Buenos dias, a continuacion les envio la actividad a realizar en la materia:1) Describir el metodo Gauss-Jordan y aplicarlo para encontrar la inversa de una Matriz. (con ejemplo o ejercicio)2) Explicar o describir que es una Matriz Escalonada Reducida (incluya ejemplos). Aplique el metodo Gauss-Jordan para obtener una matriz escalonana reducida. (con ejemplo o ejercicio)

Calculo de la Matriz Inversa Por El Método de Gauss Jordan

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1 seguiremos los siguientes pasos:

1. Construir una matriz de tipo  M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz Identidad I en la derecha.Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con una matriz identidad de orden 3.

2. Utilizando el método de Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está  a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1

      F2-F1                               F3+F2

                                     

  

               F2 - F3                                        F1 + F2

                   

      (-1) F2

La matriz inversa es:

Cálculo de la matriz inversa

1. Método de Gauss-Jordan Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A-1).Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.b) Permutar dos filasc) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.

La matriz inversa de A es

Ejercicio:

9. Dada

1 0 1

A 2 1 0

2 2 3

Encuentra su matriz inversa.

Se propone la matriz (AI), y se procede a obtener la matriz (IA-1), utilizando el método de Gauss-Jordan:

1 0 1 1 0 0

A I 2 1 0 0 1 0

2 2 3 0 0 1

2 2 12R R R

1 0 1 1 0 0

0 1 2 2 1 0

2 2 3 0 0 1

3 3 12R R R  

1 0 1 1 0 0

0 1 2 2 1 0

0 2 5 2 0 1

3 3 22R R R

1 0 1 1 0 0

0 1 2 2 1 0

0 0 1 2 2 1

1 1 3R R R

 

1 0 0 3 2 1

0 1 2 2 1 0

0 0 1 2 2 1

2 2 12R R R 1 0 0 3 2 1

0 1 0 6 5 2

0 0 1 2 2 1

Por lo que la matriz inversa obtenida es:

1

3 2 1

A 6 5 2

2 2 1

Definición: Una matriz es una matriz escalonada reducida por filas si:

todas las filas que consisten únicamente de ceros (si existen) aparecen en la parte inferior de la matriz (parte de abajo).

el primer número (si empezamos por la izquierda) en cualquier fila que no consista de ceros es 1.

si dos filas consecutivas no consisten de ceros, entonces el primer 1 en la fila interior está más a la derecha que el primer 1 de la fila superior.

cualquier columna que contenga el primer 1 de una fila tendrá ceros en los demás lugares.

Ejemplos de matrices escalonadas por filas:

0000

6310

5201

,2100

5001,

1000

0010

0001

,10

01,

100

010

001

Definición: Una matriz está en forma escalonada si cumple las primeras tres condiciones de la definición anterior.

Ejemplos de matrices en forma escalonada:

1000

8210

4611

,2100

5201,

100

510

321

,

0000

6310

5231

,10

21

Nota: Toda matriz escalonada reducida por filas está en la forma escalonada pero no toda matriz escalonada es una matriz escalonada reducida por filas.