Actividades para los Laboratorios de Precálculo

Laboratorios de Precálculo

Mate 1500

Actividades para los Laboratorios de Precálculo

Manual del estudiante

Actividad 1

Función General

Nombre ____________________________

fecha ___________________

Profesor(a): ________________________

sección: _________________

Lee cuidadosamente, discute con tus compañeros de mesa y contesta cada ejercicio. Puedes hacer los cómputos en esta misma hoja.

1. Indica cuál de los siguientes conjuntos de pares ordenados representa una función. Explica por qué el restante no representa una función.

a. {(1,1), (2,1), (3,1)} ____________________

b. {(1,1), (1,2), (1,3)} ____________________

c. {(-2,2), (-1,-1), (0,0), (1, -1), (0,2)} ____________________

d. {(1,1), (2,2), (3,1), (1, -1)} ____________________

2. Si f(x) = 3x2, halla f(-3)

3. El dominio de

es:

4. El cociente diferencial para f(x) = 3 - 2x es:

5. Evalúa g(-2) en

EMBED Equation.3

î

í

ì

£

®

+

>

®

-

=

0

,

1

0

,

1

)

(

2

x

x

x

x

x

g

6. Indica el nombre de la gráfica dada abajo: ______________

7. Indica el nombre de la gráfica de cada una de las ecuaciones dadas:

a. f(x)= 3x2 + x -1 __________________

b. f(x)= x -1 __________________

c. f(x)= 3x3 + x2 – 8x + 5 __________________

d. f(x)= /3x + 9/ __________________

e. f(x)= -5 __________________

8. Halla el recorrido de f(x) = √x

9. Halla el dominio de

1

2

3

)

(

+

=

x

x

f

10. La función

î

í

ì

£

®

+

>

®

-

=

0

,

1

0

,

1

)

(

2

x

x

x

x

x

g

es una función ________________.

Actividad 2

Componentes de la gráfica de una función

Nombre _____________________________

fecha ___________________

Profesor: ____________________________

sección: _________________

Usa la siguiente gráfica de f(x) para contestar las siguientes preguntas del 1 al 10.

1. ¿Cuál es el dominio de esta función?

2. Halla el recorrido.

3. Halla los interceptos en el eje de x y eje de y.

4. La función crece en el intervalo:

5. La función es constante en el intervalo:

6. Hay un punto de viraje en:

7. La función es negativa en el intervalo:

8. La función decrece en:

9. La función es positiva en:

10. Evalúa la función en f(-7) = ____, f (-5) = _____, f(-2) = _____, f(0) = ____

f(1) = _____, f(3) = ______, f(4) = ______ y f(7) = ______

Actividad 3

Simetría en gráficas, Función par y función impar dada la gráfica o la ecuación y Pruaba de la línea vertical para funciones.

Nombre _____________________________

fecha ___________________

Profesor: ____________________________

sección: _________________

Estudia cuidadosamente cada pregunta y discútela con tus compañeros de la mesa, luego contesta cada pregunta. Todo cómputo debe aparecer en esta hoja.

1. Determina el eje de simetría de cada gráfica si existe.

x

x

f

-

=

3

)

(

_____________________________________________

_______________

2. Utiliza la prueba de la línea vertical para determinar si las siguientes gráficas representan una función. Escribe sí si es función y no si no lo es.

3. Determina si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna.

a. f(x) = x2 – 2x + 1

b. f(x) = x2 + 1

c. f(x) = x3 – 2x2 + x -3

e.

Actividad 4

Álgebra de funciones

Nombre _____________________________ Fecha ___________________

Profesor: ____________________________ Sección: _________________

Lee cuidadosamente las instrucciones, discútelas con tus compañeros de mesa y contesta cada pregunta. Incluye los cómputos en esta hoja de papel.

Dada las siguientes funciones, halla f + g, f – g, fg, f/g y determina sus dominios.

1. f (x) = 2x – 5, g(x) = x2

(a) f + g

(b) f – g

(c) fg

(d) f/g

2.

x

x

g

x

x

f

+

=

-

=

1

)

(

,

,

,

,

,

4

)

(

2

(a) f + g

(b) f – g

(c) fg

(d) f/g

3.

4

4

)

(

,

,

,

,

,

,

2

)

(

+

=

=

x

x

g

x

x

f

(a) f + g

(b) f – g

(c) fg

(d) f/g

5. Sea f(x) = 2x – 1 y g(x) = 3 – x2, halla lo siguiente:

a. (f ◦ g)(x)

b. (g ◦ f)(x)

c. f(g(0))

d. f(g(4))

e. (g◦ f)(-2)

Actividad 5

Funciones Inversas y sus gráficas

Nombre _____________________________ Fecha ___________________

Profesor: ____________________________ Sección: _________________

Lee cuidadosamente las instrucciones, discútelas con tus compañeros de mesa y contesta cada pregunta. Incluye los cómputos en esta hoja de papel.

Determina si las siguientes funciones son uno a uno

1.

3. {(2,6), (-3,9), (4,6), (1, 10)}

Halla la inversa de cada función dados

4. f(x) = 3x

5. f(x) = 1 – 3x

6. f(x) = x2 + 4, x ≥ 0

7.

x

x

f

3

)

(

-

=

8.

2

1

)

(

-

=

x

x

f

Dibuja la inversa de la siguiente gráfica

9.

10. Prueba si g(x)= 3x + 4 es la inversa de h(x)= 1/3 (x – 4)

Actividad 6

Funciones Cuadráticas

Nombre _____________________________ Fecha ___________________

Profesor: ____________________________ Sección: _________________

Lee cuidadosamente las instrucciones, discútelas con tus compañeros de mesa y contesta cada pregunta. Incluye los cómputos en esta hoja de papel.

I.Describe cómo cada función cuadrática difiere con la función general

y = x2.

1.y = 2(x + 5)2

2.y = (x – 1)2 + 5

3.y = -3(x + 1)2

4.y = -(x + 3)2 – 2

5. y = ½(x – 4)2

II.Determine el vértice y el eje de simetría para cada función y dibuja la gráfica desde la información analizada.

6.y = -(x – 5)2

vértice: _______

eje de simetría: _______

7.y = (x – 1)2 + 2

vértice: _______

eje de simetría: _______

III.Halla los ceros y el vértice de la función dada

8.y = x2 – 2x – 15

9.y = x2 + 8x + 15

int. en x: _____

int. en x: _____

int. en y: _____

int. en y: _____

vértice: _____

vértice: _____

Actividad 7

Funciones Polinómicas

Nombre _______________________________Fecha __________________

Profesor: ______________________

Sección ______________

Estudia la siguiente gráfica. Explica cuál de las siguientes funciones podría representar la gráfica dada y las que no pudieran ser, explica por qué.

1) P(x) = x(x – 1)(x + 2)

2) P(x) = -5x4(x + 1)3(x + 2)5

3) P(x) = x2(x + 1)(x + 2)

4) P(x) = -x2(x + 1)(x - 2)

Actividad 8

Funciones Racionales

Nombre _______________________________Fecha __________________

Profesor: ______________________

Sección ______________

Funciones Racionales

I. Dada la siguiente función racional,

16

)

4

(

2

)

(

2

2

-

-

=

x

x

x

r

contesta lo siguiente:

a.asíntota vertical

b.asíntota horizontal

c.intercepto en el eje de x

d. intercepto en el eje de y

e. tres puntos a cada lado de las asíntotas

f. dibuja la gráfica

Actividad 9

Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

Nombre ______________________

Fecha ___________________

Profesor: _____________________

Sección: _________________

Ecuaciones exponenciales

En una ecuación exponencial, la variable se presenta en el exponente. Para encarar este problema, tomamos el logaritmo de ambos lados y después usamos las leyes de los logaritmos para resolverlos.

Ejemplo:2x = 7

Solución:ln(2x) = ln(7)

Tome (ln) en ambos lados

x ln(2) = ln(7)Use la ley logaritmo de una potencia ln(ax) = xln(a)

x =

)

2

ln(

)

7

ln(

Despeje para x

x ≈ 2.807

Usa la calculadora científica para aproximar

Trata de resolver este mismo problema con el logaritmo común (log)

¿Cuál fue el resultado? __________________

¿Qué puedes concluir? ____________________________

Ejercicios de práctica para discusión en el salón

1)3(x+2) = 7

2)8e2x = 20

3) e3-2x = 4

Ejercicios de práctica

1) 5x = 16

2) 10-x = 2

3) 21-x = 3

4) 32x-1 = 5

5) 3ex = 10

6) 2e12x = 17

7) e1-4x = 2

8) 4(1 + 105x) = 9

9) 4+ 35x = 8

10) 23x = 34

11) 80.4x = 5

12) 3x/14 = 0.1

13) 5-x/100 = 2

14) e3-5x = 16

15) e2x + 1 = 200

16) (1/4)x = 75

17) 5x = 4x + 1

18) 101-x = 6x

19) 23x + 1 = 3x-2

20)

2

1

50

=

+

-

x

e

Actividad 10

Solución de ecuaciones exponenciales que requieren factorización.

Nombre ______________________

Fecha ___________________

Profesor: _____________________

Sección: _________________

Ejemplo:e2x- ex – 6 = 0

(ex)2 – ex – 6 = 0

Usa la ley de exponentes

(ex -3) (ex + 2) = 0

Factorice

ex = 3 ; ex = -2

Resuelva

ln(ex) = ln(3); ln(ex) = ln(-2)Tome ln en ambos lados

x ≈ 1.0986 ;

Ejercicios para discusión en clase.

1)3x2ex + x3ex = 0

2)x22x – 2x = 0

3)4x3e-3x- 3x4e-3x = 0

4)e4x + 4e2x – 21 = 0

Ejercicios:Resuelve la ecuación dada.

1) x2 10x – x 10x = 2(10x)

2) e2x -3ex+ 2 = 0

3) e2x – ex – 30 = 0

4) e2x - 3ex – 28 = 0

5) ex - 12e-x – 1 = 0

6) x2ex + xex – 6ex = 0

Actividad 11

Ecuaciones logarítmicas

Nombre ______________________

Fecha ___________________

Profesor: _____________________

Sección: _________________

Una ecuación logarítmica es aquella en la cual está presente la variable logaritmo.

Por ejemplo: log2(x + 2) = 5

Para despejar x, escribimos la ecuación en forma exponencial.

X + 2 = 25

X = 32 – 2

X = 30

Ejercicios de discusión en la pizarra:

1) ln x = 8

2) log2(25 – x) = 3

3) 4 + 3 log(2x) = 16

4) log(x + 2) + log(x – 1) = 1

Ejercicios de práctica:

Resuelve la ecuación logarítmica para x.

1) ln x = 10

2) ln(2 + x) = 1

3) log x = -2

4) log(x – 4) = 3

5) log(3x + 5) = 2

6) log(2 – x) = 3

7) 2 – ln(3 – x) = 0

8) log23 + log2x = log25 + log2(x-2)

Dibuja las siguientes gráficas en el mismo plano y compáralas:

1) y = 2x

2) y = log2x

3) y = ex

4) y = ln x

Actividad 12

Fórmula de cambio de base

Nombre _________________________

Para algunos fines, resulta útil cambiar de logaritmos con una base a logaritmos con otra. En especial utilizaremos esta fórmula para cambiar por logaritmos comunes o naturales para facilitar el uso con la calculadora regular.

Demostración:

Consideremos que se nos da logax y deseamos determinar logbx, donde a y b son diferentes de 1. Sea x > 0.

Y = logb x

Escribimos lo anterior en forma exponencial y tomamos el logaritmo con base a en ambos lados.

by = x

loga(by) = loga (x)

yloga(b) = loga (x)

y =

b

x

a

a

log

log

Ejercicios para discutir en la clase

1) log85

2)log920

3)f(x) = log6x

4) log7

5)log39

6)f(x) = logyb

Actividad 13

Grados, radianes, círculo unitario y funciones trigonométricas

Nombre _____________________________Fecha ________________________

Profesor: ___________________________Sección: ____________________

I. Expresa cada ángulo en radianes. Recuerda que multiplicas el ángulo por

°

180

p

.

a. 30˚ =

b. 315˚ =

c. 20˚ =

d. 150˚ =

e. 120˚ =

f. -120˚ =

g. 144˚ =

h. 240˚ =

i. -270˚ =

II. Expresa cada ángulo en grados (recuerda multiplicar por

p

°

180

)

a.

=

2

3

p

b.

=

6

7

p

c.

=

-

12

7

p

d.

=

3

7

p

e.

=

9

p

f.

=

-

30

11

p

g.

=

6

11

p

h.

=

6

34

p

i.

=

60

p

III. Busca el valor de las seis funciones. Recuerda la siguiente tabla:

T

Punto Terminal

0

(1, 0)

6

p

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

2

1

,

2

3

4

p

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

2

2

,

2

2

3

p

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

2

3

,

2

1

2

p

(0, 1)

Recuerda también que dentro del círculo unitario:

Sen θ = y

Cos θ = x

Tan θ = y/x

Csc θ = 1/y

Sec θ = 1/x

Cot θ= x/y

a. sen(π/6) =

b. cos(π/6) =

c. tan(π/6) =

d. csc(π/6) =

e. sec(π/6) =

f. cot(π/6) =

IV. Halla los valores cuando t = 5π/4 (recuerda que está en el tercer cuadrante)

a. Sen (t)

e.csc (t)

b. Cos (t)

f.sec (t)

c. Tan (t)

d. Cot (t)

Dibuja la gráfica de la función f(x) = sen x

Dibuja la gráfica de la función f(x) = cos x

Dibuja la gráfica de la función f(x) = tan x

Dibuja la gráfica de la función f(x) = csc x

Dibuja la gráfica de la función f(x) = sec x

A

B

C

1

2

3

Leyes de logaritmos

1) ln(ab) = ln(a) + ln(b)

2) ln(a/b) = ln(a)-ln(b)

3) ln ax = x ln(a)

John Napier

Investiga quién fue Napier y qué aportó a los logaritmos

En esta ecuación, no tiene solución. Recuerda que el domino ex > 0.

Recordar lo siguiente:

1) log x = log10x

ej.: log 100 = 2

se escribe 102 = 100

2) ln ex = x

3) ln e = 1

4) eln x = x

5) ln(1) = 0

Recordar leyes logarítmicas

1) ln ab = ln(a) + ln(b)

2) ln (a/b) = ln(a) + ln(b)

3) ln ax = x ln(a)

Por: Dra. Carmen Ivelisse Santiago RiveraPage 30Este manual aún se encuentra en revisión, no se ha terminado. Agradecemos cualquier sugerencia.

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_1292506542.unknown

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