8/7/2019 Algebra - 2006 - Cert 2

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS

FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

EVALUACION 2ALGEBRA Y ALGEBRA LINEAL (520142)

1. a) Considere la funcion f : Dom(f) R R definida por: f(x) = ln(x 1).Defina la funcion g = f f.Sol.:

Primero es necesario calcular el dominio de f:

Dom(f) = {x R : f(x) R}= {x R : ln(x 1) R}=

{x

R : x

1 > 0

}= ]1,[.

Luego estamos en condiciones de calcular el de g:

Dom(g) = {x ]1,[: f(x) ]1,[}= {x ]1,[: ln(x 1) ]1,[}= {x ]1,[: ln(x 1) > 1}= {x ]1,[: x 1 > e} pues ln es creciente

= {x > 1 : x > e + 1} =]e + 1,[.La definicion de la funcion es:

g :]e + 1,[ Rg(x) = ln(ln(x 1) 1).

,

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b) El ndice de penetracion de un producto en el mercado evoluciona en el tiemposegun la funcion F : [0, +[ R, definida por:

F(t) =1 etp1 + etp

,

donde p es una constante positiva.

Determine el tiempo t necesario para que el ndice alcance el valor 0.9, en

funcion de p.Sol.:

Como la funcion es creciente y parte en 0, si alcanza el valor 0,9 lo har en uninstante posterior, y una sola vez. Por lo tanto, debemos encontrar ese instante.Para ello planteamos la ecuacion:

F(t) = 0, 9

y despejamos t:

1 etp1 + etp

= 0, 9

Se trabaja y se llega a:

t = ln(1

19)

p

o mas simplemente:

t =ln(19)

p.

2

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2. a) Un joven observa, desde un punto A, la cuspide de un poste con un angulo deelevacion de 15 grados. Luego camina 100 metros hacia el poste hasta un puntoB (sin llegar al poste), desde all mide la distancia a la cuspide C del poste,

obteniendo 100

23 metros. Cual es la altura del poste?

Indicacion: Use que sen(15) =

23

2y el Teorema del Seno.

Sol.:Del enunciado se deduce el siguiente dibujo:

C

A B

100m

d

h

15

10023

Usando el Teorema del Seno en el triangulo ABC, se tiene:

sen(15)

100

23=

sen()

100,

De aqu sen() = 12

, por lo tanto = 30.

Ademas, = 30 + 15 = 45 y h = 100

23sen().De donde finalmente: h = 1002

3 sen(45) = 502(2

3).

3

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b) Encuentre el conjunto solucion de:

sen(x) >

3cos(x)

con x en

2,

3

2

.

Sol.:

En el intervalo

2 ,3

2

se cumple que cos(x) 0, luego hay dos casos:a) Si cos(x) = 0, la inecuacion queda:

sen(x) > 0, luego x = /2.

b) Si cos(x) < 0, en tal caso:

sen(x) >

3 cos(x)

tan(x)