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ACTIVIDAD. ¿EL MENOR O EL MAYOR?

Es común que durante el transcurso de tu vida busques la forma de encontrar el mejor modo de 

hacer algo. Por ejemplo, un médico desea elegir y aplicar la menor dosis de medicamento que cure 

cierta enfermedad, o un fabricante busca reducir al mínimo el coto de distribución de sus productos.

Problemas de esta naturaleza se pueden modelar de tal manera que involucre la determinación de los puntos máximos y mínimos de la función que modela el problema. El cálculo es una poderosa 

herramienta para resolver este tipo de problemas.

Con esta actividad se pretende que desarrolles habilidades para elaborar e interpretar gráficas 

con precisión y que te formes una idea de la gráfica de una función a partir de a derivada.

Determinarás si una función es creciente o decreciente en ciertos intervalos definidos.

1.  Analiza la gráfica de la siguiente función y responde las preguntas 2, 3, y 4.

2.  Considera el intervalo cerrado [ ] y si , es decir . ¿Cómo son  () y  ()?

3.  Considera el intervalo cerrado [] y si . ¿Cómo es con respecto a ?

4.  ¿Cómo son  () y  ()?

Se dice que una función  () es creciente en un intervalo si se verifica que entonces  ()  ().

Una función  () es decreciente en un intervalo si se verifica que si entonces  () ().

5.  Copia en tu cuaderno de actividades la siguiente tabla y complétala considerando la gráfica anterior.

Señala el comportamiento en los intervalos indicados.

Intervalo Creciente Decreciente Intervalo Creciente Decreciente

[]  ( ] (]  [ ) []  ( ] 

x

y

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6.  Encuentra la derivada de la función  ()  

7.  Completa la siguiente tabla y analiza  () en los siguientes intervalos.

Intervalo  () ( ) []  considera un

punto del intervalo

 

 () ()  

 

()   ()  

 

(] 

8.  Analiza la gráfica de la función  () y determina el comportamiento de la función en

los intervalos indicados.

9.  Utiliza los resultados de los ejercicios 7 y 8 para completar la tabla siguiente:

Intervalo  () ( )  Creciente / decreciente

[]   ()   Decreciente

 

(] 

10. Cuando () ¿la gráfica es creciente o decreciente?

11. Cuando  () , ¿la gráfica es creciente o decreciente?

12. ¿Qué ocurre con la gráfica de la función cuando ? A este punto se le llama  punto crítico,que puede ser un máximo o mínimo.

13. Ordena la serie de pasos siguiente para que funciones como una guía para construir una gráficausando la derivada.

( ) Evalúa cada valor crítico en la función   para obtener los puntos críticos.( ) Encuentra los puntos críticos resolviendo  () . Incluye los valores de donde la derivada

no existe (no está definida).( ) Haz la gráfica de manera que sea creciente en el intervalo donde () decreciente en el

intervalo donde la  () y horizontal en el intervalo donde la  () .

( ) Determina el intervalo en que la función es creciente, decreciente o constante usando el signo de laderivada. Es decir, usa el teorema.

( ) Encuentra  ().( ) Localiza los puntos críticos en un plano cartesiano, recuerda que se puede usar el criterio de la

segunda derivada.

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14. Copia en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

a)   ()  

b)   ()  

c)   ()  

Haz una gráfica y determina los intervalos donde la función es creciente o decreciente y encuentralos puntos críticos (máximo y/o mínimo) con el criterio de la primera derivada.

15. Copia el siguiente problema en tu cuaderno y completa la solución.

Para las elecciones estudiantiles se requiere hacer un volante que contenga de propaganda 69 cm2 

de impresión con márgenes izquierdo y derecho de 4 cm2

y superior e inferior 6 cm2. Determina

las dimensiones mínimas de la página.

Área del volante

Área de la impresión

Despejar  Sustituir en el área del volante el valor de  

Simplificar

 

Sustituir en el área de impresión   ( )  Derivar para encontrar máximos y mínimos

Simplificar hasta llegar a   ( )

( ) 

Iguala a cero la primera derivadaAl buscar la solución tenemos que resolver unaecuación de segundo grado con una incógnita √  

Sólo consideramos la solución positiva, porquenecesitamos el mínimo y sustituimos en la siguienteecuación

 

 

Resolviendo llegamos a la solución del problema, lasdimensiones mínimas de la página.

 

√   

 

√   

  √ 

 

16. Copia en tu cuaderno los siguientes problemas y resuélvelos.

a)  Encuentra dos números cuyo producto sea y la suma de sus cuadrados sea mínima.

b)  Se desea construir una caja de volumen máximo si se tiene una lámina de 20 x 30 cm, sin tapa,

recortando cuadrados de igual tamaño en las esquinas y doblando las dejas para formar los lados.

Determina las dimensiones y el volumen de la caja.

2 cm

3 cm

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c)  Un campesino cuenta con 25 m de cerca y desea rodear un campo que bordea un río recto. En la

ribera no necesita cerca. ¿cuáles son las dimensiones del terreno que ocupa el área máxima?

d)  Un campesino cuenta con 500 m de cerca y desea construir cuatro corrales, uno al lado del otro,

utilizando el agua del río para que beban los animales. En la ribera no necesita cerca. ¿Cuáles son

las dimensiones del terreno que ocupa el área máxima?

e)  Se va a construir una cisterna de base cuadrada para retener 12,000 centímetros cúbicos de agua.Si la tapa metálica cuesta el doble de los lados y la base del concreto, ¿cuáles son las dimensiones

más económicas de la cisterna.