8/7/2019 Algebra - 2006 - Cert 1

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS

FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

EVALUACION 1ALGEBRA Y ALGEBRA LINEAL (520142)

P1. 1.1. Considere la siguiente proposicion:

p : ( > 0)(m N)

1

m 1

m+ 1 <

a) Niegue la proposicion p. (5 puntos)

b) Determine si la proposicion p es verdadera o falsa. (Justifique) (5 puntos)

Solucion

1.1.

a)

p : ( > 0)(N N)

1

N

1

N+ 1

b) La proposicion es falsa, basta considerar = 1, pues, para todo N N

1

N 1 =

1

N+ 1 1 =

1

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1.2. Sean A y B subconjuntos del universo U.

a) Pruebe que Ac Bc (A B)c. (5 puntos)b) Porque no es verdadera la igualdad?. (5 puntos)

Solucion

1.2.

a) Probemos que Ac Bc (AB)c.Sea (x, y) Ac Bc.

(x, y) Ac Bc = x Ac y Bc por definicion de producto cartesiano

= x / A y / B por definicion de complemento= (x, y) / AB por definicion de producto cartesiano

= (x, y) (AB)c por definicion de complemento Ac Bc (AB)c

Un punto por paso y un punto por la conclusion.

b) La igualdad no es valida, basta considerar por ejemplo

U = {1, 2, 3}, A = {1, 2} = B.

En general, cualquier contraejemplo sirve o que haga cualquier razonamientovalido (se puede dar puntaje parcial).

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P2. 2.1. Considere el desarrollo de:

2x3

y

y2

x

45

a) Encuentrre las potencias de y en los terminos centrales. (5 puntos)

b) Encuentre, si existe, el termino independiente de x. (5 puntos)

Solucion

2.1. a)

Tk+1 =

45k

2x3

y

45k y2

x

k

T23 =

4522

2x3

y

4522 y2

x

22

= (y1)23 (y2)22 = y23+44 = y21

T24 =

4523

2x3

y

4523 y2

x

23

= (y1)22 (y2)23 = y22+46 = y24

Las potencias de y en los terminos centrales son 21 y 24.2.1.b)

Tk+1 =

45k

2x3

y

45k y2

x

k

= (x3)45k (x1)k = x0

= 135 3k k = 0= 4k = 135=

k =135

4 N {0}

No existe el termino independiente de x.

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2.2. Pruebe que:

n N, 8n1

+ 6 es divisible por 7.(10 puntos)

Solucion

2.2. Sea S = {n N|8n1 + 6 es divisible por7}

Si n = 18n1 + 6 = 1 + 6 = 7 = 7 1

1 S

Supongamos que k N, es decir, 8k1 + 6 es divisible por 7. Hipotesis de

Induccion. Probemos que k + 1 N, es decir, 8k+11 + 6

8k+6

es divisible por 7. Tesis de

Induccion.

8k + 6 = 8k1 8 + 6= 8k1 8 + 6 8 6 8 + 6= 8 (8k1 + 6)

es divisible por 7,por Hip. de Induccion

+ 6 (8 + 1) 7

es divisible por 7

k + 1 S.

Luego S = N

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P3. Considere la siguiente funcion:

f : A R Rx f(x) = x2 1

i) Encuentre Dom(f). (4 puntos)

ii) Encuentre Rec(f). (4 puntos)

iii) Es f inyectiva?. Justifique. (4 puntos)

iv) Restrinja el Dom(f) a un conjunto B de modo que la funcion

g : B Rec(f)x g(x) = f(x) = x2 1

sea invertible. Defina la funcion inversa. (8 puntos)

Solucion

i)Dom(f) = {x R : y R,

x2 1 = y}

= {x R : x2 1 0}= {x R : |x| 1}= ] ,1] [1, +[

ii)

Rec(f) = {y R : x ]

,1] [1, +

[, y =

x2 1}= {y R : x ] ,1] [1, +[, y2 = x2 1, y 0}= {y R : x2 = y2 + 1 1, y 0}= [0, +[

iii) Por contraejemplo:

{2,2} Dom(f)

2 = 2 y sin embargo f(2) = f(2).

f no es inyectiva

iv) As, (por ejemplo), la funcion

g : [1, ] [0, +]x y = g(x) = x2 1

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es invertible y su inversa es la funcion

g1 : [0, ] [1,]y x = g1(y)

g1(y) = x = g(x) = y=x2 1 = y= x2 1 = y2= x =

y2 + 1

Finalmenteg1 : [0, ] [1,]

y g1(y) =

y2 + 1

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