1 A. ZAMBRANO

2 A. ZAMBRANO

TEMAS PAG

1.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA CURVA ELÁSTICA 3

1.2. MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN 7

1.3. MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOS 11

1.4 MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA 16

3 A. ZAMBRANO

1.1. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA CURVA ELÁSTICA

Consideremos una viga simplemente apoyada sujeta a una carga arbitraria y

tomemos un elemento diferencial de longitud dx a una distancia x del extremo

izquierdo (fig. 1)

Y

X

y

x dx

Consideremos ahora el elemento diferencial de longitud antes (línea solida) y

después de la deformación (línea punteada)

C

d

E.N. M

y d

dx

De los dos triángulos semejantes, se tiene que

(a’)

4 A. ZAMBRANO

Igualando las expresiones anteriores

Entonces, despejando , se obtiene

(a)

Por otra parte, de la Ley de Hooke se tiene que

Y la deformación unitaria es

(b)

Sustituyendo (a) en (b) se obtiene

Y la Ley de Hooke queda como sigue

(c)

Por otra parte, el esfuerzo normal por flexión esta dado por la siguiente expresión

(d)

Igualando (c) y (d)

Lo cual queda

5 A. ZAMBRANO

(e)

De la ecuación (a’), despejamos 1/

(f)

Igualando las ecuaciones (e) y (f), se obtiene

(g)

Consideremos ahora la figura de la curva deformada siguiente

deformada dx dy

De la figura anterior

6 A. ZAMBRANO

Derivando respecto a x, se obtiene

(h)

Igualando las ecuaciones (g) y (h), nos queda

(1)

La ecuación (1) puede escribirse como sigue

(2)

Las ecuaciones (1) y (2) representan la ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA

CURVA ELÁSTICA.

7 A. ZAMBRANO

1.2. MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN

Este método consiste en la integración directa de la ecuación diferencial de la

curva elástica para obtener la ecuación de la pendiente y la deflexión en cualquier

punto a lo largo de la viga.

La ecuación diferencial es

Integrando una vez, obtenemos la ecuación de la pendiente

Integrando otra vez, obtenemos la ecuación de la deflexión

Luego se determinan las constantes de integración C1 y C2 con las condiciones de

frontera, según los tipos de apoyos, como sigue:

y=0

y = 0

y = 0

M representa la ecuación de momentos en un punto a una coordenada x de la viga.

8 A. ZAMBRANO

Para escribir ecuaciones de momentos de un solo tramo, deben introducirse unas

funciones de singularidad como sigue:

Función 1:

x – a = 0 si x a x – a si x > a

Función 2:

[ x – a ] = 0 si x a 1 si x > a

9 A. ZAMBRANO

EJEMPLOS DE ECUACIONES DE MOMENTOS DE UN SOLO TRAMO

CASO 1: Carga concentrada

Y P

A B X

a b

RA x

M = RA*x – P*x – a

CASO 2: Carga distribuida en toda la longitud

Y w

A B X

L

RA x

M = RA*x – w*x2/2

CASO 3: Carga distribuida en una parte derecha de la longitud

Y w

A B X

a b

RA x

10 A. ZAMBRANO

CASO 4: Carga distribuida en una parte izquierda de la longitud

Y w

A B X

a b

RA x

CASO 5: Momento concentrado

Y

A M0 B X

a b

RA x

M = RA*x – M*[x – a]

11 A. ZAMBRANO

1.3. MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOS

Fue desarrollado por Otto Mohr y luego establecido formalmente oir Charles E.

Green en 1873.

Este es un método semi grafico para calcular pendientes y deflexiones en vigas.

Requiere de dibujar el diagrama de momentos y la curva elástica de la viga.

Consideremos una viga simplemente apoyada sujeta a una carga arbitraria y

definimos dos puntos A y B sobre la viga deformada. Se trazan las tangentes a

estos puntos y se dibuja el diagrama de momentos.

A B

Diagrama de

momentos

Por otra parte, de la deducción de la ecuación diferencial de la curva elástica,

obtuvimos la siguiente ecuación (g)

Separando las variables, se tiene

B –A

12 A. ZAMBRANO

Integrando ambos lados de la ecuación entre los puntos A y B, nos queda

Si definimos B/A = B – A, podemos escribir

(i)

El término de la derecha de la ecuación (i) representa el área del diagrama de

momentos entre los puntos A y B dividida entre EI

Entonces, podemos escribir

(3)

La ecuación (3) representa el primer Teorema del área de momentos

Teorema 1: El cambio en la pendiente entre cualesquiera dos puntos sobre la

curva elástica es igual al área del diagrama M/EI entre estos dos puntos.

13 A. ZAMBRANO

Para deducir el segundo teorema, consideremos la siguiente viga simplemente

apoyada con carga arbitraria, como se muestra en la siguiente figura.

A x dx B

tA/B d

dt Diagrama de

Momentos

Ahora trazamos una tangente desde el punto B hacia la proyección vertical del

punto A. Esta distancia le llamamos tA/B.

Consideremos ahora un punto a una distancia x del punto A y segundo punto muy

junto a él a una distancia dx. La desviación bajo el punto A será dt.

Por trigonometría

Pero

Entonces

14 A. ZAMBRANO

Pero

es el momento del área elemental (M/EI)*dx multiplicada por el

brazo de palanca x respecto al punto A, entonces

(4)

La ecuación (4) representa el segundo teorema del área de momentos

Teorema 2: La desviación vertical de un punto A sobre la curva elástica con

respecto a la tangente extendida desde otro punto B es igual al momento del

área bajo el diagrama M/EI entre los dos puntos A y B con respecto al punto

A.

Para aplicar los teoremas de área de momentos 1 y 2 se requiere de seleccionar un

punto de referencia donde la pendiente sea cero.

Para las vigas simplemente apoyadas con sección transversal simétrica y con carga

simétrica, el punto de referencia es el centro, donde C = 0.

A B

C

C=0

15 A. ZAMBRANO

Para las vigas en cantiliver con cualquier distribución de carga, el punto de

referencia en el empotramiento, donde A=0.

A B

A=0

Para vigas simplemente apoyadas con sección asimétrica o con cargas asimétricas,

primero debe determinarse el punto donde la pendiente es cero y luego puede

calcularse la deflexión en cualquier punto.

16 A. ZAMBRANO

1.4. MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA

Este método fue desarrollado por Muller-Breslau en 1865. La base del método es

la semejanza entre las ecuaciones siguientes:

Integrando, se obtiene

Aquí, el cortante V se compara con la pendiente , y

el Momento M se compara con el desplazamiento y, y

la carga externa W se compara con el diagrama M/EI.

A continuación se presentan los teoremas de la viga conjugada.

Teorema 1: La pendiente en un punto de la viga real es numéricamente igual

al cortante en el correspondiente punto de la viga conjugada.

Teorema 2: El desplazamiento en un punto de la viga real es numéricamente

igual al momento en el correspondiente punto de la viga conjugada.

17 A. ZAMBRANO

TABLA DE APOYOS EQUIVALENTES

Viga real Viga conjugada

1

2

3

4

5

6

7

CRITERIO DE SIGNOS

La viga conjugada está cargada con el diagrama M/EI. Esta carga se supone que

está distribuida sobre la viga conjugada y está dirigida hacia arriba cuando M/EI

es positivo y hacia abajo cuando M/EI es negativo.