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Curso: ACÚSTICA

INGENIERÍA ELECTRÓNICAFacultad de Ingeniería

Universidad de Buenos Aires

ACÚSTICA

Modos de Resonancia

La teoría de modos analiza la presencia de un fenómeno común en los recintos.

Estas teorías, de aplicación incierta en salas de gran volumen, debido a la complejidad de problemas adicionales que presentan, se aplican con éxito en recintos pequeños de formas geométricas regulares.

Es decir que, el comportamiento modal vinculado con las formas y dimensiones de salas de 200 a 500 personas, estudios de grabación, controles, etc., se puede predecir y eventualmente corregir.

Se verifica que, entre dos puntos de una sala, el sonido no se transmite en forma continua con una respuesta plana perfecta.

La respuesta acústica del recinto se presenta en paquetes de frecuencias.

Una medición de esta, dará una curva del tipo de la figura.

ACÚSTICA – Modos de resonanciaEs normal que cada pocos ciclos, aparezcan picos y valles con excursiones de 10 dB o más, que irán aumentando en densidad, a medida que se incrementa la frecuencia.

ACÚSTICA

Una posible solución para modificar este comportamiento, sería la de tratar la totalidad del recinto con materiales absorbentes, a fin de recrear un campo con características de espacio libre, es decir, sin reflexiones y por lo tanto sin reverberación.

Subjetivamente, estaríamos perdiendo una cualidad fundamental del oído, tales la placentera sensación de percibir un campo reverberante, reflejado.

Debemos, por lo tanto, analizar y corregir estas variaciones.

Si máximos y mínimos de la figura anterior se hallan razonablemente juntos, es decir con Δf pequeños, el oído no alcanzará a percibirlos y lo interpretará como una buena respuesta.

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Entre dos paredes paralelas, hecho muy común en recintos pequeños, el sonido va y viene por múltiples reflexiones, por lo que es factible que se produzcan ondas estacionarias.

Si la separación entre paredes coincide con λ/2 de una determinada frecuencia, resultará un recorrido total de un λ completo, produciéndose un pico de resonancia que reforzará esa frecuencia en particular.

El efecto podemos analizarlo recordando el comportamiento de la onda estacionaria en un tubo cerrado.

Si a un tubo cerrado lo excitamos con una señal de determinada frecuencia, a lo largo del mismo se producirá una onda estacionaria, suma de la señal incidente y de la reflejada, con máximos y mínimos ubicados espacialmente, a distancias múltiplos de la longitud de onda de la señal incidente.

ACÚSTICAConsiderando que un recinto posee, como mínimo, seis superficies, este efecto se repetirá para todas las combinaciones posibles de ellas y para aquellas distancias que coincidan con valores de λ, 2λ, 3λ, etc.

Si pensamos que gran cantidad de recintos tienen formas equivalentes a paralelepípedos rectangulares, estos refuerzos ocurrirán a tres frecuencias básicas correlacionadas con sus dimensiones (alto, largo y ancho), más sus múltiplos, más los infinitos caminos posibles involucrados con reflexiones que retornen a su origen.

Si bien en el desarrollo de este capítulo analizaremos la división del espectro en regiones acústicas, debemos fijar algunos conceptos sobre el comportamiento de un recinto pequeño en función de la frecuencia.

Las frecuencias altas se comportaran como rayos de luz, es decir, en línea recta.

ACÚSTICA

Por otra parte, las frecuencias inferiores a los 200 Hz., excitarán al recinto en sus modos naturales de resonancia, magnificando la percepción de las mismas, en detrimento de aquellas donde no existan modos.

La razón es, que en términos de longitud de onda, los recintos chicos son acústicamente pequeños para frecuencias bajas y grandes para las altas.

ACÚSTICA

En el rango de bajas frecuencias, existen tres tipos de modos de resonancia:

Modos axiales (dominantes)

Son aquellos que involucran reflexiones sobre dos superficies vinculadas con las tres dimensiones principales del recinto (ancho, largo y alto), estableciéndose a partir de dos ondas que se propagan en forma paralela a cada uno de los ejes.

Estos modos son los más importantes y fáciles de predecir, dado que ocurrirán a todas las frecuencias y sus múltiplos cuya longitud de onda sea igual a la mitad de las tres dimensiones principales.

ACÚSTICA

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Son aquéllos vinculados con las reflexiones sobre dos pares de superficies opuestas, por lo que involucran cuatro superficies con un total de cuatro ondas.

En cada reflexión, perderán parte de su energía debido a la absorción, por lo que tendrán menor peso que los axiales (aproximadamente 3 dB).

ACÚSTICAModos tangenciales

Modos oblicuos

Son aquéllos vinculados con las reflexiones sobre las seis superficies del recinto, con un total de ocho ondas en el trayecto, por lo que tendrán menor peso aún que las axiales (aprox. 6dB).

Estos modos son de frecuencias más altas que el menor modo axial.

ACÚSTICA

Modos tangenciales

Modos oblicuos

La reducción de energía por onda, para los modos tangenciales y oblicuos se halla compensada por el incremento del número de ondas, por lo que la contribución de cada una de ellas a la energía total será la misma.

Esta es una de las razones por lo que no es conveniente ignorarlos.

ACÚSTICA

Expresión matemática que vincula todos los modos posibles

( )22

2

2

2

2

2 Hr

Wq

LpVF s +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Donde:F = Frecuencia del modo (Hz.).VS = Velocidad del sonido (m/s). p; q; r = números enteros y positivos (0, 1, 2,…n) vinculados con las tres dimensiones L, W, H. L = largo del recinto (m). W = ancho del recinto (m). H = altura del recinto (m).

El límite inferior está constituido por la menor frecuencia de percepción (16 Hz.).

La mayor dimensión del recinto, generalmente el largo L, nos dará F1, es decir la frecuencia del primer modo.

Aplicando la ecuación para el trío p = 1, q = 0 y r = 0, obtendremos:

ACÚSTICA

( )mLs

mF

⋅=

2

3441

16 F1

La figura representa al espectro audible dividido en regiones acústicas.División del espectro en regiones acústicas

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Entre F1 y el límite inferior de percepción, se configura la zona A, cuya característica principal es la de contener un grupo de frecuencias de las que es muy difícil predecir su comportamiento.

Entre F1 y F2, se delimita una zona de frecuencias bajas que denominamos la zona B, con frecuencias de gran longitud de onda, vinculadas al volumen del recinto y al tiempo de reverberación.

Debemos tener presente que en este espectro de frecuencias, la absorción de materiales es pobre.

ACÚSTICA

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F1 F2

El comportamiento del campo es de naturaleza ondulatoria.

La frecuencia F2 o frecuencia de Schroeder, se expresa por:

Entre F2 y F3, se conforma una zona de transición que denominamos zona C.

Las frecuencias dentro de ella tienen comportamiento mixto, es decir, un poco como rayos, por lo que podremos aplicarles principios de óptica y un poco como ondas.

ACÚSTICA16 F1 F2 F3

3

2

men

1893

VV

TRF =

La F2 o frecuencia de Schroeder, es aquella a partir de la cual las ondas estacionarias se hallan tan poco espaciadas entre si, que no afectan el sonido.

Si esta es baja, la respuesta en frecuencia sea plana en un amplio rango.

En esta región, es generalmente fácil tratar los problemas asociados, dado que tanto los materiales de construcción como los usados en los tratamientos acústicos, comienzan a tener índices altos de absorción.

La frecuencia límite F3, viene dada por:

ACÚSTICA16

F1 F2 F3

23 4 FF ⋅=

Entre F3 y el límite superior de percepción (20 KHz.), se halla la zona D, donde el campo se comporta según las leyes de la óptica.

En esta zona es donde existen mayores reflexiones, por lo que se debe controlar más la absorción y la difusión.

Conocidas las regiones acústicas, estamos en condiciones de calcular la totalidad de modos presentes en el recinto y analizar como se distribuyen dentro de cada una de ellas.

ACÚSTICA16 F1 F2 F3

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A pesar de la enorme cantidad de bibliografía, los especialistas aún no se ponen de acuerdo, en cuanto a formas y dimensiones de salas, por lo que existen infinitos diseños posibles.

Si damos por sentado, que generalmente se desea tener pisos planos, las paredes podrán ser desplegadas, los cielorrasos inclinados y las superficies modificadas con formas cilíndricas o poligonales.

Algunas formas pueden ser eliminadas, por ejemplo aquéllas que focalizan el sonido, y otras necesitan ser estudiadas.

ACÚSTICA¿Cómo se proyecta una sala para alcanzar la mejor difusión del

sonido?

Análisis de los modos axiales

La popularidad de las salas rectangulares, se debe en parte a su economía de diseño y construcción, pero también a sus ventajas acústicas, dado que los modos son fácilmente calculables y su distribución analizada sin mayor esfuerzo.

En una primera aproximación, será suficiente calcular solamente los modos axiales dominantes, con abstracción del resto.

Lo más importante para un recinto de este tipo, será la relación entre sus tres dimensiones principales, por lo que deberemos plantearnos como iniciar nuestro proyecto.

La bibliografía muestra una gran diversidad de criterios respecto a las proporciones dimensionales de una sala.

En general, los criterios más difundidos son:

ACÚSTICA

Bolt otorga a la sala un amplio rango de proporciones, de tal forma de producir las características más suaves en baja frecuencia.

Esto es aplicable en recintos rectangulares de pequeñas dimensiones.

En la figura observamos que, a partir de una altura unitaria H = 1, podemos obtener distintas relaciones dimensionales del largo y el ancho, dentro del área punteada, con valores razonables de diseño.

ACÚSTICACriterio de Bolt (Bolt, Beranek y Newman)

ACÚSTICACriterios

Autor Teoría Alto Ancho LargoSe encuentra en el rango de Bolt

?

Sepmeyer A 1,00 1,14 1,39 NO

SepmeyerB 1,00 1,28 1,54 SI

SepmeyerC 1,00 1,60 2,33 SI

Louden D 1,00 1,40 1,90 SI

Louden E 1,00 1,30 1,90 NO

Louden F 1,00 1,50 2,50 SI

Volkmann2:3:5

G 1,00 1,50 2,50 SI

Boner1: 21/3:41/3 H 1,00 1,26 1,59 SI

La tabla reúne las mejores proporciones sugeridas por todos estos criterios y observamos que la mayor parte de esas relaciones caen dentro o muy cerca del área de Bolt.

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Esto verificaría que, cualquier relación que se halle dentro del área de Bolt, producirá una sala de razonable calidad en bajas frecuencias, tanto como sea posible en relación con la distribución de los modos axiales.

De cualquier manera, sería imprudente decir que una sala es o no apropiada, con sólo una evaluación dimensional por aplicación de alguno de los criterios.

Siempre será preferible realizar un análisis más profundo del comportamiento de los modos, aún teniendo solamente en consideración los modos axiales.

ACÚSTICASea una sala de:

Largo: 5,90 m. (L = 19 ft. 5 in.)

Ancho: 4,30 m. (W = 14 ft. 2 in.)

Alto: 2,70 m. (H = 8 ft.)

Observamos que la relación dimensional 1 : 1,59 : 2,18, la ubica dentro del área de Bolt.

Aplicando la ecuación, podemos calcular los modos axiales a partir de dar valores enteros a los números p, q y r.

ACÚSTICA

La frecuencia f1, correspondiente al modo de menor frecuencia, vinculado con la mayor dimensión del recinto (L), será el valor de f para p = 1, q = 0 y r = 0.

La f1 para el ancho (W), se obtendrá del trío p = 0, q = 1 y r = 0.

La f1 para el alto (H), del trío p = 0, q = 0 y r = 1.

Los sucesivos modos para las frecuencias f2.......fn, los obtendremos resolviendo la ecuación con valores de p, q y r, desde 2 hasta n.

ACÚSTICA

El espaciado entre modos (sus diferencias) deberán ser lo más uniforme posible.

La existencia de dos o más modos coincidentes o modos demasiados cercanos, aún sin ser coincidentes, pueden llegar a convertirse en potenciales problemas.

ACÚSTICA

A fin de analizar el comportamiento de nuestro recinto, necesitaremos conocer algunas reglas básicas de aplicación.

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La tabla muestra, a la izquierda, los modos obtenidos para cada dimensión, ordenados en forma creciente.

Podemos observar que hemos realizado el estudio hasta 320 Hz., limitación de frecuencia que analizaremos posteriormente.

A la derecha observamos una columna con la totalidad de los modos ordenados en forma creciente, y en la última columna (dif.), las diferencias de frecuencias entre modos sucesivos.

ACÚSTICA

En nuestro ejemplo, existen 22 modos axiales entre las frecuencias de 29,1 y 316,7 Hz., con espaciados que varían de 3,2 a 29,1 Hz.

Esto nos estaría indicando que no hay uniformidad de espaciado.

Sin embargo, tampoco existen modos coincidentes, dado que el par más cercano se ubica a 3,2 Hz.

Esta sala, apropiadamente tratada, con una relación dimensional razonable, pero no óptima, va a reproducir bien el sonido.

ACÚSTICA

La tabla puede ser representada con un diagrama de barras, a partir de fijar un valor a la altura (H) y obtener, según el criterio, el resto de las dimensiones.

ACÚSTICAEjemplo 2

Autor Teoría Alto Ancho Largo Se encuentra en el rango de Bolt

?

Sepmeyer A 1,00 1,14 1,39 NO

Sepmeyer B 1,00 1,28 1,54 SI

Sepmeyer C 1,00 1,60 2,33 SI

Louden D 1,00 1,40 1,90 SI

Louden E 1,00 1,30 1,90 NO

Louden F 1,00 1,50 2,50 SI

Volkmann2:3:5

G 1,00 1,50 2,50 SI

Boner 1: 21/3:41/3

H 1,00 1,26 1,59 SI

Cada criterio allí representado (desde el A hasta el H), corresponde a una relación dimensional distinta, por lo que obtendremos diferentes frecuencias de modos, para cada caso.

Los números sobre determinadas frecuencias de modos, están indicando que, para esas frecuencias, existen modos dobles (2) o modos triples (3).

Considerando todo lo expresado: ¿Cuál de las ocho distribuciones será la mejor y cuál la peor?

ACÚSTICA

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En primer lugar, rechazaremos G con dos triples coincidencias enormemente espaciadas de las vecinas.

Luego F con tres dobles coincidencias, algunas muy espaciadas.

Las dobles coincidencias en C y D, cercanas a los 280 Hz., podrían ser toleradas, dado que a esa frecuencia existe gran densidad de modos, por lo que las coloraciones pasarán desapercibidas.

ACÚSTICA

Es decir, a partir de las dos rechazadas, debemos elegir entre el resto. Todas tienen defectos y todas podrían servir, si prestamos atención a los problemas que presentan.

El estudio de la distribución de modos axiales hecho hasta el momento, constituye una simplificación del método de análisis modal, que nos permitió comprender el comportamiento de un recinto, sus virtudes y defectos.

No hemos tenido en consideración la existencia de los modos tangenciales y oblicuos que, debido a su menor peso, sólo contribuirán a cubrir los espacios vacíos, dejados por los modos axiales.

En realidad, las teorías modernas contemplan la totalidad del contenido modal, analizando los valores como un TODO, que califican al recinto.

Antes de analizar estas teorías, veamos la forma en que se divide el espectro.

ACÚSTICAAnálisis de los modos axiales, tangenciales y oblicuos

Consideremos un recinto rectangular de las siguientes características: Largo (L) = 7 m.; Ancho (W) = 3,5 m. y Alto (H) = 3 m.

La relación dimensional será 1 : 1,17 : 2,33, con lo que caerá fuera del área de Bolt, por lo que es probable que el recinto tenga problemas.

Como primera objeción, observamos que dos dimensiones son múltiplos entre sí.

Aplicando la ecuación, se podrá calcular la totalidad de los modos axiales, tangenciales y oblicuos, asignando valores enteros y positivos a los números p, q, y r.

ACÚSTICACálculo de los modos

Con los valores obtenidos, construiremos una tabla, que deberá contener:

A. El número del modo.

B. Las frecuencias en orden creciente.

C. La calificación del modo, según sea:

Axial

Tangencial

Oblicuo

ACÚSTICACálculo de los modos

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ACÚSTICAAnálisis de Modos Axiales, Tang. y Oblicuos: “Criterio de Gilford”

Modo No. p q r Frec. Ax. Tg. Obl. Separación >20 Hz. 1 1 0 0 24,57 24,57 24,57 2 0 1 0 49,14 49,14 24,57 mal 3 2 0 0 49,14 49,14 0,00 ok4 1 1 0 54,94 54,94 5 0 0 1 57,33 57,33 8,19 ok6 1 0 1 62,38 62,387 2 1 0 69,50 69,508 3 0 0 73,71 73,71 16,38 ok9 0 1 1 75,51 75,51

10 2 0 1 75,51 75,5111 1 1 1 79,41 79,4112 3 1 0 88,59 88,5913 2 1 1 90,10 90,10

Podemos observar además, las diferencias de frecuencia entre los modos axiales y la calificación de los mismos, según el criterio de Gilford.

El criterio de Gilford, se basa en el análisis del comportamiento de los modos axiales, despreciando los tangenciales y oblicuos por su poco peso.

Según él, la separación de estos modos no debería ser superior a los 20 Hz., argumentando que si ésta fuera mayor, el modo se “escucharía”.

Es evidente que el objetivo de Gilford era lograr una uniformidad de distribución de los modos axiales, evitando cambios bruscos en la percepción.

ACÚSTICA

Criterio de Gilford

Criterio de evaluación de los modos

Un análisis más fino, debería incluir a la temperatura como variable, dado que ésta afectará la velocidad del sonido y por ende el comportamiento del recinto.

En la tabla se indican los modos axiales “buenos” y “malos”, en función de su separación, según Gilford.

ACÚSTICAAnálisis de Modos Axiales, Tang. y Oblicuos: “Criterio de Gilford”

Modo No. p q r Frec. Ax. Tg. Obl. Separación >20 Hz. 1 1 0 0 24,57 24,57 24,57 2 0 1 0 49,14 49,14 24,57 mal3 2 0 0 49,14 49,14 0,00 ok4 1 1 0 54,94 54,94 5 0 0 1 57,33 57,33 8,19 ok6 1 0 1 62,38 62,387 2 1 0 69,50 69,508 3 0 0 73,71 73,71 16,38 ok9 0 1 1 75,51 75,51

10 2 0 1 75,51 75,5111 1 1 1 79,41 79,4112 3 1 0 88,59 88,5913 2 1 1 90,10 90,10

No tiene en consideración el volumen del recinto.

Ignora la presencia y la importancia del resto de los modos.

No contempla la existencia de modos coincidentes o cercanos en frecuencia (modos dobles, triples, etc.).

El concepto de 20 Hz. de diferencia entre modos, es un valor importante en frecuencias bajas, por ejemplo entre 20 y 40 Hz., no siendo significativa entre 260 y 280 Hz.

Esto se debe, fundamentalmente, a la forma en que se acumulan los modos en el espectro.

ACÚSTICAObjeciones al criterio

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Bonello contempla todos los modos presentes, fijando el análisis sobre la base de porcentajes de la frecuencia modal y no a distancias fijas.

Este criterio, llamado criterio de densidad de modos, parte de considerar que el número total de modos posibles (Nt), para valores de p, q, r, enteros y positivos desde 0 a n, será:

Nt = (n + 1)3

Recordando que:

ACÚSTICA

( )22

2

2

2

2

2 Hr

Wq

LpVF s +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

En la ecuación, observamos que la densidad de modos crece con el cuadrado de la frecuencia.

A partir de los 200 Hz, la densidad es tan grande, que el oído no alcanza a percibir diferencias, es decir, no posee habilidad para discriminarlos.

Por debajo de los 200 Hz, cada modo puede llegar a ser escuchado en forma individual, produciendo una sensación desagradable.

ACÚSTICALa resolución de ambas ecuaciones, nos dará la expresión de la densidad de modos en función del volumen de la sala,es decir, el número de modos de resonancia por ciclo de ancho de banda.

Donde: V = volumen de la sala (m3) f = frecuencia de cada modo (Hz.) c = velocidad del sonido (m/s) D = densidad de modos

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24C

fVfND t ⋅⋅⋅

==π

δδ

En cada modo, existe un máximo en la curva de transferencia de señal, según se observa en la figura, por lo que, cuanto mayor sea la densidad de éstos, más próximos se hallarán, lo que resulta beneficioso.

ACÚSTICA

Un recinto puede tener buena o mala distribución de modos

La figura es un ejemplo de una distribución pobre, con intervalos sin modos, resultando una energía promedio con grandes variaciones.

Por el contrario, una buena distribución de modos, tal como se observa, logrará una contribución de energía de determinado ancho de banda, más uniforme.

ACÚSTICA

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En la tabla, observamos que existen modos duplicados o agrupaciones de modos.

Puede incluso llegar a darse el caso de modos triples.

Todo esto configura un campo donde, junto con “paquetes de energía”, hay zonas vacías, resultando una respuesta en frecuencia con severos saltos.

En estas condiciones, la respuesta del recinto a una excitación impulsiva, se verá alterada por esa configuración de modos, creando “coloraciones”, es decir, resonancias a determinadas frecuencias, con alteraciones en la duración del sonido.

ACÚSTICA

Se demuestra que:

Es decir que ∆f es inversamente proporcional al tiempo de reverberación.

Por lo tanto, con tiempos de reverberación bajos, tendremos mayores anchos de banda, con buen solapamiento, lo que permitirá lograr una distribución más uniforme de la energía promedio.

ACÚSTICA

TRf

⋅=Δπ

91,6

En la figura, se haya representada la presión sonora de un modo, en función de la frecuencia.

P Pmax

Frec.

Δ f

Pmax / √ 2

La contribución de energía de cada modo puede considerarse como la de un resonador, y el conjunto como el de muchos acoplados.

La ecuación ∆f = 6,91/πTR, indica que el ancho de banda será constante, en la medida que el T60 también lo sea.

En un estudio de grabación, el valor de Δf es aproximadamente de 5 Hz.

En alta frecuencia, tendremos miles de modos dentro de cada banda, pero en bajas frecuencias, necesitaremos lograr un buen solapamiento de los modos, para repetir ese comportamiento.

ACÚSTICA1. Se calculan todos los modos presentes hasta sobrepasar la frecuencia de

Schroeder del recinto:

2. Se divide el espectro en tercios de octavas, agrupando, en cada uno, la cantidad de modos obtenidos.

3. Se grafican estas cantidades en función de las frecuencias del tercio de octava, según se observa en la figura.

ACÚSTICA

VTRF 18932 =

No. De modos / 1/3 octava Zona de análisis

Frec.

Límite de tercios de octavas

Método de aplicación del criterio

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1. La curva de la figura deberá ser monótonamente creciente o a lo sumo, tener la misma cantidad de modos, en dos tercios sucesivos.

2. No deberán existir modos dobles (dos frecuencias iguales) y en caso de haberlos, sólo se tolerarán en sextos cuya densidad de modos sea superior a cinco.

3. Los modos deberán hallarse espaciados por lo menos 5% de la frecuencia modal.

ACÚSTICACalificación del recinto

No. De modos / 1/3 octava Zona de análisis

Frec.

Límite de tercios de octavas