INSITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

CAMPUS QUERÉTARO

Matemáticas Avanzadas

Actividad #2

Instrucciones:

La actividad se realizará en grupos de 4 estudiantes. La entrega se efectuará vía correo electrónico. Entregar todos los ejercicios

resueltos y escanearlos en un sólo archivo pdf. No se aceptará el escaneo en otro formato ni fotos.

Fecha de entrega: Máximo el día Miércoles 18 de Febrero del 2015, hasta las 11:59 pm.

Correo electrónico para la entrega: lmiguel.mendezd@gmail.com Una vez enviado la actividad no se aceptará modificaciones al mismo.

Tomen sus precauciones y revisen antes de enviar. Si un equipo reporta que uno de sus integrantes no trabajó en la

elaboración de la actividad entonces tal estudiante tendrá como calificación: cero (0).

No habrá asesorías sobre procedimiento de los ejercicios.

Integrantes:

José Carlos Rojo A00999604

Luis Manuel Valdespino A01204870

Braulio Alexis Almaguer A01208091

Prof.:

Luis Miguel Méndez

1

Ejercicio 1. Demuestre la siguiente proposición usando argumentos matemáticos. No usar casos particulares.

Si f es analítica en un dominio D y ‖f (z )‖=c, donde c es una constante entonces f es constante sobre el dominio D .

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Ejercicio 2.

a) Muestre que la función u ( x , y )=ex2− y2cos (2 xy ) es armónica en

un dominio D apropiado.b) Construir matemáticamente la función f ( z )=u ( x , y )+ iv(x , y) que sea

analítica en el dominio D y que satisface la condición f (1+i )=5+4 i .

Ejercicio 3. La función f ( x , y )=12Aln [ x2+( y+1)2 ] , A>0

representa el potencial velocidad para un flujo planar de un fluido incomprensible e irrotacional. Encontrar el campo vectorial velocidad F del flujo.

Ejercicio 4. Usar las ecuaciones de Cauchy-Riemann para determinar en qué parte del plano complejo las funciones dadas son diferenciables e indique su respectiva derivada.

a¿ f (z )=e2 z+ib¿ f ( z )= ln (2 z−i)z2+1

4b) En primera instancia, simplificamos la expresión original con la ayuda de WolframAlpha

+

2

i

U V

Una vez simplificada la expresión original, se obtienen las derivadas parciales para verificar que las ecuaciones de C-R se cumplen

Ux=

Uy=

Vx=

Vy=

3

Despejando las ecuaciones de C-R

Uy=-Vx

Uy+Vx= 0

Se comprueba, que la expresión original, cumple con las ecuaciones de C-R, por lo tanto, f(z) es analítica y es diferenciable en todo el plano.

Ejercicio 5. Justificar con argumentos matemáticos las siguientes proposiciones:

a) Si sen ( z )=a , con −1≤a≤1 entonces que puede concluir acerca del número complejo z .

4

b) Si ‖sen( z)‖≤1 entonces que puede concluir acerca del número complejo z .

5

6