MATEMÁTICA MÓDULO 2 Eje temático: álgebra y funciones 1. LENGUAJE ALGEBRAICO 1.1. Simplificación de fracciones algebraicas

Si tenemos la fracción 1518

, la puedes simplificar por 3, ya que tanto el

numerador 15 como el denominador 18 tienen como divisor común este número:

15 5 318

⋅=

6 3⋅56

=

Esto que ocurre con las fracciones numéricas, también ocurre con las fracciones algebraicas, por ejemplo, si queremos simplificar la fracción:

2

2

x 2xx 4

−−

, debemos buscar previamente un divisor común del numerador y del

denominador. Para ello debes factorizar previamente ambos términos:

2

2

x 2x x(x 2)x 4 (x 2)(x 2)

− −=

− + −

El divisor común es (x-2), si simplificamos por él, obtenemos la fracción reducida:

x(x 2)−

(x 2)(x 2)+ −x

x 2=

+

Para poder simplificar hay que factorizar previamente, por lo tanto, debes dominar bien todos los casos de factorización; si no los dominas te recomendamos visitar el eje temático de Álgebra y funciones del módulo anterior (1° medio).

Si queremos simplificar fracciones de la forma: 2 3 2

3 8

(2x y )16x y

, debemos ocupar las

propiedades de potencias, que repasaremos a continuación:

2

1.2. Potencias de base real y exponente entero Definición:

−

= ≠

= ≠

= ≠

0

1

-nn

a 1 (a 0)1a (aa1a (aa

0)

0)

Propiedades:

n m m n

n m m n

n n n

n

n

1) a a a (multiplicación de potencias de igual base)

2) a a a (división de potencias de igual base)

3) a b (a b) (multiplicación de potencias de igual exponente)

a a4) =

b b

+

−

⋅ =

÷ =

⋅ = ⋅

⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

n

n n n

n n

n

m n m n

(división de potencias de igual exponente)

5) (a b) a b (potencia de un producto)

a a6) = (potencia de un cuociente)

b b

7) (a ) a (potencia de potencia)⋅

⎟

⋅ = ⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Ocupando estas propiedades podemos volver ahora al ejemplo que dejamos pendiente: Simplificar la fracción:

2 3 2

3 8

(2x y )16x y

En el numerador ocupamos las propiedades 5 y 7:

(2x2y3)2 = 4x4y6, por lo tanto la fracción se transforma en: 4 6

3 8

4x y16x y

Ocupando ahora la propiedad 2 y simplificando por 4, obtenemos:

4 6

3 8 2

4x y x16x y 4y

=

3

1.3. Operatoria con fracciones algebraicas.

Si queremos efectuar la operación 1 32 5

+ debemos buscar previamente el

m.c.m. de los denominadores: m.c.m. (2,5) = 10; enseguida calculamos cuántas veces cabe 2 en 10 y el resultado lo multiplicamos por el numerador 1, y lo mismo hacemos con el denominador 5: 1 3 5 1 2 3 112 5 10 10

⋅ + ⋅+ = =

Si las fracciones son algebraicas se procede de la misma forma, pero debes factorizar previamente los denominadores para poder determinar el m.c.m. Ejemplo:

2 2

5 32x 2y x y

+ =+ −

Para hallar el m.c.m. de los denominadores, debemos factorizarlos previamente: 2x + 2y = 2(x + y) x2-y2 = (x + y)(x - y) El m.c.m. entre 2(x + y) y (x + y)(x - y) es la expresión algebraica menor que contenga todos estos factores, esta es: 2(x + y)(x - y) Ahora procedemos tal como lo hicimos en el ejemplo numérico:

2 2

5 3 5 3 5(x y) 2 3 5x 5y2x 2y x y 2(x y) (x y)(x y) 2(x y)(x y) 2(x y)(x y)

− + ⋅ − ++ = + = =

+ − + + − + − +6

− Veamos ahora otro ejemplo:

2

1 1x 5x 6 x 3

+ =+ + +

Factorizamos el denominador: x2+5x+6=(x+2)(x+3)

4

El m.c.m entre (x+2)(x+3) y (x+3) es (x+2)(x+3), por lo tanto:

2

1 1 1 1 1 x 2x 5x 6 x 3 (x 2)(x 3) x 3 (x 2)(x 3)

x 3

+ ++ = + =

+ + + + + + + +

+

=

(x 2)(x 3)+ +1

(x 2)=

+

Si queremos multiplicar o dividir fracciones algebraicas, lo hacemos de la misma forma que cuando se operan fracciones numéricas: a c acb d bda c a d ad

:b d b c bc

⋅ =

= ⋅ =

Como se explicó anteriormente, para poder simplificar se debe factorizar previamente. Veamos un nuevo ejemplo:

x1

y2x 2y

−=

−

En el numerador: x

1y

− el m.c.m. es y, si restamos obtenemos: x y x

1y y

−− =

En el denominador factorizamos por 2: 2x – 2y = 2(x-y) Por lo tanto la fracción inicial queda:

x y x1

y y2x 2y 2(x y)

−−

=− −

5

Si efectuamos la división de fracciones, resulta:

y xy x 1y

2(x y) y 2(x y)

−−

= ⋅− −

, los binomios (y-x) e (y-x) no son iguales, pero si

ponemos y-x como –(x-y) podemos simplificar:

(x y)y x 1y 2(x y)

− −−⋅ =

− 2y(x y)−1

2y−

=

Para el estudio de la operatoria con fracciones algebraicas se sugiere visitar el sitio: www.sapiens.ya.com/geolay/pagehtm/algeb03.htm#999 2. FUNCIONES 2.1. Aplicaciones de las funciones En una cuenta de electricidad figura el siguiente detalle: Arriendo de equipos: $ 581 Cargo fijo: $ 492 Energía base 250 KWH $ 15.000 Total $ 16.073 El “arriendo de equipos” y el “cargo fijo” suman $1.073 y la “Energía base” se cobra de acuerdo al consumo. Como según este ejemplo se gastaron 250 KWH (kilowatts-hora), cuyo valor es $15.000, se obtiene que cada KWH vale: 15.000: 250 = $60. De lo anterior se deduce que, para calcular el valor de la cuenta, se debe sumar un cargo fijo de $1.073 más $60 por cada KWH de consumo. En términos generales la cuenta C(k) donde k es el número de KWH de consumo, está dada por la expresión: C(k)=1073+60k Esta expresión depende del resultado de la cantidad “k” (de KWH de consumo), por lo que k es la variable independiente y C(k) es la variable dependiente.

6

En esta notación C(3) se indica el valor de la cuenta para k = 3: C(3) = 1073 + 60 . 3 = 1253 Es decir, para un consumo de 3 KWH se tiene una cuenta de $1.253. Esta función la podemos graficar en un plano cartesiano, donde en el eje x (eje de las abscisas) ponemos la variable independiente y en el eje y (eje de las ordenadas) ponemos la variable dependiente. Para graficar la función del ejemplo, completemos primero una tabla de valores: k C(k) 0 1.073 1 1.133 5 1.373 10 1.673 Si graficamos, obtenemos: Observa que todos los puntos están sobre una recta. Como veremos un poco más adelante, en todas las ecuaciones de la forma: y = mx + n, sus gráficas son líneas rectas; en este ejemplo: m = 60 y n = 1073. Los puntos del ejemplo no cubren toda la recta puesto que la variable k toma solamente valores enteros. Si k pudiese tomar todos los valores reales, el gráfico sería una recta (es decir, un gráfico continuo).

7

En el Módulo 3 se estudiarán funciones cuadráticas y cúbicas, por lo que aquí nos referiremos a funciones cuyo gráfico es una línea recta y a funciones que son aplicaciones a situaciones concretas (como la del ejemplo). La función puede venir dada por su ecuación, por su gráfica, o bien planteada a través de una situación problemática. Veamos a continuación cada uno de estos casos: Ejemplo: Sea la función: f(x) = 3x3-4x2–2x+1, entonces f(-2) + f(2)= f(-2) = 3.(-2)3–4.(-2)2 – 2.(-2)+1=-24 – 16 + 4 + 1= -35 f(2) = 3.23-4.22-2.2+1 = 24 – 16 – 4 + 1= 5 Por lo tanto f(-2) + f(2) = -35 + 5 = -30 Ejemplo: Dada la gráfica de la función Hallar f(-2) + f(2) + f(3) = Según la gráfica, f(-2) = 2 ; f(2) = -1 y f(3) = -1 Por lo tanto: f(-2) + f(2) + f(3) = 2 – 1 – 1 = 0 Ejemplo: Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua aumenta 20 cm por cada hora que transcurre. Si inicialmente el agua que había en la piscina llegaba a una altura de 1,2 m, ¿cuál es la ecuación de la función que determina la altura (h) del agua después de transcurridas t horas?

8

Por cada hora que transcurre la altura crece en 0,2 m, por lo tanto, la altura que aumenta el agua después de t horas es: 0,2t. Así, la altura h después de t horas será: h(t) = 1,2 + 0,2t Puedes hallar ejercicios y aplicaciones de funciones en el sitio: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/funciones/pfuncionafin/pfuncionafin.htm 2.2. Fórmulas de Geometría Analítica A continuación veremos algunas fórmulas básicas de la geometría en el plano cartesiano. Sean los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2), entonces:

1. Distancia entre los puntos: 2 22 1 2 1AB (x x ) (y y )= − + −

2. Punto medio del segmento AB: 1 2 1 2x x y yM ,

2 2+ +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

3. Pendiente del segmento AB: 2 1

2 1

y ym

x x−

=−

4. Ecuación general de la recta: ax + by + c = 0 5. Ecuación principal de la recta: y = mx + n 6. Ecuación punto-pendiente: y - y1 = m(x - x1)

7. Ecuación de la recta por dos puntos: 2 11 1

2 1

y yy y (x x )

x x−

− = −−

2.3. Función lineal y función lineal afín Una función lineal es de la forma: y = mx, y su gráfica es una línea recta que pasa por el origen. La pendiente de la recta se denomina m y su signo está relacionado con el ángulo que forma con el eje x (medido en sentido contrario a los punteros del reloj).

9

Interpretación de la pendiente (m): Si la pendiente es positiva, la recta forma un ángulo agudo con el eje x. Si la pendiente es negativa, la recta forma un ángulo obtuso con el eje x. Una función lineal afín es de la forma: y = mx + n con n 0≠ , y su gráfica es una línea recta que no pasa por el origen. Interpretación geométrica del coeficiente de posición (n) El coeficiente de posición se denomina n y su valor indica la intersección de la recta con el eje y. En toda ecuación de recta: y = mx + n, la gráfica intercepta al eje y en el punto (0,n). Veamos a continuación algunos ejemplos de interpretación de m y n:

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2.4 Rectas paralelas y perpendiculares. Si tenemos las pendientes de dos rectas podemos determinar si son paralelas o perpendiculares, a través de las siguientes propiedades:

• Si dos rectas son paralelas entonces tienen igual pendiente. • Si dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus

pendientes es –1.

11

Ejemplo: Dadas las rectas: L1: 5x – 3y = 15 y L2: 3x + 5y = 12, determina si son paralelas o perpendiculares. Primero se debe convertir cada recta a su ecuación principal, despejando la variable y:

1

2

5L : 5x 3y 15 3y 5x 15 y x 5

33 1

L : 3x 5y 12 5y 3x 12 y x5 5

− = ⇒ = − ⇒ = −

−+ = ⇒ = − + ⇒ = +

2

La pendiente m corresponde al coeficiente de la variable x, por lo tanto:

1 2

5 3m y m

3 5−

= =

Si multiplicamos ambas pendientes obtenemos:

1 2

5 3 15m m 1

3 5 15− −

⋅ = ⋅ = = −

Por lo tanto las rectas son perpendiculares. A continuación te presentaremos algunos ejemplos relativos a ecuaciones de rectas. Ejemplo: ¿Cuál es el gráfico de la función 3x-2y+6=0? Primero llevamos la ecuación a ecuación principal:

33x 2y 6 0 2y 3x 6 y x 3

2− + = ⇒ = + ⇒ = + de esta última ecuación

concluimos que m = 3/2 y n = 3, por lo tanto su gráfica aproximadamente es:

12

Ejemplo: ¿Cuánto vale p si el punto (2p-1,p+1) está sobre la recta 3x-2y+1=0? Reemplazamos las coordenadas (x,y) del punto en las respectivas variables de la ecuación de la recta: x = 2p - 1 ; y = p + 1 3(2p – 1) –2(p + 1) + 1 = 0 4p –4 = 0 ⇒ p = 1 Ejemplo: ¿En qué punto la recta de ecuación: 3x – 2y + 9 = 0 corta el eje x? El punto donde intercepte al eje x debe tener un valor de y igual a cero. Reemplazando y = 0 en la ecuación de la recta, obtenemos: 3x – 2 . 0 + 9 = 0 x 3⇒ = − Por lo tanto intercepta al eje x en el punto (-3,0). Se recomienda visitar los siguientes sitios para trabajar la función lineal y aspectos relativos a ella: En la siguiente dirección de Internet se puede trabajar con un graficador de funciones lineales y afines. Permite observar cómo se comporta el gráfico de la recta de ecuación: y = mx+k, al modificar los valores de los parámetros m y k. http://www.pntic.mec.es/Descartes/3_eso/Estudio_algunos_tipos_funciones_lineal_afin/Caracteristicas_de_la_funcion_afin.htm Doce ejercicios de aplicación de la función lineal: http://www.atodahoratuclase.com.ar/polinomios.docOcho ejercicios de ecuaciones de rectas: (no considerar el 9º que corresponde a sistemas de ecuaciones) http://www.cam.educaciondigital.net/pbs1/mate1pbs/Trabajo%20Practico%20Funciones%20Lineales.doc

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3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3.1. Interpretación gráfica Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma: ax by cdx ey f

+ =+ =

Cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta. Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas. Gráficamente, la situación es la siguiente: Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones (reducción, igualación, sustitución), pero acá veremos solamente un ejemplo en el cual utilizaremos el método de reducción. Ejemplo: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 3x 2y 52x y 8

− =+ =

14

Multiplicando la segunda ecuación por 2, obtenemos: 3x 2y 54x 2y 16

− =+ =

Sumando ambas ecuaciones, para eliminar una de las variables, se obtiene: 7x = 21 x = 3 ⇒ Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo en la segunda: 4 . 3 + 2y = 16 ⇒ y = 2 Por lo tanto la solución del sistema es el punto (3,2). Para ejercitar con problemas que se resuelven utilizando sistemas de ecuaciones, consulta el sitio: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/09-02-p-SisEcuProblemas.html (59 ejercicios propuestos) 3.2. Análisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones Al resolver el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas ax by cdx ey f

+ =+ =

podemos tener cualquiera de las siguientes situaciones: 1. Infinitas soluciones Esto sucede cuando las ecuaciones representan la misma recta. Lo anterior se produce cuando los coeficientes de x, de y y los términos libres son proporcionales: a b cd e f

= =

15

2. Sin solución El sistema de ecuaciones tiene los coeficientes de x y de y proporcionales entre sí, pero no proporcionales a los términos libres: a b cd e f

= ≠

3. Solución única Esto acontece cuando los coeficientes de x y de y no son proporcionales: a bd e

≠

Es conveniente aclarar que la proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y equivale a que las pendientes de las rectas sean iguales, por lo tanto, es posible que: Si las tres razones son iguales, entonces son la misma recta, por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones. Si solamente las razones de los coeficientes de x y de y son iguales, entonces las rectas son paralelas no coincidentes y el sistema no tiene soluciones. Ejemplo: Hallar el valor de p de modo que el sistema no tenga soluciones: (p 1)x 2y 3(p 2)x 4y 1

− + = −+ + = −

Como no tiene soluciones, debe acontecer que: p 1 2 3p 2 4 1

− −= ≠

+ −

Claramente, 2 34 1

−≠

−, por lo tanto el valor de p lo obtenemos de la proporción:

p 1 2p 2 4

−=

+.

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Multiplicando cruzado, obtenemos: 4p – 4 = 2p + 4 ⇒ p = 4 En la siguiente dirección puedes hallar un graficador que te permitirá relacionar un sistema de ecuaciones con su gráfica correspondiente: www.cnice.mecd.es/Descartes/4b_eso/Sistemas_ecuaciones_lineales_grafica_algebraica/sis-ecu.htm

MATEMÁTICA MÓDULO 2 Eje temático: Geometría 1. PROPIEDADES ANGULARES EN LA CIRCUNFERENCIA Comencemos este breve estudio acerca de las propiedades angulares en la circunferencia describiendo algunos elementos básicos: AO: radio.

AB: diámetro. : es una recta secante. : es una recta tangente.

AOT: es un ángulo del centro.

ACT: es un ángulo inscrito.

ATQ: es un ángulo semiinscrito. Medida angular de un arco: la medida angular de un arco es equivalente a la medida del ángulo central que le corresponde a dicho arco.

2

Veamos a continuación una lista de propiedades angulares en la circunferencia: (1) El ángulo inscrito mide la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco. (2) Ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son congruentes. (3) Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. (4) En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia los ángulos opuestos son suplementarios. α + γ = β + δ = 180°

3

(5) Toda recta tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto. (6) Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos segmentos tangentes, estos son congruentes. RP = RS (7) El ángulo formado por dos cuerdas equivale a la semi-suma de las medidas de los arcos que interceptan.

4

(8) El ángulo formado por dos rectas secantes a una circunferencia equivale a la semi-diferencia de los arcos que interceptan.

2. TRIÁNGULOS SEMEJANTES 2.1. Concepto de semejanza En el Módulo 1, vimos que dos triángulos congruentes tenían la misma forma y el mismo tamaño. Sin embargo, cuando dos triángulos tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, se denominan triángulos semejantes. Cuando dos triángulos son semejantes, los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes proporcionales: Ángulos correspondientes congruentes:

Lados correspondientes proporcionales: DE EF DF

kAB BC AC

= = =

La razón de semejanza, entonces, se denomina k. Observación: si k = 1, los triángulos serían congruentes.

5

Al igual que en la congruencia, aquí se presentan los denominados criterios de semejanza, que constituyen las condiciones mínimas necesarias para establecer que dos triángulos son semejantes. 2.2. Criterios de semejanza Criterio (L,L,L) Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales. Criterio (A,A,A) Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes. Observación: Como los ángulos del triángulo suman 180°, bastaría con determinar dos ángulos correspondientes congruentes para poder establecer la semejanza (criterio (A,A)).

6

Criterio (L,A,L) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados correspondientes proporcionales y los ángulos comprendidos entre estos lados son congruentes. Criterio (L,L,A>) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados correspondientes proporcionales y los ángulos opuestos a los mayores de estos lados son congruentes. Según la figura, para que se pueda establecer la semejanza, debe darse que

b > a y 2.3. Teorema de la semejanza Si dos triángulos son semejantes, con razón de semejanza k, entonces sus perímetros están en la razón k y sus áreas en la razón k2.

7

En la figura:

2

ABC DEFAB BC AC

kDE EF DF

Perímetro ABCk

Perímetro DEF

Área ABCk

Área DEF

∆ ∆

= = =

∆⇒ =

∆∆

⇒ =∆

2.4. Teorema de Thales Si tres o más rectas paralelas se cortan por dos secantes, los segmentos determinados en una de las secantes son proporcionales a los segmentos determinados en la otra secante.

AB DESi AD //BE //CF

BC EF⇒ = o bien

AB DEAC DF

= (u otras equivalentes), el

recíproco de este teorema también es válido, es decir, si los segmentos determinados en las secantes son proporcionales, entonces las rectas son paralelas. Ejemplo:

En la figura anterior, se cumple que: AB 5

y DF 27 cmBC 4

= =

¿Cuánto mide EF?

Como AB 5 AC 9

BC 4 BC 4

= ⇒ =

pero AC DFBC EF

= , por lo tanto 9 27

x 124 x

= ⇒ =

8

2.5. Segmentos proporcionales en el círculo A través de la semejanza de triángulos se pueden demostrar los siguientes teoremas: Teorema de las cuerdas Si dos cuerdas se intersectan en el interior de un círculo, el producto de los segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra cuerda. NP . PQ = PS . PR Teorema de las secantes Si desde un punto exterior a un círculo se trazan dos rectas secantes, entonces el producto del segmento exterior con el segmento total determinados en una de las secantes será igual a los segmentos respectivos en la otra secante. PS . PM = PQ . PR

9

Teorema de la secante y la tangente Si desde un punto exterior a un círculo se traza una recta secante y una tangente, entonces el producto del segmento exterior con el segmento total será igual al cuadrado del segmento tangente. PT2 = PQ . PR Ejemplo: Según la información dada en la figura, ¿cuánto mide RS? Por el teorema de las cuerdas, tenemos que: 4(x+4) = 3(2x+2) 4x+16 = 6x + 6 2x = 10 x = 5 Pero como RS = x+8 , reemplazando obtenemos RS = 13.

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Sitios sugeridos Para el estudio de las propiedades angulares de la circunferencia: http://www.dmae.upct.es/~pepemar/home.htmhttp://roble.pntic.mec.es/~jarran2/cabriweb/circunf/anguloscircun.htmhttp://roble.pntic.mec.es/~jarran2/cabriweb/circunf/inscrito.htm (incluye Applets) Sitio recomendado para el estudio del concepto de semejanza: http://descartes.cnice.mecd.es/4a_eso/Semejanza/figuras_semejantes.htm Para profundizar más o ejercitar acerca de los criterios de semejanza, te sugerimos visitar el sitio: http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelIX/ConceptodeSemejanza/SemejanzadeTriangulos.htm (Applet) En el siguiente sitio web podrás trabajar interactivamente comprobando el teorema de Thales: http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelIX/TeoremadeThales/TeoremadeThales.htm

MATEMÁTICA MÓDULO 2 Eje temático: Estadística y probabilidades 1. REGLA DE LAPLACE Cuando un suceso va a ocurrir, en ciertos casos es posible que se pueda predecir su resultado. Si se puede predecir diremos que es un fenómeno determinístico. En caso contrario, se trataría de un evento aleatorio. Lanzar una moneda al aire, por ejemplo, constituye un fenómeno de tipo aleatorio, pues en este caso no se puede asegurar si saldrá cara o sello. La probabilidad es una rama de las matemáticas que estudia este tipo de fenómenos. El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, y lo designaremos con la letra E. En el caso de la moneda, los resultados posibles son cara y sello, por lo tanto, su espacio muestral es E = {cara, sello} En el caso de arrojar un dado: E = {1,2,3,4,5,6} Si se tiran dos dados distintos, su espacio muestral puede ilustrarse mediante el siguiente diagrama: En este caso el espacio muestral está formado por 36 elementos.

2

Se llama evento a todo subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, si se tiran dos dados, un evento puede ser que la suma de las puntuaciones sea igual a seis. La probabilidad de un evento es un valor que nos permite determinar qué tan posible es que un evento ocurra o no. La definición clásica de probabilidad, dada por la regla de Laplace, se ocupa cuando todos los resultados posibles de un experimento aleatorio tienen la misma probabilidad (son equiprobables). En el diagrama anterior, donde se muestra el espacio muestral para el experimento aleatorio de lanzar dos dados, cada uno de los resultados tiene la misma probabilidad, si consideramos que los dados “no están cargados”. La probabilidad de que un evento A ocurra se anota P(A) y se calcula mediante el cuociente:

número de casos favorables a AP(A)

número de casos totales=

Esto es válido, eso sí, cuando en el experimento aleatorio todos sus resultados son equiprobables. 2. TIPOS DE EVENTOS Un evento se denomina cierto cuando siempre ocurre, siendo igual al espacio muestral, por lo que su probabilidad es uno. Un evento se denomina imposible cuando nunca ocurre, y por lo tanto su probabilidad es cero. Dos eventos se denominan complementarios cuando su unión da el espacio muestral y su intersección es vacía. La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios es uno. Propiedades de la probabilidad Sea A un evento, entonces la probabilidad de este evento cumple las siguientes propiedades: (1) P(A)>0 (2) P(A) < 1 (3) P(A ∪ Ac ) = 1

3

Ejemplo: Si se tiran dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea mayor que 8? Los casos favorables son los siguientes: (3,6), (6,3), (4,5), (5,4), (5,5), (4,6), (6,4), (5,6), (6,5) y (6,6). Por lo tanto, los casos favorables son 10 y los casos totales son 36, por lo

tanto, 10 5

P(A)36 18

= =

Ejemplo: Según la ruleta dada en la figura adjunta, ¿cuál es la probabilidad de que salga el color amarillo? A la zona amarilla le corresponde un ángulo central de 360° - 60° - 140° = 160°. Al total de casos le corresponden 360°. Por lo tanto, la probabilidad de que salga la zona amarilla es:

160° 4P(A)

360 9= =

°

Ejemplo: En una caja hay dos bolitas negras y seis verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar una bola al azar, esta sea verde? Los casos favorables son 6 y los totales son 8, por lo tanto, la probabilidad es:

6 3P(verde)

8 4= =

4

Ejemplo: En una caja hay bolitas rojas y negras. La probabilidad de sacar una roja es 3/5 y se sabe que hay 12 bolitas negras. ¿Cuántas bolitas hay en total? Como la probabilidad de sacar una roja es 3/5, se deduce que la probabilidad de sacar una negra es 2/5 (evento complementario). Por lo tanto, los 2/5 de las bolitas de la caja deben ser negras. Si x es el número total de bolitas, tenemos la ecuación: 2

x 12 x 305

= ⇒ =

Por lo tanto, hay un total de 30 bolitas en la caja. 3. REGLA DE MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES Si se tienen varios eventos sucesivos e independientes entre sí, la probabilidad de que ocurran todos ellos corresponde a la multiplicación de las probabilidades de cada uno de los eventos. Ejemplo: Si se responde al azar cuatro preguntas con cinco opciones cada una, ¿cuál es la probabilidad de acertar a todas? La probabilidad de acierto en cada una de las preguntas es 1/5. Por lo tanto, la probabilidad de acertar en las cuatro es:

1 1 1 1 1P(A)

5 5 5 5 625= ⋅ ⋅ ⋅ =

Ejemplo: Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo o una hija es ½, ¿cuál es la probabilidad de que al tener tres hijos, 2 solamente sean varones? Si H es que nazca un hombre y M una mujer, tenemos los siguientes casos favorables: HHM-HMH-MHH

La probabilidad de cada uno de estos eventos es: 1 1 1 12 2 2 8⋅ ⋅ =

5

Por lo tanto, la probabilidad pedida es 38

Sitios sugeridos http://www.tareasya.com/noticia.php?noticia_id=1765http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Azar_y_probabilidad/azar_probabilidad_3.htmhttp://www.arrakis.es/~mcj/azar06.htm