AGC S CENTRALIZADOS Y EN CASCADA - IIT Comillasen Cascada”, X Congreso Luso Español de...

Proyecto Fin de Carrera

AGCS CENTRALIZADOS Y EN CASCADA

Alumno: Álvaro Fernández García-Fraile

Director: Luis Rouco Rodríguez

i

RESUMEN

La misión del control frecuencia-potencia en los sistemas interconectados es el

mantenimiento de la frecuencia y de los intercambios con los sistemas vecinos ante

variaciones de la generación o la demanda. El control frecuencia-potencia se realiza

por medio de dos lazos de control anidados que actúan en diferentes escalas de

tiempo: el control primario realizado por los reguladores carga-velocidad de los

grupos generadores y el control secundario realizado por el control automático de

generación (Automatic Generation Control, AGC, en la literatura técnica en inglés).

El control frecuencia-potencia secundario tiene por misión eliminar los errores de

frecuencia y de intercambio que quedan en el sistema tras la actuación del control

frecuencia-potencia primario.

Cuando un sistema está interconectado con varios sistemas, el control frecuencia-

potencia secundario controla el error del intercambio neto con todos los sistemas. Sin

embargo, cuando la conexión de los sistemas es radial y el tamaño es muy diferente,

entonces el control frecuencia-potencia secundario puede controlar sólo el

intercambio con el sistema más grande. Un ejemplo, puede ayudar a comprender

mejor este caso. El sistema peninsular español está conectado con Francia, Portugal y

Marruecos. En la configuración estándar del AGC, que denominaremos centralizado

en este documento, el AGC del sistema español controlaría el intercambio neto con

Francia, Portugal y Marruecos. Sin embargo, debido al tamaño de los sistemas

portugués y marroquí y a que sólo el sistema español está conectado con el sistema

francés, el AGC español sólo controla el intercambio con Francia. Por otra parte, los

AGC portugués y marroquí sólo controlan sus respectivos intercambios con el

sistema español (las desviaciones de los intercambios de los sistemas portugués y

marroquí con el sistema español son perturbaciones en la demanda del sistema

español). Además, el intercambio entre los sistemas español y francés sólo es

controlado por el AGC español (la desviación del intercambio entre el sistema

español y francés es una perturbación en la demanda del sistema francés). Esta

configuración de los AGC se denomina en cascada.

ii

Este proyecto compara el comportamiento de los AGCs centralizados y en cascada

en el caso de la implantación de un AGC en el sistema interconectado del norte de

África formado por Marruecos, Argelia y Túnez conectado a la UCTE a través del

sistema español. Para ello se han desarrollado modelos de simulación que reflejen los

aspectos fundamentales del comportamiento de la respuesta de los controles

frecuencia-potencia primario y secundario y que permita implantar fácilmente AGCs

centralizados y en cascada en sistemas de diferentes tamaño.

Se ha comprobado que tanto los sistemas con AGCs centralizados como con AGCs

en cascada son estables. También se ha analizado las respuestas lineal y no lineal. La

respuesta no-lineal aparece cuando se tiene en cuenta la limitación de reserva en cada

área. Ambos esquemas (AGCs centralizados y en cascada) ofrecen ventajas e

inconvenientes. En caso de que se preste atención a la respuesta lineal, los AGCs

centralizados son superiores. Por el contrario, si presta atención a la respuesta no

lineal, los AGCs en cascada son superiores.

Algunos resultados de este proyecto están recogidos en la ponencia:

A. Fernández y L. Rouco, “Comparación de la Respuesta de AGCs Centralizados y

en Cascada”, X Congreso Luso Español de Ingeniería Eléctrica que se celebrará en

Funchal (Madeira) entre los días 5 y 7 de julio de 2007.

i

ABSTRACT

The mission of the load-frequency control in interconnected systems is to keep

frequency and power interchanges with adjacent systems in their set-point values,

when deviations between production and consumption occur. The load-frequency

control is accomplished by two nested control loops that operate in two different time

scales: the primary control performed by the load-frequency regulators of the

generators groups, and the secondary control performed by the Automatic Generation

Control (AGC). The function of the secondary control is to eliminate frequency and

power interchanges errors that remain in the system after the deployment of the

primary control.

When a system is interconnected with several systems, secondary control handles the

power interchange error with the rest of the systems. However, when there is a radial

connection between systems and the size of the systems is very different, then the

secondary control can only handle the power interchange error with the biggest

system. An example can be used to easily understand this case. The Spanish

peninsular system is connected with France, Portugal and Morocco. In the standard

configuration of the AGC, which will be designated as centralized in this document,

the Spanish system AGC would control the net power interchange with France,

Portugal and Morocco. However, due to the size of the Portuguese and Moroccan

systems and since the Spanish system is only interconnected to the French system,

the Spanish system only controls the power interchange with France. On the other

hand, the Portuguese and Moroccan AGCs only control their own power interchange

with the Spanish system (Portuguese and Moroccan systems power interchange

deviations are considered load perturbations by the Spanish system). In addition, the

power interchange between the Spanish and French systems is only controlled by the

Spanish AGC (the power interchange deviation between the Spanish and French

systems is considered as a load perturbation by the French system). This

configuration of the AGC is designated as cascade.

This project compares the behaviour between centralized and cascade AGCs in the

event of the implantation of an AGC in the interconnected system of northern Africa

ii

(formed by Morocco, Algeria and Tunisia) which is connected with the UCTE

through the Spanish system. To that end, simulation models have been developed in

order to capture the fundamental aspects of the primary and secondary control

response behaviour, and also that allow an easy implantation of centralized and

cascade AGCs in different size systems.

It has been checked that both centralized and cascade AGCs are stable. The linear

and non-lineal responses have been also analyzed. The non-linear response appears

when the power reserve limitation is considered in each area. Both configurations

(centralized and cascade AGCs) offer advantages and disadvantages. If we are

looking at the linear response, centralized AGCs are superior. However, if we are

looking at the non-linear response, cascade AGCs are better than centralized AGCs.

Some of the results of this project are gathered in the paper:


en Cascada”, 10th Portuguese-Spanish Congress in Electrical Engineering to be held

in Funchal (Madeira) from 5th-7th July 2007.

iii

ÍNDICE

1 Introducción........................................................................................................................ 1

1.1 El tema del proyecto................................................................................................ 1

1.2 Objetivos del proyecto ........................................................................................... 2

1.3 Organización del proyecto..................................................................................... 2

2 Sistemas dinámicos............................................................................................................ 4

2.1 Representación en función de transferencia ...................................................... 4

2.1.1 Modelos no lineales y lineales....................................................................... 4

2.1.2 Transformada de Laplace............................................................................... 5

2.1.3 Polos, ceros y residuos .................................................................................. 6

2.2 Representación en espacio de estado.................................................................. 8

2.2.1 Modelos no lineales y lineales....................................................................... 8

2.2.2 Autovalores y autovectores.......................................................................... 9

2.2.3 Residuos ..........................................................................................................11

2.2.4 Sensibilidades..................................................................................................13

2.2.5 Factores de participación.............................................................................13

3 Control frecuencia-potencia .........................................................................................15

3.1 Control frecuencia-potencia primario...............................................................17

3.1.1 Modelo del generador..................................................................................17

3.1.2 Modelo de la carga ........................................................................................19

3.1.3 Modelo conjunto del generador y de la carga ........................................20

3.1.4 Regulador de velocidad................................................................................23

3.1.5 Regulador de carga-velocidad.....................................................................24

iv

3.1.6 Modelos y respuesta de turbinas hidráulicas y de vapor y sus

reguladores de velocidad ...............................................................................................31

3.2 Control frecuencia-potencia secundario...........................................................37

3.2.1 Control frecuencia-potencia secundario en un área .............................37

3.2.2 Control frecuencia-potencia secundario en dos áreas interconectadas

...........................................................................................................................40

3.2.3 Control de frecuencia ..................................................................................46

3.2.4 Control de potencia de intercambio con sesgo (bias) de frecuencia 51

3.3 Control frecuencia-potencia terciario ...............................................................56

4 Estabilidad de pequeña perturbación ..........................................................................58

4.1 Modelos no lineales................................................................................................59

4.1.1 Generador conectado a un nudo de potencia infinita ..........................59

4.1.2 Sistema multimáquina ...................................................................................63

4.2 Modelos lineales......................................................................................................66

4.2.1 Generador conectado a un nudo de potencia infinita ..........................66

4.2.2 Sistema multimáquina ...................................................................................68

4.3 Amortiguamiento de oscilaciones electromecánicas de generadores

síncronos................................................................................................................................69

5 Modelos para el estudio de AGCs centralizados y en cascada .............................71

5.1 Modelo de las áreas interconectadas.................................................................71

5.1.1 Dinámica de frecuencia ................................................................................71

5.1.2 Amortiguamiento de la dinámica del rotor de los generadores.........72

5.1.3 Regulación primaria.......................................................................................73

5.1.4 Regulación secundaria ..................................................................................75

5.2 Modelo de la red de interconexión....................................................................76

v

5.3 Modelo completo del sistema..............................................................................77

6 Métodos de estudio de AGCs centralizados y en cascada ....................................78

6.1 Estabilidad.................................................................................................................78

6.1.1 Dinámica de frecuencia ................................................................................78

6.1.2 Amortiguamiento de la dinámica del rotor de los generadores.........78

6.1.3 Regulación primaria.......................................................................................79

6.1.4 Regulación secundaria ..................................................................................80

6.1.5 Modelo completo del área ..........................................................................81

6.1.6 Modelo completo del sistema ....................................................................83

6.2 Régimen permanente.............................................................................................84

6.3 Simulación no lineal................................................................................................85

7 Resultados numéricos.....................................................................................................88

7.1 Sistema de cuatro áreas ........................................................................................88

7.1.1 Descripción del sistema ...............................................................................88

7.1.2 Análisis de estabilidad...................................................................................89

7.1.3 Análisis en régimen permanente ................................................................95

7.1.4 Simulación lineal.............................................................................................97

7.1.5 Simulación no-lineal ....................................................................................102

7.2 Sistema de seis áreas ...........................................................................................104

7.2.1 Simulación lineal...........................................................................................106

7.2.2 Simulación no-lineal ....................................................................................109

8 Conclusiones ..................................................................................................................113

9 Referencias bibliográficas .............................................................................................115

10 Anexo ..........................................................................................................................116

1

1 INTRODUCCIÓN

Este capítulo presenta el tema del proyecto. Detalla sus objetivos y su organización.

1.1 El tema del proyecto

El tema del proyecto es el control frecuencia-potencia de sistemas de energía

eléctrica.

El control frecuencia-potencia en los sistemas interconectados tiene por misión el

mantenimiento de la frecuencia y de los intercambios en sus valores programados. El

control frecuencia-potencia se realiza en tres lazos de control anidados: primario

(automático a nivel de unidad generadora), secundario (automático a nivel de área de

intercambio) y terciario (manual a nivel de área de intercambio). El control primario

es realizado por los reguladores de carga-velocidad de los grupos y el control

secundario es realizado por los reguladores del denominado control automático de

generación (Automatic Generation Control, AGC, en la literatura técnica en inglés).

En los sistemas de control automático de generación AGCs centralizados cada área

controla la frecuencia y el balance de potencia de intercambio con todas las áreas

vecinas.

En los denominados AGCs en cascada, cada área controla la frecuencia y la potencia

de intercambio con ciertas áreas. Típicamente, se trata de controlar el intercambio

con las áreas de mayor tamaño. Las variaciones del intercambio con las áreas de

menor tamaño son tratadas como variaciones de demanda de área.

Un ejemplo, puede ayudar a comprender mejor este caso. El sistema peninsular

español está conectado con Francia, Portugal y Marruecos. En la configuración

centralizada del AGC, el AGC del sistema español controlaría el intercambio neto

con Francia, Portugal y Marruecos. Sin embargo, debido al tamaño de los sistemas

portugués y marroquí y a que sólo el sistema español está conectado con el sistema

francés, el AGC español sólo controla el intercambio con Francia. Por otra parte, los

AGC portugués y marroquí sólo controlan sus respectivos intercambios con el

sistema español (las desviaciones de los intercambios de los sistemas portugués y

2

marroquí con el sistema español son perturbaciones en la demanda del sistema

español). Además, el intercambio entre los sistemas español y francés sólo es

controlado por el AGC español (la desviación del intercambio entre el sistema

español y francés es una perturbación en la demanda del sistema francés). Esta

configuración de los AGC se denomina en cascada.

1.2 Objetivos del proyecto

El objetivo del presente proyecto es el análisis del funcionamiento de AGCs en

cascada. El análisis del funcionamiento de AGCs en cascada requiere el desarrollo de

modelos apropiados y de la comparación de su comportamiento con los AGCs

centralizados.

De forma más precisa, son objeto de estudio los siguientes aspectos:

• Estabilidad.

• Funcionamiento en régimen permanente.

• Funcionamiento en régimen transitorio.

Este proyecto estudiará el comportamiento de los AGCs centralizados y en cascada

en el caso de la implantación de un AGC en el sistema interconectado del norte de

África formado por Marruecos, Argelia y Túnez conectado a la UCTE a través del

sistema español. También estudiará ambas configuraciones en el caso de la conexión

del sistema peninsular español a Francia, Portugal y Marruecos.

1.3 Organización del proyecto

Este proyecto contiene otros seis capítulos:

El capítulo 2 introduce los conceptos fundamentales de los sistemas dinámicos.

El capítulo 3 ofrece una panorámica de la regulación frecuencia-potencia en sistemas

de energía eléctrica.

El capítulo 4 introduce el problema de la estabilidad de pequeña perturbación de

sistemas de energía eléctrica.

3

El capítulo 5 proporciona los modelos para el estudio de los AGCs centralizados y en

cascada.

El capítulo 6 proporciona los métodos para el estudio de los AGCs centralizados y en

cascada.

El capítulo 7 detalla los resultados numéricos.

El capítulo 8 ofrece las conclusiones del proyecto.

El capítulo 9 contiene las referencias bibliográficas.

4

2 SISTEMAS DINÁMICOS

Este capítulo presenta los conceptos fundamentales del análisis de sistemas

dinámicos. Se detallan las representaciones en función de transferencia y la

representación en espacio de estado, también denominadas representaciones externa

e interna respectivamente.

2.1 Representación en función de transferencia

Esta sección explica los conceptos fundamentales de la representación en función de

transferencia de sistemas dinámicos.

2.1.1 Modelos no lineales y lineales

Sea un sistema dinámico descrito por una ecuación diferencial no lineal de orden n

de la forma:

=

−

−

−

−

udt

du

dt

ud

dt

udgy

dt

dy

dt

yd

dt

ydf m

m

m

m

n

n

n

n

,,,,,,,, 1

1

1

1

⋯⋯ (2.1)

donde y es la salida y u es la entrada.

El estudio de la estabilidad de los sistemas dinámicos lineales es un problema muy

difícil. Sin embargo, se han desarrollado técnicas muy potentes para el análisis de la

estabilidad de sistemas dinámicos lineales, y lo que es más importante, para el diseño

de sistemas de control que hagan que el sistema dinámico considerado se comporte

según lo deseado.

La linealización de una función no lineal

( )xfy = (2.2)

alrededor de un punto ( )00 xfy = consiste en aproximarla por el primer término del

desarrollo en serie de Taylor. En efecto el desarrollo en serie de Taylor de la función

( )xfy = alrededor del punto ( )00 xfy = es

( ) ( ) ( ) ( ) …+−+−+= 2

02

2

00 xxdx

xfdxx

dx

xdfyy

5

y su aproximación lineal es

( )

ydx

xdfy ∆=∆ (2.3)

donde:

0

0

y y y

x x x

∆ = −∆ = −

Si el sistema dinámico descrito por la ecuación diferencial no lineal de orden n (2.1)

se linealiza alrededor del punto de funcionamiento se obtiene la ecuación diferencial

lineal de orden n:

ubdt

udb

dt

udb

dt

udb

yadt

yda

dt

yda

dt

yda

m

m

nm

m

n

n

n

nn

n

n

∆+∆++∆+∆

=∆+∆++∆+∆

−

−

−

−

−

−

011

1

1

011

1

1

⋯

⋯

(2.4)

2.1.2 Transformada de Laplace

La solución de ecuaciones diferenciales lineales se realizar por diferentes métodos.

Cuando se considera la denominada representación externa de sistemas dinámicos se

utiliza la transformada de Laplace.

La transformada se define como:

( ) ( )0

stL F t F t e dt−

∞ −= ∫

La transformada de Laplace tiene las siguientes propiedades:

( ) ( ) L KF t KL F t=

( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2L F t F t L F t L F t+ = +

( ) ( ) ( )0

dF tL sF s F

dt−

= −

( ) ( ) ( ) ( )

22

20 0

d F tL s F s sF F

dt− − ′= − −

6

( ) ( )0

1t

L F t dt F ss−

= ∫

Los teoremas del valor inicial y del valor final son respectivamente:

( ) ( )0 lims

F sF s+

→∞=

( ) ( )0

lims

F sF s→

∞ =

La transformada de Laplace de algunas funciones elementales es:

( ) 1L tδ =

( ) 11L t

s=

L K K=

1atL es a

− =+

2 2senL t

s

ωωω

=+

2 2cos

sL t

sω

ω=

+

2

22 22

sen 121

ntn nn

n n

L e ts s

ζωω ωω ζζω ωζ

− − = + +−

( )2

2 22

2

sen 121

1arctg

ntnn

n n

sL e t

s sζωω ω ζ φ

ζω ωζ

ζφζ

− − − = + +−

−=

2.1.3 Polos, ceros y residuos

La transformada de Laplace de la ecuación diferencial lineal de orden n (2.4) es:

7

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )subsusbsusbsusb

syasysasysasysam

mm

m

nn

nn

∆+∆++∆+∆

=∆+∆++∆+∆−

−

−−

011

1

011

1

⋯

⋯ (2.5)

o también:

( ) ( )( ) ( )subsbsbsb

syasasasam

mm

m

nn

nn

∆++++

=∆++++−

−

−−

011

1

011

1

⋯

⋯

La relación entre la transformada de la variable salida ( )sy∆ y la transformada de la

variable de entrada ( )su∆ se denomina función de transferencia:

( )( )

( )( )sD

sN

asasasa

bsbsbsb

su

syn

nn

n

mm

mm =

++++++++=

∆∆

−−

−−

011

1

011

1

⋯

⋯ (2.6)

Considérese la descomposición en raíces simples de los polinomios numerador ( )sN

y denominador ( )sD de la función de transferencia:

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( )∏

∏

=

=

−

−=

−−−−==

∆∆

n

ii

m

ii

n

m

ps

zs

psps

zszs

sD

sN

su

sy

1

1

1

1

⋯

⋯ (2.7)

Las raíces del polinomio numerador iz se denominan ceros y las raíces del

polinomio denominador ip se denominan polos.

La solución de la ecuación diferencial (2.4) requiere el cálculo de la antitransformada

de Laplace.

Para ello, es preciso realizar la descomposición en fracciones simples de la función

de transferencia

( )( )

( )

( ) ( )∑∏

∏=

=

=

−=

−

−=

∆∆ n

i i

in

ii

m

ii

ps

R

ps

zs

su

sy

1

1

1 (2.8)

donde iR es el residuo de la función de transferencia correspondiente al polo ip y

que se calcula como:

8

( )( ) ( )i

psi ps

sD

sNR

i

−=→lim

La solución de la ecuación diferencial se obtiene finalmente como:

( ) ( ) ( ) ( )1 1

1

i

np ti

ii i

Ry t L y s L u s R e

s p− −

=

∆ = ∆ = ∆ = − ∑

La estabilidad del sistema está gobernada por los polos de la función de

transferencia:

( )( ) ( )

1 1

1

i

np ti

ii i

y s RL L R e

u s s p− −

=

∆ = = ∆ − ∑

2.2 Representación en espacio de estado

Esta sección explica los conceptos fundamentales de la representación en función de

transferencia de sistemas dinámicos.

2.2.1 Modelos no lineales y lineales

Se considera un sistema dinámico descrito por ecuaciones diferenciales no lineales

escritas de forma explícita (las derivadas de las variables de estado dependen sólo de

las variables de estado x y de la variable de entrada u ):

( )

1

,N

u×

=

∈ℜ

x F x

x

ɺ (2.9)

Si el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (2.9) se linealizan alrededor del

punto de trabajo ,u u= =0 0x x , resulta:

( ) ( )

0 0, ,u u u u

uu

u

∂ ∂∂ ∂

= = = =

∆ = + ∆

= ∆ + ∆0 0x x x x

F x F xx

x

A x b

ɺ (2.10)

donde:

1

0 0

,

,

N N N

u u u

× ×∈ℜ ∈ℜ∆ = − ∆ = −A b

x x x

9

La solución del sistema de ecuaciones diferenciales lineales tiene dos componentes:

la solución homogénea y la solución particular de la completa.

La solución homogénea es la solución que corresponde a entrada nula y condiciones

iniciales no nulas. La solución particular de la completa es la solución que

corresponde a condiciones iniciales nulas y entrada no nula.

La solución del sistema de ecuaciones diferenciales (2.10) se puede expresar en

términos de la exponencial de la matriz de estado A de acuerdo con la expresión:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

00

tt t th p t

t t t e t e u dτ τ τ− −∆ = ∆ + ∆ = ∆ + ∆∫A Ax x x x b (2.11)

La exponencial de la matriz de estado A se puede calcular usando el desarrollo en

serie de Taylor:

! !

te t t= + + +A A AI

2

2

1 2⋯

Sin embargo, este método no es siempre numéricamente robusto. Una solución

numéricamente robusta y llena de sentido físico se puede obtener en términos de los

autovalores y autovectores de la matriz de estado.

2.2.2 Autovalores y autovectores

Una alternativa llena de significado físico está basada en los autovalores y

autovectores de la matriz de estado A . Un autovalor iλ de la matriz de estado A y

los correspondientes autovectores derecho iv e izquierdo iw asociados se definen

como:

i i iλ=Av v (2.12)

T Ti i iλ=w A w (2.13)

El estudio de las ecuaciones (2.12) y (2.13) indica que los autovalores derecho e

izquierdo no están determinados de forma única (éstos se calculan como la solución

de un sistema lineal de N ecuaciones y N+1 incógnitas). Una forma de eliminar el

grado de libertad es introducir la normalización:

10

Ti i =w v 1 (2.14)

En el caso de N autovalores distintos, las ecuaciones (2.12)-(2.14) se pueden escribir

juntas para todos los autovalores en forma matricial:

[ ] [ ]

[ ]

1

1 1

1 1 1

1

1

0

0

0

0

1 0

0 1

N N

N

T T

T TN N N

T

NTN

λ

λ

λ

λ

=

=

=

A v v v v

w w

A

w w

w

v v

w

⋯

⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

⋯

⋯

⋮ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

(2.15)

o en forma más compacta como:

===

AV V

WA W

WV I

ΛΛΛΛΛΛΛΛ (2.16)

donde ΛΛΛΛ , V y W son respectivamente las matrices de los autovalores y los

autovectores derechos e izquierdos:

[ ]N

N

T

TN

λ

λ

=

=

V v v

w

W

w

1

1

1

⋱

⋯

⋮

Λ =Λ =Λ =Λ =

Si la exponencial de la matriz de estado teA se expresa en términos de los

autovalores y de los autovectores derechos e izquierdos de la matriz de estados A ,

resulta:

11

! !

! !

t

t

e t t

t t e

= + + +

= + + + =

A V W V WVW

V I W V W

2

2

2

2

1 2

1 2

⋯

⋯ΛΛΛΛ

Λ ΛΛ ΛΛ ΛΛ Λ

Λ ΛΛ ΛΛ ΛΛ Λ (2.17)

La solución (2.11) del sistema de ecuaciones diferenciales (2.10) en términos de los

autovalores y autovectores de una matriz:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

00

tt t t

tt e t e u dτ τ τ− −∆ = ∆ + ∆∫

Λ Λx V W x V Wb (2.18)

Por otra parte, la solución homogénea (2.10) del sistema de ecuaciones diferenciales

lineales (2.10) se puede expresar en términos de los autovalores y de los autovectores

derechos e izquierdos de la matriz de estados A como:

( ) ( ) ( )0 01

i

Ntt T

i ihi

t e t e tλ

=

∆ = ∆ = ∆ ∑x V W x v w xΛΛΛΛ (2.19)

El estudio de la ecuación (2.19) permite obtener las siguientes conclusiones La

respuesta del sistema se expresa como una combinación de la respuesta del sistema

para N modos.

• Los autovalores de la matriz de estado A determinan la estabilidad del

sistema. Un autovalor real negativo (positivo) indica un comportamiento

exponencial decreciente (creciente). Un autovalor complejo con parte real

negativa (positiva) indica un comportamiento oscilatorio decreciente

(creciente).

• Los componentes del autovector derecho iv indican la actividad relativa de

cada variable en el modo i-ésimo.

• Las componentes de autovector izquierdo iw pesa las condiciones iniciales en

el modo i-ésimo.

2.2.3 Residuos

Considérese que se define en el sistema una variable de salida y . Entonces la

descripción del sistema queda en la forma:

12

( ) ( ) ( )( ) ( )t t u t

y t t

∆ = ∆ + ∆

∆ = ∆

x A x b

c x

ɺ (2.20)

La función de transferencia expresada en términos de los polos y los residuos queda:

( )( ) ( ) 1

1

Ni

i i

y s Rs

u s s p

−

=

∆= − =

∆ −∑c I A b (2.21)

La función de transferencia (2.21) también se puede expresar en términos de los

autovalores y autovectores de la matriz de estados como:

( )( ) ( ) 1

1

TNi i

i i

y ss

u s s λ−

=

∆= − =

∆ −∑cv w b

cV I Λ Wb (2.22)

Por tanto los autovalores son los polos de cualquier función de transferencia que se

pueda considerar i ip λ= y los residuos se puedan calcular en términos de los

autovectores derechos e izquierdos como:

Ti i iR = cv w b (2.23)

Los residuos se pueden descomponer en términos de los factores de observabilidad y

controlabilidad modal. En efecto, si se considera la transformación:

=

=cx Vξ

ξ Wx

La ecuación (2.20) resulta:

( ) ( ) ( )( ) ( )t t u t

y t t

∆ = ∆ + ∆

∆ = ∆

ξ Λ ξ bW

cV ξ

ɺ

o también::

( ) ( ) ( )( ) ( ) 1, ,

Ti i i i

i i

t t u ti N

y t t

ξ λ ξξ

∆ = ∆ + ∆ =∆ = ∆

bw

cv

ɺ

… (2.24)

De donde se deducen los factores modales de observabilidad y controlabilidad:

,i y ic ∆ = cv

13

,T

i u ib ∆ = bw

2.2.4 Sensibilidades

La sensibilidad del autovalor iλ con relación a un parámetro q de la matriz de

estados se puede calcular como:

( )Ti

i i

q

q q

λ ∂∂ =∂ ∂

Aw v

Si el parámetro es un elemento diagonal de la matriz de estados jja , la sensibilidad

del autovalor iλ resulta:

iij ji

jj

w va

λ∂ =∂

2.2.5 Factores de participación

El factor de participación de la variable j-ésima en el modo i-ésimo se define como el

producto de las componentes j-ésimas del autovector derecho jiv e izquierdo jiw en

el modo i-ésimo:

ji ji jip w v=

El factor de participación de una variable en un modo es una magnitud adimensional.

En otras palabras, es independiente de las unidades de las variables de estado.

Además, como resultado de la normalización adoptada (1.6), la suma de los factores

de participación de todas las variables en un modo y la suma de los factores de

participación de todos los modos en una variable son igual a la unidad.

N N

ji jij i

p p= =

= =∑ ∑1 1

1

Muchos sistemas dinámicos resultan de la interconexión de subsistemas dinámicos.

La participación del subsistema es una herramienta útil en este entorno. La

participación del subsistema se define como la suma de los factores de participación

de las variables que describen el subsistema dinámico.

14

Si jij S

p p∈

=∑

Uno de los valores de la participación del subsistema viene del hecho de que es

independiente de la selección de las variables de estado para modelar el subsistema.

En otras palabras, es invariante con respecto a las transformaciones que sólo afectan

a las variables del sistema.

15

3 CONTROL FRECUENCIA-POTENCIA

La misión fundamental del control frecuencia-potencia es mantener constante la

frecuencia del sistema. La frecuencia del sistema es resultado de la velocidad de los

generadores: si la velocidad de los generadores es constante entonces la frecuencia

del sistema será constante. La frecuencia del sistema es una medida del equilibrio

entre potencia generada y potencia consumida.

La frecuencia es una magnitud de la tensión de cada nudo de la red. Es la velocidad

de giro del fasor. Sin embargo, como las velocidades de giro de los fasores de las

tensiones de nudo en una red fuertemente interconectada son similares se suele

hablar de la frecuencia del sistema. También se habla de la frecuencia del sistema

como la velocidad de giro del centro de masas del sistema.

El control frecuencia-potencia tiene tres lazos que actúan en tres escalas de tiempo:

• Primario.

• Secundario.

• Terciario.

Cuando se produce una variación de la frecuencia, consecuencia de una variación de

la generación o de la carga, el primer lazo en actuar (en segundos) es el control

primario por medio de los reguladores de carga-velocidad de los generadores. El

objetivo de este lazo de control es conseguir, tras una perturbación, la igualdad

generación-demanda minimizando el desvío de frecuencia. Dicha igualdad se

recupera gracias a la existencia de una reserva primaria (a subir y a bajar),

movilizada por el sistema de control. La actuación del control primario deja un error

en la frecuencia que es corregido por la actuación de la regulación secundaria (en

decenas de segundos).

Cuando el sistema eléctrico está interconectado con otros sistemas vecinos, el control

secundario no sólo tiene por misión eliminar el error de frecuencia dejado por la

regulación primaria sino también el error de las potencias de intercambio con los

sistemas vecinos. Ello se logra con un regulador integral que tiene por misión anular

el denominado error de control de área (Area Control Error, ACE, en la literatura

16

técnica en inglés). Cada uno de los sistemas interconectados cuyos intercambios se

quieren mantener se denominan áreas. Por tanto, la función del control secundario es,

tras la actuación del control primario, recuperar de forma automática la frecuencia

nominal del sistema y los intercambios movilizando la reserva secundaria del

sistema, lo que conduce a recuperar la reserva primaria. La regulación secundaria

también se conoce como Control Automático de la Generación (Automatic

Generation Control, AGC, también en la literatura técnica en inglés).

El control terciario tiene dos misiones: actualizar el reparto del esfuerzo de

regulación secundaria atendiendo a criterios económicos y recuperar la reserva

secundaria, manteniendo los márgenes de regulación secundaria de las unidades e

incorporando, en caso necesario, nuevas unidades conforme se agotan los márgenes

de las unidades en regulación. En general, la actuación de la regulación terciaria es lo

suficientemente lenta (10 - 15 minutos) como para permitir que sea un lazo de

regulación de actuación manual.

La regulación secundaria dentro de un área se puede implantar según múltiples

modelos, siendo posible distinguir tres formas básicas:

• Centralizada: el área se constituye como una única zona de regulación. Existe

un solo regulador en el área que realiza las acciones necesarias y que controla

todas las unidades de forma centralizada.

• Pluralista: existen varias zonas de regulación en el área, cada una de ellas con

su regulador y sus unidades. Una de estas zonas es la encargada del

cumplimiento de los objetivos del AGC correspondientes al área, mientras

que las otras zonas realizan su propia regulación de forma descentralizada.

• Jerárquica: existen varias zonas de regulación en el área. El AGC se organiza

de forma jerárquica, con un regulador central encargado del cumplimiento de

los objetivos del AGC correspondientes al área y un regulador independiente

en cada una de las zonas. El regulador central envía señales de control a los

reguladores de zona, mientras que cada uno de ellos controla sus propias

unidades. Los reguladores de zona deberán incluir en el cálculo de su ACE la

señal de control recibida del operador central.

17

El sistema eléctrico español se encuentra integrado dentro del sistema interconectado

de la UCTE (que incluye a la práctica totalidad de los países de Europa occidental),

conectado a los sistemas de Francia, Portugal y Marruecos, siendo el responsable de

mantener la potencia de intercambio con Francia y la frecuencia en sus valores

programados (Portugal y Marruecos son los encargados de mantener la potencia de

intercambio entre España y cada uno de ellos) y constituyendo así un área. La

operación del AGC en el sistema eléctrico español se puede considerar que se realiza

de forma jerárquica, con un operador central (Red Eléctrica de España, REE) que

identifica el desvío de potencia del área y varias zonas de regulación, que son las que

controlan la frecuencia y envían las señales de ajuste a las unidades de generación.

Este capítulo revisa los principios del control frecuencia-potencia. Se comienza con

el control primario y sigue con los controles secundario y terciario.

3.1 Control frecuencia-potencia primario

3.1.1 Modelo del generador

El movimiento del rotor de un generador síncrono está descrito por la ecuación de la

dinámica de rotación de un sólido rígido:

m e

dJ M M

dt

Ω = − (3.1)

donde:

J es el momento de inercia 2kg m⋅ ,

Ω es la velocidad angular en rad s ,

mM es el par mecánico aplicado por la turbina en N m⋅ y

eM es el par eléctrico aplicado por el generador N m⋅ .

Si la ecuación de la dinámica del rotor (3.1) se expresa en magnitudes unitarias

resulta:

18

0

20

0

20

0

1

1

m e

B B B

m e

B B B

m eB

M MdJ

S dt M M

J M Md

S dt M M

J dm m

S dt

Ω Ω = −

Ω Ω = −Ω

Ω Ω = −Ω

(3.2)

donde el par base es:

0

BB

SM =

Ω

y mm es el par mecánico aplicado por la turbina en magnitudes unitarias y

em es el par eléctrico aplicado por el generador en magnitudes unitarias.

Definiendo la inercia como la energía cinética de rotación expresada en magnitudes

unitarias de la potencia base:

20

12

B

JH

S

Ω= (3.3)

Resulta que la inercia está expresada en segundos:

[ ] MWsH s

MVA= =

La inercia toma valores típicos dependiendo del tipo de generador síncrono (rotor

liso o polos salientes) y del motor primario:

• Generadores accionados por turbinas de vapor o de gas:

( )5 6H s= ÷

• Generadores accionados por turbinas hidráulicas:

( )3 4H s= ÷

• Generadores accionados por motores diesel:

( )1 2H s= ÷

19

Introduciendo la expresión de la inercia (3.3) en la ecuación de la dinámica del rotor

del generador síncrono (3.2) resulta:

0

2m e

H dm m

dt

Ω = −Ω

Si la velocidad angular se expresa en magnitudes unitarias, la ecuación de la

dinámica del rotor queda:

2 m e

dH m m

dt

ω = − (3.4)

La potencia y el par están relacionados por la ecuación:

p mω= (3.5)

El modelo linealizado alrededor del punto de funcionamiento se obtiene linealizando

las ecuaciones (3.4) y (3.5):

2 m e

dH m m

dt

ω∆ = ∆ − ∆ (3.6)

0 0p m mω ω∆ = ∆ + ∆ (3.7)

La diferencia entre las variaciones de las potencias mecánica y eléctrica resulta ser

precisamente la diferencia de las variaciones de los pares mecánico y eléctrico:

( ) ( )( )

0 0 0

0

m e m e m e

m e m e

p p m m m m

m m m m

ω ωω

∆ − ∆ = ∆ − ∆ + − ∆

= ∆ − ∆ = ∆ − ∆ (3.8)

Substituyendo (3.8) en (3.6), la ecuación (3.6) resulta:

2 m e

dH p p

dt

ω∆ = ∆ − ∆

3.1.2 Modelo de la carga

Se supone que la carga tiene dos componentes una independiente y otra dependiente

de la frecuencia:

( )0e Dp p D ω ω= + − (3.9)

20

Un valor típico de D es que la potencia demandada varía un 2% cuando la frecuencia

varía un 1%.

El modelo linealizado de la carga se obtiene linealizando alrededor del punto de

funcionamiento la ecuación (3.9):

e Dp p D ω∆ = ∆ + ∆ (3.10)

3.1.3 Modelo conjunto del generador y de la carga

La ecuación diferencial del modelo conjunto del generador y de la carga es:

2 m D

dH p p D

dt

ω ω∆ = ∆ − ∆ − ∆ (3.11)

La transformada de Laplace de la ecuación diferencial lineal (3.11) es:

( ) ( ) ( ) ( )2 m DHs s p s p s D sω ω∆ = ∆ − ∆ − ∆

o también:

( ) ( ) ( ) ( )( )1

2 m Ds p s p s D sHs

ω ω∆ = ∆ − ∆ − ∆ (3.12)

La Figura 3-1 muestra el diagrama de bloques del sistema descrito por la ecuación

(3.12).

Figura 3-1: Diagrama de bloques del modelo conjunto del generador y la carga.

La función de transferencia entre la potencia demanda y la velocidad es:

( ) ( ) ( ) ( )1 1

2 2 1D D

Ds p s p s

Hs D H D sω − −∆ = ∆ = ∆

+ +

Resulta un sistema de primer orden cuya constante de tiempo y cuya ganancia es:

21

2H

Dτ =

1

Dκ −=

El valor final de la frecuencia ante un escalón de potencia demandada se calcula

como:

( )0

1 1 1lim

2 D Ds

s s p s pHs D s D

ω→

− −∆ = ∆ = ∆+

Es decir ante un aumento de potencia demandada se produce una disminución de la

frecuencia. La disminución de frecuencia es directamente proporcional a la magnitud

del aumento de la potencia demandada e inversamente proporcional al factor de

variación de la carga con la frecuencia.

La evolución en el tiempo de la variación de la frecuencia ante un escalón de

potencia demandada se calcula como:

( ) ( ) ( )

( )( )

1 1

2

1

2 1

11

L

t H DL

pDt L s L

H D s s

e pD

ω ω− −

−

∆− ∆ = ∆ = +

−= − ∆

Debe observarse que si la carga no dependiera de la frecuencia la función de

transferencia entre la potencia demandada y la frecuencia sería:

( ) ( )1

2 Ds p sHs

ω −∆ = ∆

y la evolución en el tiempo sería:

( ) 1

2 Dt t pH

ω −∆ = ∆

que quiere decir que cuando si se produce un aumento de demanda la frecuencia cae

con una pendiente constante.

Considerar un sistema eléctrico a 50 Hz formado por unidades cuya potencia total es

500 MW, cuya inercia es 3 segundos en la citada base, cuya carga varía un 2%

22

cuando la frecuencia varía un 1% y que está suministrado una carga de 400 MW,

cuando se desconecta una carga de 100 MW:

La variación de frecuencia es:

1 1 100

0.1667 8.330.02 300 5000.01 500

Dp pu HzD

ω − − −∆ = ∆ = ⋅ = =⋅

La constante de tiempo de la respuesta temporal es:

2 2 3

50.02 300

0.01 500

Hs

Dτ ⋅= = =

⋅

La velocidad de variación de la frecuencia es:

( )

100500 0.033 1.667

2 2 3D

d t p pu Hz

dt H s s

ω−−∆ −∆= = = =

⋅

La respuesta en el tiempo se muestra en la Figura 3-2.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Tiempo (segundos)

Var

iaci

ón d

e fr

ecue

ncia

(pu

)

Figura 3-2: Respuesta en el tiempo de la frecuencia de un sistema ante una disminución de

potencia demandada.

23

3.1.4 Regulador de velocidad

Para eliminar el error de frecuencia que se produce cuando varía la demanda se

plantea la incorporación al generador de un control integral de la velocidad. El

control integral de velocidad determinará el error de velocidad y actuará sobre la

potencia mecánica suministrada por el motor primario al generador. La

Figura 3-3: Modelo de generador con control integral de velocidad.

La función de transferencia entre la potencia demandada y la frecuencia es:

( ) ( )1

2Ds p s

KHs D

s

ω −∆ = ∆+ +

El valor final de la frecuencia ante un escalón de potencia demandada resulta ser

nulo:

( )0

1 1lim 0

2D

ss s p s

K sHs Ds

ω→

− ∆ = ∆ = + +

La Figura 3-4 muestra el modelo de simulación de la respuesta a un escalón de

potencia demandada de un generador equipado con control integral. Se ha supuesto

H =3 s, D = 2 pu. La Figura 3-5 muestra la respuesta a un escalón de potencia

demandada de un generador equipado con control integral en función de la constante

de control integral.

24

2

Apertura de válvulas

1

Variaciónde velocidad

Sum2

Sum1 Sum

k

s

Integrador

1

2*hs

Inercia

Escalón devariación

de velocidad

Escalón de potencia

demandada

d

Amortiguamiento de la carga

Figura 3-4: Modelo de simulación de un regulador de velocidad con control integral.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.4

−0.35

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Tiempo (segundos)

Var

iaci

ón d

e ve

loci

dad

(pu)

Regulador con regulador integral: (−) k=0.1 (−−) k=1 (−.) k=10

Figura 3-5: Simulación de un regulador de velocidad con control integral en función de la

constante de control integral.

Cuando el sistema tiene más de un generador, los generadores no pueden estar

equipados con reguladores de velocidad (con control integral) ya que todos los

generadores intentarían suministrar las variaciones de potencia demandada.

3.1.5 Regulador de carga-velocidad

Para lograr la división de la potencia demandada entre los generadores se introduce

una característica de carga-velocidad. La característica de carga-velocidad se

consigue introduciendo una realimentación estática alrededor del integrador del

regulador de velocidad. La Figura 3-6 muestra el regulador de carga-velocidad. La

25

ganancia de la citada realimentación estática R se denomina estatismo del regulador

de carga-velocidad. Valores típicos del estatismo son el 4% y el 5%

Figura 3-6: Regulador de carga-velocidad.

La función de transferencia entre la potencia demandada y la frecuencia es:

( )( )

( )11

21 1

Ds p sR

Hs DKR s

ω −∆ = ∆+ +

+

El valor final de la frecuencia ante un escalón de potencia demandada es:

( )( )

0

1 1 1lim

1 12

1 1

D Ds

s s p s pR sHs D D

KR s R

ω→

− −∆ = ∆ = ∆+ + +

+

Si en ejemplo anteriormente considerado se considera que las unidades están

equipadas con reguladores carga-velocidad cuyo estatismo es del 4%, cuando se

desconecta una carga de 100 MW la variación de frecuencia es:

1 1 100

0.0075 0.3761 0.02 300 1 500

0.01 500 0.04

Dp pu HzD

R

ω − − −∆ = ∆ = ⋅ = =−+ ⋅ +

Si la variación de la potencia demandada con la frecuencia es nula, entonces el

estatismo del regulador es la variación de frecuencia si la variación de potencia

demandada es igual a la unidad:

LR pω∆ = − ∆

26

Si en ejemplo anteriormente considerado se desprecia el efector de la variación de la

carga con la frecuencia, cuando se desconecta una carga de 100 MW la variación de

frecuencia es:

100

0.04 0.008 0.4500DR p pu Hzω −∆ = − ∆ = − ⋅ = =

También se puede definir el estatismo como la variación de frecuencia entre

funcionamiento en vacío y el funcionamiento a plena carga expresada en tanto por

ciento de la frecuencia nominal (ver Figura 3-7):

( ) 0

0

% 100vf fR

f

−= ×

Figura 3-7: Definición del estatismo de un regulador de carga-velocidad.

La Figura 3-8 muestra la variación de frecuencia debido al aumento de potencia

demanda.

27

Figura 3-8: Variación de frecuencia por variación de la potencia demandada.

La Figura 3-9 muestra el diagrama de bloques de un regulador carga-velocidad con el

mecanismo de restablecimiento de la frecuencia del sistema por variación de la

consigna de carga. La Figura 3-10 muestra el restablecimiento de la frecuencia por

variación de la consigna de carga.

Figura 3-9: Regulador de carga-velocidad con mecanismo de restablecimiento de la frecuencia.

28

Figura 3-10: Restablecimiento de frecuencia por variación de la consigna de carga.

La Figura 3-11 muestra el modelo de simulación de la respuesta a un escalón de

potencia demandada y restablecimiento de la frecuencia del sistema por variación de

la consigna de carga del regulador de carga-velocidad. Se ha supuesto H =3 s,

D = 2 pu, K = 1 pu, R = 0.05pu.

2

Apertura de válvulas

1


Sum3

Sum2

Sum1 Sum

k

s

Integrador

1

2*hs

Inercia

r

Estatismo


de velocidad

Escalón depotencia

de consigna


demandada

d


Figura 3-11: Modelo de simulación de la respuesta a un escalón de potencia demandada y

restablecimiento de la frecuencia del sistema por variación de la consigna de carga del

regulador de carga-velocidad.

29

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Tiempo (segundos)

Var

iaci

ón d

e ve

loci

dad

(pu)

Regulador con regulador integral, estatismo y escalon en consigna

Figura 3-12: Simulación de la respuesta a un escalón de potencia demandada y restablecimiento

de la frecuencia del sistema por variación de la consigna de carga del regulador de carga-

velocidad.

Si los generadores están equipados con reguladores carga-velocidad se logra el

reparto de variaciones de potencia demanda entre generadores. Considérese un

sistema con dos generadores en el que se produce un aumento de potencia

demandada. Se determina a continuación el reparto de dicho aumento entre los dos

generadores:

1 2p p p∆ = ∆ + ∆ (3.13)

Como cada generador está equipado con reguladores de carga-velocidad se cumple

que:

1

1

22

fp

R

fp

R

∆∆ = −

∆∆ = − (3.14)

por tanto:

1 2

2 1

p R

p R

∆ =∆

(3.15)

Substituyendo la relación (3.15) en la ecuación (3.13) resulta:

30

11

1

2 12

22

2

2 11

11

1 11

11

1 11

Rp p p

R

R RR

Rp p p

R

R RR

∆ = ∆ = ∆++

∆ = ∆ = ∆++

(3.16)

La nueva frecuencia se obtiene si más que sustituir cualesquiera de las relaciones

(3.16) en las ecuaciones (3.14):

11

1 22

22

1 21

1 11 1

1

1 11 1

1

f R p pR

R RR

f R p pR

R RR

−∆ = − ∆ = ∆++

−∆ = − ∆ = ∆++

La Figura 3-13 muestra la representación gráfica del reparto de variaciones de

potencia demanda entre generadores.

Figura 3-13: Representación gráfica del reparto de variaciones de potencia demanda entre

generadores.

La Figura 3-14 muestra el mecanismo de restablecimiento de la frecuencia del

sistema por variación de las consignas de carga de los reguladores de carga-

velocidad de dos generadores en paralelo que alimentan una carga.

31

Figura 3-14: Regulador de carga-velocidad con mecanismo de restablecimiento de la frecuencia.

Una aplicación del reparto de variaciones de potencia demanda entre generadores

llena de interés es el caso cuando se tienen dos generadores en paralelo de con

estatismo casi nulo pero algo diferentes: uno un 0.1% y el otro el 0.01%.

1

2

0.1% 0.001

0.01% 0.0001

R pu

R pu

= == =

11

2

22

1

1 10.0909

0.00111

0.0001

1 10.9090

0.000111

0.001

p p p pR

R

p p p pR

R

∆ = ∆ = ∆ = ∆++

∆ = ∆ = ∆ = ∆++

Los resultados obtenidos ponen de manifiesto que uno de los generadores toma el 9%

de la carga y el otro el 91%. Si los valores de los estatismos cambiaran pasaran a ser

0.01% y 0.1% entonces el generador que toma 9% pasaría a tomar el 91% de la carga

y el que toma el 91% pasaría a tomas el 9% de la carga. Es decir, se producirían

oscilaciones de la generación de los grupos inadmisibles.

3.1.6 Modelos y respuesta de turbinas hidráulicas y de vapor y sus

reguladores de velocidad

Hasta ahora se ha considerado que el comportamiento del generador viene

únicamente determinado por la dinámica de las masas giratorias. Se analiza a

32

continuación el efecto del modelado de la turbina. Se considerarán turbinas

hidráulicas y de vapor.

La Figura 3-15 muestra el modelo de un generador accionado por una turbina

hidráulica. Los componentes del modelo de la turbina y su regulador son la

compensación, el servomotor y la turbina. Nótese que el modelo de la turbina

hidráulica presenta un cero en el semiplano de parte real positiva. Se ha supuesto

H =3 s, D = 2 pu, Rp = 0.05 pu, Tg = 0.2 s, Rt = 0.38 s^-1, Tr = 5 s, Tw = 1 s.

3

Potenciasuministradapor la turbina

2

Apertura deldistribuidor

1


−tws+1

0.5*tws+1

Turbina Suma3

Suma2Suma1

1

tg.s+1

Sevomotor

−K− Inverso delestatismo

1

2*hs

Inercia

rp

Estatismo


de velocidad

Escalón depotencia

de consigna


demandada

tr.s+1

(rt/rp)*trs+1

Compensación

d


Figura 3-15: Modelo de un generador accionado por una turbina hidráulica.

3

Potenciasuministradapor la turbina

2

Apertura delas válvulas

1


fhp*trh.s+1

trh.s+1

Turbina Suma3

Suma2Suma1

1

tg.s+1

Servomotor

−K− Inverso delestatismo

1

2*hs

Inercia

rp

Estatismo


de velocidad

Escalón depotencia

de consigna


demandada

tch.s+1

1

Cámara de válvulas

d


Figura 3-16: Modelo de un generador accionado por una turbina de vapor.

La Figura 3-16 muestra el modelo de un generador accionado por una turbina de

vapor. Los componentes del modelo de la turbina y su regulador son el servomotor,

33

la cámara de válvulas y la propia turbina. La turbina tiene dos cuerpos alta y baja

presión. Se ha supuesto H =3 s, D = 2 pu, Rp = 0.05 pu, Tg = 0.2 s, Fhp = 0.3 s,

Tch = 0.3 s, Trh = 7 s.

La Figura 3-17, la Figura 3-18 y la Figura 3-19 comparan las respuesta de

generadores accionados por una turbina hidráulica y una turbina de vapor. Comparan

respectivamente la variación de velocidad, la apertura de válvulas o del distribuidor y

la potencia mecánica.

La comparación pone de manifiesto que un generador accionado por una turbina de

vapor es más rápido a la hora de atender un escalón de potencia demandada que un

generador accionado por una turbina hidráulica en contra de la creencia más

extendida. Es preciso que la rapidez de la respuesta depende del ajuste del regulador.

Supuesto que ambos reguladores están correctamente ajustados, el generador

accionado por la turbina hidráulica seguiría siendo más es más lenta debido a la

dinámica de la turbina que presenta un cero en el semiplano de parte real positiva.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.35

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

Tiempo (segundos)

Var

iaci

ón d

e ve

loci

dad

(pu)

Respuesta a un escalón de carga: (−) t.v. (−−) t.h.

Figura 3-17: Comparación de la respuesta de generadores accionados por una turbina

hidráulica o por una turbina de vapor ante un escalón de potencia demandada: variación de

velocidad.

34

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo (segundos)

Ape

rtur

a de

vál

vula

s/di

strib

uido

r



hidráulica o por una turbina de vapor ante un escalón de potencia demandada: apertura del

válvulas o servomotor.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a m

ecán

ica



hidráulica o por una turbina de vapor ante un escalón de potencia demandada: potencia

mecánica.

La Figura 3-20 muestra un modelo de simulación del reparto de potencia entre

generadores y restablecimiento de la frecuencia del sistema por variación de las

consignas de carga del regulador de carga-velocidad. Un generador está equipado

con una turbina hidráulica y el otro con una turbina de vapor. Los dos generadores

35

son de igual potencia y tienen igual estatismo y los parámetros de las turbinas son los

considerados en apartados precedentes.

3

Potencia turbina

de vapor

2

Potenciaturbina

hidráulica

1


−tws+1

0.5*tws+1

Turbinahidráulica

fhp*trh.s+1

trh.s+1

Turbinade vapor

Suma4

Suma3

Suma2Suma1

tr.s+1

tr*(rt/rp).s+1

Reguladorturbina

hidráulica

1

tch.s+1

Reguladorturbina

de vapor

1

2*hs

Inercia

−K− Estatismoturbinahidráulica

1/rp

Estatismoturbinade vapor

Escalón depotencia

de consignaturbina

hidráulica

Escalón depotencia

de consignaturbina

de vapor


demandada

d


1

tg.s+1

Actuadorturbina

hidráulica

1

tg.s+1

Actuadorturbina

de vapor

Figura 3-20: Modelo del reparto de potencia entre generadores y del restablecimiento de la

frecuencia por variación de las consignas de los reguladores de carga-velocidad.

La Figura 3-22 y la Figura 3-24 muestran el reparto de potencia entre generadores.

La Figura 3-21 y la Figura 3-23 muestran el restablecimiento de la frecuencia por

variación de las consignas de los reguladores de carga-velocidad.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

Tiempo (segundos)

Var

iaci

ón d

e ve

loci

dad

(pu)

Respuesta a un escalón de carga

Figura 3-21: Simulación (20 segundos) del reparto de potencia entre generadores: variación de

velocidad.

36

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a m

ecán

ica

(pu)

Respuesta a un escalón de carga: (−) t.h. (−−) t.v.

Figura 3-22: Simulación (20 segundos) del reparto de potencia entre generadores: potencia

mecánica.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

Tiempo (segundos)

Var

iaci

ón d

e ve

loci

dad

(pu)


Figura 3-23: Simulación (200 segundos) del reparto de potencia entre generadores y del

restablecimiento de la frecuencia por variación de las consignas de los reguladores de carga-

velocidad: variación de velocidad.

37

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a m

ecán

ica

(pu)


Figura 3-24: Simulación (200 segundos) del reparto de potencia entre generadores y del

restablecimiento de la frecuencia por variación de las consignas de los reguladores de carga-

velocidad: potencia mecánica.

3.2 Control frecuencia-potencia secundario

El control frecuencia-potencia secundario tiene por misión eliminar de forma

automática (se ha visto que manualmente se puede lograr) el error de frecuencia

debido a una variación de la potencia demandada. Se pueden plantear dos

situaciones:

• Los generadores alimentan un única área.

• Los generadores alimentar áreas unidas a través de líneas de interconexión.

3.2.1 Control frecuencia-potencia secundario en un área

Considérese en primer término el caso que los generadores alimentan un área. El

restablecimiento de la frecuencia se puede lograr mandando la consigna de carga del

regulador de carga-velocidad por un integrador cuya entrada es la variación de

frecuencia. La Figura 3-25 muestra el control frecuencia-potencia secundario en un

área con dos generadores.

38

Figura 3-25: Control frecuencia-potencia secundario en un área.

La Figura 3-26 muestra el modelo de simulación de un escalón de potencia

demandada y del restablecimiento de la frecuencia del sistema por variación de la

consigna de carga de los reguladores de carga-velocidad mandadas por un integrador

cuya entrada es la variación de frecuencia.

3

Potencia turbina

de vapor

2

Potenciaturbina

hidráulica

1


−tws+1

0.5*tws+1

Turbinahidráulica

fhp*trh.s+1

trh.s+1

Turbinade vapor

Suma4

Suma3

Suma2Suma1

tr.s+1

tr*(rt/rp).s+1

Reguladorturbina

hidráulica

1

tch.s+1

Reguladorturbina

de vapor

−k1

s

Integradorturbina

hidráulica

−k2

s

Integradorturbina

de vapor

1

2*hs

Inercia


1/rp



demandada

d


1

tg.s+1

Actuadorturbina

hidráulica

1

tg.s+1

Actuadorturbina

de vapor

Figura 3-26: Modelo de simulación del control frecuencia-potencia secundario en un área.

La Figura 3-27 y la Figura 3-28 muestran los resultados de la simulación de un

escalón de potencia demandada y del restablecimiento de la frecuencia del sistema

por variación de la consigna de carga del regulador de carga-velocidad mandada por

un integrador cuya entrada es la variación de frecuencia y cuyos valores de k1 y k2

39

corresponden a la expresión (D+(1/Rp))/100, de forma que se ajusta la constante de

tiempo del lazo de control secundario a 100 s. Los parámetros de las turbinas son los

considerados en apartados precedentes. Se comprueba que el error de frecuencia es

nulo y el reparto del escalón de potencia demandada.

0 50 100 150 200 250 300 350 400−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

Tiempo (segundos)

Var

iaci

ón d

e ve

loci

dad

(pu)


Figura 3-27: Simulación de la respuesta ante un escalón de potencia demandada en un área con

control frecuencia-potencia secundaria: variación de frecuencia.

0 50 100 150 200 250 300 350 400−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a m

ecán

ica

(pu)


Figura 3-28: Simulación de la respuesta ante un escalón de potencia demandada en un área con

control frecuencia-potencia secundaria: potencia de los generadores.

40

3.2.2 Control frecuencia-potencia secundario en dos áreas

interconectadas

Se va a considerar en segundo término el caso que dos generadores alimentan áreas

interconectadas a través de una línea. Cada generador se va a representar como una

fuente de tensión de módulo constante detrás de una reactancia equivalente. El

ángulo de las citadas fuentes será el ángulo del rotor de los generadores. La Figura

3-29 muestra el circuito equivalente de dos áreas interconectadas a través de una

línea de interconexión

Figura 3-29: Circuito equivalente de dos áreas interconectadas.

La potencia activa transmitida del área 1 al área 2 es:

( )1 212 1 2sen

T

e ep

xδ δ= − (3.17)

donde:

1 2Tx x x x= + +ℓ

El ángulo de cada uno de los generadores está relacionado con la velocidad del rotor

(frecuencia de cada generador o de cada área) a través de las expresiones:

( )

( )

10 1

20 2

1

1

d

dtd

dt

δ ω ω

δ ω ω

= −

= − (3.18)

Las expresiones (3.18) ponen de manifiesto que transitoriamente cada generador

tendrá una frecuencia (velocidad).

41

La expresión de la potencia activa transmitida del área 1 al área 2 linealizada

alrededor del punto de funcionamiento se obtiene linealizando la ecuación (3.17):

( ) ( )

( )

1 212 10 20 1 2

1 2

cosT

e ep

x

K

δ δ δ δ

δ δ

∆ = − ∆ − ∆

= ∆ − ∆ (3.19)

Las ecuaciones de cada generador linealizadas alrededor del punto de

funcionamiento son:

10 1

20 2

d

dtd

dt

δω ω

δω ω

∆∆ =

∆∆ = (3.20)

11 1 1 1 1 12

22 2 2 2 1 12

2

2

m D

m D

dH p p D p

dtd

H p p D pdt

ω ω

ω ω

∆ = ∆ − ∆ − ∆ − ∆

∆ = ∆ − ∆ − ∆ + ∆ (3.21)

La Figura 3-30 muestra el diagrama de bloques del modelo de dos áreas

interconectadas que resume las ecuaciones (3.19)-(3.21).

Figura 3-30: Modelo de dos áreas interconectadas.

42

En régimen permanente, la variación frecuencia y de la potencia de intercambio

cuando se produce una variación de potencia demandada en el área 1 se calculan

resolviendo las ecuaciones:

1 12 1 1m Dp p p D f∆ − ∆ − ∆ = ∆ (3.22)

2 12 2mp p D f∆ + ∆ = ∆ (3.23)

11

fp

R

∆∆ = − (3.24)

22

fp

R

∆∆ = − (3.25)

Introduciendo las ecuaciones (3.24) y (3.25) en las ecuaciones (3.22) y (3.23)

quedan:

1 12 11

1DD f p p

R

+ ∆ = −∆ − ∆

(3.26)

2 122

1D f p

R

+ ∆ = ∆

(3.27)

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (3.26) y (3.27), la

variación de frecuencia y de potencia de intercambio resultan:

( ) ( )1 1

1 1 2 2 1 21 1D Dp p

fR D R D β β

−∆ −∆∆ = =+ + + +

( )

( ) ( )1 2 2 1 2

121 1 2 2 1 2

1

1 1D D

p R D pp

R D R D

ββ β

−∆ + −∆∆ = =+ + + +

La Figura 3-31 muestra el modelo de simulación de dos áreas interconectadas.

43

7Servoturbinade vapor

6Servoturbinahidráulica

5

Potencia deintercambio

4Potencia turbinade vapor

3Potenciaturbinahidráulica

2


área 2

1


área 1

−tws+1

0.5*tws+1

Turbinahidráulica

fhp*trh.s+1

trh.s+1

Turbinade vapor

Suma7

Suma6Suma4

Suma3Suma2

tr.s+1

tr*(rt/rp).s+1

Reguladorturbina

hidráulica

1

tch.s+1

Reguladorturbina

de vapor

w0

s

Integradorángulo2

w0

s

Integradorángulo1

1

2*hs+d

Inercia yamortiguamiento

área 2

1

2*hs+d


área 1


1/rp


Escalón de potenciademandadaárea 2



de referenciaárea 2


de referenciaárea 1

T

Coeficiente depar sincronizante

1

tg.s+1

Actuadorturbina

hidráulica

1

tg.s+1

Actuadorturbina

de vapor

Figura 3-31: Modelo de simulación de dos áreas interconectadas.

La Figura 3-32, la Figura 3-33 y la Figura 3-34 muestran los resultados de la

simulación, con una duración de 20 segundos, de dos áreas interconectadas cuando

se produce un escalón de potencia demandada en el área 1. Muestran

respectivamente la variación de velocidad, las potencias suministradas por los

generadores y la potencia de intercambio. En las tres magnitudes se aprecia una

oscilación poco amortiguada que corresponde a la oscilación natural entre los dos

generadores que tiene aproximadamente una frecuencia de 1 Hz. La Figura 3-35, la

Figura 3-36 y la Figura 3-37 muestran los resultados de la misma simulación con una

duración de 100 segundos. Se aprecia el error de frecuencia y de potencia de

intercambio y el reparto de potencia entre los generadores. Los parámetros de las

turbinas son los considerados en apartados precedentes.

Es preciso resaltar que el control – frecuencia potencia no tiene por misión el

amortiguamiento de la oscilación natural entre los generadores.

44

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.1

−0.09

−0.08

−0.07

−0.06

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

Tiempo (segundos)

Var

iaci

ón d

e ve

loci

dad

del á

rea

1 (p

u)

Respuesta a un escalón de carga en el área 1

Figura 3-32: Simulación (20 segundos) de dos áreas interconectadas ante un escalón de potencia

demandada en el área 1: variación de frecuencia del área 1.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a m

ecán

ica

(pu)

Respuesta a un escalón de carga en el área 1: (−) t.h. (−−) t.v.


demandada en el área 1: potencias de los generadores.

45

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a de

inte

rcam

bio

(pu)



demandada en el área 1: potencia de intercambio.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.1

−0.09

−0.08

−0.07

−0.06

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

Tiempo (segundos)

Var

iaci

ón d

e ve

loci

dad

del á

rea

1 (p

u)


Figura 3-35: Simulación (100 segundos) de dos áreas interconectadas ante un escalón de

potencia demandada en el área 1: variación de frecuencia del área 1.

46

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a m

ecán

ica

(pu)



potencia demandada en el área 1: potencias de los generadores.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a de

inte

rcam

bio

(pu)



potencia demandada en el área 1: potencia de intercambio.

3.2.3 Control de frecuencia

La eliminación del error de frecuencia se puede lograr de igual forma a como se

logró en el caso del control frecuencia-potencia secundario de una única área (ver

apartado 3.2.1). Esto es, mandando la consigna de carga del regulador de carga-

47

velocidad por un integrador cuya entrada es la variación de frecuencia. La Figura

3-38 muestra el control de frecuencia secundario en dos áreas con dos generadores.

Figura 3-38: Control de frecuencia secundario en dos áreas.

La Figura 3-39 muestra el modelo de simulación de dos áreas interconectadas con

control de frecuencia secundario.

5




2


área 2

1


área 1

−tws+1

0.5*tws+1

Turbinahidráulica

fhp*trh.s+1

trh.s+1

Turbinade vapor

Suma7

Suma6Suma4

Suma3Suma2

tr.s+1

tr*(rt/rp).s+1

Reguladorturbina

hidráulica

1

tch.s+1

Reguladorturbina

de vapor

−k2

s

Integradorárea 2

−k1

s

Integradorárea 1

w0

s

Integradorángulo2

w0

s

Integradorángulo1

1

2*hs+d


área 2

1

2*hs+d


área 1


1/rp




T


1

tg.s+1

Actuadorturbina

hidráulica

1

tg.s+1

Actuadorturbina

de vapor

Figura 3-39: Modelo de simulación de dos áreas interconectadas con control de frecuencia

secundario.


simulación, con una duración de 20 segundos, de dos áreas interconectadas con

48

control de frecuencia secundario cuando se produce un escalón de potencia

demandada en el área 1. Muestran respectivamente la variación de velocidad, las

potencias suministradas por los generadores y la potencia de intercambio. En las tres

magnitudes se aprecia de nuevo una oscilación poco amortiguada que corresponde a

la oscilación natural entre los dos generadores que tiene aproximadamente una

frecuencia de 1 Hz. La Figura 3-43, la Figura 3-44 y la Figura 3-45 muestran los

resultados de la misma simulación con una duración de 400 segundos. Los valores de

k1 y k2 de los integradores corresponden a la expresión (D+(1/Rp))/100, de forma

que se ajusta la constante de tiempo del lazo de control secundario a 100 s. Los

parámetros de las turbinas son los considerados en apartados precedentes. Se aprecia

la eliminación del error de frecuencia debido a la actuación de los controles

integrales. Sin embargo, persiste el error en la potencia de intercambio.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.1

−0.09

−0.08

−0.07

−0.06

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

Tiempo (segundos)

Var

iaci

ón d

e ve

loci

dad

del á

rea

1 (p

u)


Figura 3-40: Simulación (20 segundos) de dos áreas interconectadas con control secundario de

frecuencia ante un escalón de potencia demandada en el área 1: variación de frecuencia del

área 1.

49

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a m

ecán

ica

(pu)



frecuencia ante un escalón de potencia demandada en el área 1: potencia de los generadores.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a de

inte

rcam

bio

(pu)



frecuencia ante un escalón de potencia demandada en el área 1: potencia de intercambio.

50

0 50 100 150 200 250 300 350 400−0.1

−0.09

−0.08

−0.07

−0.06

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

Tiempo (segundos)

Var

iaci

ón d

e ve

loci

dad

del á

rea

1 (p

u)




área 1.

0 50 100 150 200 250 300 350 400−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a m

ecán

ica

(pu)




51

0 50 100 150 200 250 300 350 400−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a de

inte

rcam

bio

(pu)




3.2.4 Control de potencia de intercambio con sesgo (bias) de frecuencia

En sistemas interconectados no sólo es preciso eliminar el error de frecuencia sino

que es preciso que el programa de intercambio se mantenga ante variaciones de la

demanda en las áreas. En otras palabras, es preciso eliminar no sólo el error de

frecuencia sino también el de la potencia de intercambio. Ello se logra con un control

integral de la potencia de consigna de cada área que realimenta una combinación de

la frecuencia y de la potencia de intercambio denominado error de control de área. El

error que alimenta al control integral se denomina error de control de área o “Area

Control Error (ACE)” en la literatura técnica en inglés.

1 12 1ACE p B f= ∆ + ∆

2 21 2ACE p B f= ∆ + ∆

donde los coeficientes 1B y 2B se denominan sesgo o “Bias” de frecuencia.

Una elección natural del “Bias” de frecuencia de cada área es (implica que ante una

variación de demanda en el área 1 el error de control de área de área 1 es

precisamente la variación de demanda y el error de control de área 2 es nulo):

52

1 1 11

1B D

Rβ= = +

2 2 22

1B D

Rβ= = +

La Figura 3-46 muestra el control frecuencia-potencia secundario en dos áreas con

dos generadores.

Figura 3-46: Control frecuencia-potencia secundario en dos áreas.

La Figura 3-47 muestra el modelo de simulación de dos áreas interconectadas con

control frecuencia-potencia secundario.

53

5




2


área 2

1


área 1

−tws+1

0.5*tws+1

Turbinahidráulica

fhp*trh.s+1

trh.s+1

Turbinade vapor

Suma8

Suma7

Suma6Suma5 Suma4

Suma3Suma2

tr.s+1

tr*(rt/rp).s+1

Reguladorturbina

hidráulica

1

tch.s+1

Reguladorturbina

de vapor

w0

s

Integradorángulo2

w0

s

Integradorángulo1

−k1

s

Integradorturbina

hidráulica

−k2

s

Integradorturbina

de vapor

1

2*hs+d


área 2

1

2*hs+d


área 1


1/rp




T


b2Biasárea 2

b1 Biasárea 1

1

tg.s+1

Actuadorturbina

hidráulica

1

tg.s+1

Actuadorturbina

de vapor

Figura 3-47: Modelo de simulación de dos áreas interconectadas con control frecuencia -

potencia secundario.


simulación, con una duración de 20 segundos, de dos áreas interconectadas con

control frecuencia-potencia secundario cuando se produce un escalón de potencia

demandada en el área 1. Muestran respectivamente la variación de velocidad, las

potencias suministradas por los generadores y la potencia de intercambio. En las tres

magnitudes se aprecia de nuevo una oscilación poco amortiguada que corresponde a

la oscilación natural entre los dos generadores que tiene aproximadamente una

frecuencia de 1 Hz. La Figura 3-51, la Figura 3-52 y la Figura 3-53, muestran los

resultados de la misma simulación con una duración de 100 segundos. Los valores de

k1 y k2 de los integradores corresponden a la expresión (D+(1/Rp))/100, de forma

que se ajusta la constante de tiempo del lazo de control secundario a 100 s. El valor

de los “Bias” corresponde a D+(1/Rp). Los parámetros de las turbinas son los

considerados en apartados precedentes. Se aprecia la eliminación del error tanto de

frecuencia como de potencia de intercambio. También se aprecia que el escalón de

demanda en el área 1 es atendido únicamente por el generador 1.

54

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

Tiempo (segundos)

Var

iaci

ón d

e ve

loci

dad

del á

rea

1 (p

u)




área 1.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a m

ecán

ica

(pu)




55

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a de

inte

rcam

bio

(pu)




0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

Tiempo (segundos)

Var

iaci

ón d

e ve

loci

dad

del á

rea

1 (p

u)




área 1.

56

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a m

ecán

ica

(pu)




0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a de

inte

rcam

bio

(pu)




3.3 Control frecuencia-potencia terciario

La presentación anterior ha supuesto un único generador en cada área. En el caso de

un área con más de un generador es preciso el reparto del error de control de área

entre los generadores.

57

El reparto del error de control de área entre los generadores se realiza por medio de

los factores de participación.

El programa de despacho económico determina los factores de participación.

ii

L

pfp

p

∆=∆

Los factores de participación se actualizan en una escala de tiempo superior a la del

control secundario.

58

4 ESTABILIDAD DE PEQUEÑA PERTURBACIÓN

La estabilidad de sistemas de energía eléctrica está interesada en la capacidad del

sistema eléctrico de alcanzar un punto de equilibrio estable tras la ocurrencia de una

perturbación. La estabilidad aborda un aspecto del comportamiento dinámico de los

sistemas de energía eléctrica.

Los sistemas eléctricos son, probablemente uno de los sistemas dinámicos más

grandes y complejos creados por el hombre. La escala de tiempo de los fenómenos

dinámicos y transitorios presentes en los sistemas eléctricos es muy amplia: desde los

microsegundos de las sobretensiones debidas a la caída de un rayo hasta los minutos

de la variación de la demanda a lo largo del día. La estabilidad aborda los fenómenos

que se encuentran en la escala de segundos.

El problema de la estabilidad de sistemas de energía eléctrica es muy complejo. Por

ello se han establecido clasificaciones para poder caracterizar de forma precisa los

diferentes fenómenos que pueden encontrarse en la realidad (ver [4]).

Los problemas de estabilidad se clasifican en:

• estabilidad de ángulo y estabilidad de tensiones

• estabilidad de gran perturbación y estabilidad de pequeña perturbación

• estabilidad de corto plazo y estabilidad de largo plazo

La estabilidad de ángulo está interesada en la capacidad de los generadores de

funcionar en sincronismo. La estabilidad de tensiones está preocupada, por el

contrario, en la capacidad de los generadores de alimentar las cargas a niveles de

tensión aceptables. Se dice que una perturbación es grande cuando las ecuaciones

diferenciales que describen el comportamiento dinámico del sistema no se pueden

linealizar. Por el contrario, una perturbación es pequeña cuando las ecuaciones se

pueden linealizar alrededor de un punto de funcionamiento. La estabilidad de corto

plazo presta atención a aquellas dinámicas dominadas por los generadores y sus

sistemas de control primario (reguladores de tensión y de carga/velocidad). La

estabilidad de largo plazo considera que las dinámicas dominantes son las de las

fuentes de energía primaria de los generadores (calderas, reactores nucleares,

59

circuitos hidráulicos de las centrales hidroeléctricas etc.) y de los controles

automáticos de generación y el control de tensiones.

Cuando en estudios de estabilidad de sistemas eléctricos se habla de estabilidad de

pequeña perturbación se refiere al problema de oscilaciones poco amortiguadas de

los rotores de los generadores en el margen de frecuencias comprendido entre 0,1 y

2 Hz. Las oscilaciones de los rotores se traducen en oscilaciones de las potencias por

líneas y transformadores y de las tensiones de los nudos. El problema de estabilidad

de pequeña perturbación, es, de forma precisa, un problema de estabilidad de ángulo,

de corto plazo y de pequeña perturbación.

Este capítulo presenta los modelos y métodos de análisis del problema de estabilidad

de pequeña perturbación para comprender el fenómeno de las oscilaciones entre

áreas que aparecen cuando se estudia el control frecuencia-potencia.

De forma más precisa se presentan los modelos no lineales y lineales de un

generador conectado a un nudo de potencia infinita y de un sistema multimáquina.

4.1 Modelos no lineales

4.1.1 Generador conectado a un nudo de potencia infinita

El movimiento del rotor de un generador síncrono está descrito por la ecuación de la

dinámica de rotación de un sólido rígido:

( )0m e a m e D

dJ M M M M M K

dt

Ω = − − = − − Ω − Ω (4.1)

donde:

J es el momento de inercia del rotor expresado en Nms kgms= 2

Ω es la velocidad angular del rotor rad s mecánicos

Ω0 es la velocidad angular de sincronismo del rotor rad s mecánicos, es decir

f pπΩ =0 0

2 siendo f0 la frecuencia de sincronismo y p el número de par de

polos de la máquina síncrona

mM es el par mecánico aplicado por la turbina expresado en Nm

60

eM es el par eléctrico aplicado por el generador ee

PT =

Ω0

aM es el par amortiguador ( )0a DM K= Ω − Ω

DK es el coeficiente de par amortiguador

Es preciso resaltar que el par amortiguador refleja el efecto de los devanados

amortiguadores del generador síncrono que crean un par que se opone a la variación

de velocidad cuando el rotor gira a velocidad distinta de la síncronismo.

Si la ecuación (4.1) se expresa en magnitudes unitarias resulta:

( )

( )

0 00

2 20 0

00 0

1 1

m eD

B B B B

m eD

B B B B

M MdJ K

S dt M M S

J M MdK

S dt M M S

Ω ΩΩ = − − Ω − Ω

Ω ΩΩ = − − Ω − ΩΩ Ω

(4.2)

siendo:

0

B BB

B

S SM = =

Ω Ω el par base y BS la potencia base

Definiendo la inercia y el coeficiente de amortiguamiento como:

B

DB

JH

S

D KS

Ω=

Ω=

2

0

2

0

1

2

la ecuación (4.2) resulta:

( )00 0

2m e

H d Dm m

dt

Ω = − − Ω − ΩΩ Ω

(4.3)

Expresando la velocidad angular en radianes eléctricos por segundo por unidad

pω ω= Ω0, la ecuación (4.3) queda finalmente:

( )2 1m e

dH m m D

dt

ω ω= − − − (4.4)

61

En estudios de estabilidad, la velocidad del rotor cambia poco, por tanto se puede

considerar que el par y la potencia son iguales en magnitudes unitarias:

0

0

BB

PM

PM p

m pSM ω

=Ω

Ω= = = =

Ω

Entonces la ecuación (4.4) resulta:

( )m e

dH p p D

dt

ω ω= − − −2 1 (4.5)

El generador síncrono se representa como una fuente de tensión constante detrás de

la reactancia transitoria.

Figura 4-1: Circuito equivalente de un generador síncrono para estudios de estabilidad.

Si el generador está conectado a un nudo de potencia infinita a través de un

transformador y una línea, la potencia eléctrica entregada por el generador viene

dada por la expresión:

seneT

e up

xδ∞′

= (4.6)

donde:

e′ es el módulo de la excitación

δ es el ángulo de la excitación con relación a la tensión del nudo de potencia infinita

u∞ es el módulo de la tensión del nudo de potencia infinita

62

T tx x x x′= + +ℓ es la reactancia total

x′ es la reactancia transitoria del generador

tx es la reactancia del transformador

xℓ es la reactancia de la línea

Figura 4-2: Diagrama unifilar de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia

infinita.

Figura 4-3: Circuito equivalente de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia

infinita.

La conexión de los modelos mecánico y eléctrico viene determinada por el hecho que

el ángulo de excitación es precisamente el ángulo del rotor.

En efecto, el ángulo del rotor con relación a una referencia fija, expresado en

radianes eléctricos por segundo, viene dado por:

tp

δα = Ω +0

La velocidad angular del rotor resulta ser:

d d

dt p dt

α δ= Ω = Ω +0

1 (4.7)

Si se expresa la velocidad en radianes eléctricos por segundo por unidad en la

ecuación (4.7), resulta:

63

d

dt

δωω

= +0

11 (4.8)

Las ecuaciones (4.5), (4.6) y (4.8) se pueden escribir en forma compacta comos

sigue. Se presenta el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales que describe el

comportamiento del generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita:

( )

( )

senm

e u Dp

H H x Hδ ωω

δ ω ω

′ − − − = −

ɺ

ɺ

0

1 11

2 2 2

1

(4.9)

o en forma compacta:

( ),u=x F xɺ (4.10)

donde:

ωδ

=

x

mu p=

( ) ( )( )

senm

e u Dp

H H x Hδ ω

ω ω

′ − − − =

−

F x

0

1 11

2 2 2

1

4.1.2 Sistema multimáquina

El modelo para de un sistema multimáquina para estudio de la estabilidad de ángulo

considera:

El modelo “clásico” de los generadores síncronos:

• Fuente de tensión constante de la reactancia transitoria.

• El ángulo de la fuente de tensión es el ángulo del rotor.

• El par mecánico es constante.

y modela las cargas como impedancias constantes.

64

Considérese la representación de la red por medio de la matriz de admitancias

nodales agrupando los nudos de los generadores y de las cargas:

gg g g g

g

=

y y v iy y v i

ℓ

ℓ ℓℓ ℓ ℓ

(4.11)

siendo v las tensiones de los nudos e i las corrientes inyectadas.

En primer término se incorporan las cargas como admitancias constantes:

gg g g g

g L

= −

y y v iy y v y v

ℓ

ℓ ℓℓ ℓ ℓ

(4.12)

y a continuación se incluyen los nudos internos de los generadores:

g

gg g g

g L

′ ′ − ′ ′− + = +

y y 0 e i

y y y y v 0

0 y y y v 0ℓ

ℓ ℓℓ ℓ

(4.13)

donde:

1

10

1

10

i

N

jx

jx

jx

′ ′ = ′ ′

y

⋯

⋱

⋮ ⋮

⋱

⋯

Se reduce la matriz de admitancias nodales a los nudos internos de los generadores

aplicando la reducción de Kron a la ecuación matricial (4.13):

[ ]1

gg g Sg

g L

− ′ + ′− ′ ′− − = = +

y y y yy y 0 e ye i

y y y 0ℓ

ℓ ℓℓ

(4.14)

A partir de la ecuación (4.14), se obtiene la expresión de la potencia activa

suministrada por el generador i-ésimo es:

65

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

2

1 1

2

1

Re Re

Re Re

cos sen

g

g g

g

N

ei i i i ij jj

N N

i ij ij j ii ii i ij ij i j jj j

j i

N

ii i i j ij i j ij i jjj i

p

g jb g jb e g jb

g e e e g b

δ

δ δ δ δ

∗ ∗ ∗

=

∗ ∗

= =≠

=≠

= =

= − = − + −

= + − + −

∑

∑ ∑

∑

e i e y e

e e e e (4.15)

Las ecuaciones que gobiernan la dinámica del rotor de cada generador son:

( )2 1ii mi ei i i

dH p p D

dt

ω ω= − − − (4.16)

( )0 1ii

d

dt

δ ω ω= − (4.17)

Escribiendo en forma compacta del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales

que describe el comportamiento del sistema (4.15)-(4.17), resulta:

( ),=x F x uɺ

donde:

[ ][ ]

1

1

Ti N

Ti N

ω ω ω

δ δ δ

=

=

=

ωx

δ

ω

δ

⋯ ⋯

⋯ ⋯

[ ]1

m

Tm m mi mNp p p

= ∆

∆ = ∆ ∆ ∆

u p

p ⋯ ⋯

66

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

21 11 1 1 1 1 1 1

11 11

2

1

2

1

1 1cos sen

2 2

1 1cos sen

2 2

1 1cos sen

2 2

g

g

N

m j j j j jjj

N

mi ii i i j ij i j ij i jji ij i

N

mN NN N N j Nj N j Nj N jjN Nj N

p g e e e g bH H

p g e e e g bH H

p g e e e g bH H

δ δ δ δ

δ δ δ δ

δ δ δ δ

=≠

=≠

=≠

− + − + −

− + − + −

=

− + − + −

∑

∑

F x

⋮

⋮

( )

( )

( )

0 1

0

0

1

1

1

g

i

N

ω ω

ω ω

ω ω

− − −

∑

⋮

⋮

4.2 Modelos lineales

Una perturbación es pequeña cuando las ecuaciones del generador síncrono

linealizadas alrededor del punto de funcionamiento caracterizan satisfactoriamente su

comportamiento dinámico.

4.2.1 Generador conectado a un nudo de potencia infinita

La linealización de las ecuaciones del generador síncrono conectado a un nudo de

potencia infinita (4.5), (4.6) y (4.8) quedan en la forma:

m e

dH p p D

dt

ω ω∆ = ∆ − ∆ − ∆2 (4.18)

cose

e up K

xδ δ δ

′∆ = ∆ = ∆

0 (4.19)

d

dt

δωω

∆∆ =0

1 (4.20)

que escritas como una ecuación diferencial de segundo orden resultan:

67

m

H d D dK p

dt dt

δ δ δω ω

∆ ∆+ + ∆ = ∆2

2

0 0

2 (4.21)

y como un sistema de ecuaciones diferenciales lineales resultan:

m

d

dt pK Dd

H H Hdt

δ ω δω ω

∆ ∆ = + ∆ − ∆ ∆

00 0

1

2 2 2

(4.22)

La ecuación característica correspondiente a la ecuación diferencial lineal de

segundo orden o al sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

es:

H D

s s Kω ω

+ + =2

0 0

20 (4.23)

o también:

KD

s sH H

ω+ + =2 00

2 2 (4.24)

Las raíces de la ecuación característica (4.24) son:

KD Dj

H H Hs

ω− ± − =

2

0

12

42 2 2

2

Las raíces de la ecuación característica cuando D=0 son:

K

s jH

ω= ± 0

12

2

La solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden se puede obtener por

medio de la transformada de Laplace:

( ) ( ) ( ) ( )mp sH Ds s s s K s

sδ δ δ

ω ω∆

∆ + ∆ + ∆ =2

0 0

2

( ) ( )ms p sKD H ss s

H H

ωδ ω∆ = ∆+ +

0

2 0

1 1

2

2 2

68

( ) ( ) ( )nm

n n

s p sK s s s

ωδςω ω

∆ = ∆+ +

2

2 2

1

2

Realizando la antitransformada de Lapace resulta:

( ) ( ) ( )sentn mt e t p t

Kςωδ ω ς φ

ς−

∆ = − − + ∆ −

2

2

1 11 1

1

donde:

arctgςφ

ς−

=2

1

4.2.2 Sistema multimáquina

Las ecuaciones de cada generador linealizadas alrededor de cada punto de

funcionamiento se obtienen finalizando las ecuaciones (4.15)-(4.17):

1 1

2

g g

ii mi ei i i

N Nei

mi j i i ij j i ij jj

dH p p D

dt

pp D K D

ω ω

∂ δ ω δ ω∂δ= =

∆ = ∆ − ∆ − ∆

= ∆ − ∆ − ∆ = − ∆ − ∆∑ ∑ (4.25)

0i

i

d

dt

δ ω ω∆ = ∆

siendo:

( ) ( )0 0 0 0coseiij i j ij i j ij i j

i j j

pK e e g sen b

∂ δ δ δ δ∂δ≠

= = − − −

y cumpliéndose que:

1

gN

ii ijjj i

K K=≠

= −∑

Cuando se escriben las ecuaciones de todos los generadores (4.25) en forma matricial

resulta:

69

1 1 1

0

1 1 12 2 2 m

d

dtd

dtω

− − −∆

∆− − − = + ∆ ∆ ∆

ω

ωH D H K Hp

δ δI 0 0

donde:

1

1

1 1

1 11 1

1

1

0

0

0

0

g

g

g g

g g g g g

g

N

N

e e

N N

eN eN N N N

N

H

H

D

D

p p

K K

p p K K

∂ ∂∂δ ∂δ

∂ ∂∂δ ∂δ

=

=

= =

H

D

K

⋯

⋮ ⋱ ⋮

⋯

⋯

⋮ ⋱ ⋮

⋯

⋯⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯⋯

4.3 Amortiguamiento de oscilaciones electromecánicas de

generadores síncronos

El amortiguamiento de las oscilaciones electromecánicas de un generador síncrono

se puede lograr modulando la excitación del generador utilizando la variación de

velocidad como entrada.

La excitación del generador síncrono se modifica por medio del sistema de

excitación del generador.

La linealización de las ecuaciones del generador síncrono conectado a un nudo de

potencia infinita (4.5), (4.6) y (4.8) cuando se considera que la excitación no es

constante quedan en la forma:

2 m e

dH p p

dt

ω∆ = ∆ − ∆ (4.26)

70

0 0 00 0

0 0

cos sine ee e

e u up e K K e

x xδ δ δ δ

′ ′ ′∆ = ∆ + ∆ = ∆ + ∆ (4.27)

0

1 d

dt

δωω

∆∆ = (4.28)

Si la excitación del generador se modula usando la variación de velocidad como

entrada:

,ee K ω ω′∆ = ∆ (4.29)

La ecuación diferencial de segundo orden que describe el comportamiento dinámico

del generador resulta:

2

,2

0 0

2 e em

K KH d dK p

dt dtωδ δ δ

ω ω∆ ∆+ + ∆ = ∆ (4.30)

La ecuación (4.30) muestra como el control de la excitación proporciona un

amortiguamiento equivalente ,e e eD K K ω= de la oscilación natural del generador.

71

5 MODELOS PARA EL ESTUDIO DE AGCS

CENTRALIZADOS Y EN CASCADA

Este capítulo detalla el modelo propuesto para el estudio de AGCs centralizados y en

cascada. El modelo se compone de modelo de las áreas interconectadas y el modelo

de las interconexiones.

5.1 Modelo de las áreas interconectadas

El modelo de cada área interconectada comprende los siguientes componentes:

• dinámica de frecuencia,

• amortiguamiento de la dinámica del rotor de los generadores,

• regulación primaria y

• regulación secundaria.

5.1.1 Dinámica de frecuencia

La dinámica de la frecuencia del área cuando se considera que la carga no depende

de la frecuencia, está gobernada por la ecuación:

2 G A D I

dH p p p p

dt

ω∆ = ∆ − ∆ − ∆ − ∆ (5.1)

0i

i

d

dt

δ ω ω∆ = ∆ (5.2)

donde:

ω∆ es la variación de frecuencia del área en pu,

Gp∆ es la variación de potencia generada por el área en pu de la potencia base,

Ap∆ es la variación potencia amortiguadora del área en pu de la potencia base,

Dp∆ es la variación potencia demanda por el área en pu de la potencia base,

72

Ip∆ es la variación de la potencia intercambiada por el área (el intercambio se

considera que es saliente del área a las áreas a las que está conectada; es por tanto

una demanda del área) en pu de la potencia base y

H es la inercia del área en segundos.

La Figura 5-1 muestra el diagrama de bloques de la dinámica de la frecuencia de un

área interconectada.

Figura 5-1: Modelo de la dinámica de la frecuencia de un área interconectada.

5.1.2 Amortiguamiento de la dinámica del rotor de los generadores

En el modelo simplificado de un generador para estudios de estabilidad aparece un

par amortiguador proporcional a la variación de velocidad con relación a la velocidad

de sincronismo. Este par representa el efecto de los devanados amortiguadores de la

máquina síncrona y la contribución de controles como la excitación y el estabilizador

del sistema de potencia.

En el modelo de un área para estudios de regulación frecuencia potencia aparece

también un par amortiguador proporcional a la variación de frecuencia. Este par

amortiguador representa el efecto amortiguador de la carga.

Es preciso señalar que el efecto más relevante en el amortiguamiento de las

oscilaciones inter-área es el amortiguamiento debido a los generadores síncronos. La

forma más apropiada de representar en modelos simplificados es aplicar un par

amortiguador filtrado con un filtro paso alto (la Figura 5-2 muestra la respuesta en

frecuencia-ganancia del filtro) de tal forma que la variación de potencia cuando haya

una variación de frecuencia en régimen permanente sea nula.

1

WA

W

sTP D

sTω∆ = ∆

+ (5.3)

73

Figura 5-2: Respuesta en frecuencia (ganancia) del filtro paso alto del amortiguamiento de

oscilaciones.


área interconectada con amortiguamiento de oscilaciones.

Figura 5-3: Modelo de la dinámica de la frecuencia de un área interconectada con

amortiguamiento de oscilaciones.

5.1.3 Regulación primaria

La variación de generación tiene dos componentes: la debida a la regulación primaria

y la debida a la regulación secundaria. La Figura 5-4 muestra dicha separación. Se

incluyen además los límites

74


amortiguamiento de oscilaciones y separación de la variación de la generación en contribución

de la regulación primaria y de la regulación secundaria.

La respuesta de la regulación primaria 1Gp∆ ante las variaciones de frecuencia del

área ω∆ se representa como un sistema de primer orden de ganancia K y constante

de tiempo 1T

111G

Kp

sTω−∆ = ∆

+ (5.4)

La ganancia K es la inversa del estatismo permanente 1K R= . El valor típico del

estatismo permanente R es el 4 % = 0.04 pu. Lo que significa que el valor típico de

la ganancia es 25 pu. El valor típico de la constate de tiempo de la regulación

primaria 1T es 10 s.


área interconectada con amortiguamiento de oscilaciones y regulación primaria.

75


amortiguamiento de oscilaciones y regulación primaria.

5.1.4 Regulación secundaria

La respuesta de la regulación secundaria 2Gp∆ se representa como un integrador de

la consigna de potencia del área REFp∆ con una constante tiempo 2T .

22

1G REFp p

sT

−∆ = ∆ (5.5)

El valor típico de la constante de tiempo del integrador de la consigna de potencia 2T

es 100 s. Dada la separación de escalas de tiempo de la regulación primaria y de la

regulación secundaria, la regulación secundaria en lazo cerrado se comportaría como

un sistema de primer orden de constante de tiempo 100 s.

La consigna de potencia del área REFp∆ es en realidad del error de control de área:

REF ICp B pω∆ = ∆ + ∆ (5.6)

donde B es el “bias” de frecuencia del área y ICp∆ es la potencia de intercambio

bajo control. La diferencia entre AGCs centralizados y en cascada vendrá por el

valor de la potencia de intercambio en control. Mientras que en AGCs centralizados

la potencia de intercambio en control es la suma de todas las potencias de

intercambio de cada área, en los AGCs en cascada la potencia de intercambio en

control es la potencia de una determinada interconexión.

76


área interconectada con amortiguamiento de oscilaciones y regulación primaria y

secundaria.


amortiguamiento de oscilaciones y regulación primaria y secundaria.

5.2 Modelo de la red de interconexión

Se supone que cada área se representa como una fuente de tensión ideal. Si se

considera la representación de la red por medio del flujo de cargas en corriente

continua, la potencia total por las interconexiones de un área viene dada por la

ecuación:

,

i

i jI i

j A ij

px

δ δ∈

∆ − ∆∆ = ∑ (5.7)

Si la ecuación (5.7) se expresa en forma matricial resulta:

,1 1

,

,

I

I i i

I N B

p

p

p

δ

δ

δ

∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆

F

⋮ ⋮

⋮ ⋮

(5.8)

77

5.3 Modelo completo del sistema

El modelo completo del sistema comprende el modelo de las áreas y el modelo de la

red de interconexión.

Las entradas de cada área son la potencia de intercambio Ip∆ y la potencia de

intercambio en control ICp∆ y la salida es el ángulo de las fuentes de tensión que

representan eléctricamente las áreas δ∆ . Las entradas a la red de interconexión son

los ángulos de las fuentes de tensión que representan eléctricamente las áreas y las

salidas las potencias de intercambio según la ecuación (5.8).

Las potencias de intercambio en control se obtienen de las potencias de intercambio

de cada área según la expresión:

,1 ,1

, ,

, ,

IC I

IC i I iC

IC N I N

p p

p p

p p

∆ ∆ ∆ ∆= ∆ ∆

F

⋮ ⋮

⋮ ⋮

(5.9)

La Figura 5-7 muestra del diagrama de bloques del modelo completo del sistema.

Figura 5-7: Modelo completo del sistema.

78

6 MÉTODOS DE ESTUDIO DE AGCS CENTRALIZADOS Y

EN CASCADA

Este capítulo detalla los métodos de AGCs centralizados y en cascada. Se va a

estudiar la estabilidad del modelo lineal, el régimen permanente y se va a realizar la

simulación del modelo no lineal en el dominio del tiempo.

6.1 Estabilidad

El estudio de la estabilidad de un sistema con AGCs centralizados o en cascada

requiere la obtención del modelo en espacio de estado del sistema. El modelo en

espacio de estado del sistema completo se obtiene a partir del modelo en espacio de

estado de cada uno de los componentes y de su interconexión.

6.1.1 Dinámica de frecuencia

Las ecuaciones de la dinámica del rotor (5.1)-(5.2) correspondientes al área i-ésima

se pueden expresar en espacio de estado de acuerdo con:

( ), , ,

1

2i

G i D i I ii

dp p p

dt H

ω∆ = ∆ − ∆ − ∆ (6.1)

0i

i

d

dt

δ ω ω∆ = ∆ (6.2)

Además hay que incorporar la ecuación que señala que la variación de generación es

resultado de la suma de las variaciones de generación debidas a la regulación

primaria y a la regulación secundaria:

, 1, 2,G i G i G ip p p∆ = ∆ + ∆ (6.3)

6.1.2 Amortiguamiento de la dinámica del rotor de los generadores

El modelo del amortiguamiento de la dinámica del rotor de los generadores (5.3) se

representa en el dominio de Laplace por un sistema de primer orden de la forma:

1

sTy K u

sT=

+ (6.4)

79

El sistema descrito en el dominio de Laplace por la ecuación (6.4) se puede

representar en espacio de estado como:

( )( )

1x x u

Ty K x u

= − +

= − +

ɺ (6.5)

La Figura 6-1 muestra la elección de la variable de estado en el sistema representado

en el dominio de Laplace por la ecuación (5.3).

Figura 6-1: Representaciones en el dominio de Laplace y de espacio de estado del

amortiguamiento de la dinámica del rotor de los generadores.

Por tanto el modelo en espacio de estado del modelo del amortiguamiento de la

dinámica del rotor de los generadores (5.3) queda:

( ), ,

,

, ,

1A i A i i

W i

A i i A i i i

x xT

P D x D

ω

ω

∆ = −∆ + ∆

∆ = − ∆ + ∆

ɺ

(6.6)

6.1.3 Regulación primaria

El modelo de la regulación primaria (5.4) se representa en el dominio de Laplace por

un sistema de primer orden de la forma:

1

Ky u

sT=

+ (6.7)



80

( )1

x x uT

y Kx

= − +

=

ɺ (6.8)



Figura 6-2: Representaciones en el dominio de Laplace y de espacio de estado del sistema de la

regulación primaria.

Por tanto el modelo en espacio de estado del modelo de la regulación primaria (5.4)

correspondiente al área i-ésima queda:

( )1, 1,

1,

1, 1,

1i i i

i

G i i i

x xT

p K x

ω∆ = −∆ + ∆

∆ = − ∆

ɺ

(6.9)

6.1.4 Regulación secundaria

El modelo de la regulación primaria (5.5)-(5.6) se representa en el dominio de

Laplace por un sistema de primer orden de la forma:

1

y usT

= (6.10)



1

x uT

y x

=

=

ɺ (6.11)



81

Figura 6-3: Representaciones en el dominio de Laplace y de espacio de estado del sistema de la

regulación secundaria.

Por tanto el modelo en espacio de estado del modelo de la regulación secundaria

(5.5)-(5.6) correspondiente al área i-ésima queda:

2, ,2

2, 2,

, ,

1i REF i

G i i

REF i i i IC i

x pT

p x

p B pω

−∆ = ∆

∆ = ∆

∆ = ∆ + ∆

ɺ

(6.12)

6.1.5 Modelo completo del área

Las ecuaciones (6.1),(6.2),(6.6),(6.9) y (6.12) se puede escribir en forma compacta

como un sistema de ecuaciones algebraico diferencial:

82

0

, ,,

1,

1, 1,2,

2,

1 10 0 0 0 0 0 0 0

2 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 10 0 0 0 0 0 0 0

1 10 0 0 0 0 0 0 0

100 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 0

i i

i

i

W i W iA i

i

i ii

i

i i

i

i

H H

T Tx

xT Tx

T

D D

K

B

ωωδ

−

∆ −∆ ∆ −∆ ∆

= −

− − − − −

−

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

,

1,

2,

,

,

1,

2,

,

,

0 0 0 0 1

10

2

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 1

i

i

A i

i

i

A i

G i

G i

G i

REF i

i

I i

IC

x

x

x

P

P

P

P

P

H

P

P

ωδ

∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆ ∆ −

−

∆ + ∆

,,

1

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

i

D ii

H

P

−

+ ∆

(6.13)

que también se puede escribir en forma compacta:

11, 12, 11, 12,1, 2,

21, 22, 21, 22,

i i i iiii i

i i i ii

u∆∆

= + ∆ + ∆ ∆

A A B bxxu

A A B bz0

ɺ (6.14)

donde ix , iz y iu son respectivamente las variables de estado, de ligadura y de

entrada correspondientes al área i-ésima y que son respectivamente:

, 1, 2,Ti i i A i i ix x xω δ = x

, , 1, 2, ,Ti A i G i G i G i REF iP P P P P = z

83

1, , ,T

i I i IC iP P = u

2, ,i D iu P=

6.1.6 Modelo completo del sistema

El modelo completo del sistema se obtiene escribiendo conjuntamente el modelo de

de todas las áreas junto con el modelo de la red de interconexión descrito por las

ecuaciones (5.8) y (5.9). La representación de la red de interconexión es un conjunto

de ecuaciones algebraicas escrito en términos de unas variables de estado (los

ángulos de los rotores de los generadores) y del subcojunto 1u de las variables de

entrada a cada área. En efecto, las ecuaciones (5.8) y (5.9) se pueden escribir como:

I

C I IC

= ∆ − ∆= ∆ − ∆

0 F δ p

0 F p p (6.15)

o en forma compacta en términos de las variables de estado, de ligadura y de entrada

de las áreas interconectadas:

[ ] 1

∆ = + ∆ ∆

A B

x0 J 0 J u

z (6.16)

Si las ecuaciones (6.14) se extienden a todas las áreas y se escriben conjuntamente

con las ecuaciones (6.16) resulta:

11 12 11 12

21 22 21 22 2

1

∆ ∆ = ∆ + ∆ ∆ A B

x A A B x B

0 A A B z B u

0 J 0 J u 0

ɺ

(6.17)

Eliminando las variables de ligadura z y el subconjunto de las variables 1,iu se

obtiene el modelo dinámico lineal en la forma normalizada:

∆ = ∆ + ∆x A x B uɺ (6.18)

El autoanálisis de la matriz de estados, tal y como ha explicado la sección 2,

proporciona información precisa de la estabilidad del sistema.

84

6.2 Régimen permanente

El cálculo del punto de funcionamiento en régimen permanente se puede realizar

teniendo presente que en un punto de equilibrio estable se cumple que:

0∆ =x 0ɺ (6.19)

como:

10 0

−∆ = − ∆x A B u (6.20)

Sin embargo, la presencia de integradores en el modelo del sistema aconseja realizar

el cálculo prescindiendo de algunas ecuaciones.

En una primera instancia se obtiene:

, , , ,

, 1, 2,

,

,

1,

1, 1,

2, 2,

,

, ,

0

0

0

0 1, ,

0

G i A i D i I i

G i G i G i

A i

A i

i

G i i i

G i i

REF i

REF i i IC i

p p p p

p p p

x

p

x i N

p K x

p x

p

p B p

ω

ω

ω

∆ − ∆ − ∆ − ∆ =

∆ = ∆ + ∆ −∆ + ∆ =∆ =

−∆ + ∆ = =∆ = − ∆ ∆ = ∆

∆ = ∆ = ∆ + ∆

… (6.21)

que se puede separar en dos subconjuntos:

, , ,

, 1, 2,

,

1,

, ,

0

0 1, ,

0

0

G i I i D i

G i G i G i

i IC i

G i i

REF i i IC i

p p p

p p p

B p i N

p K

p B p

ωωω

∆ − ∆ = ∆

−∆ + ∆ + ∆ = ∆ + ∆ = =−∆ + ∆ = −∆ + ∆ + ∆ =

… (6.22)

,

,

1,

2, 2,

0

1, ,

A i

A i

i

i G i

p

xi N

x

x p

ωω

∆ = ∆ = ∆ =∆ = ∆ ∆ = ∆

… (6.23)

85

La solución de las ecuaciones (6.22) para cada todas las áreas junto con las

ecuaciones (6.15) proporciona el régimen permanente del sistema. Debe notarse que

las ecuaciones (6.15) en régimen permanente consideran la variación del ángulo de

un área nula al tomarse como referencia. En efecto, las ecuaciones (6.15) quedan:

,1 2

,

,

,1 ,1

, ,

, ,

0

0

0

0

0

0

I

I i i

I N B

IC I

IC i I iC

IC N I N

p

p

p

p p

p p

p p

δ

δ

δ

∆ ∆ ∆ − =∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ − = ∆ ∆

F

F

⋮ ⋮ ⋮

⋮ ⋮ ⋮

⋮ ⋮ ⋮

⋮ ⋮ ⋮

(6.24)

El sistema tiene las siguientes incógnitas 7 x N incógnitas:

, , 1, 2, , ,

, 2, ,

, , , , , , 1, ,i

G i I i G i G i IC i REF i

i N

p p p p p p i N

ωδ

∆∆ =∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ =

…

…

Las ecuaciones (6.22) y (6.24) constituyen un sistema de 7x N ecuaciones con lo que

resulta un sistema compatible determinado de la forma:

=Ax b (6.25)

cuya solución es:

1−=x A b (6.26)

Una vez resuelto el sistema se pueden obtener de forma inmediata las variables de la

ecuación (6.23).

6.3 Simulación no lineal

Se ha desarrollado un modelo de simulación no lineal en Simulink de Matlab. Este

modelo de simulación tiene dos componentes fundamentales: el modelo de

86

simulación de un área y el modelo que integra el los modelos de las áreas y de la red

de interconexión.

La Figura 6-4 muestra el modelo de cada área. El parámetro de entrada a cada área es

su índice. Los datos de entrada están contenidos en un fichero .m y están

almacenados en vectores cuya dimensión es el número de áreas H, D, TW, T1, T2, B,

etc.

3

Pot_gen

2

Incr_w

1

Incr_dSuma5 Suma4 Suma1Límites Incr. de generación

K(n)

s

Integrador RS

w0

s

Integradorángulo2

1

2*H(n)s

Inercia

TD(n).s

TD(n).s+1

Fil tro

1/R(n)

Estatismo

Escalón de demanda

1

TR(n).s+1

Cte. TiempoB(n)

Bias

D(n)

Amortiguación

2

P_I

1

P_IC

Figura 6-4: Modelo de simulación de un área.

87

4

Variac. frec. área 4

3


2


1


P_IC

P_I

Incr_d

Incr_w

Pot_gen

Área 4

P_IC

P_I

Incr_d

Incr_w

Pot_gen

Área 3

P_IC

P_I

Incr_d

Incr_w

Pot_gen

Área 2

P_IC

P_I

Incr_d

Incr_w

Pot_gen

Área 1

PGINTGR2

To Workspace9

delta

To Workspace8

PGINTGR1

To Workspace7

PG4

To Workspace6

PG3

To Workspace5

PG2

To Workspace4

PG1

To Workspace3

PGINTGR4

To Workspace11

PGINTGR3

To Workspace10

PI

To Workspace1

PIC

To Workspace

delta Pot. Interc.

Interconexiones[Bdc]

P. Interc. P. I. Control

Intercambios de Control [F]

1s

Integrator4

1s

Integrator3

1s

Integrator2

1s

Integrator1

[P_I]

Goto2

[P_IC]

Goto1

[P_IC]

From4

[P_I]

From3

Figura 6-5: Modelo de simulación de un sistema de cuatro áreas.

La Figura 6-5 muestra el modelo de un sistema de cuatro áreas. El modelo de las

interconexiones y de los flujos de interconexión es simplemente el producto de dos

matrices.

88

7 RESULTADOS NUMÉRICOS

Este capítulo contiene los resultados de la aplicación de los modelos y métodos

desarrollados en capítulos precedentes a dos casos ejemplos.

Se considera en primer término un sistema de cuatro áreas que corresponde al

sistema interconectado del norte de África en su conexión a la UCTE.

Después se considera un sistema de seis áreas que incluye además la representación

de España y Portugal en su conexión a la UCTE.

7.1 Sistema de cuatro áreas

Se estudia el comportamiento del sistema de cuatro áreas correspondiente al sistema

interconectado del norte de África, formado por los sistemas de Marruecos, Argelia y

Túnez, en su conexión a la UCTE cuando cada sistema está equipado con AGCs

centralizados o con AGCs en cascada.

El estudio del comportamiento del citado sistema analiza tres aspectos: la estabilidad

del modelo lineal, el régimen permanente y las respuestas de los modelos lineal y no-

lineal.

UCTE(Área nº 1)

Marruecos(Área nº 2)

Argelia(Área nº 3)

Túnez(Área nº 4)

UCTE(Área nº 1)



Túnez(Área nº 4)

Figura 7-1: Topología de un sistema de cuatro áreas correspondiente al sistema interconectado

del norte de África.

7.1.1 Descripción del sistema

La Figura 7-1 muestra la topología del sistema de cuatro áreas. Las potencias base de

cada área son está detalladas en la Tabla 7.1.

89

Cuando cada sistema está equipado con AGCs en cascada, todos los AGC controlan

frecuencia y además el AGC del área 2 controla el intercambio entre las áreas 1 y 2,

el AGC del área 3 controla el intercambio entre las áreas 2 y 3 y el AGC del área 4

controla el intercambio entre las áreas 3 y 4.

Tabla 7.1: Sistema de cuatro áreas: Potencias base de las áreas.

56003

20004

32002

3900001

Potencia base (MW)Área nº

56003

20004

32002

3900001


7.1.2 Análisis de estabilidad

Este apartado presenta los resultados del análisis de estabilidad del sistema de cuatro

áreas cuando las áreas están equipadas con AGCs centralizados y en cascada.

La Tabla 7.2 contiene los autovalores del modelo lineal del sistema de cuatro áreas

cuando las áreas están equipadas con AGCs centralizados. La Tabla 7.3 contiene el

módulo de las participaciones de los citados autovalores en las variables que

describen el modelo lineal del sistema. Todos los autovalores tienen parte real

negativa. Por tanto el sistema es estable. Las participaciones permiten asociar los

autovalores a las dinámicas fundamentales del sistema (dinámica de la frecuencia,

amortiguamiento de oscilaciones, regulación primaria y regulación secundaria).

Los autovalores asociados a la regulación primaria tienen una constante de tiempo

próxima a 10 segundos. Los autovalores asociados a la regulación secundaria tienen

una constante de tiempo próxima a 100 segundos.

La Tabla 7.4 contiene los autovalores del modelo lineal del sistema de cuatro áreas

cuando las áreas están equipadas con AGCs en cascada. La Tabla 7.5 contiene el

módulo de las participaciones de los citados autovalores en las variables que

describen el modelo lineal del sistema. También en este caso todos los autovalores

tienen parte real negativa. Por tanto el sistema es estable. De igual forma, las

participaciones permiten asociar los autovalores a las dinámicas fundamentales del

90

sistema (dinámica de la frecuencia, amortiguamiento de oscilaciones, regulación

primaria y regulación secundaria).

91

Tabla 7.2: Autovalores del sistema de cuatro áreas con AGCs centralizados.

Número Real Imaginaria Amortiguamiento (%) Pulsación (rad/s)1,2 -2,8595 17,2004 16,4 17,443,4 -2,7107 13,6367 19,5 13,95,6 -0,5801 3,3566 17,03 3,417,8 -0,0540 0,3863 13,84 0,39

Número Real Constante de tiempo (s)9 -11,2329 0,08902

10 -10,0813 0,0991911 -5,8188 0,171912 -5,5211 0,181113 -0,0999 10,0114 -0,0998 10,0215 -0,0985 10,1516 -0,0100 99,9917 -0,0100 10018 -0,0100 10019 -0,0091 109,420 0,0000 -1,16E+15

Com

plej

osR

eale

s

92

Tabla 7.3: Participaciones de los autovalores del sistema de cuatro áreas con AGCs centralizados.

1,2 3,4 5,6 7,8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20δ1 0.0002 0.0007 0.0140 0.0000 0.0000 0,0029 0,0002 0 0 0 0,0004 0 0 0 0 0,9731δ2 0.2144 0.2973 0.0552 0.0000 0.0000 0,0114 0,082 0,0402 0,0004 0,0008 0,0015 0 0 0 0 0,008δ3 0.1998 0.0158 0.3332 0.0000 0.0000 0,0687 0,0044 0,0375 0,0004 0 0,0089 0,0001 0 0 0 0,014δ4 0.1424 0.2718 0.1528 0.0000 0.0000 0,0315 0,075 0,0267 0,0003 0,0007 0,0041 0 0 0 0 0,005ω1 0.0002 0.0006 0.0071 0.2180 0.5401 0,0128 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0024 0ω2 0.1944 0.2559 0.0278 0.0018 0.0044 0,0502 0,0124 0,0037 0 0 0 0 0 0 0 0ω3 0.1812 0.0136 0.1678 0.0031 0.0078 0,303 0,0007 0,0034 0 0 0 0 0 0 0 0ω4 0.1291 0.2340 0.0769 0.0011 0.0028 0,1389 0,0113 0,0024 0 0 0 0 0 0 0 0xA,1 0.0000 0.0001 0.0072 0.2767 0.4345 0,0154 0,0014 0,0005 0 0 0 0 0 0 0,003 0xA,2 0.0202 0.0418 0.0282 0.0023 0.0036 0,0607 0,5773 0,4215 0 0 0 0 0 0 0 0xA,3 0.0188 0.0022 0.1702 0.0040 0.0062 0,3668 0,0306 0,393 0 0 0 0 0 0 0 0xA,4 0.0134 0.0382 0.0781 0.0014 0.0022 0,1682 0,5278 0,2799 0 0 0 0 0 0 0 0xR1,1 0.0000 0.0000 0.0002 0.4499 0.0014 0 0 0 0,0004 0,0013 0,0249 0 0 0 0,0899 0xR1,2 0.0002 0.0004 0.0008 0.0037 0.0000 0,0002 0,0001 0 0,3846 0,507 0,0981 0 0 0 0,0007 0xR1,3 0.0002 0.0000 0.0046 0.0065 0.0000 0,001 0 0 0,3586 0,0269 0,5923 0,0001 0 0 0,0013 0xR1,4 0.0001 0.0004 0.0021 0.0023 0.0000 0,0004 0,0001 0 0,2554 0,4635 0,2716 0 0 0 0,0005 0xR2,1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0448 0.0001 0 0 0 0 0 0 0,0253 0,0013 0,0004 0,8885 0xR2,2 0.0001 0.0002 0.0002 0.0004 0.0000 0 0,0001 0,0001 0 0,0001 0,0002 0,0994 0,5077 0,385 0,0073 0xR2,3 0.0001 0.0000 0.0010 0.0006 0.0000 0 0 0,0001 0 0 0,001 0,6004 0,0269 0,3589 0,0128 0xR2,4 0.0001 0.0002 0.0005 0.0002 0.0000 0 0,0001 0 0 0,0001 0,0005 0,2753 0,4642 0,2557 0,0046 0

Var

iab

les

de

esta

do

Autovalores

93

Tabla 7.4: Autovalores del sistema de cuatro áreas con AGCs en cascada.

Número Real Imaginaria Amortiguamiento (%) Pulsación (rad/s)1,2 -2,8618 17,2007 16,41 17,443,4 -2,7124 13,6369 19,51 13,95,6 -0,5764 3,3571 16,92 3,417,8 -0,0540 0,3863 13,84 0,399,1 -0,0104 0,0019 98,32 0,01

Número Real Constante de tiempo (s)11 -11,2329 0,0890212 -10,0821 0,0991913 -5,8183 0,171914 -5,5207 0,181115 -0,0999 10,0116 -0,0999 10,0117 -0,0984 10,1618 -0,0091 109,419 -0,0087 114,720 0,0000 -1,42E+14

Com

plej

osR

eale

s

94

Tabla 7.5: Participaciones de los autovalores del sistema de cuatro áreas con AGCs en cascada.

1,2 3,4 5,6 7,8 9,10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20δ1 0,0002 0,0007 0,014 0 0,0718 0 0,0029 0,0002 0 0 0 0,0005 0 0,0361 1δ2 0,2144 0,2973 0,0552 0 0,0031 0 0,0114 0,0819 0,0402 0,0004 0,0007 0,0015 0 0,002 0δ3 0,1998 0,0158 0,3332 0 0,0294 0 0,0686 0,0044 0,0375 0,0004 0,0001 0,0093 0 0,024 0δ4 0,1423 0,2718 0,1528 0 0,0564 0 0,0315 0,075 0,0266 0,0002 0,0007 0,0047 0 0,0582 0ω1 0,0002 0,0006 0,0071 0,2179 0,0009 0,5401 0,0128 0 0 0 0 0 0,0007 0,0017 0ω2 0,1944 0,2559 0,0278 0,0018 0 0,0044 0,0501 0,0124 0,0037 0 0 0 0,0001 0,0001 0ω3 0,1812 0,0136 0,1678 0,0031 0,0004 0,0078 0,303 0,0007 0,0034 0 0 0 0,0011 0,0012 0ω4 0,1291 0,234 0,077 0,0011 0,0007 0,0028 0,139 0,0113 0,0024 0 0 0 0,0041 0,0028 0xA,1 0 0,0001 0,0072 0,2767 0,0012 0,4344 0,0155 0,0014 0,0005 0 0 0 0,0008 0,0022 0xA,2 0,0202 0,0418 0,0282 0,0023 0,0001 0,0036 0,0607 0,5769 0,422 0 0 0 0,0001 0,0001 0xA,3 0,0188 0,0022 0,1701 0,004 0,0005 0,0062 0,3666 0,0308 0,393 0 0 0 0,0014 0,0014 0xA,4 0,0134 0,0382 0,078 0,0014 0,0009 0,0022 0,1682 0,528 0,2794 0 0 0 0,0052 0,0035 0xR1,1 0 0 0,0002 0,4499 0,0358 0,0014 0 0 0 0,4499 0,4499 0,4499 0,0254 0,0651 0xR1,2 0,0002 0,0004 0,0008 0,0037 0,0016 0 0,0002 0,0001 0 0,4499 0,4499 0,4499 0,0022 0,0036 0xR1,3 0,0002 0 0,0046 0,0065 0,0147 0 0,001 0 0 0,4499 0,4499 0,4499 0,0413 0,0432 0xR1,4 0,0001 0,0004 0,0021 0,0023 0,0281 0 0,0004 0,0001 0 0,4499 0,4499 0,4499 0,1569 0,1047 0xR2,1 0 0 0 0,0448 0,2569 0,0001 0 0 0 0 0 0 0,2569 0,2569 0xR2,2 0 0,0001 0,0009 0,0004 0,3702 0 0 0,0001 0 0 0 0,001 0,3702 0,3702 0xR2,3 0,0001 0 0,0014 0,0006 0,3405 0 0 0 0 0 0 0,0015 0,3405 0,3405 0xR2,4 0,0001 0,0002 0,0005 0,0002 0,1194 0 0 0,0001 0 0 0,0001 0,0005 1,5506 0,6955 0

Autovalores

Var

iab

les

de

esta

do

95

La Tabla 7.6 compara los autovalores de los modelos lineales del sistema de cuatro

áreas con AGCs centralizados y en cascada. Se aprecia que de una configuración a

otra los autovalores asociados a la regulación secundaria experimentan una

modificación: se pasa de cuatro autovalores reales en el caso de AGCs centralizados

a dos autovalores reales y una pareja de autovalores complejos conjugados en el caso

de AGCs en cascada. El resto de los autovalores no está afectado por la

configuración del AGC.

Tabla 7.6: Comparación de los autovalores del modelo lineal del sistema de cuatro áreas con

AGCs centralizados y en cascada.

Real Imaginaria Real Imaginaria-2,8595 17,2000 -2,8618 17,2010-2,7107 13,6370 -2,7124 13,6370-0,5801 3,3566 -0,5764 3,3571-0,0540 0,3864 -0,0540 0,3864

-0,0104 0,0019-11,2330 -11,2330-10,0810 -10,0820-5,8188 -5,8183-5,5211 -5,5207-0,0999 -0,0999-0,0998 -0,0999-0,0985 -0,0984-0,0100 -0,0091-0,0100 -0,0087-0,0100 0,0000-0,00910,0000

AGC en cascadaAGCs centralizados

Com

plej

os

Amortiguadores de oscilaciones

RotoresRegulación primariaRegulación secundaria

Rea

les

Variables de mayor participación

7.1.3 Análisis en régimen permanente

Considerando que se produce una variación de potencia demandada de 100 MW en

el área 4 suponiendo que no hay límites de la capacidad de regulación de las áreas los

valores en régimen permanente con AGCs centralizados y en cascada coinciden.

Además la variación de potencia generada por el área 4 es igual a la variación de

potencia demandada por el área 4.

96

Se considera la misma perturbación pero suponiendo ahora que cada área tiene una

reserva a subir y a bajar del 1.5% de su potencia (5850, 48, 84 y 30 MW). Esto

quiere decir que la potencia generada por el área 4 alcanzará su límite. El déficit de

generación del área 4 es atendido por el área adyacente. Con AGCs centralizados

queda un error de frecuencia mientras que con AGCs en cascada se corrige el error

de frecuencia.

Tabla 7.7: Valor final de las variables cuando las áreas están equipadas con AGCs centralizados

tras una variación de demanda de 100 MW en el área 4, considerando que cada área tiene una

reserva a subir y a bajar del 1.5% de su potencia.

Variable Valor finalω -7,0211E-06xA1 -7,0211E-06xA2 -7,0211E-06xA3 -7,0211E-06xA4 -7,0211E-06xR1,1 -7,0211E-06xR1,2 -7,0211E-06xR1,3 -7,0211E-06xR1,4 -7,0211E-06xR2,1 0xR2,2 -9,7145E-17xR2,3 -3,1225E-17xR2,4 -0,29649PG1 0,68455PG2 0,0056169PG3 0,0098295PG4 0,3PI1 0,68455PI2 0,0056169PI3 0,0098295PI4 -0,7PIC1 0,68455PIC2 0,0056169PIC3 0,0098295PIC4 -0,7

97

Tabla 7.8: Valor final de las variables cuando las áreas están equipadas con AGCs en cascada

tras una variación de demanda de 100 MW en el área 4, considerando que cada área tiene una

reserva a subir y a bajar del 1.5% de su potencia.

Variable Valor finalω 0xA1 0xA2 0xA3 0xA4 0xR1,1 0xR1,2 0xR1,3 0xR1,4 0xR2,1 0xR2,2 0xR2,3 -0,7xR2,4 -0,3PG1 0PG2 0PG3 0,7PG4 0,3PI1 0PI2 0PI3 0,7PI4 -0,7PIC1 0PIC2 0PIC3 0PIC4 -0,7

7.1.4 Simulación lineal

A continuación se considera la respuesta tras perturbación consistente en una

variación de potencia demandada de 100 MW en el área 4 suponiendo que no hay

límites de la capacidad de regulación de las áreas.

La Figura 7-2 y la Figura 7-3 muestra la variación de frecuencia en cada área cuando

las áreas están equipadas con AGCs centralizados y en cascada respectivamente. Los

AGCs eliminan el error de frecuencia en régimen permanente.

La Figura 7-4 muestra un detalle de la Figura 7-2 en los 7 primeros segundos tras la

perturbación. Se aprecian las oscilaciones de las áreas 2, 3 y 4 contra el área 1. Es la

oscilación inter-área. También se aprecian las oscilaciones locales en la variación de

frecuencia de cada área. La Figura 7-5 muestra un detalle de la Figura 7-2 en los 35

98

primeros segundos tras la perturbación. En este detalle se aprecia la oscilación lenta

de la de la frecuencia del área 1.

La Figura 7-6 y la Figura 7-7 muestran la variación de potencia generada y energía

en cada área cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados.


en cada área cuando los sistemas están equipados con AGCs en cascada.

En un sistema equipado con AGCs centralizados, ante una variación de demanda en

el sistema más alejado (área 4) del gran sistema que sirve de apoyo (área 1) sólo

experimentan variación en su potencia generada el sistema donde se experimenta la

variación de demanda y en el gran sistema. Lógicamente esa potencia de apoyo del

gran sistema al sistema que experimenta la variación de demanda pasa por todas las

interconexiones. En un sistema con AGC en cascada, ante la misma perturbación,

todos los sistemas experimentan variaciones en su potencia generada. Sin embargo,

en este caso sólo entrega una energía neta el sistema adyacente a aquel que

experimenta la variación de potencia demandada.

0 100 200 300 400 500 600 700−4

−3

−2

−1

0

1

2x 10

−4 AGCS centralizados

Tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(pu)

área 1área 2área 3área 4

Figura 7-2: Variación de frecuencia en cada área ante una variación de potencia demandada en

el área nº 4 cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados.

99

0 100 200 300 400 500 600 700−4

−3

−2

−1

0

1

2x 10

−4 AGCs en casacada

Tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(pu)



el área nº 4 cuando los sistemas están equipados con AGCs en cascada.

9 10 11 12 13 14 15 16 17−4

−3

−2

−1

0

1

2x 10

−4 AGCs centralizados

Tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(pu)



el área nº 4 cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados (detalle de 17

segundos).

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−4

−3

−2

−1

0

1

2x 10


Tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(pu)



el área nº 4 cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados (deltalle de 45

segundos).

0 100 200 300 400 500 600 700−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6AGCs centralizados

Tiempo (s)

Pot

enci

a ge

nera

da (

pu)


Figura 7-6: Variación de potencia generada en cada área ante una variación de potencia

demandada en el área nº 4 cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados.

101

0 100 200 300 400 500 600 700−100

0

100

200

300

400

500

600AGCs centralizados

Tiempo (s)

Ene

rgía

gen

erad

a (p

u)


Figura 7-7: Variación de energía generada en cada área ante una variación de potencia


0 100 200 300 400 500 600 700−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6AGCs en casacada

Tiempo (s)

Pot

enci

a ge

nera

da (

pu)



demandada en el área nº 4 cuando los sistemas están equipados con AGCs en cascada.

102

0 100 200 300 400 500 600 700−100

0

100

200

300

400

500

600AGCs en casacada

Tiempo (s)

Ene

rgía

gen

erad

a (p

u)


Figura 7-9: Variación de energía generada en cada área ante una variación de potencia


7.1.5 Simulación no-lineal

Finalmente se simula la misma perturbación considerando que cada área tiene una

reserva a subir y a bajar del 1.5% de su potencia (5850, 48, 84 y 30 MW).

La Figura 7-10 y la Figura 7-11 muestran la variación de frecuencia y la variación de

potencia generada en cada área ante una variación de potencia demandada de 100

MW en el área nº 4 cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados.

La Figura 7-12 y la Figura 7-13 muestran la variación de frecuencia y la variación de

potencia generada en cada área ante una variación de potencia demandada de 100

MW en el área nº 4 cuando los sistemas están equipados con AGCs en cascada.

Cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados queda un error de

frecuencia en régimen permanente mientras que cuando están equipados con AGCs

en cascada ese error de frecuencia en régimen permanente es nulo. En relación a la

distribución de las potencias generadas, se aprecia que cuando los sistemas están

equipados con AGCs centralizados es el área mayor la que suple la potencia

demandada por el área nº 4 no aportada por ella misma. Por el contrario, cuando los

sistemas están equipados con AGCs en cascada es el área vecina la que suple la

potencia demandada por el área nº 4.

103

0 100 200 300 400 500 600 700−4

−3

−2

−1

0

1

2x 10


Tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(pu)


Figura 7-10: Variación de frecuencia en cada área ante una variación de potencia demandada

en el área nº 4 cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados y las áreas tienen

limitada su reserva al 1.5%.

0 100 200 300 400 500 600 700−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6AGCs centralizados

Tiempo (s)

Pot

enci

a ge

nera

da (

pu)



demandada en el área nº 4 cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados y las

áreas tienen limitada su reserva al 1.5%.

104

0 100 200 300 400 500 600 700−4

−3

−2

−1

0

1

2x 10

−4 AGCs en cascada

Tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(pu)



en el área nº 4 cuando los sistemas están equipados con AGCs en cascada y las áreas tienen


0 100 200 300 400 500 600 700−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6AGCs en cascada

Tiempo (s)

Pot

enci

a ge

nera

da (

pu)



demandada en el área nº 4 cuando los sistemas están equipados con AGCs en cascada y las áreas

tienen limitada su reserva al 1.5%.

7.2 Sistema de seis áreas

Se estudia el comportamiento del sistema de seis áreas correspondiente al sistema

interconectado del norte de África incluyendo la representación de España y Portugal

105

en su conexión a la UCTE cuando cada sistema está equipado con AGCs

centralizados o con AGCs en cascada.

El estudio del comportamiento del citado sistema sólo contempla un aspecto: las

respuestas de los modelos lineal y no-lineal.

La Figura 7-14 muestra la topología del sistema de seis áreas. Las potencias base de

cada área son las detalladas en la Tabla 7.9.

Portugal(Área nº 3)

UCTE(Área nº 1)

España(Área nº 2)



Túnez(Área nº 6)

Portugal(Área nº 3)

UCTE(Área nº 1)

España(Área nº 2)



Túnez(Área nº 6)

Figura 7-14: Topología de un sistema de cuatro áreas correspondiente al sistema interconectado

del norte de África en su conexión a la UCTE.

Tabla 7.9: Sistema de cuatro áreas: Potencias base de las áreas.

405002

80003

56005

20006

32004

3415001


405002

80003

56005

20006

32004

3415001


106

7.2.1 Simulación lineal

A continuación se considera la respuesta tras perturbación consistente en una

variación de potencia demandada de 300 MW en el área 3 suponiendo que no hay

límites de la capacidad de regulación de las áreas.

La Figura 7-15 y la Figura 7-16 muestra la variación de frecuencia en cada área

cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados y AGCs en cascada

respectivamente. Los AGCs eliminan el error de frecuencia en régimen permanente.


en cada área cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados.


en cada área cuando los sistemas están equipados con AGCs en cascada.

En un sistema equipado con AGCs centralizados, ante una variación de demanda en

el área 3, experimentan variación en su potencia generada los sistemas de mayor

tamaño (área 1 y 2), aportando la mayor parte de la energía neta el sistema de mayor

tamaño (área 1).

En un sistema con AGC en cascada, ante la misma perturbación, aunque el área de

mayor tamaño (área 1) experimenta variaciones en su potencia generada, en este caso

sólo entrega una energía neta el sistema adyacente a aquel que experimenta la

variación de potencia demandada.

107

0 100 200 300 400 500 600 700−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2x 10


Tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(pu)

área1 UCTEárea2 ESárea3 PTárea4 MAárea5 DZárea6 TN


en el área nº 3 cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados.

0 100 200 300 400 500 600 700−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2x 10


Tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(pu)



en el área nº 3 cuando los sistemas están equipados con AGCs en cascada.

108

0 100 200 300 400 500 600 700−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4AGCs centralizados

Tiempo (s)

Pot

enci

a ge

nera

da (

pu)




0 100 200 300 400 500 600 700−200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800AGCs centralizados

Tiempo (s)

Ene

rgía

gen

erad

a (p

u)


Figura 7-18: Variación de energía en cada área ante una variación de potencia demandada en el

área nº 3 cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizado.

109

0 100 200 300 400 500 600 700−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4AGCs en cascada

Tiempo (s)

Pot

enci

a ge

nera

dore

s (p

u)




0 100 200 300 400 500 600 700−200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800AGCs en cascada

Tiempo (s)

Ene

rgía

gen

erad

ores

(pu

)


Figura 7-20: Variación de energía en cada área ante una variación de potencia demandada en el

área nº 3 cuando los sistemas están equipados con AGCs en cascada.

7.2.2 Simulación no-lineal

Finalmente se simula la misma perturbación considerando que cada área tiene una

reserva a subir y a bajar del 1.5% de su potencia (5122.50, 600, 127.5, 48, 84 y 30

MW).

110

La Figura 7-21 y la Figura 7-22 muestran la variación de frecuencia en cada área ante

una variación de potencia demandada de 300 MW en el área nº 3 cuando los sistemas

están equipados con AGCs centralizados y AGCs en cascada respectivamente.

La Figura 7-23 y la Figura 7-24 muestran la variación de potencia generada en cada

área ante una variación de potencia demandada de 300 MW en el área nº 3 cuando

los sistemas están equipados con AGCs centralizados y AGCs en cascada

respectivamente.

Cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados queda un error de

frecuencia en régimen permanente mientras que cuando están equipados con AGCs

en cascada ese error de frecuencia en régimen permanente es nulo.

En relación a la distribución de las potencias generadas, se aprecia que cuando los

sistemas están equipados con AGCs centralizados es el área mayor la que suple la

mayor parte de la potencia demandada por el área nº 3 no aportada por ella misma.

Por el contrario, cuando los sistemas están equipados con AGCs en cascada es el área

adyacente la que suple la potencia demandada por el área nº 3.

0 100 200 300 400 500 600 700−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2x 10


Tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(pu)



en el área nº 3 cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados y las áreas tienen


111

0 100 200 300 400 500 600 700−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2x 10


Tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(pu)



en el área nº 3 cuando los sistemas están equipados con AGCs en cascada y las áreas tienen


0 100 200 300 400 500 600 700−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4AGCs centralizados

Tiempo (s)

Pot

enci

a ge

nera

da (

pu)



demandada en el área nº 3 cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados y las


112

0 100 200 300 400 500 600 700−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4AGCs en cascada

Tiempo (s)

Pot

enci

a ge

nera

da (

pu)



demandada en el área nº 4 cuando los sistemas están equipados con AGCs en cascada y las áreas

tienen limitada su reserva al 1.5%.

113

8 CONCLUSIONES

Este proyecto ha estudiado dos configuraciones de los AGCs: centralizados y en

cascada.

En los AGCs centralizados se controla la frecuencia y el intercambio neto con todas

las áreas vecinas. En los AGCs en cascada se controla la frecuencia y el intercambio

con uno de los sistemas vecinos, típicamente el más grande. El AGC del sistema

español está en cascada con el sistema francés: sólo se controla el intercambio con

Francia; Portugal y Marruecos controlan el intercambio con España.

El estudio de los AGCs centralizados ha estado motivado por el plan de instalar un

AGC en los países del norte de África y en el interés por reevaluar la configuración

del AGC del sistema español.

El estudio de los AGCs centralizados y en cascada ha atendido a una triple vertiente:

1. Estudio de la estabilidad.

2. Estudio del régimen permanente tras una perturbación.

3. Estudio de la respuesta transitoria tras grandes y pequeñas perturbaciones.

Para realizar dichos estudios se han desarrollado modelos y aplicado métodos

apropiados.

Las conclusiones que se derivan del estudio son:

• Los AGCs centralizados y en cascada son sistemas estables.

• Los AGCs centralizados y en cascada corrigen el error de frecuencia y de la

potencia de intercambio en régimen permanente.

• En sistemas equipados con AGCs centralizados y con suficiente reserva en

todas las áreas, ante una variación de demanda en el sistema más alejado del

gran sistema que sirve de apoyo, sólo experimentan variación en su potencia

generada el sistema donde se experimenta la variación de demanda y en el

gran sistema.

114

• En sistemas equipados con AGC en cascada y con suficiente reserva, ante la

misma perturbación, todos los sistemas experimentan variaciones en su

potencia generada. Sin embargo, en este caso sólo entrega una energía neta el

sistema adyacente a aquel que experimenta la variación de potencia

demandada.

• En sistemas equipados con AGCs centralizados y con reserva limitada queda

un error de frecuencia en régimen permanente mientras que cuando están

equipados con AGCs en cascada ese error de frecuencia en régimen

permanente es nulo. En relación a la distribución de las potencias generadas,

se aprecia que cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados es

el área mayor la que suple la potencia demandada por el área donde se

experimenta la perturbación no aportada por ella misma. Por el contrario,

cuando los sistemas están equipados con AGCs en cascada es el área vecina la

que suple la potencia demandada por el área donde se experimenta la

perturbación.

Algunos resultados de este proyecto están recogidos en la ponencia:


en Cascada”, X Congreso Luso Español de Ingeniería Eléctrica que se celebrará en

Funchal (Madeira) entre los días 5 y 7 de julio de 2007.

115

9 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] “Arab Union of Producers, Transporters and Distributors of Electricity”,

http://www.auptde.org.

[2] V. García-Echave, L. Paradinas, J.M. Ferrer, F. Las Heras y J.J. Gonzales,

"Regulation System for the Coordination of the Multiple AGC's of the Spanish

Peninsular Utilities as a Unique Control Area. Description and Field

Experiences" Cigré Session, Paris, 1984.

[3] A. Gómez Expósito (Editor), “Análisis y operación de sistemas de energía

eléctrica”, Mc Graw Hill, Madrid, 2002.

[4] P. Kundur, “Power System Stability and Control”, Mc Graw Hill, New York

1994.

[5] I. J. Pérez-Arriaga, G. C. Verghese, F. C. Schweppe, ``Selective Modal

Analysis with Applications to Electric Power Systems. Part I: Heuristic

Introduction. Part II: The Dynamic Stability Problem''. IEEE Transactions on

Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-101, No. 9, September 1982, pp.

3117-3134.

[6] J. M. Rodríguez, C. Puentes, V. González, L. Ballester y G. de Montravel, “La

Extensión de la Zona Síncrona de la UCTE. El Caso Interconexión Túnez-

Libia”, XI Encuentro Regional Iberoamericano de Cigré, Hernandarias,

Paragüay, 22-26 mayo 2005.

[7] G.J. Rogers, “Power System Oscillations”, Kluwer Academia Publishers.

[8] “Union for the Co-ordination of Transmission of Electricity (UCTE)”,

www.ucte.org.

[9] Union for the Co-ordination of Transmission of Electricity UCTE, UCTE

Operational Handbook, disponible en www.ucte.org, 2004.

116

10 ANEXO

1

Comparación de la Respuesta de AGCs Centralizados y en Cascada

A. Fernández(1) y L. Rouco(1)

(1) Universidad Pontificia Comillas

E.T.S. de Ingeniería (ICAI) Calle de Alberto Aguilera nº 23, 28015 Madrid, España, [email protected]

Resumen En los AGCs centralizados el control frecuencia-potencia secundario controla la frecuencia y el intercambio neto con todos los sistemas vecinos. En sistemas eléctricos de configuración radial, los denominados AGCs en cascada controlan la frecuencia y el intercambio con el sistema que lo conecta al sistema de mayor tamaño. Este artículo compara la respuesta de los AGCs centralizados y en cascada.

Palabras clave: AGCs centralizados, AGCs en cascada, estabilidad, simulación. 1 Introducción La misión del control frecuencia-potencia en los sistemas interconectados es el mantenimiento de la frecuencia y de los intercambios con los sistemas vecinos ante variaciones de la generación o la demanda [1]. El control frecuencia-potencia se realiza por medio de dos lazos de control anidados que actúan en diferentes escalas de tiempo: el control primario realizado por los reguladores carga-velocidad de los grupos generadores y el control secundario realizado por el control automático de generación (Automatic Generation Control, AGC, en la literatura técnica en inglés). El control frecuencia-potencia secundario tiene por misión eliminar los errores de frecuencia y de intercambio que quedan en el sistema tras la actuación del control frecuencia-potencia primario. Cuando un sistema está interconectado con varios sistemas, el control frecuencia-potencia secundario controla el error del intercambio neto con todos los sistemas. Sin embargo, cuando la conexión de los sistemas es radial y el tamaño es muy diferente, entonces el control frecuencia-potencia secundario puede controlar sólo el intercambio con el sistema más grande. Un ejemplo, puede ayudar a comprender mejor este caso. El sistema peninsular español está conectado con Francia, Portugal y Marruecos. En la configuración estándar del AGC, que denominaremos centralizado en este artículo, el AGC del sistema español controlaría el intercambio neto con Francia, Portugal y Marruecos [2]. Sin embargo, debido al tamaño de los sistemas portugués y marroquí y a que sólo el sistema español está conectado con el sistema francés, el AGC español sólo controla el intercambio con Francia. Por otra parte, los AGC portugués y marroquí sólo controlan sus respectivos intercambios con el sistema español (las desviaciones de los intercambios de los sistemas portugués y marroquí con el sistema español son perturbaciones en la demanda del sistema español). Además, el intercambio entre los sistemas español y francés sólo es controlado por el AGC español (la desviación del intercambio entre el sistema español y francés es una perturbación en la demanda del sistema francés). Esta configuración de los AGC se denomina en cascada.

2

Este artículo compara la respuesta de los AGCs centralizados y en cascada en el caso de la implantación de un AGC en el sistema interconectado del norte de África formado por Marruecos, Argelia y Túnez conectado a la UCTE a través del sistema español [3]. Para ello se han desarrollado modelos de simulación que reflejen los aspectos fundamentales del comportamiento de la respuesta de los controles frecuencia-potencia primario y secundario y que permita implantar fácilmente AGCs centralizados y en cascada en sistemas de diferentes tamaño.

Fig. 1: Modelo de simulación de un sistema de cuatro áreas.

Fig. 2: Modelo de simulación de un área.

2 Modelo de simulación La Fig. 1 muestra el modelo de cuatro áreas interconectadas. El modelo comprende el modelo de cada área, el modelo de las interconexiones y el modelo de los intercambios en control. Todas las variables son desviaciones con relación a sus puntos de funcionamiento. El modelo de cada área está detallado en la Fig. 2. Sus entradas son la potencia de intercambio y la potencia de intercambio en control y su salida es el ángulo.

3

Debe notarse que cuando se considera un AGC centralizado las potencias de intercambio y de intercambio en control coinciden. Sin embargo, cuando se considera un AGC en cascada las potencias de intercambio y de intercambio en control pueden no coincidir. El modelo de cada área comprende: el modelo de la dinámica del rotor de los generadores del área (supone frecuencia uniforme en cada área), el modelo del amortiguamiento de las oscilaciones mecánicas entre áreas (no confundir con la variación de la demanda con la frecuencia), el modelo de la regulación primaria (caracterizado por un sistema de primer orden cuya ganancia es el inverso del estatismo permanente y cuya constante de tiempo es de 10 segundos) y el modelo de la regulación secundaria (cuya entrada es el error de control de área, Area Control Error, ACE, en la literatura técnica en inglés, gobernada por un integrador que en lazo cerrado dé lugar a un sistema de primer orden de constante de tiempo 100 segundos). El modelo de amortiguamiento de las oscilaciones mecánicas entre las áreas representa de forma aproximada la contribución de los controles de la excitación de los generadores (estabilizadores del sistema de potencia) al amortiguamiento de las citadas oscilaciones. Se ha representado el filtro paso alto de los estabilizadores del sistema de potencia que logra que estos dispositivos no actúen en caso de un error en régimen permanente de la frecuencia del área (velocidad de los generadores del área). El modelo de las interconexiones está dado por las ecuaciones linealizadas de la red eléctrica que relaciona las variaciones de los ángulos internos de los generadores con las potencias activas suministradas por los generadores. Estas ecuaciones se pueden aproximar a su vez a las del flujo de cargas en corriente continua de la red eléctrica reducido a los nudos internos de los generadores.

UCTE(Área nº 1)



Túnez(Área nº 4)

UCTE(Área nº 1)



Túnez(Área nº 4)

Fig. 3: Topología de un sistema de cuatro áreas correspondiente al sistema interconectado del

norte de África. 3 Resultados Se estudia el comportamiento del sistema de cuatro áreas correspondiente al sistema interconectado del norte de África en su conexión a la UCTE (la Fig. 3 muestra su topología) cuando cada sistema está equipado con AGCs centralizados o con AGCs en cascada. Cuando cada sistema está equipado con AGCs en cascada, todos los AGC controlan frecuencia y además el AGC del área 2 controla el intercambio entre las áreas 1 y 2, el AGC del área 3 controla el intercambio entre las áreas 2 y 3 y el AGC del área 4 controla el intercambio entre las áreas 3 y 4. Las potencias base de cada área son respectivamente 390000, 3200, 5600 y 2000 MW (ver [2] y [4]).

4

El estudio del comportamiento del citado sistema analiza tres aspectos: la estabilidad del modelo lineal y las respuestas de los modelos lineal y no-lineal. La Tabla I compara los autovalores de los modelos lineales del sistema de cuatro áreas con AGCs centralizados y en cascada. Se comprueba en primer término que tanto los AGCs centralizados como los AGCs en cascada son sistemas estables. Mediante los factores de participación se han obtenido las relaciones entre los autovalores y los componentes del modelo descritos por sus variables de estado. Se aprecian autovalores que corresponden a la dinámica de los rotores (oscilaciones electromecánicas), a la regulación primaria, a la regulación secundaria y a los filtros de los amortiguadores de oscilaciones. Se aprecia que de una configuración a otra los autovalores asociados a la regulación secundaria experimentan una modificación: se pasa de cuatro autovalores reales en el caso de AGCs centralizados a dos autovalores reales y una pareja de autovalores complejos conjugados en el caso de AGCs en cascada. TABLA I: COMPARACIÓN DE LOS AUTOVALORES DEL MODELO LINEAL DEL SISTEMA DE CUATRO

ÁREAS CON AGCS CENTRALIZADOS Y EN CASCADA.

Real Imaginaria Real Imaginaria-2,8595 17,2000 -2,8618 17,2010-2,7107 13,6370 -2,7124 13,6370-0,5801 3,3566 -0,5764 3,3571-0,0540 0,3864 -0,0540 0,3864

-0,0104 0,0019-11,2330 -11,2330-10,0810 -10,0820-5,8188 -5,8183-5,5211 -5,5207-0,0999 -0,0999-0,0998 -0,0999-0,0985 -0,0984-0,0100 -0,0091-0,0100 -0,0087-0,0100 0,0000-0,00910,0000

AGC en cascadaAGCs centralizados

Com

plej

os

Amortiguadores de oscilaciones

RotoresRegulación primariaRegulación secundaria

Rea

les

Variables de mayor participación

A continuación se considera la respuesta tras perturbación consistente en una variación de potencia demandada de 100 MW en el área 4 suponiendo que no hay límites de la capacidad de regulación de las áreas. La Fig. 4 y la Fig. 5 muestran la variación de potencia generada y energía en cada área cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados y AGCs en cascada respectivamente. En un sistema equipado con AGCs centralizados, ante una variación de demanda en el sistema más alejado (área 4) del gran sistema que sirve de apoyo (área 1) sólo experimentan variación en su potencia generada el sistema donde se experimenta la variación de demanda y en el gran sistema. Lógicamente esa potencia de apoyo del gran sistema al sistema que experimenta la variación de demanda pasa por todas las

5

interconexiones. En un sistema con AGC en cascada, ante la misma perturbación, todos los sistemas experimentan variaciones en su potencia generada. Sin embargo, en este caso sólo entrega una energía neta el sistema adyacente a aquel que experimenta la variación de potencia demandada.

0 100 200 300 400 500 600 700-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Potencia generadores vs. tiempo

Tiempo (s)

Pot

enci

a ge

nera

dore

s (p

u)

área 1

área 2área 3

área 4

0 100 200 300 400 500 600 700-100

0

100

200

300

400

500

600Energía generadores vs. tiempo

Tiempo (s)

Ene

rgía

gen

erad

ores

(pu

)

área 1

área 2área 3

área 4

Fig. 4: Variación de potencia generada y energía en cada área ante una variación de potencia


0 100 200 300 400 500 600 700-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Tiempo (s)

Pot

enci

a ge

nera

dore

s (p

u)

área 1

área 2área 3

área 4

0 100 200 300 400 500 600 700-100

0

100

200

300

400

500

600Energía generadores vs. tiempo

Tiempo (s)

Ene

rgía

gen

erad

ores

(pu

)

área 1

área 2área 3

área 4

Fig. 5: Variación de potencia generada y energía en cada área ante una variación de potencia

demandada en el área nº 4 cuando los sistemas están equipados con AGCs en cascada. Finalmente se simula la misma perturbación considerando que cada área tiene una reserva a subir y a bajar del 1.5% de su potencia (5850, 48, 84 y 30 MW). La Fig. 6 y la Fig. 7 muestran la variación de frecuencia y la variación de potencia generada en cada área ante una variación de potencia demandada de 100 MW en el área nº 4 cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados y AGCs en cascada respectivamente. Cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados queda un error de frecuencia en régimen permanente mientras que cuando están equipados con AGCs en cascada ese error de frecuencia en régimen permanente es nulo. En relación a la distribución de las potencias generadas, se aprecia que cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados es el área mayor la que suple la potencia demandada por el área nº 4 no aportada por ella misma. Por el contrario, cuando los sistemas están equipados con AGCs en cascada es el área vecina la que suple la potencia demandada por el área nº 4. 4 Conclusiones Este artículo compara el comportamiento de sistemas eléctricos con AGCs centralizados y en cascada. Para ello se ha desarrollado un modelo apropiado de simulación que

6

refleja los aspectos fundamentales de su comportamiento. Se ha comprobado que tanto los sistemas con AGCs centralizados como con AGCs en cascada son estables. También se ha analizado las respuestas lineal y no lineal. La respuesta no-lineal aparece cuando se tiene en cuenta la limitación de reserva en cada área. Ambos esquemas (AGCs centralizados y en cascada) ofrecen ventajas e inconvenientes. En caso de que se preste atención a la respuesta lineal, los AGCs centralizados son superiores. Por el contrario, si presta atención a la respuesta no lineal, los AGCs en cascada son superiores.

0 100 200 300 400 500 600-4

-3

-2

-1

0

1

2x 10

-4 Frecuencia vs. tiempo

Tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(pu)

área 1

área 2área 3

área 4

0 100 200 300 400 500 600-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Tiempo (s)

Pot

enci

a ge

nera

dore

s (p

u)

área 1

área 2área 3

área 4

Fig. 6: Variación de frecuencia y potencia generada en cada área ante una variación de potencia demandada en el área nº 4 cuando los sistemas están equipados con AGCs centralizados y las


0 100 200 300 400 500 600-4

-3

-2

-1

0

1

2x 10

-4 Frecuencia vs. tiempo

Tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(pu)

área 1

área 2área 3

área 4

0 100 200 300 400 500 600-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Tiempo (s)

Pot

enci

a ge

nera

dore

s (p

u)

área 1

área 2área 3

área 4

Fig. 7: Variación de frecuencia y potencia generada en cada área ante una variación de potencia

demandada en el área nº 4 cuando los sistemas están equipados con AGCs en cascada y las áreas tienen limitada su reserva al 1.5%.

Referencias [1] P. Kundur, “Power System Stability and Control”, Mc Graw Hill, 1994. [2] “Union for the Co-ordination of Transmission of Electricity (UCTE)”,

www.ucte.org. [3] J. M. Rodríguez, C. Puentes, V. González, L. Ballester y G. de Montravel, “La

Extensión de la Zona Síncrona de la UCTE. El Caso Interconexión Túnez-Libia”, XI Encuentro Regional Iberoamericano de Cigré, Hernandarias, Paragüay, 22-26 mayo 2005.

[4] “Arab Union of Producers, Transporters and Distributors of Electricity”, http://www.auptde.org.

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