Academia Preuniversitaria "ADUNI" Ingenieros. Preparación Exclusiva para la UNT…!

Docente: Ing. Miguel Gonzáles López

CIRCUNFERENCIACIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA

DEFINICIÓN: Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) del

plano R2, de tal manera que se mueve manteniéndose siempre

igual a una cantidad constante r (r radio) de un punto fijo C

del plano denominado centro de la misma. Es decir:

2P( , ) R / d (C,P) rx y CELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

L N

L T

B

O E A

U

C r

X

Y

• C Centro de la circunferencia

• CU Radio (CU = r)

• BO Cuerda

• AE Diámetro

• NL Recta Normal

• TL Recta Tangente

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA

1. Forma Canónica: Es la ecuación de la circunferencia con

centro en el origen.

(0 ;0 )

P ( ; )x y

X

Y

r x

y

r

2 2 2rx y

2. Forma Ordinaria: Si el centro de la circunferencia no está

en el origen de coordenadas, sino en el punto C(h; k) y es de

radio r; entonces la ecuación de la circunferencia será:

Y

X

k

r

P ( , )x y

y– kC (h k)

H

E n la figu ra :

C entro : C (h ,k)

R ad io: r

P un to G en érico: P ( , )x y

2 2 2( h) ( k) rx y

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA.

Si se desarrolla la ecuación ordinaria de la circunferencia se

obtiene la ecuación general:

Para pasar de la ecuación ordinaria a la ecuación general:

2 2 D E F 0x y x y

2 2 2( h) ( k)x y r 2 2 2 2 22 h h 2 k k r 0x x y y 2 2 2 2 22 h 2 k (h k r ) 0x y y y

De donde:

D 2h E 2k 2 2 2F h k r

También:

Dh

2

Ek

2

2 2D E 4Fr

2

Problema Desarrollado

1. Demostrar que la ecuación de la circunferencia, donde los

puntos 1 2A( ; )a a y 1 2B( , )b b

son extremos de uno de los

diámetros, es:

22 2 21 1 2 21 1 2 2 ( )

2 2 4

a b a ba b a bx y

Resolución:

(b ,b )1 2

A (a ,a )1 2

C (h ,k)

r

r

r

Y

X 0

B

Por punto medio del AB , se tiene:

1 1 2 2h k2 2

a b a b

Por distancia entre dos puntos:

2 21 1 2 22r (A,B)d a b a b

2 21 1 2 2

1r

2a b a b

Luego la ecuación de la circunferencia es:2 2

1 1 2 2 2r2 2

a b a bx y

2 22 21 1 2 21 1 2 2

2 2 4

a b a ba b a bx y

Problema por Desarrollar.

1. Demostrar que la ecuación de la circunferencia de centro (h,

k) y que pasa por un punto (a, b) es:

2 2 2 2h kx a y b a b

Resolución:

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GEOMETRÍA

TEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA

Academia Preuniversitaria "ADUNI" Ingenieros. Preparación Exclusiva para la UNT…!PRACTICA

1. Si R = 7 y OA = 25, calcular la ecuación de la circunferencia.Y

X 0

A R

Rpta:

2. En la figura, OP = 12 y O: centro. Calcular la ecuación de la

circunferencia.

r

P X

Y

0 3 0 º

Rpta:

3. La ecuación de una circunferencia es:

223 6 7x y

Hallar el centro y el radio.

Rpta:

4. La ecuación de una circunferencia es:

222 4 9x y

Hallar el centro y el radio.

Rpta.:

5. Hallar el área de la región sombreada.

0

Y

X

( + 1 0 ) + ( – 8 ) = 4x y2 2

Rpta:

6. Hallar el área de la región triangular sombreada.

Y

X H 0

A

B

x + y – 1 6 – 2 0 + 13 9 = 02 x y2

Rpta:

7. Calcular la ecuación de la circunferencia, si el área de la

región triangular equilátera OAB es 24 3u

(P es punto de

tangencia)

A

B

P 0

Y

X

r

Rpta:

8. Se tiene la circunferencia:

2 2 4 6 12 0x y x y

Hallar el perímetro del cuadrado circunscrito a dicha

circunferencia.

Rpta:

9. Calcular la ecuación de la circunferencia de centro C(2,– 2) y

es tangente a la recta: L: 3x + 4y – 8 = 0

Rpta:

10. Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (–

1,1) que es tangente a la recta que pasa por (4,0) y (0,– 4).

Rpta:

11. En la figura, OABC es un rombo y P, Q y R puntos de

tangencia. Sabiendo que OL = 10 y OC = 5, calcule la

ecuación de la circunferencia .

0 C

R

P

Q

B

X

Y

A

L

Rpta:

12. En la figura T es punto de tangencia, A = (0 ,8) y B =

(0,2). Determine la ecuación de la circunferencia C .

A

B T

Y

X

Rpta:

13. Se tiene la C : 2 212 16 75 0x x y y

.

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el centro de C y el punto P(0,3):

Rpta:

14. En el gráfico, la ecuación de la recta es 3

: 124x

y L, calcule la ecuación de la circunferencia

C .

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X (8 ,1 )

Rpta:

15. Calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por

el punto A(0,2) y es tangente en el origen a la recta L: y = –

2x.

Rpta:

16. Calcular la ecuación de la circunferencia inscrita en el

cuadrado ABCD si los puntos A(–1,2) y C(7,–6) son los

extremos de una de las diagonales del cuadrado.

Rpta:

17. Hallar el valor de k para que la circunferencia 2 22 2 5k 8 10 0x y x y

, represente a una

circunferencia.

Rpta:

18. Calcular el radio de la circunferencia2 2 ( 4) 0x y n x ny y

, cuyo centro pertenece a

la recta del la ecuación: 3 4 0x y

.

Rpta:

19. Una circunferencia de radio 2 2m

, tiene su centro

en la recta L : 4x + 3y = 2 y es tangente a la recta

1L : 4 0x y . Calcular la suma de las abscisas de los

posibles centros de la circunferencia.

Rpta:

20. En el gráfico, T es punto de tangencia si P Q 6 3

,

determine la ecuación de la circunferencia.

30 º

P

Q T

Rpta:

21. Calcular m, si el punto (2;3) pertenece a la

circunferencia:

2 2 2 25 0x y x my

A) 12 B) 14 C) – 14 D) – 12 E) 16

22. Hallar la ecuación de la circunferencia que es

tangente a la recta 4x + 3y + 2 = 0 y su centro pertenece

a las rectas x + y = 4 y 3x = y.

A) 2 2 9 0x y x y

B)2 2 2 6 7 0x y x y

C) 2 2 5 2 3 0x y x y D)

2 2 2 6 1 0x y x y

E) 2 2 9 0x y

23. En la figura, L: y = 2x – 4. Calcule la pendiente de la

recta 1L .

L 1A (0 ,a )

C (h ,k)

L

2

A) 9/11 B) 5/3 C) 4/3 D) 3/4 E) 1/2

24. En el gráfico R, S y T son puntos de tangencia. Si r = 2

y B(12,0); calcule la ecuación de la circunferencia de

diámetro TC.Y

X

A

B

C

R

0 T

S

A) 2 2 10 24 2 0x y x y y

B) 2 2 14 24 29 0x y x y

C) 2 2 14 14 24 0x y x y

D) 2 2 16 24 28 0x y x y

E) 2 2 14 24 20 0x y x y

25. Según la figura, la BK 74ºm

, OE = EB y KO =

20. Halle la ecuación de la circunferencia C . Y

X K

E

B

0

A) 224 6 18x y

B) 224 8 20x y

C) 226 4 16x y

D) 226 8 18x y

E) 224 6 16x y

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