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ÁLGEBRA – 2 AÑO

2 ÁLGEBRA

Profesor: Robert André Vega Catón

I BIMESTRE

2

ÁLGEBRA – 2 AÑO

Tabla de contenido SESIÓN 01: .................................................................................................................................................................... 3

SITUACION 01: FABRICACIÓN DE AUTOS ......................................................................................................... 3 TEORIA DE EXPONENTES ................................................................................................................................ 3

EJERCICIOS DE APLICACIÓN ............................................................................................................. 4 TAREA DOMICILIARIA .......................................................................................................................... 5

SESIÓN 02: .................................................................................................................................................................... 5

SITUACION 02: EL PROBLEMA DE LA BASURA .......................................................................................... 5 POLINOMIOS .......................................................................................................................................... 6

EJERCICIOS DE APLICACIÓN ............................................................................................................................. 7 TAREA DOMICILIARIA .......................................................................................................................................... 8

SESIÓN 03: .................................................................................................................................................................... 8 SITUACION 03: ¿CUÁNTAS CANICAS TENEMOS? ..................................................................................... 8 OPERACIONES CON POLINOMIOS ...................................................................................................... 8

EJERCICIOS DE APLICACIÓN ............................................................................................................................. 9 TAREA DOMICILIARIA ........................................................................................................................................ 10

SESIÓN 04: .................................................................................................................................................................. 11 SITUACION 04: EL PLANO DE MI CASA .................................................................................................... 11 POLINOMIOS ESPECIALES I ................................................................................................................. 11

EJERCICIOS DE APLICACIÓN ........................................................................................................................... 12 SESIÓN 05: .................................................................................................................................................................. 12

POLINOMIOS ESPECIALES II ................................................................................................................... 12 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ........................................................................................................................... 13 TAREA DOMICILIARIA ........................................................................................................................................ 14

SESIÓN 06: .................................................................................................................................................................. 14

PRODUCTOS NOTABLES I .................................................................................................................... 14 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ........................................................................................................................... 15 TAREA DOMICILIARIA ........................................................................................................................................ 15

SESIÓN 07: ................................................................................................................................................................ 15

PRODUCTOS NOTABLES II .................................................................................................................... 15 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ........................................................................................................................... 16 TAREA DOMICILIARIA ........................................................................................................................................ 17

3

ÁLGEBRA – 2 AÑO

Situación 01: FABRICACIÓN DE AUTOS Cuántos autos fabricar, es un problema que los fabricantes deben resolver todos los años. Si fabrican pocos pierden ventas, si fabrican muchos, tendrán capital retenido y afrontar gastos de almacenaje. Para resolver el problema sus economistas, en base a las ventas anteriores, la proyección económica del mercado y otros parámetros, deben obtener una expresión que calcule el número de autos a fabricar. Al igual que los fabricantes de autos nosotros también debemos equilibrar tus gastos para que de esta manera al fin de mes nos alcance el dinero, de acuerdo a tus ingresos y egresos.

¿Qué expresión algebraica te permitirá calcular la cantidad de dinero que gastas al mes? Analizamos… El profesor de algebra escribe tres operaciones en la pizarra y les pregunta a sus alumnos ¿Cuál de las igualdades es incorrecta?

SESIÓN 01: TEORÍA DE EXPONENTES

La Teoría de Exponentes, estudia todas las clases de exponentes que existen y las diferentes relaciones que existen entre ellos, mediante leyes. La operación que da origen al exponente es la Potenciación.

1) POTENCIACIÓN:

Donde

Ejm.:

2. RADICACIÓN:

Donde

3. LEYES DE EXPONENTES Y RADICALES:

0¹x62 2 2 2 2 2 2 64x x x x x= =

nn a b b a= Û =

ban =Índice

Radicando

Raíz

Pxxxxxxn == ........

Exponente

Base “n” veces

Potencia

Recuerda que:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

par

impar

par

impar

+ = +é ùë û

+ = +é ùë û

- = +é ùë û

- = -é ùë û

Recuerda que:

= Cantidad imaginaria

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

par

impar

impar

par i

+ = ±

+ = +

- = -

- =

I BIMESTRE

4

A) PRODUCTO DE BASES IGUALES:

B) COCIENTE DE BASES IGUALES:

C) PRODUCTO DE BASES DIFERENTES E IGUAL POTENCIA:

D) COCIENTE DE BASES DIFERENTES E IGUAL POTENCIA:

E) POTENCIA DE POTENCIA:

F) POTENCIA DE POTENCIA DE POTENCIA:

G) EXPONENTE NEGATIVO:

H) EXPONENTE CERO O NULO:

I) RAÍZ DE UNA POTENCIA:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1) Simplificar: E =

a) x3y b) x3y-1 c) x-3y

d) x-1y2 e) xy

2) Indicar verdadero o falso.

I. ; x ¹ 0

II.

III. ; "x Î R

a) VVV b) VFF c) FVF

d) FVV e) VVF

3) Señalar el exponente final de “x” en:

E = x ¹ 0

a) 40 b) 42 c) 44

d) 46 e) 48

4) Calcular:

a) 7 b) 49 c) 343

d) 1 e) 0

5) Calcular:

a) 1 b) 2 c) 4

.m n m na a a +=

; 0m

m nn

a a aa

-= ¹

( ). . mm ma b ab=

; 0mm

m

a a bb b

æ ö= ¹ç ÷è ø

( ) .nm m na a=

( )( ) . . .qpnm m n p qa aæ ö =ç ÷

è ø

1nnaa

- =n na b

b a

-æ ö æ ö=ç ÷ ç ÷è ø è ø

0 1 ; 0a a= ¹

mmn na a=

5 3

4 3x y x

y x

105

2x xx

=

322 256x x=

1 1xx

- =

52 4 3

23 4 2

x x (x )

(x ) x x

é ùê úë û

é ùê úë û

4 n n 2

3n 1 2 3n7 .7

7 .7

- -

- -

23 2 3 2 2 3(4 ) .2 .8 .(2 )- - - -

5

ÁLGEBRA – 2 AÑO

d) 8 e) 16

6) Efectuar:

a) 1 b) 50 c) 25

d) m e) m50

7) Calcular:

a) 4 b) 6 c) 5

d) 7 e) 8

8) Hallar: E =

a) 32 b) 33 c) 29

d) 34 e) 30

9) Efectuar: x2y3x4y5x6y7

a) x12 b) y15 c) xy

d) x12y15 e) xy15

10) Simplificar:

a) 162 b) 128 c) 256

d) 48 e) 96

TAREA DOMICILIARIA I

1) Calcular:

a) x b) nx c) xn

d) 1 e) N.A

2) Reducir: M =

a) 9 b) 3 c) 1

d) 1/3 e) 1/9

3) Reducir: E =

a) 150 b) 149 c) 151

d) 152 e) 148

4) Reducir:

a) 1/5 b) ¼ c) 1/3

d) 1/2 e) 1

Situación 2 El problema de la basura

¿Qué pasa con nuestra basura después que la recoge los carros basureros? Si, termina en las pampas de Reque, este es un problema que aqueja a la población recana por más de dos décadas. Diariamente los camiones repletos de basura van a vienen sin ningún control sobre

50 veces

50 50 50 50

50 veces

m m m ......mm.m.m.m.....m.m.m+ + +

!"""""#"""""$

%"""""&"""""'

12 3 1 1 21 1 1 12

3 2 5 7

- - - -é ùæ ö æ ö æ ö æ öê ú+ + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø è ø è øë û

6 15 4 17 7 2 91 0 3 02 2 0 55 3 7 4+ + +

5 7 9

8 3 62 x3 x44 x2 x3

( )( )

"2n" veces

"n" veces

x.x.x. .... .xM

x.x. ... .x=

!""#""$

%""&""'

2

4 x 2 3

2 2 2 x(3 ) .(3 )

(3 ) .(3 )

-

-

n 3 n 2 n

n5 5 5

5

+ ++ +

11 13 4

6 4 9 310 .3 .5

15 .12 .5 .6

I BIMESTRE

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ellos llevando consigo miles de kilos de basura entre orgánica e inorgánica. Si la cantidad de basura que llega a este botadero al día en toneladas es de P(X)=x2+5x-3, donde x nos representa la cantidad de días. ¿Cuántas tonelas de basura llegan en 5 días? ¿Cuántas tonelas de basura llegan en 10 días? SESIÓN 02: POLINOMIOS

Suma limitada de monomios, no semejantes.

Ejm.: • 4x2y3 + 2x4y2 – x3y

• x5 + x3 + 2x + 1

NOTACIÓN

Un polinomio cuya única variable es x puede

ser representado así: P(x)

Lo cual se lee: “P de x” o “P en x”

y significa: polinomio cuya única variable es x.

En general, un polinomio de (n + 1) términos

puede ser expresado así:

P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ………….. +

a0x0

Donde:

• x es la variable cuyo mayor exponente es

n.

• an, an-1, an-2, ……… a0 son los

coeficientes de P(x).

• an: coeficiente principal; an ¹ 0

• a0: término independiente.

GRADO ABSOLUTO (G.A.) Está representado por el monomio de mayor

grado.

P(x) = x7 + x5 + 4

GA = 7

P(x, y) = x12y5 + x4y + 4

GA = 17

GRADO RELATIVO (G.R.) Está representado por el mayor exponente de

la variable referida.

P(x, y) = 2x3y5 – 4x4y3 – 1y5

GR(x) = 4 , GR(y) = 5

Ejm.: En el siguiente polinomio:

P(x) = xa+1 + 2xa-3 + 7xa-5

Calcular el valor de “a” si GA = 14

Solución: El grado absoluto es:

a + 1 = 14

a = 13

Ejm.: En el polinomio:

P(x, y) = 7x2yb+4 – 5x3yb-1 –x2yb+7

Calcular el valor de “b” GRy = 10

Solución: El grado relativo con respecto a “y” es:

b + 7 = 10

b = 3

7

ÁLGEBRA – 2 AÑO

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. En el siguiente polinomio: P(x) = x2a+1 + 6x2a+3 – 5x2a+4 Calcular el valor de “a”. Si: GA = 14 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

2. En el siguiente polinomio: P(x) = 2xa-2 + 6xa-4 + 8xa-6 Calcular el valor de “a”. Si: G.A. = 13 a) 15 b) 14 c) 13 d) 10 e) 12

3. En el polinomio:

P(x, y) = x2ay4 – 3x2ay6 – x2a Calcular el valor de “a” G.A. = 20 a) 7 b) 8 c) 10 d) 11 e) 14

4. En el polinomio: P(x, y) = x2a+4y – 7xa-5y2 – 8xa-3y2 Calcular el valor de “a” si GRx = 10 a) 4 b) 5 c) 3 d) 9 e) 10

5. En el polinomio:

P(x, y) = 5x3yb+6 – 4x2yb+2 – x2yb+3 Calcular el valor de “b” GRy = 12 a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

6. En el polinomio: P(x, y) = axa-4 + 3xay3 + 2ya Calcular la suma de sus coeficientes. Si GA = 12 a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16

7. Indicar la suma de coeficientes del

polinomio: P(x, y) = axa-4yb-2 + bxa+2yb – 4xa-2yb+3 Siendo: GA = 8 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Calcular el valor de “n” en:

Siendo n < 8

a) 6 b) 8 c) 4 d) 5 e) 2

9. Determine el GA del polinomio:

Sabiendo que 9 < GR(x) < 14 a) 9 b) 13 c) 16 d) 19 e) 21

10. En el siguiente polinomio: P(x, y) = xa+1y2b+3 – xa+3y2b+1 + xa+5y2b-1 – xa+7y2b-3

De donde: GR(x) = 9; GR(y) = 9 Calcular el G.A. del polinomio. a) 3 b) 5 c) 12

1yx2yx6P 3n

232n

)y,x( ++=

9a1a34a

9a12a

10a)y,x( yxyxyxP -++-+- ++=

I BIMESTRE

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d) 9 e) 18

TAREA DOMICILIARIA II 1. En el siguiente polinomio:

P(x) = xa+1 + 2xa-3 + 7xa+4 Calcular el valor de “a” si GA = 13 a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

2. En el polinomio:

P(x, y) = x2ya + 2x3ya – 5a+5 Calcular el valor de “a” si GA = 8 a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) 4

3. En el polinomio:

P(x, y) = x3ay2 – 2x3ay3 – x3a Calcular el valor de “a” GA = 9 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. En el polinomio: P(x, y) = x7 – 4x2yb + byb+3 Calcular la suma de coeficientes si GRy = 10 a) 0 b) 1 c) 2 d) 6 e) 4

Situación 3 ¿Cuántas canicas tenemos? Luis y Raúl están un día jugando canicas, en un momento Luis le dice a Raúl, yo tengo p(x)=5x+7 canicas; a lo que Raúl le contesta yo tengo R(x)=9x-5. ¿Qué expresión algebraica nos indica la cantidad de canicas que tienen los dos juntos? ¿Si x=5 cuantas canicas tienen entre ambos?

¿Es correcto nuestro razonamiento, de que otra manera podemos calcular el número de canicas total?

SESIÓN 03: OPERACIONES CON POLINOMIOS 1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN:

Una manera de entender este tema es

mediante un ejercicio:

Si: P(x) = 7x5 + 3x3 - x2 + 1

Q(x) = 8x3 - 5x2 + 9

Efectuar: P(x) + Q(x)

RESOLUCIÓN:

P(x) + Q(x) = (7x5 + 3x3 - x2 + 1) + (8x3 - 5x2

+ 9)

• Eliminando los paréntesis:

• Reduciendo términos semejantes:

Rpta: P(x) + Q(x) = 7x5 + 11x3 - 6x2 + 10

2. MULTIPLICACIÓN Para multiplicar polinomios, es necesario

tener en cuenta la siguiente propiedad:

7x5 + 3x3 - x2 + 1 + 8x3 - 5x2 + 9

9

ÁLGEBRA – 2 AÑO

El producto de dos polinomios se realiza,

multiplicando cada término de uno de ellos por

todos los términos del otro. Luego se reducen los

términos semejantes.

EJEMPLO: Multiplicar (x5) por (3x2 -2x + 1) SOLUCIÓN: (x5) . (3x2 -2x + 1) Aplicando la propiedad distributiva:

= x5(3x2) - x5(2x) + x5(1) Rpta: 3x7 - 2x6 + x5 EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Si: A = 4a - 5b + 2c - d

B = 3a - 7b + 2c + d

Hallar: 2A - 2B

a) 2(a + 2b - 2d) b) 2(a + 2b - 2c)

c) 2(a + b + c) d) 2(a - b + c)

e) a + b + c

2. Si: P(x) = 5x2 - 4x + 15 - 7x3

Q(x) = 6x2 - 4x3 - 3

Efectuar: P(x) - Q(x)

a) -3x3 - x2 - 4x + 16 b) -3x3 + x2 - 14x + 18

c) -3x3 - x2 - 4x + 18 d) -3x3 - x2 - 4x + 20

e) -3x3 - x2 - 4x + 20

3. Si: P(x) = 4x2 - 5y2 + x

R(x) = 6x2 - 3x - (y2 - x)

Efectuar: P(x) - R(x)

a) -2x2 - 4y2 + 3x b) 2x2 + 4y2 - 3x

c) -2x2 - 4y2 + x d) 2x2 + y2 + x

e) x2 + y2 + x

4. Si: P = 5x - 7t + 30

Q = -10t + x - 4t + 20

R = x - t + x - 11 + 12t

Hallar: P - Q - R

a) 2x + t - 2t b) 2x + 4t - 21

c) 2x - 4t + 21 d) 2x - t - 21

e) x + t + 1

5. Dados los polinomios:

P(x) = x4 + 6x - 1

Q(x) = x4 - 2x3 - x2 + 6

R(x) = -4x3 + x2 + 6x + 11

Efectuar: P(x) - Q(x) - R(x)

a) 6(x3 + 1) b) 6(x3 - 2)

c) 6(x3 - 3) d) 6(x3 + 1)

e) N.A.

6. Se realizan las siguientes sumas de términos

semejantes: pxa + qxb + rxc = 5pqrxb.

Indicar M =

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 6

a . a = a ; "a" , "m" y "n" Î ÎIR INm n m+n

pqrrqp ++

I BIMESTRE

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7. Hallar la expresión equivalente más simple de

:

A =

a) x + y b) x/y c) x – y d) 1 e) 1/5

8. Efectuar: (5x - 4)(5x + 4)

a) 25x2 - 16 b) 25x2 + 10

c) 25x2 - 4 d) 25x2 + 1

e) 5x2 - 16

9. Halla el producto: (a2 - 4a + 4)(a2 - 2a)

a) a4 - 6a3 + 6a2 - 8a

b) a4 - 6a3 - 8a

c) a4 + 6a3 + 12a2 + 8a

d) a4 + 6a3 - 12a2 + 8a

e) a4 - 6a3 + 12a2 - 8a

10. Efectuar: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12)

a) x4 + 10x3 + 35x2 + 50x + 24

b) x4 + 10x3 + 35x2 + 25x + 24

c) x4 + 8x3 + 35x2 + 50x + 24

d) x4 + 6x3 + 33x2 + 48x + 24

e) x4 + 24

TAREA DOMICILIARIA III 1. Efectuar: (x2 - 1)(x2 - 4)

a) x4 + x2 + 4

b) x4 + 3x2 + 4

c) x4 - 5x2 + 4

d) x4 + 5x2 + 4

e) x2 + 4

2. Si: P(x) = 7x3 - 8x2 - 10

Q(x) = 6x2 - 5

Efectuar: P(x) - Q(x)

a) 7x3 - 14x2 - 5 b) 7x3 - 14x - 5

c) 7x2 - 14x - 5 d) 7x3 + 14x2 + 5

e) 7x3 + 14x2 - 5

3. Dados los polinomios:

A = x2 + x + 1

B = x2 - x + 1

C = x2 - 6

Efectuar: A + B - 2C

a) 12 b) 14 c) 15

d) 16 e) 17

4. Efectuar: (2x - 3)(7x - 2)(x + 4)

a) 14x3 + 31x2 - 94x + 24

b) 14x3 + 31x2 - 94x + 12

c) 14x3 + 30x2 - 94x + 24

d) 14x3 + 21x2 - 94x + 24

e) 14x3 + 10x2 - 94x + 24

y6)y2x(2)y3x(4)yx(3x6)y5x2(4)y7x(3-+-+++

++-+

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ÁLGEBRA – 2 AÑO

5. Efectuar: (x2 - xy + y2 - 1) (x + y)

a) x3 - y3 - x - y

b) x3 + y3 + x + 1

c) x3 + y3 - x - y

d) x3 - y3 - x + y

e) x3 - y3 - 1 – x

Situación 4

El plano de mi casa Observa y analiza el siguiente plano de una casa, la cual se proyecta sobre un terreno rectangular.

Determina las expresiones algebraicas que representan:

• el largo • el ancho • la superficie

Que abarca la construcción, exceptuando el corredor. II UNIDAD SESIÓN 04: POLINOMIOS ESPECIALES I

1. Polinomio Homogéneo Es aquel polinomio en el cual todos sus términos son de igual grado absoluto. Ejemplo:

P(x; y) es homogéneo de grado: 9

2. Polinomio Ordenado Un polinomio será ordenado con respecto a una variable, si los exponentes de dicha variable están: aumentando o disminuyente, a partir del primer término. Ejemplo:

P(x) = x8 + x5 – 2x4 + 5x - 2 Es un polinomio ordenado en forma descendente (los exponentes de “x” disminuyendo a partir del primer término).

3. Polinomio Completo Un polinomio será completo con respecto a una variable; si dicha variable posee todos los exponentes, desde el mayor hasta el exponente cero, inclusive. Ejemplo: P(x) = 2x3 + x2 + x4 – 2x + 6x0

!"#!"#$!$"#9.A.G

72

9.A.G

36

9.A.G

45)y;x( yxyx6yx2P

===

-+=

LO ÚNICO IMPOSIBLE ES AQUELLO QUE NO INTENTAS

I BIMESTRE

12

® P(x) es completo Ø Propiedad

En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado aumentado en la unidad. Entonces: # de términos de P(x) = Grado + 1 Ejemplo: P(x) = x16 + x15 + x14 + ……. + x2 + x + 1 G.A. (P(x)) = 16 Entonces: # de términos de P(x) = 16 + 1 = 17

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Calcular (mn) sabiendo que el polinomio es homogéneo.

a) 1 b) 0 c) -1 d) 4 e) -2

2. Calcular la suma de coeficientes de P(x) sabiendo que es un polinomio completo.

P(x) = 5xm+2 – 3x4 + 4x2 + 3x + 2m a) 10 b) 9 c) 11 d) 12 e) 13

3. Si: P(x) es completo y ordenado Hallar: “b”

P(x) = axa+b – xa+2 – x2a + 3xa + xa-1

a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

4. Si el polinomio esta ordenado en forma ascendente:

P(x) = 5x3 + 7x8 + 9xm+3 + bxn+2 + x11

Hallar: “m + n” a) 10 b) 15 c) 17 d) 21 e) 35

5. Indicar el grado de homogeneidad de: P(x, y) = xa+by3+a-b + 5xa+17 + 7x4yb+5

a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33

6. Calcular el grado del polinomio ordenado estrictamente descendente:

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

7. Indicar la suma de coeficientes del siguiente polinomio

P(x, y) = axa + bcxbyc + dyd Sabiendo que es completo y ordenado respecto a sus dos variables. a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

SESIÓN 05: POLINOMIOS ESPECIALES II

1. Polinomios Idénticos (º) Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a sus variables. En dos polinomios idénticos los coeficiente de sus términos semejantes son iguales. Es decir, si:

ax2 + bx + c º mx2 + nx + p

n53264m)y,x( yx2yx3yx5P +-+=

a53a2a7)x( mxx2x5P +++ ++=

13

ÁLGEBRA – 2 AÑO

Se cumple que:

2. Polinomio Idénticamente nulo

Es aquel que se anula para cualquier valor de sus variables. En todo polinomio idénticamente nulo reducido, sus coeficientes son iguales a cero. Es decir si: ax2 + bx + c º 0 Se cumple que:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Se tienen los polinomios:

M(x) = 3x2 + (b + 3)x + c2 – 3 N(x) = (7 - a)x2 + (2b + 1)x + 1 Dónde: M(x) º N(x) Hallar: E = a – b – c a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

2. Dados los polinomios idénticos. M(x) = 3x4 – (a + b)xa N(x) = (b + n)xa+1 – x3 Calcular: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. El polinomio es idénticamente nulo: P(x) = (a2 + b2 – 2ab)x3 + (b2 + c2 – 2bc)x2 + (a - c)x + d - 3 Hallar:

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

4. Sea P(x) un polinomio mónico: P(x) = (3 - a)x3 – (b - 2)x2 + (3 + a + b)x

Determinar la suma de coeficientes de P(x) a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

5. Calcular: (a + b + c) Si: P(x) º Q(x) Siendo: P(x) = 4x2 + 3x + 2 Q(x) = (a + b - 1)x2 + (b – c + 2)x + (c – a + 4) a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

6. Sea M(x) un polinomio idénticamente nulo: Si: (a, b, c, d Î Z)

M(x) = (a + b - 10)x3 + (b + c + 7)x2 + (c + a + 2)x + 2d + 1

Hallar:

a) -1 b) 3 c) 2 d) 0 e) 1

7. Se cumple que: ax2 + bx + g º (ax + 2n)2

Indicar:

a) 1/3 b) 1/4 c) 3/4 d) 2/3 e) 1/2

êêê

ë

é

==

=

pcnbma

êêê

ë

é

=

=

=

0c0b0a

nba2E ++=

bdcbaE ++

=

)dcba(

22 )ba(3)dc)(ba(F

+++

úúû

ù

êêë

é

+

++=

2

2

3E

b

a-b=

g

I BIMESTRE

14

8. El polinomio es idénticamente nulo: P(x) = (m - 3)x4 + (n2 - 4)x3 + (n - 2)x2 + px +

c - 4

Hallar:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

TAREA DOMICILIARIA I 1. Calcular (ab) sabiendo que el polinomio

es homogéneo:

a) 10 b) 20 c) 25 d) 28 e) 35

2. Hallar la suma de coeficientes de Q(x) sabiendo que es un polinomio completo.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)

3. Se dan los polinomios: P(x) = (a - 3)x2 + (b2 - 2)x + 1 Q(x) = 5x2 + 2x + c Dónde: P(x) º Q(x) Hallar: E = a + b - c a) 2 b) 3 c) 4 d) 9 e) 10

4. Dados los polinomios idénticos: P(x) = x3 – 4xa Q(x) = xa+2 + (b – 2a)x Calcular: a + b a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

SESIÓN 06: PRODUCTOS NOTABLES I Son los resultados de multiplicar dos o más polinomios, en forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva.

A. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

(a + b)2 º a2 + 2ab + b2

(a - b)2 º a2 - 2ab + b2

COROLARIO:

B. IDENTIDADES DE LEGENDRE

(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)

(a + b2) – (a - b)2 = 4ab

Ejm.:

§ (x + 3)2 + (x - 3)2 =

§ (x + 2)2 – (x - 2)2 =

Importante:

(x - y)2 º (y - x)2

Desarrollando

x2 – 2xy + y2 º y2 – 2yx + x2

C. DIFERENCIA DE CUADRADOS

(a + b) (a - b) = a2 – b2

D. PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN

(x + a)(x + b) º x2 + (a + b)x + ab

1cpnm

M+++

=

27b25a)y,x( yx3ybx5yx2P -+=

22m)x( x5253x5mx5Q -+-= +

5

15

ÁLGEBRA – 2 AÑO

E. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

REDUCIR: 1. (x - 6) (x + 3) + 3x + 18

a) 1 b) 3x c) x2 d) 18 e) 3x + 18

2. (x - 3) (x + 4) – x2 – x + 10

a) 2 b) x2 c) –2 d) x e) 0

3.

a) 1 b) 5 c) y d) 1/5 e) y

4. (3 + x) (3 - y) – (3x – 3y - xy)

a) 0 b) 3 c) 9 d) 1 e) 0

5. Efectuar: E = (x + 2y)2 – (x – 2y)2 – 4xy

a) xy b) 3xy c) 4xy d) 6xy e) 9xy

6. Reducir: R = (a + b)2 – (b - a)2 + (a – 2b)2 – a2 –

4b2 a) 0 b) a c) b d) 2ab e) ab

7. Hallar el valor numérico de:

Para: x = 2 000 a) 2001 b) 2002 c) 2003 d) 2004 e) 2005

8. Luego de efectuar: A = (x2 + x + 4)(x2 + x + 5) – (x2 + x + 3)(x2 + x

+ 6) Indicar lo correcto: a) d) A2 + 1 = 5 b) e) A es impar

c) 9. Si: (x - 2)3 º mx3 + nx2 + px + q

Hallar:

a) 2 b) -2 c) 1 d) -1 e) 0

10. Si: (x + 2) (x2 – 2x + 4) º ax3 + b Calcular: a) 3 b) 4 c) 2 d) 1 e) 5

SESIÓN 07: PRODUCTOS NOTABLES II CUBO DE UN BINOMIO

! (a + b)3 º a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

! (a + b)3 º a3 + b2b + 3ab2 + b3

! (a - b)3 º a3 - 3a2b + 3ab2 + b3

! (a - b)3 º a3 – b3 – 3ab(a – b)

( )( ))12y3(5

1y31y3

-

+-

3

1)2x)(4x(E +++=

31A =+

1A0 <<

37A3=+

nmqpm

+++

ba +

I BIMESTRE

16

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3 IDENTIDAD DE ARGAND

(x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) º x4 + x2y2 + y4 CUBO DE UN TRINOMIO

• (a + b + c)3 º a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (a + c)(b + c)

• (a + b + c)3 º a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c) (ab + bc + ac) – 3abc

IGUALDADES CONDICIONALES

Si: a + b + c = 0 Se cumple:

a2 + b2 + c2 º -2(ab + ac + bc) a3 + b3 + c3 º 3abc

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Si: a + b = 3 y ab = 1 Hallar: a3 + b3 en la siguiente expresión:

a3 + b3 + 3ab(a + b) a) 27 b) 18 c) 9 d) 3 e) 0

2. En la expresión: (a + b)(a2 – ab + b2) Se cumple que: a + b = 2 y a2 – ab + b2 = 5 Hallar: M = a3 + b3 a) 2 b) 5 c) 10 d) e) 25

3. Determinar el valor de: a3 – b3 Si: a – b = 6 y a2 + ab + b2 = 8

a) 6 b) 4 c) 8 d) 3 e) 48

4. Simplificar: M(a + b)3 – 3ab(a + b) a) a3 b) b3 c) a3 – b3 d) 0 e) a3 + b3

5. Reducir:

a) a3 – b3 b) a3 c) b3 d) 0 e) 1

6. Si: a + b = 5

ab = 2 Calcular: a3 + b3 a) 83 b) 64 c) 78 d) 81 e) 95

7. Reducir: (x + 3)(x2 – 3x + 9) + (x2 + 3x + 9)(x - 3)

a) x3 b) 18 c) 2x3 d) 54 e) 27

8. Si: x – y = 3 xy = 5 Hallar: E = x3 – y3 a) 18 b) -18 c) -72 d) 72 e) 27

9. Si: x + y = 2 x2 + y2 = 3 ; x > y Hallar: E = x3 – y3 a) 5 b) 3 c) -5

d) -3 e)

10. Simplificar:

3

33

a)ba(ab3b)ba(G -++-

=

227

17

ÁLGEBRA – 2 AÑO

M = (a + b + c)3 – 3(a + b)(a + b + c)c – (a + b)3

a) a3 b) b3 c) c3 d) 0 e) 3abc

TAREA DOMICILIARIA II

1. Si: (x + 2)3 º ax3 + bx2 + cx + d

Hallar: a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) -2

2. Si: (x - 3)3 º mx3 + nx2 + px + q Hallar: (m + n)(p + q)

a) 1 b) 0 c) -27 d) 9 e) -9

5. Simplificar: M = (a + b)3 – b3 – 3ab(a + b)

a) 0 b) b3 c) a3 + b3 d) ab e) a3

6. Reducir:

a) 0 b) 1 c) 3 d) -1 e) 9

3 dcba +++

9)ba(9)ba(ab3baN 3

33

+-

+---=

18

ÁLGEBRA – 2 AÑO