1se

cció

n i

1850

-193

0

Historias de piratasLa palabra "pi ra ta" se aso cia con ri que za: co fres de jo yas, lin go tes de oro, re lu cien tes mo ne das, todo ello en te rra do en solitarios y misteriosos lugares. El folc lo re de muchos pue blos incluye his to rias de piratería y te so ros ocultos.Existe una con cep ción romántica de los pi ra tas del si glo xviii en Amé ri ca, asociada con tesoros enterrados en islas desiertas y viejos mapas con extraños signos para llegar a los tesoros.El pi ra ta Balds pot, en el si glo xviii, en te rró dos co fres llenos de monedas de oro en la is la Tor­tu ga, en el mar Ca ri be. Estos cofres, repletos de monedas de oro, están escondidos de tal forma que aún no han sido descubiertos.¡Tú puedes encontrarlos!

1 cm

20 pasos

N

S

O E

figura 2

Actividades geométricassecc

ión

i18

50-1

930

1) Se sabe que ambos cofres están enterrados a 30 pasos del árbol marcado. Dibuja en el mapa todos los posibles lugares donde puede encontrarse.

2) Uno de los cofres está alineado con el árbol marcado y la gran roca. Representa en el mapa la ubicación de este cofre.

3) El otro cofre está ubicado a 30 pasos del primero. Ubícalo en el mapa.

4) Para desenterrar los tesoros, ¿cuántas excavaciones como máximo sería necesario realizar?

©Sa

ntill

ana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

15.

913

10 1. Circunferencia. Círculo. Concepto de lugar geométrico

Circunferencia. Círculo

Los cofres están en puntos cuya distancia al pie del árbol marcado (punto M) es de 30 pasos. Todos los puntos del mapa que cumplen esta propiedad pertenecen a una figura que es una circunferencia de centro M y radio 30 pasos.

Si en la actividad inicial se cambia la infor­mación “están enterrados a 30 pasos del árbol marcado” por “están enterrados a 30 pasos o menos del árbol marcado”, ¿cómo resolverías las partes 1), 2) y 3)?

De acuerdo con esta definición, el círculo está formado por los puntos de la cir­cunferencia y los puntos interiores a ella.

Llamaremos circunferencia de centro O y radio r al conjunto de los puntos del plano que distan r de O.

NotacióN: C (O, r)

r

O

Llamaremos círculo de centro O y radio r al con­junto de los puntos del plano cuya distancia al centro es menor o igual que el radio.

rO

11

Concepto de lugar geométrico

La circunferencia es un ejemplo de lugar geométrico en el plano.

• Todo punto del plano que diste r de O pertenece a la circunferencia de centro O y radio r.

• Todo punto de dicha circunferencia dista r de O.

Diremos que una figura F es el lugar geométrico (LG ) de los puntos que cumplen una propiedad P si:

• Todo punto que verifica la propiedad P pertenece a F .

• Todo punto que pertenece a F cumple con la propiedad P.

Se ha representado un arco de circunferencia de centro A y radio 2. Analiza si esta figura es el LG de los puntos del plano que distan 2 del punto A. Fundamenta tu respuesta.

El conjunto formado por los puntos de la zona sombreada, ¿es un LG ? Explica.

El círculo de centro P y radio 3, ¿es el LG de los puntos del plano que distan 3 de P? Justifica tu res­puesta.

a. La semicircunferencia de centro B y diámetro 3 de la figura, ¿es el LG de los puntos del plano que distan 1,5 de B?

b. Define la semicircunferencia de diámetro 3 como un LG .

2

fig.5

fig.6

fig.7 fig.8

43A

A

P BP

Q

B

3

2

fig.5

fig.6

fig.7 fig.8

43A

A

P BP

Q

B

3

2

fig.5

fig.6

fig.7 fig.8

43A

A

P BP

Q

B

3

2

fig.5

fig.6

fig.7 fig.8

43A

A

P BP

Q

B

3

Las secciones cónicas son figuras que resultan de la intersección de un plano (plano secante) con la superficie cónica de revolución.

Circunferencia

Elipse

©Sa

ntill

ana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

15.

913

12

El método del jardinero

A un jardinero le encargan construir tres canteros con el siguiente diseño.

Se decide entonces a trazar dos circunferencias y una elipse.Para trazar una circunferencia utiliza una cuerda con dos estacas anudadas en los extremos. Clava una de ellas en la tierra y, manteniendo la cuerda tensa, surca el terreno con la otra.

Para trazar la elipse también utiliza una cuerda con dos estacas en los extremos, pero ahora fija ambas en la tierra. Luego surca el terreno y hace resbalar una ter­cera estaca, siempre con la cuerda en tensión.

El jardinero sabía muy bien que la elipse es el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. La elipse, al igual que la cir­cunferencia, es un LG .

eje

eje

eje

eje

©Sa

ntill

ana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

15.

913

132. Igualdad de triángulos. Criterios de igualdad

R

T

M S

Igualdad de triángulos

Criterios de igualdad de triángulos

Aplicando los criterios de igualdad

Los criterios de igualdad son una herramienta muy útil para probar la igualdad de dos segmentos o dos ángulos, si probamos previamente que ese par de seg­mentos o de ángulos son elementos correspondientes de dos triángulos iguales. Veamos un ejemplo.

En la figura adjunta se sabe que: RMS = TMS y que RM = TM

Queremos probar que: RS = TS

Para ello probaremos que RMS = TMS

RMS = TMS (dato) RM = TM (dato) ⇒ RMS = TMS ⇒ RS = TS MS común

^ ^

^ ^

Primer criterio (LAL) Segundo criterio (ALA) Tercer criterio (LLL)

Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo compren­dido por ellos.

Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adya­centes a este.

Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales los tres lados.

G

G’

F’E’

EF

Q

Q’

S’R’

SR

M N’P’

PN M’

Se sabe que: AB = CB

AD = CD

Prueba que: ADB = CDB^ ^

A

D B

C

por (LAL) por definición de

triángulos iguales

Dos triángulos son iguales cuando tienen sus tres lados y sus tres ángulos respectiva­mente iguales. A

A’

B’C’

CB

Actividades

©Sa

ntill

ana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

15.

913

14 3. Mediatriz de un segmento como lugar geométrico

A ambas orillas de un río hay dos árboles, uno frente al otro. En la cima de cada uno hay un pájaro. De pronto, los dos pájaros ven un pez que aparece en la super­ficie del agua entre los dos árboles y se lanzan, al mismo tiempo y a la misma velocidad, para alcanzarlo. Llegan en el mismo instante al pez. ¿En qué punto de la superficie del agua lo alcanzan?

Como los pájaros se lanzan al mismo tiempo, a la misma velocidad y alcanzan el pez en el mismo instante, podemos decir que las distancias recorridas son iguales. Por lo tanto, se trata de encontrar un punto de la superficie del agua, entre los dos árboles, que equidiste de A y de B. Los puntos que cumplen esta propiedad pertenecen a la mediatriz del segmento AB.

Para ubicar el punto buscadotrazamos la mediatriz de AB.

Para resolver este problema utilizamos la pro­piedad que cumplen los puntos de la media­triz y solo ellos: estar a igual distancia de los extremos del segmento.

Demostraremos que la mediatriz es un LG . Para ello recordaremos previamente su definición.

De acuerdo con el concepto de LG , debemos probar que:1) Todo punto del plano que equidiste de los extremos de un segmento perte­

nece a su mediatriz.

2) Todo punto que pertenezca a la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de este.

AB

La mediatriz de un segmento AB es la recta perpendicular al segmento en su punto medio.

NotacioN: mz(AB)

A

B

©Sa

ntill

ana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

15.

913

15

A

B

P

Q

1) Sea P un punto del plano que equidista de A y de B y M el punto medio del segmento AB. Para probar que P pertenece a la mediatriz de AB demostrare­mos que la recta PM es perpendicular al segmento AB.

Se sabe que: PA = PB y que M es el punto medio de AB.

Probaremos que P pertenece a la mediatriz de AB.

Para ello consideremos los triángulos AMP y BMP.

PA = PB (dato)

AM = MB (definición de punto medio) ⇒ AMP = BMP ⇒

PM común

AMP = BMP

AMP y BMP adyacentes ⇒ AMP = BMP = 1 recto ⇒

^ ^

⇒ PM es perpendicular al segmento AB en su punto medio ⇒ P ∈ mz(AB)

2) Sea P un punto de la mediatriz del segmento AB. Para probar que P equidista de A y de B demostraremos la igualdad de los triángulos AMP y BMP.

Se sabe que: P ∈ mz(AB) y que mz(AB) ∩ AB = {M}

Probaremos que: PA = PB

Consideramos los triángulos AMP y BMP.

AM = MB (definición de mediatriz)

AMP = BMP = 1 recto (definición de mediatriz) ⇒ AMP = BMP ⇒ PA = PB

PM común

De 1) y 2) se deduce que la mediatriz es un LG.

^ ^

^ ^

^ ^

por (LLL) por definición de triángulos iguales

por definición de mediatriz

⇒

P

A

M

B

por (LAL) por definición de triángulos iguales

P

A

B

M

La mediatriz de un segmento es el LG de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.

Para construir la mediatriz con regla y compás es suficiente con determinar dos puntos del plano que equidisten de A y de B.

mz(AB)

mz(AB)

©Sa

ntill

ana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

15.

913

16

1) Se sabe que: AB = AD

BAC = DAC A, C y E alineados

Prueba que: a. C y E pertenecen a la mediatriz de BD.

b. BME = DCE

2) Determina elLG de los puntos del plano que son vértices de todos los triángulos isósceles de base PQ.

3) ¿Cómo hallarías el centro de una circunferencia si no lo conoces?

^ ^

Construcción de la perpendicular a una recta por un punto

Dada una recta r y un punto P, distinguiremos dos casos:

)

Circuncentro. Circunferencia circunscrita

Considera un triángulo PQR cualquiera.

a. Traza las mediatrices de PQ y QR. Llama C al punto de intersección de dichas mediatrices.

b. A continuación aparece la demostración de que la media­triz de PR también pasa por C.

Deduce lo que está escrito debajo de cada papelito.

CQ = CP porque C ∈ mz( )

CR = porque C ∈ mz (QR)

Podemos afirmar entonces, que las tres mediatrices concurren en el punto C. Este punto recibe el nombre de circuncentro del triángulo y es el centro de la circunferencia que pasa por sus tres vértices (circunferencia circunscrita al triángulo). Trázala.

P ∈ r P ∉ r

Determinamos un segmento incluido en la recta r de modo que P sea su punto medio. Luego tra­zamos la mediatriz de dicho segmento, que es la perpendicular a r por P.

Determinamos dos puntos de r que equidisten de P. La mediatriz del segmento cuyos extremos son dichos puntos es la perpendicular buscada.

r

r

P

P

P

Q

R

⇒ CR = ⇒ C ∈ mz (PR)

D

CE

B

A

Actividades