Algebra

UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA

COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

1 UNIDAD: Algebra TEMAS:

Expresiones algebraicas Conceptos BásicosPolinomios OperacionesProblemas



Ecuaciones

ALGEBRA

Expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas son una combinación de operaciones de números con letras.

Ejemplo:

3x + y 11xy2 x + 10y – z

Partes de una expresión algebraica

Como las expresiones algebraicas poseen una parte numérica y otra de letras mencionamos:

Coeficiente numérico corresponde al número que se encuentra delante de las letras, ejemplo:

4xy, el coeficiente numérico es el 4 7b2c5 , el coeficiente numérico es el 7 abc, el coeficiente numérico es el 1

4

3xyz , el coeficiente numérico es el 4

1

Coeficiente literal corresponde a las letras que se encuentran en la expresión algebraica con sus respectivos exponentes, ejemplo:

4xy, el coeficiente literal es el xy 7b2c5 , el coeficiente literal es el b2c5

abc, el coeficiente literal es el abc

4

3xyz , el coeficiente literal es el xyz3

Valor numérico

Es el valor que se obtiene al sustituir las letras por un valor dado anteriormente, ejemplo:

a) 3x + 5y, si x = 1 y y = 2 b) 3x2 + b3 – 2 , si x = -2 y b = 5

3 1 + 5 2 = 3 ( -2 )2 + ( 5 )3 – 2 =

3 + 10 = 3 4 + 125 – 2 =

13 12 + 125 – 2 =

135



Términos de una expresión algebraica

Los términos en una expresión algebraica se encuentran separados por los signos de – y +, ejemplos:

a) 3x + 6y – 8 , posee tres términos, el 3x, 6y, -8

1 2 3

b) x2 + yz5 + 6ab - 7 , posee cuatro términos, el x2, yz5, 6ab, -7

Monomios

Expresiones algebraicas que poseen un solo término, y cuyas letras poseen números naturales (0, 1, 2, 3, 4,...) en sus exponentes, además al poseer números naturales en los exponentes de las letras, jamás poseerán letras en el denominador, ejemplos:

3xy, es un monomio 10y + 1, no es un monomio ya que posee dos términos 11d4f5h6v2a1, es un monomio xy-6 , no es monomio ya que tiene la letra un exponente negativo abc, es un monomio

c

ab5, no es un monomio ya que existen letras en el denominador

Grado de un monomio

Para hallar el grado de un monomio, trabajaremos solamente con el coeficiente literal, y sumaremos los exponentes de las letras, ejemplo:

7abc, se trabaja con abc cuyos exponentes son 1, 1, 1 y su suma da 3, por lo tanto el grado del monomio corresponde a 3

21x2y6q2 , se trabaja con x2y6q2 cuyos exponentes son 2, 6, 2 y su suma da 10, por lo tanto el grado del monomio es 10

-6, como no posee letras el grado corresponde a 0



Ejercicio

1) Complete el siguiente cuadro con la informacio9n que se le pide en el espacio correspondiente.2)

Expresión Algebraica Factor Numérico Factor Literal Grado

-3ab2

3

4 3xy

52ab3c2

2

724 xnm

-10

10xyz2

-458

2xyz

5

22ab3c5d2

-a



2) Encuentre el valor numérico de las siguientes expresiones.

a. x2 – 2x -1 si x = 2 R/ -1b. -3a3bc2 si a = 4, b = -1, c = -2 R/ 768c. 3x + 2a – 7b + 2 si a = -3, x = 5, b = 1 R/ 4

3) Cuales de las siguientes expresiones corresponden a un monomio.

a. 15x2y-3

b. y + 5xc. abc

5

d. 125xy ab

e. x2yz4w2ab4cf. 1 + 2x + 4y

Monomios semejantes

Se llaman monomios semejantes a aquellos que poseen igual coeficiente literal, ejemplos:

a) 3xy, 56xy, 9yx, son semejantes porque todos tienen xyb) 3ab2, 17ab2, ab2, son semejantes porque todos tienen ab 2 c) xy2, 11xy2, 5x2y, no son semejantes ya que el tercer monomio no tiene xy2

Polinomios

Son expresiones algebraicas que poseen dos o más monomios no semejantes, ejemplo:

a) x + y + z, posee ________ términos.

b) 3x + 2a – 7b + 2, posee ________ términos.

c) a + b, posee ________ términos.

d) 4x2 + 3x – 2x0, 5, posee ________ términos.



e) 3x + 2y – 2x + 5 – 7y, posee ________ términos.

Grado de un polinomio

Para encontrar el grado de un polinomio, hacemos:

Calculamos el grado a cada monomio que lo forma Después comparamos los resultados y el grado mayor resulta el grado del polinomio.

Ejemplos:

a) 3xy2 + 6xyz3 - 6, como posee tres monomios, le calculamos el grado

3 5 0 cada uno

Observe que el grado mayor corresponde a 5, por lo tanto el grado del polinomio corresponde a 5.

b) m2n3 + 27m3n – mn, como posee tres monomios, le calculamos el grado

5 4 2 cada uno

Observe que el grado mayor corresponde a 5, por lo tanto el grado del polinomio corresponde a 5.

c) ab – a2b3 – 5ab2, g = ______

d) x2 + yz5 + 6ab – 7, g = ______

Orden ascendente de un polinomio significa ordenar con respecto a una letra, un polinomio de menor a mayor según su exponente, ejemplo:

1) Ordene los siguientes polinomios 3m2n3 + 2m3n – mn en forma ascendente

a) 3m2n3 + 2m3n – mn, con respecto a la letra m, _______________________.R/ -mn+3m 2 n 3 +2m 3 n

b) –x3 + 4x – 5x2 + 10, ________________________________.

c) ab – a2b3 – 5ab2 con respecto a b, ________________________________.

Orden descendente de un polinomio significa ordenar con respecto a una letra, un polinomio de mayor a menor, ejemplo:

1) Ordene los siguientes polinomios 3m2n3 + 2m3n – mn en forma descendente

a) 3m2n3 + 2m3n – mn, con respecto a la letra m, _________________________

R/ 2m3n+3m2n3-mn.

b) –x3 + 4x – 5x2 + 10, con respecto a la variable x ________________________________.

c) ab – a2b3 – 5ab2 con respecto a b, ________________________________.



Operaciones con expresiones algebraicas

Suma y Resta de monomios

Para poder sumar o restar monomios debemos de tener en cuenta que solo se sumaran o restaran aquellos que sean semejantes, ejemplo:

a) 3x + 2x = , observe que son semejantes ya que ambos poseen x

5x , se suman solo los números que se encuentran delante de la letra y el

resultado conserva la letra con la que se estaba trabajando.

b) 4ab + 7bc – 12ab = se suman o se resta los semejantes

-8ab + 7bc , y se mantiene el termino que no es semejante con ninguno de los demás

c) 2x2y3 – 4x 3 + 3 – x2y3 – 2x 3 =, unimos términos semejantes

x2y – 6x3 + 3

d) 2y + 5d + 7t + 2t – 4d – 4y + 2d – 6y = ________________________________.R/ -8y+3d+9t

e) 2q – 3a + 4f + 2f + 2a – 3q + 5a – 2f = ________________________________.R/-q + 4a + 4f

f) x2y – x2y2 – 2yx2 = ________________________________. R/ – x2y2 – yx2

g) 2a – 2z – e + 3z – a = ________________________________.R/ a – 5z – e

Suma y resta de polinomios

Para sumar o restar polinomios, debemos primero de eliminar los paréntesis, para eliminarlos debemos tomar en cuenta dos condiciones:

1. Cuando delante de un paréntesis existe la operación de suma, eliminamos el paréntesis y mantenemos los términos que están dentro de él.

2. Cuando delante del paréntesis existe la operación de resta, eliminamos el paréntesis y escribimos los mismos términos que estaban dentro de él, pero con los signos diferentes.



Ejemplos:

a) ( 3x + 2 ) + ( -4x + 3 )=observe que delante de los paréntesis existe la operación de

+ por tanto eliminamos los paréntesis y escribimos los

términos como están dentro de él.

+ +

3x + 2 + -4x + 3 =, unimos términos semejantes

R/ -x + 5

b) ( 6x2 – 3x + 1 ) – ( 2x – 5 ) =

+ - cambiamos los signos de los términos que hay dentro del paréntesis

6x2 – 3x + 1 – 2x + 5 = observe que los signos son diferentes, unimos términos

semejantes

R/ 6x2 – 5x + 6

c) ( -xy4 – 7y3 + xy2 ) – ( -xy4 + 5y – 2 ) + ( -6y3 + xy2 ) =

mantengo signos cambio signos mantengo signos

-xy4 – 7y 3 + xy2 + xy4 - 5y + 2 + -6y 3 + xy2 = unir términos semejantes

R/ -3y3 + 2xy2 – 5y + 2

d) 3a – (2y – 3z) + (2a – z) = R/ 5a -2z -2y

e) (3a – 3b + 24) – (4a – 20b + 12) + (6a – 12b – 6) =



Multiplicaciones de expresiones algebraicas.

Multiplicación de monomios.

Para multiplicar dos o más monomios, seguiremos los siguientes procedimientos:

Multiplicamos los coeficientes numericos. Con los coeficientes literales (letras), se sumaran sus exponentes de acuerdo a cada letra(o sea se suman los

exponentes de las mismas letras).Ejemplos:

1) yxyx 332 104 Entonces multiplicamos 4 . 10

Y sumamos los exponentes de las letras(x con x, y con y)

40x5y4

2)

abcba3

5

4

3 42 Entonces multiplicamos 3

5

4

3 simplificando el resultado.

Y sumamos los exponentes de las letras.

cba 53

4

5

3) -2x3y . 4x3y3 . 10xy = R/ -80 x7y5

4) 4m2n . 12mn . 3n4m2 =



Multiplicación de un monomio por un polinomio.

Para multiplicar un monomio con un polinomio, aplicamos la ley de la distributividad, es decir, el monomio (que se encuentra fuera del paréntesis) se multiplica por cada uno de los términos que se encuentran dentro del paréntesis.

Observe:

a ( b + c ) = a . b + a . c

Ejemplos:

1) 2x ( 5x + 3y ) = entonces, el monomio 2x se multiplicara primero por 5x y luego por

3y.

10x2 + 6xy

2) 2662

1bx entonces, el monomio

2

1 se multiplicara primero por 6x y luego por

-6b2.

3x – 3b2

3)

zyxxyzzyx 63423

3

4

5

3

3

2 entonces, el monomio 423

3

2zyx

se multiplicara

586534

9

8

5

2zyxzyx

primero por xyz

5

3 y luego por zyx 63

3

4



4) 4x (2x2y + 5xy – 12x3)

5) -8ab (-3ab2 + 5a + 6a3b3 – 5) R/ 24a2b3 – 40 a2b – 48 a4b4 + 40 ab

6) -2m (4m2 + 10mn – 3m3)



Multiplicación de un polinomio por un polinomio.Para multiplicar un polinomio por un polinomio, se multiplica cada término de uno de los polinomios por todos los términos del otro, y se suman o se restan, según sea el caso, los términos semejantes.

( a + b ) (c + d)

Ejemplos:1) (x + 3) (x – 2) = x2 – 2x + 3x – 6 , después de hacer la multiplicación, buscamos términos semejantes = x2 + x – 6

2) (x – 2) (x2 – 3x + 4) = x3 – 3x2 + 4x – 2x2 + 6x – 8 = x3 – 5x2 + 10x – 8

3) (3x2 – 7x – 9) (2x – 3) = 6x3 – 9x2 – 14x2 + 21x – 18x + 27 = 6x3 – 23x2 + 3x + 27

4)

15

2

90

13

15

2

9

4

10

3

56

4

3

2

2

3

23

2232

xxx

xxxx

xx

x

5) (2a – 5b) (10a + 2b) = 20a2 + 4ab – 50ab – 10b2

= 20a2 – 46ab – 10b2

Ejercicios I:

1) Realice las siguientes operaciones y reduzca al máximo.

a. -2x (5x + 3) = R/ - 10 x2 – 15 xb. ( 2x + 4) ( 2x – 1) = R/ 4x2 +6x – 4 c. ( x + y ) ( x – y ) = R/ x2 – y2 d. -21x2y4 (-3x + 20) =

e.3

4 3xy(-3xy + 2x – 4x2y3) =

f. ( yxyxyx 222

4

52

5

4 ) 5x2y =



g. ( 3x3 – 4x2y4) ( 2x3 + 2x2y4 ) =h. ( a + 3b ) ( 4a + 6b ) =i. –x ( -3x + 2y – 5z ) =j. 2(x + 4) (x – 1) =

Formulas o Productos Notables.

Sirven para resumir o simplificar el procedimiento de una multiplicación de polinomios por polinomios.

Productos Notables.

1) (a + b) (a + b) = (a + b)2 = ( )2 + 2 . ( ) . ( ) + ( )2

= a2 + 2ab + b2

Ejemplos.

a) (x + 5)2 = ______________________________________________________

______________________________________________________

b) (3y + 1)2 = ______________________________________________________

______________________________________________________

c) (x + y)2 = ______________________________________________________

______________________________________________________

d) (x2y + 2xy2)2 = ______________________________________________________

______________________________________________________

e) (5a + 3b)2 = ______________________________________________________

______________________________________________________

Nota:

La expresión (-a – b)2 es equivalente a (a + b)2

Ejemplos.

a) (-8xy – 5xy2)2 = ______________________________________________________

______________________________________________________

b) (-5 – a)2 = ______________________________________________________



______________________________________________________

2) (a - b) (a - b) = (a - b)2 = ( )2 - 2 . ( ) . ( ) + ( )2

= a2 - 2ab + b2

Ejemplos.

a) (z – w)2 = ______________________________________________________

______________________________________________________

b) (10x – x2)2 = ______________________________________________________

______________________________________________________

c) (7 – a)2 = ______________________________________________________

______________________________________________________

d) (x2y – 2x2y2)2 = ______________________________________________________

______________________________________________________

e) (11 – 4d)2 = ______________________________________________________

______________________________________________________

Nota:

La expresión (-a + b)2 es equivalente a (b – a)2

Ejemplos.

a) (-xy + 3x)2 = ______________________________________________________

______________________________________________________

b) (-6 + d2)2 = ______________________________________________________

______________________________________________________

Ecuaciones.



Una ecuación es una igualdad formada por una combinación de números y letras, letras que se denominan incógnitas.

Ejemplos:

a) 3x + 5 = 2 b) x2 + 3x + 2 = 10x c) x4 + 5 = 1 d) 10x – 5x + 8 = 23

Observe que en las expresiones anteriores al lado izquierdo y al lado derecho del igual siempre existe algo, la parte izquierda se llama miembro izquierdo y la parte derecha se llama_____________________.

Las siguientes expresiones son igualdades creadas por el estudiante

Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

El nombre que se le da a una ecuación, depende del grado de la expresión (debemos de recordar el tema, grado de un polinomio) y de la cantidad de incógnitas o _______________ que posea.

Ejemplos.

1) La ecuación 7x2 + 3x – 5 = 10 corresponde a una expresión de grado: __________R/ 2 y posee________R/ una incógnita, por lo tanto se denomina: ecuación de segundo grado o cuadrática con una incógnita.

2) La ecuación x + 5y = 10x + 8 corresponde a una expresión de grado: __________ y posee________incógnitas, por lo tanto se denomina: ecuación de primer grado con dos incógnita.

3) La ecuación 8x + 10x – 13 = 5x + 11 – 2x corresponde a una expresión de grado: __________ y posee________incógnita, por lo tanto se denomina: ____________________________.

4) La ecuación y3 + 5y2 – 3y + 2 = 2y + 8 corresponde a una expresión de grado: __________ y posee________incógnita, por lo tanto se denomina: ____________________________.

5) La ecuación 3x (5x + 3) = 8 corresponde a una expresión de grado: __________ y posee________incógnita, por lo tanto se denomina: ____________________________.

6) La ecuación 15a + 7b + 1 = a + 7 corresponde a una expresión de grado: __________ y posee________incógnita, por lo tanto se denomina: ____________________________.Las ecuaciones con las que vamos a trabajar son las de primer grado con una incógnita, también llamadas

ecuaciones lineales.

Solución de una ecuación.

__________________________. __________________________. __________________________. __________________________. __________________________.



Una solución de una ecuación lineal es aquel valor que al sustituirlo en la expresión, hace que la igualdad se cumpla, es decir, el resultado del miembro izquierdo es igual al resultado que se encuentra en el miembro derecho.

Ejemplos.

A) Compruebe que los siguientes valores corresponde a la solución de la ecuación correspondiente.

1) 4x + 5 = 13 S = {2} sustituimos el valor de x por la solución 2, así:

4. ( 2 ) + 5 = 13

8 + 5 = 13

13 = 13 observe que a ambos lados se encuentra el mismo resultado,

Por lo tanto 2 si es una solución de la ecuación.

2) 10y – 2 = 5y + 13 S = {3} ¿Será una solución o no? Compruébelo.

3) x2 – 1 = 5 S = {4} ¿Será una solución o no? Compruébelo.

4) 3x – 5x + 3 = 4x + 12 S = {1} ¿Será una solución o no? Compruébelo.

5) 2 (h + 1) – (h – 1) = 0 S = {-3} ¿Será una solución o no? Compruébelo.

6) 3m – 4 = 7 + 2m S = {11} ¿Será una solución o no? Compruébelo.

7) 5x – 10 + 3x = 13x + 12 – x S = {1/2} ¿Será una solución o no? Compruébelo.

8) 3x – 3 = 2 – 7x S = {3/2} ¿Será una solución o no? Compruébelo.

9) 12a – 3 = 8a + 7 S = {5/2} ¿Será una solución o no? Compruébelo.

10) 8b + 1 + 12b = 5b + 12b S = {-1/3} ¿Será una solución o no? Compruébelo.

B) Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones, realizando el procedimiento que lo o la llevo a encontrarla.



1) 3x + 1 = 7 2) 2x = 8 3) 10y – 5 = 45 4) x = 4 5) 2x – 5 = 1

Conjunto de Solución.

Las SOLUCIONES de las ecuaciones se representan con la simbología S = { }, donde se escribirá dentro de las llaves el valor que corresponde a la solución de la ecuación, a este tipo de respuesta se le llama conjunto de solución. A los valores se les llama solución de la ecuación.

Resolución de Ecuaciones Lineales.

Las ecuaciones de primer grado se deben resolver aplicando una serie de procedimientos los cuales son:

Agrupar las expresiones que contienen la incógnita de un lado de la ecuación y los números del otro lado de la ecuación.

Al trasladar una expresión de un lado del igual al otro esta realiza el proceso inverso del que estaba haciendo.Ejemplos.

A) Resuelva las siguientes ecuaciones.1) x + 7 = 16

letras = números sin letras

x = 16 – 7 , observe que el 7 se movió de lugar, y la forma para hacer

correcto ese movimiento es cambiando la operación de dicho

numero.

x = 9 , la ecuación termina cuando la letra quede despejada (sola) y al

otro lado se encuentre solo una cantidad final.

S = , respuesta final….

2) 8x – 4 + 3x + 17 = 7x + x + 4x + 14



letras = números sin letras

8x + 3x – 7x – x – 4x = 14 + 4 – 17

-x = 1 , observe que para despejar la x, debemos mover el -1,

el cual está multiplicando, por lo que pasaría a

dividir al 1.

x =

x = -1

S = , respuesta final…

3) h + 3h +50 = 192

=

= S = R/ 71

2

=

4) 16 + 7x – 5 + x = 11x – 3 – x

=

= S = R/ 7

=



5) 12 – 2 + 2x = 12x – 13 + 3x

=

= S = R/ 23

13

=

6) 8x – 4 + 3x + 18 = 14

=

= S =

=



Ecuaciones con paréntesis.

Resolver ecuaciones que contengan paréntesis, es seguir los mismos procedimientos anteriores, pero antes se deben de eliminar los paréntesis utilizando los métodos algebraicos básicos.

Ejemplos.

1) 2(x – 5) + (3x – 10) = 12(2x + 1), primero eliminamos los paréntesis

2x – 10 + 3x – 10 = 24x + 12, a continuación se trabaja como una ecuación vista

anteriormente.

2x + 3x – 24x = 12 + 10 + 10

-19x = 32 S =

x =

2) (x – 2) (3x + 4) = 3x2 – (5x + 7)

_______________ = ________________

_______________ = ________________

_______________ = ________________

_______________ = ________________

S = R/ 1

3



Otro Tipo de Ecuaciones.

Este tipo de ecuaciones se llama fraccionario, debido a la existencia de letras en el denominador.

Ejemplo.

1) , el primer paso es lograr eliminar las letras que se encuentran en el

denominador, multiplicando en equis.

, al multiplicar, la ecuación se transforma en una ecuación con paréntesis.

3(3x + 2) = 2(x – 1), a continuación se resuelve igual que las anteriores.

________= ________

________= ________ S = R/ -4

________= ________

________= ________

Traducción al lenguaje algebraico.

Lenguaje matemático Lenguaje algebraico

Un numero cualquiera x

El doble de un numero 2x

El cuadrado de un numero x2



Un numero aumentado en dos x + 2

El triple de un numero disminuido en diez 3x – 10

Las dos terceras partes de un numero 2/3x

La mitad de un numero aumentado en siete es igual al mismo número disminuido en tres

x/2 + 7 = x – 3

Un numero par 2x

Un numero impar 2x + 1 o 2x – 1

Tres números consecutivos x, x + 1, x + 2

Tres números pares consecutivos 2x, 2x + 2, 2x + 4

La diferencia de un numero y el quince x – 15

Un numero mas su sucesor x + x + 1

Siete veces un numero disminuido en tres es igual a cinco disminuido en el doble del mismo numero

7x – 3 = 5 – 2x

La tercera parte de: la suma de un numero y dos

x + 2

3

Ejercicio

Traducir el siguiente problema:

En un tortuguero había cierta cantidad de tortugas. Dejaron libres a 100, pero después de una semana nacieron más tortugas y se duplicó el número de las que quedaban. Finalmente, quedaron 250 tortugas. ¿Cuántas tortugas había inicialmente?

Lenguaje común Lenguaje algebraico

En un tortuguero había cierta cantidad de tortugas

n

Dejaron libres a 100

El numero de tortugas se



duplico

Quedaron 250 tortugas

¡Adivinando el número!

Lenguaje común Lenguaje algebraico

Piense un numero x

Súmele 10

Multiplíquelo por dos

Le resta 20

Problemas con ecuaciones.

Resolver un problema con la ayuda de las ecuaciones, es trabajar ordenadamente por medio de un planteo, el cual tendrá los datos del problema, una operación que contendrá la ecuación del problema, se resuelve dicha ecuación para luego con ayuda de los datos dar la respuesta del problema.

Ejemplo.

1) Se tienen dos ángulos suplementarios. Si uno es cuatro veces mayor que el otro, ¿Cuántos grados miden cada uno?

PLANTEO

Cantidad de datos:_______

Descripción de datos:

__________________

__________________

OPERACIÓN

Se forma la ecuación: (ángulos suplementarios)

_______________________

RESPUESTA: R/36 y 144



2) En un triangulo ABC, el ángulo A mide el doble que el B y el ángulo C mide el triple que el A. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos A, B, C?

PLANTEO

Datos:

OPERACIÓN

Ecuación:

RESPUESTA:



PRÁCTICAS

Practica # 1

1) Complete el siguiente cuadro con la información que se le pide en el espacio correspondiente.

Expresión Algebraica Factor Numérico Factor Literal Grado

-3ab2

3

4 3xy

52ab3c2

2

724 xnm

-10

7xyz2

14 xb5c2

-12



2) Encuentre el valor numérico de las siguientes expresiones.

a. x2 – 2x -1 si x = 2b. -3a3bc2 si a = 4, b = -1, c = -2c. 3x + 2a – 7b + 2 si a = -3, x = 5, b = 1d. x + 2y2 si x = 6, y = -7e. 4x + -3x2 – 10 si x = -13) Encuentre el grado de los siguientes polinomios

a. 2x2y3 – 4x3 + 3 – x2y3 – 2x3

b. 3y3 + 2xy2 – 5y + 2

c. x2y – 6x3 + 3

d. x2y – x2y2 – 2x2y

e. 10y – 3y – 4y

4) Clasifique las siguientes expresiones en binomios, trinomios o polinomios.

a. 10y – 3y – 4xy b. 5x + 2y – 7x – y c. x2y – x2y2 – 2x2y d. 2y + 5d + 7t + 2t – 4d – 4y + 2d – 6y e. 2q – 3a + 4f + 2f + 2a – 3q + 5a – 2f f. t + b + 2t + 4b – 6t + 3b g. 2x2y3 – 4x3 + 3 – x2y3 – 2x3

5) Resuelva las siguientes operaciones de suma y resta de polinomios y dé los resultados ordenados en forma descendente con respecto a una variable.

a. 10y – 3y – 4y =b. 5x + 2y – 7x – y =c. x2y – x2y2 – 2x2y = d. 2y + 5d + 7t + 2t – 4d – 4y + 2d – 6y =e. 2q – 3a + 4f + 2f + 2a – 3q + 5a – 2f =f. 2a – b – ( a + 3b ) + ( 4a + 6b ) =g. ( -3x + 2y – 5z ) – ( -4x + 3y – 6z ) =h. ( a + b + 8 ) – ( a – 5b + 3 ) + ( a – 2b – 1 ) =i. t + b + 2t + 4b – 6t + 3b =



j. v – ( 4 – 5b + 2v ) =

k. yxyxyx 222

4

52

5

4 =

l. ( 5x2 + 2x – 1 ) – ( 3x2 + 5x + 2 ) =m. ( 3x2 + 2x – 2 ) – ( -2x2 + 5x + 5 ) =n. ( 2n – 5m2n+ 2m ) – ( 4m4n3 + 3m2n – 4n ) =o. ( 3r + s ) – ( r – s ) – ( r + 3s ) =p. ( 3x3 – 4x2y4 + 2x ) + ( -4x2 + 2x3 + 2x2y4 ) =

Practica # 2

1) Determinar cuáles de las siguientes expresiones corresponden a un monomio, en caso de que así sea indique el factor numérico, el factor literal y el grado del monomio.

1. 17g7 2. 4 b9

3. b1/2

4. 3ab2 5. 2 a2b2c3

56. x2y2z31

7. -9a2b 8. 2x2y3 – 4xy 9. -14510. 4ab2 11. 3 b-1

712. z 2 m 5

xy

13. -3a2b3 14. a 21 b 6 2

15. 7x3y2

16. 5a4b5 17. x 7 m 10 7

18. 10mn

2) Determine el grado de los siguientes polinomios.

1. 6x5 – 8x4 – 10x3 2. –xyz + 3x3y + 2z3. 4x5y8 – 2x5y4 – 4xy3 4. c2 + 2ab2 – 5abc5. -42m2n3 + 24mn8 + 24m2n6 6. 4x2 – 9y2

7. -18mn + 6m2 8. 6x4y5 + 8x5y6 – 6x2y4 – 8x3y5

9. 24x2 – 82xy + 63y2 10. 6x2y4 + 18x2y3 – 12x3y2 – 36x3y11. 12x4 + 18x2y3 – 56y6 12. 2x3 – 4x2y + 7xy – 6xy2 + 7y2

3) Según los siguientes valores:

a = 1 b = -1 c = -3 d = 2 e = -2 f = 0 g = 5 x = 3 y = -2 z = -4

Encuentre el valor numérico de las siguientes expresiones.

a) 2ab + 3xy b) ab2 + 6b2 c) 3ab – 5yz + 3ab d) 3ab + 3fe + 3xy + 9z

e) 2a2b3 – 4xy2 + 6z



Practica # 3

1) Escribir cada polinomio en orden descendente.

1. x5 + x + 6x3 + 1 + 2x2 2. 9x – 5 + 6x3 – 5x4 + x5

3. 3 + 2x2 – 5x6 – 2x3 + 3x 4. 8y3 – 7y2 + 9y6 – 5y8 – y7

5. 5x3 + 15x9 + x - x2 + 7x8 6. p8 – 4 + p + p2 – 7p4

2) Determinar el valor numérico de cada polinomio si x = -1 y y = 2.

1. 3x + 5xy 2. 5x – 6 + x2y3. 6 – 2xy 4. -3x3 + 7x2 – 3y – 2 5. x2 – 2x + y 6. -2x2 – 5x2 + 4x + 3y

3) Indique en cada polinomio, la cantidad de términos que posee y el grado de cada uno.

1. 3xy2z4 2. x3y2z – 5x5 3. 2x3 – 5x2 + 84. 5y3 + 6y – 3 5. 8x2y2

6.7

45 6 x

7. -4xz + x3z2 8. 10 9. 5x4 – 2x3 + 6x2 – x + 410. 2z3 – 6y6

11.2

x 12. 0.8x3 – 3.4y + 7z

13.2

1x2 – 3y

14. Y 15. 0

4) Identifique los coeficientes numéricos, y los literales de cada uno de los términos de los polinomios siguientes.

1. y2z 2. -4zx 3. 0.5x2 – 3y 4. 8x2y3

5. 5y3 + 6y – 3 6. 2z3 – 6y6 7. x3y2z4 8. 15

Practica # 4

A) Resuelva las siguientes operaciones con expresiones algebraicas.

1) 2x + 3y – 4z + 3x – 2y + 4z= 2) 6x3 + 3x2 – 2x + 1 – 2x3 + 6x2 – 2x – 3=



3) 5x3 - 2

1x2 + x – x3 +

4

3

5

2

3

2

xx

= 4) 2x + x5

17 =

5) a - 2

11 a + 4a 6)

6

2

34

3 xx

7) 3y2 – 4y – 4y2 + 2y + 1= 8) b + b2 – 3b2 – 4 + 3b – 4b3=

9) 2x + 4x2 – 3 + x3 – x2 + 4x= 10) 3z2 – 2z + 4 + 3z3 – 4z2 – 2 – z3=

11) 3232

10

1

5

4

2

1

5

1

2

1mmmmmm 12) 6x + 3w – 2x + 56w=

13) 2h – h2 – 2h + 2h2 + 2h – 6h2 – 2h – 4h2 + 3=

14) 3 + 5n – 2n3 – 3n3 + n – 4 + 4n3 – 2n2=

15) w2 - 5w + 1 – 2w2 – w + 2 + 3w2 + 2w + 4=

16) 8c4 - 12c2 + 6c – 6c3 – 7c2 + 5c – 2 =

17) 3m4 – 5m6 – 2m4 + 6m6= 18) -1 + 5n3 – 3 – 7n3 + n4 + 5=

19) -2v + 4v3 – 7v + 9v3 + 8= 20) -6u2 + u – 5u + 7u2 + 1=

21) -2h + 2h2 – 3 – h2 – 3 – h2 + h= 22) –x + 22

2

15

4

3xxx

23) yyyy6

14

6

52 3 24) 3k – k2 + 3k – 4k2 + 3k=

Practica # 5

A) Resuelva las siguientes operaciones.

1)4m – 5n – 9n + 3m2)3ab2 – 9a2b + 4ab2 – 3a2b3)6m2 – 7mn – 4m2 + 9mn

4) 12

3

5

1

5

4

7

2

5

1 yxyx

5) (2mn + 2m2n + 3mn2) – ( 7mn2 – 2m2n + 2mn)6)(2m + 5n + 4p) – (-3n + 4m – 2p)7) (3am – 2dm – cm) – (2cm – dm + am) – (2cm – am + dm)8) (-3ax – 2by + 5z) – (3z – by + 2ax) – (2ax – 2z – by)9) (5x2y – 3xy – xy2) – (2x2y2 -2xy2 – xy2) – (-x2y – x2y2)

10) 4x2y5 7x4y5

11) 6m2n3 4m5n4

12) 2x2 4x 5x3

13) 3x2y5 2x4y5 12x5y3

14) 2x2(3x3 – 4x2 – 5x)15) 12mx2(3mx3 – 4mx2 – 5mx)16) 3m2(-2mn + 5mn – 8mn) 17) -6mn3(7m – 4n5 – 4mn3)

18) )9

8

7

4

3

2(

2

3 2233 xyyxxy

19) (2x + 3y)(6x + 7y)20) (2m3 – 2mn)(3m3 + 4m2n4)21) (4x – 3y)(2x2 + 5xy – 3y2)



22) (2x2 – xy + 3y2)(3x2 - xy – 2y2)23) (5x2 + 2xy + y2)(2x2 – xy + 3y2)

Practica # 6

1) Identifique el tipo de operación de cada ejercicio, es decir escriba en el espacio correspondiente si será: suma y resta de monomios, suma y resta de polinomios, multiplicación de monomios, multiplicación de monomio por polinomio, multiplicación de polinomio por polinomio o formulas notables; y luego indique el procedimiento a seguir para hallar la respuesta.

a) (2x + 1) (3x + y)

Tipo de operación: _______________.

Procedimiento a seguir: ___________

___________

___________.

b) (x + 5)2



___________

___________.

c) (2x + y) – (2y – 8)



___________

___________.

d) 2b – 3m + 8b – 2m



___________

___________.

e) 4x(5x2 – 8)



___________

f) 4m2n 10mn 7m



___________



___________. ___________.

2) Resuelva las siguientes operaciones.

1) 7x + 3y – 2y + 8x 1) 2a – 2z – e + 3z – a 2) (2x – 7y + 3z) – (x + 9z – 8y)

4) – (45m – 12n) + (6n – 8m) 5) –6x4(2x5 – x2) 6) (x2 – xy + y2) (x + y)

7) (2x2 + 3x – 1) (2x2 – 3x + 1) 8) (m3 + my2 + m4 + y2) (m3 + my2 – m4 – y2)

9) (2b – h) (b + 3m) 10) (x4 – x2y2 + y4) (x2 + y2) 11) (2y3 – 4y)2

12) (5m3 + 8n) (8n – 5m3) 13) ( -4x4 – 2y)2 14) (10mn – 7m2)2

Practica # 7

1) Resuelva las siguientes ecuaciones en forma clara y ordenada.

a) 2(x – 5) = 3(2x + 1) b) 6(3x – 1) = 5(4x + 3) c) 8(2x + 3) = -5(-3x + 2)

d) 3(6 + x) = 2(x – 5) e) 3(3y – 1) + 4(9 – 5y) = 0 f) –(x + 3) = x – 1

g) 5(x – 1) – 2x = -2(x – 3) h) 3(x + 1) – 5 = 2x + 1 i) 3x + 5 = -x + 10

4 2

j) 4n + 1 = 10n – 1

3 6 5 6

k) 2(2x – 1) – 5 = 3(x – 3) l) 4x – (x + 6) – (x – 2) = 16 – 2x

m) 12x – 3(x – 2) = 3(x + 4) n) 4(x – 1) – 5(3 – x) = 14x – 2(5x – 3) ñ) (2x – 1)(2x + 1) = 4x2 + 12x + 9

o) (3x – 2) – (x + 3) – x = 0 p) 10 – 4(x + 2) = 32 – 6(3x – 2) q) 5(x – 3) – (x – 3) = 10x – 9

r) 7y – (4 – 2y) = 3(y + 3) – 1 s) 4z – 3 – 7(z + 1) = 6z t) 3 – 2z = 3 – z – z

2) Resuelva los siguientes problemas, escribiendo el planteo (datos), la operación (ecuación) y la respuesta.

a) Halle de 3 enteros consecutivos cuya la suma es 21.



b) Javier tiene 3 veces la edad de José y en 4 años él tendrá el doble de la edad de José ¿qué edad tenia Javier cuando José nació?

c) La suma de dos números es 91 y su diferencia es 15. Halle los números.

d) Miguel es 6 años mayor que su hermana, y la suma de sus edades es 68. Halle la edad de Miguel.

e) Para financiar una escuela que cuesta 18900000, don Esteban contribuye 2 veces más que don Cornelio y don Cornelio contribuye dos veces más que doña Xenia. Hallar con cuanto contribuye cada uno.

f) Seis menos que cinco veces un cierto número es igual que tres más que dos veces el numero. Halle el número.

g) La suma de dos números es de 20 y su diferencia es 4. Halle los números.

h) Entre Ana y Juan compran una revista en 300colones. Determine cuanto aporto cada uno si Ana aporto 12 colones más que Juan.

i) Se tienen dos ángulos suplementarios. Si uno es cuatro veces mayor que el otro ¿cuántos grados mide cada uno?

j) La suma de las edades de tres hermanos es de 49. Si el segundo es 5 años mayor que el primero y la edad del tercero es 4 años menos que el doble de la edad del primero, ¿Cuál es la edad de cada uno?

k) Un padre tiene 26 años más que su hijo. Cuando pasen dos años, la edad del padre será el triple que la de su hijo ¿qué edades tiene hoy el padre y el hijo?

l) Tres enteros consecutivos suman -12¿Cuáles son los números?

m) La base de un rectángulo es el doble que su altura ¿cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30cm?

n) En un triangulo ABC el ángulo A mide el doble que el B y el ángulo C mide el triple que el A ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos A, B y C?

ñ) Si al triple de un número se le resta 36 resulta 72. ¿Cuál es el número?

o) La suma de tres números enteros impares consecutivos es 189. Halle los números.

p) María es 2 años mayor que Elena, y 3 años antes María tenía el doble de la edad de Elena. Hallar sus edades.

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