Actividad Entregable 2.EStadistica Administrativa

Nombre de la asignatura: Estadística Descriptiva - CHUM

Parcial de estudio: Segundo

IntroducciónEn esta segundo parcial, se estudian las medidas de forma y de curtosis y su interpretación. Seguidamente, se aborda la teoría de la probabilidad, incluyendo las principales reglas de cálculos, tabla de contingencia y teorema de Bayes. Luego se aborda las técnicas de conteo.

A continuación se estudian dos distribuciones de probabilidad discreta y sus características: la distribución binomial y la distribución hipergeométrica. Finalmente se revisan dos distribuciones de probabilidad continua: la distribución continua y finalmente la distribución normal, incluyendo sus características, el uso de las tablas de valores normales y el cálculo de percentiles.

Asesoría didáctica 1A parte de las medidas de tendencia central y de dispersión, otra característica de un conjunto de datos es la forma. Hay cuatro formas: simétrica, con sesgo positivo, con sesgo negativo y bimodal. En un conjunto simétrico media, mediana y moda son iguales y los valores de los datos se dispersan uniformemente en torno a estos valores. Un conjunto de valores se encuentra sesgado a la derecha o positivamente sesgado si existe un solo pico y los valores se extienden mucho más allá a la derecha del pico que a la izquierda de éste. En una distribución sesgada a la izquierda o negativamente sesgada existe un solo pico pero las observaciones se extienden más a la izquierda, en dirección negativa (gráfico 4-1 pp.120). Estudie el tema del Sesgo (pp.119-122), incluido el ejercicio resuelto. La medida más sencilla para calcular el sesgo es el coeficiente de sesgo de Pearson, que se pueden calcular con dos fórmulas distintas. La primera basada en la media, mediana y distribución estándar de una distribución, la 2da se puede obtener mediante programas estadísticos (ecuaciones. 4-2 y 4-3 p. 120).

=

La curtosis mide cuan puntiaguda es una distribución, en general en referencia a la distribución normal. Si tiene un pico alto, se dice leptocúrtica mientras que si es aplastada se dice platicúrtica. La distribución normal, que no es ni muy puntiaguda ni muy aplastada, se llama mesocúrtica. El coeficiente de curtosis se calcula con la fórmula siguiente:



Si el coeficiente es mayor a 3, la forma es leptocúrtica. Si es igual a 3, la forma es mesocúrtica y si es menor a 3, la forma es platicúrtica

Ejemplo:

Considerando los siguientes datos, calcular el coeficiente de curtosis e indicar el tipo de curtosis. 2 3 4 4 5 6

2 -2 4 163 -1 1 14 0 0 04 0 0 05 1 1 16 2 4 16

10 34

La curva es platicúrtica

Resolver la Actividad de Aprendizaje No.2.1.

Asesoría didáctica 2El estudio de la probabilidad es muy importante porque constituye el fundamento para el estudio de la inferencia estadística, que es la parte medular del próximo curso de estadística. Las leyes de la probabilidad son herramientas para determinar el grado de exactitud en la predicción de las ciencias sociales. La teoría de la probabilidad es el análisis y la comprensión de las ocurrencias al azar.

La probabilidad es una medida de la posibilidad matemática de que ocurra un evento entre un número de ensayos (situaciones en la que el evento puede suceder). Solamente puede asumir valores entre 0 y 1 (nunca puede ser negativa o mayor a 1).Lea detenidamente el capítulo 5 Qué es la probabilidad del texto guía (pp. 144-175), poniendo énfasis en los enfoques para asignar probabilidades (pp.148-151), Algunas reglas para calcular probabilidades: regla especial de la adición (pp.153-154), regla de complemento (pp. 154-155), regla general de la adición (pp.156-158), regla especial de la multiplicación (pp.159-160) y regla general de la multiplicación (pp.160-161). Continúe con Tablas de contingencias (pp.162-164), diagramas de árbol (pp.164-165) y Teorema de Bayes (pp. 167-170). El diagrama de árbol es una gráfica para organizar cálculos que implican varias etapas. Cada segmento del árbol constituye una etapa del problema. Revise detenidamente el ejemplo resuelto (pp.164-165). Observe que se deben incluir las probabilidades condicionales y conjuntas y que la suma de probabilidades conjuntas tiene que ser siempre igual a 1. Asimismo, para el teorema de Bayes estudie atentamente el ejemplo (pp.168-170). Observa que se debe construir un diagrama de árbol y luego aplicar cuidadosamente la fórmula.



Ejemplos: Se extrae una carta de una baraja. Determinar las probabilidades indicadas:

Regla especial de adición:

p[J o as] = p[J]+p[as] = 4/52 + 4/52 = 0.1538

Regla del complemento:

P[no obtener diamante] = 1 – (13/52) = 39/52 = 0.75

Regla general de adición:

P[as o diamante] = P[as]+P[diamante] – p[as y diamante]

= 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 0.308

Se extraen dos cartas de una baraja

Regla especial de la multiplicación

- P[as luego as] con remplazo = (4/52)(4/52) = 16/2704 = 0.00592

Regla general de la multiplicación

- P[as luego as] sin remplazo = (4/52)(3/51) = 12/2652 = 0.00452

Continúe con Principios de conteo (pp.171-175). Estudie con atención las fórmulas de multiplicación (p.171), de permutaciones (p.173) y de combinaciones (p.174). Para resolver ejercicios de este tema, es importante conocer el concepto de factorial (!), que se define así: n! = n(n-1)(n-2)…(2)(1). Por ejemplo 4! = (4)(3)(2)(1) = 24. Recuerde que usan las permutaciones cuando el orden de los elementos si importa y las combinaciones cuando el orden no importa.



Ejemplo:

a) De cuántas formas se puede nombrar presidente, vicepresidente y secretario en una clase de 15 alumnos?

El orden sí importa entones es una permutación: 15P3 = 15!/(15-3)! = 2730

b) Cuántas comisiones de 3 estudiantes se pueden formar en una clase de 15 alumnos?

c) El orden no importa (no hay ningún orden establecido entre los 3 miembros de la comisión) entones es una combinación: 15C3 = 15!/3!(15-3)! = 455


Asesoría didáctica 3A continuación, se estudiará el capítulo6 Distribuciones de probabilidad discreta. Inicie revisando lo que es una distribución de probabilidad (p. 187) y variables aleatorias discretas (pp.189-190). La distribución de probabilidad binomial (pp.195-203) es una distribución de probabilidad discreta, en la cual solo hay dos resultados posibles en cada ensayo: éxito o fracaso y los ensayos son independientes entre sí. La variable aleatoria cuenta el número de éxitos (x) en n ensayos. La probabilidad de éxito en un ensayo se representa por Π y permanece contante en todos los ensayos.

Ejemplo: Se estima que 20% de las personas de un país están afectadas por una enfermedad. Se selecciona al azar a 9 personas. Determinar la probabilidad de que 6 de ellas estén afectadas por la enfermedad.

En este ejemplo: p = 0.2, n = 9 y x =6

P(2) = 9C6(0.2)6(0.8)9-6 = 0.0028

Otra distribución de variable discreta que se va a examinar es la distribución hipergeométrica (pp.204-206). En la distribución binomial, la probabilidad de éxito permanece constante en cada ensayo mientras que en la distribución hipergeométrica esto no ocurre ya que el muestreo se realiza sin reemplazo. Si se selecciona una muestra de una población finita sin reemplazo y si el tamaño de muestra n es mayor al 5% del tamaño de la población N, se aplica la distribución hipergeométrica. S es el número de éxitos en la población y x el número de éxitos en las muestra.



Ejemplo: Una empresa tiene 50 empleados en la sección de ensamblado. 40 de ellos pertenecen al sindicato. Se eligen al azar 5 empleados para formar un comité. ¿Cuál es la probabilidad de que 4 de ellos formen parte del sindicato?

En este ejemplo: N = 50 S= 40 n = 5 X = 4

P(4) = (4C40)(50-40C5-4)/50C5 = 0.431


Asesoría didáctica 4Las distribuciones de probabilidad continua resultan de medir algo, de medir una variable continua. En este tipo de distribuciones generalmente se desea conocer el porcentaje de observaciones que se encuentran dentro de cierto margen. Es importante señalar que una variable aleatoria continua tiene un número infinitos de valores dentro de cierto intervalo en particular.

La distribución de probabilidad uniforme (pp.223-226) es la más simple de una variable aleatoria. Tiene forma rectangular y queda definida por el valor máximo b y el valor mínimo a. La altura de la distribución es constante e igual a 1/(b-a). Las fórmulas de la media y la desviación estándar se hallan en la página 224.

Ejemplo: Una distribución uniforme se define en el intervalo de 6 a 10. Hallar la media y calcular la probabilidad de un valor mayor a 7.

En este ejemplo, a = 6 y b= 10, entonces µ = (a+b)/2 = 8

P (X<7) = (10-7) / (10-6) = 3/4 = 0.55 (basta con dividir las longitudes de los segmentos ya que la altura es la misma para ambas áreas)

La distribución normal (pp.227-238) se la identifica como la piedra angular de la estadística moderna. Esto se debe en parte al papel que desempeña en el desarrollo de la teoría estadística y en parte al hecho de que las distribuciones de datos observados frecuentemente tienen el mismo patrón general que las distribuciones normales. Las aplicaciones de la distribución normal son muy numerosas en diferentes disciplinas académicas, en la industria y en las empresas. Observa que en cada caso se debe realizar un gráfico de la curva normal y ubicar la media y el o los valores de X. Luego, se debe calcular el valor normal estándar Z (p.229). Con el valor de Z, se busca el valor del área gracias a la tabla de áreas bajo la curva normal que se encuentra al final del texto. Por simetría, el valor del área correspondiente para un valor negativo de Z es el mismo que para su



correspondiente valor positivo de Z. Es indispensable que sepa usar correctamente dicha tabla. El rango percentilar es el porcentaje de datos que se encuentra por debajo de un valor determinado (el área a la izquierda de un valor dado en la curva normal).

Ejemplo: Una distribución tiene media 10 y desviación normal 2. Determinar la proporción de datos que se encuentra:

a) Entre 10 y 12 z= (12-10)/2 = 1 P = 0.3413

b) por encima de 12 z= (12-10)/2 = 1 P = 0.5 – 0.3413 = 0.1587

c) por debajo de 12 z= (12-10)/2 = 1 P = 0.3413 + 0.5 = 0.8413

En este ejemplo, el rango percentilar es 84.13

d) entre 7 y 11 (un valor menor y otro mayor a la media, se suman las áreas)

z1 = (7-10)/2 = -1.5 0.4332

z2 = (11-10)/2 = 0.5 0.1915 P = 0.4332 + 0.1915 = 0.6247

e) entre 11.5 y 13.5 (dos valores mayores (o menores) a la media, se restan las áreas)

z1 = (11.5-10)/2 = 0.75 0.2734

z2 = (13.5-10)/2 = 1.75 0.4599 P = 0.4599 – 0.2734 = 0.1865 (el resultado de p siempre debe ser positivo)

Cuando se debe calcular porcentajes, multiplicar la proporción por 100: (p)x100

Cuando se debe calcular cantidades, realizar p x n, donde n = tamaño de la muestra

Resolver la Actividad de Aprendizaje No. 2.4.

Actividades de aprendizajeActividad de aprendizaje 2.1. Planteamientos Ejercicio 1

Los siguientes datos corresponden a los sueldos (en $) de una muestra de parvularias



de los centros infantiles de un barrio:

560 720 650 680 570 830 550 600 480

a) Calcular e interpretar el coeficiente de sesgo de Pearson.

b) Calcular el coeficiente de sesgo usando la fórmula de software.

Ejercicio 2

Con los siguientes datos:

4 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 11 13

Calcular e interpretar el coeficiente de curtosis.

Objetivos Calcular e interpretar medidas de sesgo.

Calcular el coeficiente de curtosis.

Orientaciones didácticas El ejercicio 1 corresponde al capítulo 4 Descripción de datos numeral 4.5 Sesgo. En el

ejercicio 2 se estudia la curtosis.

Criterios de evaluación Cálculos e interpretación correctamente realizados.

Actividad de aprendizaje 2.2. Planteamientos

Ejercicio 1 En una muestra de 200 deportistas seleccionados, 86 son de la Costa, 80 de la Sierra y el resto del Oriente Entre los de la Costa y los de la Sierra, existe igual cantidad de hombre y de mujeres, mientras que entre los del Oriente, los hombres son 20 y el resto mujeres.

a) Realice una tabla de contingencia con los datos indicados.

Se selecciona al azar un(a) deportista. Determinar la probabilidad de que sea:b) Hombre c) Mujer o de la Sierrad) Hombre o de la Costae) Del Orientef) Mujer y del Oriente

Ejercicio 2

La probabilidad de que un turista en el Centro Histórico de Quito visite la iglesia de la Compañía es de 0.85, la de que visite la Catedral es de 0.60 y la de que visite ambas es de 0.5.

Determinar la probabilidad de que un turista en el Centro Histórico de Quito:

a) Visite la Compañía o la Catedralb) No visite la Catedralc) No visite ninguna de las dos iglesias

Ejercicio 3

Se extrae una bola de una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 2 negras. Calcular la probabilidad de que:



a) No sea negrab) Sea negra o sea rojac) Sea roja o no sea blanca

Ejercicio 4

En una ciudad, el 25% de los habitantes son niños y el resto adultos. Se sabe que la gripe afecta al 15% de los niños y al 10% de los adultos. Calcular la probabilidad de que:

a) Un habitante seleccionado al azar tenga gripeb) Dado que un habitante tiene gripe, éste sea un niño.

Para resolver este ejercicio, primero realizar el diagrama de árbol.

Ejercicio 5

a) Un chico le quiere regalar a su novia 3 discos y los quiere elegir entre los 10 que más le gustan. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?

b) En una carrera de 400 metros participan 8 atletas ¿De cuántas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medallas de oro, plata y bronce?

Objetivo Calcular probabilidades.

Orientaciones didácticas Los ejercicios 1 al 5 corresponden al capítulo 5 Estudio de los conceptos de

probabilidad.

Criterios de evaluación Cálculos, diagramas e interpretación correctamente realizados.

Actividad de aprendizaje 2.3.

Planteamientos

Ejercicio 1

En cierta ciudad se estima que 2 de cada 9 escolares tiene problemas de aprendizaje. Se seleccionan al azar 6 escolares de dicha ciudad. Determinar las siguientes probabilidades:

a) Todos presentan problemas de aprendizaje. b) Tres presentan problemas de aprendizaje.c) Al menos dos presentan problemas de aprendizajed) ¿Se supone que los eventos son independientes o dependientes?e) Calcular la media y la desviación estándar de la distribución

Ejercicio 2

El departamento de sistemas cuenta con 8 profesores, de los cuales 6 son titulares. La directora del departamento desea formar un comité de tres profesores del departamento con el fin de que revisen el plan de estudios. Si selecciona el comité al azar, cuál es la probabilidad de que:

a) Todos los miembros del comité sean titulares.b) Por lo menos un miembro del comité no sea titular (sugerencia: aplicar la

regla del complemento).

Objetivo Aplicar la distribución binomial y la distribución hipergeométrica.



Orientaciones didácticas Los ejercicios 1 y 2 corresponden al capítulo 6 Distribuciones de probabilidad

discreta.

Criterios de evaluación Análisis y cálculos correctamente realizados.

Actividad de aprendizaje 2.4.

Planteamientos

Ejercicio 1

El tiempo medio de vuelo entre dos ciudades sigue un distribución uniforme entre 60 y 72 minutos.

a) ¿Cuál es el tiempo medio de vuelo? ¿Cuál es la varianza de los tiempos de vuelo?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo sea menor que 68 minutos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté entre 61. 5 y 69.5 minutos?

Ejercicio 2

Suponga que el peso promedio de los niños de 3 años sigue una distribución normal con media 30.4 libras y una desviación estándar de 2.6 libras. Se elige al azar un niño. Determinar la probabilidad de que pese:

a) Más de de 38 librasb) Entre 26 y 33 librasc) Entre 32 y 36 libras

Ejercicio 3

Una raza de abejas tiene una longitud media de 19.6 mm y una desviación estándar de 3.2 mm. Considerando que estas longitudes siguen una ley de probabilidad normal, determinar :

a) El porcentaje de abejas que miden más de 25 mm o menos de 16 mm.b) La longitud por encima de la cual está el 10% de abejas de mayor longitud.c) El rango percentilar de las abejas que miden 23 mm.

ObjetivosCalcular probabilidades para una distribución uniforme.

Calcular probabilidades y proporciones mediante la determinación e de áreas bajo la curva normal.

Orientaciones didácticas

Los ejercicios 1 al 3 corresponden al capítulo 6 Distribuciones de probabilidad continua. Para cada literal de estos ejercicios, realizar un gráfico de la distribución normal.

Criterios de evaluación Cálculos, uso de las tablas e interpretación correctamente realizadas.

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Puntaje por actividadActividades de aprendizaje

Puntaje

Actividad de aprendizaje 2.1. 4




20

En caso de que para el examen sea estrictamente necesaria la consulta de tablas, fórmulas, esquemas o gráficos, éstos serán incluidos como parte del examen o en un anexo. El examen será SIN consulta.

El tutor de la asignatura

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