Algebra linealTRABAJO FINAL

FACULTAD:

INGENIERÍA

ESCUELA:

INGENIERÍA DE COMPUTACIÓN Y

SISTEMAS

DOCENTE:

GARCIA POLANCO, LUIS

INTEGRANTES:

CABALLERO CRUZ, IVONNE

CÁRDENAS GONZÁLEZ, RAQUEL

FLORES FLORES, JUAN

GASCO CASTILLO, KERWIN

LÓPEZ DOMÍNGUEZ, DONATILA

RAMOS SARAVIA, SANDRO

SEVILLANO TALAVERA, RENATO

CICLO:

III

TRUJILLO-PERÚ

2015

DETERMINANTES

DEFINICIÓN

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por ¨ |A|  (las barras no significan valor absoluto).

MÉTODOS DE CÁLCULO DE DETERMINANTES

Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.

Además de esta regla, para calcular determinantes de matrices de cualquier orden podemos usar otra definición de determinante conocida como Fórmula de Leibniz.

La fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz cuadrada A de orden n es:

donde la suma se calcula sobre todas las permutaciones σ del conjunto {1,2,...,n}. La posición del elemento i después de la permutación σ se denota como σ i. El conjunto de todas las permutaciones es Pn. Para cada σ, sgn(σ) es la signatura de σ, esto es +1 si la permutación es par y −1 si es impar (ver Paridad de permutaciones).

En cualquiera de los   sumandos, el término

denota el producto de las entradas en la posición (i, σi), donde i va desde 1 hasta n:

{ f :M n→RA→ (aij)=det (A)=|A|

La fórmula de Leibniz es útil como definición de determinante; pero, excepto en casos muy pequeños, no es una forma práctica de calcularlo: hay que llevar a cabo n! productos de n factores y sumar n! elementos. No se suele usar para calcular el determinante si la matriz tiene más de tres filas.

Existen métodos para calcular el determinante:

a) Regla de sarrusb) Método de la estrellac) Por menores

MATRIZ POR MENORESSe llama menor de orden k de una matriz   al determinante de orden k que está formado por los elementos que pertenecen a k filas y a k columnas de la matriz    .

En este determinante los elementos de   conservan las posiciones relativas que tienen en la matriz .

Es decir, si la fila de   en la que se encuentra   está por encima de la fila de       en la que se encuentra , entonces, en los menores de   en los que aparezcan   y  , la fila en la que se encuentra   va a estar por encima de la fila en la que se encuentra  .

Análogamente, si la columna de   en la que se encuentra   está a la derecha de la columna de       en la que se encuentra , entonces, en los menores de  en los que aparezcan   y  , la columna en la que se encuentra   va a estar a la derecha de la columna en la que se encuentra  .

Teorema

El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que podemos obtener de esta matriz.

Es decir, si el rango de una matriz es k, entonces todos los menores de orden superior a k, si los hubiese, son nulos. O dicho de otra manera:

Si todos los menores de orden k y de orden mayor que k de una matriz son nulos, entonces el rango de dicha matriz tiene que ser menor que k.

Siendo esto así, el procedimiento que describimos a continuación nos permite calcular el rango de una matriz   independientemente de cómo sea la matriz .

PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR EL RANGO DE UNA MATRIZ USANDO MENORES

Sea       el orden de los menores de mayor orden de la matriz .

   es el número de filas o el número de columnas de    ,   el que sea menor.

Empezando por       y continuando con    ,   para cada valor de   se va comprobando si algún menor de orden   es cero.

Considerando distintos valores de   en este orden, el primer valor de   que encontramos con un menor NO nulo es el rango de .

Si no encontrásemos ningún   satisfaciendo esta condición, entonces NO existiría ningún menor de   distinto de cero y el rango de   seria cero.

Ejemplo

Calculemos el determinante de la matriz 

En este caso    .   Comprobamos primero si todos los menores de orden       son nulos.

En este caso, solo hay un menor de orden 3,  , por lo tanto, solo tenemos que calcular un determinante de orden 3.

|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|det (A )=¿ |a22 a23

a32 a33| |a12 a13

a22 a23||a12 a13

a32 a33|a11 a21 a31- +=

Como, despues de hacer las cuentas, resulta que       todos los menores de orden 3 de   son cero y por el teorema anterior el rango de   ha de ser menor que 3.

Como todos los menores de orden 3 son nulos, pasamos a inspeccionar los menores de orden 3 - 1 = 2, y comprobamos si todos ellos son nulos (cero) o no.

 tiene 9 menores de orden 2. Calculamos uno por uno para comprobar si alguno de ellos es distinto de cero. Si encontramos que alguno de ellos es cero paramos.

Supongamos que empezamos a calcular estos 9 menores en el siguiente orden:

1. 1. Primero calculamos el menor que se obtiene seleccionando las primeras dosfilas ( las de más arriba ) y las primeras dos columnas ( las de más a la izquierda ) de  ,

1. 2. A continuación calculamos el menor que se obtiene seleccionando las primeras dosfilas ( las de más arriba ) y las últimas dos columnas ( las de más a la derecha ) de  ,

1. 3. El tercer menor que calculamos es el que se obtiene seleccionando las últimas dosfilas ( las de más arriba ) y las últimas dos columnas ( las de más a la derecha ) de  .

Procediendo así, hubiésemos obtenido que los dos primeros menores son cero, pero como el tercer menor ya nos sale distinto de cero, paramos y concluimos que, como un menor de orden 2 es distinto de cero, por el teorema anterior el rango de       tiene que ser mayor o igual que 2. Como ya habíamos averiguado antes que el rango de   tiene que ser menor que 3, deducimos que el rango de   es 2.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.

Para el cálculo de determinantes por el método de desarrollo por menores tomamos como referencia una fila o una columna y vamos eliminando sus elementos (de acuerdo a su posición) y formando los determinantes de un orden inferior a la matriz original; el cual queda multiplicado por este elemento y su signo de posición. Es decir cada elemento de la fila o la columna seleccionada se multiplica por su determinante menor y el signo de posición. Los signos de posición se obtienen siempre comenzando con positivo y alternando luego. Para una matriz 3x3:

[+ − +− + −+ − + ]

Para una matriz 4x4:

[+ − + −− + − ++ − + −− + − +

]Noten que los signos negativos de posición se obtienen cuando la suma de los subíndices de posición del elemento es impar:

Elemento 2,1: 2+1=3, impar, signo negativo.Elemento 2,3: 2+3=5, impar, signo negativo.De igual forma cuando la suma de los subíndices de posición es par, el signo de posición es positivo.Elemento 4,4: 4+4=8, par, signo positivo.

EJEMPLO: Calcular el determinante de la matriz:

A=[−1 3 2−2 5 32 4 −1 ]

Lo haremos aplicando el método de desarrollo de menores:Tomaremos primeramente la fila 1 como referencia.

|A|=|−1 3 2−2 5 32 4 −1

|=-1

|5 34 −1

| -3

|−2 32 −1

| 2

|−2 52 4

|

Es el primer elemento de la fila Es el segundo elemento de la fila Es el tercer elemento de la fila Determinante menor que se Determinante menor que se Determinante menor que se obtiene al eliminar la fila 1 y la obtiene al eliminar la fila 1 y la obtiene al eliminar la fila 1 y la columna 1. columna 2. columna 3.

|A|=|−1 3 2−2 5 32 4 −1

|

|A|=|−1 3 2−2 5 32 4 −1

|

|A|=|−1 3 2−2 5 32 4 −1

|

El signo de la posición es + El signo de la posición es - El signo de la posición es +

[+ − +− + −+ − + ]

[+ − +− + −+ − + ]

[+ − +− + −+ − + ]

|A|=|−1 3 2−2 5 32 4 −1

|=-1

|5 34 −1

|-3

|−2 32 −1

|+2

|−2 52 4

|=

=−1 [5 (−1 )−4 (3 ) ]−3 [−2 (−1 )−2 (3 ) ]+2 [−2 (4 )−2 (5 ) ]=−1 [−5−12 ]−3 [ 2−6 ]+2 [−8−10 ]=−1 [−5−12 ]−3 [2−6 ]+2 [−8−10 ]=−1 (−17 )−3 (−4 )+2 (−18 )=17+12−36=−7

|A|=|−1 3 2−2 5 32 4 −1

|=-7

Podemos observar que este método es mucho más práctico cuando tenemos uno o varios ceros en una fila o columna. Más adelante conoceremos como lograr ceros en una fila o columna de una matriz, aplicando diferentes propiedades de los determinantes.

EJEMPLO: Calcular el determinante de la matriz:

B=[ 0 3 2−2 5 30 4 −1 ]

Vamos a tomar como referencia la primera columna.

|B|=|0 3 2

−2 5 30 4 −1

|

Noten que el primer y tercer elemento de esa columna son ceros, por lo tanto no es necesario determinar sus menores, pues al multiplicarlos con estos elementos el resultado será cero.Solo nos quedaría el segundo elemento de la columna:

|B|=|0 3 2

−2 5 30 4 −1

|=−(−2 )|3 2

4 −1|=2 [3 (−1 )−4 (2 ) ]=2 (−3−8 )=2 (−11 )=−22

Para el cálculo de determinantes superiores este es método muy útil:EJEMPLO: Calcular el determinante de la matriz:

C=[1 0 3 12 −1 2 13 0 2 24 3 3 1 ]

Notemos que la columna 2 tiene dos ceros: la tomamos como referencia.

|C|=|

1 0 3 12 −1 2 13 0 2 24 3 3 1

|=−1|1 3 13 2 24 3 1

|+3|1 3 12 2 13 2 2

|

[+ − + −− + − ++ − + −− + − +

]

|

1 0 3 12 −1 2 13 0 2 24 3 3 1

|

Signos de posición

Calculemos ahora los determinantes de orden 3, por cualquiera de los métodos que ya dominamos.

|1 3 13 2 24 3 1

|=|

1 3 13 2 24 3 11 3 13 2 2

|= [1 (2 ) (1 ) ]+ [3 (3 ) (1 ) ]+[4 (3 ) (2 ) ]−[4 (2 ) (1 ) ]− [1 (3 ) (2 ) ]−[3 (3 ) (1 ) ]

|1 3 13 2 24 3 1

|=2+9+24−8−6−9=12

|1 3 12 2 13 2 2

|=|

1 3 12 2 13 3 21 3 12 2 1

|

= [1 (2 ) (2 ) ]+ [2 (3 ) (1 ) ]+[3 (3 ) (1 ) ]−[3 (2 ) (1 ) ]−[1 (3 ) (1 ) ]−[2 (3 ) (2 ) ]

|1 3 12 2 13 2 2

|=4+6+9−6−3−12=−2

|C|=|

1 0 3 12 −1 2 13 0 2 24 3 3 1

|=−1|1 3 13 2 24 3 1

|+3|1 3 12 2 13 2 2

|=−1 (12 )+3 (−2 )=−12−6=−18