Álgebra 2 Porductos Notables
4
1 Integral Turno Mañana Regular 2014 - III / Álgebra Tema 2 1 Álg ebra ITMNIII2X2 TEMA: 2 Productos Notables I. PRODUCTOS NOTABLES Cierto tipo de productos se presentan con tanta frecuencia que podemos llegar al resultado sin efectuar la multiplicación que cumple ciertas reglas fjas, a estos se llaman productos notables. A. Binomio al c uadrado (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a–b) 2 = a 2 –2ab+ b 2 Ejemplo: Desarrolle los siguientes binomios: (x + 3) 2 = x 2 + 2.x.3 + 3 2 = x 2 + 6x + 9 (2x–y) 2 = (2x) 2 – 2(2x)y + y 2 = 4x 2 – 4xy + y 2 3 m 2 n + =n 2 + 2n. 3 m + 3 m 2 =n 2 + 3 2nm + 9 m 2 ( 3 – 2) 2 = 3 2 – 2 3. 2 + 2 2 = 5 – 2 6 Identidades de Legendre (a + b) 2 + (a – b) 2 = 2(a 2 + b 2 ) (a + b) 2 – (a – b) 2 = 4ab Ejemplo: Reduce la expresión: ( 7 + 5) 2 + ( 7 – 5) 2 ( 2 + 8) 2 – ( 2 – 8) 2 E = Resolución: ( 7 + 5) 2 + ( 7 – 5) 2 ( 2 + 8) 2 – ( 2 – 8) 2 E = 2 (7 + 5) 4 ( 2 . 8) E = E = 24 16 = 1,5 B. Binomio al cubo (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a – b) 3 = a 3 – b 3 – 3ab( a – b ) (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 Ejemplo: (x + 2) 3 = x 3 + 3.x 2 .3 + 3.x.3 2 + 3 3 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27 (3x – y) 3 = (3x) 3 – 3(3x) 2 .y + 3(3x)y 2 – y 3 = 27x 3 – 27x 2 y + 9xy 2 – y 3 C. Producto de suma por diferencia de dos términos (a + b) (a – b) = a 2 – b 2 Ejemplo: (3x – y)(3x + y) = (3x) 2 – y 2 = 9x 2 – y 2 (a 2 – 2b)(a 2 + 2b) = (a 2 ) 2 – (2b) 2 = a 4 – 4b 2 (a + b + c)(a + b – c) = (a + b) 2 – c 2 = a 2 + 2ab + b 2 – c 2 D. Produc to de binomio por un trinomio (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 + b 3 (a – b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 – b 3 Ejemplo: (x – 2)(x 2 + 2x + 4) = x 3 – 2 3 = x 3 – 8 (x + 1)(x 2 – x + 1 ) = x 3 + 1 3 = x 3 + 1 E. Multiplicación de bionomios con término común (x + a)(x + b) = x 2 +(a + b)x + ab Ejemplo: (x+3)(x–2)=x 2 + (3–2)x + (3)(–2) = x 2 + x–6 (y–5)(y–3)=y 2 +(–5–3)y+(–5)(–3)=y 2 –8y+ 15 DESARROLLO DEL TEMA
-
Upload
julio-cesar-palomino-perez -
Category
Documents
-
view
11 -
download
0
description
ejercicios
Transcript of Álgebra 2 Porductos Notables
-
1Integral Turno Maana Regular 2014 - III / lgebra Tema 2 1
lgebraITMNIII2X2
TEMA: 2
Productos Notables
I. PRODUCTOS NOTABLESCierto tipo de productos se presentan con tanta frecuencia que podemos llegar al resultado sin efectuar la multiplicacin que cumple ciertas reglas fijas, a estos se llaman productos notables.
A. Binomio al cuadrado
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(ab)2 = a22ab+b2
Ejemplo:Desarrolle los siguientes binomios:
(x + 3)2 = x2 + 2.x.3 + 32 = x2 + 6x + 9
(2xy)2 = (2x)2 2(2x)y + y2 = 4x2 4xy + y2
3m
2
n + =n2 + 2n.3m
+3m
2
=n2 +3
2nm+
9m2
( 3 2)2 = 3
2 2 3. 2 + 2
2 = 5 2 6
Identidades de Legendre
(a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 (a b)2 = 4ab
Ejemplo:Reduce la expresin:
( 7 + 5)2 + ( 7 5)
2
( 2 + 8)2 ( 2 8)
2E =
Resolucin:
( 7 + 5)2 + ( 7 5)
2
( 2 + 8)2 ( 2 8)
2E =
2 (7 + 5)
4 ( 2 . 8)E =
E = 24
16 = 1,5
B. Binomio al cubo
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab 2 + b3
(a b)3 = a3 b3 3ab(a b)
(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3
Ejemplo:(x + 2)3 = x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33
= x3 + 9x2 + 27x + 27(3x y)3 = (3x)3 3(3x)2.y + 3(3x)y2 y3
= 27x3 27x2y + 9xy2 y3
C. Producto de suma por diferencia de dos trminos
(a + b) (a b) = a2 b2
Ejemplo:(3x y)(3x + y) = (3x)2 y2 = 9x2 y2
(a2 2b)(a2 + 2b) = (a2)2 (2b)2 = a4 4b2
(a + b + c)(a + b c) = (a + b)2 c2
= a2 + 2ab + b2 c2
D. Producto de binomio por un trinomio
(a + b)(a2 ab + b2) = a3 + b3
(a b)(a2 + ab + b2) = a3 b3
Ejemplo:(x 2)(x2 + 2x + 4) = x3 23 = x3 8(x + 1)(x2 x + 1) = x3 + 13 = x3 + 1
E. Multiplicacin de bionomios con trmino comn
(x + a)(x + b) = x2+(a + b)x + ab
Ejemplo:(x+3)(x2)=x2 + (32)x + (3)(2) = x2 + x6(y5)(y3)=y2+(53)y+(5)(3)=y28y+15
DESARROLLO DEL TEMA
-
2Integral Turno Maana Regular 2014 - III / lgebra
Ciencia Histrica - Hominizacin y Prehistoria
Tema 2
Productos Notables
Problema 1Si: a + b = 4; ab = 2.Halla: M = a2 + b2.
Nivel fcil
A) 12 B) 16 C) 14D) 10 E) 8
Resolucin:(a + b)2 = (4)2
a2 + 2ab + b2 = 16 a2 + b2 + 2ab = 16a2 + b2 + 2(2) = 16a2 + b2 = 12
Respuesta: A) 12
Problema 2
Si: a + b = 3; ab = 4.
Halla: a3 + b3.Nivel intermedio
A) 3 B) 6 C) 9
D) 3 E) 4
Resolucin:
(a + b)3 = (3)3
a3 + b3 + 3 a.b(a + b) = 27
a3 + b3 + 3(4) (3) = 27
a3 + b3 = 9
Respuesta: C) 9
Problema 3Efecta:(x 3) ( x + 3) (x2 + 9) x4
Nivel difcil
A) 40 B) 81 C) 40D) 10 E) 20
Resolucin:(x 3)(x + 3)(x2 + 9) x4
(x2 (3)2)(x2 + 9) x4
(x2 9)(x2 + 9) x4
(x2)2(9)2x4
x4 81 x4 81
Respuesta: B) 81
PROBLEMAS RESUELTOS
F. Trinomio al cuadrado
(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)
Ejemplo:
(a+bc)2=a2+b2+(c)2 + 2[ab + a(c)+b(c)] = a2 + b2 + c2 + 2ab 2ac 2bc (ab2)2=a2+(b)2+(2)2+2[a(b)+(b)(2) +a(2)] = a2 + b2 + 4 2ab + 4b 4a
G. Identidad condicional
Si: a+b+c = 0 a3+b3+c3 = 3abc
Ejemplo: Si: a + b + c = 0, halle el valor de:
a2
bcb2
acc2
ab H = + +
Resolucin: Tenemos:
a2
bcb2
acc2
ab H = + +
a3 + a3 + c3
abc H =
sabemos que: a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc
Luego:3abcabc
H = = 3
RecuerdaLos productos notables se utilizan para racionalizar, por ejemplo:
1
( 3 2)
1 .( 3 + 2)
3 2 3 2
= 3 2
3 22 3 2
( 3 2) . ( 3 + 2)=
= =2
PROBLEMAS CLASE
NIVEL I
1. Reduce:E = (x + 2y)(x 2y) (x y)2 +5y2
A) 2y2 B) xyC) xy + y2 D) 2xyE) 5y2
2. Desarrolle y simplifique:H = (2x 3y)3 +9y(4x2 6xy + 3y2)
A) 8xy B) 8x3
C) 4y2 D) x2 + y3
E) x3 + 2xy
3. Si: a3 b3 = m ; a b = n Halle: ab
A) m + n3 B) m n3C) (m + n3 )/3n D) (m n)/3nE) (m n3 )/3n
NIVEL II
4. Halle el valor de xy, si:
x + y = 5 x2 + y2 = 11.A) 5
B) 7
C) 9
D) 10
E) 8
-
3Integral Turno Maana Regular 2014 - III / lgebra
Ciencia Histrica - Hominizacin y Prehistoria
Tema 2
Productos Notables
5. Reduce: M = (x + 2)3 (x + 1)3 3x2
A) 9x + 7 B) 3x + 9C) 7x + 1 D) 3x + 5E) x + 7
6. Si: a + b = 6; adems: a2 + b2 = 14. Halle el valor
de: E = a3 + b3 A) 26 B) 24C) 22 D) 20 E) 18
7. Indique el cuadrado de:
2 2
2 2( 5 1) ( 5 1)A( 5 1) ( 5 1)
+ =+ +
A) 5/3 B) 5/9C) 5 D) 2/3E) 1
8. Efecte:R = (x + 1)(x 1)(x2 + 1)(x4 + 1) + 1
A) 1 B) 1C) x4 D) x8 E) x16
9. Si: x3 + y3 = 28 Adems: xy (x + y) = 12 Calcule: R = x + y
A) 2 B) 3 C) 4 D) 2 E) 3
10. Si: a + b + c = 12; adems: a2+b2+c2=80. Calcule el va-lor de:
H = (a 3b)2 + (b 3c)2 + (c3a)2A) 582 B) 596C) 600 D) 608E) 602
11. Si: a b 3b a
+ =
determine el valor de:
4 2 2
2 2(a b) 10a bH
7a b
+ +=
A) 11 B) 10C) 8 D) 5E) 2
12. Desarrolle: ( )2H 10 51 10 51= +
A) 6 B) 7
C) 7 D) 6E) 1
13. Si: x2 4x + 1 = 0 Calcule el valor de: E = x2 + x3 + x3 + x2
A) 48 B) 54 C) 66 D) 68 E) 74
NIVEL III
14. Si: a + b = 4 ab = 3 Calcule: C = a3 b3; si: a > b
A) 64 B) 27 C) 26 D) 26E) 27
15. Simplifique:
104 3 3
2 5 2 8 4 2
N a 1 (a 1) (a 1) M
M (a 1) (a 1) (a 1)
= + +
= + A) 4 B) 2 C) x D) x4 E) 0
