1. 1. Gustavo Zamar Sofa Torres ACTIVIDAD 5 MATEMATICA I ACTIVIDAD D Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construya una transformacin matricial (transformacin lineal TL-) asociada. Luego explicite: (sea muy cuidadoso con la simbologa matemtica): a) El vector genrico TX. b) El ncleo de esta TL. c) Los autovalores de la TL. d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor. Adems: e) Grafique cada vector de cada base y tambin grafique cada espacio generado. f)Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: Cmo y con qu informacin se construyen dichas matrices? h)Plantee la transformacin inversa. 1 1 0 10 1 2 1 0 1 1 A = TRANSFORMACIN: TX 1 1 0 10 1 2 1 0 1 1 A = [x y z] = [ xy x+2 yz y+z ] NUCLEO DE LA TRANSFORMACION Para calcularlo planteamos el SELH: xy=0 x+2 yz=0 y tiene la matriz ampliada [1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 1 0] y+z=0 cuya resolucin por el mtodo de reduccin Gauss-Jordan nos devuelve como resultado : VECTOR GENERICO TXMatriz de transformacin
2. 2. Gustavo Zamar Sofa Torres entonces el ncleo sera : [ 0 0 0] Lo que implica que el ncleo de la transformacin slo admite el vector nulo. AUTOVALORES DE LA TRANSFORMACIN AX=kX [1 1 0 1 2 1 0 1 1 ] . [x y z]=k [x y z ] xy=kx x+2 yz=ky y+z=kz x(1k)y=0 x+ y(2k)z=0 y+ z(1k)=0 |1k 1 0 1 2k 1 0 1 1k |=0 (2k)(1k)+1+(1k)+1=0 k 2 4k+3=0 resolviendo la ecuacin cuadrtica tenemos su forma factorizada con la races: (x1)(x3) y los autovalores sern 1 y 3.
3. 3. Gustavo Zamar Sofa Torres BASE DE AUTOVECTORES Para determinar todos los autovectores de A asociados a los autovalores anteriormente mencionamos debemos desarrollar la siguiente igualdad AX =kX donde k es el autovalor asociado a la matriz. Tenemos para el auto valor 1: [ 1 1 0 1 2 1 0 1 1 ] [ x y z] = 1 [ x y z] Entonces tenemos [ xy=x x+2 yz=y y+z=z ] = [ xyx=0 x+2 yzy=0 y+zz=0 ] Luego: s [ y=0 x+ yz=0 y=0 ] simplificando tenemos que [ y=0 x+ yz=0] y reemplazando x+0z=0x=z por lo tanto, un autovector asociado al autovalor 1 sera: [z 0 z ] o, lo que es lo mismo decir: z [ 1 0 1 ] Luego, para determinar el autovector asociado al autovalor 3: [1 1 0 1 2 1 0 1 1 ] [ x y z] = 3 [ x y z] Entonces tenemos [ xy=3 x x+2 yz=3 y y+z=3 z ] = [ xy3 x=0 x+2 yz3 y=0 y+z3 z=0 ] Luego: [2xy=0 xyz=0 y2z=0 ] y=2z y=2z x+2 zz=0x+z=0 x=z 2 z+2z=0 con lo cual tenemos que el autovector quedara [ z 2 z z ] o lo que es lo mismo z [1 2 1 ]
4. 4. Gustavo Zamar Sofa Torres Luego, para determinar el autovector asociado al autovalor 0: [1 1 0 1 2 1 0 1 1 ] [ x y z] = 0 [ x y z] Entonces tenemos [ xy=0 x x+2 yz=0 y y+z=0z ] Luego: x+2 zz=0x+z=0x=z y+z=0 y=z con lo cual tenemos que el autovector quedara [ z z z] o lo que es lo mismo z [ 1 1 1] DIAGONALIZACION Construimos la matriz P con los autovectores obtenidos y verificamos si sta admite inversa:
5. 5. Gustavo Zamar Sofa Torres construimos la matriz D con los autovalores [0 0 0 0 3 0 0 0 1] y hacemos A=PDP 1 y efectivamente nos devuelve la matriz A. Lo que implica que A s es diagonalizable. Y las diferencias que observamos se deben a las aproximaciones decimales utilizadas para poder operar con las calculadoras. Grfica adjunta en la pagina siguiente. Inversa de P PD P*D
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