Juan Carlos Marcos Sánchez | Curso 2014/2015

IES

GENERALIFE

ACTIVIDADES DE RECUPERACIÓN. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS 1º

BACHILLERATO

Contents

1 Números Reales 2

2 Operaciones con Radicales. Simplificación de expresiones con radicales 5

3 Logaritmos 7

4 Fracciones Algebraicas 11

5 Ecuaciones de 2o grado y racionales 15

6 Ecuaciones bicuadradas y reducibles a cuadráticas. 16

7 Ecuaciones Irracionales. 16

8 Ecuaciones de grado superior 17

9 Intervalos e Inecuaciones 20

10 Funciones 24

11 Límites de funciones 28

12 Límites laterales 30

13 Continuidad de funciones 31

14 Continuidad. Problemas 34

15 Asíntotas 36

16 Derivada de una función. Reglas de derivación 37

17 Derivadas. Estudio de derivabilidad. Aplicaciones 39

18 Estadística 42

1

Cuaderno de actividades para trabajar durante elverano

1 Números Reales

1. Completar las igualdades siguientes. Para ello téngase en cuenta la siguiente notación:

Z+ = {x ∈ Z : x > 0}Z− = {x ∈ Z : x < 0}

(a) (N ∪ Z) ∩Q(b) (N ∩ Z) ∪ Z−

(c) (Z ∩Q) ∩ N(d) (Z ∪Q) ∩ N

(e) (Z ∪Q) ∪ N(f) (Z+ ∪ N) ∩Q(g) (I ∪Q) ∩ R(h) (I ∩Q) ∪ R

(i) Z\N(j) R\Q

2. Determinar el menor conjunto (entre N, Z, Q y R) al que pertenecen los números siguientes:

√6; − 3; − 6, 21; 5,

_9 ; 12; π;

1

5; 1;

−84

3. Colocar los signos ∈ ó /∈ según corresponda para cada número y cada conjunto:

N Z Q I R N Z Q I R−5 −

√2

12

90√

3 43−7

π3

0 124√

9√−6

4. Determina si son ciertas o falsas las siguientes relaciones de pertenencia (I es el conjunto de los númerosirracionales):

(a)√5 ∈ Q (b) 3π ∈ I (c) 3,

_16 ∈ I (d) −3,

_4 ∈ Q

5. Clasifica los siguientes números según sean racionales o irracionales:

(a) 4, 2_53 (b)

√9 (c) 1 +

√2 (d)

√494

(e) −7

6. Determina si son propiamente Enteros, Racionales o Irracionales los siguientes números reales, justi-ficando siempre tu respuesta.

(a)√2

(b)3

8

(c) 12, 232323...

(d) 8, 333...

(e) −4, 2434545...

(f)√9

(g)1√6

(h) 0, 03

(i)√10

(j) −45

(k) φ =1 +√5

2

(l)1

φ

(m)√16

(n)π

4

(o)√−16

7. ¿Puede ser la suma de dos números racionales un número irracional? Razona tu respuesta.

8. ¿La suma de dos números irracionales puede ser racional? Razona tu respuesta.

2

9. Aproxima, por truncamiento y redondeo hasta el orden que se indica:

Número Orden de aproximación Truncamiento Redondeo0, 9876 milésimas12, 5483 centésimas

29 diezmilésimas√2 décimas

−0, 999 centésimas2π milésimas−211 diezmilésimas

10. Realiza las siguientes operaciones:

(a) 0,_

5 + 0,_

4 (Sol.: 1)

(b) 3,_15 + 2,

_47 (Sol.: 5,

_62)

(c) 0,_

3 + 0,_33 (Sol.: 0,

_6 )

(d) 0, 517− 0,_

2 (Sol.: 0, 295)

(e) 0,_

3 − 0,_15 (Sol.: 0,

_18)

(f) 0,_

7 − 0, 689 (Sol.: 0, 088)

11. Escribe en notación científica los siguientes números:

(a) 29 348 000 000

(b) 11 015 millones

(c) 0,000 000 00123

(d) 3,000 000 004 9

(e) 0,000 000 000 000 239

(f) 150 000 000 000

12. Escribe en notación decimal los siguientes números:

(a) 7, 21 · 108 (b) 2, 631 · 106 (c) 8, 81 · 10−7 (d) 4, 908 · 10−5

13. Consideremos los números x = 342930000000 e y = 0, 0000283. Expresa en notación científica el valorde:

(a) x (b) y (c) xy (d) xy

14. Realiza las siguientes operaciones con números en notación científica:

(a) 10−3 · 10−5 · 102

(b) 109 : 10−5(c)

[(−10−5

)]−6(d)

(1, 62 · 10−10

)·(8, 72 · 10−7

) (e) 2, 19 · 106 : 5, 75 · 10−1515. Representa en la recta real los números siguientes, usando procedimientos geométricos cuando sea

posible:

(a) 3, 4

(b) −2, 56(c) 3/5

(d) 12/7

(e) 22/7

(f)√2

(g)√6

16. Pon ejemplos de números reales x que cumplan las siguientes condiciones:

(a) −3 < x < −2 (b) 1 < x < 2 (c) 2 < x < 1 (d) |x| < 1 (e) |x− 3| < 2

3

17. Señala en la siguiente tabla si los números que se indican cumple (SI) o no cumplen (NO) cadacondición:

Valor de x

Condición√3 1 π −1 −113

|x| = 1|x− 1| > 5|x+ 3| ≤ 1|2x− 1| < 3|2x| > x

18. Error relativo y porcentaje de error. El error relativo de una medición de un valor x se definecomo:

er =error absolutovalor exacto

=eax,

y el porcentaje de error que se comete al realizar una medición será expresar el error relativo cometivocomo un porcentaje, es decir:

porcentaje de error =error absolutovalor exacto

× 100 = er × 100.

Da las soluciones con tres cifras significativas:

(a) El sueldo de una persona se estima en 18 000 € anuales. Su sueldo real es de 18 234 €. Halla elporcentaje de error.

(b) El velocímetro de un coche marca 68 km/h. La velocidad real es de 71 km/h. Halla el porcentajede error.

(c) La lluvia caída durante una tormenta se estimó en 3, 5 litros por metro cuadrado. El valor realfue de 3, 1 litros. Halla el porcentaje de error.

(d) Las dimensiones de un rectángulo fueron tomadas como 80×30 m. Las dimensiones exactas eran81, 5× 29, 5. Halla el porcentaje de error en el área.

(e) El resultado de operar 3, 91× 21, 8 se ha estimado como 80. Determina el error relativo en formade %.

(f) Una aproximación de π es 227 . Un valor más preciso es 3, 141592. Halla el porcentaje de error.

(g) Una rueda tiene un diámetro de 58, 2 cm. Halla el porcentaje de error cuando se toma sucircunferencia como 3× 60.

19. Completa la tabla siguiente (usa una cota del error y las aproximaciones cuando sean necesarias):

Número Aproximación ea er epπ 3, 142

−√3 −1, 732 1

37 0, 429

230103 230000

20. Dados los intervalos I = [1, 5), J = [0, 3] , K = (−∞, 4) , determina:

(a) I ∪ J(b) I ∪K

(c) J ∪K(d) I ∩ J

(e) I ∩K(f) J ∩K

(g) I ∩ (J ∪K)(h) (I ∩ J) ∪ (I ∩K)

4

2 Operaciones con Radicales. Simplificación de expresiones con radi-cales

1. Realiza las siguientes operaciones con radicales cuadráticos:

(a) 3√2 + 6

√2− 5

√2

(b) 2√3 + 4

√3− 7

√3

(c) 2√32− 5

√2 + 3

√128

(d) 7√8 +√12−

√32−

√75

(e)√50 +

√72− 4

√2

(f)√8 + 3

√2− 4

√18 +

√5

(g)

√3

3−√12

2+1

5

√75−

√243

27

(h) 2√8 + 5

√72− 7

√18−

√50

(i)√20 + 3

√45−

√80

(j) 2√12− 3

√75 +

√27

(k)√2√3 + 3

√6− 4

√6 + 5

√24 +

√54

(l)√20−

√125 + 2

√45

2. Suma los radicales siguientes:

(a)√75−

√147 +

√675−

√12

(b)√175 +

√243−

√63− 2

√75

(c) 5√50 +

3

14

√98− 1

3

√162

(d) 2√45− 3

4

√125− 1

2

√180

(e)1

2

√12− 1

3

√18 +

3

4

√48 +

1

6

√72

(f)1

2

√3−√27 +

1

3

√108− 3

5

√300

(g) 7√3− 8 · 7

√3 + 13 · 7

√3

(h) 3√5 + 5 · 3

√625− 9 · 3

√40 + 13 · 6

√25

(i) 3√54− 3

√24− 3

√16

(j) 3√875 + 3

√448 + 3

√189

(k) 3√40 + 3

√1029− 3

√625

(l) 3√81− 3 · 3

√375 + 3

√686 + 2 · 3

√648

(m) 3 · 3√−24− 4 · 3

√−81− 3

√−375

(n) 5√−64 + 5

√486

(o) 3√−3993 + 2 · 3

√−81 + 2

33√375

3. Multiplica las expresiones radicales siguientes, simplificando cuando sea posible:

(a)√3 ·√6

(b) 5√12 · 3

√75

(c) 2√15 · 3

√10

(d) 5√21 · 2

√3

(e)1

2

√14 · 2

7

√21

(f)2

33√4 · 34

3√6

(g)(3 · 3√45)·(1

6· 3√15

)·(4 · 3√20)

(h) 3√ab · 2a

√b

(i) x√2a · 1

2

√5a

(j) −13x2√5mn2 ·

(9x√2m3n2

)·(−√0, 2 · n3

)4. Realiza los productos siguientes, simplificando cuando sea posible:

(a) 2√7 · 3√2

(b) 3√3 · 3√2

(c)√x · 3√2x2

(d) 3√2ab · 4 · 4

√8a3

(e) 5√2a · 3√4a2b

(f) 3√9x2y · 6

√81x5

(g) 3√2a2 · 4

√8a3 · 6

√16a5

(h) 4√25x2y3 · 6

√125x2

(i) 3ab · 4√a3b2 · 3

a3√a2b

(j) −13

4√abc ·

(−2 · 3

√bc−1

)· 32

√a−3c5

(k) 3

√1

2x2y3z · 4

√3x5y2z3 ·

√8xy6z2

5. Divide las expresiones radicales siguientes, simplificando cuando sea posible:

(a)4√6

2√3

(b)2√50

6√24

(c)20√2

2√4

5

(d)12√3

4√3

(e)

√18√25

(f)−9√8√2

(g)−2√50

−√5

(h)3√88

3√11

(i)3√16

2 · 3√9

(j)2√3a

10√a

(k)

√75x2y3

5√3xy

(l)12

√3xy

34

√x

(m)3 · 3√16a5

4 · 3√2a2

(n)2 · 3√81x2

3 · 3√3x2

(o)2a3

3√x2

a3x2

3√x3

6. Divide las expresiones radicales siguientes, simplificando cuando sea posible:

(a)3√4

4√2

(b)

√9x

3√3x2

(c)3√8a3b4√4a2

(d)3√m2n

5√m3n2

(e)3√3m4

9√27m2

(f)6√18x3y4z5

4√3x2y2z3

(g)2a · 4

√3x2y

6a2 · 6√x5y2

(h)3

√4y2

x2:

√2y

x

(i)

√3x5y4

− 1x3

√13x2y3

(j)453√4ab

110

√2a

(k)12

√2x

146√16x4

7. Simplifica al máximo las expresiones siguientes:

(a) 3√11 · 3√112

(b) 3√4 · 82 · 5

√(42)3 · 22

(c)7√32

3√9 · 34

(d)

√2√8√3√

24√12

(e)

√2 · 4√2

4√22 · 8√23

(f)3√5 ·√

3√5

12√25

(g)7√a3 · 3√a

6

√a2 · (a2)3

(h)5

√(32)3 · 3

√3

10√33 · 9

(i) 3

√42 · (83)5 ·

√√23 · 4

(j)

√ √32 · 25

3√2 · 4√33

(k)

√3√a2b

4

√√a · 3√b

(l)√

3√2a3 · 5

√24

(m)

(√a

2b· 3

√4b2

a2

):

√2b

a

(n)

(√23a2b)3·√ab3

4√a−2b−3

(o)3√x2y · 4

√xy2 · x2 · y

6√x2y3 · √xy

8. Racionaliza:

(a)5√3

(b)2√7

(c)3√3

(d)1√3

(e)5√2

(f) 3√15

(g)12√6

(h)17√17

(i)3

4√5

(j)a√b

(k)2a√2ax

(l)5n2

3√mn

(m)2x · 3√4y

3y ·√2x

(n)2√7x√2x

6

9. Racionaliza las siguientes expresiones:

(a)3

3√9x

(b)5

3√4a2

(c)

√3c2

3√9c

(d)6ab3√4a2b

(e)6

5 · 3√3x

(f)64√3

(g)3

4√9a

10. Racionaliza las expresiones siguientes:

(a)2√3− 1

(b)5

4−√11

(c)2

1−√7

(d)

√2√

2 + 1

(e)2√3

3−√5

(f)3 + 2

√3

3− 2√3

(g)1√

5 +√7

(h)

√7−√2√

7 +√2

(i)

√7 + 2

√5√

7−√5

(j)19

5√2− 4

√3

(k)3√2

7√2− 6

√3

(l)2√7 +√5

4√5− 3

√7

(m)5√2− 6

√3

4√2− 3

√3

3 Logaritmos

1. Calcula los siguientes logaritmos, utilizando única y exclusivamente la definición de logaritmo y lapropiedad de cancelación de potencias de igual base.

(a) log2 4

(b) log2 64

(c) log2 128

(d) log21

2

(e) log21

4

(f) log21

16

(g) log2√2

(h) log2√8

(i) log3 9

(j) log3 81

(k) log31

9(l) log3(−9)(m) log 1000

(n) log4 2

(o) log4 64

(p) log4 64

(q) log 0, 01

(r) log41

16(s) log5 0, 2

(t) log4 256

(u) log41

64

(v) log2 0, 125

(w) log4 1

(x) log2 1024

(y) log3√27

(z) log2(log2 4)

2. Utilizando la definición de logaritmo, halla el valor de x en cada caso:

(a) log2 8 = x

(b) log21

8= x

(c) log 100 = x

(d) log3 x = 3

(e) lnx = 2

(f) log3 x = −2(g) logx 49 = 2

(h) logx 8 = 3

(i) ln e3 = x

(j) logx 64 = 1

(k) logx 25 = −1(l) log 1

100100 = x

(m) logx 0, 01 = 2

(n) lnx = −12

(o) log 136x = 2

(p) logx 2 = 0

(q) log0,25 x = 2

(r) log2(−16) = x

(s) logx 125 = −3(t) log3 (log3 3) = x

3. Calcula (cuando sea necesario, usa las propiedades de los logaritmos):

(a) log61

36(b) log3

4√27

(c) log3

√243

3

(d) loga1√a

(e) ln e2

(f) log41

5√64

(g) log33√9

(h) ln1

e(i) log4 2

(j) log8 2

(k) log8√32

(l) ln 3√e

(m) log33

5√81

(n) log3

√3

9

(o) ln√e

e(p) log4(−4)(q) log2

3√32

(r) log33√27

(s) log25√64

8

(t) ln13√e2

(u) log31√243

(v) log 5

(w) log√20 + log

√5

(x) log3√100

10

7

(y) log31

27 3√9

(z) lne4√e

(aa) log

√10

0, 1(ab) ln

e3√e2

(ac) log31

3 4√27

4. Sabiendo que log 2 = 0, 301030, calcula el valor de los logaritmos decimales de los siguientes números.Utiliza las propiedades de los logaritmos para ello. Después, comprueba tus resultados con la calcu-ladora.

(a) 16

(b) 5

(c)32

5

(d) 0,25

(e) 0,625

(f) 250

(g)1

40

(h) 3√16

(i)16

5

(j) 0,32

(k) 0,08

(l) 5√80

(m) 3√0, 08

5. Sabiendo que ln 2 = 0, 69315, calcula el valor de:

(a) ln 8 (b) lne

2 (c) lne3

4(d) ln

4√e

(e) ln√2e

6. Hallar, razonadamente, la base de los logaritmos en las siguientes igualdades:

(a) loga 4 = 2

(b) loga 9 = 2

(c) loga 625 = 4

(d) loga 243 = 5

(e) loga 256 = 8

(f) loga 0, 125 = 3

(g) loga 0, 001 = −3(h) loga 0, 015625 = 3

(i) loga 1 = 0

7. Aplicando la definición de logaritmo, calcula x en cada caso:

(a) 2x = 16

(b) 2x = 32

(c) 31x = 9

(d) log2 64 = x

(e) log3 81 = x

(f) log101 10 201 = x

(g) log16 0, 5 = x

(h) log 0, 00001 = x

(i) logx 125 =3

2

(j) logx1

3= −1

2

(k) log1251√5= x

(l) log343√7 = x

(m) log 23

81

16= x

(n) log 53

27

125= x

(o) log84√2 = x

8. Obtener el valor de las siguientes expresiones:

(a) log5 625− log3 243 + log4 256

(b) log3 1 + log2 64 + log3 9 + log7 49

(c) log2 4 + log3 81− log6 216 + log4 64

(d) log31

9− log5 0, 2 + log6

1

36− log2 0, 5

9. Encontrar la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 100 excede al logaritmo de 25en 2 unidades.

10. ¿Por qué la base de un logaritmo ha de ser positiva y distinta de 1?. Razona la respuesta.

11. Siendo a y b dos números enteros, hallar el valor de log 1aa+ logb

1

b.

12. Razona si es cierto que si log b = log a+ log 3, entonces se deduce quea

b=1

3.

13. Si log7 x = 5, determina el valor de log7x

49.

14. ¿Qué relación debe existir entre dos números reales positivos a y b si se verifica la relación

log a+ log b = 0 ?

8

15. Si log3A = x, expresa en función de x los siguientes logaritmos:

(a) log3 27A

(b) log3A

81

(c) log3 36A

(d) log327

A

(e) log3√A

16. Toma logaritmos en las siguientes expresiones y desarrolla al máximo (la idea de este ejercicio es poderexpresar el logaritmo de una expresión a partir del logaritmo de cada uno de los términos que aparecenen ella):

(a)a · b · cm · n (b)

a2 · b3 · cm3 · n · p2 (c)

a12 · b · c

a2 · 3√b · c

23

17. Despeja y en la siguiente relación:

log x+ log y = log(x+ y).

18. Sabiendo que log 2 = 0, 301030, hallar los logaritmos decimales de los siguientes números (sin utilizarla tecla del logaritmo en la calculadora):

(a) 5

(b) 125

(c) 4

(d) 1024

(e) 0,25

(f) 250

(g) 4√0, 08

(h)1

3√16

(i) 4√781, 25

(j)√0, 025

8(k) 3√0, 02

(l)3, 23 · 0, 645

0, 0125 · 4√803

(m) 1024

(n) 25

(o)1

250

19. Sabiendo que log 2 = 0, 301030 y que log 3 = 0, 477121, hallar los logaritmos de los siguientes números:

(a)1

3(b) 6

(c) 30

(d) 0, 25· 3√144

(e) 2, 025

(f)√0, 3

(g) 324

(h) 0, 0018

20. Demostrar que

log(x+

√x2 − 1

)+ log

(x−

√x2 − 1

)= 0,

para todo valor de x.

21. Se sabe que la suma de los logaritmos decimales de dos números es 3 y que la suma de estos númeroses 70. Hallarlos.

22. Demostrar la siguiente relación:

log(a2 − b2) = log(a · b) + log(a

b− b

a

)23. Demostrar la siguiente relación:

log(a+ b) + log(ab− 1)= log

(ab+ 1)+ log(a− b)

24. Si en el sistema de logaritmos de base 7 se verifica la relación:

log7A

B+ log7B = 2

obtener razonadamente el valor de A.

9

25. Demostrar que:

3 = − log2

(log2

√√√2

)26. Sabiendo que log 4 = 0, 602060 y log 3 = 0, 477121, calcular log3 4 y log4 3.

27. Sabiendo que log 2 = 0, 301030, hallar log5 4.

28. Demuestra utilizando la fórmula del cambio de base que:

loga b · logb a = 1, ∀a, b ∈ R+\ {1}

Aritmética Mercantil. Ejercicios

1. Después de subir un 20%, un artículo vale 45,60 euros. ¿Cuánto valía antes de la subida?

2. ¿En cuánto se transforma un capital de 50000 €, colocados al 12% anual, en 1, 2, 3, 4 y 5 años?¿Cuántos años se necesitan para que se duplique? Realiza el ejercicio suponiendo que el interés es: (a)simple, (b) compuesto.

3. Un banco nos concede un préstamo de 20000 € al 10% anual. En el momento de la formalización noscobra unos gastos de 500 €. Realizamos un solo pago de un año, tomando periodos de capitalizacióntrimestrales. ¿Cuál es la T.A.E.?. ¿Cuál sería la T.A.E. si hubiésemos tenido que pagar a los dosaños?

4. Calcula en cuánto se transforman 8000 € en un año al 10% si los periodos de capitalización son:

(a) semestres (b) trimestres (c) meses.

Di en cada caso cuál es la T.A.E. correspondiente.

5. Recibimos un préstamo de 8500 euros al 15% anual, que hemos de devolver en un solo pago. ¿Cuántosaños han transcurrido si al liquidarlo pagamos 14866,55 € ?

6. Un capital colocado al 15% anual durante cuatro años, se ha convertido en 5596,82 €. ¿A cuántoascendía ese capital?

7. Calcula la T.A.E. para un rédito anual del 10% con pagos mensuales de intereses.

8. Calcula el rédito anual al que se han de colocar 600 € para que en dos años se conviertan en 699,84euros.

9. Un banco paga el 2% trimestral. ¿Cuántos años tienen que estar depositados 2000 € para conventirseen 2536,48 euros?

10. Halla el tanto por ciento anual de interés al que debe colocarse un capital de 3000 euros para que endos años se transforme en 3307,5 euros.

11. Hemos colocado un capital de 6500 euros al 5% anual, y al cabo de un tiempo se ha transformadoen 8295,83 euros. Calcula los años transcurridos, sabiendo que los periodos de capitalización han sidoanuales.

12. El cliente de un banco abre un plan de pensiones a la edad de 26 años. Al comienzo de cada año yhasta la edad de su jubilación (65 años) ingresará 250 euros. ¿Con qué capital contará al final de laoperación si el interés es del 4%?

13. Se abre una cuenta de ahorro vivienda para poder pagar dentro de 7 años 50000 euros como entradade un piso. ¿Qué cantidad deberá ingresarse cada año si el interés es del 6%?

14. Calcula el capital final del que se dispondrá dentro de 5 años si se depositan 300 euros al comienzo decada año a un interés compuesto anual del 6%.

10

15. ¿Durante cuántos años se deben entregar 450 euros para que colocados al 5,75% de interés compuestose obtenga un capital final de 12500 euros?

16. Se solicita un préstamo hipotecario de 12500 euros a devolver en 16 años a un interés anual del 5%.¿Qué mensualidad deberá pagarse?

17. Nuestro banco nos presta el dinero al 7% para un crédito a 10 años pagadero trimestralmente. ¿Cuáles la cantidad máxima que podemos pedir si no queremos pagar más de 600 euros trimestrales?

18. Una entidad ofrece dos posibilidades para el préstamo de 6000 euros. La modalidad (A) es un préstamoa 5 años con cuotas semestrales y a un interés del 8%. La modalidad (B) consiste en pagar una cuotafija de 1300 euros durante los 5 años. ¿Cuál de las dos es mejor?

19. Calcula la cantidad total que tendremos si pagamos al final de cada año una anualidad de 1500 eurosdurante 10 años, al 8% anual.

20. Durante 4 años, depositamos al principio de cada año 1000 euros al 5% con pago anual de intereses.¿Cuánto dinero tendremos acumulado al final del cuarto año?

21. Un coche cuesta 12000 euros. Nos conceden un préstamo para pagarlo en 48 mensualidades con uninterés del 6% anual. ¿Cuál será la cuota mensual que tendremos que pagar?

22. Calcula el valor de la anualidad con la que se amortiza un préstamo de 25000 euros en 6 años al 10%de interés anual.

23. Compramos un electrodoméstico de 750 € y lo pagamos en 24 plazos mensuales con un interés del13%. ¿Cuál será la cuota mensual? Calcula la T.A.E. de la operación.

24. Un banco nos concede un préstamo al 6%, que hemos de amortizar en 7 anualidades de 14330,80 euroscada una. ¿Cuánto dinero nos prestó?

4 Fracciones Algebraicas

1. Utiliza las identidades notables, cuando corresponda, para simplificar las siguientes fracciones alge-braicas:

(a)x2 − 2x+ 1x2 − 1

(b)x2 − 16x2 − 4x

(c)2x+ 4

2x− 4

(d)2x2 − 2

3x2 + 6x+ 3

(e)x2 + 2ax+ a2

mx+ma

(f)x2 − y2x2 + xy

(g)x2 − 4

x2 − 4x+ 4

(h)x2 + 2x+ 1

x4 − 1

(i)x2 − 2ax+ a2

x2 − a2

(j)a2x2 − 1

a2x2 + 2ax+ 1

2. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas, descomponiendo factorialmente los polinomios quefiguran en ellas:

(a)x− 2

x2 + x− 6

(b)x− 1

2x2 − 3x+ 1

(c)x2 + x− 6x2 − 4

(d)x2 − 1

5x2 + 4x− 9

(e)x+ 2

x2 − 1

(f)x2 + x− 2x+ 2

(g)2x− 2

x2 + x− 2

(h)x− 3

x2 + 5x+ 6

(i)x− 1

5x2 + 4x− 9

(j)x3 − 1x2 + 1

(k)2x2 − x− 6x2 − 4

(l)x2 − a2 − ax2 − a2

11

3. Simplifica, cuando sea posible, las siguientes fracciones algebraicas, para obtener su fracción irreducible:

(a)x2 − 3x+ 2x2 − x− 2

(b)x2 + x− 2x2 + 3x+ 2

(c)x2 − 5x+ 6x2 + 5x+ 6

(d)2x2 − 3x+ 12x2 − x− 1

(e)x3 − 6x2 + 11x+ 6x3 − 2x2 − x+ 2

(f)x2 + x+ 2

x2 − x+ 1

(g)x3 + 6x2 + 11x+ 6

x3 − 4x2 + x+ 6

(h)x3 − 3x2 + 3x− 1

x2 − 2x+ 1

(i)4x2 − 1

4x2 + 4x+ 1

(j)x3 − x2 − 10x− 8

x2 + 3x− 4

(k)x3 − 2x2 − 5x+ 6x3 + 4x2 + x− 6

(l)4x3 + 7x2 + 2x− 1x3 + 3x2 + 3x+ 1

(m)2x3 − x2 − 8x+ 4

x3 + 8

(n)4x3 − 2x2 − 4x+ 22x3 − 5x2 + 4x− 1

(o)2x3 − x2 − 2x+ 12x3 − 5x2 + 4x− 1

(p)x3 − 3x2 − x+ 3x3 − 3x2 + 4x− 12

(q)x2 + x+ 1

x3 − 1

(r)4x3 − 8x2 − x+ 22x3 − x2 − 8x+ 4

(s)x2 − 4

x3 − 7x− 6

4. Opera y simplifica, reduciendo a común denominador siempre que sea factible, mediante el mínimocomún múltiplo de los denominadores:

(a)3

2x+ 4+

2x

x2 − 4

(b)x2 − 1x3

− 2x

x2 + 7

(c)x

x2 − 1 +1

x2 − x− 2

(d)x− 2x+ 2

+x+ 2

x− 2

(e)2x

x2 − 4 +x+ 1

4x− 8

(f)x+ 1

x− 1 −x− 1x+ 1

(g)1

x+ 1+

2x

x2 − 1 −1

x− 1(h) 1− x

y

(i) x− x2 − 1x

(j)3x− 2x2 − 1 +

x+ 2

x− 1

(k)7x

6x+ 12− x+ 5

2x2 − 8

(l)x+ 3

x2 + 1+

2x

x− 3

(m)3x

x2 − 1 −x+ 2

x+ 1

(n)3

x− 1 +x

x+ 1− x+ 1

x2 − 1

(o)x+ 2y

x2 − y2 +2x− 5yx− y

(p)x− yxy

+y − zyz

(q) x+1

x

(r)a+ b

a− b −2ab

a2 − b2

(s)1

x− 2 −x2 + 4x+ 8

(x+ 2)2 (x− 2)+

1

x2 − 4

(t)x− 2x+ 2

− 1

x− 2 +6x− x2x2 − 4

(u)1

x− 1 −3x+ 3

x2 + x− 2 +1

x+ 2

(v)x− 1x2 − 4 −

x− 2x2 + 2x

+1

x− 2

(w)x+ 1

x− 2 +x− 2x+ 2

− 12

x2 − 4

(x)x− 2

x2 + x− 2 −x+ 1

x2 − 4 +x+ 3

x2 − 3x+ 2

(y)x2 − x+ 9x3 − 9x +

1

x2 − 9 −1

x− 3 +1

x

(z)2x

x− 1 +3x+ 1

x− 1 −1− xx2 − 1

(aa)4

x+ 1+

x

x2 + 1+x+ 1

x− 1

(ab)3

2x− 4 +1

x+ 2− x+ 10

2x2 − 8

(ac)x− x21− x2 +

1 + x

x2 + 2x+ 1− 1− 2x1 + x

(ad)1

x(x− 1) +2x+ 1

x2 − 1 +x

(x+ 1)2

(ae)1

x2 − 9x+ 20 −1

x2 − 11x+ 30 +1

x2 − 10x+ 24

12

5. Efectúa los siguientes productos y cocientes, simplificando el resultado:

(a)2x+ 1

x2 − 4 ·x+ 2

x− 5

(b)2x+ 4

x2 − 9 ·x+ 3

x+ 2

(c)x3 − 5x2 + 6x

x+ 1· x2 − 12x3 − 6x2

(d)5x3

x+ 1· x

2 + 2x+ 1

x2 + x

(e)(1 +

1

x2 − 1

)· x+ 1

x

(f)(2 +

8

x− 2

)· 1

x+ 2

(g)(1

x− 2

x− 1

)· x2

x+ 1

(h)3x− 1x2 − 9 ·

x+ 3

2x

(i)1

2x2:x+ 3

4x

(j)1

8x3:4x+ 2

3x5

(k)4x2

x+ 1:

x2 − xx2 − 2x+ 1

(l)x+ 2

2x+ 3:

x2 − 4−6x− 4x2

(m)2x2

3x2 − 3 :x

x+ 1

(n)x2 − 5x+ 62x+ 1

:x− 2x

(o)−x+ 7x2 − 1 :

−x2 + 5x+ 14x2 + 3x+ 2

(p)x+ 1

x2 − 2 :x2 + 2

x− 1

(q)

x+ 1

x+ 2x+ 1

x+ 3

(r)

3x+ 1

x2 − 4x

x2 − 4x+ 4(s)

3x− 1x2

· x+ 1x5

(t)

x+ 1

x2 − 2x− 1x2 + 2

(u)

x− 1x2 − 1x+ 1

x2 + 2x+ 1

(v)

x3 − 3ax2 + 3a2x− a3x+ 1x− ax+ 1

(w)9x+ 2y

3+ 6z

3

(x)

x

3

x− x

3

(y)

x3 − x2x2 + 6x5x2 − 5x2x+ 6

(z)1 +

a+ b

a− b1− a+ b

a− b

6. Opera y simplifica (usa la jerarquía en las operaciones):

(a)(4

x− x):

(1

x+1

2

)(b)

x+ 2

(x+ 2)2· x

2 − 4x

(c)[(2

x+

1

x+ 1

):

(x− 1

x+ 1

)]· x

(d)x2

2·(2

x:

1

x+ 2

)(e)

(3

x2+x+ 2

x− x+ 1

x− 2

)· 2x2

(f)(− 3

1− x2 +3x

x+ 1

)· x− 1

3+x− 1x+ 1

7. Simplifica las siguientes fracciones Algebraicas:

(a)625x3y2z6mn3

500x2y3z4m5n6(Sol.: 5xz2

4m4n3y)

(b)m2 − n2m3 − n3 (Sol.: m+n

m2+mn+n2)

(c)m2x3 −m2y2x

mx2 − 2mxy +my2 (Sol.: mx(x+y)x−y )

(d)x3 + y3

(x− y)2 + xy(Sol.: x+ y)

(e)x4 − xy3x2y − y3 (Sol.:

x(x2+xy+y2)y(x+y) )

(f)4x2 − 12x+ 94x2 − 9 (Sol. : 2x−32x+3)

(g)27x3y3 − y6

9x2y2 − 6xy3 + y4 (Sol.: 9x2y+3xy2+y3

3x−y )

(h)(x+ y)2 − (x− y)2

2x2y − 4xy2 (Sol.: 2x−2y )

13

(i)2x3 + x2 − 5x+ 24x3 − 8x2 + 5x− 1 (Sol.: x+2

2x−1)

8. Dadas las fracciones algebraicas F1(x) =2x

x2 − 3 , F2(x) =x2 − 5x+ 2x2 + 1

, F3(x) =x+ 7

x− 3 , calcular:

(a) F1(x) + F2(x)

(b) F2(x)− F3(x)

(c) 2F1(x) + 3F2(x)− F3(x)

(d) F1(x) · F2(x)

(e) F1(x) · F3(x)

(f)F2(x)

F3(x)

(g)1

F2(x)

9. Calcula y simplifica las siguientes operaciones con fracciones algebraicas con varias indeterminadas:

(a)3x− y2

+6x+ y

4+y − 2x6

(Sol. : 8x3 −y12 =

32x−y12 )

(b)x

y+y

x+x+ y

x− y (Sol. : x3+2xy2−y3xy(x−y) )

(c)3x− y4− 2x− y

12(Sol.: 7x12 −

y6 =

7x−2y12 )

(d)x+ y

x− y −x− yx+ y

(Sol. : 4xyx2−y2 )

(e)3x− y4− 2x+ y

6+4x− y9

(Sol.: 31x−19y36 )

(f)3x

x− 2 −5x

x+ 2− 6x2

x2 − 4 (Sol.: −8xx+2)

(g)3x3yz4

5a2b3c6· 6a

3b4c2

4x2y3z7(Sol. : 9abx

10c4y2z3)

(h)x2 − xyx2 − y2 ·

xy

x+ y(Sol.: x2y

(x+y)2)

(i)x2 − y24a− 4b ·

a− bx+ y

(Sol.: x−y4 )

(j) 1 :x

y(Sol.: yx)

(k)x− yx+ y

:x

x+ y(Sol. : x−yx )

(l)5x

x+ y:

x

x+ y(Sol. : 5)

(m)(a− b)2x2 − y2 :

a2 − b2x+ y

(Sol. : a−b(x−y)(a+b))

(n)x3 − 86x− 12 :

x2 + 2x+ 4

18(Sol. : 3)

10. Obtener los valores numéricos o verdaderos valores de las fracciones algebraicas siguientes, para losvalores de la indeterminada que se reseñan:

(a)3x3 − 5x2 + 7x2 + x+ 1

para x = 1

(b)x3 + 6x2 + 11x+ 6

x2 + 3x+ 2para x = −1

(c)4x3 − 8x2 + 5x− 12x3 − x2 − 2x+ 1 para

{x = 1

2x = 1

(d)2x3 − 3x2 + 2x− 3

12x3 − 28x2 + 3x+ 18 para{x = 1x = 3

2

14

5 Ecuaciones de 2o grado y racionales

1. Resolver las siguientes ecuaciones:

(a) x2 − 9 = 0 (Sol.: −3, 3)(b) 5x2 − 125 = 0 (Sol.: −5, 5)(c) 3x2 − x = 0 (Sol.: 13 , 0)

(d) 6x2 + 2x = 0 (Sol.: −13 , 0)(e) x2 − 3x+ 2 = 0 (Sol.: 2, 1)

(f) 3x2 − 5x+ 2 = 0 (Sol.: 1, 23)

(g) 6x2 − 7x− 20 = 0 (Sol.: 52 ,−43)

(h) (x− 3)(x+ 1) = 21 (Sol.: 6,−4)(i) (x+ 2)(x+ 3) = 6 (Sol.: −5, 0)(j) 2x(x+ 3) = 3(x− 1) (Sol.: No tiene soluciones reales)

(k) x+ 1 =6

x(Sol.: −3, 2)

(l)x

9=

2

x− 3 (Sol.: 6,−3)

(m)x− 25

=2

x+ 1(Sol.: −3, 4)

(n)3x

2− x2 + 4

4= 1 (Sol.: 4, 2)

(o)1

2+x2 + x

4= 1− x+ 2

8(Sol.: 12 ,−2)

(p)x2 + 2

5− x2 + x

2=3x+ 1

10(Sol.: 13 ,−3)

(q) x− 4x+ 38

+x2 + 2

16= 1 (Sol.: 2,−10)

(r) (x+ 2)(x− 2) = 2(x+ 5) + 21 (Sol.: 7,−5)(s) 2x(3x− 4)− (1− 3x)(1 + x) = −2 (Sol.: 13)

(t) 1− 3 + 2x3

=x2

2+1 + x2

6(Sol.: −12)

(u) 1− 5x(1− 3x

2

)=x

2(Sol.: 25 ,

13)

(v) 1 +x

2+x2

4+x+ x2

6= 0 (Sol.: No tiene sol. reales)

(w) x+2

x= 3 (Sol.: 1, 2)

(x) x+1

x− 3 = 5 (Sol.: 4)

(y) 1− 1x=x− 12

(Sol.: 1, 2)

(z)2x

x+ 2+x+ 2

2x= 2 (Sol.: 2)

(aa)1

x+ 1+

2

x+ 2=9

2(Sol.: −53 ,−

23)

(ab)x+ 1

x+ 2+x+ 2

x+ 1=29

10(Sol.: −83 ,−

13)

(ac)4

x+ 1+

4

x− 2 =4

x− 1 (Sol.: No tiene soluciones reales)

(ad)x

x+ 1+

2

x− 1 =8

x2 − 1 (Sol.: −3, 2)

15

(ae)1

x− 2 +5

x− 4 =20

x+ 1(Sol.: 28−5

√7

7 , 28+5√7

7 )

(af)3− x1− x2 −

2 + x

1 + x=

1

1− x (Sol.: 0)

(ag)(x+ 2

x+ 1

)2=x+ 1

x(Sol.: −1+

√5

2 , −1−√5

2 )

6 Ecuaciones bicuadradas y reducibles a cuadráticas.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones (obtener sus soluciones reales):

(a) x4 − 5x2 + 4 = 0 (Sol.: 2, 1,−2,−1)(b) x4 − 8x2 − 9 = 0 (Sol.: i,−i,−3, 3)(c) x4 − 25x2 + 144 = 0 (Sol.: −3,−4, 3, 4)(d) 9x4 + 5x2 − 4 = 0 (Sol.: i,−i, 23 ,−

23)

(e) 144x4 − 25x2 + 1 = 0 (Sol.: 13 ,−14 ,−

13 ,14)

(f)√x2 + 9 + x2 = 21 (Sol.: 4,−4)

(g) x4 − (a+ b)x2 + ab = 0 (Sol.: −√a,√a,−√b,√b)

(h) abx4 − (a2 + b2)x2 + ab = 0, a, b 6= 0 (Sol.: 1a√ab, 1b

√ab,− 1a

√ab,−1b

√ab )

(i) 36x6 − 13x3 + 1 = 0 (Sol.: 19923 , 144

23 )

(j) 27x6 − 217x3 + 8 = 0 (Sol.: 13 , 2)

7 Ecuaciones Irracionales.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales (obtener sus soluciones reales):

(a)√x− 2 = 2 (Sol.: 6)

(b)

√x+ 1

x− 1 = 2 (Sol.: 53)

(c)√x2 − 1 = x− 1 (Sol.: 1)

(d)√(2− x)(1− x) = x− 1 (Sol.: 1)

(e) 3

√25 + x

4+ 4 = 2 (Sol.: x = −57)

(f)√36 + x = 2 +

√x (Sol.: x = 64)

(g)√x+√x− 5 = 5 (Sol.: x = 9)

(h)√x+ 2−

√x− 1 = 1 (Sol.: x = 2)

(i) 2√x− 3 +

√4x− 1 = 1 (Sol.: x = 37

4 )

(j)

√1 +

√4 +

√13 +

√x = 2 (Sol.: x = 144)

(k)√x+ 3 +

√x+ 6 =

3√x+ 3

(Sol.: x = −2)

(l) x = 2 +√x (Sol.: x = 4)

(m) x−√25− x2 = 1 (Sol.: x = 4)

(n)√9− x− 11 = x (Sol.: x = −7)

(o) 3x− 3√x+ 3 = x+ 3 (Sol.: x = 6)

(p) 3x+√x2 − 5x+ 16 = 19 (Sol.: x = 5)

(q)√x2 + 1 + 2

√4x− 3 = x+ 1 (Sol.: x = 3, x = 1)

(r)√x+ 2 +

√2x+ 2 = 1 (Sol.: x = −1)

16

(s)√2x+ 1 +

√3x+ 4 = 1 (Sol.:Incompatible)

(t) 6√x = x

√x− 5 (Sol.: x = 9, x = 0)

(u)x√x= x−

√x (Sol.: x = 4, x = 0)

(v)2√x+ 5

4−√x=4 +√x√

x(Sol.: x = 121−5

√217

18 )

(w)2 +√4x

4−√x=4 +√x√

x(Sol.: x = 4)

(x) 5 3√x+ 2

3√x2 = 33,(1) (Sol.:Incompatible)

8 Ecuaciones de grado superior

1. Resuelve las siguientes ecuaciones, obteniendo sus soluciones reales:

2. x3 − 6x2 + 11x− 6 = 0 (Soluciones: x ∈ {1, 2, 3})

3. x3 − 3x2 − x+ 3 = 0 (Soluciones: x ∈ {1,−1, 3})

4. x3 − 7x+ 6 = 0 (Soluciones: x ∈ {1, 2,−3})

5. x3 + x2 + x+ 1 = 0 (Soluciones: x = −1)

6. x3 − 3x2 − 5x+ 15 = 0 (Soluciones: x ∈{3,√5,−√5})

7. x4 − 2x3 − 15x2 = 0 (Soluciones: x ∈ {0,−3, 5})

8. x4 − 3x3 + 2x2 + x− 1 = 0 (Soluciones: x ∈{1, 1+

√5

2 , 1−√5

2

})

9. 2x3 − x2 + 14x− 7 = 0 (Soluciones: x = 12)

10. 25x3 − 125x2 − x+ 5 = 0 (Soluciones: x ∈{5,1

5,−15

})

11. 6x4 + x3 − 16x2 + 11x− 2 = 0 (Soluciones: x ∈{1,−2, 1

2,1

3

})

12. 3x6 + x5 − 9x4 − 3x3 = 0 (Soluciones: x ∈{0,−13 ,

√3,−√3})

13. x5 − 3x3 − 2x2 + 6 = 0 (Soluciones: x ∈{√3,−√3, 3√2})

14. 12x4 + 5x3 − 86x2 − 35x+ 14 = 0 (Soluciones: x ∈{14 ,−

23 ,√7,−√7})

15. (x3 − 7x+ 6)(x− 1)(x2 − 6x+ 9) = 0 (Soluciones: x ∈ {1, 2, 3,−3})

16. x(x− 3)3(2x+ 7)2(4x+ 5)7(3x− 11)2 = 0 (Soluciones: x ∈{0, 3,−72 ,−

54 ,113

})

17. x4 − 17x3 + 104x2 − 268x+ 240 = 0 (Soluciones: x ∈ {2, 4, 5, 6})

18. x3 − 3x2 − 16x+ 48 = 0 (Soluciones: x ∈ {3, 4,−4})

19. x3 + 5x2 − 9x− 45 = 0 (Soluciones: x ∈ {3,−3,−5})

20. x3 − 19x2 + 118x− 240 = 0 (Soluciones: x ∈ {5, 6, 8})

21. x3 + 2x2 + 3x+ 6 = 0 (Soluciones: x ∈{−2,√3i,−

√3i})

22. x4 − 11x3 + 11x2 + 179x− 420 = 0 (Soluciones: x ∈ {3,−4, 5, 7})

23. x4 − 10x3 + 23x2 + 34x− 120 = 0 (Soluciones: x ∈ {−2, 3, 4, 5})1 Indicación: realiza el cambio 3

√x = y.

17

24. x4 − 12x3 + 29x2 − 8x− 60 = 0 (Soluciones: x ∈ {−1, 2, 5, 6})

25. 2x3 − 5x2 − 22x+ 12 = 0 (Soluciones: x ∈{1 +√13, 1−

√13, 12

})

26. 2x4 + 19x3 + 20x2 − 38x− 48 = 0 (Soluciones: x ∈{−8,−32 ,

√2,−√2})

27. x4 − 11x3 + 32x2 − 4x− 48 = 0 (Soluciones: x ∈ {−1, 2, 4, 6})

28. x4 − 7x3 + 5x2 + 31x− 30 = 0 (Soluciones: x ∈ {1,−2, 3, 5})

29. x3 − 3x2 − 5x+ 15 = 0 (Soluciones: x ∈{3,√5,−√5})

Sistemas de Ecuaciones

1. Resuélvanse los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

(a){x +3y = 6x −8y = 16

(b)

x +y = 3x −2y = −32x +y = 5

(c)

2x −y +z = −34x +3y +7z = 11−x +3y +2z = −1

(d)

x +z = 02x +3y +2z = 1

4y +3z = 7

(e)

x −2y +z = 0

y +2z = 1−x +y −z = −2

(f)

x +y +z = 6x −y +z = 22x −y +3z = 9

(g)

x −y +z = 0x +y −4z = 03x −y −2z = 0

(h)

x +y +z = 3x −2y +2z = 12x +y +3z = 6

(i)

x +y −z = 0

y +z = 102x −y +5z = 30

(j)

x +y +z = 6x −y +z = 22x −y +3z = 93x −2y +4z = 11

(k)

x +y −9z = 0

y −5z = 0x +2y −4z = 0

(l)

x +2y −5z = 02x +y −z = 3

y +z = 3

(m)

x +y +z = 1x −y +z = 2x +y −z = 33x +y +z = 6

(n)

x +y +z +t = 10x −2y +z +t = −42x +z = 5

3y −2t = −2

(o)

x +y −3z = 0x −z = 0x +z −2t = 03x +y −3z −2t = 0

2. Un cine ha proyectado una determinada película sólo tres días, el lunes, el martes y el miércoles de lasemana pasada. Se sabe que el número de espectadores del martes se incrementó en un 12% respectodel lunes, que el miércoles ese número disminuyó en un 12% respecto del martes y que el lunes esenúmero superó en 36 espectadores a los del miércoles. Calcule el número de espectadores que vieronla película cada uno de los tres días.

3. Un distribuidor de abonos dispone de tres abonos básicos A, B y C, que puede mezclar en distintasproporciones según los cultivos a los que se aplica. Si mezclamos una parte de A con dos partes deB y una de C, se obtiene un abono que se vende a 5 €/Kg; si mezclamos a partes iguales A y C, seobtiene un abono que se vende a 6 €/Kg; y si se mezclan B y C, también a partes iguales, el preciodel Kg de abono resultante es de 4,50 €. Se pide:

(a) Calcular el precio por Kg de cada uno de los abonos básicos.

18

(b) Suponiendo que el coste de los abonos básicos fuera respectivamente de 8, de 3 y de 1,5 €/Kg,calcular cuánto costaría un Kg de abono compuesto por doble cantidad de C que de B y doblede B que de A.

4. Un tren transporta 470 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 6800 €. Calcularcuántos viajeros han pagado el importe total del billete que asciende a 16 €, cuántos han pagado el80% del billete, y cuántos el 50%, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 50% es lamitad del número de viajeros que pagaron el 80%.

5. Un taller de carpintería ha vendido 15 muebles, entre sillas, sillones y butacas, por un total de 1600euros. Se sabe que cobra 50 euros por cada silla, 150 euros por cada sillón y 200 euros por cada butaca,y que el número de butacas es la cuarta parte del número que suman los demás muebles. Plantee,sin resolver, el sistema de ecuaciones adecuado que permite calcular cuántos muebles de cada clase havendido ese taller.

6. Un establecimiento pone a la venta tres tipos de camisas A, B y C. Se sabe que la razón entre losprecios de las camisas C y B es 19/18 y entre los de B y A es 6/5. Al comprar tres camisas, una decada clase, se pagan 130 €. Plantee el sistema de ecuaciones que permita conocer el precio de cadacamisa.

7. Determine dos números sabiendo que al dividir el mayor por el menor obtenemos 7 de cociente y 2 deresto, y que la diferencia entre el triple del mayor y el menor es 106.

8. En un comercio de bricolaje se venden listones de madera de tres longitudes: 0,90 m, 1,50 m y 2,40m, cuyos precios respectivos son 4 euros, 6 euros y 10 euros. Un cliente ha comprado 19 listones, conuna longitud total de 30 m, que le han costado 126 euros en total. Plantee, sin resolver, el sistema deecuaciones necesario para determinar cuántos listones de cada longitud ha comprado este cliente.

9. Una tienda dispone de latas de conserva de tomate de tres fabricantes: A, B y C. El fabricante Aenvasa el tomate en latas de 250 g, el fabricante B lo envasa en latas de 500 g y el fabricante C enlatas de 1 kg. Esas latas de tomate se venden a 1; 1,8 y 3,3 euros, respectivamente. Compramos entotal 20 latas, que pesan un total de 10 kg y nos cuestan 35,6 euros. Queremos saber cuántas latas decada fabricante hemos comprado.

(a) Plantee el sistema de ecuaciones que resolvería el problema anterior.

(b) Resuelva el problema.

10. María y Luis han realizado un desplazamiento en coche que ha durado 13 horas y durante el cual, untiempo ha conducido María, otro ha conducido Luis y el resto han descansado. Luis ha conducido 2horas más de las que han descansado, y el total de horas de descanso junto con las de conducción deLuis es 1 hora menos que las que ha conducido María. Encontrar el número de horas que ha conducidocada uno y las que han descansado.

11. Un camión trae, en su carga, cajas de tres productos A, B y C. Se ha perdido la hoja de carga, perouno de los operarios recuerda que en total hay 120 cajas, que las del tipo A eran tantas como del tipoB y C juntas y que las del tipo C eran la cuarta parte de las del tipo B.

(a) ¿Cuántas cajas de cada tipo trae el camión?

(b) Otro operario dice que del tipo A eran 12 más que del tipo B. Comprobar si esta información secontradice con la del primer operario.

12. Tres familias han comprado naranjas, manzanas y melocotones. La familia A ha comprado 1 kg decada fruta y ha pagado 10 euros, la familia B ha pagado 24 euros por 2kg de naranjas y 4 kg demelocotones, y la familia C se ha llevado 3 kg de manzanas y 3 kg de melocotones y ha pagado 24euros. Calcular el precio de 1 kg de cada una de las frutas.

19

9 Intervalos e Inecuaciones

1. Describe conjuntísticamente los siguientes intervalos reales:

(a) (−4, 3)(b) (−8, 0](c) [−5, 0)

(d) [−4, 12 ](e) (−3, 5)(f) [−2, 1]

(g) [−2, 3)(h) (−2, 5)(i) (−2, 7)

(j) (−1, 5](k) [0,+4)

(l) [14 , 2)

(m) [13 , 6)

(n) (12 , 3)

(o) [3, 6)

(p) (−4,−3](q) [2,+4)

(r) (−5,+4)

2. Representa en la recta real los siguientes intervalos reales:

(a) (−4, 2](b) (−7, 1]

(c) [−3, 2](d) [−2, 0]

(e) (−3, 1](f) (−2, 4)

(g) (−4,−5](h) (−4, 3)

(i) [1,+4)

(j) (−3, 3)

3. Escribe los siguientes conjuntos en notación de intervalo:

(a) {x ∈ R/− 3 ≤ x < 5}(b) {x ∈ R/x ≤ 0}(c) {x ∈ R/− 1 ≤ x ≤ 0}(d) {x ∈ R/− 8 ≤ x < −2}(e) {x ∈ R/x > 3}

(f) {x ∈ R/− 1 ≤ x ≤ 7}(g) {x ∈ R/x ≤ −2}(h) {x ∈ R/8 > x}(i) {x ∈ R/− 2 < x < 4}(j) {x ∈ R/− 3 ≥ x > −5}

4. Resuelve las siguientes inecuaciones, dando el conjunto solución también en notación de intervalo:

(a) 2x ≥ −8 (Sol.: [−4,∞))(b) 12x ≤ 4x− 8 (Sol.: (−∞,−1])(c) 2x+ 1 < 5 (Sol.: (−∞, 2))(d) 3x− 2 ≤ 5 (Sol.:

(−∞, 73

])

(e) 5x− 2 ≤ 0 (Sol.:(−∞, 25

])

(f) 5x− 3 ≤ 2 (Sol.: (−∞, 1])(g) 1− x ≤ 5 (Sol.: [−4,+∞))(h) 5− 3x ≥ −1 (Sol.: (−∞, 2])

(i) 3x− 6 < 2

3(Sol.:

(−∞, 209

))

(j)2x

5− 1 ≤ 2 (Sol.:

(−∞, 152

])

(k)x

2− 32< 0 (Sol.: (−∞, 3))

(l)x

2− 3 ≤ 5 (Sol.: (−∞, 16])

(m) 2x− 1 ≥ x+ 3 (Sol.: [4,+∞))(n) 3x+ 5 ≥ 2x− 4 (Sol.: [−9,+∞))(o) 4x− 5 > 7x− 3 (Sol.:

(−∞,−23

))

(p) 5x− 12 > 3x− 4 (Sol.: (4,+∞))

(q) 2x− 53>x

3− 6 (Sol.:

(−135 ,+∞

))

(r) 3x− 4 + x

4<3x

2− 4 (Sol.: (−∞, 0))

(s)5− 2x7

≤ 4x+ 36

(Sol.:[940 ,+∞

))

(t)12− 4x2

≥ 2x+ 55

(Sol.:(−∞, 2512

])

(u) (x− 1)2 − 4 < (x+ 2)2 (Sol.:(−76 ,+∞

))

20

(v)x+ 3

3− x+ 2

4<x

2+ 1 (Sol.:

(−65 ,+∞

))

(w) (x+ 2)(x− 2) + 3 < (x− 1)(x+ 5) (Sol.: (1,+∞))

5. Resuelve las siguientes inecuaciones, dando el conjunto solución también en notación de intervalo:

(a)3x

4+ 5 <

5x

6+ 15 (Sol.: (−120,+∞))

(b)x− 93

+3x− 44

≤ 2x+ 33

(Sol.: (−∞, 12])

(c)x− 34

<x− 56

+x− 19

(Sol.: (7,+∞))

(d)x

3− x− 2

12+ 3x >

1

4+ x (Sol.:

(127 ,+∞

))

(e)3x+ 7

22− 1− 5x

12≥ 9− x− 4x− 9

11(Sol.: [5,+∞))

(f)x+ 1

2+x+ 4

5− x+ 3

4> 1 (Sol.: (1,+∞))

(g)x+ 9

2− 1− 2x

7<11− x14

− 3x+ 54

(Sol.: (−∞,−3))

(h)3x+ 7

5− x− 1

15− 2x+ 9

6+x

9≤ 9x+ 7

30(Sol.: (−∞, 24])

(i)13− 7x20

− 26 + x25

>2x+ 7

5− 1− 9x

10(Sol.: (−∞,−1))

(j)x− 14− x− 9

2≥ 18

(x− 54− 7− x

6

)+43

24(Sol.:

(−∞, 26529

])

(k) x+ 1 < x+ 5 (Sol.: R)

6. Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto:

(a) |x| < 1 (Sol.: (−1, 1))(b) |x| > 2 (Sol.: (2,∞) ∪ (−∞,−2))(c) |x| < 3 (Sol.: (−3, 3))(d) |x| ≤ 4 (Sol.: [−4, 4])(e) |3x| ≤ 9 (Sol.: [−3, 3])(f) |−4x| ≤ 2 (Sol.:

[−12 ,

12

])

(g)∣∣∣ x12

∣∣∣ ≤ 23

(Sol.: [−8, 8])

(h)∣∣∣x4

∣∣∣ < 3

4(Sol.: (−3, 3))

(i)

∣∣∣∣2x7∣∣∣∣ ≤ 4 (Sol.: [−14, 14])

(j) |x− 1| < 1 (Sol.: (0, 2))

(k) |x+ 3| ≤ 5 (Sol.: [−8, 2])(l) |x− 2| ≥ 5 (Sol.: (−∞,−3] ∪ [7,+∞))(m) |x− 3| ≤ 3 (Sol.: [0, 6])

(n) |x+ 5| < 4 (Sol.: (−9,−1))(o) |2x− 1| < 9 (Sol.: (−4, 5))(p) |3x− 6| ≤ 9 (Sol.: [−1, 5])(q) |5x− 4| < 6 (Sol.:

(−25 , 2

))

(r) |3x+ 4| ≤ 23

(Sol.:[−149 ,−

109

])

(s) |8x− (5x− 4)| < 6 (Sol.:(−103 ,

23

))

21

(t) |4x− (−2x+ 3)| < 4 (Sol.:(−16 ,

76

))

(u) |2− x| ≥ 6 (Sol.: (−∞,−4] ∪ [8,+∞))(v) |3− x| > 1 (Sol.: (−∞, 2) ∪ (4,+∞))(w) |5− 3x| ≤ 4 (Sol.:

[13 , 3])

(x)∣∣∣x2− 2∣∣∣ ≤ 1 (Sol.: [2, 6])

(y)

∣∣∣∣3x4 − 13∣∣∣∣ ≤ 2 (Sol.:

[−209 ,

289

])

(z)

∣∣∣∣7x3 − 26∣∣∣∣ ≥ 53 (Sol.:

(−∞,−47

]∪[67 ,+∞

))

7. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

(a) x2 − 5x+ 6 ≥ 0 (Sol.: (−∞, 2] ∪ [3,+∞))(b) x2 − 2x+ 1 ≥ 0 (Sol.: R))(c) x2 − 3x+ 2 < 0 (Sol.: (1, 2))

(d) 2x2 − 6x+ 4 > 0 (Sol.: (−∞, 1) ∪ (2,+∞))(e) x2 − 4x+ 4 ≤ 0 (Sol.: {2})(f) x2 − 6x+ 9 < 0 (Sol.: ∅)(g) 4x2 + 4x− 3 ≤ 0 (Sol.:

[−32 ,

12

])

(h) 4x2 − 9 > 0 (Sol.:(32 ,+∞

)∪(−∞,−32

))

(i) 3x2 − 4x+ 1 ≤ 0 (Sol.:[13 , 1])

(j) x2 + 1 > 0 (Sol.: R)(k) x2 − x− 2 ≥ 0 (Sol.: (−∞,−1] ∪ [2,∞))(l) x2 + x− 6 < 0 (Sol.: (−3, 2))(m) 2x2 + 3x− 5 ≤ 0 (Sol.:

[−52 , 1

])

(n) 4x2 + 7x− 2 > 0 (Sol.: (−∞,−2) ∪(14 ,+∞

))

(o) x2 + x+ 1 > 0 (Sol.: R)(p) x2 + 2x+ 7 < 0 (Sol.: ∅)(q) 3x2 + 2x− 1 ≥ 0 (Sol.: (−∞,−1] ∪

[13 ,+∞

))

(r) x2 ≥ 1 (Sol.: [1,+∞) ∪ (−∞,−1])

8. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:

(a)x+ 3

x− 1 > 0 (Sol.: (1,+∞) ∪ (−∞,−3))

(b)x− 2x+ 2

≥ 0 (Sol.: (−∞,−2) ∪ [2,+∞))

(c)x− 8x+ 1

< 0 (Sol.: (−1, 8))

(d)x− 6x≤ 0 (Sol.: (0, 6])

(e)x− 12− x > 0 (Sol.: (1, 2))

(f)x− 25− x ≥ 0 (Sol.: [2, 5))

(g)2x− 1x+ 6

< 0 (Sol.:(−6, 12

))

(h)2x+ 3

4x− 1 ≤ 0 (Sol.:[−32 ,

14

))

22

(i)4x+ 3

2x− 5 > 0 (Sol.:(52 ,+∞

)∪(−∞,−34

))

(j)3x+ 2

x− 1 ≤ 3 (Sol.: (−∞, 1))

(k)2x− 13x+ 2

≥ 3 (Sol.:[−1,−23

))

(l)x− 5x− 1 > −5 (Sol.: (−∞, 1) ∪

(53 ,+∞

))

(m)1

3x− 1 ≥5

x+ 2(Sol.: (−∞,−2) ∪

(13 ,12

])

(n)x− 1x+ 1

<3x− 2x+ 6

(Sol.: (−1,+∞) ∪ (−∞,−6))

(o)x

3x+ 7≤ 2x+ 3

x(Sol.: (0,+∞) ∪

(−∞, −23−

√109

10

]∪(−73 ,

−23+√109

10

])

9. Resuelve las siguientes inecuaciones:

(a)20x− 63x+ 4

< 2 (Sol.:(−43 , 1

))

(b)−6x+ 9x2 − 9 ≤ 0 (Sol.: (3,∞) ∪

(−3, 32

])

(c)x2 − 25

x2 − 10x+ 25 ≥ 0 (Sol.: (5,∞) ∪ (−∞,−5])

(d)x2 + x

x2 + 3x+ 2< 0 (Sol.: (−2, 0))

(e) x3 − 7x+ 6 ≤ 0 (Sol.: [1, 2] ∪ (−∞,−3])(f) x3 − 6x2 + 11x− 6 > 0 (Sol.: (1, 2) ∪ (3,∞))(g) x3 − 3x2 − x+ 3 < 0 (Sol.: (1, 3) ∪ (−∞,−1))(h) x4 − 2x3 − 15x2 ≤ 0 (Sol.: [−3, 5])(i) x3 − 3x2 − 5x+ 15 ≥ 0 (Sol.: [3,∞) ∪

[−√5,√5])

(j) 6x4 + x3 − 16x2 + 11x− 2 ≤ 0 (Sol.:[12 , 1]∪[−2, 13

])

(k) (x3 − 7x+ 6)(x− 1)(x2 − 6x+ 9) > 0 (Sol.: (2, 3) ∪ (3,∞) ∪ (−∞,−3))

(l)x3 − 7x+ 6

x4 − 13x2 + 36 ≥ 0 (Sol.: (−2, 1] ∪ (3,∞))

10. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita.

(a){4x− 3 > 3x− 1 ≤ 4x− 4 (Sol.:

(32 ,+∞

))

(b){10(x+ 1) + x ≤ 6(2x+ 1)4(x− 10) < −6(2− x)− 6x (Sol.: [4, 7))

(c)

4x− 3(x+ 1) < 33 < x+ 24(x− 1) ≥ x+ 6

(Sol.:[103 , 6

))

(d)

x2 − 3x+ 2 > 0x2 > 34(3− x) ≥ −2x+ 1

(Sol.:(−∞,−

√3)∪(2, 112

])

(e)

|4− 3x| > 1|x− 5| ≤ 3∣∣2x−1

2 − x3

∣∣ < 4 (Sol.:[2, 274

))

(f)

|3x− 5| > 2x2 − 2x− 3 ≤ 04x−1x−3 ≥ 0

(Sol.:[−1, 14

])

23

11. Representa gráficamente el semiplano solución de las inecuaciones siguientes:

(a) x− y ≥ 1(b) 3x+ y ≤ 2(c) x+ y ≤ 5(d) 2x− 3y ≤ 2(e) 4x− 2y ≤ 8(f) 6x+ 4y ≥ −2

(g) −4x− 2y ≥ 3(h) x ≤ 5(i) x ≥ −2(j) y ≤ 5(k) y ≥ −2(l) −2x+ 3y ≤ 7

12. Representa gráficamente los conjuntos solución de los sistemas de inecuaciones lineales siguientes:

(a){x− y ≥ −1x− y ≤ 1

(b)

x ≥ 0y ≥ 04x− y ≥ 4−x+ y ≤ 2

(c)

−x+ y ≤ 22x+ y ≥ 2x ≤ 1

(d)

x+ y − 1 ≥ 00 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 2

(e)

y + 2x ≥ 03y − x ≤ 12 ≥ x ≥ 0y ≥ 0

(f)

x+ y ≤ 8x+ y ≥ 4x+ 2y ≥ 6

(g)

x+ 3y ≤ 155x+ y ≤ 203x+ 4y ≤ 24x ≥ 0y ≥ 0

(h)

2y + 4x− 4 ≥ 02− x ≥ 0y + 2x ≥ 8x ≥ 0y ≥ 0

(i)

x ≥ 0y ≥ 0y + 2x ≥ 22y − 3x ≥ −33y − x ≤ 6

(j)

2x+ 4y ≥ 86x+ 5y ≤ 30x ≥ 0y ≥ 0

(k)

x+

1

2y ≤ 6

2x+ y ≥ 6x ≥ 0y ≥ 0

(l)

y − 2

3x− 2 ≤ 0

x+ y ≤ 7y ≥ 2x− 8x ≥ 0y ≥ 0

10 Funciones

1. Obtener el dominio de definición de las siguientes funciones reales de variable real:

(a) f(x) = 3x5 − 8x2 + 6x

(b) f(x) = x+1

x(c) f(x) = 3x

(d) f(x) =x

x2 − 5x+ 6 −3

x2

(e) f(x) =√2x2 + 7

(f) f(x) = 3√x5 − 3x2

(g) f(x) =1

4√x2 − 2x+ 1

2. Representar gráficamente las siguientes funciones:

(a) f(x) = 3x+ 4

(b) f(x) = −5x+ 1

(c) f(x) = 4

(d) f(x) =

x si x ≥ 0

x− 7 si x < 0

24

(e) f(x) = x2 + 2x− 3

(f) f(x) =

x2 + 1 si x < −13x si x = −1

2x2 − 1 si x > −1

(g) f(x) =

1

xsi x < 0

3x2 + 3 si 0 ≤ x ≤ 1x− 3 si x > 1

(h) f(x) = log2 x

(i) f(x) = log5 x

3. Sean las funciones:

f(x) =

x si x ≥ 0

x− 7 si x < 0, g(x) = x2 + 2x− 3.

Determinar las funciones f + g, f − g, f · g, fg, 3f − 2g.

4. Hacer lo mismo que en el ejercicio anterior, para las funciones:

f(x) =1

3x+ 1, g(x) =

x+ 2

−x+ 4

5. Sean f(x) =

x si x > 0

0 si x < 0, g(x) = 5x− 3. Halla (g ◦ g)(3) y (g ◦ f)(−1).

6. Obtener las funciones g ◦ f y f ◦ g en cada uno de los apartados siguientes, y determinar el dominiode tales composiciones:

(a) f(x) = 3x2 − 1, g(x) = 4x

(b) f(x) = 5x, g(x) =2

6x− 1(c) f(x) = x4, g(x) = x3 + 2x+ 1

(d) f(x) =1

x, g(x) = 6x− 2

(e) f(x) =√x, g(x) = x2

(f) f(x) = −x3 +√x, g(x) =

1

x2

7. Representa gráficamente las siguientes funciones:

(a) y = x

(b) y = x+ 1

(c) y = x− 3(d) y = 0

(e) y = 3

(f) y = −2(g) y = −x(h) y = −x− 1

(i) y = −x+ 3(j) y = 3x

(k) y = 3x+ 6

(l) y = 3x− 8

(m) y = 12x

(n) y = 12x+ 3

8. Representa gráficamente las siguientes funciones polinómicas de 2o grado, obteniendo también todossus elementos notables.

(a) f(x) = 9x2 − 6x+ 1(b) f(x) = x2 − x− 2(c) f(x) = 4x2 + 12x+ 9

(d) f(x) = 5x2 − 11x+ 2(e) f(x) = 2x2 − 5x− 7(f) f(x) = 3x2 − 6x+ 5

9. ¿Qué valor debe tomar a para que la función f(x) = x2 − ax+3 tenga por representación gráfica unaparábola con vértice el punto (1, 2)? (Para resolver este ejercicio, téngase presente que dos parejas delplano son iguales si lo son componente a componente, es decir: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ý b = d.

10. ¿Qué valor deben tomar los coeficientes a y b para que la función f(x) = ax2 + bx + 7 verifique quef(1) = 6 y f(−1) = 12 ?

11. Determinan los puntos del plano en donde se cortan las parábolas determinadas por las funcionesf(x) = x2, g(x) = −x2 + 6. Haz un dibujo de la situación.

12. Las rectas y = x + a e y = x + b pasan, respectivamente, por los puntos (0, 0) y (3, 0). Calcula lascoordenadas del vértice V de la parábola y = x2 + (a+ b)x+ ab. Calcula a y b.

25

13. Obtén un polinomio de segundo grado ax2+ bx+ c tal que la gráfica de la función polinómica asociada(y = ax2 + bx+ c, cuya gráfica es una parábola) tenga el vértice en el punto (3,−4) y pase, además,por el punto (−1, 12).

14. Representa gráficamente las funciones siguientes:

(a) f(x) =1

x− 3 (b) f(x) =1

x+ 2(c) f(x) =

−1x− 2 (d) f(x) =

−1x+ 4

15. Representa gráficamente la función f dada por f(x) = |x|x en el intervalo [−5, 5].

16. Representa gráficamente las funciones definidas a trozos siguientes:

(a) f(x) ={x− 3 si x < 12 si x ≥ 1

(b) f(x) ={2x+ 6 si x < −1−x+ 3 si x ≥ −1

(c) f(x) =

{x2 + 2 si x ≤ 2x− 3

2 si x > 2

(d) f(x) =

x2 − 4 si x ≤ 12 si 1 < x ≤ 31 si x > 3

(e) f(x) =

x2 − 3x+ 2 si x ≤ 1−x2 + 3 si 1 < x ≤ 3

1x−3 si x > 3

(f) f(x) =

1x si x < 0x si 0 < x ≤ 2

|x− 3| si x > 2

17. Representa gráficamente las funciones:

(a) f(x) = |x+ 3| (b) f(x) = |2x− 6| (c) f(x) =∣∣x2 − 4∣∣ (d) f(x) =

∣∣x2 − x− 2∣∣18. En una circunferencia de radio 10 metros se inscribe un rectángulo. Expresa el área del rectángulo en

función del lado x de la base. Trata de representar dicha función.

19. Un fabricante quiere construir cajas de base cuadrada y cuyo volumen debe ser 10 litros. Expresar laaltura de la caja en función del lado x de la base. Expresa también el área total de la caja en funciónde x. Trata de representar ambas funciones.

20. Se desea construir barriles de forma cilíndrica de 100 litros de capacidad. Se pide:

(a) Expresa la altura del barril en función del radio de la base.

(b) Expresa el área total en función del radio de la base.

21. En un bloque de viviendas, las ventanas son rectangulares y con una superficie de 2 metros cuadrados.Si x es la longitud del lado de la base, expresa la altura en función de x.

22. Quemando velas:

La fórmula que proporciona la altura en cm de la vela A es hA = 20− t, donde t es el tiempo en horas.Asimismo, la fórmula para determinar la altura en cm de la vela B es hB = 20− t2

5 . De nuevo es t eltiempo en horas.

26

(a) ¿Qué altura tendrá la vela A, si t es:

i. 5 horas ii. 8 horas iii. 10 horas iv. 15 horas

(b) Calcula hA y hB cuando:

i. t = 3. ii. t = 4.

(c) Completa la tabla siguiente, correspondiente a datos sobre la vela B:

Tiempo en horas 0 2 4 6 8 10Altura en centímetros

(d) Representa en los mismos ejes las gráficas de las dos velas.

(e) Las velas tienen la misma altura cuando t = 0. ¿Cuando vuelven a tener la misma altura?

(f) Usando la gráfica de la vela A, ¿cuándo alcanza la vela la altura:

i. 18 cms ? ii. 13 cms ? iii. 4 cms ?

(g) La misma cuestión que en (f), pero para la vela B.

(h) Estimar cuando la altura de la vela A es doble de la altura de la vela B.

23. Dibuja una gráfica que se ajuste a cada una de las diez situaciones descritas abajo (algunos casospueden representarse con más de una gráfica). Pon nombres a los ejes en cada gráfica y explica turepresentación, indicando todas las suposiciones que hagas:

(a) Los precios están creciendo más despacio que en cualquier otro periodo de los últimos cinco años.

(b) Me gusta bastante la leche fría y la leche caliente, ¡pero detesto la leche templada!.

(c) Cuanto más pequeñas son las cajas, se pueden cargar más en la camioneta.

(d) Después del concierto hubo un silencio abrumador. Entonces, una persona de la audienciacomenzó a aplaudir. Los que estaban alrededor se le unieron y pronto todo el mundo estabaaplaudiendo y vitoreando.

(e) Si las entradas del cine son muy baratas, los dueños perderán dinero. Por otra parte, si sondemasiado caras, irá poca gente y también perderán dinero. Por tanto, un cine debe poner unprecio moderado a las entradas para obtener beneficio.

24. Se quiere construir un pozo de forma cilíndrica de 2 metros de diámetro. Expresa el volumen del aguaque cabe en el pozo en función de su profundidad.

25. Sabiendo que el cambio actual del dólar está en 1,31 €, y que el banco cobra de comisión un 0,5%,escribe las funciones que permiten pasar del valor actual de una moneda a otra.

26. Se sabe que 180 grados Fahrenheit equivalen a 100 grados centígrados y que 0 grados centígradosequivalen a 32 Fahrenheit. Halla las funciones que dan la equivalencia de los dos tipos de grados.

27. Expresa en función del radio r del círculo el área de un rectángulo inscrito en el mismo.

28. Halla la función que expresa el área de un triángulo isósceles inscrito en un círculo en función del radio.

29. Un rectángulo tiene de perímetro 40 m. Expresa la altura del rectángulo en función del lado x de labase y lo mismo para el área.

30. Expresa el área de un triángulo equilátero en función del lado. ¿Qué tipo de función se obtiene? Hallael valor de esa función si el lado mide 10 unidades.

31. En un monte hay dispersas x casetas de guardas, cada una está unida a las restantes por un caminodistinto. Expresa el número de caminos en función de las casetas. Halla el número de caminosexistentes si hay 10 casetas.

27

32. Se dispone de una cartulina de 100 por 40 cms y se quiere construir una caja con tapadera cortandoun cuadrado en dos esquinas y dos rectángulos en las otras dos. Halla la expresión del volumen dellado x del cuadrado cortado:

33. Se sabe que un proyectil disparado por un cañón describe una trayectoria de tal forma que la alturaque alcanza el proyectil en cada instante se puede calcular mediante la fórmula:

y = 100t− 10t2,

donde t indica el tiempo transcurrido desde el disparo e y la altura alcanzada en metros. Calcula lamáxima altura alcanzada por el proyectil y el tiempo que tarda en conseguirla.

34. En el instante t = 0 se lanza un proyectil desde la tierra; la altura a la que se encuentra en el instantet puede ser calculada mediante la fórmula h(t) = 20t− 4, 9t2 (en metros y segundos). Se pide:

(a) Determina el instante en que el proyectil llega a los 15 metros de altura.

(b) ¿Llegará a alcanzar una altura de 50 metros? Razona la respuesta.

(c) Representa gráficamente e interpreta la función h = h(t).

35. Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de x televisores son G(x) = 2000+25x, enmiles de euros, y los ingresos mensuales son I(x) = 60x−0, 01x2, también en miles de euros. ¿Cuántostelevisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máximo?

36. El precio de venta de un artículo viene dado por la expresión p(x) = 12 − 0, 01x, donde x expresa elnúmero de artículos fabricados y p(x) es el precio, en cientos de euros.

(a) Si se fabrican y se venden 500 artículos, ¿cuáles serán los ingresos obtenidos?

(b) Representa la función No de artículos - Ingresos obtenidos.

(c) ¿Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máximos?

37. Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 20 minutos en llegar a su casa, que está a 1 km de distancia.Está allí media hora y en el camino de vuelta emplea el mismo tiempo que en el de ida.

(a) Representa la función tiempo-distancia.

(b) Busca su expresión analítica.

11 Límites de funciones

1. Calcula los siguientes límites de funciones reales de variable real:

(a) limx→3

5

(b) limx→−2

−35

(c) limx→0

(x− 3)

(d) limx→−1

(3− x)

(e) limx→0

(x2 − x− 1

)(f) lim

x→0

x− 1x+ 1

(g) limx→−2

2x− 1x− 2

(h) limx→2

x− 2x+ 2

(i) limx→0

x+ 2

x

(j) limx→0

1− xx2

(k) limx→0

1− xx2

(l) limx→2

x+ 1

x− 2

28

(m) limx→2

2

x2 − 4(n) lim

x→−2

x− 2(x+ 2)2

(o) limx→1

2x− 2x2 − 1

(p) limx→−1

x2 − 12x2 + 2x

(q) limx→2

x2 − 2xx2 − 4

(r) limx→−2

2x+ 4

x2 − 4

(s) limx→−1

x2 − 1x2 + x

(t) limx→0

x2 + 2x

x

(u) limx→−3

x2 − 93x+ 9

(v) limx→3

x2 − 6x+ 92x− 6

(w) limx→0

x2 + 2x

x3

(x) limx→−1

x2 + x

x2 + 2x+ 1

(y) limx→−2

x2 + 2x

(x+ 2)3

(z) limx→3

2x− 6x2 − 2x− 3

(aa) limx→−1

x2 + 2x− 1x2 + 3x+ 2

(ab) limx→2

x− 2x2 − 3x+ 2

(ac) limx→1

x2 + x− 2x2 − 3x+ 2

(ad) limx→1

x2 + x− 2x2 − 2x+ 1

(ae) limx→−2

x2 − 4x2 + x− 2

(af) limx→−1

x+ 4

(x+ 1)2

(ag) limx→1

x− 1x3 − x2 − x+ 1

(ah) limx→2

x3 + 2x2 − 4x− 8x3 + x2 − 4x− 4

(ai) limx→4

x− 4x2 − x− 12

(aj) limx→3

x3 − 3x2 + 9x− 27x2 − 9

(ak) limx→2

x3 − 4xx2 − 3x+ 2

(al) limx→4

3x2 − 24x+ 48x− 4

(am) limx→1

2x3 − 14x2 + 12xx3 − 10x2 + 27x− 18

(an) limx→3

−12x− 6

2. Calcula los siguientes límites de funciones reales de variable real.

(a) limx→2

√4x− 7

(b) limx→0

√x+ 4

x+ 2

(c) limx→0

3

√3x+ 8

x− 1

(d) limx→0

√x− 3x− 1

(e) limx→4

√x− 2x− 4

(f) limx→1

√x+ 3− 3x− 3

(g) limx→3

√x+ 3− 3x− 3

(h) limx→0

√x+ 16− 4√x+ 9− 3

(i) limx→7

2−√x− 3

x2 − 49

(j) limx→1

√2x− 1− 1x2 − 1

(k) limx→2

4− x2

3−√x2 + 5

(l) limx→0

√x

x

(m) limx→3

√x−√3

x− 3

(n) limx→3

√x−√3

x2 − 9

(o) limx→3

√x+ 1− 2

x2 − 2x− 3

(p) limx→3

√x+ 6− 3x2 − 9

(q) limx→0

1−√1− xx

(r) limx→2

2− x2√2x− 2

(s) limx→4

2−√x√

2x+ 1− 3

(t) limx→1

√5x+ 4− 32−√4x

(u) limx→0

√4 + x−

√4− x

4x

(v) limx→0

1−√1− x2x2

3. Calcula los siguientes límites en el infinito, de funciones reales de variable real.

(a) limx→+∞

5

(b) limx→+∞

(−3)

(c) limx→−∞

(1− 2x)

(d) limx→+∞

(1− 2x2)

(e) limx→+∞

(x2 − 2x)

(f) limx→+∞

(1− x3)

(g) limx→−∞

(x2 − x3

)(h) lim

x→+∞

(−2x+ 3x3

)(i) lim

x→+∞(4x3 − 5x2 − 7)

(j) limx→−∞

(−3x2 − x+ 4

)(k) lim

x→+∞x2 − 1x+ 2

(l) limx→+∞

x2 − x1− x

(m) limx→+∞

1

1− x2

(n) limx→−∞

2x2 − 51− 3x

(o) limx→+∞

2x+ 2

x2 − 2

(p) limx→−∞

2x2 − 13x2 + 2

(q) limx→+∞

x3

2x− 1

(r) limx→+∞

2x+ 1

1− 4x

(s) limx→−∞

2

2 + x2

(t) limx→+∞

1− x1− 2x

(u) limx→+∞

2x+ 2

2x− 1

(v) limx→+∞

x2 − 1x2 − x3

(w) limx→−∞

1− 2x21− x

29

(x) limx→+∞

1− 3x21− 2x2

(y) limx→+∞

3x2 + 1

(2− x)3

(z) limx→−∞

2− x3x2 − 1

(aa) limx→+∞

3x

5 + 3x

(ab) limx→−∞

3x

5 + 3x

(ac) limx→+∞

1

(1− x)3

(ad) limx→−∞

3− x3x2

(ae) limx→+∞

3x2 + 3x

x2 − 1

(af) limx→+∞

−3x3 + 4x2 − x− 14x3 + 6x2 − 4x+ 2

(ag) limx→−∞

−3x3 + 4x2 − x− 14x3 + 6x2 − 4x+ 2

(ah) limx→+∞

−3x2 − 14x3 + 6x2 − 4x+ 2

(ai) limx→+∞

5x5 − 6x3 + x− 74x3 + 2x2 − x+ 1

(aj) limx→−∞

8x2 − 5x+ 34x2 + 4x+ 5

4. Calcula los siguientes límites en el infinito de funciones reales de variable real:

(a) limx→+∞

(√x2 − 3x− x

)(b) lim

x→+∞

(√4x2 − 3x+ 7− 2x

)(c) lim

x→+∞

(√x2 + x− x

)(d) lim

x→+∞

√3x2 + 2x+ 1

2x+ 7

(e) limx→+∞

(2x−

√4x2 − 4x+ 1

)(f) lim

x→+∞

(√4x2 + 2x−

√4x2 − 3

)(g) lim

x→+∞

(√x2 − 2x+ 1−

√x2 − 2x+ 4

)(h) lim

x→+∞

(√2x2 − x+ 3−

√x2 + x+ 2

)Soluciones

1. (a) 5; (b) −35 ; (c) −3; (d) 4; (e) −1; (f) −1; (g)54 ; (h) 0; (i) @; (j) +∞; (k) +∞; (l) @; (m) @; (n) −∞;

(o) 1; (p) 1; (q) 12 ; (r) −

12 ; (s) 2; (t) 2; (u) −2; (v) 0; (w) +∞; (x) @; (y) −∞; (z)

12 ; (aa) @; (ab) 1; (ac)

−3; (ad) @; (ae) 43 ; (af) +∞; (ag) @; (ah)43 ; (ai)

17 ; (aj) 3; (ak) 8; (al) 0; (am) −1; (an) @. 2. (a) 1; (b) 1;

(c) −2; (d) 3; (e) 14 ; (f)12 ; (g) @; (h)

34 ; (i) −

156 ; (j)

12 ; (k) 6; (l) @; (m)

√36 ; (n)

√336 ; (o)

116 ; (p)

136 ; (q)

12 ; (r)

@; (s) −34 ; (t) −56 ; (u)

18 ; (v)

12 . 3. (a) 5; (b) −3; (c) +∞; (d) −∞; (e) +∞; (f) −∞; (g) +∞; (h) +∞; (i)

+∞; (j) −∞; (k) +∞; (l) −∞; (m) 0; (n) +∞; (o) 0; (p) 23 ; (q) +∞; (r) −12 ; (s) 0; (t)

12 ; (u) 1; (v) 0; (w)

−∞; (x) 32 ; (y) 0; (z) +∞; (aa) 1; (ab) 1; (ac) 0; (ad) +∞; (ae) 3; (af) −34 ; (ag) −

34 ; (ah) 0; (ai) +∞; (aj)

2. 4. (a) −32 ; (b) −34 ; (c)

12 ; (d)

√32 ; (e) 1; (f)

12 ; (g) 0; (h) +∞.

12 Límites laterales

1. Dada la función f(x) =

x2 − 1

x2 − 2x+ 1 si x < 1

x2 + 3 si x ≥ 1, se pide:

(a) Su dominio,

(b) limx→1−

f(x),

(c) limx→1+

f(x),

(d) limx→3

f(x),

(e) limx→5

f(x).

(f) ¿Existe limx→1

f(x)? ¿Por qué?

2. Sea g(x) =

x2 + 3x+ 2 si x ≤ 12x+ 4 si 1 < x ≤ 3x2 + 3 si x > 3

. Calcula Dom(g) y el valor de los siguientes límites:

(a) limx→1

g(x), (b) limx→3

g(x), (c) limx→−5

g(x).

3. Sea h(x) =

e3x si x ≤ 0

ln(1 + x) si 0 < x < e− 1x+ 1

xsi x > e− 1

. Calcula Dom(h) y el valor de los siguientes límites:

30

(a) limx→0

h(x), (b) limx→e−1

h(x), (c) limx→1

h(x), (d) limx→−13

h(x).

4. Sea f(x) =

2

x− 2 si x ≤ 36

xsi 3 < x ≤ 5

3x

x− 5 si x > 5

. Se pide:

(a) Dom(f), (b) limx→0

f(x), (c) limx→3

f(x), (d) limx→5

f(x), (e) limx→2

f(x).

En este caso, representa gráficamente también la función f.

5. Consideremos la función:

g(x) =

{3x si x 6= 0

4x− 3 si x = 0.

Calcula Dom(g) y limx→0

g(x). ¿Son necesarios los límites laterales para determinar si existe el límite

solicitado? Justifica tu respuesta.

13 Continuidad de funciones

Para estudiar la continuidad de una función, se seguirán los siguientes pasos:

• Analizaremos el tipo de función que es. Si dicha función es racional (entera, fraccionaria), irracional,exponencial o logarítmica, será continua donde esté definida.

• En virtud de lo dicho en el punto anterior, concretaremos el dominio de la función. Donde no estédefinida, no puede ser continua.

• Finalmente, si la función es definida a trozos, veremos si existe el límite en aquellos puntos dondeexistan cambios de definición de la función (si está definida en ellos). Si existe, y coincide con el valorde la función en esos puntos, habrá continuidad. En caso contrario, no la habrá.

1. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

(a) f(x) =2x− 12x+ 3

(b) f(x) =x2 − 1x2 − 4

(c) f(x) ={2x− 3 si x < 2x− 1 si x ≥ 2

(d) f(x) ={x2 − x si x < 2x+ 1 si x ≥ 2

(e) f(x) =

x+ 1

x− 1 si x < 0

2x− 1 si x ≥ 0

(f) f(x) =

2x+ 1 si x ≤ −12

x− 1 si x > −1

(g) f(x) =

2x− 3 si x < 1

2x− 2x2 − 1 si x ≥ 1

(h) f(x) =

x2 − 22x+ 4

si x 6= −2

2 si x = 2

(i) f(x) =

x2 − 3 si x < 21 si x = 2

3− 2x si x > 2

(j) f(x) =

3− x2 si x ≤ −22x− 2 si −2 < x ≤ 1lnx2 si x > 1

(k) f(x) =

2− 3x si x ≤ −2x2 − 2x si −2 < x ≤ 0ex si x > 0

2. Dada la función f(x) =

x2 − 25x− 5 si x 6= 5

0 si x = 5

, se pide:

31

(a) Demuestra que f(x) no es continua en x = 5. ¿Qué tipo de discontinuidad se presenta en dichopunto?

(b) ¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x 6= 5? En casoafirmativo, da su expresión.

3. Calcula el valor de a para que las siguientes funciones sean continuas en su dominio:

(a) f(x) ={x+ 2 si x < 2a si x ≥ 2

(b) f(x) ={2x+ a si x < −2ax− 1 si x ≥ −2

(c) f(x) ={

x+ 1 si x < −2ax+ 3 si x ≥ −2

(d) f(x) ={2x− 1 si x < 1a− x si x ≥ 1

(e) f(x) ={x2 − x+ 1 si x < −1

ax si x ≥ −1

(f) f(x) ={ax2 − 2 si x < 1x+ 2a si x ≥ 1

(g) f(x) ={x2 − x− 1 si x < 32ax− 1 si x ≥ 3

(h) f(x) ={ax2 − 2x− 1 si x < −1x2 + 2x− 1 si x ≥ −1

(i) f(x) ={x2 − 1 si x < 54x+ a si x ≥ 5

(j) f(x) =

x+ a si x ≤ −2x2 − 2a si −2 < x ≤ 24x− 8 si x > 2

(k) f(x) ={

x2 + a si x ≤ 0−x2 + (a− 1)x+ 3 si x > 0

(l) f(x) =

x2 − 42x− 4 si x 6= 2

a si x = 2

(m) f(x) =

2x2 − 2x+ 1

si x 6= −1

2a si x = 1

(n) f(x) =

4− x2x− 2 si x < 2

a+ x si x ≥ 2

(o) f(x) =

x

x2 + 1si x < 1

a− x si x ≥ 1

4. Calcula el valor de a y b para que la función sea continua:

(a) f(x) =

ax+ 1 si x < 1x− 2 si 1 ≤ x ≤ 3x− 2b si x > 3

(b) f(x) =

ax− 2 si x ≤ −12x+ b si −1 < x ≤ 1x− 2 si x > 1

(c) f(x) =

x+ 2 si x ≤ −1

ax2 + bx− 2 si −2 ≤ x ≤ 1x− 1 si x > 1

(d) f(x) =

ax+ b si x < 1

x2 − 2x− 2 si 1 ≤ x < 3bx− 2a si x ≥ 3

5. Dada la función f(x) =x2 − 5x+ 6

x− 2 ,

(a) Hallar los puntos de discontinuidad.

(b) Si existe alguno, hallar los límites laterales y el salto de discontinuidad.

(c) Determinar si se puede completar el dominio de la función de modo que sea continua en toda larecta real.

6. Dada la función f(x) =x2 − x− 2x2 − 4x+ 4 ,

(a) Hallar los puntos de discontinuidad.

(b) Si existe alguno, hallar los límites laterales y el salto de discontinuidad.

(c) Determinar si se puede completar el dominio de la función de modo que sea continua en toda larecta real.

7. Dada la función f(x) =1

x2 − 4 ,

32

(a) Hallar los puntos de discontinuidad.

(b) Si existe alguno, hallar los límites laterales y el salto de discontinuidad.

(c) Determinar si se puede completar el dominio de la función de modo que sea continua en toda larecta real.

8. Dada la función f(x) =x− 1x2 − 1 ,

(a) Hallar los puntos de discontinuidad.

(b) Si existe alguno, hallar los límites laterales y el salto de discontinuidad.

(c) Determinar si se puede completar el dominio de la función de modo que sea continua en toda larecta real.

9. Dada la función f(x) =x2 − 9

x2 − 5x+ 6 , extiende la función a otra función f̃ que sea continua en x = 3.

10. Dada la función f(x) =x

1−√x+ 1

,

(a) Hallar los puntos de discontinuidad.

(b) Si existe alguno, hallar los límites laterales y el salto de discontinuidad.

(c) Determinar si se puede completar el dominio de la función de modo que sea continua en toda larecta real.

11. Dada la función f(x) =√x− 1x− 1 ,

(a) Hallar los puntos de discontinuidad.

(b) Si existe alguno, hallar los límites laterales y el salto de discontinuidad.

(c) Determinar si se puede completar el dominio de la función de modo que sea continua en toda larecta real.

12. Dadas las funciones f(x) =

√1− x−

√1 + x

x, g(x) =

√x+ 9− 3√x+ 16− 4

, se pide:

(a) Indica el dominio y los puntos de discontinuidad de dichas funciones.

(b) Si existe algún punto de discontinuidad, halla los límites laterales y los saltos de discontinuidad,respectivamente.

(c) Determina si se puede completar el dominio de las funciones de modo que sean continuas en todala recta real.

13. Estudia la continuidad de la función:

f(x) =

{x+ 1 si x ≥ 0x− 1 si x < 0

14. Dada la función

f(x) =

0 si x < 0x2 si 0 < x < 2x si 2 ≤ x

,

represéntala y estudia la continuidad en todo su dominio.

15. Estudia la continuidad de las funciones:

(a) f(x) =

x2 − 1 si x ≤ 0−x2 − 1 si 0 < x < 2−8 si 2 < x

(b) f(x) =

x2 si 0 < x < 10 si 1 ≤ x < 2x− 1 si 2 ≤ x < 3

33

(c) f(x) =

ex

ex + 1si x ≤ 0

x2 + 1 si x > 0

(d) f(x) ={−x si x ≤ 0lnx si x > 0

(e) f(x) = 2 · e−x

(f) f(x) = log(x2 − 1

)(g) f(x) = ln (3x)

(h) f(x) =4− x2

3−√x2 + 5

16. Dada la función:

f(x) =

{x2 si x ≤ aa+ 2 si x > a

,

estudia la continuidad de la función según los valores de a.

17. Dada la función

f(x) =

{3− ax2 si x ≤ 12ax si x > 1

,

¿para qué valores del parámetro a es continua?

18. Dada la función

f(x) =

{lnx si 0 < x ≤ 1ax2 + b si 1 < x

,

determinar los valores a y b para que dicha función sea continua y además sea f(2) = 3. Escribe lafunción resultante.

19. Halla el valor (o valores) del parámetro a para que la función

f(x) =

{ex si x < 1(a2 + 2a)x+ e si x ≥ 1

sea continua en el punto x = 1.

20. Dada la función

f(x) =

−x si x < 03x+ b si 0 ≤ x < 2ax2 si x ≥ 2

,

calcula los valores a y b para que f sea continua en todos sus puntos.

14 Continuidad. Problemas

1. Los ingresos de una empresa, en función del número de años que lleva funcionando, vienen dados porla función:

f(x) =

√x si 0 ≤ x ≤ 9

4x− 30x− 7 si x > 9

donde x viene dado en años, y f(x) en millones de euros.

(a) ¿Es continua la función f(x)?

(b) ¿Qué interpretación podemos dar respecto de los ingresos de la empresa, según lo obtenido en elapartado anterior?

2. La población de un estado en el siglo XX puede describirse mediante la función:

f(t) =

t− 2 si 0 ≤ t ≤ 42580− 10x

4si 42 < t ≤ 50

1000− 2t2100− 10t si 50 < t ≤ 99

donde t es el tiempo transcurrido en años (contado desde 1900) y f(t) es el número de habitantes dela población, en miles de personas.

34

(a) Determina el dominio y estudia la continuidad de la función.

(b) Calcula en qué años había 10000 habitantes en la localidad.

(c) ¿Existe algún punto de discontinuidad de f ? ¿Cómo se puede interpretar esta discontinuidad enel contexto de la población y del siglo representado?

3. Una determinada especie evoluciona según la función: f(t) = 3 + 2−t, donde t es el número de años yf(t) son los millones de unidades existentes. Dibuja la gráfica y, observándola, contesta a la siguientepregunta: ¿la especie está en vías de extinción? Para comprobarlo, calcula el límite cuando t → +∞y representa la asíntota horizontal.

4. En una ciudad se hace un censo inicial y se sabe que el número de habitantes evoluciona según lafunción:

P (t) =t2 + 500t+ 2500

(t+ 50)2

donde t es el número de años transcurridos desde que se hace el censo, y P (t) es el número de habitantesen millones.

(a) ¿Cuántos habitantes hay cuando se realiza el censo inicial?

(b) ¿Cuántos habitantes habrá dentro de 50 años?

(c) Con el paso del tiempo, ¿hacia qué población se estabilizará?

(d) Representa la función aproximadamente y la asíntota horizontal.

5. Una determinada especie evoluciona según la función f(t) = 5 + 2−t, donde t es el número de años yf(t) son los millones de unidades existentes. Representa la gráfica y determina si la especie está envías de extinción.

6. Una determinada especie evoluciona según la función f(t) =2

t, t > 0, donde t es el número de años

y f(t) son los millones de unidades existentes. Representa la gráfica y determina si la especie está envías de extinción.

7. Una entidad financiera paga un tanto por ciento en función del dinero depositado, definido por:

R(x) =6x+ 8000

x+ 10000,

donde x es la cantidad de dinero depositado en euros, y R(x), el valor del tanto por ciento. ¿Haciaqué valor se estabilizará el tanto por ciento cuando se deposite una cantidad muy grande?

8. Los beneficios o pérdidas de una empresa vienen dados por la función:

f(x) =5x2 − 20x2 + 4

,

donde x es el número de años que lleva funcionando, y f(x) son los millones de euros.

(a) Halla los beneficios o las pérdidas en el primer, segundo y tercer años.

(b) ¿Hacia qué valor se estabilizan las ganancias o pérdidas con el paso del tiempo?

9. En una ciudad se hace un censo inicial y se sabe que el número de habitantes evoluciona según lafunción:

P (t) =t2 + 500t+ 2500

(t+ 50)2

donde t es el número de años desde que se hace el censo, y P (t) es el número de habitantes en millones.

(a) ¿Cuántos habitantes hay cuando se realiza el censo inicial?

(b) ¿Cuántos habitantes habrá dentro de 50 años?

(c) Con el paso del tiempo, ¿hacia qué población se estabilizará?

35

10. Los gastos mensuales en euros que una familia tiene en alimentación vienen dados por la función:

f(x) =

0, 4x+ k si 0 ≤ x ≤ 10002000x

x+ 3000si x > 1000

donde x son los ingresos de la familia en euros.

(a) Halla el valor de k para que los gastos sean continuos; es decir, no haya salto en x = 1000 €.

(b) ¿Hacia qué valor se estabilizan los gastos de alimentación de las familias con la renta más alta?

11. Rocío comienza a trabajar en una empresa de informática. La función que calcula el número deordenadores que monta, en función del tiempo, viene dada por:

f(t) =6t

t+ 5,

donde t es el número de días que lleva trabajando, y f(t), el número de ordenadores que monta.

(a) ¿Cuántos ordenadores monta el primer día?

(b) ¿Cuántos ordenadores monta el quinto día?

(c) ¿Cuántos ordenadores monta el décimo día?

(d) ¿Qué día montará 5 ordenadores?

(e) ¿Puede llegar a montar algún día 7 ordenadores?

(f) ¿A qué número tenderá cuando lleve mucho tiempo trabajando?

15 Asíntotas

1. Estudia las asíntotas de la función f(x) =2x− 1x− 3 , y la posición relativa de su gráfica respecto de ellas.

2. Ídem para f(x) =x2

x2 − 4 .

3. Ídem para f(x) =x2 − 4x− 1 .

4. Estudia las asíntotas de las siguientes funciones:

(a) f(x) =2x+ 1

x2 − 1

(b) f(x) =2x2

(x+ 2)2

(c) f(x) =x+ 3

x2 − x− 2

(d) f(x) =1

x2 + 2x+ 1

(e) f(x) =1− 3x2− x

(f) f(x) =x+ 1

2x2 + 2

(g) f(x) =2x2 + 1

x− 2

(h) f(x) =1 + x2

x3

(i) f(x) =x2 + 2x

x+ 1

(j) f(x) =2x2 + 1

x− 2(k) f(x) = ln(x+ 1)

(l) f(x) = e1−x

(m) f(x) =ln(x− 1)x− 2

5. Determina una función para cada caso:

(a) Que tenga asíntotas verticales en x = −1 ý x = 2, y una asíntota horizontal de ecuación y = 2.(b) Que no tenga asíntotas verticales y sí dos horizontales, ambas de ecuación y = 1.

(c) Que tenga una vertical en x = 1 y otra oblícua de ecuación y = x+ 1.

36

16 Derivada de una función. Reglas de derivación

1. Sea f(x) =x2 − 12

. Halla la tasa de variación media en el intervalo [0, 2] e indica si f crece o decrece

en ese intervalo. Halla también la TVM en el intervalo [−2, 1] y estudia qué se puede afimar respectode si f crece o decrece en este nuevo intervalo.

2. Calcula, utilizando la definición de derivada, la derivada de las siguientes funciones en los puntos quese detallan:

(a) f(x) = x2 + 2x en x = 1.

(b) f(x) =2x+ 1

4en x = 2.

(c) f(x) =3

xen x = −2.

(d) f(x) =3x+ 1

2en x = −1.

(e) f(x) = 3x2 + 2x en x = 0.

(f) f(x) =x2

3en x = 1.

3. Calcula las derivadas de las siguientes funciones (ejercicios básicos):

(a) f(x) = 5(b) f(x) = x

(c) f(x) = 3x(d) f(x) = x5

(e) f(x) = 3x6

(f) f(x) =3

5x10

(g) f(x) =3x2

4(h) f(x) = 2x4 − 3x3 + x2 − 7

(i) f(x) =1

x4

(j) f(x) = 5(1

x3+ x−2

)(k) f(x) = 6x3 + 5x2 − 1

(l) f(x) =1

5x5 +

2

3x3 − 8x

(m) f(x) =1

x2+ x−3 + 2x−1

(n) f(x) = 2(1

x2+1

x4

)(o) f(x) =

1

x5− 1

x3

(p) f(x) =x3

3+ x− 1

x(q) f(x) =

(x2 − 1

)·(x3 + 3x

)(r) f(x) =

x2 − 1x3 + 3x

(s) f(x) =x2 − 1x+ 4

(t) f(x) =x2 − x+ 3

5

(u) f(x) = x2 − 1

x3+4− xx

(v) f(x) =(x3 + 1

)· (x+ 2)

(w) f(x) =(x3 + 2

)· x2

(x) f(x) =2

x3 + 2

(y) f(x) =x3 − 35

(z) f(x) =2

3x2 + 1

(aa) f(x) =1

1− 3x3

(ab) f(x) =x2 − 2x3 + 3x2

(ac) f(x) =x3

x− 3(ad) f(x) =

(3x3 − 2x+ 7

)7(ae) f(x) = 3

(x2 − x+ 1

)3(af) f(x) =

(2x4 − 4x2 − 3

)5(ag) f(x) =

(2x3 + x

)4(ah) f(x) = 5

(x3 − 4x

)4(ai) f(x) =

(x4 − 5x

)2(x3 − 3x)5

(aj) f(x) =(x3 − 2x

)3 ·(2x4 − x2)2(ak) f(x) =

(x3 − 2x

)3(2x4 − x2)2

(al) f(x) = 3√x

(am) f(x) =1− x√1− x2

(an) f(x) =

√1− x1 + x

(ao) f(x) =

√x+ 2

3

(ap) f(x) = 3√x2 − 1

(aq) f(x) = 5√x3 − 7x

(ar) f(x) =

√x+ 3

x− 1(as) f(x) = 5x3 + 3

√x+ 1

(at) f(x) = x2 · 3√x

(au) f(x) =x3√x

(av) f(x) =1

3√x2

(aw) f(x) = 5 ·(x3 − 2x2 + x4

)4(ax) f(x) =

4− 6x(2x4 − 3)6

(ay) f(x) = e√x

(az) f(x) =1

e2x

(ba) f(x) = x2 · e3x

(bb) f(x) =x

ex

(bc) f(x) =ex + e−x

2

(bd) f(x) =x2 − xex

(be) f(x) = log3 x

(bf) f(x) = log2 x3

(bg) f(x) = log x

(bh) f(x) = ln(x2 − 1)

(bi) f(x) = log2

√x2 − 1x+ 1

(bj) f(x) = lne3x√x

(bk) f(x) = log√

x

1− x2

(bl) f(x) =lnx

x5

(bm) f(x) = ln[x3 · (x+ 2)

](bn) f(x) = ln 3

√1 + x2

(bo) f(x) = ln

√1− x1 + x

(bp) f(x) = lnx2 + 3

2x− 1(bq) f(x) = (log x+ 1) ·

√x2 + 1

(br) f(x) =

1

ln

(1

x

)3

37

4. Calcula las derivadas de las siguientes funciones reales de variable real:

(a) f(x) = 3x5 − 4x3 + 3x+ 7

(b) f(x) =3x4

4− 5x

3

3+9x2

2+ 5x− 15

(c) f(x) =x2 − 3x+ 7

5(d) f(x) =

(3x3 − 5x+ 1

)·(x+ x2

)(e) f(x) =

2

x2 + 2x

(f) f(x) =x3

3x+ 2

(g) f(x) =(3x− 27− 9x

)2(h) f(x) =

2

x5+√3

(i) f(x) =√12x+ e2x+1 + log2 3x

(j) f(x) = (3x− 1)2 · (1− 4x)

(k) f(x) =x5√x

x−3 · (x2)5

(l) f(x) =(3x3 − 5x+ 2

)4(m) f(x) =

(3x2 − x

)−4

(n) f(x) =√3x2 −

√5x

(o) f(x) =√1− x2

(p) f(x) =(x+ 3

x− 1

)3(q) f(x) = (2x− 4)4 + 2 ·

√x2 − 1

(r) f(x) =

√x+ 1

x2

(s) f(x) =

√x2 − 3x

(t) f(x) = ln(x2 + 2x

)+ e−x

(u) f(x) = log3 x+ 3x

(v) f(x) = e√x+3

(w) f(x) = 3√ln(3x+ 5)

(x) f(x) =ex − e−x

2

(y) f(x) =x · ln (1 + ex)

ex

(z) f(x) = ln (ln (lnx))

Solucionario

Ejercicio 1. TVM(f, [0, 2]) = 1. La función crece en [0,2]. TVM(f, [−2, 1]) = −12 . No se puede afirmarque decrezca en ese intervalo, aunque la tasa sea negativa (de hecho no lo hace en todo el intervalo).

Ejercicio 2. (a) f ′(1) = 4; (b) f ′(2) = 12 ; (c) f

′(−2) = −34 ; (d) f′(−1) = 3

2 ; (e) f′(0) = 2; (f) f ′(1) = 2

3 .

Ejercicio 3. (a) f ′(x) = 0; (b) f ′(x) = 1; (c) f ′(x) = 3; (d) f ′(x) = 5x4; (e) f ′(x) = 18x5; (f)

f ′(x) = 6x9; (g) f ′(x) =3

2x; (h) f ′(x) = 8x3 − 9x2 + 2x; (i) f ′(x) = − 4

x5; (j) f ′(x) = −10x+ 15

x4; (k)

f ′(x) = 18x2 + 10x; (l) f ′(x) = x4 + 2x2 − 8; (m) f ′(x) = −2x2 + 2x+ 3

x4; (n) f ′(x) = −4x

2 + 8

x5; (o)

f ′(x) = −3x2 + 5

x6; (p) f ′(x) =

x4 + x2 + 1

x2; (q) f ′(x) = 5x4 + 6x2 − 3; (r) f ′(x) = −x

4 + 6x2 + 3

(x3 + 3x)2; (s)

f ′(x) =x2 + 8x+ 1

(x+ 4)2; (t) f ′(x) =

2x− 15

; (u) f ′(x) =2x5 − 4x2 + 3

x4; (v) f ′(x) = 4x3+6x2+1; (w) f ′(x) =

5x4+4x; (x) f ′(x) = − 6x2

(x3 + 2)2; (y) f ′(x) =

3

5x2; (z) f ′(x) = − 12x

(3x2 + 1)2; (aa) f ′(x) =

9x2

(3x3 − 1)2; (ab)

f ′(x) =−x4 + 6x2 + 12x(x3 + 3x2)2

; (ac) f ′(x) =2x3 − 9x2

(x− 3)2; (ad) f ′(x) = 7

(9x2 − 2

) (3x3 − 2x+ 7

); (ae) f ′(x) =

9 (2x− 1)(x2 − x+ 1

)2; (af) f ′(x) = 40x

(x2 − 1

) (2x4 − 4x2 − 3

)4; (ag) f ′(x) = 4(6x+ 1)

(2x3 + x

)3;

(ah) f ′(x) = 20x3(x2 − 4

)3 (3x2 − 4

);

(ai) f ′(x) =

(x4 − 5x

) [2(4x3 − 5

) (x3 − 3x

)− 5

(x4 − 5x

) (3x2 − 3

)](x3 − 3x)6

= ...;

(aj) f ′(x) =(x3 − 2x

)2 (2x4 − x2

) [34x6 − 57x4 + 14x2

];

(ak) f ′(x) =

(x3 − 2x

)2 [3(3x2 − 2x

)− 2

(x3 − 2x

) (8x3 − 2x

)](2x4 − x2)3

= ...; (al) f ′(x) =1

33√x2; (am) f ′(x) =

x− 1(1− x2)

√1− x2

; (an) f ′(x) =1

(x+ 1)2√

1−x1+x

; (ao) f ′(x) =√3

6√x+ 2

; (ap) f ′(x) =2x

3 3

√(x2 − 1)2

; (aq)

38

f ′(x) =3x2 − 7

5 5

√(x3 − 7x)4

; (ar) f ′(x) =−2

(x− 1)2√

x+3x−1

; (as) f ′(x) = 15x2 +1

33√x2; (at) f ′(x) =

7

3x · 3√x;

(au) f ′(x) =5x√x

2; (av) f ′(x) =

−23x · 3√x2;

(aw) f ′(x) = 20(4x3 + 3x2 − 4x

) (x4 + x3 − 2x2

)3; (ax) f ′(x) =

6(46x4 − 32x3 + 3

)(2x4 − 3)7

; (ay) f ′(x) =e√x

2√x;

(az) f ′(x) =−2e2x; (ba) f ′(x) = xe3x (3x+ 2) ; (bb) f ′(x) =

1− xex

; (bc) f ′(x) =ex − e−x

2; (bd) f ′(x) =

−x2 + 3x− 1ex

; (be) f ′(x) =1

x ln 3; (bf) f ′(x) =

3

x ln 2; (bg) f ′(x) =

1

x ln 10; (bh) f ′(x) =

2x

x2 − 1;

(bi) f ′(x) =1

x2 − 1; (bj) f′(x) =

6x− 12x

; (bk) f ′(x) =1 + x2

2 ln 10(x− x3) ; (bl) f′(x) =

1− 5 lnxx6

; (bm)

f ′(x) =4x+ 6

x2 + 2x; (bn) f ′(x) =

2x

3 (1 + x2); (bo) f ′(x) =

x

1− x2 ; (bp) f′(x) =

2x2 − 2x− 62x3 − x2 + 6x− 3; (bq)

f ′(x) =

√x2 + 1

x ln 10+x (log x+ 1)√

x2 + 1; (br) f ′(x) =

3

x[ln(1x

)]4 .Ejercicio 4. (a) f ′(x) = 15x4 − 12x2 + 3; (b) f ′(x) = 3x3 − 5x2 + 9x+ 5; (c) f ′(x) = 2x− 3

5;

(d) f ′(x) =(9x2 − 5

) (x+ x2

)+(3x3 − 5x+ 1

)(2x+ 1) = 15x4 + 12x3 − 15x2 − 8x+ 1;

(e) f ′(x) =−4x− 4(x2 + 2x)2

; (f) f ′(x) =6x2 (x+ 1)

(3x+ 2)2; (g) f ′(x) =

−18x+ 12(9x− 7)3

; (h) f ′(x) = −10x6; (i) f ′(x) =

√3x

x+2e2x+1+

1

x ln 3; (j) f ′(x) = −108x2+66x−10; (k) f ′(x) = −23

2x252

; (l) f ′(x) = 4(9x2 − 5

) (3x3 − 5x+ 2

)3;

(m) f ′(x) = −4 (6x− 1)(3x2 − x

)−5; (n) f ′(x) =

12x√5x− 5

4√3x2√5x− 5x

; (o) f ′(x) =−x√1− x2

; (p) f ′(x) =

−12 (x+ 3)2

(x− 1)4; (q) f ′(x) = 8(2x−4)3+ 2x√

x2 − 1; (r) f ′(x) =

−x− 2

2x3√

x+1x2

; (s) f ′(x) =3

x2√x2 − 3

; (t) f ′(x) =

2x+ 2

x2 + 2x−e−x; (u) f ′(x) = 1

x ln 3+3x ln 3; (v) f ′(x) =

1

2√x+ 3

e√x+3; (w) f ′(x) =

1

(3x+ 5) 3

√[ln(3x+ 5)]2

;

(x) f ′(x) =ex + e−x

2; (y) f ′(x) =

(1− x)(1 + ex) ln(1 + ex) + xexex (1 + ex)

; (z) f ′(x) =1

x lnx · ln(lnx) .

17 Derivadas. Estudio de derivabilidad. Aplicaciones

1. Estudia la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones, y represéntalas gráficamente:

(a) f(x) =

x+ 2 si x < −1−x si −1 ≤ x ≤ 1

−(x− 2)2 si x > 1

(b) f(x) =

6 si x ≤ −4

(x+ 2)2 si −4 < x ≤ −14 si x > −1

(c) f(x) =

−x+ 1 si x ≤ 1

−x2 + 6x− 5 si 1 < x < 5x− 5 si x ≥ 5

(d) f(x) =

0 si x ≤ −1

−x2 + 2x+ 3 si −1 < x ≤ 3−1 si x > 3

(e) f(x) =

1

x+ 1si 0 ≤ x ≤ 1

x si 1 < x < 36− x si 3 ≤ x ≤ 4

(f) f(x) =

3

xsi x < −3

2

2x+ 1 si −32≤ x < 0

x2 + 1 si x ≥ 0

2. Sea la función

f(x) =

x− kx+ 1

si x > 0

x2 + 2x+ 1 si x ≤ 0.

39

(a) Calcula el valor de k para que la función f sea continua en x = 0. Para ese valor de k, ¿es fderivable en x = 0?

(b) Para k = 0, calcula limx→−∞

f(x) y limx→+∞

f(x).

3. Sea la función

f(x) =

−4x− 3 si x ≤ −12x2 − 1 si −1 < x < 1k + 2

xsi x ≥ 1

(a) Calcula el valor que debe tomar el parámetro k para que la función sea continua en R y estudiasu derivabilidad para el valor de k obtenido.

(b) Dibuja la gráfica de la función para k = −1.

(c) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =1

2.

4. Determina los valores de a y b para que sea derivable la función:

f(x) =

{ax2 + bx− 3 si x ≤ 12bx− 4 si x > 1

.

5. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de las siguientes funciones, en los puntos que seindican:

(a) f(x) =3

x, en x = −1.

(b) f(x) =1

x− 1 , en x = 2.

(c) f(x) =3x− 2x+ 1

, en x = 1.

(d) f(x) = x · lnx, en x = 1.

(e) f(x) =2

x+ lnx, en x = 1.

(f) f(x) = 2x+3 +1

x, en x = −3.

6. ¿En qué punto de la gráfica de la función f(x) = 2x2 + 3x+ 1, la recta tangente es paralela a la rectade ecuación y = 3x− 5?

7. Halla los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de f(x) = ax2 − b en el punto (1, 5)sea la recta y = 3x+ 2.

8. Halla los intervalos de monotonía y los extremos relativos de las funciones siguientes:

(a) f(x) = 4x− x2.(b) f(x) = x3 − 3x2 + 5.(c) f(x) = x3 − 3x.(d) f(x) = x3 − 3x2 + 3x.

(e) f(x) =1− 2xx+ 2

.

(f) f(x) = 3− x− 2x.

(g) f(x) =x− 1x+ 1

.

(h) f(x) =1

(x− 2)2 .

(i) f(x) = x3 · (x+ 2)

(j) f(x) =x2 + 1

x+ 3.

(k) f(x) =x2(1− x)x2 − 1

(l) f(x) =(x+ 1)2

ex.

(m) f(x) = e1−x2.

(n) f(x) =lnx

x.

(o) f(x) =1

x+ lnx.

9. Estudia los extremos relativos de las funciónes siguientes, en los intervalos que se detallan:

(a) f(x) = x2 − 5x+ 6, en [1, 5] .

(b) f(x) = x3 − 3x2 + 5x, en [0, 4] .

(c) f(x) =x2 − 9x− 2 , en [1, 4] .

(d) f(x) =1

1 + x2, en [−1, 3] .

40

10. Suponiendo que el rendimiento (R) en % de un estudiante en una hora de examen viene dado por lafunción R(t) = 300(1− t) siendo 0 ≤ t ≤ 1 (tiempo en horas), se pide:

(a) Representar gráficamente la función R(t).

(b) Indicar cuándo aumenta y disminuye el rendimiento. ¿Cuándo se hace cero?

(c) ¿Cuándo es máximo el rendimiento y cuál es?

11. La cotización de las acciones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todoslos días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:

C(x) = x3 − 45x2 + 243x+ 30000,

siendo x el número de días.

(a) ¿Cuál ha sido la cotización en Bolsa el día 2?

(b) Determina los días en que alcanza las cotizaciones máxima y mínima.

(c) Calcula esas cotizaciones máxima y mínima.

12. Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x), en miles de euros, viene dadaen función de la cantidad x, que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión:R(x) = −0, 001x2 + 0, 4x+ 3, 5, con x ≥ 10.

(a) Calcule la rentabilidad para una inversión de 100000 euros.

(b) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad.

(c) ¿Qué rentabilidad máxima se obtendría?

13. Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes. La expresiónque representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto elconsultorio, es N(t) = 4t− t2.

(a) ¿A qué hora el número medio de pacientes es máximo? ¿Cuál es ese máximo?

(b) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, ¿a qué hora cerrará?

(c) Represente gráficamente N(t) = 4t− t2, con N(t) ≥ 0.

14. El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año, viene dado por lafunción B(t) expresada a continuación:

B(t) =

{18 t2 − t+ 5 si 0 ≤ t ≤ 6t+12 si 6 < t ≤ 12 ,

donde t es el tiempo transcurrido en meses.

(a) Estudie la derivabilidad de la función al cabo de 6 meses.

(b) ¿Cuándo fue mínimo el beneficio? ¿Cuál fue dicho beneficio?

(c) ¿Cuándo fue el máximo beneficio? ¿A cuánto ascendió?

15. Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la funciónB(t) = t3

4 − 3t2 + 9t, 0 ≤ t ≤ 8, donde la variable t indica el tiempo transcurrido en años, desde su

fundación.

(a) Estudie la monotonía y los extremos de B(t).

(b) Dibuje la gráfica de B(t) en el intervalo [0, 8] y explique, a partir de ella, la evolución de losbeneficios de esta empresa en sus 8 años de existencia.

16. Realiza un estudio completo de las funciones que se dan a continuación: dominio, puntos de corte conlos ejes, asíntotas, continuidad, monotonía, extremos relativos y representación gráfica:

41

(a) f(x) = x3 − 7x+ 6

(b) f(x) = x3 + 3x2 + 4

(c) f(x) =x− 1x2 + 2

(d) f(x) =x(x+ 1)

x2 − 4

(e) f(x) =4x2

x2 + 3

(f) f(x) =x2 + 1

x+ 1

(g) f(x) =1

1 + x2

(h) f(x) =x2 − 2x+ 2

x− 1

(i) f(x) =x2 + 2x

ex

18 Estadística

1. Clasificar los siguientes caracteres en caracteres cualitativos, variables estadísticas discretas y contin-uas:

(a) Número de habitantes por kilómetro cuadrado.

(b) Tipos de productos enlatados para la alimentación.

(c) Cantidad de renta de un grupo de familias.

(d) Número de cierto tipo de bacterias por mililitro.

(e) Tipos de animales existentes en una reserva natural.

(f) Densidad de diferentes muestras de un mismo líquido.

(g) Número de frutos por árbol de la misma especie.

(h) Velocidad de un vehículo al pasar por un punto de una carretera.

(i) Beneficio mensual de una empresa.

(j) Puntuaciones obtenidas en un test por un grupo de personas.

(k) Superficie de cierto cultivo por hectáreas de un municipio.

(l) Duración de una marca de tubos fluorescentes.

(m) Razas a las que pertenecen los individuos de una población.

(n) Peso de cada niño al cumplir un año.

(o) Marcas de bebidas consumidas por un grupo de personas.

2. Completa los datos que faltan en la siguiente tabla de distribución de frecuencias, donde ni, Ni yfi representan, respectivamente, las frecuencia absolutas, las frecuencias absolutas acumuladas y lasfrecuencias relativas de la variable X.

X 1 2 3 4 5 6 7 8

ni 4 4 · 7 5 · 7 ·Ni · · · 23 · 38 45 ·fi 0, 08 · 0, 16 · · · · ·

3. Se efectuó un análisis de sangre a 40 varones mayores de 45 años, obteniéndose las siguientes cantidadesde colesterol en mg/dl.

135 169 126 149 197 221 220 147 165 178212 184 173 195 218 139 212 230 159 148201 159 192 214 178 188 205 196 174 201142 199 178 245 200 191 187 138 201 216

Se pide:

(a) Agrupar los datos obtenidos en 10 intervalos de igual amplitud. Obténgase entonces una tablade frecuencias absolutas, relativas y acumuladas de los datos anteriores.

(b) Indíquese el porcentaje de varones con una cifra de colesterol comprendida entre 198 y 233 mg/dl.

(c) Dibujar los datos anteriores con un histograma. Represéntese igualmente el polígono de frecuen-cias correspondiente.

42

4. Una fábrica empaqueta en lotes de 100 unidades los tornillos que produce. Se establece un plan deinspección por muestreo consistente en examinar, de cada lote, 20 tornillos elegidos al azar y rechazarel lote si de los 20 aparecen más de 4 defectuosos; almacenar el lote como «revisable» si el númerode defectuosos es menor que 5 y mayor que 1, y aceptarlo, en otro caso. Se inspeccionan 52 lotes yresulta el siguiente número de tornillos defectuosos en cada muestra:

2 7 4 5 0 1 8 2 3 2 1 0 63 5 0 2 4 3 6 1 1 3 1 2 43 0 1 3 2 0 1 2 0 1 2 3 14 0 2 0 3 2 0 2 4 0 2 4 5

Se pide:

(a) Construir la tabla de distribución de frecuencias absolutas, relativas y porcentuales del resultadode la inspección.

(b) Señalar la proporción de lotes rechazados.

(c) Representar la distribución de frecuencias relativas mediante un diagrama de barras, y la deporcentajes con un diagrama de sectores.

5. Se propuso un test a un grupo de 30 escolares, resultando los siguientes coeficientes de inteligencia(CI):

101 112 92 106 100 104 96 89 114 9893 99 90 93 105 102 113 91 104 9598 117 99 100 104 92 108 116 109 91

(a) Agrupar los datos en intervalos de igual amplitud en una tabla estadística, reflejando las frecuen-cias absolutas, relativas y acumuladas.

(b) Utilizando la tabla anterior, ¿qué porcentaje de escolares posee un coeficiente de inteligenciasuperior a 103 y qué porcentaje lo tiene inferior a 110? (Agrúpense si es necesarior los datos demanera que estas cantidades sean extremos de las clases obtenidas).

(c) Dibujar el histograma de frecuencias relativas y el polígono de frecuencias correspondiente.

6. La tabla siguiente expresa la distribución de porcentajes acumulados del peso de 40 personas adultas:

Peso en kg % acumulado[60, 65) 10, 0

[65, 70) 32, 5

[70, 75) 50, 0

[75, 80) 75, 0

[80, 85) 90, 0

[85, 90) 97, 5

[90, 95) 100, 0

(a) Construir la tabla de frecuencias absolutas y relativas.

(b) Determinar el número de personas que tienen un peso inferior a 85 kg.

(c) Dibujar el histograma de frecuencias relativas y el polígono de frecuencias correspondiente.

7. Una encuesta sobre los gastos que 200 países harán durante el próximo quinquenio para proteger lacapa de ozono, ha dado los resultados de la tabla adjunta. Representa el histograma y el polígono defrecuencias relativas. ¿Cuál es el porcentaje de gastos comprendido entre 152,5 y 167,5 millones de

43

dólares?Gastos (millones de $) xi ni

[150, 155) 152, 5 7

[155, 160) 157, 2 14

[160, 165) 162, 5 24

[165, 170) 167, 5 37

[170, 175) 172, 5 42

[175, 180) 177, 5 35

[180, 185) 182, 5 23

[185, 190) 187, 5 13

[190, 195) 192, 5 5

8. Se ha preguntado a un grupo de deportistas las horas que dedican a entrenamiento durante el fin desemana. Los resultados aparecen en la siguiente distribución de frecuencias:

Horas 0− 0, 5 0, 5− 1, 5 1, 5− 2, 5 2, 5− 4 4− 8Personas 10 10 18 12 12

Se pide:

(a) Completa la tabla con las frecuencias acumuladas y relativas.

(b) Dibuja el histograma de la distribución de frecuencias absolutas, junto con el polígono de fre-cuencias correspondientes.

9. Las notas de inglés de una clase de 40 alumnos han sido las siguientes:

1 7 9 2 5 4 4 3 7 84 5 6 7 6 4 3 1 5 92 6 4 6 5 2 2 8 3 64 5 2 4 3 5 6 5 2 4

Calcula la nota media.

10. En una clase de un IES hemos medido la altura de los 25 alumnos. Sus medidas, en cm, son: 167, 159,168, 165, 150, 170, 172, 158, 163, 156, 151, 173, 175, 164, 153, 158, 157, 164, 169, 163, 160, 159, 158,174, 164. Elabora una tabla que represente estos resultados con sus frecuencias absolutas, relativas yporcentajes. Toma intervalos de amplitud 5 cm comenzando por 150.

11. En un examen de matemáticas los 30 alumnos de una clase han obtenido las puntuaciones recogidasen la siguiente tabla:

Calificaciones [0, 1) [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 7) [7, 8) [8, 9) [9, 10)

No de alumnos 2 2 3 6 7 6 1 1 1 1

Halla la varianza y la desviación típica.

12. Consideremos la distribución referida a beneficios anuales de 38 empresas madrileñas:

Beneficio(Miles de €)

230− 280 280− 330 330− 580 580− 630 630− 780

No de Empresas 5 7 14 5 3

Se pide:

(a) Calcular el beneficio medio de estas 38 empresas madrileñas.

(b) ¿Cuál es el beneficio mayor de la mitad de las empresas más modestas?

(c) Determinar el beneficio más frecuente.

(d) Estudiar la dispersión de esta distribución a partir del recorrido intercuartílico, desviación típicay coeficiente de variación de Pearson. Interpretar los resultados obtenidos.

44