Afijación óptima de tamaños de muestra en muestreo ... · \medida de tamano"~ (Probabilidad...

$: Afijación óptima de tamaños de muestra en muestreo ... · \medida de tamano"~ (Probabilidad Proporcional al Tamano~ o P.P.T.). Dentro del diseno~ de muestreo se consideran diversas$
Afijacion detamanos demuestra enM.A.E. vıa

programacionmatematica

AlfonsoSanchez,Leonardo

Solanilla, JairoClavijo & Alex

Zambrano

Introduccion

Afijacionoptima para elM.A.E.univariado

InterpretaciongraficaMetodo deiteracion“Knapsack”EjemploAfijacionoptima conrestriccion depresupuesto

Afijacionoptima para elM.A.E.multivariado

InterpretaciongraficaAlgoritmoMejorado

Conclusiones

Referencias

Afijacion optima de tamanos de muestraen muestreo aleatorio estratificado

vıa programacion matematica

Alfonso Sanchez1

[email protected]

Leonardo Solanilla1

[email protected].

Jairo Alfonso Clavijo1

[email protected]

Alex Zambrano2

[email protected]

1Profesor asociado, Universidad del Tolima2Profesor catedratico, Universidad del Tolima





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Introduccion





Conclusiones

Referencias

Contenido

Introduccion

Afijacion optima para el M.A.E. univariadoInterpretacion graficaMetodo de iteracion “Knapsack”EjemploAfijacion optima con restriccion de presupuesto

Afijacion optima para el M.A.E. multivariadoInterpretacion graficaAlgoritmo Mejorado

Conclusiones

Referencias





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Conclusiones

Referencias

Tal como lo senala Arthanari & Dodge (1981, pp.216) enmacroeconomıa y microeconomıa se necesita establecerinformacion a traves de encuestas, enumeracion de individuos,. . . , etc.

La teorıa del muestreo ayuda a la seleccion de muestras de unapoblacion segun ciertos mecanismos probabilısticos. Lo massimple es asignar igual probabilidad a cada unidad de lapoblacion en la muestra (Muestreo Aleatorio Simple o M.A.S.).Se asocia con o sin reemplazo. Otra forma simple es asignarprobabilidades distintas con base en algun otro criterio en una“medida de tamano” (Probabilidad Proporcional al Tamano oP.P.T.).

Dentro del diseno de muestreo se consideran diversas manerasde seleccionar unidades. En este trabajo se mostrara unamanera diferente de calcular el tamano de muestra dentro deun muestreo aleatorio estratificado, usando para ello un criteriode optimizacion, lo que lo situa dentro del campo de laprogramacion matematica.





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Conclusiones

Referencias

ProblemaEl problema desde el punto de vista de la programacionmatematica puede plantearse como:

mın Costo de Encuesta.s. a. La perdida de precision quede dentro de ciertos lımites.

Una formulacion equivalente del problema 1 es la siguiente:

mın La perdida de precision.s. a. El costo se acomode a un presupuesto.

El anterior es un problema concreto de Afijacion Optima deTamanos de Muestra en M.A.E.





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Conclusiones

Referencias

Contenido

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Conclusiones

Referencias





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Conclusiones

Referencias

Sea U = {U1, U2, . . . , UL} una poblacion particionada ensubpoblaciones o estratos. Una caracterıstica de la poblacion seinfiere a partir de muestras de cada uno de los estratos.Sea Ni el numero de unidades del estrato i-esimo y∑L

i=1Ni = N donde L es el numero de estratos, N es elnumero de unidades en la poblacion, mientras que ni el tamanode la muestra del i-esimo estrato. Se asume que las muestras setoman independientemente en cada estrato.

El problema de afijacion optima es determinar los ni, elobjetivo es minimizar la varianza (ganar precision) delestimador de la caracterıstica bajo estudio, la restriccion es elnumero de unidades muestrales tomadas con el presupuestodisponible.





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Conclusiones

Referencias

Sea yest el estimador insesgado de la media poblacional Y , dela caracterıstica en estudio, dado por

yest =1N

L∑i=1

Niyi,

donde yi el estimador insesgado de la media Y i (en el estratoi-esimo), esto es,

yi =1ni

L∑h=1

yih,

Sea V (yest) = 1N2

∑Li=1N

2i V (yi) la varianza del estimador

anterior donde

V (yi) =1

Ni − 1

Ni∑h=1

(yih − Y i

)2( 1ni− 1Ni

)





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Conclusiones

Referencias

ProblemaEl problema 1 se puede formular como:

mın V (yest) =L∑

i=1

W 2i S

2i xi (Funcion Objetivo)

s. a.L∑

i=1

ni = n (Funcion Lineal) (R1)

ni ∈ Z+, 1 ≤ ni ≤ Ni, 1 ≤ i ≤ L (R2)

donde Wi = Ni

N , S2i = 1

Ni−1

∑Ni

h=1

(yih − Y i

)2y xi = 1

ni− 1

Ni.

La funcion objetivo no es lineal, si olvidamos (R2) podemosusar Multiplicadores de Lagrange.





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Conclusiones

Referencias

Sea

V (yi) =L∑

i=1

W 2i S

2i xi =

L∑i=1

aixi

=L∑

i=1

ai

ni−

L∑i=1

ai

Ni=

L∑i=1

ai

ni+ constante

donde ai = W 2i S

2i . Reescribiendo el problema 2 tenemos:

mınL∑

i=1

ai

ni= Z (Funcion Objetivo)

s.a.L∑

i=1

ni = n (R1)

ni ∈ Z+, 1 ≤ ni ≤ Ni, 1 ≤ i ≤ L (R2)





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Conclusiones

Referencias

Minimizar la V (yest) es equivalente a minimizar

f(n1, n2, . . . , nL) =L∑

i=1

ai

ni

con restriccion g(n1, n2, . . . , nL) = (∑L

i=1 ni − n) = 0.Por condicion de lagrange

∇f − λ∇g =(−a1

n21

,−a2

n22

, . . . ,−aL

n2L

)− λ1 = 0,

bajo la restriccion g(n1, n2, . . . , nL) = 0





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Conclusiones

Referencias

Tenemos:

−a1

n21

− λ = 0

−a2

n22

− λ = 0

...−aL

n2L

− λ = 0

n1 + n2 + . . .+ nL = n

Considerando λ negativo y solucionando las ecuacionestenemos:

ni =√ai√λ

=n√ai

L∑k=1

√ak





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Conclusiones

Referencias

Se puede presentar los siguientes problemas:

I n /∈ Z+, entonces, se redondea.I ni > Ni, entonces, aquı se tendrıa que redistribuir, ya

que se presenta un sobremuestreo.I ni < 1, entonces, tendrıamos que tomar como mınimo

una unidad en el estrato correspondiente.





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Conclusiones

Referencias

Contenido

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Conclusiones

Referencias





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Conclusiones

Referencias

Es util suponer que los ai > 0, 1 ≤ i ≤ L (es razonable). Deeste modo, la funcion objetivo Z es estrictamente convexa.Tomemos por facilidad L = 2 estratos.

n2

n11 n

1

N2

n

N1

n1 +

n2 =

na1

n1+ a2

n2= Z

�

n∗1

Figura: Region factible y funcion objetivo cuando unicamenteN2 es mas grande que n. Fuente: (Arthanari & Dodge 1981)





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Conclusiones

Referencias


mına1

n1+a2

n2= Z

s.a. n1 + n2 = n

ni ∈ Z+, 1 ≤ ni ≤ Ni, i = 1, 2

n2

n11 n

1

N2

n

N1

n1 +

n2 =

na1

n1+ a2

n2= Z

�

n∗1






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Introduccion





Conclusiones

Referencias


n2

n11 N1

1

N2

n

n

n1 +

n2 =

n

a1

n1+ a2

n2= Z

b

Figura: Region factible y funcion objetivo cuando N1 y N2 sonambos mas grandes que n. Fuente: (Arthanari & Dodge 1981)

n2

n11 n

1

N2

n

N1

n1 +

n2 =

na1

n1+ a2

n2= Z

�

n∗1






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Conclusiones

Referencias


n2

n11 n

1

N2

n

N1

n1 +

n2 =

na1

n1+ a2

n2= Z

�

n∗1






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Conclusiones

Referencias

Contenido

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Conclusiones

Referencias





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Conclusiones

Referencias

El metodo knapsack (que podrıamos traducir como metodo delmorral) es un metodo iterativo de programacion matematicaentera, el cual puede ser usado para resolver una funcionobjetivo no lineal con restricciones lineales como se presenta enel problema 2.Encontrar sucesivamente f(k, r), k maneja el estrato, es decir,1 ≤ k ≤ L. r maneja el tamano de la muestra en el estrato,0 ≤ r ≤ Ni, r ∈ Z+ ∪ {0}.Paso 1:

f(1, r) =

{mın

{a1n1

}s.a n1 = r, 1 ≤ n1 ≤ N1, n1 ∈ Z+

Solucion:

f(1, r) =

{a1r 1 ≤ r ≤ N1

∞ r < 1 o r > N1





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Conclusiones

Referencias

Paso 2:

f(2, r) =

{mın

{a1n1

+ a2n2

}s.a n1 + n2 = r, 1 ≤ ni ≤ Ni, i = 1, 2, ni ∈ Z+

Si fijamos n2, la funcion anterior se reduce a:

a2

n2+

{mın

{a1n1

}s.a n1 = r − n2, 1 ≤ n1 ≤ N1, n1 ∈ Z+

a2

n2+ f(1, r − n2)

Pero como n2 no es fijo

f(2, r) = mınn2=1,...,n

{a2

n2+ f(1, r − n2)

}





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Conclusiones

Referencias

Paso 3:

f(3, r) =

{mın

{a1n1

+ a2n2

+ a3n3

}s.a n1 + n2 + n3 = r, 1 ≤ ni ≤ Ni, i = 1, 2, 3, ni ∈ Z+

Si fijamos n3, la funcion anterior se reduce a:

a3

n3+

{mın

{a1n1

+ a2n2

}s.a n1 + n2 = r − n3, 1 ≤ n1 ≤ N1, 1 ≤ n2 ≤ N2, n1, n2 ∈ Z+

a3

n3+ f(2, r − n3)

Pero como n3 no es fijo

f(3, r) = mınn3=1,...,n

{a3

n3+ f(2, r − n3)

}





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Conclusiones

Referencias

etc. Si conocemos f(k, r) entonces:

f(k + 1, r) = mınnk+1=1,...,n

{ak+1

nk+1+ f(k, r − nk+1)

}Paso final (L-esima): Ubicamos el valor mınimo de f(L, r), elcual nos da nL. Del anterior (L-1)-esimo el valorf(L− 1, n− nL) nos da el nL−1. El (L-2)-esimo def(L− 2, n− nL − nL−1) nos da nL−2. Etc; ası hasta quefinalmente encontramos el optimo para n1.





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Conclusiones

Referencias

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Conclusiones

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Conclusiones

Referencias

La siguiente tabla tomada de Cochran (1977), muestra elnumero de habitantes (miles) de 64 grandes ciudades en losE.U. en el ano 1930. Las ciudades estan agrupadas en tresestratos.

Cuadro: Numeros de habitantes (en miles), para el ano 1930, en64 grandes ciudades de los E.U (por estrato)

1 2 390.0 57.8 36.4 30.8 25.3 19.5 13.9 14.0 16.382.2 48.7 31.7 27.2 23.2 18.3 17.0 11.9 11.678.1 44.2 32.8 28.4 26.0 16.3 15.0 13.0 12.280.5 45.1 30.2 25.5 29.2 20.1 14.3 12.7 13.467.0 45.9 28.8 27.0 14.7 11.3 10.0123.8 46.4 29.1 21.4 16.4 11.5 10.757.3 40.0 25.3 26.0 14.3 12.3 11.463.4 36.6 29.1 20.9 16.9 15.4 11.1





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Conclusiones

Referencias

Metodo de multiplicadores de lagrange

Los ni se calculan como sigue para una restriccion de 24muestras en total.

Estrato i Ni

∑Yi Y i S2

i Wi ai ni

1 16 1007.0 62.94 538.43 0.25 33.65 17.05

2 20 554.3 27.71 14.24 0.31 1.39 3.47

3 28 395.5 14.13 7.33 0.44 1.40 3.48

Total 64

Las soluciones redondeadas son 17, 3, 4. Hay un problema desobre muestreo.





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Conclusiones

Referencias

Aplicacion del metodo knapsack

Primero se calculan los f(1, r), para r = n1 factibles. Luegocalculamos f(2, r) y f(3, r) ası

Cuadro: f(k, r) para k = 1, 2, 3 y r = 1, . . . , 24

r f(1, r) n1 f(2, r) n2 f(3, r) n3

1 33.65 12 16.83 2 35.04 13 11.22 3 18.22 1 36.44 14 8.41 4 12.61 1 19.62 15 6.73 5 9.80 1 14.01 16 5.61 6 8.12 1 11.21 17 4.81 7 7.00 1 9.52 18 4.21 8 6.20 1 8.40 19 3.74 9 5.50 2 7.60 110 3.37 10 4.90 2 6.90 211 3.06 11 4.43 2 6.20 212 2.80 12 4.06 2 5.60 213 2.59 13 3.75 2 5.14 214 2.40 14 3.50 2 4.76 215 2.24 15 3.27 3 4.46 216 2.10 16 3.05 3 4.20 217 2.87 3 3.97 318 2.71 3 3.74 319 2.57 3 3.52 320 2.45 4 3.33 321 2.38 5 3.17 322 2.33 6 3.03 323 2.30 7 2.92 324 2.28 8 2.80 4





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Conclusiones

Referencias

Comparando la solucion obtenida estimamos la varianza dealgunos metodos

Cuadro: Comparacion de varianzas

Asignacion (n1, n2, n3) V (yest)

Metodo knapsack (16,4,4) 0.5841

Asignacion mediante lagrange (17,3,4) 0.5627

(M.A.S.) (8,8,8) 2.3410

Proporcional (6,8,10) 3.7127





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Conclusiones

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Conclusiones

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Conclusiones

Referencias

Supongamos que el costo de muestreo por unidad es diferenteen los distintos estratos. Sea ci el costo de una muestra en eli-esimo estrato. Sea C el presupuesto total disponible.

mın Z =L∑

i=1

ai

ni

s. a.L∑

i=1

cini = C

ni ∈ Z+, 1 ≤ ni ≤ Ni, 1 ≤ i ≤ L.





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Conclusiones

Referencias

ProblemaSimilarmente se puede plantear minimizando el costomanteniendo la perdida de precision dentro de “ciertos”lımites, es decir:

mın Z =L∑

i=1

cini = C

s. a.L∑

i=1

ai

ni≤ v

ni ∈ Z+, 1 ≤ ni ≤ Ni, 1 ≤ i ≤ L.





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Conclusiones

Referencias

Contenido

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Conclusiones

Referencias





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Conclusiones

Referencias

Suponemos p caracterısticas en estudio. Sea Yj la j-esimacaracterıstica estudiada, donde 1 ≤ j ≤ p, L numeros deestratos, Ni numeros de unidades en el i-esimo estrato, donde1 ≤ i ≤ L,

∑Li=1Ni = N numero total de unidades, ni numero

de unidades elegidas en el i-esimo estrato, 1 ≤ i ≤ L.Los datos tienen la siguiente forma yijh, donde i es el estrato, jes la observacion de la caracterıstica Yj , h es la unidad. Estedato se lee h-esima unidad en la j-esima caracterıstica en eli-esimo estrato.Sea yij el estimador insesgado de Y ij , tal que,

yij =1ni

ni∑h=1

yijh

Ası el estimador insesgado de Y j es:

yi(est) =1N

L∑i=1

Niyij , 1 ≤ j ≤ p





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Conclusiones

Referencias

Tal como antes se puede calcular la varianza para cadacaracterıstica:

Vj = V (yij(est)) =L∑

i=1

W 2i S

2ijxi,

con Wi = Ni

N ; S2ij = 1

Ni−1

∑Ni

h=1(yijh − Y ij)2, xi = 1ni− 1

Ni.

Sea Ci > 0 el costo del muestreo de las p caracterısticas en eli-esimo estrato, 1 ≤ i ≤ L, donde el costo total serıa:

Z =L∑

i=1

Cini





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Conclusiones

Referencias

ProblemaEl problema de asignacion puede plantearse como:

mınL∑

i=1

Cini (Funcion Objetivo Lineal)

s. a.L∑

i=1

aijxi ≤ vj , 1 ≤ j ≤ p. (Restriccion No Lineal)

0 ≤ xi ≤ 1− 1Ni, 1 ≤ i ≤ L,

1 ≤ ni ≤ Ni, ni ∈ Z

donde aij = W 2i S

2ij (aij , C > 0) y vj es el error permitido en

la j-esima caracterıstica, ademas es lineal.





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Conclusiones

Referencias

ProblemaIntroduciendo una nueva variable Xi = 1

ni, podemos reescribir

el problema anterior como:

mınL∑

i=1

Ci

Xi(Funcion Objetivo No Lineal)

s. a.L∑

i=1

aijXi ≤ bj , 1 ≤ j ≤ p (Restriccion Lineal)

1Ni≤ Xi ≤ 1, 1 ≤ i ≤ L

bj = vj +∑L

i=1 aij1

Ni, con ni ∈ Z.





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Conclusiones

Referencias

Observaciones al problema 5.

I Z es una funcion estrictamente convexa por que Ci

Xies

estrictamente convexo para Ci > 0 y 1 ≤ i ≤ L.

I Las restricciones del problema 5 proporcionan una regionfactible convexa acotada, formada por inecuacioneslineales.

I La solucion al problema de optimizacion ocurre en lafrontera de este convexo.

Entre algunos metodos para solucionar el problema 5 tenemos:

Simplex convexoDireccion factibleProyeccion del gradienteLinealizacion

+ errror

Estos metodos se utilizan con redondeo, y sin redondear seutiliza branch bound, el cual es la generalizacion del algoritmoknapsack para una sola caracterıstica.





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Conclusiones

Referencias

Contenido

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Conclusiones

Referencias





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Conclusiones

Referencias

Consideremos a L =# Estratos= 2

Problema

mın Z(X1, X2) =C1

X1+C2

X2(Funcion Convexa)

s. a. a11X1 + a12X2 ≤ b1 (1)a21X1 + a22X2 ≤ b2 (2)1Ni≤ Xi ≤ 1 i = 1, 2

Con 1X1, 1X2∈ Z para X1, X2 > 0





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Conclusiones

Referencias

X2

X11N1

1

1

11

N2

a11X

1 +a12X

2 ≤b1

a21 X

1 +a

22 X2 ≤

b2

C1

X1+ C2

X2

�

Figura: Funcion objetivo y region factible.

Fuente: (Arthanari & Dodge 1981)





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Conclusiones

Referencias

Para saber cual es la direccion de acercamiento, para ello, setienen las siguientes observaciones sobre las hiperbolas.

Z =C1

X1+C2

X2

=C1X2 + C2X1

X1X2

(X1 −C1

Z)(X2 −

C2

Z) =

C1C2

Z2(Hiperbola)

Lo que nos muestra una hiperbola para cada Z. Es mas estacentrada en (C1

Z , C2Z ) y es rectangular (no necesariamente

equilatero). Al aumentar Z el centro se acerca al origen.





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Conclusiones

Referencias

¿Como se mueve el centro de la hiperbola cuandovariamos Z 6= 0? Si utilizamos el siguiente lema tenemosuna forma de acercarnos.

Lema (De la Geometrıa Analıtica)

La rama positiva de la hiperbola(X1 − C1

Z

) (X2 − C2

Z

)= C1C2

Z2 para Z ∈ R fijo, tienevertice C1 +

√C1C2

Z︸︷︷︸ξ1

,C2 +

√C1C2

Z︸︷︷︸ξ2

Cuando Z varıa el vertice varıa sobre una recta que pasapor el origen ya que ξ2

ξ1= C2+

√C1C2

C1+√C1C2

= cte. La pendientede esta recta es diferente a la anterior por tanto va enotra direccion.





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Conclusiones

Referencias

Para obtener la asignacion optima debemos encontrar lahiperbola regular para algun valor Z, tal que, toque el limite dela region factible. Mirar figura 2. En general cuando tenemosL-estratos y la restriccion

∑Li=1 aijXi = bj , para 1 ≤ j ≤ p,

tenemos lo siguiente,

TeoremaEl punto de contacto del hiperplano

L∑i=1

aiXi = b (ai, b > 0),

con la funcion objetivo Z =∑L

i=1Ci

Xi, para cada Z fijo, es

X = (X1, . . . , XL) ∈ RL, donde

Xi =b√Ciai

ai

L∑j=1

√Cjaj





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Conclusiones

Referencias

Demostracion.Sea

f(X1, . . . , XL) =L∑

i=1

Ci

Xi, g(X1, . . . , Xl) =

L∑i=1

aiXi − b = 0

Mediante el metodo de Lagrange tenemos la condicion∇f − λ∇g = 0 para g = 0 y tomando la i-esima componentetenemos,

− Ci

X2i

+ λai = 0 1 ≤ i ≤ L,

despejando Xi y despejando de la restriccion√λ (con λ

negativo), tenemos,

Xi =√Ci

L∑i=1

√Ciai√ai

b

=b√Ciai

ai

L∑j=1

√Cjaj

.





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Conclusiones

Referencias

Lo primero que se intenta:

I Encontrar los puntos de contacto de Z con losp-hiperplanos.

I Escoger el punto de contacto que arroja el valor mınimo Z.

I Verificar que Xj que minimiza Z es factible.

I ni = 1Xi

, redondear si es necesario.

Este metodo no es factible cuando hay muchas caracterısticas ymuchos estratos (lo cual en la realidad muy pocas veces ocurre).





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Conclusiones

Referencias

Contenido

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Conclusiones

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Conclusiones

Referencias

Paso 0: Eliminar los hiperplanos que introducenrestricciones redundantes. Se miran los interceptos( b1a1j

, . . . ,bjaLj

)

X2

X1b3a13

b1a11

b2a12

b1a21

b2a22

b3a23

H3H2

H1

�





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Conclusiones

Referencias

Paso 1: Sean q condiciones no redundantes. Se construyeuna tabla

j Xj = (X1j , X2j , . . . , XLj): Contacto Total nj =L∑

i=1

1Xji

1 X1 = (X11, X21, . . . , XL1) Total n1

2 X2 = (X12, X22, . . . , XL2) Total n2

3 X3 = (X13, X23, . . . , XL3) Total n3

......

...

q Xq = (X1q, X2q, . . . , XLq) Total nq





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Conclusiones

Referencias

Paso 2: Se llama j∗, al ındice que produce el total njmayor. Si Xj∗ es factible, entonces redondear y esa es lasolucion.Si Xj∗ tiene una componente que no es factible entoncesfijar.

Xj∗i ={

1Ni

o 1 i: tenga el problema

se elimina el estrato y se repite los pasos con las restantes.





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Conclusiones

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Contenido

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Conclusiones

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Conclusiones

Referencias

Conclusiones

1. La solucion proporcionada a la estimacion demuestras en M.A.E., por medio de programacionmatematica concuerda con la solucion dada porCochran.

2. El metodo propuesto tiene limitaciones cuando sepresentan problemas de sobremuestreo, no obstante elalgoritmo knapsack elimina este tipo de situaciones.

3. La tecnica de programacion matematica no estima eltamano muestral sino que afija el tamano de lamuestra dentro de cada estrato, a traves del costo.





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Conclusiones

Referencias

Contenido

Introduccion



Conclusiones

Referencias





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Conclusiones

Referencias

Arthanari, T. S. & Dodge, Yadolah. (1981),Mathematical Programming in Statistics, John Wiley& Sons, Inc., Canada.

Cochran, W. G. (1977), Sampling Techniques, 3 edn,Wiley, New York.

Collatz, L. & Wetterling W. (1975), OptimizationProblems, Springer – Verlag, New York.

Hartly, H. O. & Rao, J. N. K. (1968), ‘A NewEstimation Theory for Sample Surveys’, Biometrika55(547).

Rustagi, Jagdish S. (1994), Optimization Techniquesin Statistics, Academic Press, Inc., New York.

Wolfe P. (1959), ‘The Simple Method for QuadraticProgramming’, Econometrica.

Afijación óptima de tamaños de muestra en muestreo ... · \medida de tamano"~ (Probabilidad...

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