6𝑥2 − 19𝑋 + 15debe de ser distinto de cero para encontrar la

función Se busca el complemento es decir, cuando el denominador escero

Es decir, 6𝑥2 − 19𝑋 + 15 = 0 Factorizando la ecuación queda

(2X-3) (3X-5) = 0

2X – 3 = 0 2X = 3 X= 3

2

3X – 5 = 0 3X = 5 X= 5

3

Son los valores donde el denominador es ceroEl Dominio de la función son todos los

números reales menos el3

2 y el

5

3

Es decir

D f = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑋 ≠3

2&𝑋 ≠

5

3

4. Dadas las funciones ( ) 2 1f x x y ( ) 4g x x hallar la función por secciones para

la función ( )f g x .

Definamos el valor absoluto de f(x)

|2𝑋 + 1|= 2X + 1 si X≥ −1

2

-1 - 2X si X≤ - 1

2

Definamos el valor absoluto de g(x) |𝑋 − 4|= X – 4 si X ≥ 4 - X + 4 si X< 4

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| Entonces realizando (f + g) (x) de acuerdo con la definición de valor absoluto por lo tanto queda

(f + g) (x) = si X≤ 1

2 y X < 4 1 – 2x – x + 4 = -3x -3

= si X≥ 1

2↔

1

2≤ 𝑋 y X< 4 2X + 1 – X +4 = X + 5

Si X≥ 1

2 y x ≥ 4 ↔ 4 ≤ 𝑥 2x + 1 + x + 1 + x – 4 = 3x – 3

Ahora seccionándolos por los intervalos mencionados quedafinalmente

-3x + 3 si x <1

2

(f + g) (X) = x + 5 si 1

2 ≤ 𝑥 < 4

3x – 3 si 4 ≤ x

5. Graficar la función 2

( )1

xf x

x

.

Calculamos primero la asíntota vertical por lo que igualamos el denominador a cero y

luego despejamos a x

X2 – 1 = 0 22 = 1 X = ±√1 X = ± 1

Por lo consiguiente tenemos las ecuaciones de las asíntotas verticales

X = 1 y X = -1

Lo que significa que la gráfica de la función se acercara a las rectas verticales

mencionadas sin tocarlas

Ahora encontraremos la asíntota horizontal por lo que dividimos la función entre la x de

mayor potencia que es x2

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𝑓(𝑥) = 𝑦 =𝑥

𝑥2 = (1)

x

Sustituimos x por ∞

(1)

∞

Y= = 0

1 = 0

1- (1)

∞

Para finalizar tabulamos valores hacia la derecha a izquierda delas asíntotas verticales

X Y

-4 -0.266

-3 -0.375

-2 -0.666

0 0

2 0.666

3 0.375

4 0.666

DESARROLLO GRÁFICO

6. Graficar la función 2( ) 9f x x .

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7. Encuentre el dominio de la función 2 29) 5( 6f x x x x .

Definimos el dominio de f(x) = g(x) – h(x) que es entonces D f = Dg – h = Dg ∩ Dh Despues encontramos el Dominio de g(x) consideramos la ecuación dentro del radical con

g(x) = √𝑔(𝑥) Dg = x∈ 𝑅⎥ g1 (x)≥ 0

Entonces

g(x) = √𝑥2 − 9 Dg x∈ 𝑅⎥𝑥2 − 9 ≥ 0

Resolviendo:

𝑥2 - 9 ≥ 0 𝑥2 ≥ 9 [𝑥] ≥ 3 x ≥ 3 o x ≤ −3

Por lo tanto el dominio en g(x) es

Dg = (-∞, −3ℶ ∪ 3, ∞)

Para encontrara el dominio de la función Dh se considera la ecuación dentro del radical con

h(x) = √h1𝑥 D f = x∈ 𝑅⎥ h1(x) ≥ 0

Entonces h1 (x) =𝑥2 – 6x + 5 ≥ 0 (x-5) (x-1) = (-∞, 1

Caso 1

X – 5 ≤ 0 y x-1 ≤ 0 x≤ -5 y x≤ 1

El conjunto solución es

CS1 = x≤ -5∩ x≤ 1= (-∞, −5 ∩ (-∞, 1 = (-∞, 1

Caso 2

X – 5 ≥ 0 y x-1 ≥ 0 x ≥ 5 y x ≥ 1

El conjunto solción del caso 2 es

CS2 = x ≥ 5 ∩ x ≥ 1 = 5, ∞) ∩ 1 , , ∞) = 5, ∞)

Entonces el dominio de la función es

Dh = CS = CS = CS1∪ CS2 = (-∞, 1 ∪5, ∞)

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| Por ultimo el dominio queda

D f = D g-h = Dg ∩ Dh = (-∞, −3 ∪ 3, ∞) ∩(-∞, 1 ∪ 5, ∞)

D f = (-∞, −3 ∪ 5, ∞)

8. Dada la función 1

( )1

f xx

, hallar los valores x tales que ( )f f x x .

Para encontrar los valores de x definamos de acuerdo a la definición

1 _ _ = x 1 _= X

f(f(x) = x 1 _ + 1 1 _ + 1

X+1 X+1

Resolviendo la ecuación que

1= X1+ 1 _ X 1+ 1 _ = 1 X ( X +1 ) +X _ = X

X +1 X +1 X +1

Realizando operaciones correspondientes

X2 + 2X = 1 X (X+ 2)= 1 X (X +2) = X + 1 X (X + 2) = X +1 X2 + X - 1 = 0

X + 1 X + 1

Resolviendo la ecuación por formula general de segundo gradoqueda

𝑥 =−1±√12−4(1)(−1)

2(1) = 𝑥 =

−1±√1+4)

2 = 𝑥 =

−1±√5

2

Debido a que una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, resolvemos

𝑥1 =−1 + √5

2𝑥2 =

−1 − √5

2