Algebra lineal para estudiantes de ingenieria y ciencias

1. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERA Y CIENCIAS

2. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERA Y CIENCIAS Juan Carlos Del Valle Sotelo Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de Mxico

3. Page (PS/TeX): 1 / 4, COMPOSITE Director General Mxico: Editor sponsor: Coordinadora editorial: Supervisor de produccin: Miguel ngel Toledo Castellanos Pablo Eduardo Roig Vzquez Marcela I. Rocha Martnez Zeferino Garca Garca LGEBRA LINEAL PARA ESTUDIANTES DE INGENIERA Y CIENCIAS Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS 2011 respecto a la primera edicin por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. Edificio Punta Santa Fe Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D. F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 A Subsidiary of Companies, Inc.The McGraw-Hill ISBN: 978-970-10-6885-4 1234567890 1098765432101 Impreso en Mxico Printed in Mexico

4. Page (PS/TeX): 5 / 5, COMPOSITE A la memoria de Esther, mi amada madre; a mi hermano Manuel; a mis hijas Miriam y Samantha En un universo quiza innito inconcebiblemente antiguo es una dicha saber que tengo mi origen en una amorosa madre y en un hermano que me cuido como a un hijo y por eso es mi padre y percibir una innitesima parte de m en la mirada de dos pequenos seres que en momentos difciles han sido tan grandes.

5. Page (PS/TeX): 6 / 6, COMPOSITE

6. Page (PS/TeX): 7 / 7, COMPOSITE Contenido Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII Prlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV PARTE I MATRICES, SISTEMAS Y DETERMINANTES CAPTULO 1 Matrices y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 1 1.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 1 1.1 1.1.1 Deniciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 1 1.1 1.1.2 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 1.1 1.1.3 Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 1.1 1.1.4 Propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1 1.1 1.1.5 Matrices con numeros complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12 1 1.2 Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1 1.1 1.2.1 Deniciones, soluciones y forma matricial de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . .. 15 1 1.1 1.2.2 Matrices escalonadas y sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 1.1 1.2.3 Operaciones de renglon para matrices, equivalencia por las y soluciones 1 1.1 1.2.3 de sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22 1 1.1 1.2.4 Metodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 1.1 1.2.5 Metodo de Gauss-Jordan y sistemas con solucion unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 1.1 1.2.6 Sistemas homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31 1 1.1 1.2.7 Estructura de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1 1.1 1.2.8 Sistemas lineales con numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1 1.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 1.1 1.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 1.1 1.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 CAPTULO 2 Matrices invertibles y determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1 2.1 Matrices invertibles y sus inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1 1.1 2.1.1 Denicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1 1.1 2.1.2 Matrices invertibles y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1 1.1 2.1.3 Metodo de Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68 1 1.1 2.1.4 Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1 1.1 2.1.5 Inversas de matrices con componentes complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 1 2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1 1.1 2.2.1 Desarrollo por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75 1 1.1 2.2.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80 1 1.1 2.2.3 Metodo de la adjunta para hallar la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1 1.1 2.2.4 Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1 1.1 2.2.5 Determinantes de matrices con componentes complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1 2.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1 1.1 2.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1 1.1 2.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 VII

7. Page (PS/TeX): 8 / 8, COMPOSITE VIII CONTENIDO PARTE II ESPACIOS VECTORIALES, PRODUCTO INTERIOR, NORMAS, VALORES Y VECTORES PROPIOS CAPTULO 3 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 113 1 3.1 Geometra de los espacios Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 113 1 1.1 3.1.1 El plano cartesiano R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1 1.1 3.1.2 Interpretacion geometrica del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 1 1.1 3.1.3 El espacio vectorial Rn , geometra y propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 1 1.1 3.1.4 La desigualdad de Schwarz, angulos entre vectores y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . 123 1 3.2 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 1 1.1 3.2.1 Deniciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 131 1 1.1 3.2.2 Propiedades elementales de los espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 138 1 1.1 3.2.3 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 1 1.1 3.2.4 Combinaciones lineales y subespacios generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 1 3.3 Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 1 1.1 3.3.1 Criterios de independencia lineal en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 1 3.4 Bases y dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 1 1.1 3.4.1 Deniciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 158 1 1.1 3.4.2 Dimension, extraccion de bases y complecion de un conjunto L.I. a una base . . . . 160 1 1.1 3.4.3 Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 1 3.5 Espacios vectoriales sobre los numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 1 3.6 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 1 1.1 3.6.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 1 1.1 3.6.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 CAPTULO 4 Espacios con producto interior y espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 235 1 4.1 Espacios con producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 235 1 1.1 4.1.1 Deniciones, ejemplos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 236 1 1.1 4.1.2 Ortogonalidad y norma inducida por el producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 1 1.1 4.1.3 Desigualdad de Schwarz y angulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 252 1 1.1 4.1.4 Proyecciones, proceso de ortogonalizacion, factorizacion QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 1 1.1 4.1.5 Aproximacion optima de un vector por elementos de un subespacio . . . . . . . . . . . . 283 1 4.2 Espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 303 1 1.1 4.2.1 Deniciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 303 1 1.1 4.2.2 Distancia en espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 1 1.1 4.2.3 Normas que provienen de productos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 317 1 1.1 4.2.4 Normas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 324 1 1.1 4.2.5 Construccion de normas en espacios de dimension nita a partir de normas en Rn 334 1 1.1 4.2.6 Aproximaciones optimas en espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 1 1.1 4.2.7 Que norma utilizar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 341 1 4.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 1 1.1 4.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 1 1.1 4.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 CAPTULO 5 Transformaciones lineales, valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 1 5.1 Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 415 1 1.1 5.1.1 Denicion, ejemplos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 1 1.1 5.1.2 Nucleo e imagen de una transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 1 5.2 Representaciones matriciales de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 433 1 1.1 5.2.1 Vectores de coordenadas, cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 1 1.1 5.2.2 Representaciones matriciales de un operador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 1 1.1 5.2.3 Representaciones matriciales de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 1 1.1 5.2.4 Isomorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

8. Page (PS/TeX): 9 / 9, COMPOSITE CONTENIDO IX 1 5.3 Valores y vectores propios, diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 1 1.1 5.3.1 Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 457 1 1.1 5.3.2 Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 1 1.1 5.3.3 Valores propios complejos y diagonalizacion sobre C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 1 1.1 5.3.4 Operadores autoadjuntos y matrices simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 1 5.4 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 1 1.1 5.4.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 1 1.1 5.4.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 PARTE III APLICACIONES, USO DE TECNOLOGA, MTODOS NUMRICOS CAPTULO 6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 1 6.1 Matrices de incidencia y teora de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 581 1 6.2 Redes de conduccion y principios de conservacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 589 1 1.1 6.2.1 Flujo vehicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 1 1.1 6.2.2 Circuitos electricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 1 1.1 6.2.3 Balance qumico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 1 6.3 Analisis insumo-producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 1 1.1 6.3.1 Modelo para economa abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 1 1.1 6.3.2 Modelo para economa cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 1 1.1 6.3.3 Singularidad de la matriz de Leontief para el modelo de economa cerrada . . . . . . 604 1 1.1 6.3.4 Inversa de la matriz de Leontief para el modelo de economa abierta y metodo de 1 1.1 6.3.4 aproximacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 1 6.4 Programacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 1 1.1 6.4.1 Enfoque geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 1 1.1 6.4.2 Metodo simplex para el problema estandar de programacion lineal . . . . . . . . . . . . . 620 1 1.1 6.4.3 Restricciones generales y metodo simplex de dos fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 1 1.1 6.4.4 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641 1 6.5 Teora de juegos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 644 1 1.1 6.5.1 Juegos estrictamente determinados y puntos silla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 1 1.1 6.5.2 Estrategias y pagos esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 646 1 1.1 6.5.3 Estrategias optimas y valor esperado para juegos matriciales con matriz de pagos 1 1.1 6.3.4 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 1 1.1 6.5.4 Estrategias optimas y valor esperado con programacion lineal para juegos 1 1.1 6.3.4 matriciales con matriz de pagos mn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 1 1.1 6.5.5 Filas y columnas recesivas o dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 1 6.6 Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 1 6.7 Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 666 1 6.8 Optimizacion de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671 1 1.1 6.8.1 Problemas fsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 672 1 1.1 6.8.2 Calculo diferencial en espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679 1 1.1 6.8.3 Calculo diferencial para funcionales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698 1 1.1 6.8.4 Extremos locales de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706 1 1.1 6.8.5 Extremos locales y valores propios de la matriz hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709 1 1.1 6.8.6 Condiciones necesarias para que cierto tipo de funcionales en espacios de 1 1.1 6.3.4 dimension innita alcancen valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 1 1.1 6.8.7 Dinamica de un monopolista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725 1 1.1 6.8.8 Eplogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 1 6.9 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728

9. Page (PS/TeX): 10 / 10, COMPOSITE X CONTENIDO CAPTULO 7 Uso de tecnologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761 1 7.1 La calculadora HP 50g y algebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761 1 1.1 17.1.1 Teclado y sus funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761 1 1.1 17.1.2 La pantalla y comandos de decision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763 1 1.1 17.1.3 Modos de operacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764 1 1.1 17.1.4 Calculo simbolico vs numerico y almacenamiento de objetos algebraicos . . . . . . 765 1 1.1 17.1.5 Escritura de vectores y matrices en la Hp 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766 1 1.1 17.1.6 Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768 1 1.1 17.1.7 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771 1 1.1 17.1.8 Factorizacion QR y ortogonalizacion, factorizacion LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 772 1 1.1 17.1.9 Forma escalonada y forma escalonada reducida con la HP 50g, sistemas lineales 773 1 1.1 7.1.10 Metodos de Gauss y Gauss-Jordan paso a paso en forma automatica con la 1 1.1 7.1.10 HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 774 1 1.1 7.1.11 Inversa de una matriz paso a paso de manera automatica con la calculadora 1 1.1 7.1.10 HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 775 1 1.1 7.1.12 Metodos de Gauss y Gauss-Jordan con operaciones de renglon ejecutadas por el 1 1.1 7.1.10 usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775 1 1.1 7.1.13 Inversa de una matriz por el metodo de Gauss-Jordan con operaciones de renglon 1 1.1 7.1.10 ejecutadas por el usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777 1 1.1 7.1.14 Transformaciones lineales, nucleo e imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 779 1 1.1 7.1.15 Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 780 1 1.1 7.1.16 Numeros complejos con la HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780 1 7.2 MATLAB y algebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 1 1.1 17.2.1 Interaccion con MATLAB y almacenamiento de informacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 1 1.1 17.2.2 Escritura de matrices y operaciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783 1 1.1 17.2.3 Formatos y modo simbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785 1 1.1 17.2.4 Matrices especiales, informacion basica y edicion de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 786 1 1.1 17.2.5 Operaciones de renglon con MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789 1 1.1 17.2.6 Funciones programadas por el usuario, programacion en MATLAB y operaciones 1 1.1 7.1.10 de renglon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790 1 1.1 17.2.7 Traza, determinante, rango, inversa y transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797 1 1.1 17.2.8 Forma escalonada reducida, solucion de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798 1 1.1 17.2.9 Valores y vectores propios, polinomio caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800 1 1.1 7.2.10 Factorizacion QR y factorizacion LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802 1 7.3 Excel, la herramienta Solver y programacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 803 1 1.1 17.3.1 Activacion de Solver en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 803 1 1.1 17.3.2 La funcion SUMAPRODUCTO de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805 1 1.1 17.3.3 Resolucion de problemas de programacion lineal con Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . 806 1 7.4 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813 CAPTULO 8 lgebra lineal numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 819 1 8.1 Aritmetica de la computadora y errores de redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819 1 8.2 Metodos directos para resolver sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 822 1 1.1 18.2.1 Metodo de Gauss para sistemas lineales de orden n con sustitucion regresiva . . . 822 1 1.1 18.2.2 Metodo de Gauss para hallar la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827 1 1.1 18.2.3 Factorizacion LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 829 1 1.1 18.2.4 Estrategias para pivotar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838 1 8.3 Metodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 848 1 1.1 18.3.1 La teora de punto jo y normas matriciales naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848 1 1.1 18.3.2 Metodo iterativo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862 1 1.1 18.3.3 Planteamiento general para un metodo iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 877

10. Page (PS/TeX): 11 / 11, COMPOSITE CONTENIDO XI 1 1.1 8.3.4 Metodo iterativo de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 880 1 1.1 8.3.5 Metodo iterativo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887 1 1.1 8.3.6 Series de Neumann y metodo iterativo para aproximar la inversa de una matriz . . 896 1 8.4 Transformaciones de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901 1 1.1 8.4.1 Deniciones y transformaciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902 1 1.1 8.4.2 Factorizacion QR de Householder y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908 1 1.1 8.4.3 Reduccion de Householder-Hessenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913 1 1.1 8.4.4 Rotaciones y reexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917 1 8.5 Aproximacion de valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923 1 1.1 8.5.1 Metodo de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923 1 1.1 8.5.2 Deacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931 1 1.1 8.5.3 Iteracion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 937 1 1.1 8.5.4 Metodo QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939 1 1.1 8.5.5 Metodo QR con reduccion de Hessenberg y desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946 1 1.1 8.5.6 Metodo de Jacobi para aproximar valores y vectores propios de matrices simetricas 950 1 8.6 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956 A Conjuntos, demostraciones e induccin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 A A.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 1 1.1 A.1.1 Conjuntos, elementos y subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 1 1.1 A.1.2 Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 988 1 1.1 A.1.3 Reuniones e intersecciones de familias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992 A A.2 Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993 1 1.1 A.2.1 El metodo deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993 1 1.1 A.2.2 Metodos de demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 995 1 1.1 A.2.3 Bicondicional y deniciones, lemas y corolarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999 A A.3 Induccion matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002 B Nmeros complejos, campos y espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1011 B B.1 Numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1011 B B.2 Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017 B B.3 Polinomios sobre campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021 1 1.1 B.3.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021 1 1.1 B.3.2 Races y teorema fundamental del algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025 B B.4 Espacios vectoriales sobre otros campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026 B B.5 Aplicacion a la teora de deteccion y correccion de errores en codigos . . . . . . . . . . . . . . . 1030 C Demostraciones que fueron diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037 D Formas cannicas de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1055 E Respuestas a ejercicios seleccionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 Lista de smbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105 Alfabeto griego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108 Lista de aplicaciones adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109 Lista de programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111 ndice analtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113

12. Page (PS/TeX): 13 / 13, COMPOSITE Agradecimientos Deseo primeramente agradecer a Miguel Angel Toledo y a Ramon Orduna, quienes me invitaron a realizar este proyecto con McGraw-Hill, por el gran apoyo y paciencia que tuvieron desde el inicio hasta la culminacion de la obra, sin ellos hubiera sido imposible terminarla. Este libro lo escrib en el procesador de texto matematico y cientco LATEX y el trabajo editorial para su formacion fue considerable; deseo dar las gracias a Marcela Rocha y a Pablo Roig por todo el esfuerzo que hicieron para que el proyecto pudiera editarse en ese formato y por toda la ayuda que me brindaron en el transcurso de su elaboracion. La mayora de la las guras las constru utilizando los programas LaTeXPiX, TeXCad, GNUPLOT, TeXCad32 o LaTeX-CAD; deseo dar credito y reconocimiento a los autores de estos paquetes de distribucion gratuita por la magnca tarea que han realizado en esas herramientas de dibujo en el ambiente LATEX, las cuales facilitaron enormemente el trabajo graco en este libro. Tambien quiero reconocer la excelente labor de maquetacion por parte de Merc`e Aicart Martnez. Las imagenes 3D la maquina de la pagina 416 y los depositos interconectados de la gura 6-20, fueron disenadas por Ernesto Byas Lizardo y Ramon Nunez Serrania. Todos los dibujos de los circuitos electricos y los digrafos del captulo 6 los realizaron Miriam Del Valle y Samantha Del Valle. Los planos en tres dimensiones de la gura 1-2 los construyo Elien Rodrguez Del Valle. Ernesto y Miriam hicieron la revision, en computadora, de las respuestas numericas de muchos de los ejercicios propuestos y Miriam leyo el texto en su totalidad para localizar erratas. Mi mas sincero agradecimiento a todos ellos por la desinteresada ayuda que me brindaron. Doy gracias a las autoridades del campus Estado de Mexico, del Instituto Tecnologico y de Estudios Superiores de Monterrey, por las facilidades que me dieron para la realizacion de esta obra; y a Enrique Ortiz, de HP Calculators Latin America, por el soporte otorgado para la realizacion de la seccion 7.1. El doctor Francisco Delgado Cepeda, profesor del campus Estado de Mexico, leyo por completo el primer captulo; le agradezco mucho su colaboracion y valiosos comentarios. El doctor Fermn Acosta Magallanes, profesor del campus Estado de Mexico y de la UPIITA del IPN, sacrico mucho de su tiempo al leer casi en su totalidad el libro. Sus comentarios, observaciones y correcciones fueron de un enorme valor. Obviamente cualquier error tecnico en el texto es absolutamente mi responsabilidad. El interes constante que mantuvo Fermn en la realizacion de esta obra fue un gran estmulo para su culminacion y estare siempre agradecido con el. Cuando estaba escribiendo este trabajo, se presentaron algunos problemas serios en mi salud, y gracias a los cuidados y apoyo de mis hermanas Rosa Mara y Gabriela, mi hermano Manuel, mi cunado Jose Manuel Lara, mi doctora de cabecera Daniela Lara Del Valle, mis sobrinos Emmanuel Lara, Etzel Rodrguez, Rosa Mara Lara, Noem Del Valle, Alejandro Urban, y mis hijas Samantha y Miriam, ahora estoy escribiendo estas ultimas lneas. Espero que ellos sepan que pueden contar siempre conmigo como yo conte con ellos. XIII

13. Page (PS/TeX): 14 / 14, COMPOSITE XIV AGRADECIMIENTOS Escribir un libro, especialmente uno como este, es una labor en la que hay gran sacricio no solo del autor, sino tambien de los que son mas cercanos a el: su familia; en este caso mis hijas Samantha y Miriam. Su paciencia, amor y comprension fueron el principal incentivo para llegar al nal de este proyecto. Finalmente quiero agradecer a Ruben Dario Santiago Acosta, director del Departamento de Ma- tematicas y Fsica del campus Estado de Mexico, por su valiosa cooperacion para la realizacion de este libro. En la vida de todo ser humano existen periodos en que los avatares son mas intensos y frecuentes; el lapso para realizar esta obra fue una de esas etapas para m. Ruben fue en todo momento un apoyo y, aunque la suerte no siempre esta de mi lado, soy muy afortunado por tener a un gran amigo como el.

14. Page (PS/TeX): 15 / 15, COMPOSITE Prlogo Este libro tiene su germen en las notas del curso semestral de algebra lineal que he impartido a lo largo de varios anos en el Instituto Tecnologico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de Mexico, las cuales son el esqueleto de lo que ahora pretendo mostrar como un cuerpo ya con piel y completo, que se desarrollo gracias a la experiencia adquirida a traves de todos esos anos. El objetivo principal es presentar a detalle y profundidad los principales temas del algebra lineal, mostrando la utilidad de esta materia por medio de una gran variedad de aplicaciones a otros campos y a las propias matematicas. Integrando la teora, la practica, el uso de tecnologa y los metodos numericos de esta disciplina. El libro esta disenado de tal manera que se puede usar para un curso de uno o dos semestres, depen- diendo de los programas de estudio de cada institucion y de la profundidad con la que se desee tratar cada tema. En el primer caso conviene cubrir las partes I y II, exceptuando los apartados 4.2, 5.3.3 y 5.3.4. Para el segundo caso, se recomiendan todos los temas de las partes I y II, las formas canonicas de Jordan del apendice D y el material adicional que se incluye en el sitio web del libro. En ambas modalidades se pueden incluir las secciones que se consideren adecuadas de la parte III, especialmente las aplicaciones del captulo 6. Como su nombre lo indica, Algebra lineal para estudiantes de ingeniera y ciencias esta orientado para ser utilizado tanto en escuelas de ingeniera como en escuelas de ciencias, ya sea a nivel licenciatura o posgrado. Los requisitos academicos para la comprension del material son las matematicas elementales que se cubren a nivel medio superior (algebra, geometra analtica y calculo diferencial e integral). La mayora de los estudiantes que toman un curso de algebra lineal, salvo los que cursan la ca- rrera de matematicas, se enfrentan por primera vez a una materia en la que se tienen que hacer demostraciones de teoremas y proposiciones matematicas utilizando el metodo logico-deductivo; es la principal dicultad que entrana un curso de esta naturaleza para el lector profano en el campo del rigor matematico. Sin embargo, en algebra lineal la mayora de las demostraciones son constructi- vas; es decir, la prueba de un teorema es en s un algoritmo para resolver una serie de importan- tes problemas; lo cual representa una ventaja didactica para poder iniciarse en el rigor logico de las matematicas. Aun tomando en consideracion esa ventaja, aprender en que consiste probar rigurosa- mente proposiciones matematicas no es facil. Para apoyar al estudiante en esta tarea, el apendice A.2 contiene una breve introduccion al metodo deductivo y a los metodos de demostracion en matematicas disenada para que el lector pueda estudiarla por cuenta propia o con un poco de ayuda de su profesor, a traves de casos concretos y con un mnimo de conocimientos previos que seguramente todo estudiante, a este nivel, posee. En estos tiempos, donde la credulidad y las pseudocien- cias son estimuladas mediaticamente como instrumentos de mercadotecnia para vender productos que curan todos los males incluyendo los polticos y sociales, el escepticismo, como una cultura de lo que se arma se demuestra, debera ser cultivado por el Homo sapiens moderno y el algebra lineal es una excelente oportunidad para iniciarse, al menos en la parte matematica, en esa cultura. XV

15. Page (PS/TeX): 16 / 16, COMPOSITE XVI PR OLOGO He dividido el libro en tres partes que, desde mi punto de vista, conforman lo que es el algebra lineal. Las primeras dos contienen el nucleo teorico de la materia. La parte I matrices, sistemas lineales, determinantes e inversas de matrices es la mas elemental y es la columna vertebral en la que se apoya el resto del libro; mientras que la II espacios vectoriales, producto interior, normas, valores y vectores propios es el corpus de ese nucleo que incluye los temas mas relevantes del algebra lineal. Estos dos segmentos constituyen los primeros cinco captulos de la obra, y en ellos he intentado exponer el signicado matematico del algebra lineal. En la parte III que contiene los ultimos tres captulos del texto, a traves de diversas aplicaciones en el captulo 6, he tratado de hacer patente la utilidad practica que tiene esta importante materia. Los calculos numericos en algebra lineal pueden llegar a ser muy complejos aritmeticamente y tomar demasiado tiempo realizarlos; afortunadamente en esta epoca contamos con tecnologa para apoyarnos en esta tarea. En el captulo 7, inclu el uso de la tecnologa en el algebra lineal, especcamente con MATLAB y la calculadora HP 50g; y EXCEL, para programacion lineal. Sin embargo, una exposicion del algebra lineal que no muestra las dicultades inherentes que se presentan al hacer calculos numericos en esta materia y como resolverlas matematicamente, es incompleta. Por esta razon, el captulo nal contiene una introduccion relativamente profunda de los principales metodos numericos que se utilizan en algebra lineal; con mas de 32 programas en MATLAB de esos algoritmos para ser utilizados o modicados, en este u otro lenguaje, por el estudiante a su conveniencia. Al escribir esta obra intente tener siempre presentes los obstaculos a los que se enfrentan la mayora de los estudiantes de algebra lineal, el principal es el alto nivel de abstraccion de la materia. Para soslayar esta dicultad, el libro contiene mas de 200 guras con el proposito de crear imagenes que puedan ayudar al lector a visualizar fsica y geometricamente entes abstractos y convertirlos en conceptos mas concretos. Ademas, a lo largo de sus 8 captulos y 5 apendices, inclu mas de 450 ejemplos para apoyarlo a comprender la materia. Sin embargo, pense que esto no era suciente, pues el estudiante necesita ver como se resuelven ejercicios en algebra lineal, sobre todo aquellos que tienen contenidos altos de abstraccion; por esta razon incorpore, en la ultima seccion de cada uno de los primeros cinco captulos que conforman el nucleo principal del libro un grupo de ejercicios resueltos con detalle; en total forman un conjunto de mas de 230 ejercicios de calculos directos, demostraciones, etc., que junto con los ejemplos del texto suman un total de mas de 680 problemas completamente resueltos que el lector puede consultar segun lo necesite. Naturalmente, no basta con ver, se necesita hacer y, para ello, el libro contiene al nal de cada captulo una seccion de ejercicios propuestos al estudiante con respuestas a los ejercicios seleccionados en el apendice E para que practique a discrecion o de acuerdo con las instrucciones de su profesor; en total el libro cuenta con mas de 2300 ejercicios propuestos. Con el proposito de no interrumpir la exposicion de la teora en el texto y para facilitar su consulta, coloque aparte, en el captulo 6, las aplicaciones. Al principio de cada una de ellas se hacen explcitos los requisitos del material del texto y de otras disciplinas que se necesitan para su estudio. El nivel de las aplicaciones aumenta gradualmente desde el muy elemental hasta un nivel que demanda mucho mas esfuerzo para su comprension; sin embargo, confo que la utilidad nal que el estudiante encuentre en ellas bien valdra la pena el tiempo invertido para su estudio. De hecho, este captulo se puede abordar inmediatamente despues de que se cumplan los requisitos que senala la aplicacion correspondiente; por ejemplo, las aplicaciones de las secciones 6.1, 6.2, 6.4, 6.5 y 6.6, se pueden tratar en seguida que se ha cubierto el material de matrices y sistemas lineales (o en forma simultanea). Sin embargo, en el texto hay algunas aplicaciones que en realidad estan concatenadas a la teora por ejemplo, el tema de aproximacion optima en espacios normados, o la interesante teora de deteccion y correccion de errores en codigos binarios que esta al nal del apendice B, esas no las inclu en el captulo 6 y se encuentran dispersas a lo largo del libro; en la pagina 1109 hay una lista de ellas con referencias al lugar donde se

16. Page (PS/TeX): 17 / 17, COMPOSITE PR OLOGO XVII localizan en el texto. Una funcion semejante cumple el listado de la pagina 1110, que es una descripcion de los principales programas en MATLAB que contiene el libro y senala su ubicacion. Ademas, esta obra cuenta con una pagina donde el estudiante tendra acceso a diversos recursos: www.mhhe.com/uni/delvalleag1e. Espero que Algebra lineal para estudiantes de ingeniera y ciencias cumpla con los propositos para los que fue creado, sirva de apoyo a la labor docente de los profesores que trabajan educando en esta materia y que vosotros, estudiantes, encuentren en el no solo donde aprender algebra lineal, sino que tambien disfruten de ese proceso como yo lo hice al escribir cada una de las lneas de este libro (tambien sufr, ojala ustedes no). Mexico D.F., primavera de 2011 JUAN CARLOS DEL VALLE SOTELO

18. Page (PS/TeX): 1 / 1, COMPOSITE I Matrices, sistemas y determinantes

20. Page (PS/TeX): 3 / 3, COMPOSITE 1 Matrices y sistemas lineales En este captulo se introducen los conceptos basicos que se requieren para estudiar algebra lineal. Co- menzamos en la primera seccion con el tema fundamental de matrices. Las matrices se crearon para operar ciertos arreglos numericos que aparecen tanto en aplicaciones como en las propias matematicas. Continuamos en la segunda seccion con el estudio general de sistemas de ecuaciones lineales. Los sistemas de ecuaciones lineales tienen una gran variedad de aplicaciones en ciencias e ingeniera y seguramente el lector ya tuvo algun contacto con ellos en forma elemental en secundaria y bachillerato; aqu nos abocamos a un estudio general y profundo de este importante tema. La tercera seccion contiene un compendio de ejercicios resueltos de las dos secciones precedentes para que el lector consulte el mayor numero de ejemplos resueltos y un conjunto de ejercicios propuestos para que los resuelva el estudiante. 1.1 Matrices 1.1.1 Deniciones y ejemplos Denicion 1.1 Una matriz A es un arreglo de m-renglones o las y n-columnas de m n numeros reales: A = a11 a12 a1n a21 a22 a2n ... ... ... ... am1 am2 amn . Se dice entonces que A es una matriz de tamano mn y simbolicamente se escribe A = [ai j] , i = 1,2,...,m; j = 1,2,...,n. Esto es, ai j representa el numero que se encuentra en la la i y en la columna j. A los elementos ai j se les llaman las componentes (entradas) de la matriz A. Nota 1.1 1. Los parentesis rectangulares se pueden suplir por parentesis circulares en notaciones matriciales. En este libro emplearemos parentesis rectangulares. 3

21. Page (PS/TeX): 4 / 4, COMPOSITE 4 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales 2. En el caso particular de que una matriz tenga tamano 1 1 escribiremos simplemente a en lugar de [a]; es decir, identicaremos toda matriz [a] con el numero real a. Ejemplo 1.1 Si A = 2 3 5 4 2 1 , A es una matriz 23 y, para este caso, a11 = 2, a12 = 3, a13 = 5, a21 = 4, a22 = 2, a23 = 1. Nota 1.2 Al conjunto de matrices de tamano mn lo denotaremos, en este libro, por Mmn. Denicion 1.2 Dos matrices A = [ai j], B = [bi j] son iguales (A = B) si y solo si: A y B tienen el mismo tamano y ai j = bi j i, j. Ejemplo 1.2 De acuerdo con la denicion precedente 1 3 9 5 7 2 = 1 3 9 5 6 2 . Ejemplo 1.3 Determinar el valor de a para que las matrices A = a 1 1 2a y B = 2 1 1 4 sean iguales. Solucion Dado que ambas matrices tienen el mismo tamano ellas seran iguales si y solo si coinciden componente a componente; para lo cual es suciente que a = 2 y 2a = 4; esto es, para a = 2. Ejemplo 1.4 Resolver el ejemplo anterior si A = a 0 3 3a y B = 1 0 3 4 . Solucion Para que las matrices sean iguales se requiere, en este caso, que a = 1 y 3a = 4, luego se debe tener simultaneamente a = 1 y a = 4/3; lo cual es imposible. Por tanto A = B para cualquier valor de a. 1.1.2 Operaciones con matrices 1. Multiplicacion de un escalar1 con una matriz. Si R y A = [ai j] Mmn se dene A = [ai j]. Es decir, el resultado de multiplicar una matriz con un escalar es la matriz que tiene como componentes cada una de las entradas de la matriz original multiplicada por dicho escalar. 2. Suma de matrices. Si A,B Mmn, A = [ai j], B = [bi j]; se dene la suma de A con B como A+B = [ci j], con ci j = ai j +bi j i, j. As, la suma de dos matrices solo se puede realizar cuando estas tienen el mismo tamano y el resultado es tambien una matriz mn. 11 Diremos que todo numero real es un escalar.

22. Page (PS/TeX): 5 / 5, COMPOSITE SECCI ON 1.1 Matrices 5 3. Multiplicacion de una matriz la por matriz columna.2 a11 a12 a1n b11 b21 bn1 = a11b11 +a12b21 +a1nbn1. De acuerdo con esta denicion, el producto de una matriz la con una matriz columna solo se puede llevar a cabo cuando la primera tiene tamano 1n y la segunda n1 (las dos tienen el mismo numero de componentes) y el resultado de la operacion sera una matriz 1 1 (un numero real). 4. Producto de una matriz mn con una matriz n p. Si A = [ai j] Mmn y B = [bi j] Mnp, el producto de A con B se dene como AB = [ci j] donde ci j = n k=1 aikbk j , para i = 1,2,...,m y j = 1,2,..., p. Es decir, la componente ci j del producto AB es el resultado de multiplicar la i-esima la de A con la j-esima columna de B. Ademas, para poder efectuar el producto, la primera matriz debe tener el mismo numero de columnas que de las la segunda y la matriz AB tiene entonces tamano m p. En forma equivalente, si Fi, i = 1,...,m, son las las de A y Cj, j = 1,..., p, son las columnas de B, entonces AB = F1C1 F1C2 F1Cp F2C1 F2C2 F1Cp ... ... ... ... FmC1 F2C2 FmCp (1.1) Ejemplo 1.5 Hola 2 1 0 1 2 2 4 1 3 2 4 0 5 = 2 0 2 2 2 2 2 4 2 2 3 2 2 4 2 0 5 2 Si A = 2 4 1 5 2 0 y B = 4 5 2 1 0 1 , entonces A+B = 6 9 1 4 2 1 . 1 0 2 4 5 2 1 0 0 4 = = (1)(2)+(0)(1)+(2)(0) + (4)(0)+(5)(4) 22. Note que en este caso la matriz la tiene tamano 1 5 y la columna 5 1 (las dos tienen el mismo numero de componentes). 12 Una matriz la es una matriz que tiene solamente un renglon y una matriz columna es una matriz que tiene una sola columna (cfr. inciso 3 de la pag. 8).

23. Page (PS/TeX): 6 / 6, COMPOSITE 6 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales Ejemplo 1.6 Si A = 1 2 4 0 2 1 y B = 1 2 4 5 0 1 0 2 1 0 0 1 , A M23, B M34; el producto AB esta denido (el numero de columnas de A es igual al numero de las de B, en este caso 3) y el producto AB sera una matriz 24, dos las y cuatro columnas (tantas las como A y tantas columnas como B). Para obtener las componentes ci j de las las de la matriz producto AB procedemos de la manera siguiente. La primera la de AB: Los elementos de la primera la de AB se obtienen multiplicando, sucesi- vamente, la primera la de A con la primera, segunda, tercera y cuarta columas de B: c11 = 1 2 4 1 0 1 = 5, c12 = 1 2 4 2 1 0 = 4, c13 = 1 2 4 4 0 0 = 4, c14 = 1 2 4 5 2 1 = 5. La segunda la de AB: Los elementos de la segunda la de AB se obtienen multiplicando, sucesi- vamente, la segunda la de A con la primera, segunda, tercera y cuarta columas de B: c21 = 0 2 1 1 0 1 = 1, c22 = 0 2 1 2 1 0 = 2, c23 = 0 2 1 4 0 0 = 0, c24 = 0 2 1 5 2 1 = 5. Luego, AB = 5 4 4 5 1 2 0 5 .

24. Page (PS/TeX): 7 / 7, COMPOSITE SECCI ON 1.1 Matrices 7 En realidad, la notacion matricial esta disenada para ejecutar mecanica y mentalmente los calculos cuando el tamano de las matrices no es muy grande; por eso el lector debe procurar, en la medida de lo posible, aprovechar esta ventaja para efectuar las operaciones de esta manera. De hecho, a partir de aqu, el lector ya no encontrara un producto de matrices realizado con el detalle con el que se hizo en el ejemplo precedente; pues utilizaremos sistematicamente (1.1) para producto de matrices y haremos los calculos sin hacer explcitas las operaciones. Ejemplo 1.7 1 0 1 2 1 1 3 2 0 0 1 1 1 1 1 0 1 2 = F1C1 F1C2 F1C3 F2C1 F2C2 F2C3 F3C1 F3C2 F3C3 = 0 2 1 1 0 3 2 5 5 . 1.1.3 Matrices especiales 1. Matriz cero. La matriz cero de tamano m n se dene como aquella que tiene las m n componentes nulas; esto es, O = [ai j] donde ai j = 0 i, j. As, por ejemplo, O = 0 0 0 0 0 0 es la matriz cero 23. 2. Matriz identidad nn: In = 1 0 0 0 1 0 ... ... ... ... 0 0 1 ; es decir, In = [ai j], donde ai j = 1, si i = j; 0, si i = j. As, por ejemplo, I3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 es la matriz identidad 33.

25. Page (PS/TeX): 8 / 8, COMPOSITE 8 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales 3. Como mencionamos en el inciso 3 de la subseccion 1.1.2, a las matrices que tienen solo una la o solo una columna les llamaremos, respectivamente, matrices la y matrices columna. Ademas, en este libro utilizaremos una notacion especial en el caso de las matrices columna (cuando tengan mas de un elemento) analoga a la notacion vectorial b = a11 a21 ... an1 . La razon de esta notacion se vera mas adelante cuando se estudie el espacio vectorial Rn en el captulo 3. A las matrices de tamano n n les llamaremos matrices cuadradas de orden n y al conjunto for- mado por estas lo denotaremos por Mn. Si A = [ai j] es una matriz cuadrada de orden n se dice que los elementos a11, a22, a33,..., ann forman o estan en la diagonal de la matriz A. Y si A = [ai j] Mmn, diremos que los elementos ai j con i = j forman la diagonal principal de la matriz A. Ejemplo 1.8 Si M = 1 5 0 2 7 3 1 1 3 0 4 2 1 5 9 7 entoncesm11 = 1,m22 = 3,m33 = 4,m44 = 7sonloselementosdeladiagonalde la matriz cuadrada M. Denicion 1.3 Una matriz cuadrada A de orden n es triangular superior si las componentes que estan por debajo de la diagonal son todas nulas. La matriz es triangular inferior si las componentes que estan por arriba de la diagonal son todas iguales a cero. Ejemplo 1.9 Si A = 1 5 0 2 0 3 1 1 0 0 4 2 0 0 0 7 y B = 1 0 0 0 5 3 0 0 2 0 4 0 6 0 4 0 , entonces A es una matriz triangular superior y B es una matriz triangular inferior. Denicion 1.4 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es una matriz diagonal si todas las componentes fuera de su diagonal son nulas. Si aii = i, i = 1,2,...,n, son las componentes de la diagonal de esta matriz se escribe A = diag(1,2,...,n) para representar a la matriz diagonal A.

26. Page (PS/TeX): 9 / 9, COMPOSITE SECCI ON 1.1 Matrices 9 Ejemplo 1.10 La matriz cuadrada 4 0 0 0 3 0 0 0 8 es diagonal. Esto es, A = diag(4,3,8). Denicion 1.5 Si A = [ai j] Mmn se dene la matriz transpuesta de A como At = [bi j], donde bi j = aji para i = 1,2,...,n y j = 1,2,...,m. De la denicion 1.5 se desprende que At tiene tamano nm y que en la matriz transpuesta la primera columna es la primera la de A, la segunda columna es la segunda la de A, etcetera. Denicion 1.6 Una matriz A es simetrica cuando At = A. La denicion 1.6 entrana que una matriz simetrica es necesariamente cuadrada; pues si A Mmn y A es simetrica, entonces A = At Mnm, de donde m = n; ya que dos matrices que son iguales deben tener el mismo tamano. Ejemplo 1.11 Si A = 1 2 3 4 5 6 7 8 , At = 1 5 2 6 3 7 4 8 . Ejemplo 1.12 La matriz A = 1 2 2 3 es simetrica pues claramente A = At . 1.1.4 Propiedades de las operaciones A continuacion enunciamos las principales propiedades de las operaciones con matrices, las cuales son, en general, faciles de probar y su comprobacion se deja como ejercicio al lector. 1. Si A,B,C Mmn y , R: (a) A+B Mmn. (b) A+(B+C) = (A+B)+C.

27. Page (PS/TeX): 10 / 10, COMPOSITE 10 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales (c) A+B = B+A. (d) A+O = A, donde O es la matriz cero mn. (e) Existe una matriz A Mmn tal que A+(A) = O. De hecho, si A = [ai j], A = [ai j]. (f) A Mmn. (g) (A) = ()A. (h) (+)A = A+A. (i) (A+B) = A+B. (j)3 1A = A. 2. (a) Si A, B, C son matrices tales que los productos A(BC) y (AB)C estan denidos, entonces A(BC) = (AB)C. (b) Si AB esta denido se tiene: (AB) = (A)B = A(B). (c) Si A Mmn, AIn = ImA = A. (d) En general AB = BA. (e) Si A Mmn y B,C Mnp , entonces A(B+C) = AB+AC. 3. (a) Si A y B son matrices del mismo tamano (A+B)t = At +Bt . (b) Si A, B son matrices tales que el producto AB esta denido, entonces (AB)t = Bt At . (c) (At )t = A A Mmn. Es conveniente que el lector tenga siempre presente la propiedad 2(d); es decir, la no conmutatividad del producto de matrices. Pues es claro que en principio el hecho de que el producto AB este denido, no garantiza que ni siquiera el producto BA este denido; por ejemplo, si A es una matriz 2 3 y B es una matriz 34, el producto AB esta denido y el producto BA no. Mas aun, aunque los productos AB y BA esten denidos estos, en general, seran distintos como ilustramos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.13 1 1 3 2 1 0 2 4 = 3 4 7 8 , 1 0 2 4 1 1 3 2 = 1 1 14 10 ; esto es, 1 1 3 2 1 0 2 4 = 1 0 2 4 1 1 3 2 Finalizamos este apartado con las demostraciones, en los siguientes dos ejemplos, de un par de propiedades simples del producto de matrices que seran utilizadas mas adelante. 13 Mas adelante, en el tema de espacios vectoriales, se vera la importancia de esta aparentemente inocua propiedad.

28. Page (PS/TeX): 11 / 11, COMPOSITE SECCI ON 1.1 Matrices 11 Ejemplo 1.14 Sean A = [ai j] Mmn y C = [bi j] Mnp. Si ck = b1k b2k ... bnk es la columna k de C y dk es la columna k de AC, k = 1,2,..., p, demostrar que dk = Ack k. Esto es, AC = Ac1 Ac2 Acp (1.2) DEMOSTRACI ON Sean i j las componentes del producto AC, entonces, para cada k = 1,2,..., p, dk = 1k 2k ... mk ; pero ik = ai1 ai2 ain b1k b2k ... bnk = n j=1 ai jbjk; por tanto, dk = n j=1 a1jbjk n j=1 a2jbjk ... n j=1 am jbjk . (1.3) Por otra parte, Ack = a11 a12 a1n a21 a22 a2n ... ... ... ... am1 am2 amn b1k b2k ... bnk = n j=1 a1jbjk n j=1 a2jbjk ... n j=1 am jbjk . (1.4) De (1.3) y (1.4) se tiene Ack = dk k.

29. Page (PS/TeX): 12 / 12, COMPOSITE 12 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales Ejemplo 1.15 Supongamos ahora que A = [ai j] Mmn y c = x1 x2 ... xn , entonces, x1 a11 a21 ... am1 +x2 a12 a22 ... am2 ++xn a1n a2n ... amn = a11 a12 a1n a21 a22 a2n ... ... ... ... am1 am2 amn x1 x2 ... xn . (1.5) En efecto: x1 a11 a21 ... am1 +x2 a12 a22 ... am2 ++xn a1n a2n ... amn = x1a11 x1a21 ... x1am1 + x2a12 x2a22 ... x2am2 ++ xna1n xna2n ... xnamn = a11x1 +a12x2 ++a1nxn a21x1 +a22x2 ++a2nxn ... am1x1 +am2x2 ++amnxn = Ac. 1.1.5 Matrices con numeros complejos En este apartado se introduce, por primera vez en este libro, el uso de numeros complejos en algebra lineal; especcamente en el tema de matrices con componentes complejas. El apendice B contiene un breve estudio de este importante campo numerico y de sus principales propiedades, y el lector que no este habituado a trabajar con numeros complejos, o necesite repasar este tema, debera consultar la seccion B.1 de este apendice cuanto antes. A lo largo de este texto se incluyen apartados que contienen el uso de numeros complejos en temas que ya se han tratado con numeros reales. En general, la transicion en cada caso sera muy sencilla, pues una vez que se dominan los temas de algebra lineal con numeros reales los cambios para tratar estos con numeros complejos son mnimos y, en realidad, las dicultades tienen que ver mas con la familiaridad que tenga el lector con el uso de numeros complejos que con aspectos aridos de generalizacion. De hecho, el uso de este campo numerico en algebra lineal se va haciendo cada vez mas necesario en la medida que se avanza en la materia, tanto en la teora como en las aplicaciones. Se han incluido este tipo de subsecciones para ir acostumbrando al lector al uso de los numeros complejos en algebra lineal. Obviamente, el lector que no desee en este momento abordar estos temas puede omitirlos y regresar a ellos cuando lo juzgue pertinente. Recordemos (cfr. apendice B) que los numeros complejos tienen la forma a+bi

30. Page (PS/TeX): 13 / 13, COMPOSITE SECCI ON 1.1 Matrices 13 donde a,b son numeros reales e i es la unidad imaginaria. Al conjunto de estos numeros se les representa por C y este campo incluye de manera natural a los numeros reales mediante la identicacion del numero real a con el numero complejo a + 0i. Estos numeros se operan algebraicamente de manera analoga a los numeros reales, utilizando todas las propiedades de estos y conviniendo en que la unidad imaginaria en este sistema satisface4 i2 = 1. De esta manera, operar algebraicamente matrices con componentes complejas es un proceso completamente analogo al que se utiliza cuando estas tienen entradas que son numeros reales. Es decir, se suman, restan, multiplican, etc., en la misma forma que las matrices reales, pero operando sus componentes con las reglas algebraicas de los numeros complejos. Al conjunto de matrices de tamano mn con componentes complejas lo denotaremos por Mmn(C). Todas las propiedades acerca de matrices con componentes reales que vimos en esta seccion siguen siendo validas para las matrices con entradas complejas. Ejemplo 1.16 Sean A,B M23(C) las matrices denidas por A = 12i 4i 2 35i 4+6i 9i y B = 37i 54i 29i 5i 76i 1+i . Entonces 1. A+B = 12i 4i 2 35i 4+6i 9i + 37i 54i 29i 5i 76i 1+i = 49i 58i 49i 3 11 18i . 2. 5A = 5 12i 4i 2 35i 4+6i 9i = 510i 20i 10 1525i 20+30i 45i . 3. (3+2i)B = (3+2i) 12i 4i 2 35i 4+6i 9i = 74i 812i 6+4i 199i 26i 1827i . Aqu hemos realizado las operaciones (3+2i)(12i) = 36i+2i4i2 = 34i4(1) = 34i+4 = 74i, 14 En la seccion B.1 del apendice B se hace un estudio mas detallado y formal de los numeros complejos.

31. Page (PS/TeX): 14 / 14, COMPOSITE 14 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales para obtener la componente c11 de (3+2i)B; (3+2i)(4i) = 12i8i2 = 12i8(1) = 812i, para obtener la componente c12 de (3+2i)B; etcetera. Ejemplo 1.17 Sean A = 1+i 2 i 23i y B = i 3 2+5i 2i 1i 0 , entonces AB = 1+i 2 i 23i i 3 2+5i 2i 1i 0 = (1+i)(i)+2(2i) (1+i)(3)+2(1i) (1+i)(2+5i)+2(0) (i)(i)+(23i)(2i) (i)(3)+(23i)(1i) (i)(2+5i)+(23i)(0) = 1+3i 5+i 3+7i 5+4i 18i 52i . 1.2 Sistemas lineales Seguramente el lector esta familiarizado, por cursos mas elementales, con sistemas simultaneos de dos o tres ecuaciones lineales con dos o tres incognitas. Se les llama sistemas lineales porque, para el caso de dos incognitas, digamos x, y, las ecuaciones tienen la forma ax+by = c, cuyos lugares geometricos corresponden a lneas rectas en el plano. Cuando se resuelve un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incognitas, se busca el punto de interseccion de dos lneas rectas (si es que estas no son paralelas). Aqu estu- diaremos sistemas lineales generales de m ecuaciones con n incognitas siendo m y n cualquier par de numeros enteros no negativos. Los sistemas lineales tienen una gran variedad de aplicaciones en ingeniera y ciencias; veremos algunas de estas aplicaciones en el captulo seis. y x xy = 1 x+y = 3

32. Page (PS/TeX): 15 / 15, COMPOSITE SECCI ON 1.2 Sistemas lineales 15 1.2.1 Deniciones, soluciones y forma matricial de sistemas lineales Denicion 1.7 Un sistema de m-ecuaciones con n-incognitas que tiene la forma a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm (1.6) donde los ai j ,bi R, i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n, estan dados, es lineal. Una solucion de este sistema de ecuaciones es una n-ada ordenada (1,2,...,n) de numeros reales, tales que al hacer las sustituciones x1 = 1 x2 = 2 ... xn = n en cada una de las m-ecuaciones las convierte en identidades. Ejemplo 1.18 El sistema de dos ecuaciones con tres incognitas 2x1 3x2 x3= 4 (1.7) x1 + x2 +x3= 3 (1.8) es lineal y (1,2,4) es una solucion del mismo. En efecto, al sustituir x1 = 1, x2 = 2 y x3 = 4 en la primera ecuacion (1.7) se tiene 2(1)3(2)(4) = 4 y al hacer las mismas sustituciones en la segunda ecuacion (1.8), (1)+(2)+(4) = 3. Ejemplo 1.19 El sistema de dos ecuaciones con dos incognitas x2 1 3x2 = 1 x 1/2 1 + x2 = no es lineal (por que?). Si se tiene el sistema lineal (1.6) a A = a11 a12 a1n a21 a22 a2n ... ... ... ... am1 am2 amn

33. Page (PS/TeX): 16 / 16, COMPOSITE 16 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales se le llama la matriz de coecientes del sistema. En tal caso, si ponemos x = x1 x2 xn y b = b1 b2 bm , entonces el sistema lineal se puede escribir en forma matricial como Ax = b, pues al hacer el producto se obtiene a11x1 + a12x2 + + a1nxn a21x1 + a22x2 + + a2nxn am1x1 + am2x2 + + amnxn = b1 b2 bm que equivale, por denicion de igualdad de matrices, al sistema (1.6). Ejemplo 1.20 Para el sistema 33 x1 + x2 + 2x3 = 9 2x1 + 4x2 3x3 = 1 3x1 + 6x2 5x3 = 0 la matriz de coecientes es A = 1 1 2 2 4 3 3 6 5 y la ecuacion matricial correspondiente es 1 1 2 2 4 3 3 6 5 x1 x2 x3 = 9 1 0 . Denicion 1.8 El sistema mn Ax = b es: Consistente: si tiene al menos una solucion. Inconsistente: si no tiene soluciones. En la gura 1-1 se ilustran los lugares geometricos de cuatro sistemas lineales en el plano: con solucion unica (a), inconsistentes (b) y (c) y con una innidad de soluciones (d).

34. Page (PS/TeX): 17 / 17, COMPOSITE SECCI ON 1.2 Sistemas lineales 17 (a) (b) (c) (d) Figura 1-1 (a) dos lneas que se intersecan en un solo punto, (b) dos lneas paralelas que no se intersecan, (c) tres lneas que no se intersecan simultaneamente y (d) dos lneas que coinciden. De manera analoga, una ecuacion lineal con tres incognitas, ax + by + cz = d, corresponde al lugar geometrico de puntos que estan en un plano en el espacio tridimensional. Tambien en este caso, cuando se resuelven sistemas lineales con tres incognitas, se buscan intersecciones de los correspondientes planos. Nuevamente los planos pueden no intersecarse, intersecarse en una innidad de puntos o intersecarse en un unico punto. La gura 1-2 ilustra estas posibilidades. Figura 1-2 Planos que se intersecan, respectivamente, en una lnea recta, en un unico punto y que no tienen interseccion simultanea. Denicion 1.9 Dos sistemas lineales del mismo tamano, Ax = b, Hx = c, son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. En el siguiente ejemplo resolveremos un sistema lineal de manera analoga a como el lector, seguramente, ya lo ha hecho en cursos de bachillerato; sin embargo, lo haremos con un metodo que intro- ducira el importante algoritmo de Gauss; el cual consiste, esencialmente, en ir haciendo pivotes para eliminar variables (incognitas) y obtener un sistema equivalente en forma escalonada y nalmente resolverlo por sustitucion regresiva.

35. Page (PS/TeX): 18 / 18, COMPOSITE 18 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales Ejemplo 1.21 Resolvamos el sistema lineal x1 + x2 +2x3 = 9 (1.9) 2x1 +4x2 3x3 = 1 (1.10) 3x1 +6x2 5x3 = 0 (1.11) Para ello, con la ecuacion (1.9), eliminemos la variable x1 de las ecuaciones (1.10) y (1.11) multi- plicando5 (1.9) por 2 y sumando con (1.10); luego multiplicando (1.9) por 3 y sumando con (1.11); obteniendo el sistema equivalente: x1 +x2 +2x3 = 19 2x2 7x3 = 17 (1.12) 3x2 11x3 = 27 (1.13) De manera analoga, multiplicando (1.12) por 3, (1.13) por 2 y sumando los resultados, habremos hecho un pivote con la variable x2 de la ecuacion (1.12) para eliminar la variable x2 de la ecuacion (1.13), produciendo el sistema equivalente escalonado x1 + x2 + x3 = 9 2x2 7x3 = 17 x3 = 27 Finalmente, haciendo sustitucion regresiva, es decir, despejando y sustituyendo variables de este ultimo sistema de abajo hacia arriba, tenemos x3 = 3; x2 = 17+7(x3) 2 = 17+7(3) 2 = 2; x1 = 9x2 2x3 = 9(2)2(3) = 1. As, el sistema es consistente con solucion unica x = 1 2 3 . Podemos sintetizar el metodo del ejemplo precedente de la siguiente manera. Denotemos por Ri la i-esima ecuacion de un sistema lineal; la notacion Ri Ri + Rj signica que la ecuacion Ri se sustituye por la ecuacion que se obtiene de sumar veces la ecuacion Ri con veces la ecuacion Rj. Las operaciones algebraicas que hicimos en el ejemplo anterior se resumen en el siguiente esquema. 15 Cuando se multiplica una ecuacion por un numero, signica que ambos lados de la igualdad en dicha ecuacion se multiplican por ese numero; y cuando se suman dos ecuaciones, quiere decir que se suman miembro a miembro los correspondientes lados de la igualdad.

36. Page (PS/TeX): 19 / 19, COMPOSITE SECCI ON 1.2 Sistemas lineales 19 x1 +x2 +2x3 = 9 2x1 +4x2 3x3 = 1 3x1 +6x2 5x3 = 0 R2 2R1 +R2 R3 3R1 +R3 x1 +x2 +2x3 = 9 2x2 7x3 = 17 3x2 11x3 = 27 R3 3R2 +2R3 x1 +x2 +2x3 = 9 2x2 7x3 = 17 x3 = 3 En cada paso del proceso anterior se obtiene un sistema equivalente; es decir, con las mismas soluciones pero mas sencillo, hasta que el ultimo sistema equivalente esta escalonado y se puede resolver haciendo sustitucion regresiva. Es claro que en el ejemplo 1.21 y en la discusion anterior solo se trabajo con los coecientes, y que de las variables x1, x2 y x3 unicamente se utiliza la posicion que tienen en el arreglo. Se ve entonces que para resolver un sistema lineal Ax = b, basta trabajar con la matriz de coecientes A y el termino independiente b.6 Para ello, a continuacion damos el siguiente concepto. Denicion 1.10 Para el sistema lineal a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm o, en forma matricial, Ax = b con x = x1 x2 xn y b = b1 b2 bm , se dene la matriz aumentada (tambien se le llama matriz ampliada) del mismo como [A|b] = a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn b1 b2 bm El lado izquierdo en la particion [A|b] contiene la matriz de coecientes [ai j] y el lado derecho contiene los terminos independientes bi del sistema lineal. La denicion anterior provee una notacion muy simple para evitar, en un sistema lineal, escribir las variables y unicamente trabajar con los coecientes. La primera la de la matriz ampliada equivale a la ecuacion a11x1 +a12x2 ++a1nxn = b1, la segunda 16 Llamaremos termino independiente en un sistema lineal Ax = b, a la matriz columna b y terminos independientes del mismo sistema a las respectivas componentes de este vector.

37. Page (PS/TeX): 20 / 20, COMPOSITE 20 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales la equivale a la ecuacion a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2, etc., y la ultima la equivale a la ecuacion am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm. La lnea vertical en la particion [A|b] unicamente sirve para hacer notoria la columna que contiene los terminos independientes bi del sistema lineal; y de hecho se puede omitir, si as se desea, cuando se conviene en que la ultima columna de la matriz aumentada contenga el termino independiente b del sistema. Resolveremos ahora, en el siguiente ejercicio, el ejemplo 1.21 utilizando la matriz aumentada. Ejemplo 1.22 Para este caso, haciendo las mismas operaciones que en la discusion posterior al ejemplo 1.21, pero esta vez a los renglones de la matriz ampliada se tiene: 1 1 2 2 4 3 3 6 5 9 1 0 R2 2R1 +R2 R3 3R1 +R3 1 1 2 0 2 7 0 3 11 9 17 27 R3 3R2 +2R3 1 1 2 0 2 7 0 0 1 9 17 3 y, al hacer sustitucion regresiva como se hizo en ese ejemplo (cfr. pag. 18), x1 x2 x3 = 1 2 3 . Hasta aqu, aunque se ha utilizado en forma intuitiva el signicado de sistema escalonado, no se ha precisado con exactitud. En la siguiente subseccion nos abocamos a ello. 1.2.2 Matrices escalonadas y sistemas escalonados Denicion 1.11 La matriz A Mmn esta en forma escalonada si se cumplen las siguientes dos condiciones. Las las nulas (si existen)7 estan por debajo de las las no nulas. El primer elemento distinto de cero de cada la no nula esta a la derecha del primer elemento diferente de cero de las las precedentes.8 Ejemplo 1.23 Si A = 0 1 2 3 5 3 0 0 1 0 2 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y B = 1 2 4 0 3 0 1 2 3 4 0 0 1 0 2 0 0 2 3 0 0 0 0 0 0 , A esta en forma escalonada pero B no. 17 Una la es nula si todas sus entradas son ceros; una la es no nula si por lo menos una de sus componentes es distinta de cero. 18 En el caso que el primer elemento distinto de cero este en la primera la, se sobreentiende que la condicion se cumple por vacuidad.

38. Page (PS/TeX): 21 / 21, COMPOSITE SECCI ON 1.2 Sistemas lineales 21 Denicion 1.12 Al primer elemento distinto de cero de cada la no nula, de una matriz en forma escalonada, se le llama pivote. Denicion 1.13 Un sistema Hx = c esta escalonado si la matriz ampliada [H |c] es una matriz escalonada. A las variables que correspondan a pivotes en un sistema escalonado se les llamaran variables ligadas (o principales o basicas) y a las restantes variables libres (o no basicas). Ejemplo 1.24 En el sistema escalonado 46 1 0 3 2 1 5 0 0 5 0 1 1 0 0 0 0 7 6 0 0 0 0 0 5 2 3 7 0 , hay pivotes en las columnas 1, 3, 5 y 6; que corresponden, respectivamente, a las variables x1, x3, x5 y x6. As que estas variables son ligadas y x2, x4 son variables libres. Entonces, para resolver un sistema escalonado al hacer sustitucion regresiva, se despejan las variables ligadas dejandolas en funcion de las variables libres procediendo de abajo hacia arriba, en el caso que el sistema tenga variables libres; en caso contrario, simplemente se despejan las variables ligadas actuando tambien de abajo hacia arriba. Ejemplo 1.25 Resolver los siguientes sistemas lineales escalonados. 1. 5 1 3 0 3 5 0 0 2 3 8 4 2. 1 3 0 5 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4 7 1 0 3. 1 3 5 0 1 2 0 0 0 3 2 1 Solucion 1. En este caso, x1, x2 y x3 son todas variables ligadas, el sistema no tiene variables libres y x3 = 4/2 = 2; x2 = 85x2 3 = 6; x1 = 3+x23x3 5 = 3. Es decir, x1 x2 x3 = 3 6 2 es la unica solucion.

39. Page (PS/TeX): 22 / 22, COMPOSITE 22 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales 2. Para este sistema escalonado x1, x3 y x5 son las variables ligadas; mientras que x2 y x4 son las variables libres. Entonces x5 = 1, x3 = 72x4, x1 = 4+3x2 5x4; lo cual indica que al dar valores concretos arbitrarios a las variables libres x2 y x4 se obtiene una solucion. As, el conjunto de soluciones de este sistema es innito y esta dado por: {(x1,x2,x3,x4,x5)|x5 = 1, x3 = 72x4, x1 = 4+3x2 5x4; x2,x4 R}. Una manera mas compacta de expresar las soluciones es: x1 x2 x3 x4 x5 = 4+3s5r s 72r r 1 ; r,s R. Al dar valores concretos a r y s se obtendra una solucion particular; por ejemplo, si r = 0 y s = 0, es facil darse cuenta que x1 x2 x3 x4 x5 = 4 0 7 0 1 resuelve el sistema de ecuaciones. 3. Para este sistema no pueden existir numeros reales x1,x2,x3 tales que 0x1 +0x2 +0x3 = 1; es decir, el sistema no tiene solucion, es inconsistente. 1.2.3 Operaciones de renglon para matrices, equivalencia por las y soluciones 1.2.3 de sistemas escalonados Motivados en los metodos de la subseccion precedente para resolver sistemas lineales, denimos las siguientes operaciones de renglon (la) para matrices. Operaciones elementales de renglon para matrices 1. Intercambio de las: Ri Rj. 2. Cambio de escala: Ri Ri ( = 0). 3. Suma de las: Ri Ri +Rj ( = 0). Las cuales signican, respectivamente: La la i se intercambia con la la j. La la i se cambia por la misma la multiplicada por . La la i se cambia por la suma de -veces la la i con -veces la la j.

40. Page (PS/TeX): 23 / 23, COMPOSITE SECCI ON 1.2 Sistemas lineales 23 Matrices equivalentes Denicion 1.14 Sean A, B Mmn. B es equivalente por las a la matriz A (o simplemente equivalente a A), si B se puede obtener de la matriz A al aplicarle una sucesion nita de operaciones elementales de renglon. Si B es equivalente a A escribiremos B A o B A. Ejemplo 1.26 Si A = 1 2 3 4 5 2 3 1 0 1 y B = 1 2 3 4 5 0 7 7 8 9 , B A; pues B se obtiene de A mediante la operacion de renglon R2 2R1 +R2 No es difcil probar el siguiente teorema. Teorema 1.1 Si A, B Mmn, entonces 1. A A. (Reexividad) 2. A B B A. (Simetra) 3. A B y B C A C. (Transitividad) Del teorema precedente inciso 2, se ve que ya no es necesario decir que B es equivalente a A, pues en tal caso simplemente podremos enunciar que A y B son equivalentes. Al aplicar operaciones de renglon a un sistema se obtiene un sistema equivalente. Es decir: Teorema 1.2 Si [A|b] [H |c], entonces los sistemas Ax = b y Hx = c tienen las mismas soluciones. Es claro que siempre se pueden aplicar operaciones de la a una matriz A, de manera adecuada, para obtener una matriz escalonada equivalente a ella. Lo cual hacemos patente en la siguiente proposicion. Teorema 1.3 Toda matriz es equivalente por las al menos a una matriz en forma escalonada. Soluciones de sistemas escalonados Del ejemplo 1.25 (cfr. pag. 21) se conjetura el siguiente teorema, cuya demostracion es sencilla y se deja como ejercicio al lector.

41. Page (PS/TeX): 24 / 24, COMPOSITE 24 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales Teorema 1.4 Sea un sistema Ax = b y supongamos que [H |c] es un sistema (cualquier sistema) escalonado equivalente; es decir, [A|b] [H |c], entonces 1. Ax = b es inconsistente si y solo si [H |c] tiene una la de ceros en el lado izquierdo y un elemento no nulo en el lado derecho de la particion (ejemplo 1.25 inciso 3). 2. Ax = b tiene solucion unica si y solo si es consistente y [H |c] tiene pivote en todas las columnas en el lado izquierdo de la particion (ejemplo 1.25 inciso 1). 3. Ax = b tiene innidad de soluciones si y solo si es consistente y [H |c] no tiene pivote en alguna columna en el lado izquierdo de la particion (ejemplo 1.25 inciso 2). Nota 1.3 Es claro, del teorema anterior, que un sistema consistente tiene solucion unica cuando una forma escalonada equivalente no tiene variables libres. un sistema consistente tiene una innidad de soluciones cuando una forma escalonada equivalente tiene variables libres. 1.2.4 Metodo de Gauss El metodo de Gauss sirve para llevar una matriz a una forma escalonada equivalente aplicando operaciones de renglon. Bosquejamos el metodo por medio del siguiente algoritmo: Supongamos que A es una matriz mn no nula (si A es la matriz cero, A esta en forma escalonada). G1: Se busca una la en A que tenga su primer elemento distinto de cero y se intercambia (si es necesario) con la primera la de la matriz A; si no existe una la de A que tenga su primer elemento no nulo, entonces se busca una la de la matriz A que tenga el segundo elemento distinto de cero y se intercambia (si es necesario) con la primera la de la matriz A; de no suceder as, se busca una la de A que tenga el tercer elemento distinto de cero y se intercambia (si es necesario) con la primera la de A, etc.; obteniendo nalmente una matriz B1 A con un primer elemento no nulo en la primera la que llamaremos pivote (en este caso de la primera la). Por ejemplo, si A = 0 4 1 3 3 4 0 7 1 1 3 5 , entonces una operacion de renglon para llevar a cabo este paso puede ser R1 R3, resultando la equivalencia de matrices A 0 4 1 3 3 4 0 7 1 1 3 5 B1 1 1 3 5 3 4 0 7 0 4 1 3 . El pivote de la primera la de la matriz B1 es b1 11 = 1.

42. Page (PS/TeX): 25 / 25, COMPOSITE SECCI ON 1.2 Sistemas lineales 25 G2: Con el pivote de la primera la de B1 se transforman en ceros los elementos que estan por debajo de el mediante la operacion suma de las, obteniendo una matriz B2 B1 A, que tendra todas las componentes nulas debajo del pivote de la primera la. Por ejemplo, con el caso particular ilustrado en el paso anterior podemos hacer ceros los elementos debajo del pivote 1 de la primera la de la matriz B1 mediante la operacion R2 3R1 +R2 para obtener la matriz B2; es decir, B1 1 1 3 5 3 4 0 7 0 4 1 3 B2 1 1 3 5 0 1 9 8 0 4 1 3 G3: Ahora se repiten los pasos G1 y G2 con la segunda la de la matriz B2, produciendo una matriz B3 B2 B1 A cuyas componentes seran nulas debajo del pivote de su segunda la. Para el caso particular ilustrado, el pivote de la segunda la de la matriz9 B2 es b2 22 = 1. Se pueden hacer ceros los elementos debajo del mismo mediante la operacion R3 4R2 +R3, esto es B2 1 1 3 5 0 1 9 8 0 4 1 3 B3 1 1 3 5 0 1 9 8 0 0 37 29 G4: Se repiten los pasos G1, G2 y G3 con las las subsecuentes de las matrices equivalentes que resulten, hasta obtener una matriz H en forma escalonada de acuerdo a la denicion 1.11. Para el caso ilustrado previamente, la matriz B3 ya esta en forma escalonada; con lo que A 0 4 1 3 3 4 0 7 1 1 3 5 B3=H 1 1 3 5 0 1 9 8 0 0 37 29 terminara el proceso para este ejemplo particular. Nota 1.4 1. El lector debe tener en mente que el proposito fundamental del metodo de Gauss es obtener una matriz en forma escalonada equivalente a una matriz dada, mediante el uso de las operaciones elementales de renglon en cualquier combinacion. As que el algoritmo anterior solo es una gua para este proposito. Cualquier modicacion es valida siempre y cuando se empleen unicamente las operaciones de renglon para matrices y se alcance el objetivo de obtener una matriz en forma escalonada equivalente por las a la matriz inicial. 2. A lo largo de este texto haremos uso de oraciones informales como llevar la matriz A a forma escalonada. Este tipo de oraciones en realidad deben interpretarse como obtener una forma 19 El numero 2 en b2 22 de esta notacion juega el papel de un suprandice, haciendo referencia a la matriz B2 y no de un exponente.

43. Page (PS/TeX): 26 / 26, COMPOSITE 26 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales escalonada equivalente a la matriz A, que sera la manera apropiada de expresar este tipo de instrucciones; pero, ya que esa forma escalonada equivalente se obtiene a partir de la matriz A, nos permitiremos ese tipo de frases sacricando rigor en aras de brevedad en el lenguaje. Sin embargo, es conveniente que el lector tenga siempre presente el signicado preciso de esas oraciones coloquiales. Ejemplo 1.27 Obtener una matriz equivalente por las a la matriz A = 2 4 2 2 2 4 3 4 4 8 3 2 0 0 1 2 que este en forma escalonada.10 Solucion A = 2 4 2 2 2 4 3 4 4 8 3 2 0 0 1 2 R1 (1/2)R1 1 2 1 1 2 4 3 4 4 8 3 2 0 0 1 2 R2 2R1 +R2 R3 4R1 +R3 1 2 1 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 R3 R2 +R3 R4 R2 +R4 1 2 1 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 = H La matriz resultante, H, esta en forma escalonada y es equivalente a la matriz A. Metodo de Gauss para resolver sistemas lineales Ejemplo 1.28 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el metodo de Gauss. x1 2x2 + x3 x4 = 4 2x1 3x2 + 2x3 3x4 = 1 3x1 5x2 + 3x3 4x4 = 3 x1 + x2 x3 + 2x4 = 5 Solucion Para resolver el problema llevaremos la matriz aumentada a una forma escalonada y haremos sustitucion regresiva.11 110 Hemos marcado en color rojo los pivotes en cada paso para que el lector recuerde que el proposito es ir haciendo ceros, mediante las operaciones de renglon indicadas, los elementos debajo de ellos. 111 De aqu en adelante, salvo algunas excepciones, ya no indicaremos las operaciones de renglon que se requieren para obtener una forma escalonada equivalente a una matriz, pues el objetivo es utilizar la notacion matricial para auxiliarse y hacer todos los calculos mecanica y mentalmente.

44. Page (PS/TeX): 27 / 27, COMPOSITE SECCI ON 1.2 Sistemas lineales 27 1 2 1 1 2 3 2 3 3 5 3 4 1 1 1 2 4 1 3 5 1 2 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 4 9 9 9 1 2 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 9 0 0 . As, las variables ligadas son x1, x2 y las libres x3, x4. Y x2 = 9+x4; x1 = 4+2x2 x3 +x4 = 14+ 3x4 x3. La solucion esta dada entonces por: x1 x2 x3 x4 = 14+3r s 9+r s r ; r,s R. Sistemas con la misma matriz de coecientes Es frecuente en la practica tener que resolver sistemas con la misma matriz de coecientes pero con distintos terminos independientes; por ejemplo, los sistemas x2y+3z = 2 x+4y+5z = 7 (1.14) y r 2s+3t = 1 r +4s+5t = 4 (1.15) tienen la misma matriz de coecientes, 1 2 3 1 4 5 , y terminos independientes 2 7 y 1 4 , respectivamente. En lugar de resolverlos cada uno por separado, podemos solucionarlos simultaneamente colocando en el lado derecho de la particion de la matriz ampliada las dos columnas que contienen los dos terminos independientes, llevar a forma escalonada y resolver por sustitucion regresiva para la primera columna y despues para la segunda: 1 2 3 1 4 5 2 1 7 4 1 2 3 0 2 8 2 1 5 3 . (1.16) Resolviendo para la primera columna tenemos y = 5 2 4z, x = 2+2y3z = 311z; as que x y z = 311 5 2 4 , R, es la solucion para el sistema (1.14). Resolviendo ahora para la segunda columna de (1.16) obtenemos s = 3 2 4t, r = 1+2s3t = 211t; es decir, r s t = 211 3 2 4 , R, es la solucion del sistema (1.15).

45. Page (PS/TeX): 28 / 28, COMPOSITE 28 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales 1.2.5 Metodo de Gauss-Jordan y sistemas con solucion unica Denicion 1.15 Una matriz esta en forma escalonada reducida si: 1. Esta en forma escalonada. 2. Arriba de cada pivote las componentes (si hay) son nulas. 3. Todos los pivotes son unos. Ejemplo 1.29 La matriz 1 0 2 0 0 1 8 0 0 0 0 1 0 0 0 0 esta en forma escalonada reducida. Metodo de Gauss-Jordan Para llevar una matriz a forma escalonada reducida se procede de la manera siguiente: 1. Se lleva la matriz a forma escalonada mediante el metodo de Gauss. 2. Se hacen ceros todos los elementos arriba de cada pivote utilizando el metodo de Gauss de abajo hacia arriba. 3. Se convierten en unos todos los pivotes mediante la operacion de renglon cambio de escala. Empleando el metodo de Gauss-Jordan se puede probar el teorema que enunciamos a continuacion. Teorema 1.5 Toda matriz es equivalente por las a una y solo una matriz en forma escalonada reducida.12 Ejemplo 1.30 Obtener la forma escalonada reducida equivalente a la matriz A por el metodo de Gauss-Jordan si A = 2 1 0 3 4 3 1 2 0 3 5 4 0 1 2 . Solucion 2 1 0 3 4 3 1 2 0 3 5 4 0 1 2 (1) 2 1 0 3 4 0 5 4 9 6 0 13 0 13 16 (2) 2 1 0 3 4 0 5 4 9 6 0 0 52 52 2 112 Compare con el teorema 1.3, pagina 23.

46. Page (PS/TeX): 29 / 29, COMPOSITE SECCI ON 1.2 Sistemas lineales 29 (3) 2 1 0 3 4 0 5 4 9 6 0 0 26 26 1 (4) 2 1 0 3 4 0 65 0 65 80 0 0 26 26 1 (5) 2 1 0 3 4 0 13 0 13 16 0 0 26 26 1 (6) 26 0 0 26 36 0 13 0 13 16 0 0 26 26 1 (7) 1 0 0 1 18/13 0 1 0 1 16/13 0 0 1 1 1/26 . Donde, para facilitar su comprension, esta vez hemos indicado las operaciones de renglon en cada paso del (1) al (7), senalando los pivotes en azul mas claro cuando se hacen ceros los elementos por debajo de los mismos y en rojo cuando se hacen ceros los elementos por encima de los pivotes. (1): R2 3R1 + 2R2, R3 5R1 + 2R3; (2): R3 13R2 + 5R3; (3): R3 (1/2)R3; (4): R2 2R3 + 13R2; (5): R2 (1/5)R2; (6): R1 13R1 R2; (7): R1 (1/26)R1, R2 (1/13)R2, R3 (1/26)R3. Nota 1.5 A diferencia de la forma escalonada reducida de una matriz, que es unica, es claro que al hacer operaciones de renglon a una matriz A para obtener una matriz en forma escalonada equivalente, se pueden obtener diferentes matrices. Sin embargo, para cualquier par de matrices en forma escalonada equivalentes a la matriz A se cumple: 1. Las dos matrices tienen el mismo numero de pivotes. 2. Los pivotes se encuentran en las mismas posiciones en ambas matrices; es decir, si una matriz tiene un pivote en la componente ij la otra tambien tiene un pivote en esta componente. Ilustramos la nota 1.5 en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.31 Sea A = 2 3 1 1 5 4 1 0 1 2 1 2 3 1 1 , entonces 2 3 1 1 5 4 1 0 1 2 1 2 3 1 1 2 3 1 1 5 0 5 2 1 8 0 1 5 1 3 2 3 1 1 5 0 5 2 1 8 0 0 23 4 23 = H1

47. Page (PS/TeX): 30 / 30, COMPOSITE 30 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales y 2 3 1 1 5 4 1 0 1 2 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 4 1 0 1 2 2 3 1 1 5 1 2 3 1 1 0 7 12 3 2 0 1 5 1 3 1 2 3 1 1 0 1 5 1 3 0 7 12 3 2 1 2 3 1 1 0 1 5 1 3 0 0 23 4 23 = H2. As A H1, A H2; H1 y H2 estan en forma escalonada, H1 = H2; ambas matrices tienen el mismo numero de pivotes y se encuentran en las mismas posiciones en las dos matrices. Sistemas lineales y metodo de Gauss-Jordan Los sistemas lineales tambien se pueden resolver utilizando el metodo de Gauss-Jordan para llevar la matriz ampliada a forma escalonada reducida y realizar sustitucion regresiva, como hacemos patente en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.32 Resolver el siguiente sistema mediante el metodo de Gauss-Jordan x1 2x2 + x3 + 3x4 = 1 x1 + x2 + 2x4 = 2 2x1 x2 + x3 + 5x4 = 1 Solucion Llevemos la matriz ampliada a la forma escalonada reducida: 1 2 1 3 1 1 0 2 2 1 1 5 1 2 1 1 2 1 3 0 1 1 5 0 3 1 1 1 1 3 1 2 1 3 0 1 1 5 0 0 2 14 1 1 6 1 2 1 3 0 1 1 5 0 0 1 7 1 1 3 1 2 0 4 0 1 0 2 0 0 1 7 4 2 3 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 1 7 0 2 3 .

48. Page (PS/TeX): 31 / 31, COMPOSITE SECCI ON 1.2 Sistemas lineales 31 Al hacer sustitucion regresiva tenemos x3 = 37x4, x2 = 22x4 y x1 = 0; luego la solucion viene dada por x1 x2 x3 x4 = 0 22r 37r r ; r R. Sistemas con solucion unica En este breve apartado damos criterios para determinar cuando hay solucion unica en un sistema utilizando la forma escalonada reducida, los cuales son faciles de probar utilizando el teorema 1.4. Sea A Mmn: 1. Caso m > n. Sea Ax = b un sistema lineal consistente, entonces las dos condiciones siguientes son equivalentes ((a) (b)): (a) El sistema A

Algebra lineal para estudiantes de ingenieria y ciencias

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