TEMAS

*Método de Gauss Jordan*Matriz Transpuesta*Matriz Simétrica*Matriz Inversa

Gauss Johann Carl Friedrich* Johann Carl Friedrich Gauss . (30 de abril de 1777,

Brunswick – 23 de febrero de 1855, Göttingen), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

Sustento del Método*El método de Gauss Jordan esta sustentado en las siguientes operaciones entre renglones.*Fila(Renglón ) por un escalar

Donde β es un escalar (Numero real).*Suma entre Filas (Renglones)

1 2 3 1 2 3*( , , ) , ,a a a a a a

1

1 2 3

1

2 3

1 2 31 1

, ,, ,

, ,

a a a

ab b ba ab b b

Matriz aumentada*Teniendo como base un sistema de ecuaciones 3x3 de la forma:

Se construye la matriz aumentada como sigue:

11 12 13

21 22 23

31 32 3

1 2 3

1 2 3

1

2

31 332

* * ** * ** * *

a a aa a a

x x xx x xx x xa a

b

bab

CoeficientesVariablesresultados

11 12 13

21 22 23

31

1

2

33 332

a a aa a aa a

bbba

Resultado esperado*A partir de la aplicación de operaciones entre Filas, el método de eliminación de Gauss Jordán busca la transformación de la matriz aumentada a la forma:

Donde X1=R1; X2=R2; y X3=R3

1

2

3

111

0 00 00 0

RRR

Diagonal Principal con unosFuera de la diagonal principal con cerosResultados para cada variable Xn

Pasos para aplicar el Método*Para la consecución del resultado esperado el método de

Gauss Jordan plantea los siguientes pasos para su aplicación.*Primero debemos hacer garantizar el primer uno como valor para el

coeficiente a11.

*Después mediante operaciones entre renglones cancelamos los valores de los elementos restantes de la primera columna (a21, a31). *Después debemos transformar el valor del coeficiente a22 a el valor

de 1 .*Después mediante operaciones entre renglones cancelamos los

valores de los elementos restantes de la segunda columna (a12, a32).

El proceso se repite para los demás términos de la matriz hasta obtener la matriz deseada.

Ejemplo de Aplicación*Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 3x3 , empleando el método de eliminación de Gauss Jordan:

Primero construimos la matriz aumentada como sigue:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

* * ** * *2 4 64 5 63 1 2

182

* * *44

x x xx x xx x x

CoeficientesVariablesresultados

18244

2 4 64 5 63 1 2

Ejemplo de Aplicación*Para garantizar el primer uno para el coeficiente a11 multiplicamos la primera fila por 1/2.

11*2

2 18 924 2

4 6 1 2 344 5 6 4 5 6

3 1 2 3 1 24 4

F

En esta operación se ve afectada la fila uno F1, las demás permanecen sin

modificación.

Ejemplo de Aplicación*Ahora debemos transformar en ceros los

coeficientes restantes de la columna a21, a31 , para tal efecto operamos la fila 1 (F1) por -4 y sumamos el resultado a la fila 2 (F2). De manera similar operamos la fila 1 (F1) por -3 y sumamos el resultado a la fila 3 (F3).

1 2

31

4*3*

1 2 3 1 2 34 5 6 0 3 63 1 2 0 5 11

9 924 124 23

FF

FF

En esta operación se ven afectada la fila

dos F2 y la fila 3 F3, la fila 1 F1 permanece sin modificación.

Ejemplo de Aplicación*Con base en lo expuesto anteriormente seguimos operando la matriz obtenemos el uno en la posición a22.

21*3

1 2 3 1 2 30 3 6 0 1 20 5 11 0 5 1

9 912 423 1 23

F

Ejemplo de Aplicación*Transformamos en ceros los demás coeficientes de la columna 2.

1

3

2

2

2*5*

1 2 3 1 0 10 1 2 0 1 2

9 14

0 5 11 0 0 14

23 3

FF

FF

Ejemplo de Aplicación*Transformamos a uno el valor de la posición a33

31*

1 11 0 1 1 0 10 1 2 0 1 20 0 1 0 0 1

4 43 3

F

Ejemplo de Aplicación*Transformamos en ceros los demás coeficientes de la columna 3.

*De esta manera tenemos la solución del sistema como sigue:

1

3 2

31*2*

1 0 1 1 0 00 1 2 0 1 00 0 1 0 0 31

1 44 23

FFFF

X1=4; X2=-2; y X3=3

Lección #2*Calcular el determinante de:

*Forme matrices triangulares superiores y calcule los determinantes de:

Lección #2*Forme matrices triangulares superiores y calcule los determinantes de:

MATRIZ TRANSPUESTASea una matriz A=(aij) una matriz de mxn . Entonces su matriz

transpuesta será At=(aji) es de nxm y se obtiene tomando las filas de la matriz A como columnas para la matriz AT y por ende las columnas de la matriz A serán las filas de la matriz At.

32321112

A

23312112

tA

MATRIZ SIMÉTRICAUna matriz Anxn es simétrica si y sólo si At = A. Para que una matriz sea simétrica se debe cumplir que aij = aji .

1. Si una matriz es triangular superior, triangular inferior o diagonal entonces su determinante es igual a la multiplicación de los elementos de la diagonal principal.

MATRIZ INVERSASea A una matriz de nxn . Si existe una matriz Anxn

-1 tal que AA-1 = A-1 A = I, se dice que A es inversible. En este caso la matriz Anxn

-1 se llama la matriz inversa de A.Si A-1 existe entonces A es una matriz no singular, pero si

A-1 no existe entonces A es una matriz singular.TEOREMAA-1 Existe si y sólo si Para calcular matrices inversas, usaremos la siguiente formula:

0A

MATRIZ INVERSA*Ejercicio # 1

MATRIZ INVERSAEJERCICIO # 2

PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA

TALLER # 31

2

TALLER # 33

4

TALLER # 41

72352332

yxyxyx

Resuelva el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss-Jordan2

16356223532

zyxzyxzyx

TALLER# 3

1