Aerodinamica s2 v1
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Lineas de Sendero, Lineas de corriente, Velocidad angular, vorticidad, deformacion, circulacion, funcion de corriente, velocidad potencial
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CURSO: AERODINAMICA I
Profesor: MSc. Ing. Aero. Marcell Villanueva Jiménez 1
AERODINAMICA IS2
AERODINAMICA IS2
MSc. Ing. Marcell Villanueva Jimé[email protected]
2
CONTENIDO
• Líneas de sendero• Líneas de corriente• Velocidad angular• Vorticidad• Deformación• Circulación• Función de corriente• Velocidad potencial
3
LINEAS DE SENDERO
Denotemos un campo de velocidad de un flujo no estacionario por
Un elemento infinitesimal se mueve en el flujo (elemento de fluido)
Para un flujo no estacionario las líneas de sendero son diferentes en tiempos diferentes
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LINEAS DE CORRIENTE
Es una curva donde la tangente en cada punto esta en dirección del vector velocidad a lo largo de la línea de corriente
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Una curva en el espacio puede ser descrita como
Elemento de la línea de corriente
Velocidad en el punto de análisis
En un sistema de coordenadas cartesianas
Por definición es paralela a
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Conociendo en función de:
Resolviendo
Entonces cada componente = 0
Ecuaciones diferenciales de una línea de corriente
Integrando, Obtenemos la ecuación de la línea de corriente
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Entendiendo el sentido físico
La ecuación de esta línea de corriente
En el punto 1 la pendiente es
La pendiente también es representada por
Conociendo
Consideremos
Tubo de corriente
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Ecuación diferencial para una línea de corriente bidimensional
También representado
9
EJEMPLO
Se tiene un campo de velocidad
Calcular la ecuación de la línea de corriente que pasa por el punto (0,5)
c es una constante de integración
Sabemos
Ecuación del circulo
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VELOCIDAD ANGULAR, VORTICIDAD Y DEFORMACION
Un elemento de fluido infinitesimal que se desplaza por una línea de corriente, puede trasladarse de un punto a otro, también rotar y cambiar de forma.
La forma de la distorsión depende del campo de velocidad
Elemento trasladado deformado rotado
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Considerando un flujo bi-dimensional
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El elemento de fluido se mueve hacia la derecha, obtiene su posición y forma en el tiempo
Durante el incremento de tiempo
Durante el incremento el punto C se movió diferentemente que el punto A
El componente vertical de velocidad
Rota en
Rota en
1. Considerando la línea
(-) por convención
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Distancia en dirección y donde A se mueve en un incremento de tiempo
Distancia en dirección y donde C se mueve en un incremento de tiempo
Desplazamiento neto en dirección y de C con relación a A
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Como es pequeño
2. Considerando la línea
El componente de la velocidad de en el tiempo es
Desplazamiento neto de en dirección de con relación a en el tiempo
Componente horizontal de la velocidad del punto en el tiempo
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Como es pequeño la ecuación se reduce
3. Considerando la velocidad angular de la línea
Entonces transformando
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La velocidad angular de un elemento de fluido es el promedio de las velocidades angulares de la línea
La velocidad angular en un fluido tridimensional
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La vorticidad es el doble de la velocidad angular de un elemento de fluido
VORTICIDAD
vorticidad
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Se tiene la velocidad angular (anteriormente desarrollado)
Para un sistema de coordenadas
Componentes de la velocidad en
Entonces la vorticidad
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Flujo rotacional - hay velocidad angular
Flujo irrotacional - no hay velocidad angular
FLUJO ROTACIONAL E IRROTACIONAL
Condiciones
De lo anterior se tiene
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Flujo rotacional (2 formas) Flujo irrotacional
Si el fluido es bi-dimensional entonces la ecuación general de la vorticidad
Se transforma en
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Y si además el fluido es irrotacional entonces
Condición de irrotacionalidad para un
fluido bi-dimensional
Donde analizamos flujo irrotacional
• Flujo subsónico sobre un perfil
• Flujo supersónico sobre un cuerpo delgado
• Flujo subsónico-supersónico a través de una tobera
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DEFORMACION DE UN FLUIDO
La deformación
La deformación de un elemento de fluido
Tiempo Tiempo
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La deformación temporal de un elemento de fluido
Considerando lo encontrado anteriormente:
Para los otros dos planos
Obtenemos:
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La deformación temporal depende de solo de las derivadas de velocidad del campo de fluido.
En forma matricial:
O también
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EJEMPLO
Para un campo de velocidad
Calcular la vorticidad
El flujo es irrotacional en todos los puntos excepto donde;
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CIRCULACION
Consideramos una curva cerrada C en un campo de fluido
Velocidad
Segmento de línea
La circulación se denota como:
(-) Indica el sentido anti-horario
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RELACION DE LA CIRCULACION CON LA VORTICIDAD
Del teorema de Stokes:
Curva cerrada C,
Superficie en un fluido con una velocidad V en el punto P
P es cualquier punto en la superficie
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La circulación sobre la curva C es igual a la vorticidad integrada sobre cualquier superficie abierta ligado a C
Si el flujo es irrotacional dentro del contorno de integración,
Es decir si entonces
Denotamos un circulación infinitesimal:
vorticidad
Elemento de fluido infinitesimal
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EJEMPLO
Para un campo de velocidad
Calcular la vorticidad
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FUNCION DE CORRIENTE
Considerando un flujo estacionario bi-dimensional
La ecuación diferencial para una línea de corriente
Son funciones de
Integrando
Constante arbitraria de integración
Es la función de corriente
Renombrando
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VELOCIDAD POTENCIAL
Recordando
Un flujo irrotacional es aquel donde la vorticidad es cero en cualquier punto,
Entonces para un flujo irrotacional la ecuación de la vorticidad:
Se transforma en
Si es una función escalar entonces:
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Demuestra que para un flujo irrotacional existe una función escalar cuya velocidad es dada por la gradiente de
Es la velocidad potencial,
Se determina en función de las coordenadas espaciales
La gradiente en coordenadas cartesianas
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En coordenadas cilíndricas:
Y en coordenadas esféricas tenemos:
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RELACION ENTRE LA FUNCION DE CORRIENTE Y LA VELOCIDAD POTENCIAL
Consideramos un flujo bi-dimensional rotacional e incompresible en un coordenadas cartesianas.
Para una línea de corriente constante
Sabemos que para un flujo irrotacionalVelocidad potencial
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La diferencial de a lo largo de la línea de corriente es cero, entonces:
Además se sabe que:
Por lo tanto:
Analizado anteriormente
Resolviendo esta ecuación para
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Similarmente para una línea equipotencial constante
A lo largo de la línea
Conociendo
Se tiene:
Analizado anteriormente
Resolviendo esta ecuación para , el cual es la pendiente para
obtenemos:
línea constante
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Combinando las ecuaciones obtenidas
Obtenemos:
Esto demuestra que la pendiente línea constante
Es el reciproco negativo de línea constante
Quiere decir que las líneas de corriente y las líneas equipotenciales son perpendiculares
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REVISION
• Líneas de sendero• Líneas de corriente• Velocidad angular• Vorticidad• Deformación• Circulación• Función de corriente• Velocidad potencial
