MATEMATICA 1

Alumno: Horacio Farías Dni:93883277

Grupo COR-AOLMOS-DIST-A

ACTIVIDAD 6

Parte A. Individual.

Busque y seleccione en Internet (plataformas como Wikipedia, Youtube, Scribd, o búsqueda libre usando palabras clases en buscadores como Google, Google académica entre otros), información sobre grupo, subgrupo, grupo finito, homomorfismo entre grupos y ejemplos. Trate de no excederse de este temario. De ser necesario presente una síntesis propia.

Luego, comparta en el foro Pizarrón de la   Actividad 6  citando la fuente de consulta. Cuando el tutor lo crea conveniente por considerar suficientes los aportes, deberá publicar aquí debajo, en la ventana de Realizar actividad.

Puntaje máximo:   10 puntos.

a) Grupo.

El concepto de un grupo surgió del estudio de ecuaciones polinómicas, comenzando con Évariste Galois durante los años 1830. Después de contribuciones desde otros campos como la teoría de números y la geometría, la noción de grupo se generalizó y se estableció firmemente en torno a 1870.

En álgebra abstracta, un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Para que se pueda calificar como un grupo, el conjunto y la operación deben satisfacer algunas condiciones llamadas axiomas de grupo, estas condiciones son:

a) tener la propiedad asociativa.

b) tener elemento identidad.

c) tener elemento inverso.

Mientras que estas características son familiares a muchas estructuras matemáticas, como los diferentes sistemas de números (por ejemplo los enteros dotados de la operación de adición forman una estructura de grupo), la formulación de los axiomas se separa de la naturaleza concreta del grupo y su funcionamiento. Esto permite, en álgebra abstracta y otros campos, manejar entidades de orígenes matemáticos muy diferentes de una manera flexible, mientras se conservan aspectos estructurales esenciales de muchos objetos.

Los grupos comparten un parentesco fundamental con la noción de simetría. Un grupo de simetría codifica las características de simetría de un objeto geométrico: consiste en el conjunto de transformaciones que dejan inalterado el objeto, y la operación de combinar dos de estas transformaciones realizando una tras la otra.

MATEMATICA 1

Alumno: Horacio Farías Dni:93883277

Grupo COR-AOLMOS-DIST-A

Los grupos de matrices, por ejemplo, se pueden utilizar para entender las leyes físicas fundamentales en que se basan la relatividad y los fenómenos de simetría en la química molecular.

Además de sus propiedades abstractas, los teóricos de los grupos también estudian las maneras en que un grupo se puede expresar en forma concreta (sus representaciones de grupo), tanto desde un punto de vista teórico como de un punto de vista computacional. Una teoría especialmente rica ha desarrollado para grupos finitos, que culminó con la clasificación de los grupos simples finitos completada en 1983.

Asimismo, desde mediados de 1980, la teoría de grupos geométricos, que estudia los grupos de generación finita como objetos geométricos, se ha convertido en un área particularmente activa en la teoría de grupos.

Definición formal

Un grupo es un conjunto, G, conjuntamente con una operación binaria «•» que compone dos elementos cualesquiera a y b de G para formar otro elemento notado como a • b o ab. Para poder calificar como un grupo a (G, •), deben satisfacer cuatro axiomas:

Cerradura o Clausura:

Para todo a, b de G, el resultado de la operación a • b también pertenece a G.

∀a ,b∈G :a .b∈G

Asociatividad:

Para todos a, b y c de G, se cumple la ecuación:

(a • b) • c = a • (b • c).

Elemento neutro:

Existe un elemento e de G, tal que para todos los elementos a de G, se cumpla la ecuación e • a = a • e = a. El elemento de identidad de un grupo G se escribe a menudo como 1 o 1G, una notación heredada de la identidad multiplicativa.

∃ e∀ a∈G :a . e=e .a=a

Elemento inverso:

Para todo a de G, existe un elemento b de G tal que a • b = b • a = e.

MATEMATICA 1

Alumno: Horacio Farías Dni:93883277

Grupo COR-AOLMOS-DIST-A

∀a∈G∃a−1: a .a−1=a−1 . a=e

El orden en el que se hace la operación de grupo puede ser significativo. En otras palabras, el resultado de operar el elemento a con el elemento b no debe dar necesariamente el mismo que operando b con a; la ecuación siguiente:

a • b = b • a

Puede no ser siempre cierta. Esta ecuación siempre se cumple en el grupo de enteros con la adición: a + b = b + a para dos enteros cualesquiera (propiedad conmutativa de la adición). Sin embargo, este grupo de simetría no siempre se cumple como se especificará más abajo. Los grupos para los cuales la ecuación a • b = b • a se cumple siempre se denominan abelianos (en honor a Niels Abel). Así, el grupo de los enteros con la adición es abeliano, pero el grupo de simetría siguiente no lo es.

Tipos de grupos:

Grupo abeliano (o conmutativo).

Se denomina grupo conmutativo o abeliano a aquel grupo que verifica la Propiedad conmutativa, es decir

a .b=b−a ∀a ,b∈G

Grupo abeliano con torsión - Definición de torsión.

Diremos que un elemento : a∈ A posee torsión o, que es de torsión, si para algún n∈N ,an=1 . Si a es de torsión, entonces el menor

número natural n con la propiedad an=1, coincide con el orden de a. Definición de grupo abeliano con torsión: Un grupo abeliano A se dice con torsión si es igual a 0 o si posee elementos no nulos de torsión.

Grupo abeliano de torsión. Un grupo abeliano A se dice de torsión si todo elemento de A es de torsión.

Grupo finito. Es un grupo con un número finito de elementos.

Grupo de Lie. Es un grupo que además tiene estructura de variedad diferenciable.

Grupo cíclico. Es un grupo conmutativo, finito o infinito, que puede ser generado por multiplicación reiterada de un sólo elemento.

MATEMATICA 1

Alumno: Horacio Farías Dni:93883277

Grupo COR-AOLMOS-DIST-A

Grupo libre.

Grupos de Klein.

b) Subgrupo.

Con el fin de explorar los grupos, los matemáticos han ideado diversas nociones con tal de dividir grupos en trozos más pequeños, más comprensibles, como subgrupos, grupos cociente y grupos simples.

En álgebra, dado un grupo G con una operación binaria *, se dice que un subconjunto no vacío H de G es un subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación *. O de otro modo, H es un subgrupo de G si la restricción de * a H satisface los axiomas de grupo.1

Un subgrupo propio de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto propio de G (es decir H ≠ G). El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo {e} que consiste solamente en el elemento identidad.

El grupo G a veces se denota por el par ordenado (G, *), generalmente para acentuar la operación * cuando G lleva varias estructuras algebraicas o de otro tipo. En lo siguiente, se sigue la convención usual y se escribe el producto a*b como simplemente ab.

Definición de un subgrupo:

Decimos que un subconjunto F de un grupo G es un un subgrupo de G cuando F es un grupo con la operación (de adición o multiplicación) de G restringida a los elementos de F.

Sean (G,o) un grupo y H⊂G :H ≠0. Se llama subgrupo de (G,o) si y solo si:

H contiene al elemento identidad de G :e∈H .

La operación binaria es cerrada en H: ∀a ,b∈H⇒ aob∈H .

H contiene los elementos inversos∀a∈H⇒ a−1∈H

Estas ultimas condiciones pueden expresarse de forma equivalente en una sola:

∀a ,b∈H⇒ a−1ob−1∈H

En el caso que H sea finito, es suficiente que H sea cerrado bajo producto, puesto que la existencia de los inversos se sigue automáticamente en ese caso.

MATEMATICA 1

Alumno: Horacio Farías Dni:93883277

Grupo COR-AOLMOS-DIST-A

La operación finaria es siempre asociativa en H puesto que es asociativa para todas las ternas de elementos de G, y todos los elementos de H pertenecen a G.

Propiedades de los subgrupos

Todo grupo G con más de un elemento tiene al menos dos subgrupos:

el subgrupo trivial {e}, que contiene sólo al elemento identidad.

el mismo G, que es el subgrupo máximo de G.

Dado un grupo de H de un grupo G, se puede definir un homomorfismo natural φ :H↪ G definido por φ ( x )=x . Dicha función es la inyección canónica de H en G.

Todo elemento a de un grupo G genera un subgrupo cíclico <a>. Si <a> es isomorfo a Z/n Z para algún número entero positivo n, entonces n es el número entero positivo más pequeño para el cual an = e, y n se llama el orden de a. Si <a> es isomorfo a Z, entonces a se dice que tiene orden infinito.

Si S es un subconjunto de G, entonces existe un subgrupo mínimo de G que contiene S: es el subgrupo generado por S y se denota por <S>. Un elemento de G está en <S> si y solamente si es un producto finito de elementos de S y de sus inversos.

El centro de un grupo G, denotado por Z(G), es el subgrupo que contiene a todos los elementos que conmutan con cualquier elemento g de G. El centro es siempre un subgrupo normal y abeliano. El centro de un grupo abeliano G es el propio G.

Los subgrupos de cualquier grupo dado forman un reticulado completo bajo inclusión. El ínfimo del retículo, dado por la intersección de conjuntos, es el subgrupo trivial {e}. En cambio el supremo no es la unión de conjuntos, sino el subgrupo generado por la unión, y es el mismo G.

c) Grupo finito.

En matemáticas y álgebra abstracta, un grupo finito es un grupo cuyo conjunto fundamental G tiene un número de elementos finito. Durante el siglo XX, los matemáticos han investigado ciertos aspectos de la teoría de grupos finitos en gran profundidad, especialmente la teoría local de grupos finitos, y la teoría de grupos resolubles y grupos nilpotentes. Una completa determinación de la estructura de todos los grupos finitos es demasiado ambiciosa; el número de posibles estructuras pronto se convierte en abrumadora. Sin embargo, la clasificación completa de grupos finitos simples se ha podido conseguir, lo que significa que los «bloques de

MATEMATICA 1

Alumno: Horacio Farías Dni:93883277

Grupo COR-AOLMOS-DIST-A

construcción» con los cuales todos los grupos finitos pueden ser construidos se conoce ahora, ya que cada grupo finito tiene una serie de composición.

Durante la mitad del siglo XX, matemáticos tales como Claude Chevalley y Robert Steinberg también incrementaron el entendimiento de los análogos finitos de los grupos clásicos, y otros grupos relacionados. Una de estas familias de grupos es la familia de los grupos generales lineales sobre cuerpos finitos. Los grupos finitos también surgen cuando se considera la simetría de objetos matemáticos o físicos, cuando esos objetos admiten sólo un número finito de transformaciones que preservan la estructura. La teoría de los grupos de Lie, que puede ser vista como un trato con la «simetría continua», está fuertemente influenciada por los grupos de Weil asociados. Hay grupos finitos generados por reflexiones que actúan sobre un espacio euclídeo de dimensión finita. Las propiedades de los grupos finitos pueden así jugar un papel importante en áreas como la física teórica y química.

Ejemplos de subgrupos:

Grupos de permutación

El grupo simétrico SN describe todas las permutaciones de SN

elementos. Hay N! permutaciones posibles que dan el orden del grupo. Por el teorema de Cayley, cualquier grupo finito puede ser expresado como un subgrupo de un grupo simétricopara un determinado entero N. El grupo alternante es el subgrupo correspondiente únicamente de las permutaciones pares.

Un grupo cíclico ZN:

Es un grupo en la que todos sus elementos son potencias de un determinado elemento a donde aN = a0 =e, el elemento identidad. Un ejemplo típico de este grupo son las N-ésimas raíces de la unidad complejas. Relacionando “a” a una raíz primitiva de la unidad se obtiene un isomorfismo entre las dos. Esto puede ser realizado con cualquier grupo cíclico finito

d) homomorfismo entre grupos y ejemplos.

 En álgebra, un homomorfismo de grupos es una función entre grupos que preserva la operación binaria. Dados los grupos (G,o) y (H,*) la aplicación φ :G→H es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos a ,b∈G

φ (aob )=φ (a )∗φ(b)

donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación (o) es la ley de composición interna en G, y la operación del lado derecho de la ecuación (*) es la ley de composición interna en H.

MATEMATICA 1

Alumno: Horacio Farías Dni:93883277

Grupo COR-AOLMOS-DIST-A

Si la aplicación φes biyectiva entonces es un isomorfismo de grupos, lo que significa que ambos grupos tienen la misma estructura algebraica (son isomorfos), y sólo se diferencian por los símbolos utilizados para denotar los elementos y la operación.

Dados dos grupos (G,o) y (H,*) en el que cada grupo esta compuesto por un conjunto de elementos y una ley de composición interna entre ellos (no necesariamente la misma), es posible definir una función que asigne a cada elemento g de G un elemento h de H:

φ :G→H

Dicha función es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos a,b ∈G .

φ (aob )=φ (a )∗φ(b)

Donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación (o) es la ley de composición interna en G, y la operación del lado derecho de la ecuación (g) es la ley de composición interna en H.

Ejemplo:

Seah: ¿, se define h(x) = 3x. Vemos que:

H(x+y) = 3x+y

= 3x3y

=h(x)h(y)

Asi h es un homomorfismo, por otro lado se tiene que:

dh ( x )dx

=ln 3.3x>0 ,∀ x∈R

Esto significa que h es creciente estrictamente y por lo tanto inyectiva, ası que h es un monomorfismo.