Algebra

3.4 MULTIPLICACIÓN POR POLINOMIOS

La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto.

La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados tres

polinomios cualesquiera zyx , , se cumplirá que yzxzxy . Esta ley acostumbra a

enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera.

Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa. Es decir, que dados los polinomios cualesquiera yx , , se cumplirá que yxxy . Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto.

Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los cuatro puntos siguientes:

a) Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá signo

positivo. xyyx b) Si el multiplicador tiene signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo, el

producto tendrá signo negativo. xyyx c) Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el

producto tendrá signo negativo. xyyx d) Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo positivo.

xyyx

Por lo que podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente: + + = ++ - = -- + = -- - = +

En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:a) Multiplicación de monomios.b) Multiplicación de un polinomio por un monomioc) Multiplicación de polinomios

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS.Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los signos.

E J E M P L O :

Multiplicar 43 53 xx

SOLUCIÓN: 74343 155353 xxxx

E J E M P L O :

Multiplicar cbaab 222 38

Solución: cbacbacbaab 4312221222 243838

E J E M P L O :

Multiplicar yxyxx 223 254

SOLUCIÓN: 3612231223 40254254 yxyxyxyxx

E J E M P L O :

Multiplicar 22223 6542 ababccbabca SOLUCIÓN:

467

1212121112322223

240

65426542

cba

cbaababccbabca

El producto es negativo por que hay un número impar de factores negativos.

MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos los productos parciales así obtenidos.

E J E M P L O :

Multiplicar aaa 3453 23

SOLUCIÓN:

aaa

aaaaaaaa

12159

343533345334

2323

E J E M P L O :

Multiplicar: xyyxyyxx 233 3223

SOLUCIÓN:

332234

32233223

2662

2 2 3 23 2 233

xyyxyxyx

xyyxyxyxyyxxyxxyyxyyxx

E J E M P L O :

Multiplicar:

2543223

2

1

5

2

6

5

4

1

3

2abbabbaba

SOLUCIÓN:

7625344

2524232223

2543223

5

1

2

5

8

1

3

1

2

1

5

2

2

1

6

5

2

1

4

1

2

1

3

2

2

1

5

2

6

5

4

1

3

2

abbababa

abbabababbaabba

abbabbaba

E J E M P L O :

Multiplicar: 4 2 2 4 62 3 5

3 5 6x y x y y por 2 3 22

9a x y

SOLUCIÓN:

4 2 2 4 6

2 3 2

2 7 4 2 5 6 2 3 8

2 3 5

3 5 62

9

4 2 5

27 15 27

x y x y y

a x y

a x y a x y a x y

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos.

E J E M P L O :

Multiplicar: 223223 5432432 babababbaa

54322345

543223

432234

322345

22

3223

10 28 25 10 6a

10 20 15 10

8 16 12 8

6 12 9 6a

5 4 3

2 4 3 2

babbababa

babbaba

abbababa

bababa

baba

babbaa

E J E M P L O :

Multiplicar: 432224123 222 xxxxxx

SOLUCIÓN: Se multiplican los dos primeros términos

2 6 2 2 12

2 4 6

2 4 6

4 8 12

2 2 4

1 2 3

234

2

23

234

2

2

xxxx

xx

xxx

xxx

xx

xx

A continuación el resultado obtenido lo multiplicamos por el otro polinomio.

3.5. DEFINICIÓN DE PRODUCTO Y PRODUCTO NOTABLEUn producto es el resultado de multiplicar dos o más números. Los números que se multiplican se llaman factores o divisores del producto. Se llaman productos notables (o productos especiales) a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

3.5.1. Cuadrado de un binomioEl cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primer número, más el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Consideremos que 2yx . Tendremos que yxyxyx 2

. Por tanto

2 2 2 22x y x y x xy xy y x xy y

Es decir 222 2 yxyxyx

E J E M P L O :

Desarrollar 22x

SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número: 2x

El doble del producto del primer número por el segundo: xx 422

El cuadrado del segundo número: 422

Así pues 442 22 xxx

E J E M P L O :

Al desarrollar 223 yx

SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número: 22 93 xx

El doble del producto del primer número por el segundo: xyyx 12232

El cuadrado del segundo número: 22 42 yy

Así pues 222 412923 yxyxyx

E J E M P L O :

Al desarrollar 232 34 yx

SOLUCIÓN:

6324

233222232

92416

3342434

yyxx

yyxxyx

El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menos el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo número.

Consideremos que 2yx .

Tendremos que yxyxyx 2

.

Por tanto 2 2 2 22x y x y x xy xy y x xy y

Es decir 222 2 yxyxyx

E J E M P L O :

Desarrollar 23x

SOLUCIÓN:

96

33232

222

xx

xxx

E J E M P L O :

Desarrollar 242 yx

SOLUCIÓN:

22

222

16164

4422242

yxyx

yyxxyx

E J E M P L O :

Desarrollar 223 52 yx

SOLUCIÓN:

4236

222323223

25204

5522252

yyxx

yyxxyx

E J E M P L O :

Desarrollar 22 34 3a b

SOLUCIÓN:

3.5.2 Binomios conjugadosEl producto de dos números por su diferencia es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo número.

Consideremos el producto: yxyx

2 2 2 2x y x y x xy xy y x y

Es decir 22 yxyxyx

E J E M P L O :

Multiplicar 44 xx

SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: 22 xx

Cuadrado del segundo número: 164 2

Así pues, 1644 2 xxx

E J E M P L O :

Multiplicar yxyx 2525

SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: 22 255 xx

Cuadrado del segundo número: 22 42 yy

Así pues, 22 4252525 yxyxyx

E J E M P L O :

Multiplicar 3232 3535 yxyx

SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: 422 255 xx

Cuadrado del segundo número: 623 93 yy

Así pues, 643232 9252525 yxyxyx

E J E M P L O :

Multiplicar 3883 xx

SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número de la diferencia: 93 2

Cuadrado del segundo número de la diferencia: 22 648 xx

Así pues, 26493883 xxx

3.5.3. Binomio con un término común

El producto de dos binomios del tipo bxax es igual al cuadrado del primer término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el producto de los segundos términos.

Se trata de demostrar que abxbaxbxax 2

.

Tendremos que: 2 2x a x b x ax bx ab x a b x ab

Es decir abxbaxbxax 2

, tal como queríamos demostrar.

E J E M P L O :

Comprobar que 545454 2 xxxx .

SOLUCIÓN: Tendremos

2

2

4 54 5 4 5

9 20

x xx xx x

.

E J E M P L O :

Comprobar que 323232 2 xxxx


2

22 3 2 3 2 3

6x x x x

x x

.

E J E M P L O :



2

26 4 6 4 6 4

2 24x x x x

x x

.

E J E M P L O :



2

25 3 5 3 5 3

8 15x x x x

x x

.

3.5.4. Cubo de un binomioEl cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo, más el triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Consideremos yxyxyxyxyxyxyxyxyx 2223 2 , por lo tanto

3222

322

222

22

3 3

2

2

2

yxyyxx

yxyyx

xyyxx

yx

yxy x

Es decir 32223 33 yxyyxxyx

E J E M P L O :

Desarrollar 32x

SOLUCIÓN: Cubo del primer número: 33 xx

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: 22 623 xx

Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: xx 1223 2

Cubo del segundo número: 82 3

Así pues 81262 233 xxxx

E J E M P L O :

Desarrollar 323 yx

SOLUCIÓN: Cubo del primer número: 33 273 xx

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo:

yxyx 22 54233

Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: 22 36233 xyyx

Cubo del segundo número: 33 82 yy

Así pues 32233 836542723 yxyyxxyx

E J E M P L O :

Desarrollar 332 23 ba

SOLUCIÓN:

662346

3323232232332

8365427

2233233323

bbabaa

bbabaaba

El cubo de la diferencia de dos números es igual al cubo del primer número, menos el triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo más el triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo número.

Consideremos yxyxyxyxyxyxyxyxyx 2223 2 , por lo tanto

3222

322

222

22

3 3

2

2

2

yxyyxx

yxyyx

xyyxx

yx

yxy x

Es decir 32223 33 yxyyxxyx

E J E M P L O :

Desarrollar 33x

SOLUCIÓN: Cubo del primer número: 33 xx

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: 22 933 xx

Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: xx 2733 2

Cubo del segundo número: 273 3

Así pues 272793 233 xxxx

E J E M P L O :

Desarrollar 332 yx

SOLUCIÓN:

3223

32233

27546368

3323323232

yxyyxx

yyxyxxyx

E J E M P L O :

Desarrollar 332 24 ba

SOLUCIÓN:

662346

3323232232332

8489664

2243243424

bbabaa

bbabaaba

3.5.5. Teorema del binomioEl teorema del binomio es una fórmula (por esto se llama también fórmula del binomio) con la cual se puede escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia

entera y positiva de un binomio. Para formarnos una idea de la estructura del desarrollo

de na b : Por multiplicación directa podemos obtener

1a b a b

2 2 22a b a ab b

3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

4 4 3 2 2 3 44 6 4a b a a b a b ab b

5 5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5a b a a b a b a b ab b

De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen en su formación:

1. Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.

2. Para cada valor de n, el desarrollo de na b empieza con na y termina con nb .

En cada término los exponentes de a y b suman n. 3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La

b aparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de

orden del término. 4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene

multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de

formar.

Cierta simetría constituye una característica del desarrollo del binomio. Esta simetría se puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que se conoce como

Triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de na b .

1721353521717

1 6 15 20 15 6 1 6

1 5 10 10 5 1 5

1 4 6 4 1 4

1 3 3 1 3

1 2 1 2

1 1 1

1 0

n

n

n

n

n

n

n

n

A estos números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que cada renglón se observa que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes del primer y último término son iguales a 1.

Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentra a su izquierda y derecha en el renglón superior. Así, para n=6, el segundo coeficiente 6 es la suma de los elementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y derecha en el renglón superior; el tercer coeficiente 15 se obtiene de manera similar como la suma de los elementos 5 y 10 del renglón superior, y así sucesivamente.

E J E M P L O :

Desarrollar por el teorema del binomio: 42a b

SOLUCIÓN:Como en este caso n=4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potencias correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir,

4 3 1 2 2 1 3 442 1 4 2 6 2 4 2 1 2a b a a b a b a b b

efectuando las potencias, se tiene:

4 4 3 2 2 3 42 1 4 2 6 4 4 8 1 16a b a a b a b a b b

efectuando los productos:

4 4 3 2 2 3 42 8 24 32 16a b a a b a b ab b

E J E M P L O :

Desarrollar por el teorema del binomio: 43 2a b

SOLUCIÓN: Procediendo de manera semejante a la anterior, se tiene:

4 3 1 2 2 1 3 443 2 1 3 4 3 2 6 3 2 4 3 2 1 2a b a a b a b a b b

efectuando las potencias:

4 4 3 2 2 3 43 2 1 81 4 27 2 6 9 4 4 3 8 1 16a b a a b a b a b b

efectuando los productos: 4 4 3 2 2 3 43 2 81 216 216 96 16a b a a b a b ab b

3.5.6. Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos.La suma algebraica de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término menos el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la suma de los cubos de los dos términos algebraicos.

Se trata de demostrar que 2233 yxyxyxyx .Tendremos:

33

322

223

22

yx

yxyyx

xyyxx

yx

yxy x

Es decir 3322 yxyxyxyx , tal como queríamos demostrar.

E J E M P L O :


SOLUCIÓN:

2 3 2 2

3

1 1 11

x x x x x x x xx

E J E M P L O :

Comprobar que 2233 46923827 yxyxyxyx

SOLUCIÓN:

2 2 3 2 2 2 2 3

3 3

3 2 9 6 4 27 18 12 18 12 827 8

x y x xy y x x y xy x y xy yx y

E J E M P L O :

Comprobar que 224236 91216342764 ccbbcbcb

SOLUCIÓN:

2 4 2 2 6 2 2 2 2 2 2 3

6 3

4 3 16 12 9 64 48 36 48 36 2764 27

b c b b c c b b c b c b c b c cb c

La diferencia de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término más el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la diferencia de los cubos de los dos términos algebraicos.

Se trata de demostrar que 2233 yxyxyxyx .

Tendremos: 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3x y x xy y x x y xy x y xy y x y

Es decir 3322 yxyxyxyx , tal como queríamos demostrar.

E J E M P L O :


SOLUCIÓN:

2 3

3

2 2 4 2 4 2 4 88

x x x x x x x xx

E J E M P L O :

Comprobar que 2233 91216342764 yxyxyxyx

SOLUCIÓN:

2 2 3 3

3 3

4 3 16 12 9 64 48 36 48 36 2764 27

x y x xy y x x xy x xy yx y

E J E M P L O :

Comprobar que 63243296 96432278 bbaababa

SOLUCIÓN:

2 3 4 2 3 6 6 4 3 2 6 4 3 2 6 9

6 9

2 3 4 6 9 8 12 18 12 18 278 27

a b a a b b a a b a b a b a b ba b

3.5.7. Cuadrado de un trinomioEl cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más el doble producto de cada término por los que le siguen tomados de dos en dos.

bcacabcbacba 2222222

E J E M P L O :

Efectuar 22 3 5x y z

SOLUCIÓN:

yzxzxyzyx

zyzxyxzyxzyx

3020122594

532522322532532222

2222

E J E M P L O :

Efectuar

21 2

3 5x y z

SOLUCIÓN:

yzxzxyzyx

zyzxyxzyxzyx

5

4

3

2

15

4

25

4

9

1

5

22

3

12

5

2

3

12

5

2

3

1

5

2

3

1

222

2222

E J E M P L O :

Efectuar 2

2 3a b c

SOLUCIÓN:

bcacabcba

cbcabacbacba

126494

32232223232222

2222

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