8/7/2019 Algebra - 2005 - Cert 2

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

FACULTAD DE CIENCIASFISICAS Y MATEMATICAS Fecha: 30-05-2005DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Duracion: 100 minutos

ALGEBRA Y ALGEBRA LINEAL 520142

EVALUACION 2

1. [20 puntos] Considere la funcion f : [5, 2[ R, definida por:

f(x) =

x 6 si 5 x < 3x

x + 2si 3 x < 2

(a) Demuestre que f es inyectiva.

(b) Defina la inversa de f.

2. [20 puntos] Defina fg para f : Dom(f) R R y g : Dom(g) R Rdefinidas por:

f(x) = ln(9 x2) y g(x) = 2x 1

3. [10 puntos] La productividad de un trabajador (en unidades de producto)que tiene t semanas de experiencia esta dada por la funcion Q : [0, [ R,definida por:

Q(t) = 240 Aekt,

donde A y k son constantes a determinar.

Se observa que inicialmente un determinado trabajador (sin experiencia)tiene una productividad de 60 unidades, y de 160 unidades despues de ochosemanas de experiencia, determine cual fue su productividad despues decuatro semanas de experiencia.

4. [10 puntos] Resuelva la siguiente inecuacion:

[log0.2(x)]2 log0.2(x2)

Apague su telefono. No se puede usar calculadora. No se admiten consultas.

LBH/RBP/RRS/FFB/AGS/RNG/LRS/BBM/ags

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SOLUCION

1. [20 puntos] Considere la funcion f : [5, 2[ R, definida por:

f(x) =

x 6 si 5 x < 3x

x + 2si 3 x < 2

(a) Demuestre que f es inyectiva.

Sol.: Sean x, y en [5, 2[.Caso 1. x, y [5, 3[ tal que f(x) = f(y).

f(x) = f(y) = x 6 = y 6= x = y= x = y

Caso 2. x, y [3, 2[ tal que f(x) = f(y).

f(x) = f(y) = x

x + 2 = y

y + 2= xy 2x = yx 2y= 2x = 2y= x = y

Caso 3. Veamos que si x [5, 3[ e y [3, 2[ no se puede tenerque f(x) = f(y). Para esto veamos que f([5, 3[)f([3, 2[) = .

f([5, 3[) = {y R : x [5, 3[ f(x) = y}= {y R : x [5, 3[ x 6 = y}= {y R : x [5, 3[ x = y 6}=

{y

R :

5

y

6 0}= {x R : (3 x)(3 + x) > 0}= ] 3, 3[.

Dom(f g) = {x Dom(g) : g(x) Dom(f)}=

x R {1} : 2

x 1 ] 3, 3[

=

x R : x = 1 3 < 2

x 1 < 3

= ] , 1/3[ ]5/3, +[

De donde f g queda definida por:

f g :] , 1/3[ ]5/3, +[ R

x f(g(x)) = ln9 4

(x 1)2

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3. [10 puntos] La productividad de un trabajador (en unidades de producto)que tiene t semanas de experiencia esta dada por la funcion Q : [0, [ R,definida por:

Q(t) = 240 Aekt,

donde A y k son constantes a determinar.

Se observa que inicialmente un determinado trabajador (sin experiencia)tiene una productividad de 60 unidades, y de 160 unidades despues de ochosemanas de experiencia, determine cual fue su productividad despues decuatro semanas de experiencia.

Sol.: De la produccion del trabajador inicialmente se desprende que:Q(0) = 60.

Q(0) = 60 = 240 A = 60= A = 180.

De la produccion despues de ocho semanas de experiencia se desprende que:Q(8) = 160.

Q(8) = 160 = 240 180ek8 = 160= e8k = 80/180 = 4/9.

La produccion del trabajador despues de cuatro semanas de experiencia es:

Q(4) = 240 180e4k= 240 180

e8k

= 240 180(2/3)= 240

120

= 120

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4. [10 puntos] Resuelva la siguiente inecuacion:

[log0.2(x)]2 log0.2(x2)

Sol.:

Notemos que x tiene que ser tal que log0.2(x) y log0.2(x2) tienen que estar

bien definidos, de aqui x ]0, +[.

[log0.2(x)]2 log0.2(x2) = [log0.2(x)]2 2log0.2(x) 0

= log0.2(x)[log0.2(x) 2] 0

=

[log0.2(x) 0 log0.2(x) 2 0][log0.2(x) 0 log0.2(x) 2 0]

= [x

1

log0.2(x)

2]

[0 < x 1 log0.2(x) 2]

=

x 1 x (0.2)2 = 0.04

0 < x 1 x (0.2)2 = 0.04= x [0.04, 1]

La solucion de la inecuacion es:

[0.04, 1]