Actividad 3 - Resolución
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ACTIVIDAD 3 PARTE A Consigna: La actividad consiste en seleccionar un modelo, entre los titulados modelos 1 a 4 inclusive y resolverlo recreando el contexto. Donde por recrear entendemos complejizar así: agregando dos nodos o vértices involucrados (que pueden ser personas, objetos, ciudades, etc.), agregando tres conexiones entre ellos (influencias, flujo, etc.), realizando todas las operaciones matriciales mostradas en los ejemplos afines al modelo. No es necesario explicar o fundamentar, como en la guía, que esa operación da respuesta a la pregunta. Basta con plantear la pregunta y contestarla usando la operación matricial. También, analice y responda si las matrices intervinientes deben ser necesariamente ¿cuadradas? ¿Simétricas? ¿Invertibles? Fundamente. Para operar use los ya conocidos paquetes Wolfram Alpha , Wiris y OnLineMSchool . Capture imágenes con la tecla Imr Pant, con el paquete PhotoScape o similar. Interprete la información dada por cada una de las matrices (generadas ya se con información de partida o por operatoria matricial): en forma general la matriz en su totalidad, y en forma más específica una entrada genérica i,j y una entrada particular 2,3 por ejemplo. Todo ello lo orienta a dejar indicios de que comprende la modelización matemática de la situación contextual planteada. Modelo seleccionado: Modelo 3. Ejemplos 19 y 20 del material de lectura obligatorio, responden al mismo modelo donde las matrices y sus potencias se suman, pre o post multiplican por una matriz fila o columna de unos para obtener nuevas matrices que brindan la información requerida. Aparece la matriz de probabilidades. Respuesta:
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Actividad 3 - Resolución
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ACTIVIDAD 3
PARTE A
Consigna:
La actividad consiste en seleccionar un modelo, entre los titulados modelos 1 a 4 inclusive y resolverlo recreando el contexto. Donde por recrear entendemos complejizar as:
agregando dos nodos o vrtices involucrados (que pueden ser personas, objetos, ciudades, etc.),
agregando tres conexiones entre ellos (influencias, flujo, etc.),
realizando todas las operaciones matriciales mostradas en los ejemplos afines al modelo. No es necesario explicar o fundamentar, como en la gua, que esa operacin da respuesta a la pregunta. Basta con plantear la pregunta y contestarla usando la operacin matricial.
Tambin, analice y responda si las matrices intervinientes deben ser necesariamente cuadradas? Simtricas? Invertibles? Fundamente.
Para operar use los ya conocidos paquetes Wolfram Alpha, Wiris y OnLineMSchool. Capture imgenes con la tecla Imr Pant, con el paquete PhotoScape o similar.
Interprete la informacin dada por cada una de las matrices (generadas ya se con informacin de partida o por operatoria matricial): en forma general la matriz en su totalidad, y en forma ms especfica una entrada genrica i,j y una entrada particular 2,3 por ejemplo.
Todo ello lo orienta a dejar indicios de que comprende la modelizacin matemtica de la situacin contextual planteada.
Modelo seleccionado:
Modelo 3. Ejemplos 19 y 20 del material de lectura obligatorio, responden al mismo modelo donde las matrices y sus potencias se suman, pre o post multiplican por una matriz fila o columna de unos para obtener nuevas matrices que brindan la informacin requerida. Aparece la matriz de probabilidades.
Respuesta:
Tomando el ejemplo 19, tal como se indica en el material de lectura obligatorio, y transformndolo agregndole 2 puntos adicionales (tal como se pide en la consigna de esta actividad), se obtiene una grfica con 6 puntos X por los que se puede desplazar una partcula:
1x
X2
X3
X4
X5
X6
La grfica dada describe la siguiente situacin:
x1, x2, x3, x4, x5 y x6 representan seis puntos diferentes entre los cuales puede moverse una partcula de forma aleatoria.
El movimiento aleatorio de la partcula est dado por las siguientes situaciones:
Desde uno de los extremos slo puede moverse hacia el interior. En particular, si est en x1 slo puede moverse a x2 y, si se encuentra en x6, slo puede moverse a x5.
Desde un punto medio puede moverse tanto a derecha como a izquierda. En particular desde x2 puede moverse tanto a x1 como a x3 con la misma probabilidad.
La partcula debe moverse del punto en que se encuentra.
Este ltimo punto referido al movimiento aleatorio torna nula la probabilidad de que una partcula se establezca en una posicin.
Analicemos en detalle las probabilidades de movimiento directo desde la posicin x2 hacia las restantes:
50% es la probabilidad de que la partcula se mueva hacia x1.
0% es la probabilidad de que la partcula se mueva hacia x2.
50% es la probabilidad de que la partcula se mueva hacia x3.
0% es la probabilidad de que la partcula se mueva hacia x4.
0% es la probabilidad de que la partcula se mueva hacia x5.
0% es la probabilidad de que la partcula se mueva hacia x6.
De manera similar calculamos las probabilidades para las posiciones restantes y las volcamos en la siguiente tabla de doble entrada. Si leemos de fila a columna veremos que se indica la probabilidad de saltar desde la posicin dada por la fila hacia la posicin dada por la columna.
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X1
0%
100%
0%
0%
0%
0%
X2
50%
0%
50%
0%
0%
0%
X3
0%
50%
0%
50%
0%
0%
X4
0%
0%
50%
0%
50%
0%
X5
0%
0%
0%
50%
0%
50%
X6
0%
0%
0%
0%
100%
0%
La tabla de doble entrada da lugar a dos arreglos rectangulares de nmeros:
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
y
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
Como puede observarse un arreglo es traspuesto del otro y ambos contienen cualitativamente la misma informacin. Esa informacin es:
En la primera matriz la entrada ij indica la probabilidad de moverse desde i hacia j.
En la segunda matriz la entrada ij indica la probabilidad de moverse hacia i desde j.
La matriz superior ser denominada A.
Las sucesivas potencias de A dan las probabilidades de moverse de un punto a otro a travs de dos o ms movimientos.
De estas matrices obtenemos informacin como, por ejemplo, la siguiente:
La probabilidad de que la partcula se mueva de x2 a x4 en tres movimientos aleatorios es de 0%.
La probabilidad de que la partcula se mueva de x1 a x5 en cuatro movimientos aleatorios es de 1/8 = 0.125%.
La probabilidad de que la partcula se mueva de x6 a x3 en cinco movimientos aleatorios es de 5/16 = 0.3125%.
La matriz A es una matriz de probabilidades cuadrtica.
No es simtrica, ya que cuando es traspuesta no es igual a A:
A su vez, posee matriz inversa:
PARTE B
Consigna:
La actividad consiste en recrear el Ejemplo 28 del material de estudio. Para recrearlo:
1) Reemplace la matriz T de la Gua de estudio por otra de la lista siguiente, y observe la accin que, sobre la letra N realiza el pre multiplicar la matriz D por T.
Nombres identificatorios:
T= nueva matriz de transformacin
D= matriz de coordenadas.
TD=H=nueva matriz del transformado por T.
Qu matriz calculara y cmo la usara con la matriz del transformado H, para obtener la matriz de coordenadas original? Esto es, cmo procedera, operando con matrices, para obtener las coordenadas de la letra original?
Dibuje. Realice los clculos con los ya conocidos paquetes Wolfram Alpha, Wiris, OnLineMSchool. Capture pantallas.
2) Seguidamente, seleccione otra matriz de la lista, llmela S, y repita el proceso pero ahora tomando como matriz de coordenadas a H.
Nuevos nombres identificatorios:
S= nueva matriz de transformacin
H= nueva matriz de coordenadas.
SH=J=nueva matriz del transformado por S.
La idea es aplicar un movimiento atrs de otro y estudiar como cambia de posicin la letra N (esto es, hacer una composicin). As se trabajan las imgenes en una pantalla.
Matrices seleccionadas:
Punto 1 =
Punto 2 =
Respuesta:
1) Se toma la matriz de coordenadas de la gua de estudio:
0
0.5
6
5.5
0.5
0
5.5
6
0
0
0
1.58
6.42
8
8
8
D=
Y a continuacin la matriz de transformacin seleccionada:
0
1
1
0
T=
Luego, se multiplica la matriz de coordenadas con la de transformacin para cambiar las coordenadas de la primera:
Dado este resultado, para obtener nuevamente la matriz de coordenadas original se debera conseguir la matriz inversa de T (que en este caso es igual) y luego multiplicar T por H:
2) Se toma la nueva matriz de coordenadas obtenida en el punto 1:
0
0
0
1.58
6.42
8
8
8
0
0.5
6
5.5
0.5
0
5.5
6
D=
Y a continuacin la nueva matriz de transformacin seleccionada:
1
0
0
-1
T=
Luego, se multiplica la matriz de coordenadas con la de transformacin para cambiar las coordenadas de la primera:
Dado este resultado, para obtener nuevamente la matriz de coordenadas original se debera conseguir la matriz inversa de T (que tambin resulta ser idntica en este caso) y luego multiplicar T por H:
