ajustemodelosvariosserieestacionalmultiplicativa022013

7/17/2019 ajustemodelosvariosserieestacionalmultiplicativa022013

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AJUSTE DE UNA SERIE ESTACIONAL

MULTIPLICATIVA CON MODELOS GLOBALES Y

LOCALES

Considere la serie de produccion trimestral de cemento portland una serie estacional mul-tiplicativa que va desde trimestre 1 de 1956 a trimestre 3 de 1994, presentada en la Figura 1.Se desea ajustar esta serie e implementar la estrategia de validacion cruzada ajustando conlos primeros n = 151 datos de la serie y pronosticando los ultimos m = 4 datos que corres-ponde al perıodo comprendido entre el cuarto trimestre de 1993 al tercer trimestre de 1994.En la Figura 2 se presenta la descomposicion multiplicativa de la serie original y la aditiva desu logaritmo, mediante la funcion R decompose().

Producción trimestral cemento portlandMiles de ton. Q11956−Q31994

Time

y t

1960 1970 1980 1990

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

Log de producción trimestral cemento portlandMiles de ton. Q11956−Q31994

Time

l o g

( y t )

1960 1970 1980 1990

6 . 5

7 . 0

7 . 5

Figura 1: Izq.: Serie de produccion trimestral de cemento portland y Der.: su logaritmo

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

o b s e r v e

d

6 0 0

1 0 0 0

1 4 0 0

1 8 0 0

t r e n

d

0 . 9

0

0 . 9

4

0 . 9

8

1 . 0

2

s e a s o n a

l

0 . 9

4

0 . 9

8

1 . 0

2

1 . 0

6

1960 1970 1980 1990

r a n

d o m

Time

Decomposition of multiplicative time series

6 . 5

7 . 0

7 . 5

o b s e r v e

d

6 . 4

6 . 8

7 . 2

t r e n

d

− 0 . 1

0

− 0 . 0

5

0 . 0

0

0 . 0

5

s e a s o n a

l

− 0 . 0

6

− 0 . 0

2

0 . 0

2

0 . 0

6

1960 1970 1980 1990

r a n

d o m

Time

Decomposition of additive time series

Figura 2: Izq.: Descomposicion multiplicativa serie de produccion trimestral de cemento portland, Der.: Descomposicion aditiva delLog de la serie, ambas con funcion R decompose()

De la descomposicion, sobre la serie de la tendencia son evidentes la presencia de ciclos y

1



que la serie tiende a crecer en forma no lineal.

1 . Mo de lo 1

Inicialmente vamos a considerar un modelo de regresion global con tendencia cuadratica y estacionalidad trimestral determinıstica con indicadoras, para el logaritmo de la serie, esdecir,

Modelo Log-cuadratico estacional: log(Y t) = β 0 + β 1t + β 2t2 +

3i=1

δ iI i,t + E t, E tiid∼ N (0, σ2) (1)

El ajuste con R arroja los parametros estimados presentados en la Tabla 1.

Tabla 1: Parametros ajustados en modelo Log-cuadratico estacionalParametro Estimacion Error Estandar T 0 P (|t145| > |T 0|)

β0 6.3076 0.0205 308.04 0.0000β1 0.0155 0.0005 28.97 0.0000

β2 -5.6729×10−5 0.0000 -16.66 0.0000δ1 -0.1324 0.0164 -8.07 0.0000δ2 -0.0185 0.0164 -1.13 0.2610δ3 0.0152 0.0164 0.93 0.3559√

MSE = 0.07107, R2adj = 0.9533, df = 145 (escala log).

Crit. de inf. con C ∗n( p): AIC = 9.16853, BIC = 9.288422*valores de C ∗n( p) en escala original

Con estos resultados se pronostican los siguientes m = 4 periodos (t =152 a 155)

Y 151(L) ≈ exp

6.3076 + 0.0155(151 + L) − 5.6729 × 10−5(151 + L)2

−0.1324I 1,151+L − 0.0185I 2,151+L + 0.0152I 3,151+L] × exp

(0.07107)2

2

L = 1, · · · , m. Los pronosticos que se obtienen y sus intervalos de prediccion del 95% sonpresentados en la Tabla 2 y la precision de los pronosticos en la Tabla 3. En la Figura 3 seaprecia la serie real, ajustada y pronosticada segun el modelo Log-cuadratico estacional.

Tabla 2: Pronosticos Modelo Log-cuadratico estacional - Miles de ton.

Per ıodo L real pronosti co Lim. Inf Li m. Sup1993 Q4 1 1777 1559.005 1346.977 1804.4091994 Q1 2 1468 1363.155 1177.658 1577.869

1994 Q2 3 1732 1524.635 1316.905 1765.1331994 Q3 4 1962 1573.712 1359.018 1822.323

Tabla 3: Precision pronosticos Modelo Log-

cuadratico estacionalMedida Resultado

ME 229.62RMSE 251.14

MAE 229.62MPE 12.79

MAPE 12.79

En la Figura 4 se aprecian los graficos de residuales obtenidos del ajuste en escala loga-

rıtmica, es decir E t vs. t y E t vs. log(Y t), donde E t = log(Y t) − log(Y t).

¿Que se concluye sobre la calidad del ajuste y de los pronosticos con este modelo? ¿Cual

es la interpretacion de los δ i?

2



Serie real, ajustes y pronósticos

Modelo Log cuadrático estacional

Time

y t

1960 1970 1980 1990

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

OriginalAjustadaPronósticos

Figura 3: Serie real, ajustada y pronosticos para la validacion cruzada, modelo Log-cuadratico estacional

Residuos vs. t en escala Log


Time

r e s

i d u a

l s ( m o

d e

l o 1 )

0 50 100 150

− 0

. 2

− 0

. 1

0 . 0

0 . 1

0 . 2

6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 7.2 7.4

− 0

. 2

− 0

. 1

0 . 0

0 . 1

0 . 2

Residuos vs. ajustados en escala Log


fitted(modelo1)

r e s

i d u a

l s ( m o

d e

l o 1 )

Figura 4: Residuales en escala Log, ajuste Log-cuadratico estacional

2 . Mo de lo 1 b

Considere ahora un modelo de regresion global de tendencia cubica y estacionalidad con variables indicadoras, de nuevo en escala logarıtmica, es decir, el modelo

Modelo Log-cubico estacional: log(Y t) = β 0 + β 1t + β 2t2 + β 3t3 +3

i=1

δ iI i,t + E t, E tiid∼ N (0, σ2) (2)

El ajuste con R produce la siguiente tabla de parametros ajustados:

Tabla 4: Parametros ajustados en modelo Log-cubico estacional

Parametro Estimacion Error Estandar T 0 P (|t144| > |T 0|)β0 6.2508 0.0249 251.3447 0.0000β1 0.0199 0.0013 15.3924 0.0000

β2 -1.2897×10−4 0.0000 -6.5427 0.0000

β3 3.1684×10−7 0.0000 3.7161 0.0003δ1 -0.1317 0.0157 -8.3657 0.0000δ2 -0.0185 0.0157 -1.1772 0.2410δ3 0.0145 0.0157 0.9188 0.3597√

MSE = 0.06813, R2adj = 0.9571, df = 144 (escala log).

Crit. de inf. con C ∗n( p): AIC = 9.104435, BIC = 9.244309*valores de C ∗n( p) en escala original

Con estos resultados se pronostican los siguientes m = 4 periodos (t =152 a 155)

3



Y 151(L) ≈ exp

6.2508 + 0.0199(151 + L) − 1.2897 × 10−4(151 + L)2 + 3.1684 × 10−7(151 + L)3

−0.1317I 1,151+L − 0.0185I 2,151+L + 0.0145I 3,151+L] × exp

(0.06813)2

2

L = 1, · · · , m. Los pronosticos que se obtienen y sus intervalos de prediccion del 95% sonpresentados en la Tabla 5 y la precision de los pronosticos en la Tabla 6. En la Figura 5 seaprecia la serie real, ajustada y pronosticada segun el modelo Log-cubico estacional.

Tabla 5: Pronosticos Modelo Log-cubico estacional - Miles de ton.Per ıodo L real pronosti co Lim. Inf Li m. Sup

1993 Q4 1 1777 1649.702 1429.387 1903.9761994 Q1 2 1468 1450.015 1255.496 1674.6711994 Q2 3 1732 1628.089 1408.739 1881.5941994 Q3 4 1962 1687.280 1458.900 1951.411

Tabla 6: Precision pronosticos Modelo Log-

cubico estacionalMedida Resultado

ME 130.98RMSE 160.31

MAE 130.98MPE 7.10

MAPE 7.10

Serie real, ajustes y pronósticosModelo Log cúbico estacional

Time

y t

1960 1970 1980 1990

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0


Figura 5: Serie real, ajustada y pronosticos para la validacion cruzada, modelo Log-cubico estacional

En la Figura 6 se aprecian los graficos de residuales obtenidos del ajuste en escala loga-

rıtmica, es decir E t vs. t y E t vs.

log(Y t), donde E t = log(Y t) −

log(Y t).

Residuos vs. t en escala LogModelo Log cúbico estacional

Time

r e s

i d u a

l s ( m o

d e

l o 1 b )

0 50 100 150

− 0

. 2

− 0

. 1

0 . 0

0 . 1

0 . 2

6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 7.2 7.4

− 0

. 2

− 0

. 1

0 . 0

0 . 1

0 . 2

Residuos vs. ajustados en escala LogModelo Log cúbico estacional

fitted(modelo1b)

r e s

i d u a

l s ( m o

d e

l o 1 b )

Figura 6: Residuales en escala Log, ajuste Log-cubico estacional

4



¿Que se concluye sobre la calidad del ajuste y de los pronosticos con este modelo? ¿Esmejor este modelo que el de tendencia cuadratica?

3 . Mo de lo 2

Considere el modelo exponencial estacional especificado de la siguiente manera:

Modelo exponencial cuad. estacional: Y t = exp(β 0 + β 1t + β 2t2 +

3i=1

δ iI i,t) + E t, E tiid∼ N (0, σ2) (3)

Para ajustar este modelo usando la funcion R nls() para regresion no lineal, debemos deter-

minar valores iniciales para los parametros de regresion desconocidos. Para ello nos valemosde la regresion especificada en el modelo Log-cuadratico estacional, por tanto, usando los valores estimados de los parametros hallados para modelo1, se realiza el ajuste del modeloexponencial en modelo2. La Tabla 7 presenta los estimaciones de los parametros obtenidos,

Tabla 7: Parametros ajustados en modelo exponencial cuadratico estacional

Parametro Estimacion Error Estandar T 0 P (|t145| > |T 0|)β0 6.3550 0.0332 191.708 0.0000β1 0.0143 0.0008 18.714 0.0000

β2 -4.9977×10−5 0.0000 -11.588 0.0000δ1 -0.1432 0.0188 -7.602 0.0000δ2 -0.0290 0.0177 -1.643 0.1020δ3 0.0063 0.0173 0.362 0.7180

Crit. de inf. con C ∗n( p): AIC = 9.148441, BIC = 9.268333, df = 145

Los pronosticos para los siguientes m = 4 perıodos (t = 152 a 155) se obtienen segun la siguiente ecuacion:

Y 151(L) = exp

6.3550 + 0.0143(151 + L) − 4.9977 × 10−5(151 + L)2

−0.1432I 1,151+L − 0.0290I 2,151+L + 0.0063I 3,151+L]

La Tabla 8 muestra los pronosticos puntuales y en la Tabla 9 se presentan las medidasde precision de pronosticos (actualmente, la funcion predict() no proporciona lımites deprediccion para un objeto nls). En la Figura 7 se presenta los ajustes y pronosticos con elmodelo exponencial estacional y en la Figura 8 se presentan los residuales.

Tabla 8: Pronosticos con Modelo exponencial cuadratico estacionalPer ıodo

Ano Q1 Q2 Q3 Q41993 - - - 1601.561994 1386.64 1552.73 1606.77 -

Tabla 9: Precision pronosticos Modelo ex-

ponencial cuadratico estacional

Medida ResultadoME 197.83

RMSE 221.21MAE 197.83MPE 10.97

MAPE 10.97

5




Modelo exponencial cuadrático estacional

Time

y t

1960 1970 1980 1990

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

OriginalAjustada

Pronósticos

Figura 7: Serie real, ajustada y pronosticos para la validacion cruzada, modelo exponencial cuadratico estacional

Residuos vs. tModelo exponencial cuadrático estacional

Time

r e

s i d u a

l s ( m o

d e

l o 2 )

0 50 100 150

− 3 0 0

− 2 0 0

− 1 0 0

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

600 800 1000 1200 1400 1600

− 3 0 0

− 2 0 0

− 1 0 0

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

Residuos vs. ajustadosModelo exponencial cuadrático estacional

fitted(modelo2)

r e

s i d u a

l s ( m o

d e

l o 2 )

Figura 8: Residuales en ajuste exponencial cuadratico estacional

4 . Mo de lo 2 b

Considere el modelo exponencial estacional especificado de la siguiente manera:

Modelo exponencial cubico estacional: Y t = exp(β 0+β 1t+β 2t2+β 3t3 +3

i=1

δ iI i,t)+E t, E tiid∼ N (0, σ2)

(4)Para ajustar este modelo usando la funcion R nls() usamos como valores iniciales para losparametros, los estimados el modelo Log-cubico estacional. La Tabla 10 presenta los estima-ciones de los parametros obtenidos,

Tabla 10: Parametros ajustados en modelo exponencial cubico estacionalParametro Estimacion Error Estandar T 0 P (|t144| > |T 0|)

β0 6.2547 0.0475 131.6348 0.0000β1 0.0201 0.0021 9.6295 0.0000

β2 -1.3229×10−4 0.0000 -4.7567 0.0000

β3 3.3012×10−7 0.0000 2.9983 0.0032δ1 -0.1431 0.0183 -7.8079 0.0000δ2 -0.0296 0.0172 -1.7195 0.0877δ3 0.0051 0.0169 0.3039 0.7616

Crit. de inf. con C ∗

n( p): AIC = 9.100153, BIC = 9.240027, df = 144

Los pronosticos para los siguientes m = 4 perıodos (t = 152 a 155) se obtienen segun la

6



siguiente ecuacion:

Y 151(L) = exp

6.2547 + 0.0201(151 + L) − 1.3229 × 10−4(151 + L)2 + 3.3012 × 10−7(152 + L)3

−0.1431I 1,151+L − 0.0296I 2,151+L + 0.0051I 3,151+L]

La Tabla 11 muestra los pronosticos puntuales y en la Tabla 12 se presentan las medidasde precision de pronosticos. En la Figura 9 se presenta los ajustes y pronosticos con el modeloexponencial estacional y en la Figura 10 se presentan los residuales.

Tabla 11: Pronosticos con Modelo exponencial cubico estacional

Per ıodo Ano Q1 Q2 Q3 Q41993 - - - 1668.8571994 1450.493 1629.504 1691.936 -

Tabla 12: Precision pronosticos Modelo

exponencial cubico estacionalMedida Resultado

ME 124.55RMSE 154.47

MAE 124.55MPE 6.74

MAPE 6.74


Modelo exponencial cúbico estacional

Time

y t

1960 1970 1980 1990

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

Original

AjustadaPronósticos

Figura 9: Serie real, ajustada y pronosticos para la validacion cruzada, modelo exponencial cubico estacional

Residuos vs. t


Time

r e s

i d u a

l s ( m o

d e

l o 2 b )

0 50 100 150

−

3 0 0

− 2 0 0

− 1 0 0

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

600 800 1000 1200 1400 1600

−

3 0 0

− 2 0 0

− 1 0 0

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

Residuos vs. ajustados


fitted(modelo2b)

r e s

i d u a

l s ( m o

d e

l o 2 b )

Figura 10: Residuales en ajuste exponencial cubico estacional

7



NOTA: AIC y BIC de los modelos previos, obtenidos con las funciones R, AIC() y BIC(),respectivamente, no pueden compararse, desde que en los modelos 1 y 1b los datos estan enescala logarıtmica y en los modelos 2 y 2b en la escala original de los datos, por esta razon seha hecho uso de C ∗n( p) usando residuales en escala original, es decir, E t = Y t− Y t, tanto en losmodelos 1, 1b, 2 y 2b.

¿Cual es la interpretacion de los δ i en los modelos exponenciales? Compare la calidad delajuste y de los pronosticos de los modelos 2 y 2b respecto a los modelos 1 y 1b, respectiva-mente, y tambien determine entre todos ellos cual modelo recomendarıa inicialmente comomodelo global para ajustar y pronosticar la serie de produccion trimestral de cemento. Tenga

en cuenta no solo las medidas numericas sino tambien los resultados graficos.5 . Mo de lo 3

Si asumimos que los parametros que definen la tendencia y/o la estacionalidad de la serie pueden cambiar en el tiempo, una alternativa es ajustar los datos en su escala originalmediante suavizamiento Holt-Winters, en este caso el de tipo multiplicativo. El suavizamientooptimo obtenido con R con la funcion HoltWinters() arroja los resultados de la Tabla 13.

Tabla 13: Parametros optimos y coeficientes esti-

mados, Holt-Winters multiplicativoParametros Valor optimo

α 0.7734918β 0.0065979γ 0.5651145

Coeficientes Valor en n = 151a = β0,n 1612.7974

b = β1,n 8.9204

s1 = δn,4 1.0334

s2 = δn,1 0.8812

s3 = δn,2 0.9737

s4 = δn,3 1.0227Crit. inf. C ∗n( p): AIC = 8.160056, BIC = 8.282114

En la Tabla 13 los valores s1, s2, s3 y s4 corresponden a los factores estacionales para los trimestres correspondientes a t = 152, 153, 154, 155, en ese orden, es decir, Q4, Q1, Q2, y Q3, respectivamente, por lo cual se da la correspondencia indicada en la tabla entre los siarrojados por R y los factores estacionales δ n,j. A continuacion los pronosticos y sus medidasde precision:

Y 151(L) =

β 0,151 + β 1,151L× S 151+L−s, s = 4, L = 1, 2, 3, 4.

Tabla 14: Pronosticos Suavizamiento Holt-Winters MultiplicativoPerıodo L pronostico Lim. Sup Lim. Inf

1993 Q4 1 1675.90 1776.16 1575.641994 Q1 2 1436.91 1561.43 1312.391994 Q2 3 1596.42 1757.51 1435.321994 Q3 4 1685.92 1847.71 1524.14

Tabla 15: Precision pronosticos Suavizamiento

Holt-Winters Multiplicativo


RMSE 162.63MAE 135.96

MPE 7.43MAPE 7.43

8



En la Figura 11 se muestra la serie ajustada y pronosticada por este metodo y en la Figura 12 los residuales.


Suavizamiento Holt−Winters

Time

O b s

e r v e

d / F i t t e d

1960 1970 1980 1990

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0


Figura 11: Serie real, ajustada y pronosticos para la validacion cruzada, suavizamiento Holt-Winters

Residuos vs. tSuavizamiento Holt−Winters Multiplicativo

Time

e t 3

1960 1970 1980 1990

− 1 5 0

− 1 0 0

− 5 0

0

5 0

1 0 0

1 5 0

500 1000 1500 2000

− 1 5 0

− 1 0 0

− 5 0

0

5 0

1 0 0

1 5 0

Residuos vs. ajustadosSuavizamiento Holt−Winters Multiplicativo

ythat3

e t 3

Figura 12: Residuales en ajuste suavizamiento Holt-Winters

Comparado con los modelos globales ¿la calidad del ajuste y pronostico logrado con este

suavizamiento es mejor? De nuevo considere no solo las medidas numericas sino tambien losresultados graficos.

6 . Mo de lo 4 :

A continuacion, vamos a utilizar la estrategia de descomposicion no parametrica para ajus-tar y predecir la serie. Para ello se siguen los siguientes pasos con los primeros n = 151 datos,teniendo en cuenta que la serie original es de componentes multiplicativas:

1. Obtencion de la componente estacional de la descomposicion multiplicativa, es decir

S descomposiciont , con la funcion R decompose();

2. Desestacionalizacion o ajuste estacional de la serie, en este caso como las componentes

son multiplicativas se obtiene como Y adj.estac.t = Y t/S descomposicion

t , la cual solo contienetendencia, ciclos y componente de error.

3. Ajuste LOESS de la serie Y adj.estac.t , lo cual produce una estimacion de la componente de

tendencia (posiblemente con ciclos) T loesst = LOESS(Y

adj.estac.t ).

9



4. Calculamos los valores ajustados como Y t = T loesst × S

descomposiciont .

5. Los residuales se calculan como E t = Y t − Y t.

6. Para los pronosticos hacemos el pronostico LOESS para la serie Y adj.estac.t , es decir,

pronosticamos la componente T t, para t = 152, 153, 154, 155 y obtenemos a T n(L)loess. Para la estacionalidad se determina la estacion correspondiente a cada uno de estos cuatrotiempos, en este caso, tenemos que estas son Q4, Q1, Q2, Q3, respectivamente y ası, la

serie S n(L)descomposicion para estos cuatro tiempos es igual a δ 4, δ 1, δ 2, δ 3, en este orden,obtenidos de la descomposicion inicial. Finalmente, los pronosticos se construyen comoel producto,

Y 151(L) = (pronostico tendencia en t = 151 + L)×(pronostico estacionalidad en t = 151 + L)

es decir,Y n(L) = T n(L)loess

× S n(L)descomposicion, con L = 1, 2, 3, 4

Procediendo de la manera anterior, se obtienen los siguientes resultados, usando LOESSoptimo para ajustes locales de grado 2 sobre la serie ajustada estacionalmente, para elcual αotimo = 0.1306021 (este valor ha sido obtenido por la funcion loess.as() de la libre-rıa fANCOVA):

> ajusteLoess=loess.as(t,yt3,degree=2,criterion="aicc",family="gaussian",plot=F)> summary(ajusteLoess)Call:

loess(formula = y ˜ x, data = data.bind, span = span1, degree = degree,family = family)

Number of Observations: 151Equivalent Number of Parameters: 24.11Residual Standard Error: 37.96Trace of smoother matrix: 26.67Control settings:

normalize: TRUEspan : 0.1306021degree : 2family : gaussiansurface : interpolate cell = 0.2

El objeto yt3 al cual se le aplica LOESS es la serie ajustada estacionalmente, es decir, es

Y adj.estac.t , t = 1, 2, . . . , n. La Figura 13 muestra a la serie yt3 y su ajuste LOESS cuadratico opti-

mo. La Figura 14 muestra la serie original, su ajuste y pronosticos obtenidos por la estrategia de combinacion de la descomposicion & LOESS. Finalmente en la Figura 15 observamos losgraficos de los residuales de este ajuste, con E t = Y t − Y t.

Tabla 16: T n(L)loess por LOESS cuadratico optimo

Perıodo Ano Q1 Q2 Q3 Q4

1993 - - - 1684.9941994 1754.273 1831.024 1915.078 -

Tabla 17: Ajuste y pronosticos componente estacional por descomposicion

Factores estacionales estimados con decompose()δ1 δ2 δ3 δ4

Estimacion 0.9053 1.0140 1.0478 1.0329

S n(L)descomposicion para t = 152 a t = 155L = 1 L = 2 L = 3 L = 4

Perıodo 1993Q4 1994Q1 1994Q2 1994Q3

S 151+L 1 .0329 0.9053 1.0140 1.0478

10



Tabla 18: Pronosticos finales con descomposicion & LOESS Y n(L) = T n(L)loess × S n(L)descomposicion

Perıodo Ano Q1 Q2 Q3 Q41993 - - - 1740.4181994 1588.108 1856.654 2006.677 -

Tabla 19: Precision pronosticos decomposicion &

LOESSMedida Resultado

ME -63.213961RMSE 91.239659

MAE 81.505147MPE - 3. 899316

MAPE 4.928646

Serie desestacionalizada y s u ajuste LOESS cuadrático óptimo

Time

y t 3

1960 1970 1980 1990

6 0 0

8 0 0

1 0 0 0

1 2 0 0

1 4 0 0

1 6 0 0

1 8 0 0

Serie ajustada estacionalmenteTendencia LOESS ajustada

Figura 13: Serie ajustada estacionalmente y su ajuste LOESS cuadratico optimo (αoptimo = 0.1306021)


Ajuste por descomposición & LOESS

Time

y t

1960 1970 1980 1990

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0


Figura 14: Serie real, ajustada y pronosticos para la validacion cruzada, descomposicion & LOESS cuadratico optimo (αoptimo =

0.1306021)

11



Residuos vs. t


Time

e t 4

1960 1970 1980 1990

− 1 0 0

− 5 0

0

5 0

1 0 0

600 800 1000 1200 1400 1600 1800

− 1 0 0

− 5 0

0

5 0

1 0 0

Residuos vs. ajustados


yhat4

e t 4

Figura 15: Residuales en ajuste descomposicion & LOESS

Para comparacion de los ajustes se ha calculado con C ∗n( p), AIC = 7.442301 y BIC = 8.001797donde el numero de parametros se ha aproximado como la suma del numero equivalente deparametros de la regresion LOESS, el cual se lee en el summary(ajusteLoess) presentado enla pagina 10 con un valor aproximado de 24, mas el numero de factores estacionales calcula-dos de 4, para un total de 28 parametros.

Nota: Tambien puede probarse con ajuste LOESS grado 1 en lugar de grado 2. En general,para la tendencia deberıa probarse tanto con ajustes locales lineales como cuadraticos, ya que no sabe de antemano con cual se obtiene mejores resultados. En este ejemplo, aunque

no se presentan los resultados para el ajuste local lineal de la tendencia, se probo tambiencon este y los resultados fueron inferiores en ajuste (AIC = 7.613354, BIC = 8.092921, con 24grados de libertad aproximadamente) y pronostico (RMSE = 116.5218180, MAE = 92.9881526,MAPE = 5.0272612) comparados con el ajuste local cuadratico que se presento en este docu-mento.

Comparado con el mejor modelo de ajuste y pronostico global considerado y el suaviza-miento Holt Winters, ¿es mejor el modelo 4? ¿por que?

7 . Co m p ara c i o n y c o m b i n a c i o n d e p r o n o s t i c o s

En la Figura 16 se presentan los valores reales y los pronosticos con cada uno de losseis modelo presentados. Vemos que mientras con el modelo 4 (descomposicion & LOESS) lospronosticos en su mayorıa sobreestiman los valores de la serie, con los otros cinco modelos

los pronosticos subestiman tales valores.Un metodo adicional de pronostico es la combinacion de dos pronosticos que limitan a

los valores reales de tal forma que la combinacion resulte mas optima que cada uno de lospronosticos individuales. Por ejemplo si combinamos los pronosticos del suavizamiento Holt- Winters con los del metodo de descomposicion & LOESS, de la siguiente manera

Y n(L) = αY n(L)(3) + (1 − α)Y n(L)(4) (5)

donde Y n(L)(3) es el pronostico Holt-Winters y Y n(L)(4) es el pronostico descomposicion &LOESS, podemos hallar α ∈ (0, 1) tal que sea mınimo el MAPE, tal valor optimo es α = 0.4789972 y los pronosticos obtenidos se muestran a continuacion

Tabla 20: Pronosticos combinados Holt-Winters con descomposicion & LOESS

Perıodo Ano Q1 Q2 Q3 Q41993 - - - 1709.5141994 1515.685 1732.002 1853.037

12



Valores reales y pronosticadosProducción trimestral cemento portland 1993Q4−1994Q3

Time

y t f

1 3 0 0

1 4 0 0

1 5 0 0

1 6 0 0

1 7 0 0

1 8 0 0

1 9 0 0

2 0 0 0

1993Q4 1994Q1 1994Q2 1994Q3

Real

Log−cuadrático estacional

Log−cúbico estacionalExponencial cuadrático estacional

Exponencial cúbico estacional

Holt−WintersDescomposición & LOESS

Figura 16: Valores reales y pronosticados con los seis modelos

Tabla 21: Precision pronosticos combinados Holt-

Winters con decomposicion & LOESS


RMSE 68.38MAE 56.03MPE 1.53

MAPE 3.15

Tambien podemos combinar de manera optima los pronosticos del modelo exponencialcubico estacional (modelo 2b) con los del modelo 4, segun la siguiente formula

Y n(L) = αY n(L)(2b) + (1 − α)Y n(L)(4) (6)

donde Y n(L)(2b) es el pronostico del modelo exponencial cubico estacional y Y n(L)(4) es elpronostico descomposicion & LOESS, el α optimo que minimiza el MAPE es α = 0.5487761 y lospronosticos obtenidos se muestran a continuacion

Tabla 22: Pronosticos combinados modelo 2b con descomposicion & LOESSPerıodo

Ano Q1 Q2 Q3 Q41993 - - - 1701.1471994 1512.588 1731.999 1833.954 -

13



Tabla 23: Precision pronosticos combinados

Modelo 2b con decomposicion & LOESSMedida Resultado

ME 39.83RMSE 77.68

MAE 62.12MPE 1.94

MAPE 3.46

En la Figura 17 se pueden comparar los dos pronosticos resultantes de las combinaciones y los valores reales. Se observa cierta ventaja del primer pronostico combinado respecto alsegundo.

Valores reales y pronosticadosProducción trimestral cemento portland 1993Q4−1994Q3

Time

y t f

1 3 0 0

1 4 0 0

1 5 0 0

1 6 0 0

1 7 0 0

1 8 0 0

1 9 0 0

2 0 0 0

1993Q4 1994Q1 1994Q2 1994Q3

RealPronóstico combinado 3 y 4

Pronóstico combinado 2b y 4

Figura 17: Valores reales y pronosticados combinando de manera optima los pronosticos Holt-Winters con los de descomposicion &

LOESS y los pronosticos modelo 2b con los de descomposicion & LOESS

8 . Co d i g o R u s a d o

A continuacion vea con atencion la programacion utilizada. Estudie con cuidado cada caso.

14



Co d i g o R 8 . 1 . Ca rga r lib rer ıas y d efini end o f un ci ´ o n d e u s u a r i o p a r a c a l c u l a r C ∗n( p) y f u n -

ci ´ on usuario para estimar los factores estacionales δ i en la descomposici´ on cl a s i c a c on fu n c i ´ on

decompose().

library(TSA);library(forecast);library(fANCOVA);library(msir)

#Creando funcion usuario crit.inf.resid() para calcular C*n(p)crit.inf.resid=function(residuales,n.par,AIC="TRUE"){if(AIC=="TRUE"){CI=log(mean(residualesˆ2))+2*n.par/length(residuales) #Calcula AIC}if(AIC=="FALSE"){CI=log(mean(residualesˆ2))+n.par*log(length(residuales))/length(residuales) #Calcula BIC}

CI}

#Funcion para obtener las estimaciones de los factores estacionales deltai en la descomposicion clasica.#el argumento descom es un objeto que supone guardo el resultado de la funcion decompose();#el argumento s es la longitud del periodo estacional y estacionini es el No. de la estacion en t=1.factoresdeltai=function(descom,s,estacionini){if(estacionini==1){deltasi=descom$figure}if(estacionini!=1){j=estacionini;deltasi=c(descom$figure[(s-j+2):s],descom$figure[1:(s-j+1)])}deltasi}

Co d i go R 8 . 2 . Lectura de los datos, creaci´ on serie d e t iempo y gr aficas d escriptivas

yt=scan()465 532 561 570 529 604 603 582 554 620 646637 573 673 690 681 621 698 753 728 688 737782 692 637 757 783 757 674 734 835 838 797904 949 975 902 974 969 967 849 961 966 922836 998 1025 971 892 973 1047 1017 948 10321190 1136 1049 1134 1229 1188 1058 1209 11991253 1070 1282 1303 1281 1148 1305 1342 14521184 1352 1316 1353 1121 1297 1318 1281 11091299 1341 1290 1101 1284 1321 1317 1122 12611312 1298 1202 1302 1377 1359 1232 1386 14401439 1282 1573 1533 1651 1347 1575 1475 13571086 1158 1279 1313 1166 1373 1456 1496 12511456 1631 1554 1347 1516 1546 1564 1333 14581499 1613 1416 1625 1770 1791 1622 1719 19721893 1575 1644 1658 1668 1343 1441 1444 14971267 1501 1538 1569 1450 1569 1648 1777 14681732 1962

yt=ts(yt,frequency=4,start=c(1956,1)) #serie con todas las observacionesplot(yt,main="Produccion trimestral cemento portland\nMiles de ton. Q11956-Q31994")plot(log(yt),main="Log de produccion trimestral cemento portland\nMiles de ton. Q11956-Q31994")

#Grafica Descomposicion multiplicativa de la serie originalplot(decompose(yt,type="multiplicative"))

#Grafica Descomposicion aditiva del logaritmoplot(decompose(log(yt),type="additive"))

Co d ig o R 8 . 3 . D efini end o ınd ice d e tiem po, l a seri e pa ra aj us te en t = 1, 2, . . . , n, fa c to r e s ta -

cional con n iveles 1Q, 2 Q, 3Q, 4Q, n ivel de referencia 4 Q.

m=4 #Numero de perıodos a pronosticar dentro de la muestran=length(yt)-m #tamano de la muestra para el ajustet=1:n #ındice de tiempo

yt2=ts(yt[t],frequency=4,start=c(1956,1)) #serie con las primeras n observaciones

#Definiendo factor para estacionalidad pero solo para la regresion lineal modelos 1 y 1btrimestre=season(yt2)trimestre=relevel(trimestre,ref="4Q")

15



Co d i g o R 8 . 4 . Especificando valores de los predictores en los pron ´ osticos para los modelos de

regresi´ on lin eal , a s ıcom o los va lores rea les d e la ser ie en los per ıod os d e p ron ´ ostico

tnuevo=c((n+1):(n+m)) #definiendo valor de t para las m observaciones a pronosticartrimestre.nuevo=season(yt)[(length(yt2)+1):length(yt)] #definiendo trimestre correspondiente a tiempos de pronostico,

#estos solo para la regresion lineal

ytf=ts(yt[tnuevo],frequency=4,start=c(1993,4)) #Tomando de la serie completa los ultimos m valores que son pronosticados

Co d i go R 8 . 5 . Ajuste y pron osticos modelo log(Y t) = β 0 + β 1t + β 2t2 +3i=1

δ iI i,t+ E t, E tiid∼ N (0, σ2).

lnyt2=log(yt2)

modelo1=lm(lnyt2˜t+I(tˆ2)+trimestre)summary(modelo1)

#Serie de tiempo de valores ajustados en escala originalythat1=ts(exp(fitted(modelo1))*exp(summary(modelo1)$sigmaˆ2/2),frequency=4,start=c(1956,1))

#Calculando AIC y BIC usando C*n(p)resmod1.orig=yt2-ythat1 #residuos en la escala original. Usados solo para calcular AIC y BIC

aic1=crit.inf.resid(resmod1.orig,n.par=6)aic1bic1=crit.inf.resid(resmod1.orig,n.par=6,AIC="FALSE")bic1

#GR´ AFICO DE RESIDUALES EN ESCALA LOGplot.ts(residuals(modelo1),main="Residuos vs. t en escala Log\nModelo Log cuadratico estacional")abline(h=0,col=2)

plot(fitted(modelo1),residuals(modelo1),main="Residuos vs. ajustados en escala Log\nModelo Log cuadratico estacional")abline(h=0,col=2)

#PRONOSTICANDO PERIODOS t=152 a 155 EN ESCALA ORIGINALpredicciones1=exp(predict(modelo1,data.frame(t=tnuevo,trimestre=trimestre.nuevo),interval="prediction"))*exp(summary(modelo1)$sigmaˆ2/2)

#Convirtiendo en serie de tiempo los pronosticosytpron1=ts(predicciones1[,1],frequency=4,start=c(1993,4)) #los pronosticos comienzan desde 1993-Q4

accuracy(ytpron1,ytf) #Calculando exactitud de los pronosticos

#GRAFICANDO LA SERIE, SUS AJUSTES Y PRONOSTICOSplot(yt,main="Serie real, ajustes y pronosticos\nModelo Log cuadratico estacional")lines(ythat1,col=2)lines(ytpron1,col=4)legend("topleft",legend=c("Original","Ajustada","Pronosticos"),col=c(1,2,4),lty=1)

Co d i g o R 8 . 6 . Ajuste y pron osticos modelo log(Y t) = β 0 + β 1t + β 2t2 + β 3t3 +3

i=1

δ iI i,t + E t, E t iid∼

N (0, σ2).

#MODELO LOG CUBICO ESTACIONALmodelo1b=lm(lnyt2˜t+I(tˆ2)+I(tˆ3)+trimestre)summary(modelo1b)

#Serie de tiempo de valores ajustados en escala originalythat1b=ts(exp(fitted(modelo1b))*exp(summary(modelo1b)$sigmaˆ2/2),frequency=4,start=c(1956,1))

#Calculando AIC y BIC usando C*n(p)resmod1b.orig=yt2-ythat1b #residuos en la escala original. Usados solo para calcular AIC y BIC

aic1b=crit.inf.resid(resmod1b.orig,n.par=7)aic1bbic1b=crit.inf.resid(resmod1b.orig,n.par=7,AIC="FALSE")bic1b

#GR´ AFICO DE RESIDUALES EN ESCALA LOGplot.ts(residuals(modelo1b),main="Residuos vs. t en escala Log\nModelo Log cubico estacional")abline(h=0,col=2)

16



plot(fitted(modelo1b),residuals(modelo1b),main="Residuos vs. ajustados en escala Log\nModelo Log cubico estacional")abline(h=0,col=2)

#PRONOSTICANDO PERIODOS t=152 a 155 EN ESCALA ORIGINALpredicciones1b=exp(predict(modelo1b,data.frame(t=tnuevo,trimestre=trimestre.nuevo),interval="prediction"))*exp(summary(modelo1b)$sigmaˆ2/2)predicciones1b

#Convirtiendo en serie de tiempo los pronosticosytpron1b=ts(predicciones1b[,1],frequency=4,start=c(1993,4)) #los pronosticos comienzan desde 1993-Q4

accuracy(ytpron1b,ytf) #Calculando exactitud de los pronosticos

#GRAFICANDO LA SERIE, SUS AJUSTES Y PRONOSTICOSplot(yt,main="Serie real, ajustes y pronosticos\nModelo Log cubico estacional")

lines(ythat1b,col=2)lines(ytpron1b,col=4)legend("topleft",legend=c("Original","Ajustada","Pronosticos"),col=c(1,2,4),lty=1)

Co d i go R 8 . 7 . Ajuste y pron osticos modelo Y t = exp(β 0 +β 1t+ β 2t2 +3

i=1

δ iI i,t)+ E t, E tiid∼ N (0, σ2).

Observe que se crean individualmente las indicadoras de los tres primeros tr imestres.

#DEFINIENDO INDICADORAS PARA ESTACIONALIDADtrim=seasonaldummy(yt2) #observe que se usa funcion seasonaldummy() para crear Iit en el ajuste, modelos 2 y 2bQ1=trim[,1]Q2=trim[,2]Q3=trim[,3]

#AJUSTANDO MODELO EXPONENCIAL CUADR´ ATICO ESTACIONAL USANDO COMO VALORES INICIALES#PAR´ AMETROS AJUSTADOS DEL MODELO 1, SON SEIS EN TOTAL CON beta0coef0=coef(modelo1) #extrae coeficientes ajustados del modelo1

modelo2=nls(yt2˜exp(beta0+beta1*t+beta2*I(tˆ2)+delta1*Q1+delta2*Q2+delta3*Q3),start=list(beta0=coef0[[1]],beta1=coef0[[2]],beta2=coef0[[3]],delta1=coef0[[4]],delta2=coef0[[5]],delta3=coef0[[6]]))summary(modelo2)

#Serie de tiempo de valores ajustadosythat2=ts(fitted(modelo2),frequency=4,start=c(1956,1))

#Calculando AIC y BIC usando C*n(p)aic2=crit.inf.resid(residuals(modelo2),n.par=6)aic2bic2=crit.inf.resid(residuals(modelo2),n.par=6,AIC="FALSE")bic2

#GR´ AFICOS DE RESIDUALESplot.ts(residuals(modelo2),main="Residuos vs. t\nModelo exponencial cuadratico estacional")abline(h=0,col=2)

plot(fitted(modelo2),residuals(modelo2),main="Residuos vs. ajustados\nModelo exponencial cuadratico estacional")

abline(h=0,col=2)

#PRONOSTICOStrimnuevo=seasonaldummyf(yt2,h=m) #observe que se usa funcion seasonaldummyf() para Iit en los pronosticos, modelos 2 y Q1nuevo=trimnuevo[,1]Q2nuevo=trimnuevo[,2]Q3nuevo=trimnuevo[,3]

predicciones2=predict(modelo2,newdata=data.frame(t=tnuevo,Q1=Q1nuevo,Q2=Q2nuevo,Q3=Q3nuevo),interval="prediction")predicciones2

#Convirtiendo en serie de tiempo las prediccionesytpron2=ts(predicciones2,frequency=4,start=c(1993,4))


#GRAFICANDO LA SERIE, SUS AJUSTES Y PRONOSTICOSplot(yt,main="Serie real, ajustes y pronosticos\nModelo exponencial cuadratico estacional")lines(ythat2,col=2)

lines(ytpron2,col=4)legend("topleft",legend=c("Original","Ajustada","Pronosticos"),col=c(1,2,4),lty=1)

17



Co d i go R 8 . 8 . Ajuste y pron osticos modelo Y t = exp(β 0 + β 1t + β 2t2 + β 3t3 +3

i=1

δ iI i,t) + E t, E tiid∼

N (0, σ2)

#AJUSTANDO MODELO EXPONENCIAL CUBICO ESTACIONAL USANDO COMO VALORES INICIALES#PAR´ AMETROS AJUSTADOS DEL MODELO 1b, SON SIETE EN TOTAL CON beta0coef0b=coef(modelo1b) #extrae coeficientes ajustados del modelo1b

modelo2b=nls(yt2˜exp(beta0+beta1*t+beta2*I(tˆ2)+beta3*I(tˆ3)+delta1*Q1+delta2*Q2+delta3*Q3),start=list(beta0=coef0b[[1]],beta1=coef0b[[2]],beta2=coef0b[[3]],beta3=coef0b[[4]],delta1=coef0b[[5]],delta2=coef0b[[6]],delta3=coef0b[[7]]))summary(modelo2b)

#Serie de tiempo de valores ajustados

ythat2b=ts(fitted(modelo2b),frequency=4,start=c(1956,1))

#Calculando AIC y BIC usando C*n(p)aic2b=crit.inf.resid(residuals(modelo2b),n.par=7)aic2bbic2b=crit.inf.resid(residuals(modelo2b),n.par=7,AIC="FALSE")bic2b

#GR´ AFICOS DE RESIDUALESplot.ts(residuals(modelo2b),main="Residuos vs. t\nModelo exponencial cubico estacional")abline(h=0,col=2)

plot(fitted(modelo2b),residuals(modelo2b),main="Residuos vs. ajustados\nModelo exponencial cubico estacional")abline(h=0,col=2)

#PRONOSTICOSpredicciones2b=predict(modelo2b,newdata=data.frame(t=tnuevo,Q1=Q1nuevo,Q2=Q2nuevo,Q3=Q3nuevo),interval="prediction")predicciones2b

#Convirtiendo en serie de tiempo las prediccionesytpron2b=ts(predicciones2b,frequency=4,start=c(1993,4))ytpron2b

accuracy(ytpron2b,ytf) #Calculando exactitud de los pronosticos

#GRAFICANDO LA SERIE, SUS AJUSTES Y PRONOSTICOSplot(yt,main="Serie real, ajustes y pronosticos\nModelo exponencial cubico estacional")lines(ythat2b,col=2)lines(ytpron2b,col=4)legend("topleft",legend=c("Original","Ajustada","Pronosticos"),col=c(1,2,4),lty=1)

Co d ig o R 8 . 9 . Ajuste y pron ´ osticos por suavizamiento exponencial Holt-Winters mult ipl icativo

p a r a Y t, t = 1, 2, . . . , n.

suaviza=HoltWinters(yt2,seasonal="multiplicative")suaviza

ythat3=fitted(suaviza)[,1] #valores ajustados. Ya tienen formato de serie de tiempoet3=residuals(suaviza) #residuales. Ya tienen formato de serie de tiempo

aic3=crit.inf.resid(residuals(suaviza),n.par=6) #numero de parametros es s+2=6aic3bic3=crit.inf.resid(residuals(suaviza),n.par=6,AIC="FALSE")bic3

plot(et3,main="Residuos vs. t\nSuavizamiento Holt-Winters Multiplicativo")abline(h=0,col=2)

plot(ythat3,et3,xy.labels=F,main="Residuos vs. ajustados\nSuavizamiento Holt-Winters Multiplicativo")abline(h=0,col=2)

#PREDICCIONES Y INTERVALOS DE PRONOSTICOpredicciones3=predict(suaviza,n.ahead=4,prediction.interval=TRUE)predicciones3ytpron3=predicciones3[,1] #Separando los pronosticos puntuales


#GRAFICANDO LA SERIE, SUS AJUSTES Y PRONOSTICOSplot(suaviza,main="Serie real, ajustes y pronosticos\nSuavizamiento Holt-Winters")lines(ytpron3,col=4)legend("topleft",legend=c("Original","Ajustada","Pronosticos"),col=c(1,2,4),lty=1)

18



Co d i g o R 8 . 1 0 . Ajustes y pron osticos combin and o descomposici´ on cl asica & LOESS

des=decompose(yt2,type="multiplicative") #Descomposicion multiplicativa

St=des$seasonal #Extrayendo la serie de componente estacionalyt3=yt2/St #Serie desestacionalizada en forma multiplicativa

#AJUSTE LOESS OPTIMO GRADO 2 DE LA TENDENCIAajusteLoess=loess.as(t,yt3,degree=2,criterion="aicc",family="gaussian",plot=F)

summary(ajusteLoess)Tt=ts(fitted(ajusteLoess),frequency=4,start=c(1956,1))

alfa.optim=ajusteLoess$pars$span #guardando el valor optimo del parametro alfa

plot(yt3,main="Serie desestacionalizada y su ajuste LOESS cuadratico optimo")lines(Tt,col=2)legend("topleft",legend=c("Serie ajustada estacionalmente","Tendencia LOESS ajustada"),col=c(1,2),lty=1)

#AJUSTE DE LA SERIEythat4=Tt*St

#RESIDUALESet4=yt2-ythat4

#Calculando AIC y BICaic4=crit.inf.resid(et4,n.par=28) #numero de parametros aproximados loess 24 + 4 factores estacionalesaic4bic4=crit.inf.resid(et4,n.par=28,AIC="FALSE")bic4

#GR´ AFICOS DE RESIDUALESplot(et4,main="Residuos vs. t\nAjuste por descomposicion & LOESS")abline(h=0,col=2)

plot(ythat4,et4,main="Residuos vs. ajustados\nAjuste por descomposicion & LOESS")abline(h=0,col=2)

#PRONOSTICOS#Pronosticos para la componente estacionaldeltas_i=factoresdeltai(descom=des,s=4,estacionini=1) #Obteniendo valor de los s factores estacionales estimados

#el perıodo es s=4 y la serie arranca en estacion 1

i=c(4,1,2,3) #identificando la estacion correspondiente a los m=4 perıodos de pronosticoStnuevo=deltas_i[i] #Asignando el valor de St a los perıodos a pronosticarStnuevo=ts(Stnuevo,frequency=4,start=c(1993,4)) #convirtiendo en serie de tiempo al pronostico de StStnuevo

#Pronosticos de solo tendencia por loess cuadratico optimoTtnuevo=predict(loess(yt3˜t,span=alfa.optim,degree=2,control=loess.control(surface="direct")),data.frame(t=tnuevo),se=FATtnuevo=ts(Ttnuevo,freq=4,start=c(1993,4))#convirtiendo en serie de tiempo al pronostico de Tt

#Pronostico de la serie segun modelo multiplicativoytpron4=Ttnuevo*Stnuevo

#Calculando medidas de precision de pronosticosaccuracy(ytpron4,ytf)

#GRAFICANDO LA SERIE, SUS AJUSTES Y PRONOSTICOSplot(yt,main="Serie real, ajustes y pronosticos\nAjuste por descomposicion & LOESS")lines(ythat4,col=2)lines(ytpron4,col=4)legend("topleft",legend=c("Original","Ajustada","Pronosticos"),col=c(1,2,4),lty=1)

Co d i go R 8 . 1 1 . C o mp a r a c i ´ on gr ´ afica d e los seis m ´ etodos d e pron osticos y la serie original en los

periodos pronosticados. Observe con cuidado la especificaci´ o n d e l o s a r g u me n to s pch=, lty=,

y col=, u s a d o s p a r a d i s t i n g u i r c a d a s e r ie s e g un tip o d e s ım bolo p ar a los pu nt os gra ficad os,

tipo de lınea y de color, r espectivam ente. En la leyend a del gr ´ a fic o d e b e ma n te n e r s e l a mi s ma

cor res po n d en cia d e s ım bo los gr ´ aficos, t ipos d e lınea y d e color u sa d os en cad a caso.

plot(ytf,ylim=c(1300,2000),lty=1,col="black",type="b",pch=19,main="Valores reales y pronosticados\nProduccion trimestral cemento portland 1993Q4-1994Q3",xaxt="n")axis(1,at=time(ytf),labels=c("1993Q4","1994Q1","1994Q2","1994Q3"))lines(ytpron1,lty=2,col="red",type="b",pch=2)lines(ytpron1b,lty=3,col="blue",type="b",pch=3)

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lines(ytpron2,lty=4,col="orange",type="b",pch=4)lines(ytpron2b,lty=5,col="brown",type="b",pch=5)lines(ytpron3,lty=6,col="darkgreen",type="b",pch=6)lines(ytpron4,lty=7,col="darkred",type="b",pch=7)legend("topleft",legend=c("Real","Log-cuadratico estacional","Log-cubico estacional","Exponencial cuadratico estacional","Exponencial cubico estacional","Holt-Winters","Descomposicion & LOESS"),lty=c(1:7),pch=c(19,2:7),col=c("black","red","blue","orange","brown","darkgreen","darkred"))

Co d i g o R 8 . 1 2 . C o mb i n a c i ´ on ´ optima de los pron ´ osticos modelos 3 y 4

#Funcion que combina los pronosticos y arroja el MAPE de la#combinacionfp=function(x,yt=ytf,pr1=ytpron3,pr2=ytpron4){

p=x*pr1+(1-x)*pr2MAPE=mean(abs((yt-p)/yt))*100MAPE}

#Hallando alpha optimo para la combinacionalpha=optimize(fp,c(0,1))$minimumalpha

#Pronostico combinado optimopcomb=alpha*ytpron3+(1-alpha)*ytpron4pcomb

#Medidas de calidad de pronosticosaccuracy(pcomb,ytf)

#Comparacion grafica del pronostico combinado con la serie realplot(ytf,ylim=c(1300,2000),type="b",pch=19,main="Valores reales y pronosticados\nProduccion trimestral cemento portland 1993Q4-1994Q3",xaxt="n")

axis(1,at=time(ytf),labels=c("1993Q4","1994Q1","1994Q2","1994Q3"))

lines(pcomb,lty=2,col="red",type="b",pch=2)legend("topleft",legend=c("Real","Pronostico combinado"),pch=1:2,col=1:2)

Co d i g o R 8 . 1 3 . C o mb i n a c i ´ on ´ optima de los pron ´ osticos modelos 2b y 4

#Funcion que combina los pronosticos y arroja el MAPE de la#combinacionfp2=function(x,yt=ytf,pr1=ytpron2b,pr2=ytpron4){p=x*pr1+(1-x)*pr2MAPE=mean(abs((yt-p)/yt))*100MAPE}

#Hallando alpha optimo para la combinacionalpha2=optimize(fp2,c(0,1))$minimumalpha2

#Pronostico combinado optimopcomb2=alpha2*ytpron2b+(1-alpha2)*ytpron4pcomb2

#Medidas de calidad de pronosticosaccuracy(pcomb2,ytf)

Co d i g o R 8 . 1 4 . C o mp a r a c i ´ on gr ´ afica de los pron ´ osticos combin ad os y valores reales

#Comparacion grafica del pronostico combinado con la serie realplot(ytf,ylim=c(1300,2000),type="b",lty=1,pch=19,col=1,main="Valores reales y pronosticados\nProduccion trimestral cemento portland 1993Q4-1994Q3",xaxt="n")axis(1,at=time(ytf),labels=c("1993Q4","1994Q1","1994Q2","1994Q3"))lines(pcomb,lty=2,col=2,type="b",pch=2)lines(pcomb2,lty=3,col=4,type="b",pch=3)legend("topleft",legend=c("Real","Pronostico combinado 3 y 4","Pronostico combinado 2b y 4"),pch=c(19,2,3),col=c(1,2,4),lty=1:3)

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