Parte I

Grupos Clasicos de pequenas dimensiones

1. Determinantes y sus propiedades

Un determinante es una funcion que asigna un numero real a una matriz cuadrada mediantereglas determinadas. Si A ∈Mn(K), el determinante de la matriz A se nota |A| o det (A)

1.1. Calculo de determinantes

1.1.1. Determinantes de orden 2× 2

Sea A ∈M2(R), digamos A =

(a bc d

)El determinante de orden 2× 2 de la matriz A, esta dado por:

|A| = det (A) =

(a bc d

)= ad− bc

Ejemplo 1.1.

Hallar el determinante de la siguiente matriz A =

(4 −28 −4

)Solucion.

detB =

(4 −28 −4

)= 4(−4)− 8(−2) = −16− (−16) = −16 + 16 = 0

1.1.2. Determinantes de orden 3× 3

Sea A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

una matriz de orden 3× 3. Entonces:

det (A) = |A| = a11

(a22 a23a32 a33

)− a12

(a21 a23a31 a33

)+ a13

(a21 a22a31 a32

)Este procedimiento se llama calculo de determinantes de orden 3×3 por minorantes o menoresde la matriz A

Ejemplo 1.2.

Calcular el determinante de la siguiente matriz B =

2 4 61 2 37 2 1

Solucion.

det (B) = (2)

(2 32 1

)− (4)

(1 37 1

)+ (6)

(1 27 2

)= 2(2− 6)− 4(1− 21) + 6(2− 14)= −8 + 80− 72= 0

1

1.2. Regla de Sarrus para calcular determinantes de orden 3× 3

Para evaluar |A| =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

seguimos los siguientes pasos:

1. Se repiten las dos primeras filas a continuacion de la tercera, trazando diagonales deizquierda a derecha y de derecha a izquierda como se muestra la figura:

2. El determinante se obtiene como la diferencia entre la suma de los productos de loselementos sobre las diagonales de izquierda a derecha y la suma de los productos de loselementos sobre las diagonales de derecha a izquierda.|A| = (a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23)− (a31a22a13 + a11a32a23 + a21a12a33)

Ejemplo 1.3.

Calcular el determinante de la matriz B =

2 4 10 0 27 4 8

Solucion.

2. Determinantes de orden n× n

Definicion 2.1. Menor i, j

El menor i, j de una matriz A de orden n × n denotado Mij , es la matriz de orden (n −1)× (n− 1) que resulta al suprimir la fila “i” columna “j” en la matriz A.

2

Ejemplo 2.1.

Encuentre los menores M11 y M33 de la matriz B =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Solucion.Para determinar el menor M11 suprimimos la fila 1 y la columna 1 en B

M11 =

(a22 a23a32 a33

)El menor M33 se obtiene eliminando la fila 3 y la columna 3 en la matriz B

M33 =

(a11 a12a21 a22

)Definicion 2.2. Cofactor i, j

El cofactor i, j de orden n× n denotado Cij , se define como:

Cij = (−1)i+j |Mij |

Donde Mij es el menor i, j de la matriz A

Ejemplo 2.2.

Halle los cofactores C11 y C21 de la matriz B =

3 7 10 2 94 6 5

Solucion.

C11 = (−1)1+1|M11| = (1)

(2 96 5

)= 10− 54 = −44

C21 = (−1)2+1|M21| = (−1)

(7 16 5

)= −(35− 6) = −29

2.0.1. Matriz de Cofactores

La matriz de los cofactores de A notada Cofact (A), esta formada por todos los cofactoresde A en sus correspondientes posiciones.

2.1. Signos de los cofactores

Los signos de los cofactores se pueden obtener partiendo de la posicion en la fila 1 columna1 en la matriz de cofactores, e intercalando signos mas y menos de izquierda a derecha y dearriba a abajo como se muestra a continuacion.

+ − + −− + − ++ − + −− + − +

Ejemplo 2.3.

3

Halle los factores de la matriz de cofactores de B =

4 2 11 2 37 2 1

Solucion.

C11 = (−1)1+1

(2 32 1

)= −4

C12 = (−1)1+2

(1 37 1

)= −(20) = 20

C13 = (−1)1+2

(1 27 2

)= −12

C21 = (−1)2+1

(2 21 1

)= 0

C22 = (−1)2+2

(4 17 1

)= −3

C23 = (−1)2+3

(4 27 2

)= 6

C31 = (−1)3+1

(2 12 3

)= 4

C32 = (−1)3+2

(4 11 3

)= −11

C33 = (−1)3+3

(4 21 2

)= 6

Ejemplo 2.4.

Halle la matriz de cofactores de A =

2 3 10 1 10 0 3

Solucion.

Ubicamos primero los signos de los cofactores.

+ − +− + −+ − +

A continuacion de cada signo colocamos los determinantes de los menores Mij de A

Cofact (A) =

+

(1 10 3

)−(

0 10 3

)+

(0 10 0

)−(

3 10 3

)+

(2 10 3

)−(

2 30 0

)(

3 11 1

)−(

2 10 1

)+

(2 30 1

)

Cofact (A) =

3 0 0−9 6 02 −2 2

El determinante de una matriz de orden n× n se puede calcular realizando un procedimientoque llamamos en cofactores por una fila o por una columna de la matriz A

Sea A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

4

Desarrollo en cofactores por la fila i

det (A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin i = 1, 2, 3, . . . , n

Desarrollo en cofactores por la columna j

det (A) = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj j = 1, 2, 3, . . . , n

Ejemplo 2.5.

Calcular el determinante de la matriz B =

2 4 61 2 37 2 1

Solucion.Vamos a desarrollarlo en cofactores por la fila 1.

Luego, los signos de los cofactores de la fila 1 son:

det (B) = +2

(2 32 1

)− 4

(1 37 1

)+ 6

(1 27 2

)= 2(2 − 6) − 4(1 − 21) + 6(2 − 14) =

−8 + 80− 72 = 0Vamos a desarrollarlo en cofactores por la columna 2 y teniendo en cuenta los signos de loscofacoes de la columna 2:

obtendremos

det (B) = −4

(1 37 1

)+ 2

(2 67 1

)− 2

(2 61 3

)= −4(1 − 21) + 2(2 − 42) − 2(6 − 6) =

80− 80 + 0 = 0

3. Propiedades de los determinantes

1. Si cada uno de los elementos de una fila o columna de un determinante es igual a cero,el valor del determinante es cero.Para matrices 3× 3 la propiedad anterior se puede ilustrar como:

5

a b c0 0 0g h i

= 0

a 0 cd 0 fg 0 i

= 0

2. El determinante de una matriz cuadrada n×n es igual al determinante de su transpuesta,det (A) = det (At)Para matrices 3× 3 la propiedad anterior se puede ilustrar como: a b c

d e fg h i

=

a d gb e hc f i

Observacion. Si A ∈ Mn(K) la matriz transpuesta de la matriz A; notada At, es lamatriz que se obtiene al intercambiar las filas por las columnas de una matriz.

3. Si una fila (o columna) de una matriz A es multiplo escalar de otra fila o columna,entonces det (A) = 0.Para matrices 3× 3 la propiedad anterior puede ilustrarse como:

a b cka kb kcg h i

= 0

a ka cd kd hg kg f

= 0

4. Si B es la matriz que resulta de intercambiar dos filas (o dos columnas) de A entonces,det (B) = −det (B).Para matrices 3× 3 la propiedad anterior puede ilustrarse como:

a b cd e fg h i

= −

g h id e ha b c

5. Si B es la matriz que resulta de multiplicar una fila (o una columna) de A por un escalark, entonces det (B) = kdet (B)Para matrices 3× 3 la propiedad anterior puede ilustrarse como: a b c

kd ke kfg h i

= k

a b cd e fg h i

6. Si B es la matriz que resulta de multiplicar una fila (o una columna) de A por un escalar

y sumarsela a otra fila (o columna, respectivamente), entonces det (B) = det (A)Para matrices 3× 3 la propiedad anterior puede ilustrarse como: a b c

ka+ d kb+ e kc+ fg h i

=

a b cd e fg h i

7. Sean A y B matrices de orden n× n, entonces det (AB) = det (A) · det (B)

6

3.1. Matriz Transpuesta

Es la matriz que se obtiene al intercambiar las filas por las columnas de una matriz, y senota At

A = An×m =⇒Transposicion=⇒ Am×n = At

Sea A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

=⇒ At = A =

a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2...

.... . .

...a1m a2m . . . anm

3.1.1. Propiedades de la Transpuesta

i) (At)t = A

ii) (k ·At) = k ·At

iii) (A •B)t = At •Bt

3.2. Matriz Ortogonal

Definicion 3.1.

Una matriz cuadrada es una matriz ortogonal si verifica

A •At = I = At •A

3.3. El conjugado de un numero complejo C

Se obtiene cambiando el signo de su componente imaginaria. Por lo tanto el conjugado deun numero complejo z = a+ ib donde a, b ∈ Z, es Z = a− ib

Ejemplo 3.1.

z = 2 + i =⇒ z = 2− iz = −2− 2i =⇒ z = −2 + 2i

3.4. Matriz Transpuesta conjugada Adjunta

La matriz transpuesta conjugada, o simplemente adjunta de una matriz A es una matrizA∗, obtenida de A mediante la obtencion de su transpuesta y despues de su conjugada com-pleja (o viceversa).La transpuesta conjugada de una matriz A = (aij) ∈ C es definida como A∗ = (aji), eltranspuesta de A y todas las posiciones aij conjugadas.

Observacion. Si A = (aji) ∈ R; A∗ = At

Si A es una matriz n×m sobre los complejos; A ∈Mn×m(C) de la forma:

7

A =

a11 a12 a13 . . . . . . . . . a1ma21 a22 a23 . . . . . . . . . a2ma31 a32 a33 . . . . . . . . . a3m...

......

. . ....

......

......

......

......

......

......

......

......

an1 an2 an3 . . . . . . . . . anm

Entonces la transpuesta conjugada se obtiene tomando el conjugado de cada elemento ydespues permutando filas por columnas o viceversa en la matriz A (obteniendo la matriztranspuesta)

A =

a11 a21 a2 . . . . . . . . . an1a12 a22 a23 . . . . . . . . . an2a13 a23 a33 . . . . . . . . . an3...

......

. . ....

......

......

......

......

......

......

......

......

a1m a2m a3m . . . . . . . . . anm

Ejemplo 3.2.

Determine A∗ para la matriz A =

4 + 3i 2 + i2− i 6i−1 1 + 3i

Solucion.

A =

4 + 3i 2 + i2− i 6i−1 1 + 3i

=

4− 3i 2− i2 + i −6i−1 1− 3i

A∗ = A

t=

(4− 3i 2 + i −12− i −6i 1− 3i

)3.5. Propiedades de la transpuesta conjugada

Si A,B son matrices complejas y α ∈ C, entonces se cumple que:

i) (A∗)∗ = A

ii) (αA)∗ = αA∗

iii) (A •B)∗ = A∗ •B∗

4. Grupo Lineal General (GL(n,R), •)GL(n,R) = {A ∈Mn×n(R)/ detA 6= 0}

Pertenecen a este grupo todas las matrices cuadradas de tamano n × n cuyos elementos dematriz son numeros reales y determinante distinto de cero. Este grupo es notado (GL(n,R), •)donde • representa el producto usual de matrices.Veamos que (GL(n,R), •) tiene estructura de grupo.

8

i) Clausura. Dados A,B ∈ GL(n,R) se debe concluir que A • B ∈ GL(n,R). Para ellodebemos ver que det (A •B) 6= 0Por un lado, en virtud de la teorıa de los determinantes det (A • B) = det (A) · det (B).Por otro lado como A,B ∈ GL(n,R) entonces det (A) 6= 0 y det (B) 6= 0. Luego,det (A •B) = det (A) · det (B) 6= 0

ii) Asociatividad. Dadas A,B,C ∈ GL(n,R), debemos concluir quedet [A • (B • C)] = det [(A •B) • C] 6= 0Por un lado, el producto de matrices es asociativo, es decir A · (B · C) = (A ·B) · CTambien como A,B,C ∈ GL(n,R) entonces, det (A) 6= 0, det (B) 6= 0, y, det (C) 6= 0

Por otro lado

det [A • (B • C)] = det (A) · det (B • C)= det (A) · (det (B) · det (C))= (det (A) · det (B)) · det (C)= det [(A •B) • C] 6= 0

iii) Existe In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

∈Mn(R) tal que ∀A ∈ GL(n,R), A • In = In •A = A.

Ademas puesto que det (In) = 1n = 1 6= 0, entonces In ∈ GL(n,R)

iv) Elemento Inverso. Puesto que ∀A ∈ GL(n,R), det (A) 6= 0 entonces A es invertible,es decir, ∀A ∈ GL(n,R) existe A−1 ∈ ∀A ∈ GL(n,R) tal que

A •A−1 = In = A−1 •A

Ademas

det(A−1

)= [det (A)]−1 =

1

det (A)6= 0

Observacion. Como el producto matricial no es conmutativo, entonces GL(n,R) no esabeliano.

5. Grupo Lineal Especial (SL(n,R), •)SL(n,R) = {A ∈Mn(R)/ det (A) = 1}

Pertenecen a este grupo todas las matrices A ∈ GL(n,R) tales que det (A) = 1. Veamos queSL(n,R) tiene tambien estructura de grupo.

i) Clausura. Debemos probar que si A,B ∈ SL(n,R) entonces A •B ∈ SL(n,R).En efecto A ∈ SL(n,R) significa que det (A) = 1, y, B ∈ SL(n,R) implica que det (B) =1. Ası, det (A •B) = det (A) · det (B) = 1 · 1 = 1, y ası, A •B ∈ SL(n,R)

9

ii) Asociatividad.Debemos mostrar que si A,B,C ∈ SL(n,R) entonces (A•B)•C = A•(B•C) ∈ SL(n,R)Para ello como el producto de matrices asocia entonces (A•B)•C = A•(B•C). Tambiencomo A,B,C ∈ SL(n,R) entonces, det (A) = 1, det (B) = 1, y, det (C) = 1

Por otro ladodet [A • (B • C)] = det (A) · det (B • C)

= det (A) · (det (B) · det (C))= (det (A) · det (B)) · det (C)= det [(A •B) • C] = 1

iii) Elemento Neutro.Para SL(n,R) el elemento identico es la matriz identica In pues det (In) = 1

iv) Elemento Inverso. Para cada A ∈ SL(n,R) como det (A) = 1 6= 0, existe y es unicasu inversa A−1 ∈ SL(n,R). En virtud de la teorıa de los determinantes:

det(A−1

)= [det (A)]−1 =

1

det (A)=

1

1= 1

Por tanto A−1 ∈ SL(n,R)

6. Grupo Ortogonal (O(n,R), •)O(n,R) = {A ∈Mn×n(R)/At •A = At •A = In}

i) Clausura. Para A,B ∈ O(n,R) debemos concluir que A •B ∈ O(n,R)Por definicion del conjunto O(n,R), debemos probar que:

(A •B)t • (A •B) = (A •B)t • (A •B) = In

En efecto(A •B)t • (A •B) = (Bt •At) • (A •B) Por Propiedad de la traspuesta

= Bt • (At •A) •B Por asociatividad= Bt • In •B Por definicion O(n,R)= Bt •B Por propiedad In= In Por definicion O(n,R)

Luego A •B ∈ O(n,R)

ii) Asociatividad. ∀A,B ∈ O(n,R) se debe cumplir que[(At •A) • (Bt •B)

]• (Ct • C) = (At •A) •

[(Bt •B) • (Ct • C)

]Como At •A = In, Bt •B = In, y, Ct •C = In entonces (In • In) • In = (In • In) = In ∈O(n,R) con lo cual se cumple la asociatividad.

iii) Existencia del elemento neutro.La matriz identica es In ∈Mn(R). In ∈ O(n,R), pues Itn = In, y In • Itn = In = Itn • InAdemas, ∀A ∈ O(n,R), In • (A •At) = In • In = In

iv) Existencia del elemento inverso. Por definicion del conjunto O(n,R), cada A ∈O(n,R) tiene su inverso A−1 = At ∈ O(n,R).Esto es cierto pues At • A = In, ası que(A−1) = At y (At)−1 = A

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7. Grupo Ortogonal Especial (SO(n), •)SO(n) = {A ∈ O(n)/ det (A) = 1}

i) Clausura. Para A,B ∈ SO(n) debemos concluir que A •B ∈ SO(n)En efecto, det (A •B) = det (A) · det (B) = 1 · 1 = 1 y ası A •B ∈ SO(n)

ii) Asociatividad. Como det (A) = 1 y SO(n) es un subgrupo de O(n) sebe satisfacer:(At •A) = At •A = In = det (At · 1) = 1 · det (At) = det (In) = 1 por lo tanto[(At •A) • (Bt •B)

]• (Ct • C) = (At •A) •

[(Bt •B) • (Ct • C)

]Como det (At•A) = det (In) = 1, det (Bt•B) = det (In) = 1 y det (Ct•C) = det (In) = 1se cumple la asociatividad.

iii) Existencia del elemento neutro.Existe In ∈Mn(R), y tambien In ∈ SO(n) pues det (In) = 1.Ademas ∀A ∈ SO(n), det (A • In) = det (A) · det (In) = det (In) · det (A) = det (In •A)

iv) Existencia del elemento inverso.Para cada A ∈ SO(n) existe su inverso, lo cual se sigue del hecho que det (A) = 1 6= 0.Ademas como A ∈ O(n) y en O(n) se tiene que At • A = In, entonces cada matriz es

invertible, y, A−1 = At con det (A−1) = det (At) =1

det (A)=

1

1= 1

8. Grupo Unitario (U(n), •)U(n) = {A ∈Mn(R)/A •A∗ = A∗ •A = In}

Donde A∗ significa la transpuesta de la conjugada de la matriz A

i) Clausura. Debemos probar que si A,B ∈ U(n) entonces A •B ∈ U(n)Como A,B ∈ U(n), entonces A •A∗ = A• ∗A = In, y, B •B∗ = B∗ •B = InLuego(A •B)∗ • (A •B) = (B∗ •A∗) • (A •B) Por propiedad de la traspuesta conjugada

= B∗ • (A∗ •A) •B Por asociatividad= B∗ • In •B Por definicion de U(n)= B∗ •B Por propiedad de In= In Por definicion de U(n)

Luego A •B ∈ U(n)

ii) Asociatividad. Si A,B,C ∈ U(n) entonces se debe cumplir que:[(A •A∗) • (B •B∗)] • (C • C∗) = (A • A∗) [(B •B∗) • (C • C∗)]. Como A,B,C ∈ U(n)por defincion, (A •A∗) = In, (B •B∗) = In, y, (C • C∗) = In. Entonces(In • In) • In = In • (In • In)

In • In = In • In Por propiedad de InIn = In Por propiedad de In

iii) Existencia del elemento neutro.La matriz identica In ∈ U(n) es el elemento neutro ya que 0 = 0 + 0i y 1 = 1 + 0i.Ademas ∀A ∈ U(n), In • (A •A∗) = In = (A •A∗)

iv) Elemento inverso.Cada A ∈ U(n) es invertible pues A •A∗ = In = A∗ •A, luego A−1 = A∗ y, (A∗)−1 = A

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9. Grupo Unitario Especial (SU(n), •)SU(n) = {A ∈ U(n)/ det (A) = 1}

Veamos que (SU(n), •) tiene estructura de grupo.

i) Clausura. Para A,B ∈ SU(n) veamos que A •B ∈ SU(n)Como A,B ∈ SU(n) se tiene que det (A) = 1, det (B) = 1, ahoradet (A •B) = det (A) · det (B) = 1 · 1 = 1 por lo tanto, A •B ∈ SU(n)

ii) Asociatividad. Para A,B,C ∈ SU(n) veamos que A • (B • C) = (A •B) • CComo en general, el producto de matrices es asociativo, entoncesdet [A • (B • C)] = det [(A •B) • C] = 1

iii) Existencia del elemento neutro.El elemento neutro de SU(n) es In ∈ SU(n). Donde:

In = (ijk) =

{1 = 1 + 0i si i = j0 = 0 + 0i si i 6= j

Ademas, dada A ∈ SU(n), A • In = In •A = A

iv) Existencia del elemento inverso.Como SU(n) ⊆ U(n) es claro qu cada elemento de SU(n) es un elemento de U(n)Luego, ∀A ∈ SU(n) se cumple que A •A∗ = In = A∗ •A. Lo cual garantiza la existenciade inversos, es decir, A es el de A∗ y recıprocamente.

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