UNIVERSIDAD DE PANAMÁ

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA.

ESCUELA DE MATEMÁTICA.

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS.

ÁLGEBRA DE LAS FUNCIONES ARITMÉTICAS.

Preparado por:

Carlos César Camargo Rodríguez.

Cédula:

8- 809- 821.

Seminario # 1 Como Alternativa De Trabajo De Grado.

PRIMER SEMESTRE

Profesor:

Dr. Jaime Gutiérrez.

Fecha:

23 de Julio de 2010.

AGRADECIMIENTO

Nada de esto se hubiese sido posible sin la dirección correcta y motivadora

del Profesor Dr. Jaime Gutiérrez. Profesor Gracias por ese apoyo y ese

interés, que infundó en nosotros la noción de ser mejores personas y mejores

estudiantes.

Además quiero agradecer al Prof. Edis Alberto Flores F, Por su valiosa

cooperación en la presentación del mismo.

DEDICATORIA

Con mucho cariño amor y respeto a mis padres que me han apoyado en esta

ardua labor, emocionalmente.

A mis compañeros que estado ahí para animarme y apoyarme,

académicamente.

A mis profesores que son la luz emprendedora del saber y la motivación diaria

de seguir adelante.

ÍNDICE GENERAL.

AGRADECIMIENTO

DEDICATORIA

INDICE GENERAL

INTRODUCCION

CAPITULO 1. ÁLGEBRA LAS FUNCIONES ARITMÉTICAS.

1.1 DEFINICIÓN.1.2 FUNCIONES ARITMÉTICAS.1.3 OPERACIONES ENTRE FUNCIONES ARITMÉTICAS.1.4 FUNCIONES MULTIPLICATIVAS Y COMPLETAMENTE

MULTIPLICATIVAS.1.5 EL PRODUCTO DE DIRICHLET DE FUNCIONES ARITMÉTICAS1.6 INVERSA DE DIRICHLET Y LA FORMULA DE INVERSION DE

MÖBIUS.1.7 LA INVERSA DE UNA FUNCION COMPLETAMENTE

MULTIPLICATIVA.1.8 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ARITMÉTICA.1.9 LA IDENTIDAD DE SELBERG.1.10 SERIES DE BELL DE UNA FUNCIÓN ARITMÉTICA.

CAPITULO 2. UNA CURIOSA FUNCIÓN ARITMÉTICA Y LA CONVOLUCIÓN BINOMIAL DE FUNCIONES ARITMÉTICAS.

2.1 UNA CURIOSA FUNCIÓN ARITMÉTICA.

2.2 FUNCIONES MULTIPLICATIVAS DE SELVERG.

2.3 SERIES EXPONENCIALES DE DIRICHLET.

CONCLUSIONES.

RECOMENDACIONES.

BIBILIOGRAFIA.

INTRODUCCIÓN.

La Teoría de Números es la rama de la Matemática pura que se encarga de estudiar las propiedades de los números, en particular los enteros, ya que estudia las propiedades de los dominios enteros, por ejemplo las Funciones Aritméticas.

Las funciones Aritméticas es un tema de mucho interés ya que no forma parte de una materia de nuestra Licenciatura.

Este trabajo ha confeccionado a base de material bibliográfico especializado en el tema y clases magistrales que le ha dedicado el profesor Jaime Gutiérrez a este tema y a muchos otros que se relacionan con mi tema de estudio.

El objetivo principal es proporcionarle al lector una guía básica, didáctica y útil para afrontar una futura investigación en este tema o en temas relacionados, dejando claro que el motivo de esta investigación no es abarcar todo el contenido que conlleva al estudio Las Funciones Aritméticas, sino abarcar lo básico y lo nuevo en este maravilloso mundo de las Funciones Aritméticas, por lo tanto no deseo que mi trabajo sea definitivo y final, sino que se debe profundizar más en él, ya que todo cambia, nada es.

Este trabajo lo hemos dividido en dos partes, la Primera parte está dedicada al estudio en sí de las Funciones Aritméticas tales como operaciones con Funciones Aritméticas, operaciones entre Funciones Aritméticas, funciones multiplicativas y completamente multiplicativas, el producto de Dirichlet y la Fórmula de inversión de Mobius y las series de Bell.

La segunda parte de este trabajo la hemos dedicado al estudio de una curiosa función aritmética, las funciones multiplicativas de Selberg y las series exponenciales de Dirichlet.

PRIMERA PARTE.

ÁLGEBRA LAS FUNCIONES ARITMÉTICAS .

Se considera que una Función es Aritmética cuando el dominio de la función son los números naturales o al menos su imagen esta en los números reales. Las Funciones Aritméticas de mayor interés son las que dependen de la factorización entre primos; además las funciones aritméticas juegan un papel importante en el estudio de las propiedades de la divisibilidad de los números enteros y la distribución de los primos.

Definición1.1: Una función evaluada en un número real o complejo definida entre enteros positivos se le conoce como función aritmética.

Algunos ejemplos importantes de las funciones aritméticas están la función de Mobius (µ),la función unitaria (u) ,la función de Euler (φ) ,la función Lioville (λ) y la función divisor (d ) entre otras.

Definición 1.2: La función de Mobius (µ) se define de la siguiente manera:

1 si n=1

µ(n)= 0 sia2

n, paraalgún n>1

(−1)k si n=p1 p2⋯ pk , con pk distintos .

Presentaremos a continuación una tabla de µ:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10µ(n) 1 -1 -1 0 -1 1 -1 0 0 1

Definición 1.3: La función unitaria (u) es una función aritmética tal que u(n)=1 para todo n .

Definición 1.4: La funciónN , es una función aritmética tal que N (n)=n, para cualquier n .

Definición 1.5: La función de Euler (φ) se define como el número de enteros positivos que no exceden a n y que a la vez son primos relativos con n.

Luego si n ≥ 1, entonces φ(n)=∑k =1

'

1, en donde ´ indica que la suma es

extendida sobre los k que son primos relativos con n.

Luego la ecuación anterior puede ser expresada de la siguiente manera:

Φ(n)= n ∏p/n

r

(1−1p ), con n ≥ 1.

En efecto si n=1 el producto es vacío ya que no existe un primo p que divida a uno y por lo tanto el producto es uno.

Si ahora suponemos que n ≥ 1y que p1 p2⋯ pr son divisores primos distintos de n . luego el producto se podrá escribir así

∏p/n

(1−1p ) = ∏

i=1¿¿)= 1-∑ 1

pi + ∑ 1

pipj-∑ 1

pipjpk+…+ (−1 )r

p 1 p 2.. pr (ecuación 1)

Proposición 1.1:

1.1.1) Φ (pα)= pα-pα-1 en donde α≥1 para todo p.1.1.2) Φ (mn)= Φ (m) Φ(n) (d/ Φ (d)), donde d= (m, n).1.1.3) Φ (mn)= Φ (m) Φ (n), si (m, n)=1.1.1.4) Si a/b entonces Φ (a)/ Φ (b).1.1.5) Φ (n) es par para n ≥ 3. Más aún, si n tiener factores primos impares

distintos entonces 2r

Φ(n)

Demostración:

1.1.1) Sin=pα, luego Φ ( p )α=pα∏p /p

(1−1p )= pα(1−

1p¿ =pα−pα−1

1.1.2) Podemos escribir: Φ(n)

n= ∏

p/n(1−1

p )

Es fácil observar que cada uno de los divisores primos de mn son divisores primos de m o de n y el divisor primo que divide a ambos también divide a (m, n), por lo tanto se puede asumir:

Φ(mn)mn

=∏p /mn

(1− 1p )=

∏p /m

(1− 1p )∏

p /n(1− 1

p )∏

p/(m, n)(1− 1

p )=

φ(m)m

φ(n)n

φ(d )d

, en donde d= (m,n)

Luego queda demostrado que φ (mn)=φ(m)φ(n)(d /φ(d ))

1.1.3) Es un caso particular de 1.1.2

Proposición 1.2:

Se considera que n φ (m)=mφ (n) si y sólo si m y n tienen los mismos factores primos.

Demostración:

Utilizaremos la (ecuación 1) para demostrarlo:

Tenemos que: (n) (m) ∏p/n

(1− 1p) = (m) (n) ∏

q /m(1−1

q)

∏p/n

(1− 1p) = ∏

q /m(1−1

q) (ecuación 2)

La última igualdad se cumple si m y n tienen los mismos factores primos.De igual manera, si m y n tienen los mismos factores primos la (ecuación 2) implica que n φ(m) = m φ(n)

Nota: si m=2 en la proposición anterior tenemos que φ (n )=n2si y sólo si

n=2k conk ≥ 0

Definición 1.6: La función de Mangoldt (Λ) es aquella que dice que para todo número entero n≥1, ésta se define como:

Log p si n= pm, para p y m mayores o iguales que 1Λ (n) = 0 en cualquier otro casoLlamaremos a la ecuación Λ (n) (ecuación 3)

Teorema 1.1: si n≥1 entonces log n = ∑d /n

Λ (d ) (ecuación 4)

Demostración: Si n=1, la igualdad se cumple pues ambos miembros son cero.

Ahora supongamos que n>1, escribiremos n=∑k =1

r

pkak

Luego si aplicamos logaritmo a ambos lados de la ecuación tenemos

que: log n = log (∏k =1

r

pkak ) = ∑

k =1

r

ak log pk

si ahora consideramos la suma de los términos que no son cero son los

divisores d de la forma pk para m= 1,2,…,ak y k= 1,2,…, r. así: ∑d

Λ (d )

= ∑k =1

r

∑m=1

ak

Λ(pkm) =∑

k =1

r

∑m=1

ak

log p= ∑k =1

r

log pk = log n.

Con lo cual queda demostrado lo anterior.

Definición 1.7: La función Lioville (λ) se define de la siguiente manera:

λ (1)= 1λ (n)= (-1)a1+a2+a3+…+ak en donde n= p1

a1…pkak

Definición 1.8: La función divisor (σα) es aquella que se define para un número real o un número complejo α y para cualquier número entero

n≥1 así: σα (n) = ∑d /n

dα. En particular si α= 0, la función divisor es el

número de divisores positivos de n y se denota a menudo por d(n).

Operaciones entre funciones Aritméticas.

La suma, la multiplicación y división de funciones aritméticas están definidas de la forma usual, es decir:

(f + g)(n)= f(n) + g(n).

(f*g)(n)= f(n) * g(n) siendo (*) el símbolo usual de la multiplicación.

(fg

¿ (n)= f (n)g (n) en donde g(n) ≠ 0.

FUNCIONES MULTIPLICATIVAS Y COMPLETAMENTE MULTIPLICATIVAS.

Definición 1.9: Se dice que una función f es multiplicativa si: f (nm)=f (n) f (m) siempre que n y m sean coprimos y se dice que es completamente multiplicativa si f (nm)=f (n) f (m) es cierto en general.Algunas funciones completamente multiplicativas son :u , N , λ . Y algunas que son multiplicativas son :φ , µ . Si utilizamos la definición de estas funciones sería fácil verificar lo anterior.Nota: si f y g son multiplicativas o completamente multiplicativas

entonces f∗g y fg también lo son.

Teorema 1.2: si f es multiplicativa entonces f (1)=1.

Demostración: Como f es multiplicativa entonces f (n)=f (1) f (n), con (n , m)=1 , para todo n, y también f (n)≠ 0 , para algún n, así que f (1)=1.

Teorema 1.3: consideremos f con f (1)=1, entonces f es multiplicativa si y solo si: f (p1

a1,…, prar) = f (p1

a1),…, f( prar). Para todo p ya ≥ 1

Demostración:

Sea n= p1a1,…, pr

ar, como f es multiplicativa f(n)= f (p1a1,…, pr

ar) = f (p1 )a1,…, f( pr )ar.

Luego: f (n , m)=f (n) f (m)

Por lo tantof es completamente multiplicativa.

PROMEDIOS DE FUNCIONES ARITMÉTICAS

Sumación por partes. Fórmula de sumación de Abel. Teorema de Wirsing.Los valores que toman algunas de las funciones aritméticas más habituales son bastantes caóticas pero podemos “domesticarlas” tomando promedios, lo que nos puede ayudar a formarnos una idea global más acertada. Si la función viene dada por una suma sobre los divisores es pertinente emplear la identidad

elemental: ∑n≤ x

∑d /n

f (d) = ∑n≤ x

f (n )( xn)¿¿

Cuya prueba se reduce a invertir el orden de sumación.Raramente sabremos evaluar los promedios, y consideraremos suficiente una aproximación con un buen término de error, es ahí donde entra la notación de Landau.Si f(n) = Λ (n) y teniendo en cuenta que log = 1 * Λ, se obtiene que:

∑n≤ x

log n= ∑n≤ x

Λ (n )( xn)¿¿

La primera suma se puede aproximar por la integral.

EL PRODUCTO DE DIRICHLET DE FUNCIONES ARITMÉTICAS.

Definición 1.10: Si f y g son funciones aritméticas definimos el producto de Dirichlet de f y g o convolución de Dirichlet como la función aritmética h

definida por la ecuación: h(n)= ∑d /n

f (d ) g ( nd ) (ecuación 5).

Aclaración: se escribirá f g para h y (f g) (n) para h(n)

Teorema 1.5: La multiplicación de Dirichelt es conmutativa, asociativa y

distributiva respecto a la suma. Es decir si f, g y s se tiene:

f * g= g * f (propiedad conmutativa)

(f * g) * s= f * (g * s) (propiedad asociativa)

(f + g) * k= f * k + g * k. (propiedad distributiva)

Demostración:

La ecuación 5 se puede expresar como: h(n) = (f * g) (n)= ∑ab=n

f (a ) g (b) en

donde a y b recorren todos los números enteros, los cuales su producto es n y obviamente esto lo hace conmutativa.

Ahora si T= g * s y f * T = f * (g*k), se tiene entonces que:

(f*T)(n)=∑ad /n

f (a )T ( d )= ∑ f (d ) ∑bc=d

g (b ) s (c )= ∑abc=n

f (a ) g (b ) s(c)

Ahora si consideramos U= f * g, luego tenemos que (U*s)(n) con lo cual f * T = U * s. Luego queda demostrado que es asociativa.

Y finalmente tenemos que (f + g) * s (n) = ∑d /n

(f +g ) (d ) s ( nd)

= ∑ ( f (d )+g (d ) ) s ( nd )

= ∑ f (d ) s ( nd ) + ∑ g (d ) s (n/d)

= (f*k) (n) + (g*k) (n)Luego queda demostrado que es distributiva.

Definición 1.11: La función Identidad (I) es completamente multiplicativa y se denota:

1 si n=1I(n)= [1/n]= 0 si n≥1

Teorema 1.6: Si f es una función aritmética entonces I * f = f * I.

Demostración:

(f * I)(n)= ∑ ( f ( d ) I ( nd))

= ∑ ( f ( d ) dn )

= f(n).

INVERSA DE DIRICHLET Y LA FORMULA DE INVERSION DE MOBIUS

Teorema 1.7: Si f es una función Aritmética con f(1) ≠0, entonces existe una única función aritmética f-1, llamada inversa de Dirichlet definida de la siguiente manera: f*f-1 = f-1*f = 1, en donde f-1 está dada por la fórmula de

recurrencia f-1= 1

f (1), f-1(n)=

−1f (1) ∑d /n

f ( nd), para todo n>1.

Demostración:

Probaré que dada f la ecuación (f*f-1)(n) = I(n) tiene una única solución para f-1 evaluada en n. Para n=1, definimos f(1) f-1(1) = 1, como f(1)≠0, entonces

existe una única solución llamada f-1= 1

f (1).

Supongamos que f-1 está dada definida para cada m<n y probemos que está

definida para n, es decir, (f*f-1)(n)= I(n), o ∑d /n

f ( nd ) f -1(d) = 0, luego, f(1)f-

1(n) + ∑d /n

f ( nd ) f-1(d) = 0.

Si los valores de f-1(n) = −1f (1) ∑d /n

f ( nd ) f -1(d), ya que f(1) ≠0, con lo cual se

establece la existencia y la unicidad de f-1 dada por inducción.

Proposición1.3: Si n≥1 entonces,

[1n ]=

∑dn

µ(d) = {1 si n=1

0 si n>1

Demostración:

Sea n = pa, entonces:

[1n ]= [

1p a]= {1 si a=0

0 sia ≠ 0

Por otro lado se tiene que (µ*u) y [1/n] son multiplicativas, entonces por el

teorema 1.4 se podrá asegurar que: ∑

dn

µ(d)= [1/n]= {1 si n=1

0 si n>1

Teorema 1.8: La fórmula de inversión de MÖBIUS.

La ecuación f(n) = ∑d /n

g (d ) implica que g(n) = ∑d /n

f (d ) 樨) y viceversa.

Demostración:

Notemos que f =g∗u ,ahora f∗u=(g∗u)∗µ=g∗(µ∗u)=g∗I =g

Por otro lado g=f ∗u, luego g∗u=(f ∗µ)∗u=f ∗(µ∗u)=f

Proposición 1.4: Forma producto de la fórmula de la fórmula de inversión de MÖBIUS. Si f(n)>0 para todo n y si a(n) es real, a(1)≠0, entonces:

g(n)=¿ ∏d /n

f (d)a(n/d) si y sólo si f (n)=∏d /n

g(d )b(n(d) en donde b=a−1, es la inversa

de Dirichlet de a.

Teorema 1.9: Si f y g son multiplicativas entonces f * g también lo es.

Demostración: Consideremos h= f * g en donde m y n son tales que (m, n) =

1, entonces: h (mn) = ∑c /mn

f ( c ) g( mnc

) en donde todo divisor de c se puede

expresar de la forma c=ab.

Así h (mm)= ∑a /mb /n

f (ab ) g(mnab ) = ∑

a /mb /n

f (a ) f ( b ) g (ma )g( n

b )

= ∑a /m

f (a ) g(ma ) ∑

b /nf (b ) g( n

b )= h (m) h (n).

Nota: El producto de Dirichelt de dos funciones completamente multiplicativas no es necesariamente multiplicativa. Por ejemplo: (u*u), obviamente (u*u)(4)=3 y [(u*u)(2)] [(u*u)(2)] =4.

Corolario 1.1: Si consideramos que f es multiplicativa entonces f-1 también lo es.

LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN COMPLETAMENTE MULTIPLICATIVA.

Teorema 1.8: Sea f multiplicativa, entonces f es completamente multiplicativa si y sólo si, f-1(n) = µ(n) f(n) para cualquier n≥1.

Demostración:

Sea g(n) = µ(n) f(n), si f es completamente multiplicativa entonces:

(g * f) (n)= ∑d /n

g (d ) f ( nd)

= ∑d /n

µ (d ) f (d ) f (n )f (d )

= f(n) ∑d /n

µ (d )

= f (n)I (n)=I (n) pues f (1)=1 y I (n)=0. Para todon≥ 1.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN MULTIPLICATIVA.

Definición 1.12: Seaf ‘ la derivada de una función aritmética f definida así:

f ‘ (n)=f (n) log n , para todo n ≥ 1.

Ejemplos: I ’ (n)=I (n) log n=0 y u ’ (n)=log n=∑d /n

Λ (d )

El concepto de derivada de una función aritmética cumple con algunas propiedades del cálculo elemental.

Teorema 1.9: Si f y g son Funciones Aritméticas entonces:a) ( f +g)’=f ’+g’ .b) ( f∗g)’=f ’∗g+ f∗g’c) ( f −1)’=−f ’∗( f ∗f )−1 , con f (1)≠ 0.

SERIES DE BELL DE UNA FUNCIÓN ARITMÉTICA.

En el cálculo tradicional una serie infinita es de la forma:

∑n=0

∞

a (n ) xn = a(0) x + …+ a(n) xn+ … es llamado serie de potencias en x, en

donde x y el coeficiente a(n) son números reales o complejos.

Le dedicaré esta parte del trabajo a las series de potencias, analizando éstas

desde un punto de vista diferente. Las llamaré Series Formales de Potencia,

para distinguirlas de las series de potencias del cálculo tradicional.

En Las Series Formales De Potencias x no toma ningún valor numérico y la

divergencia o convergencia no son de interés.

Trabajando algebraicamente sobre Las Series Formales de potencias como

series de potencias convergentes. Si A(x) y B(x) son dos series de potencias,

decimos: A(x)= ∑n=0

∞

a (n ) xn y B(x) = ∑n=0

∞

b (n ) xn.

Y definimos:

Igualdad: si A(x)= B(x) significa que a(n)= b(n) para todo n≥0

Suma: A(x) + B(x)= ∑n=0

∞

(a (n )+b (n ))xn

Producto: A(x) B(x)= ∑n=0

∞

c (n ) xn en donde c(n)= ∑k=0

∞

a (k ) b(n−k )

La sucesión [c(n)] es llamada producto de Cauchy de la sucesión [a(n)] [b(n)].

Es fácil verificar que las operaciones anteriores satisfacen las propiedades de conmutatividad y asociatividad y que la multiplicación es distributiva respecto a la suma.

Una Serie Formal De Potencia es llamada un polinomio formal si salvo un número finito de sus coeficientes es distinto de cero.

Para cada serie formal de potencia A(x)= ∑n=0

∞

a (n ) xn con coeficientes a(0)≠0

existe una única serie formal de potencia B(x)= ∑n=0

∞

b (n ) xn tal que A(x) B(x) =

1. Estos coeficientes pueden ser determinados resolviendo el sistema infinito de ecuaciones:

a (0) b (0) = 1.

a (0) b (1) +a (1) b (0) = 0

… y así sucesivamente.

En sucesión para b (0), b (1), b(2), … las series B (x) es llamada la inversa

de A(x) y está denotada por A(x)-1 o por 1

A (x )

La serie especial A(x) = 1+∑n=1

∞

anxn es llamada la serie geométrica. Aquí a es

un número real o complejo arbitrario y su inversa es el polinomio formal

B(x)= 1-ax. Es decir que: 1

1−ax = 1+∑n=1

∞

anxn. Es importante mencionar que Bell

utilizó las series de potencias para estudiar las propiedades de funciones aritméticas multiplicativas.

Definición 1.13: Dada una Función Aritmética f y un primo p, denotaremos a

fp (x) a la serie formal de potencias, fp (x) = ∑n=0

∞

f ( p¿¿ n) xn¿ la cual es llamada la

serie de Bell de f módulo p.

Teorema 1.10: Teorema de Unicidad. Sean f y g dos funciones multiplicativas, entonces f= g si y sólo si fp (x) = gp (x), para todo primo p.

Demostración: Si f=g entonces f (pn) = g (pn) para todo p y todo n>0 así fp

(x) = gp (x). Recíprocamente, si fp (x) = gp (x) para todo p, entonces: f (pn) = g (pn) para todo n≥0. Como f y g son multiplicativa y coinciden sobre potencias de primos entonces f=g.

Observemos que la serie de Bell fp (x) depende tanto de la función f como el primo p que se escoja. En los casos de que la serie no dependa del primo p escogido, diremos que f es una función primo independiente y la formalizamos en la siguiente definición:

Definición 1.14: Si f es una función tal que f (pn) = f (qn), para cualquier p, q primos y n≥0, diremos que f es una función primo independiente.

Por ejemplo las funciones µ y λ son funciones primo independiente mientras que la función de Euler no lo es.

El siguiente teorema relaciona La Serie de Bell y La Multiplicación de Dirichlet.

Teorema 1.11: Para dos Funciones Aritméticas cualesquiera f y g sea h= f*g, entonces para cada primo p tenemos que: hp (x) = fp (x) gp (x).

Demostración:

Como los divisores de pn son 1, p, p2…pn tenemos que:

h (pn)=∑dp

f (d ) g ( pn

d)= ∑

k=0

n

f ( pk ) g( p¿¿n−k )¿, esto completa la prueba, ya que la

última suma es el producto de Cauchy de las Sucesiones ¿.

SEGUNDA PARTE.

UNA CURIOSA FUNCIÓN ARITMÉTICA Y LA CONVOLUCIÓN BINOMIAL DE FUNCIONES ARITMÉTICAS.

En esta parte del trabajo estudiaremos una curiosa Función Aritmética que está definida de los números enteros positivos (Z*

+) en los números racionales (Q+

*). La función está definida así: f(2kj)=j1-k, para todo k, j números naturales impares.

Ejemplo: a) f (1)= 1, pues en 2kj=1, k=0 y j=1

b) f (2)= 1, pues en 2kj=2, k=1 y j=1

c) f (3)= 3, pues en 2kj=3, k=0 y j= 3

d) f (12)= 1/3, pues en 2kj=12, k=2 y j=3

e) f (40)= 1/25, pues en 2kj=40, k=3 y j=5

Es evidente que f(n) no siempre es siempre un entero, pero es necesario que f satisfaga la propiedad del producto de f(r)’s (1≤r≤n) está siempre definida y esto es múltiplo de todo número primo menor que n.

Para el estudio de f es necesario introducir dos funciones Aritméticas g: Q*

+ →Z*+ y h: Z*

+→ Q*+ definidas por:

g(x)= { x si x∈N1enotrocaso. y h(x)=

r

g ( r2 )g ( r

4 )g( r8 )…, para todo x∈ Q*

+ y r ∈ Z*+

RESULTADOS Y PRUEBA.

Teorema 2.1: Si n es un entero positivo entonces el producto∏r=1

n

f (r) es un

entero.

Demostración:

Como rϵN , f(r) se puede escribir en términos de h(r) ya que r es de la forma r=

2kj en donde se tiene por definición que g: g (r2) g (

r4 ) g (

r8)…= 2k(k-1)/2 jkc

En donde h(r)= r

g ( r2 )g ( r

4 )g( r8)=

2k j2k ( k−1)

2jk = 2k(3-k)/2 f(r)

Por lo tanto f(r)=2v(r) (v(r) -3)/2 h(r) (1)

Usando (1) tenemos que para todo n∈N: ∏r=1

n

f (r)= 2∑r=1

n

v (r )(v (r )−3)/2

∏r=1

n

h(r )

Luego ∏r=1

n

f (r)= impar (∏r=1

n

h(r ))

Usaremos una propiedad de g: g (1a ) g (

2a)… g (

ra) = [

ra ]! (Para todo r, a ∈N ).

Usando lo anterior tenemos que:

∏r=1

n

h(r )= ∏r=1

nr

g( r2 ) g( r

4 ) g( r8 )…

= n!

∏r=1

n

g( r2 )∏

r=1

n

g ( r4 )∏

r=1

n

g( r8 )…=

n!

[ n2 ]! [ n

4 ]![ n8 ]!…

Por lo tanto ∏r=1

n

h(r )=n!

[ n2 ]! [ n

4 ]![ n8 ]!… (2) y con esto se completa la prueba.

Teorema 2.2: Para todo n entero positiva, tenemos que: ∏r=1

n

h (r )≤ cn en donde

c= 4.01055487…. y n= 1023= 210-1.

Demostración:

Primero usaremos la relación (2) por inducción sobre n tal que: ∏r=1

n

h (r )≤

nlog2n 4n

Para n=1 se cumple trivialmente

Para n≥2, suponemos que se cumple para todo entero positivo menor que n y tenemos que es verdadero para todo n, de aquí se deducen dos casos:

Primer caso: si n es una constante, con n= 2m para m un número natural, en este caso podemos usar (2) y por la hipótesis de inducción tenemos que:

∏r=1

n

h (r )= (2mm ) ∏

r=1

m

h (r )≤ (2mm ) mlog2m 4m≤ mlog2m 42m≤ nlog2n 4n en donde(2m

m )≤ 4m

esto es cierto.

Segundo caso: si n es impar con n= 2m+1 para m un número natural, se puede usar (2) y utilizando la hipótesis de inducción, tenemos que:

∏r=1

n

h (r )= (2m+1) (2mm ) ∏

r=1

m

h (r )≤ (2m+1) (2mm ) mlog2m 4m ≤ mlog2m+1 42m+1 ≤ nlog2n 4n

en donde(2mm )≤ 4m y 2m+1≤4m.

Corolario 2.1: Para todo entero positivo n, tenemos que ∏r=1

n

h (r )≤ cn con c la

constante del teorema 2.2

Conjetura 2.1: Para todo entero positivo n, se tiene que ∏r=1

n

h (r ) ≤ 4n.

FUNCIONES MULTIPLICATIVAS DE SELVERG.

Una función aritmética F es llamada multiplicativa de Selberg, si para cada

primo p existe fp: N0→C con fp(0)=1 para cualquier p: F(n) = ∏p

fp( vp (n))

para todo n∈ N. Una función Aritmética F es llamada semimultiplicativa si: F (m) F(n)= F ((m,n))F([m,n]) para todo m, n números naturales.

Una función semimultiplicativa no posee el cero:

F(n)= F(aF) ∏p

F ¿¿¿ en donde F(aF)≠0. La expansión de Selberg de una

función multiplicativa es F(n)= ∏p

F (pv(n))

Teorema 2.3: Una función semimultiplicativa forma un semigrupo conmutativo con identidad sobre una convolución binomial.

Demostración:

Sea F y G semimultiplicativa, demostraremos que F o G también es

semimultiplicativa. Nosotros usaremos la fórmula F o G = k ¿ * GK ), la

función k es una función multiplicativa en donde k(n)≠0, resolviendo obtenemos: a F o G= a (F/K) * (g/K)= aF aG

Finalmente: (F o G)’ = (K (FK *

Gk ))’ =

kaFaG

K(aFaG) (

FK *

Gk )’

= kaFaG

K(aFaG) ¿ )’*(

Gk )’)=

= = kaFaG

K(aFaG) ((

k (aF ) kkaF

F’) ¿ G’))

Y con esto se completa la prueba.

SERIES EXPONENCIALES DE DIRICHLET.

Una función aritmética f la definiremos serie exponencial de Dirichlet,

definida por: D (f, s)= D (fk

, s¿= ∑n=1

∞ f (n)k (n )ns es evidente que la serie exponencial

de Dirichlet, posee propiedades similares a la serie usual de Dirichlet.

Teorema 2.4: El producto de dos series exponenciales de Dirichlet es la serie exponencial de Dirichlet de una convolución binomial de la función Aritmética correspondiente. D (f, s) D (g, s)= D(f o g, s).

Demostración:

D (f o g, s)= D (K (FK *

Gk ), s)= D (

FK *

Gk ), s) =D (

FK , s) D (

Gk , s)=D (f, s)

D (g,s).

Teorema 2.5: Si f es completamente multiplicativa, entonces

D (f, s)= exp (∑p

f ( p)ps ).

Demostración:

La función k(n) es multiplicativa por lo tanto usando la fórmula del producto

de Euler, D (f, s)= ∏p∑v=0

∞ f ( p¿¿ v)k ( p¿¿ v) psv ¿¿

= ∏p∑v=0

∞ f ( p¿¿v )v ! pvs ¿

= ∏p

exp¿¿¿

= exp (∑p

f ( p)ps ).

CONCLUSIONES

La conclusión más importante que podemos obtener de este trabajo es que, a pesar de lo altamente conocido que resulta, para muchos, los aspectos aquí tratados siempre es importante reformular algunas ideas con el fin de proporcionar medios que garanticen el dominio del tema, lo expuesto aquí no es definitivo, La Teoría de Números es una de las ramas de mayor importancia en el estudio de la Matemática, por lo que se debe profundizar más en ella.

Algunas conclusiones particulares que se señalar están las siguientes:

1. Es importante el estudio de La Teoría de Números en especial el de Las Funciones Aritméticas, ya que este resalta importe propiedades de los números enteros, incluyendo las funciones multiplicativas y completamente multiplicativas.

2. Una de las características más importante de Las Funciones Aritméticas es la factibilidad con que surgen una gran cantidad de problemas, que los podemos demostrar haciendo el uso correcto de las propiedades elementales de los números enteros, ya que las operaciones elementales tales como suma, producto y división se satisfacen de manera usual en Las Funciones Aritméticas.

3. La irregularidad de la distribución de los números primos da pie a la introducción de herramientas analíticas para la solución de problemas de las Funciones Aritméticas.

4. La funciónAritmética de Selberg, Las series exponenciales de Dirichlet y el estudio de la curiosa función aritmética han sido introducidas recientemente con el fin de profundizar en el maravilloso mundo de Las Funciones Aritméticas.

5. Las soluciones a demostraciones y problemas que se presenten en el amplio mundo de las Matemáticas no son definitivas, se pueden demostrar usando diversos caminos, diversos métodos matemáticos y propiedades ya demostradas, es por eso que siempre hay que innovar haciendo uso de la Tecnología, que es muy importante, para llevar a cabo estas demostraciones.

RECOMENDACIONES

Recomendamos a los estudiantes y profesores interesados en abordar este tema y temas relacionados, desarrollar aspectos concretos e innovaciones que se realizaron y que se están realizando en el estudio maravilloso de la Teoría de Números, en especial el de Las Funciones Aritméticas.

Es siempre importante el desarrollo histórico del tema porque nos da una idea clara de donde proviene lo que se está estudiando, las herramientas usadas, y la evolución de los temas aquí tratados y de temas relacionados que han ayudado al desarrollo elemental, en este caso de Las Funciones Aritméticas y así poder apreciar lo grande que fueron, históricamente hablando personajes como Euler que le dedicaron su vida al estudio de Las Matemáticas.

Además recomendamos al Departamento de Matemáticas hacer parte del plan de estudio una materia que incluya aunque sea una pequeña introducción al estudio de La Teoría Analítica de Números.

BIBLIOGRAFIA.

1. Apostol, Tom. Introduction to Analytic Number Theory. New York. 1976.

2. Herstein, I.N. Álgebra Moderna. Editorial F. Trillas, S.A. México, 1969. 151 págs.

3. http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/semavanz06/semavanz06.html

4. Material Bibliográfico suministrado por el Profesor. Dr. Jaime Gutiérrez.