Algebra de Eventos

En la definición de evento se pudo apreciar que un evento es un conjunto, por lo que los eventos heredan las propiedades y teoría general de los conjuntos. 

Diagrama de Venn

 

Al trabajar con relaciones y operaciones de conjuntos, es útil disponer de un sistema gráfico de representación que permita visualizar lo que ocurre e interpretar mediante diagramas las deducciones lógicas correspondientes.

 

El diagrama de Venn, también conocido como de Venn-Euler, llamado así en honor del matemático inglés John Venn (1834-1882), que perfeccionó la idea original del matemático suizo Leonardo Euler(1707-1783), es un dibujo mediante el cual se pueden ilustrar las relaciones y operaciones que hay entre los eventos.

 

En las aplicaciones de la teoría de probabilidades trataremos más frecuentemente con dos o más eventos relacionados entre sí, que con un solo evento independiente, por lo que es conveniente ver las siguientes relaciones.

Evento Unión

Sean A y B dos eventos cualesquiera del espacio de eventos. La unión de los eventos A y B es el evento que consta de los elementos que pertenecen tanto a A como a B y se representa por (A B). Al trabajar con eventos la expresión al menos implica la unión de los eventos. 

La representación algebraica y en el diagrama de Venn de la unión es:

 

Evento Intersección Sean A y B dos eventos cualesquiera del espacio de eventos. La intersección de los eventos A y B es el evento que contiene los elementos que simultáneamente pertenecen a A y a B y se represente por (A B). 

            La representación algebraica y en el diagrama de Venn de la intersección es:

Eventos Mutuamente Excluyentes Se dice que los eventos A y B son mutuamente excluyentes, o ajenos, o disjuntos,

si no tienen ningún elemento en común, esto es, si  .Evento Complemento El complemento del evento A es el evento de aquellos elementos que no

pertenecen a A y se simboliza por  . 

Lo podemos expresar de la forma siguiente 

Diferencia de Eventos. Sean A y B dos eventos cualesquiera del espacio de eventos. La diferencia de los eventos es el evento que contiene los elementos que pertenecen a A pero no a B.

 

La diferencia de eventos se representa y expresa como 

.El álgebra de conjuntos nos dice que Existen otras operaciones cuyas propiedades se incluyen en la tabla resumen que se reporta a continuación. Sean A, B, C eventos cualesquiera no vacíos del espacio de eventos. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: 

Identidad                                                                

                                                                               Idempotencia                                                        

Complemento                                                       

                                                                             

                                                                                               Conmutativa                                                 

Asociativa                  

                         

Distributiva                  

            

 

Ley de De Morgan                Ejemplo 1. 18. Sean los eventos A = {personas que tienen los ojos negros}, B = {personas que usan lentes}, C = {personas que pesan menos de 75 kilogramos}. Describir los siguientes eventos:a)      (A C)b)      (A C)

c)      

d)