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OBJETIVOSLas leyes de exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos; y la operacin que da origen al exponente es la potenciacin.MOTIVACINLos rabes fueron los verdaderos sistematizadores del lgebra.A fines del siglo VIII floreci la escuela de Bagdad a la que pertenecan al Juarismi, al Batani y Omar K.hayyan.A lJuarismi, persa del siglo IX, escribi el primer libro de Algebra y le dio nombre a esta ciencia.Al Batani, sirio (858 - 929), aplic el Algebra a problemas astronmicos. Y Omar Khayyan persa del siglo XII, conocido por sus poemas escritos en Rubayat, escribi un tratado de Algebra. Querer es poder, t quieres, luego puedes.POTENCIACINConcepto :Es la operacin que consiste en multiplicar un nmero llamado base tantas veces como factor, como lo indica otro llamado exponente, para obtener un resultado llamado potencia.As tenemos:Notacin:donde: b basen exponentePpotencia
I I
Es base : 3Es exponente : 4Es potencia : 81Luego:Ejemplos: I Es base : 2Es exponente : 5Es potencia : 32
I I I Donde:Es base :Es exponente : 4Es potencia :
En el Exponente anterior: , se tiene: Exp. = x2Base = xLEY DE LOS SIGNOS EN LA POTENCIACIN (a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b)
Ejemplos: (+2)4 = + 24(24) = 16 (+x)32 = x32(x)32 = x32Recprocamente de acuerdo a la definiciOn depotenciaciOn se verifica:
Ejemplos: Ejemplos Diversos: 34 = 3 3 3 3 = 81 (3)4 = (3) (3) (3) (3) = +81 (3x)4 = (3x) (3x) (3x) (3x) 3x4 = 3x x x x ( 3x)4 = (3x) (3x) (3x) (3x) 4 x
(*) bn (b)n(**)IdentificaciOn de una base y su exponente: En: En: *En:
Ejemplo: (2)6 = + 26(2)6 = 64 (x)18 = + x18(x)18 = x18Ejemplo: (2)5 = 25(2)5 = 32 (x)21 = x21
(1)Es conveniente indicar la diferencia entre:34 y (3)4(*)En: 34; el exponente no afecta al signo. (*) En: (3)4; el exponente si afecta al signo. (3)4 = + 34Por ello: 34 (3)4(2) Debes tener presente lo siguiente: (i) con(ii)(iii)
Ejemplos:123 = 11128 = 1125 = 1Ejemplos:(1)16 = 1(1)328 = 1Ejemplos:(1)17 = 1(1)5 = 1
usuales:POTENCIAS MS USUALES :(iv)conEjemplos:017 = 00120 = 001256 = 0Para realizar diversas operaciones a travs de la po-tenciaciOn es necesario recordar las potencias ms
LEYES DE EXPONENTESLos exponentes se rigen a travs de leyes, normas queestudiaremos a continuaciOn:Objetivos: El objetivo es capacitar al alumno a poder identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos,luego dar paso a la soluciOn de ejercicios mediantereglas prcticas de exponentes.Para un mayor entendimiento en este captulo, las leyes de exponentes lo dividimos en 3 partes:(1) Leyes de Los Exponentes I(2) Leyes de los Exponentes II (3) Leyes de los Exponentes IIIA continuaciOn pasaremos a desarrollar las respectivas leyes contenidas en cada grupo.LEYES DE EXPONENTES IAqui mencionaremos las leyes que son usuales dada su forma en que se presentan:1. Ley del exponente Cerosiempre y cuando : b 0Ejemplos:(3)0 = 1 30 = 1(3)0 = 1 30 = 13x0 = 3(1) = 3 (3x)0 = 1 3(a + b)0 = 3(1) = 3 3x0y = 3(1)y = 3y
0 es indeterminado
2. Ley del exponente Uno
El exponente uno ya no se escribe, se sobreentiendeEjemplos:51 = 5 (a + b)1 = (a + b)3x1 = 3x
3. Ley del exponente de Exponentes: (cadena de expo- nentes)Para desarrollar esta expresiOn se toma los 2 ltimos trminos (base y exponente), luego se va transfor- mando de arriba hacia abajo, tomando de 2 en 2 los trminos.Ejemplos:(*)Desarrollar:Luego:(*)Desarrollar:Luego:4. Ley del exponente Negativo con b 0*Caso Particular con: a; b 0
Recprocamente:Ejemplos:Tambien:
Si la forma del expo ativo:Entonces transformamos a una expresiOn fraccionaria
I. Problema desarrollado1.Indicar de las proposiciones que afirmaciones son correctas:A)(F)B)(F)C) (V)RESOLUCIONA) La proposiciOnes falsa
A) ................... ( )B)
............ ( ) A) ........................... ( )RESOLUCIONB)Es falso la proposiciOnC) La proposiciOn es verdaderaII.Problema por desarrollar2.Indicar cuales de las afirmaciones son verdaderas (V)o falsas (F):
1.Hallar el resultado de:A) B)2.Efectuar: A)B)Rpta.: .......................................................3.Efectuar: A)
Rpta.: .......................................................10. Efectuar:Rpta.: .......................................................11. Calcular:B)Rpta.: .......................................................4.Efectuar: A)B)
Rpta.: .......................................................12. Efectuar:Rpta.: .......................................................5.Efectuar:Rpta.: .......................................................6.Efectuar:Rpta.: .......................................................7.Efectuar:Rpta.: .......................................................8.Efectuar:Rpta.: .......................................................9.Efectuar:
Rpta.: .......................................................13. Calcular:Rpta.: .......................................................14. Calcular:Rpta.: .......................................................15. Efectuar:Rpta.: .......................................................16. Efectuar:
Rpta.: .......................................................17. Efectuar:
Rpta.: .......................................................18. Efectuar:Rpta.: .......................................................19. Calcular:
Rpta.: .......................................................20. Calcular:Rpta.: .......................................................
1.Calcular:A)9B)27C)27
D)3E)6
2.Calcular:3.Calcular:4.Efectuar:
5.Calcular:OBJETIVOSBuscar que el alumno logre dominar las diversas operaciones que se da con los exponentes establecidos como leyes. El camino a recorrer con estas leyes nos permitir desarrollar a travs de los ejercicios su capacidad de razonamiento.MOTIVACINCada uno de nosotros en cierta medida ha nacido bueno, mediocre o malo, pero al igual que la inteligencia. El sentido moral puede ser desarrollado por la educaciOn, la disciplina y la fuerza de voluntad.LEYES DE EXPONENTES IIAqu mencionamos las Leyes que rigen a los exponentes de acuerdo a las operaciones usuales que presentan las diversas expresiones.1. MultiplicaciOn de Bases Iguales
Si se tiene:;En forma extensiva:
Luego obtendremos: Ejemplos:Recprocamente:2. DivisiOn de Bases Iguales
Regla Prctica :La base resultante lleva como exponente una forma particular; donde el exponente del numerador mantie- ne su exponente, mientras el exponente denominador va a pasar con signos opuestos Ejemplos:Ejemplos Diversos: Ejemplos:
con b0I
I Se observa: I
Ej I 3. Potencia de Potencia
I ; I noEjemplos: I
Pu4. Potencia de un Producto I I
I I I
I Ejemplos: I I Re I I I Si se tiene:
I I I Recprocamente: (*)(*)(*)Nota:5. Potencia de un Cociente; con b 0mn = nmLuego se cumple:
Ejemplos: I Recprocamente:IIIIII
I. Problema desarrollado1.Indicar de las proposiciones que afirmamos son C)correctas:a)(F)b)(V)
La proposiciOn es falsac)
(F) RESOLUCIONA)
B)
La proposiciOn es falsa
II. Problema por desarrollar2.Indicar cuales de las proposiciones son verdaderas (V)o falsas (F):a) .......................... ( )b) .......................... ( ) ( )La proposiciOnes verdadera
1.Efectuar:
a)=
b)=
2.Efectuar:a) =b) =Rpta.: .......................................................
b)=Rpta.: .......................................................4.Efectuar:a)=b) =Rpta.: .......................................................5.Efectuar: =Rpta.: .......................................................6.Efectuar: =Rpta.: .......................................................7.Efectuar: = Rpta.: .......................................................8.Efectuar: =Rpta.: .......................................................9.Efectuar: =Rpta.: .......................................................10. Efectuar: =Rpta.: .......................................................11. Efectuar:
=Rpta.: .......................................................12. Efectuar: =Rpta.: .......................................................13. Efectuar: =Rpta.: .......................................................14. Efectuar: =Rpta.: .......................................................15. Efectuar: =Rpta.: .......................................................16. Efectuar: =Rpta.: .......................................................17. Efectuar: =Rpta.: .......................................................18. Efectuar: =Rpta.: .......................................................19. Efectuar: =Rpta.: .......................................................20. Efectuar: Si
Calcular : =Rpta.: .......................................................
1.Simplificar:
2.Efectuar:A) B)C) D) E)3.Reducir:
A) 1 B)2 C) 3D) 4 E)54.Calcular el exponente final de x en:
A) 9 B)9 C) 18D) 27 E)27OBJETIVOSLograr que el alumno domine las leyes relacionadas a exponentes fraccionarias y los radicales, los cuales son muy importantes dado sus diversas aplicaciones en otras materias. Esto ser posible a travs de la prctica que efectuemos con los diversos ejercicios.MOTIVACINEl tiempo que gastas en averiguar vidas ajenas, debes emplearlo en reconocer tus defectos, tus aspiraciones y los actos de tu propia vida.LEYES DE LOS EXPONENTES IIILas siguientes leyes estn dadas para la transformaciOn de expresiones afectadas por el smbolo de una raz.1. Exponente Fraccionario con n 2Ejemplos:
Si se tiene Luego: Para fines prcticos:(1) Si m = 1: (2) Si m 1: Ejemplos:
(se sobreentiende el ndice 2) Ejemplos: 2. Potencia de una Raz; con n2
Ejemplos:
ISabemos que:Si hacemos: m = n, se tendr:IILuego:IEn forma similar:
I3. Raz de una MultiplicaciOnEjemplos:I I I I I II
Se cumple; dadas las siguientes formas::
I IEjemplos:I II IRecprocamente:I III:4. Raz de una DivisiOn:Ejemplos:I
IEjemplos:I
IIIIIIIIRecprocamente:II I
III IIII5. Raz de RazIIIII IIEjemplos:I IIIII IPROPIEDADES AUXILIARESI.....................................................(I)I................................................... (II)I...............................................(III) I
................................(IV) I
................................. (V)I......(VI)Propiedad de Raz de Raz:
:
Ejemplos de las formas de Raz de Raz: Efectuar:I I
I
Desarrollar:II
Ejemplos Diversos:
I. Problema desarrollado1.Indicar de las proposiciones que afirmaciones son correctas:A) (V)B)(F)C) (V) RESOLUCIONA)La proposiciOn es verdaderaB)
La proposiciOn es verdaderaII.Problema por desarrollar2.Indicar cuales de las proposiciones es verdadera (V) o falsa (F):A) .......................( )B).......................( ) C).......................( )RESOLUCION9 . 3 = 927 = 9 La proposiciOn es falsaC)
1.Efectuar:a)a)
b) b)2.Efectuar:a)
b)
Rpta.: .......................................................3.Efectuar:
Rpta.: .......................................................4.Efectuar:
Rpta.: .......................................................5.Simplificar:
Rpta.: .......................................................6.Simplificar:
Rpta.: .......................................................7.Simplificar:
Rpta.: .......................................................8.Simplificar:
Rpta.: .......................................................9.Simplificar:
Rpta.: .......................................................10. Simplificar:
Rpta.: .......................................................11. Simplificar:
Rpta.: .......................................................12. Simplificar:
Rpta.: .......................................................13. Simplificar:
Rpta.: .......................................................14. Simplificar:
Rpta.: .......................................................15. Simplificar:
Rpta.: .......................................................16. Simplificar:
Rpta.: .......................................................17. Simplificar:
Rpta.: .......................................................18. Simplificar:
Rpta.: .......................................................19. Simplificar:
Rpta.: .......................................................20. Simplificar:
Rpta.: .......................................................
1.Hallar la expresiOn equivalente:A)B)2.Reducir:A) 1 B)3 C) 9D) 27 E)303.Reducir:A)1B)2C) 3
D)4E)8
4.Calcular:
A) B)C) D) E)5.Calcular:
Compendio de Ciencias I-A lgebra
(+2)5 = + 25
(2)5 = 32
(+x)17 = + x17(x)17 = x17
3x = 3 xxx
nente es neg
A)10B)9C) 7D)6E)5
A)12B)17C)15
D)19E)20A)5B)6C) 1/6D)6E)1/5
A)13B)15C)16D)11E)5
Compendio de Ciencias I-A lgebra
emplos:
confundir:
es:
cprocamente:
c)
RESOLUCION..........................
3.
Efectuar:
a)
=
A)3B)5C)7D)4E)6
I
I
I
II
I
I
I
La
porque:Laporque:Laporque: SLaporque:Laporque:Laporque:
Compendio de Ciencias I-A lgebra
Si se tiene
A)1B)2C) 3D)5E)7