Carolina Villagrán Altamirano, Constanza Saez Delpino Educadoras Diferencial PIE.

Eje Temático: Álgebra y Funciones

Un término algebraico es el producto de un factor numérico por una o más variables literales.

En cada término algebraico se distinguen el coeficiente numérico (que incluye el signo y constantes matemáticas) y la parte literal (que incluye variables).

Se define el grado de un término algebraico como la suma de los exponentes de cada factor de la parte literal.

El grado de una expresión álgebraica corresponde al mayor de los grados de los términos que lo componen.

Expresiones algebraicas: Una expresión algebraica es la suma de dos o más términos algebraicos.

De acuerdo con el número de términos que componen una expresión álgebraica, éstas se clasifican en: monomios (un término) Y multinomios (dos términos o más). A los multinomios con dos términos se les llama binomios y los de tres términos trinomios.

Si los exponentes de la parte literal son todos positivos, llamaremos a la expresión algebraica polinomio.

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Valoración de expresiones algebraicas

Una expresión algebraica consiste en asignar un valor numérico a cada variable que aparece en la expresión y resolver las operaciones aritméticas que correspondan para obtener el valor numérico final de la expresión.

Operaciones con expresiones algebraicas

Reducción de términos semejantes Dos o más términos de una expresión algebraica serán términos semejantes si sus

partes literales son idénticas.

Ejemplo:

2a2b – ab - √ a2b, los términos 2a2b y - √ a2b son semejantes.

La reducción de términos semejantes consiste en agrupar todos los términos

semejantes de una expresión en uno solo, sumando los coeficientes numéricos de cada término semejante y conservando la parte literal común.

Ejemplo:

6ab2 + √

– 4ab2 – ab2 + ab – 11a – 1 Se reduce cada grupo de términos semejantes. Reducir los términos con parte literal ab2 6ab2 - 4ab2 – ab2 = (6 – 4 – 1) ab2 = 1 · ab2 = ab2

Los términos √

ab y ab, al reducir resulta: (√

ab. El resto de los términos de la expresión original no tiene términos semejantes. Entonces la expresión reducida es:

ab2 + (√

+1)ab – 11a – 1

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Adición y sustracción de expresiones algebraicas Para calcular adiciones y sustracciones de expresiones algebraicas se anotan con paréntesis unas a continuación de otras, utilizando los siguientes signos + y -, según corresponda, eliminando paréntesis y reduciendo los términos semejantes de la expresión resultante.

Multiplicación de expresiones algebraicas Multiplicación de monomio: multiplicación de monomio da como resultado un monomio tiene multiplicando los coeficientes numéricos y las partes literales entre si.

Multiplicación de monomio por multinomios: usando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, se obtiene una adición de multiplicaciones de monomio por último, se reduce en términos semejantes.

Multiplicación de multinomios: usando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, de manera reiterada, se obtiene una adición de multiplicación de monomio es por mi último novio. Por último, se reducen términos semejantes.

Productos notables:

Algunos productos de expresiones algebraicas reciben el nombre de productos notables, ya que el producto o resultado es fácil de obtener sin tener que hacer grandes multiplicaciones. Cuadrado de un binomio: es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 (a - b) 2 = a2 - 2ab + b2

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Es decir:

Suma por diferencia de dos términos: el producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos términos es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Entonces se tiene:

Multiplicación de dos binomios con un término común: el producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del término común más el producto de la suma de los términos distintos por el término común, más el producto de los términos distintos. Luego, se tiene:

Cubo de un binomio: El cubo de un binomio (a+b) es: El cubo de un binomio (a – b) es:

Producto notable Expresión algebraica Nombre

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo

a2

- b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) Diferencia de cubos

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) Suma de cubos

a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2 ) Diferencia cuarta

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado

(a + b) (a – b) = a2 - b2

(x + b) (x + b) = x2 + (a+b)x + ab

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

(a + b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3

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Factorización: Factorizar una expresión significa expresarla como producto de dos o más factores. Se llama factor a cada uno de los números o expresiones algebraicas que forman

parte de una multiplicación. Ejemplo: Los binomios a + b y a – b son factores de a2 - b2

Las expresiones 4y (x – y) son factores de la expresión 4x – 4y

Monomio como factor común Se llamará factor común de una expresión álgebra ica al factor que se repite en cada término de la expresión. Cuando una expresión tiene un factor común puede autorizarse usando la propiedad distributiva.

Ejemplo: -6q4 + 6q – 6q3 = 6q · (-q3) + 6q · 1 + 6q · (q2) = 6q · (-q3 + 1 – q2) = 6q(-q3 + 1 – q2)

Polinomio como factor común En algunos polinomios es posible obtener como factor como otro polinomio agrupando convenientemente los términos Ejemplo: pq + mq – pn – mn = q(p + n) – n(p + m) = (q - n) (p + m)

Factorización de diferencia de cuadrados Para Factorizar binomios que sean una diferencia de cuadrados, se utilizará el producto notable suma por diferencia. Se tiene que:

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Un trinomio es un cuadrado perfecto si dos términos de la expresión son cuadrados perfectos, y ek tercer término corresponde al doble del producto de los términos que generan los cuadrados perfectos. Es decir:

Factorización de un trinomio de la forma x2 + pq + q Un trinomio de la forma x2 + (a+b)x + ab corresponde a un binomio con término común cuyos factores son (x + a) y (x + b). luego el triniomio x2 + pq + q podría ser factorizado en: (x + a) y (x + b), donde p0a + b y q= ab. Es decir:

x2 - y2 = (x + y) (x – y)

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

x2 + pq + q = x2 + (a + b)x + ab = (x + a) y (x + b)

p= a+b

q= ab

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Factorización de la suma y diferencia de cubos perfectos

Para factorizar este tipo de expresiones será útil recordar los siguientes productos notables que se cumplan para todo valor de x e y

Ecuaciones de primer grado: Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas,

denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

Resolucion de ecuaciones de primer grado con una incógnita Una ecuación es determinar los valores de la incógnita de los cuales se cumple la igualdad. A estos valores se le llama a soluciones de la ecuación. Para resolver una ecuación se puede despejar la incógnita utilizando las propiedades de la igualdad. Ejemplo:

x3 – y3 = (x - y) (x2 +xy + y2) x3 + y3 = (x + y) (x2 +xy + y2)

Ejemplo 1: 3x – 8 = 16 3x = 16 + 8 3x = 24

x = 24

3

x = 8

Ejemplo 2:

𝑥

3−

2

5=

𝑥

4 (Multiplicas por el m.c.m)

0𝑥 − 4 = 5𝑥 5𝑥 = 4

𝑥 =24

5

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Desigualdades e inecuaciones Se denomina desigualdad a toda relación que se establece entre números reales mediante la comparación “Menor que “ (<), “menor o igual que”,”mayor que” (>), “Mayor o igual que”. Una desigualdad se cumple si la relación establecida en ella es verdadera. Ejemplo

Las desigualdades -5 < 2 y un

2 <

3

4 son verdaderas.

Las desigualdades 1 < 0 y 3 < -0,6 son falsas

Propiedades de las desigualdades Algunas de las propiedades de las desigualdades son: Transitividad. Sean a, b y c tres números reales

Propiedad aditiva. Si ambos lados de una desigualdad se suma un mismo número, entonces la desigualdad se mantiene. Es decir:

Propiedad multiplicativa (2): Ambos lados de una desigualdad se multiplican por un mismo número positivo la desigualdad se mantiene. Es decir:

Propiedad multiplicativa (2). Ambos lados de una desigualdad se multiplican por un mismo número negativo la desigualdad se invierte. Es decir:

Si 𝒂 ≤ 𝒃 𝒚 𝒃 ≤ 𝒄, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒂 ≤ 𝒄

𝒂 ≤ 𝒃 𝒂 𝒄 ≤ 𝒃 𝒄

𝒂 ≤ 𝒃 𝒂 · 𝒄 ≤ 𝒃 · 𝒄, 𝒄𝒐𝒏 𝒄 𝑹+

𝒂 ≤ 𝒃 𝒂 · 𝒄 ≥ 𝒃 · 𝒄, 𝒄𝒐𝒏 𝒄 𝑹−

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Intervalos de números reales Dados dos números a y b con a < b, se llama intervalo de números reales a los siguientes subconjuntos de .+

Inecuaciones de primer grado con una icógnita Es una desigualdad formada por números reales y una icógnita. Ejemplo:

2x + 5

Resolver una inecuación es determinar el conjunto soluión de números reales que hacen que la desigualdad se cumpla. Para esto sepueden utilizar las propiedades de las desigualdades.

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Sistema de Ecuaciones Lineales: Es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común. Ejemplo: Método de Reducción

E1: 3x - 2y=-4

E2: x + 2y=12

4x = 8

x= 8/4

x= 2 Ejemplo: Método de Igualación

E1: 3x –y = -4

E2: x + y = 12

Ejemplo: Método de Sustitución

E1: 3x –y = 4

E2: x + y = 12

2+2y=12

2y=12-2

2y=10

y=5

2+2·5=12

2+10=12

12=12

E1: y = 3x + 4

E2: y =-x + 12

3x + 4 = -x + 12

4x = 8

x = 2

2 + y = 12

y = 10

E1: y = 3x - 4

x + 3x - 4 = 12

4x = 16

x = 4

4 + y = 12

y = 8

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x1 = 6

2 = 3

Ecuaciones de segundo grado:

Segundo grado con una incógnita es una ecuación en la que el mayor exponente de la incógnita es dos, es decir, es una ecuación de la forma ax2 +bx + c = 0 con a, b y números reales y a 0 0. Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita se clasifican según el valor de los coeficientes b y c. Si b = 0 o c = 0 o ambos coeficientes son cero, se dice que la ecuación es incompleta. Si ambos coeficientes son distintos de cero se dice completa.

Sabemos que una vez conseguida dicha forma, las dos "posibles" soluciones de la ecuación son:

=− √ 2 − 4

Soluciones de una ecuación cuadratica Discriminante de una ecuación de segundo grado Se llaman discriminante de la ecuación ax2 + bx + c =0 a la expresión b2 – 4ac y suele de notarse por la letra griega (delta) El discriminan te permite determinar la cantidad de soluciones reales que tiene la ecuación: Si = b2 – 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales. Si = b2 – 4ac = 0, la ecuación tien una solución real Si = b2 – 4ac < 0, la ecuación no tiene soluciones reales. Propiedades de las soluciones de una ecuación cuadratica Las soluciones de una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 cumplen las siguientes propiedades:

Suma de las soluciones: La suma de las soluciones x1 y x2 es igual a −

, es decir,

x1 y x2 = −

Producto de las soluciones: el producto de las soluciones x1 y x2 es igual a

, es decir,

x1 y x2 =

Ejemplo: x2 – 5x + 6 = 0

=5 √5 −4· ·6

2 =

5 √25−24

2 =

5 √

2 =

5

2 =

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Funciones Una función (f) es una relación entre dos cantidades variables, que asocia a cada elemento de un conjunto A un único elemento de un conjunto B. Si x es un elemento de A relacionado con un elemento y de B bajo la función f, se escribe y = f(x). Como en la expresión y = f(x), el valor de y depende del valor de x, se dice que y está "en función de x", y se denomina a la variable x, variable independiente, y a la variable y, variable dependiente. Ejemplo: La función real que relaciona cada número con su cuadrado menos tres unidades se pueden representar por: f(x) = x2 – 3. Evaluación de funciones: Evaluar una función y = f(x) es obtener el valor que la función le asocia a un valor determinado de x. Ejemplo: Sea f una función real definida por la expresión f(x) = 5x + 4. Evaluar la función para x = 2, equivale a calcular f(2). Es decir, f(2) = 5 4 = 10 + 4 = 14. Por lo tanto, f(2) = 14.

Gráfica de una función Si a cada pareja de valores x e y relacionados bajo una función f se le asocia el par ordenado (x, y) del plano cartesiano, obtenemos el gráfico de la función f. En el eje de las abscisas (horizontal) se representan los valores de x, y en el eje de las ordenadas (vertical), los valores de y. Ejemplo: El gráfico de la función f(x) = 3x – 2, está dado por:

Dominio de una función Se llama dominio de una función (Dom f), al conjunto de todos los elementos para los cuales la función está definida, es decir, valores que la variable independiente (x) puede tomar. Ejemplos: Dada la función f(x) = x + 7, su dominio está definido por el conjunto de todos los números reales. Se expresa por: Dom f = R.

Recorrido de una función

Se llama recorrido de una función (o rango de una función), y se escribe Recf, al conjunto de valores que toma la variable dependiente (y), es decir, todos los valores que son imagen de algún valor de la variable independiente. Una forma de obtener el recorrido es despejar, en la expresión algebraica de la función, la variable independiente (x) "en función" de la variable dependiente (y). Y luego, evaluar para qué valores reales está definida esta expresión.

Ejemplo: El recorrido de f(x) = +2

5 corresponde a todos los reales, ya que al despejar la

variable x, en función de y, se obtiene:

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y = +2

5 x = 5y – 2, y para esta expresión, la variable dependiente está definida para

cualquier valor real. Luego, Rec f =R. 2. En la función f(x) = x2, el recorrido está dado por el intervalo [0, +00[.

n: En la función lineal y = mx, al coeficiente m (constante de proporcionalidad) se le

llama pendiente de la recta y se halla dividiendo el valor de la variable dependiente por el correspondiente valor de la variable independiente.

m =

Su valor es la medida del crecimiento o decrecimiento de la recta de ecuación y = mx, y nos indica la variación de la variable y por cada incremento de una unidad de la variable x.

Ejemplo: f(x)= 2x m=2

La función afín es aquella cuya gráfica es una línea recta que no pasa por el origen de coordenadas; su expresión algebraica es y = mx + n. En la expresión anterior:

m es la pendiente de la recta. n es la ordenada en el origen: la recta corta al eje de ordenadas en el punto

(0, n). Ejemplo: f(x) = x + 4 m=1 n=4

n inversa: Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a. La notación f−1 se refiere a la inversa de la función f y no al exponente −1 usado para números reales. Unicamente se usa como notación de la función inversa.

Cálculo de una función inversa De las formas de obtener la función inversa de f(x) es despejar la variable x de la expresión y=f(x). Luego, intercambiar las variables x e y. No siempre la inversa de una función es función.

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tica: Una función cuadrática se representa como f(x) = ax2 + bx + c, con 0, Esta función una cuadra tica o de segundo grado ya que el exponente mayor de la variable independiente es 2.

Gráfica de la función cuadra tica: la gráfica de esta función corresponde a una curva llamada parábola, en la que se distinguen el vértice y el eje de simetría. El eje de simetría es una recta que pasa por el vértice de la parábola y es paralela al eje de las ordenadas (eje y).

Concavidad de la parábola: se llamará concavidad de la parábola a la abertura de las ramas de esta, y esta dependerá del signo del coeficiente a, dándose dos casos:

Caso 1 Si 𝑎 + (a >0) la concavidad de la parábola está orientada “hacia arriba”

Caso 2 Si 𝑎 - (a<0) la concavidad de la parábola está orientada “hacia abajo”

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Vértice de una parábola El vértice de una parábola vertical V es el punto donde la parábola corta a su eje de simetría. Siendo y = ax2+bx+c una función cuadrática, su vértice queda expresado por:

V(x , y) = (−

2 ,4 −

2 )

El resultado lo vemos en la imagen:

Ceros de la función: Recordar que estos se obtienen con la fórmula que entrega las

soluciones de una ecuación cuadrática: =− +√ −4

2 y 2 =

− −√ −4

2

Intersecciones con el Eje X: , 0 y 2 2, 0

Intersección con el Eje Y: (0, C)

Eje de Simetría: =−

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Función potencia: Se llama función potencia a aquella función que se representa de la forma f(x) = axn, con a un número real y n un número natural mayor o igual que 2. Ejemplo: f(x) = 2x3

Gráfica de la función potencia La gráfica de la función potencia dependerá de la paridad del exponente. Exponente par El siguiente gráfico corresponde distintas representaciones de la función y=axn, para n par.

Exponente impar El siguiente gráfico corresponde distintas representaciones de la función y=axn, para n impar.